Sujet détaillé - Maison de la Simulation

 Proposition de sujet de thèse
Titre : (en français et en Anglais)
Méthodes numériques adaptatives pour l'équation de Vlasov : raffinement de
maillage en grandes dimensions, aspects numériques et implémentation
Adaptive numerical methods for the Vlasov equation: grid refinement in large
dimension spaces, numerical aspects and implementation
Encadrants : (prénom, nom, grade, mél, laboratoire)

Nicolas BESSE, Maître de Conférence (HdR), [email protected], Equipe
Plasmas Chauds, Institut Jean Lamour, Matériaux-Métallurgie-Nanosciences-PlasmasSurfaces, CNRS - Université de Lorraine

Erwan DERIAZ, Chargé de Recherche CNRS, [email protected], Equipe
Plasmas Chauds, Institut Jean Lamour, Matériaux-Métallurgie-Nanosciences-PlasmasSurfaces, CNRS - Université de Lorraine
Mots clés : (en français et en Anglais)
plasma, équation de Vlasov, méthodes adaptatives, schémas multi-échelles,
approximation non-linéaire, raffinement de maillage, méthodes semi-lagrangiennes
plasmas, Vlasov equation, adaptive methods, multiscales, non-linear approximation, grid
refinement, semi-lagrangian methods
Description du sujet : (~1 page, en français et en Anglais)
La simulation numérique de l'équation de Vlasov sans collision (comme par exemple
celles utilisées dans la simulation des plasmas de fusion obtenus par confinement
magnétique) pose un redoutable défi de calcul scientifique car c'est une équation aux
dérivées partielles non linéaire (type équation de transport) posée dans un espace des
phases de dimension 6. Dans ce contexte, la malédiction de la dimensionnalité
« Bellmann 1961 » rend les méthodes adaptatives incontournables [Cohen2002]. D'autant
que le caractère incompressible de l'espace des phases, ajouté aux couplages non
linéaires induisent le développement d'un grand nombre d'échelles spatio-temporelles.
D'où le besoin impératif de développer des méthodes numériques sur des maillages
adaptatifs pour suivre les petites échelles localisées dans l'espace des phases, et se
déplaçant au cours du temps.
L'objectif de cette thèse est d'adapter les schémas numériques multi-échelles aux
équations de transport de type Vlasov. Les gains de calcul résultant des choix numériques
pourront être évalués grâce à la théorie de l'approximation non-linéaire.
En s'appuyant sur les méthodes semi-lagrangiennes et le raffinement de maillage par
décomposition en ondelettes, cette thèse permettra de développer une méthode pour
résoudre l'équation de Vlasov en dimension six, restée hors d'atteinte jusqu'à présent. Au
cours de cette thèse, on mettra l'accent sur le choix du critère de raffinement de maillage
afin de respecter l'ordre du schéma et de pleinement profiter de la décomposition en
ondelettes [Besse2008].
Enfin se posent des questions d'implémentation numérique et de choix d'une
représentation adaptée et efficace des données en mémoire (i.e. structures de données,
parallélisation). La validation des schémas adaptatifs ainsi mis au point, se fera d'abord
sur les cas tests classiques du transport linéaire (sans rétro-action des champs). Ensuite
on validera les schémas sur des cas tests physiques non-linéaires de faible dimension et
bien éprouvés.
Une fois ces étapes franchies avec succès nous pourrons appliquer ces schémas
adaptatifs à des problèmes de plasma de dimensions plus grandes et donc plus
intéressants en qui concerne la physique, comme les modèles de Vlasov-gyrocinétique en
géométrie cylindrique (voire aussi torique) pour étudier les instabilités et la turbulence
dans des plasmas de type ITER, ou bien Vlasov-Maxwell relativiste pour étudier les
instabilités électromagnétiques.
[Cohen2002] A.Cohen, W.Dahmen, R.DeVore, Adaptive Wavelet Methods for operator equations: beyond
the Elliptic Case, Found. Comput. Math. 2(3) 203-245, 2002.
[Besse2008] N. Besse, G. Latu, A. Ghizzo, E. Sonnendrücker, P. Bertrand, A Wavelet-MRA-based adaptive
semi-Lagrangian method for the relativistic Vlasov-Maxwell system, J. Comput. Phys. 227 7889-7916, 2008.
English version:
The numerical simulation of collisionless Vlasov equation (e.g. in magnetic confinement
fusion) adresses an outstanding challenge in scientific computing, because this non-linear
partial differential equation is set in a six-dimensional phase space.
In this context, the curse of dimensionality coined by Richard E. Bellman in 1961 makes the adaptiv methods compulsory [Cohen2002]. The incompressibility of the phase space plus the non‐linear couplings (small scales generation) provide a large set of interacting scales. Thus we need to develop numerical methods on adaptive meshes to be able to follow up the moving small scales. This thesis aims to adapt multi‐scale numerical schemes to Vlasov equation using semi‐lagrangian methods and wavelet expansion. The gains in computational costs can be evaluated thanks to the non‐linear approximation theory. The ultimate target is the simulation of six‐dimensional Vlasov equation which has stayed out of reach untill now. Meanwhile, the implementation problem should be adressed choosing a suitable representation of the data in memory and dealing with parallelisation. We will validate this code on classical linear transport and low‐dimensional well‐known physical cases. Once all these stages successfully passed, we will apply this code to large dimensional plasma physics problems like Vlasov‐gyrokinetic models in cylindrical and/or toroidal geometry for the simulation of instabilities and turbulence in ITER plasmas, or relativistic Vlasov‐Maxwell equations to study the electromagnetic instabilities.