Septembre 2016. Année d`é - Université Paris 2 Panthéon

Université PARIS II, PANTHÉON-ASSAS
U.E.F.1/5097
Droit-Economie-Sciences Sociales
MELUN
Session:
Septembre 2016.
Année d’étude:
Deuxième année de Licence économie-gestion mention administration
économique et sociale
Discipline:
Techniques quantitatives : Statistique
(Unité d’Enseignements Fondamentaux 1).
Titulaire du cours:
M. Youcef ASKOURA.
Document(s) autorisé(s) : Calculatrice autorisée. Le téléphone portable n’est pas autorisé
comme calculette. Documents interdits, ainsi que tout appareil
électronique permettant une connexion à distance quelconque.
Examen de : Techniques quantitatives : Statistique (5097): session Septembre 2016
Exercice 1. (4 pts)
Un jeu consiste premièrement à jeter une pièce de monnaie pipée avec la probabilité d’obtenir face
égale à 13 et deuxièmement à répondre à la question X si l’on obtient face et à la question Y sinon.
Considérons un candidat maitrisant mieux le domaine de la question X et ayant ainsi une probabilité
p = 25 de donner une bonne réponse s’il est amener à répondre à X. Le candidat a seulement une
probabilité q = 17 de donner une bonne réponse dans le cas de la question Y.
1) Représenter le jeu par un arbre de probabilité.
2) Quelle est la probabilité que le candidat donne une bonne réponse dans ce jeu?
3) Le candidat a fini par donner une mauvaise réponse. Quelle est la probabilité qu’il ait répondu à
la question Y?
4) Les événements R : “obtenir face au lancer de la pièce” et T : “donner une bonne réponse à la
question posée” sont-ils
a) incompatibles?
b) indépendants?
Exercice 2. (4 pts)
Soit X une variable aléatoire prenant 3 valeurs : 0; 1 et 2, telle que la valeur 0 est prise avec une
probabilité de 1/2 et la valeur 1 est prise avec une probabilité de 1/4.
1) Donner dans un tableau la loi de X,
2) Donner E(X), V (X) et E(X 3 + 1)
Exercice 3. (3 pts)
On admet que les tailles d’individus, en centimètre, dans une population donnée suivent la loi normale
N (176, 10).
1) Quelle est la proportion d’individus mesurant plus de 2 mètres dans cette population?
2) Donner un intervalle contenant 95% des tailles d’individus dans cette population.
3) On mesure les tailles de 25 individus pris au hasard et de façons indépendantes et on note Xi ,
i=1,...,25, les variables aléatoires associées aux tailles obtenues.
+...+X25
3.1) Donner la loi de Z = X1 +X225
.
3.2) Donner P (Z > 180).
Exercice 4. (3 pts)
I. On lance une pièce de monnaie, pipée avec une probabilité p d’obtenir pile, de façons indépendantes
jusqu’à obtenir 10 piles. On note X le nombre d’expériences nécessaire.
1) Quelle est la loi de X?
2) Sachant que E(X) = 25, calculer la probabilité d’obtenir pile lors d’un lancer de la pièce.
II. On lance deux dés équilibrés, à 6 faces numérotées de 1 à 6, de façons indépendantes jusqu’à
l’obtention de deux chi↵res pairs. On note Z le nombre d’expériences nécessaires.
1. Donner P (Z = 20).
1
2. Donner E(Z).
3. Donner V (Z).
Exercice 5. (3 pts)
x
Soit X une variable aléatoire de densité f (x) = 2✓+1
si x 2 [0; 1] et 0 sinon. Determiner par la
méthode des moments un estimateur de ✓ en utilisant un échantillon X1 , ..., Xn .
Exercice 6. (3 pts)
On prélève au hasard 100 pièces parmi celles fabriquées par une machine donnée. Dans cet échantillon,
7 pièces sont défectueuses.
1) En utilisant la loi normale et en le justifiant, donner un intervalle de confiance de niveau 95% de
la proportion des pièces défectueuses fabriquées par cette machine.
2) Quelle devrait être la taille de l’échantillon pour que l’erreur commise sur l’estimation soit inférieure
à 0,02?
2
TABLE3. Fonction de répartition de la loi
normale contrée réduite N(0,1)
Exemple : F (0,75)=0,7734
F ( x)
x
TABLE 4.
Fractiles de la loi normale
centrée réduite N (0,1)
Exemple : u 0,662=0,4179
Si p<0.5 rajouter un signe « - » : ex. u 0,196 =−0,856
p
p
up
p