COURS- LES SUITES ARITHMETIQUES

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Secteur Mathématiques – Section Première
Leçon N°1 :
Algèbre
Les Suites Arithmétiques
Introduction
Au cours de cette leçon, nous allons présenter les suites arithmétiques. Ainsi nous aborderons tout d’abord leur définition et les calculs des
premiers termes au moyen de l’exemple bien connu du château de carte. Puis nous étudierons les formules permettant à la fois de calculer
le nième terme mais aussi la raison d’une suite arithmétique. Nous résoudrons enfin quelques problèmes simples.
Les pré-requis de cette leçon sont basés sur les acquis divers des élèves…
Les objectifs sont les suivants :
connaître la définition d’une suite arithmétique
connaître le vocabulaire relatif aux suites arithmétiques
organiser et effectuer des calculs permettant de déterminer le nième terme d’une suite arithmétique
savoir calculer la raison d’une suite arithmétique.
 Document N°1 : Approche
Malika est cliente chez un opérateur téléphonique. Lors de son engagement le 04 mars 2016, elle a reçu
50 points de fidélité en cadeau de bienvenue, puis chaque mois, avec son abonnement, elle gagne le
même nombre de points supplémentaires. Voici le récapitulatif des points de fidélité obtenus les 6
premiers mois de son abonnement.
Mois
Mars
Avril
Mai
Juin
Juillet
Août
Septembre
Octobre
Nombre de mois
1
2
3
4
5
6
7
8
Nombre total de points de
fidélité acquis
50
80
110
140
170
200
230
260
Malika souhaite savoir quand elle aura assez de points pour pouvoir avoir le « IPhone 7 » sachant qu’il
« coûte » 1590 points.
Partie Professeur :
Questions pour démarrer :
1) Que reconnaissez-vous ? Quel est cet objet mathématique ? Idée pour résoudre ce problème ?
2) Quels outils utiliser ?
3) Résolution graphique ? Résolution algébrique ? Avantage inconvénient ?
Discussion autour des suites : notions à aborder :
Suites
Suites arithmétiques
Suites géométriques (exemple et différence)
Microsoft Excel
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Résolution algébrique :
U52 = 1580
U53 = 1610
On les laisse faire tous les calculs : c’est long et c’est une source d’erreur vu le nombre de calculs :
Nécessité de :
- Utilisation d’un tableur plus précis
- Utilisation d’un graphique plus facile
 Document N°2 :
1600
Nombre de points
1500
1400
1300
1200
1100
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
Nombre de mois
O
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
44
48
52
56
60
Définition Vocabulaire :
On appelle SUITE ARITHMETIQUE de raison r toute suite de nombre de la forme :
Un = Un-1 + r
avec r la raison
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 Document N°3 : Exemples de suites
La suite de nombre la plus connue 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …
Suite de raison : ….
Une autre suite : 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, …
Suite de raison : ….
A l’aide de la définition donnez les termes U1, U2 U3 et U4.
Une autre suite : 2, 5, 8, 11, 14,…
Suite de raison : ….
Sur le dernier exemple comment passer d’un terme à l’autre ?
U1
U2
U3
U4
U5
2
5
8
11
14
donc on a
U2 = U1 + 3
U3 = U2 + 3 = U1 + 3 + 3 = U1 +2 × 3
U4 = U1 + 3 × 3
Plus généralement, on a Un = U1 + (n-1) × 3
Propriété : Calcul du nième terme
Le nième terme d’une suite arithmétique de raison r est donné par la formule :
Un = U1 + (n-1) × r
avec r la raison

Sur notre exemple :
U1
U2
2
5
U3
8
U4
11
U5
14
Il faut maintenant calculer le 43ième niveau :
Si on applique directement la formule on en arrive à :
U43
= U1 + (43 – 1) × r
= 2 + 42
× 3
= 128
On le vérifie alors par la méthode directe…
Exercices 1:
Soit une suite arithmétique Un définie par U1 = 3 et r = 4
1. Ecrire les 6 premiers termes
2. Calculer le 27ième terme
Réponses
1. les 6 premiers termes sont :
U1 = 3, U2 = 7, U3 = 11, U4 = 15, U5 = 19, U6 = 23
2. le 27ième terme :
U27 = U1 + (27-1) × r = 3 + 26 × 4 =107
Exercices 2:
Les nombres suivants sont-ils les termes consécutifs d’une suite arithmétique ? Justifiez votre réponse.
a.
3,1
;
1,6
;
0,1
;
–1,4
;
–2,9
b.
3
;
5
;
8
;
10
;
15
c.
2
;
4
;
6
;
8
;
10
Réponses
a. oui r = –1,5
b. non
c. oui r = 2
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 Document N°4 : reconnaitre une suite
Voici deux représentations graphiques présentant l’évolution du budget des deux clubs de baseball au cours des
années :
Budget de club
390
380
370
360
350
340
330
320
310
300
290
280
270
260
250
240
230
220
210
200
190
180
170
160
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
1998
Club A
2000
2002
2004
2006
2008
2010
2012
Club B
2014
2016
2018
Quelle est la courbe qui représente une suite arithmétique ? Pourquoi ?
Quelle est alors la représentation d’une suite arithmétique ?
Propriété : représentation graphique
Une suite arithmétique est toujours représentée par une droite.
La modélisation mathématique qui s’en approche le plus est soit :
a) Une fonction Linéaire
b) Une fonction affine
(attention les suites ne sont pas des fonctions continues….)
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Exercices 3:
Soit une suite arithmétique de premier terme u1 = 1 et de raison r = 7.
1. Ecrire les quatre premiers termes de la suite.
2. Calculez le terme de rang 100.
Réponses
1- u1 = 1 ; u2 = 8 ; u3 = 15 ; u4 = 22.
2- u100 = u1 + (100 – 1). r = 694
Exercices 4:
Application de la relation un = u1 + (n–1)  r
1. Calculer la raison d’une suite arithmétique de premier terme –2 et dont le quinzième terme est égal à 33.
2. Une suite arithmétique a pour premier terme 40 et pour septième terme –20. Déterminer sa raison.
Exercices 5:
Soit une suite arithmétique Un définie par U6 = 32 et U9 = 50
Quelle est la raison d’une telle suite et quelle est la valeur de son premier terme ?
Réponses
Avec les données de l’énoncé on peut écrire
32 = x + 5× y
(1)
50 = x + 8× y
(2)
Soit aussi
32 = x + 31 × y
(1)
18 = 3 × y
(2-1)
On trouve alors
x=2
y=6
Le premier terme de la suite est U1 = 2 et la raison de cette suite est r = 6.
Exercices 6:
Pierre souhaite acheter un caméscope d’une valeur de 1 200 euros.
Fin janvier, il ne dispose que de 870 euros, mais en faisant des économies, cette somme évolue régulièrement à la
fin de chaque mois selon le tableau ci-dessous.
On note u1 la somme disponible fin janvier.
1.
Reportez la valeur de u1 dans le tableau ci-dessous.
Mois
Janvier
Février
Mars
Avril
Mai
Juin
Somme disponible (euros)
870
940
1 010
1 080
1150
1220
un
u1
u2
u3
u4
u5
u6
n (rang)
1
2
3
4
5
6
2.
3.
4.
5.
6.
Calculez : u2 – u1 , u3 – u2 et u4 – u3. Que remarquez-vous ?
Quelle est la nature de cette suite ? Précisez son premier terme et sa raison.
Calculez la valeur de u5 et complétez l’avant-dernière colonne du tableau.
Compléter la dernière colonne du tableau en détaillant votre calcul de u6.
Cette somme est-elle suffisante pour acheter le caméscope ?
A partir de sa prise de décision (fin janvier), combien de mois Pierre devra-t-il attendre pour pouvoir réaliser son
achat ?
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