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Etude locale d’opérateurs de courbure sur
l’espace hyperbolique
Erwann DELAY∗
Université de Tours
∗
Moniteur-Allocataire MENESR 1994-97, ATER 1997-99
1
2
E. DELAY
Résumé :
Nous montrons dans cet article que, sur la boule unité de Rn , les opérateurs
de courbure de Ricci covariante et contravariante, et de courbure d’Einstein, sont
localement inversibles au voisinage de la métrique hyperbolique H0 . Nous en
déduisons, dans le cadre C ∞ que l’image de l’opérateur de courbure de RiemannChristoffel est une sous-variété au voisinage de H0 . Nous traitons aussi de quelques
obstructions liées au comportement asymptotique des métriques voisines de H0 ,
et nous traitons plus précisément de l’équation de Ricci en dimension 2.
Abstract :
We show in this article that, on the unit ball in Rn , the operators of covariant
and contravariant Ricci curvature, and of Einstein curvature, are locally invertible
in a neighborhood of the hyperbolic metric H0 . We deduce in the C ∞ case that the
image of the Riemann-Christoffel curvature operator is a submanifold in a neighborhood of H0 . We deal also with some obstructions related to the asymptotic
behavior of metrics near H0 , and we treat more precisely the case of the Ricci
equation in dimension 2.
Mots clés :
espace hyperbolique ; courbures de Riemann-Christoffel, de Ricci, d’Einstein
; EDP non-linéaire, elliptique dégénéré, comportement asymptotique, existence,
unicité, obstruction, méthode de continuité.
Etude locale de courbures sur Hn (−1)
1
3
Introduction, notations et conventions
Considérons une variété Riemannienne M munie d’une métrique H. Pour p
et q entiers naturels, nous noterons Tpq , l’ensemble des tenseurs covariants de
rang p et contravariants de rang q. Lorsque q = 0 et p = 2, nous noterons
S2 le sous-espace des tenseurs symétriques qui se scinde en S2 = H ⊕ S20 ,
où H sont les multiples de H et S20 sont ceux de trace nulle (par rapport à
H). Lorsque q = 2 et p = 0, nous noterons S 2 le sous-espace des tenseurs
symétriques. A la métrique H sur M , est associé son tenseur de courbure de
Riemann-Christoffel Riem(g) ∈ T31 défini en coordonnées locales (x1 , ..., xn )
par (on utilise la convention de sommation) :
q
Riem(H) = Rjlk
∂
⊗ dxj ⊗ dxl ⊗ dxk ,
∂xq
où
q
Rjlk
= ∂l Γqjk − ∂k Γqjl + Γpjk Γqpl − Γpjl Γqpk ,
1
Γkij = H ks (∂i Hsj + ∂j His − ∂s Hij )
2
et où H ks dénote la matrice inverse de Hij , ainsi que d’autres tenseurs de
courbure qui en découlent :
q
Ricci(H) = Rjqk
dxj ⊗ dxk =: Rjk dxj ⊗ dxk ,
le tenseur de courbure de Ricci covariant dans S2 ,
Ricci(H) = H is H jt Ricci(H)st
∂
∂
⊗ j
i
∂x
∂x
le tenseur de courbure de Ricci contravariant dans S 2 ,
Scal(H) = H ij Rij ,
la courbure scalaire, qui est une fonction sur M ,
1
Ein(H) = Ricci(H) − Scal(H)H,
2
le tenseur de courbure d’Einstein dans S2 .
Riemann, puis Cartan, ont montré que la courbure sectionnelle :
q
Sect(H) = Hiq Rjlk
dxi ⊗ dxj ⊗ dxk ⊗ dxl
caractérise localement la métrique à isométrie près. Une question naturelle
se pose alors : si l’on impose une courbure, existe-il une métrique réalisant
4
E. DELAY
cette courbure ? C’est aussi une question importante en relation avec les
équations d’Einstein de la relativité générale.
Soit B la boule unitée de Rn (munie de la métrique euclidienne standard
E) et soit ρ la fonction définie sur B par:
1
ρ(x) = (1 − |x|2 ).
2
Nous utiliserons pour modèle de l’espace hyperbolique standard Hn (−1) la
boule B munie de la métrique conforme :
H0 = ρ−2 E.
En général, H = H0 + h désignera une métrique sur B voisine de H0 .
Dans cet article, nous montrons dans un premier temps le
Théorème 1 Soient n ≥ 10, k ∈ N\{0, 1}, α ∈]0, 1[. Si s ∈ R vérifie
−2n > s(s − (n − 1)), alors l’équation
Ricci(H0 + h) = Ricci(H0 ) + r.
pour r donné dans Λs−2
k+2,α (B, S2 ) voisin de zéro, possède une unique solution
h voisine de zéro dans Λs−2
k+2,α (B, S2 ) et l’application ainsi définie r −→ h
est lisse d’un voisinage de zéro dans Λs−2
k+2,α (B, S2 ) dans un voisinage de zéro
s−2
dans Λk+2,α (B, S2 ).
Ce résultat concernant la prescription de la courbure de Ricci vient compléter
ceux de : [DT1], au voisinage d’un point dans Rn , [DT2] sur les variétés
compactes de dimension 2, [H] au voisinage de la métrique standard sur la
sphère unité de Rn+1 , [Ya] sur les variétés Kählériennes compactes et [De]
sur les variétés Kählériennes non compactes.
Les espaces Λsk,α utilisés ont été introduits par [GL], en voici une définition
k,α
: une fonction u ∈ Cloc
(B) est dans l’espace Λsk,α (B) si la quantité suivante,
qui représente sa norme dans cet espace, est finie:
X
(s)
k u kk,α :=
sup[d−s+|γ|
|∂ γ u(x)|]
x
|γ|≤k
x∈B
+
X
|γ|=k
sup min(d−s+k+α
, d−s+k+α
)
x
y
x,y∈B
x6=y
|∂ γ u(x) − ∂ γ u(y)|
|x − y|α
où dx est la distance euclidienne de x au bord (en l’occurence dx ≡ 1 − |x|).
Un membre typique de Λs (B) est la fonction ρs . Noter que ces espaces de
Etude locale de courbures sur Hn (−1)
5
Banach ont beaucoup de “bonnes” propriétés (cf. proposition 3.3 de [GL] p.
208 et appendice de [D1]).
Nous allons maintenant étendre ces espaces aux tenseurs sur B. Notons
s
Λk,α (B, Tp ) l’espace des tenseurs covariants de rang p sur Ω dont les composantes en coordonnées euclidiennes (par exemple) sont dans Λsk,α (B), avec
la norme évidente. Il est clair que cet espace est indépendant du choix des
coordonnées sur B d’après la proposition 3.3 alinéa (13) de [GL] .
Si 40 désigne le laplacien de la métrique H0 (dont le symbole appliqué à
un covecteur ξ est par convention, égal à −|ξ|2H0 ), et si K ∈ Λ0k,α (B) vérifie
la minoration stricte suivante:
inf K > s[s − (n − 1)]
B
alors l’opérateur de type schrödinger
s−p
40 + K : Λs−p
k+2,α (B, Tp ) −→ Λk,α (B, Tp )
est un isomorphisme (lorsque p = 2, on peut remplacer T2 par S2 , H0 ou S20 ).
Ce résultat essentiel de [GL](p. 217), formulé avec K ∈ C ∞ (B) mais encore
vrai avec K ∈ Λ0k,α (B), nous sera d’un usage constant ; nous l’invoquerons
ci-après sous le vocable de ”théorème d’isomorphisme de [GL]”.
C’est lui qui intervient pour montrer le théorème précédent par un argument d’inversion locale en suivant une variante de la méthode de DeTurck
[DT1] (voir section 3 ci-après). Noter que les métriques trouvées sont asymptotiques à H0 car s > 0. L’équation de Ricci est un système différentiel
quasilinéaire du second ordre en la métrique. Les opérateurs utilisés dans
notre contexte sont totalement caractéristiques (chaque dérivation est compensée par une multiplication par ρ ce qui a pour effet de conserver le même
poids s ).
Nous avons ensuite essayé d’améliorer ce théorème par une méthode permettant de déformer “l’ infinité conforme” (qui par exemple est E, pour
H0 ). Enfin, nous avons démontré un théorème analogue pour le tenseur de
Ricci contravariant, en dimension n > 2, pour des métriques non forcément
asymptotes à H0 .
Une étude du comportement asymtotique des métriques solutions montre
les limites de la méthode lorsque le poids s est situé hors de l’intervalle
d’isomorphisme :
Théorème 2 Soit n ≥ 11, soit s un entier strictement plus grand que n − 1.
Posons t = n2 donc −2n > t(t − (n − 1)) ; alors pour µ 6= 0 assez petit, la
solution h ∈ Λt−2
k+2,α (B, S2 ) du théorème 1, telle que
Ricci(H0 + h) = Ricci(H0 ) + µρs H0 ,
6
E. DELAY
n’est pas dans Λk−2
pour tout réel k > n − 1.
0
Noter qu’il y a d’autres résultats d’obstruction sur la courbure de Ricci
[DK], [Ba], [H], ceux-ci dans le cadre de la courbure positive.
Corollairement au théorème 1, nous obtenons un scindage du sous-fibré
des tenseurs de type 4-tenseur de Riemann-Christoffel, au voisinage de celui
de la métrique hyperbolique H0 . Ce scindage conduit, dans le cadre C ∞ , au
théorème suivant :
Théorème 3 Considérons R13 , le sous-espace de T31 des tenseurs vérifiants
i
i
i
i
i
i
τilm
= 0, τklm
= −τkml
, τklm
+ τmkl
+ τlmk
= 0.
Soit s un réel vérifiant −2n > s(s − (n − 1)). Alors l’image de l’application
s−2
1
h ∈ Λs−2
∞ (B, S2 ) −→ [Riem(H0 + h) − Riem(H0 )] ∈ Λ∞ (B, R3 )
1
est une sous-variété de Λs−2
∞ (B, R3 ), graphe d’une application (pour le scindage
précédent) lisse.
Puis nous nous intéressons à la prescription du tenseur de courbure d’Einstein.
A son sujet, nous démontrons le
Théorème 4 Si n ≥ 3, k ≥ 1, et si s ∈]0, n − 1[, alors l’équation
Ein(H0 + h) = Ein(H0 ) + e.
pour e donné dans Λs−2
k+2,α (B, S2 ) voisin de zéro, possède une unique solution
h voisine de zéro dans Λs−2
k+2,α (B, S2 ) et l’application ainsi définie e −→ h
est lisse d’un voisinage de zéro dans Λs−2
k+2,α (B, S2 ) dans un voisinage de zéro
s−2
dans Λk+2,α (B, S2 ).
Enfin, dans le cas particulier de la dimension deux, nous étudions plus
en détails l’équation de Ricci (notamment ici, avec condition de Dirichlet à
l’infini).
Précisons maintenant quelques notations : ∇ désignera la connexion de
Levi-Civita de H et, dans un système de coordonnées, nous noterons Γijk ses
symboles de Christoffel. Par exemple si ω ∈ T1 et g ∈ T2 , en utilisant la
convention de sommation,
∇j ωi = ∂j ωi − Γkij ωk ,
et
∇k gij = ∂k gij − Γqki gqj − Γqkj giq .
Etude locale de courbures sur Hn (−1)
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4 désignera le laplacien brut relatif à H : pour tout Υ ∈ Tp ,
(4Υ)j1 ...jp = −H st ∇t ∇s Υj1 ...jp = −∇t ∇t Υj1 ...jp .
Pour g ∈ S2 , nous noterons Trace(g) le scalaire
Trace(g) = H st gst ,
nous définissons grav(g) ∈ S2 par
1
grav(g) = g − Trace(g)H,
2
et div(g) ∈ T1 (la divergence de g) par
div(g)i = −H jk ∇k gij = −∇j gij .
Pour ω ∈ T1 , on définit enfin div∗ ω ∈ S2 ( l’adjoint formel de div dans L2
appliqué à ω) par
1
(div∗ ω)ij = (∇j ωi + ∇i ωj ).
2
Dans le cas particulier où H = H0 (i.e. h = 0), toutes les notations et
définitions précédentes seront indicées par 0 (∇0 , 40 , Trace0 , ...). De plus
nous noterons R0 = Riem(H0 ), R0 = Ricci(H0 ) = −(n−1)H0 , E0 = Ein(H0 )
et S0 = Scal(H0 ) = −n(n − 1).
Remerciements. Je remercie mon directeur de thèse, Philippe Delanoë,
dont les suggestions et les conseils m’ont permis de réaliser ce travail.
8
2
E. DELAY
Préliminaires (sur l’opérateur de Bianchi)
Commençons par des rappels de nature purement locale. Pour R appartenant
à S2 , nous noterons Bian(H, R) la 1-forme définie par :
1
Bian(H, R)m := (−div gravR)m = H st (∇t Rsm − ∇m Rst ).
2
Remarquons que l’opérateur Bian est linéaire en R. L’identité de Bianchi
stipule que Bian(H, R) = 0 si R =Ricci(H). D’autre part, la différentielle
par rapport à H (à R fixé) de l’opérateur de Bianchi est donnée par (cf.
[DT1] par exemple):
d
s
(DH Bian(H, R)δh)m := (Bian(H + tδh, R)m ) = Rm
( div gravδh)s −Tmqs δhqs ,
dt
t=0
−1
avec
= (H
= H Rtm et
= H H (∂k Rlm − 21 ∂m Rkl − Γikl Rim ).
Cette différentielle prend une forme simple sur toute variété d’Einstein, comme
il résulte du
s
Rm
R)sm
st
Tmqs
qk
sl
Lemme 1 S’il existe λ ∈ R tel que R = λH alors Tmqs δhqs = 0.
Preuve :
Lorsque R = λH on trouve
ainsi Tmqs
1
1
Tmqs = λH qk H sl ( ∂k Hlm − ∂l Hkm ),
2
2
= −Tmsq . Comme δh est symétrique, on obtient Tmqs δhqs = 0.
Lemme 2 Pour toute métrique H et toute 1-forme ω on a :
1
Bian(H, div∗ ω)m = (−4ωm + Ricci(H)km H sk ωs ).
2
En particulier, si H = H0 de courbure constante égale à −1,
1
Bian(H0 , div∗0 ω) = − (4ω + (n − 1)ω).
2
Preuve :
Calculons :
Bian(H, div∗ ω) = 12 H st [∇t (∇m ωs + ∇s ωm ) − 21 ∇m (∇t ωs + ∇s ωt )]
=
1 st
H (∇t ∇m ωs
2
=
1
(∇t ∇m ω t
2
=
1
(−4ωm
2
+ Riem(H)tktm ω k )
=
1
(−4ωm
2
+ Ricci(H)km ω k ),
+ ∇t ∇s ωm − ∇m ∇t ωs )
− ∇m ∇t ω t + H st ∇t ∇s ωm )
Etude locale de courbures sur Hn (−1)
9
l’avant-dernière égalité résultant de l’identité (cf. [Au] par exemple):
l
Rkij
ω k = ∇i ∇j ω l − ∇j ∇i ω l .
Pour conclure, il ne reste qu’à rappeler que Ricci(H0 ) = −(n − 1)H0 .
Passons à des considérations globales en nous plaçant sur l’espace hypers−2
bolique (B, H0 ). Pour r ∈ Λs−2
k+1,α (B, S2 ) et h dans Λk+1,α (B, S2 ), fixés assez
petits dans Λ−2
k+1,α (B, S2 ), nous allons considérer l’application :
s−1
g ∈ Λs−2
k+1,α (B, S2 ) −→ Bian(H0 + h + g, R0 + r) ∈ Λk,α (B, T1 )
qui est lisse au voisinage de zéro (cf. corollaire 9 de l’appendice 9 ). Notons
ωh,r = Bian(H0 + h, R0 + r) ∈ Λs−1
k,α (B, T1 ).
On peut alors montrer [D3] la
Proposition 1 Supposons s ≥ 0 et n − 1 > s(s − (n − 1)). Pour r et h dans
−2
Λs−2
k+1,α (B, S2 ) assez petits en norme Λk+1,α , l’ensemble
X
:= {g ∈ Λs−2
k+1,α (B, S2 ) tels que Bian(H0 + h + g, R0 + r) = ωh,r }
h,r
est, au voisinage de zéro, une sous-variété de Λs−2
k+1,α (B, S2 ). De plus, il existe
s−1
V voisinage de zéro dans Λk,α (B, T1 ) tel que, si l’on pose
X
h,r,ω
alors {
P
= {g ∈ Λs−2
k+1,α (B, S2 ) tels que Bian(H0 + h + g, R0 + r) = ω},
h,r,ω }ω∈V
fournit, au voisinage de zéro, un feuilletage de Λs−2
k+1,α (B, S2 ).
N.B. Dans la suite de cet article, la méthode que nous utilisons pour
résoudre l’équation de Ricci, ne s’appuiera pas sur la proposition 1, laquelle
figure ici pour son intérêt propre, par contre les notations et les lemmes,
introduits dans cette section, nous seront très utiles.
10
3
E. DELAY
Résolution de l’équation de Ricci
Dans cette partie, nous voudrions prescrire la courbure de Ricci sur tout B au
voisinage de la métrique hyperbolique. Autrement dit, pour R = R0 + r ∈ S2
voisin de R0 , peut-on trouver une métrique H = H0 + h voisine de H0 telle
que Ricci(H0 + h) = R0 + r ? (où ”voisinage” sera entendu dans un sens
approprié).
Rappelons que la courbure de Ricci d’une métrique H est donnée en
coordonnées locales par la formule :
Ricci(H)km = ∂l Γlkm − ∂m Γlkl + Γlnl Γnkm − Γlnm Γnkl ,
où Γlkm = 21 H ls (∂k Hsm + ∂m Hks − ∂s Hkm ). Nous devons donc résoudre un
système d’équations aux dérivées partielles quasi-linéaire du second ordre en
les composantes de H.
La différentielle de l’opérateur Ricci est donnée par (cf. [DT1] par exemple) :
DRicci(H)δh :=
d
1
Ricci(H + tδh)|t=0 = 4L δh − div∗ div gravδh,
dt
2
où 4L est le Laplacien de Lichnérowicz qui s’exprime en coordonnées locales
par :
4L δhij = −∇s ∇s δhij + Ricci(H)is δhsj + Ricci(H)js δhsi − 2Sect(H)isjt δhst ,
ce que l’on réécrit sous la forme 4L δh = 4δh + 2Θ(δh).
Pour calculer le symbole de l’opérateur DH Ricci, détaillons :
−[div∗ div gravδh]ij = [div∗ (Bian(H, δh))]ij
=
1
[H st (∇j ∇t δhsi
2
− 12 ∇j ∇i δhst )
+H st (∇i ∇t δhsj − 21 ∇i ∇j δhst )].
Ainsi le symbole de l’opérateur DH Ricci est l’application de S2 dans S2 définie
par :
1
h → σ(ξ)h = H st (−ξt ξs hij + ξj ξt hsi + ξt ξi hsj − ξi ξj hst ),
2
Etude locale de courbures sur Hn (−1)
11
qui n’est un isomorphisme pour aucun ξ 6= 0 dans Rn∗ . En effet, si on prend
hij = ξi ξj , on a σ(ξ)h = 0 alors que h 6= 0 (en particulier l’opérateur DH Ricci
n’est pas elliptique).
Suivant [DT1], nous allons introduire un terme correctif naturel qui redonnera l’ellipticité ; comme on l’a vu section 2 :
s
(div gravδh)s − Tmqs δhqs ,
(DH Bian(H, R)δh)m = Rm
avec T δh = 0 lorsque R = λH, par exemple en (H0 , R0 ) (cf. lemme 1,
et Bian(H,Ricci(H)) ≡ 0). Considérons donc (avec, désormais toujours,
H = H0 + h et R = R0 + r)
F (h, r) = Q(H, R) = RicciH −
1
div∗ Bian(H, R) − R.
n−1 0
Alors
Dh F (h, r)δh = DH Q(H, R)δh
=
1
4δh
2
+ Θ(δh) − div∗ div gravδh
1
e
gravδh − T δh)
− n−1
div∗0 R(div
e=R
ej dxi ⊗
où R
i
∂
,
∂xj
de sorte que
1
Dh F (0, 0)δh = DH Q(H0 , R0 )δh = 40 δh + Θ0 (δh),
2
et nous obtenons l’ellipticité désirée. Ici
Θ0 (δh) = (Trace0 δh)H0 − nδh.
Décomposons δh à l’aide du scindage S2 = H0 + S20 , où l’on rappelle que les
élements de H0 sont ceux de S2 multiples de H0 et ceux de S02 , ceux de S2
de trace nulle (par rapport à H0 ). On a donc δh = uH0 + h0 , Θ0 (uH0 ) = 0,
et Θ0 (h0 ) = −nh0 , soit finalement
1
Dh F (0, 0)δh = [40 (uH0 ) + (40 − 2n)h0 ].
2
D’après le théorème d’isomorphisme de [GL] p. 217, nous obtenons le
Lemme 3 Si −2n > s(s − (n − 1)) alors Dh F (0, 0) est un isomorphisme de
s−2
Λs−2
k+2,α (B, S2 ) dans Λk,α (B, S2 ).
Nous voulons appliquer le Théorème des fonctions implicites en (0, 0) à
la relation F (h, r) = 0. Pour cela il nous reste seulement à démontrer le
12
E. DELAY
Lemme 4 Lorsque s ≥ 0, l’application F définie précédemment est lisse de
s−2
s−2
Λs−2
k+2,α (B, S2 ) × Λk+2,α (B, S2 ) dans Λk,α (B, S2 ) au voisinage de zéro.
Preuve :
Tout d’abord, d’après le corollaire 8 de l’appendice 9, l’application
h −→ Ricci(H0 + h) − R0
s−2
est lisse de Λs−2
k+2,α (B, S2 ) dans Λk,α (B, S2 ). Ensuite d’après le corollaire 9 de
l’appendice 9, l’application
(h, r) −→ Bian(H0 + h, R0 + r)
s−2
s−2
est lisse de Λs−2
k+2,α (B, S2 ) × Λk+2,α (B, S2 ) dans Λk+1,α (B, T1 ). Et comme
l’application
ω −→ div∗0 ω
s−2
est lisse de Λs−2
k+1,α (B, T1 ) dans Λk,α (B, S2 ) d’évidence, le lemme est démontré.
Nous avons maintenant assez d’éléments pour pouvoir énoncer le
Théorème 5 Si −2n > s(s − (n − 1)), alors l’équation
F (h, r) = Ricci(H0 + h) −
1
div∗0 Bian(H0 + h, R0 + r) − (R0 + r) = 0
n−1
pour r donné dans Λs−2
k+2,α (B, S2 ) voisin de zéro, possède une unique solution
h voisine de zéro dans Λs−2
k+2,α (B, S2 ) et l’application ainsi définie r −→ h
est lisse d’un voisinage de zéro dans Λs−2
k+2,α (B, S2 ) dans un voisinage de zéro
s−2
dans Λk+2,α (B, S2 ). De plus, lorsque k ≥ 1, quitte à réduire les voisinages
de zéro, la solution vérifie
Ricci(H0 + h) = R0 + r.
Preuve :
D’après les lemmes 3 et 4 et le Théorème des fonctions implicites, la première
partie du théorème est évidente. Il nous reste à montrer que pour ”r petit”,
notre solution vérifie Ricci(H0 + h) = R0 + r (c’est-à-dire Ricci(H) = R) .
Nous montrerons pour cela que Bian(H, R) = 0, sans recourt à la proposition
1, la méthode consistant à appliquer brutalement l’opérateur Bian(H, .) à
l’équation Q(H, R) = 0. Nous obtenons d’abord
1
Bian(H, div∗0 Bian(H, R)) − Bian(H, R) = 0.
Bian(H, Ricci(H)) −
|
{z
} n−1
=0
Etude locale de courbures sur Hn (−1)
13
Posons ensuite ω = Bian(H, R) ; ω vérifie l’équation :
Bian(H, div∗0 ω) + (n − 1)ω = 0.
(∗)
Rappelons que, d’après le lemme 2,
1
Bian(H0 , div∗0 ω) = − (40 ω + (n − 1)ω),
2
s−1
et considérons l’application linéaire L de Λs−1
k+1,α (B, T1 ) dans Λk−1,α (B, T1 )
définie par
1
Lω := Bian(H0 , div∗0 ω) + (n − 1)ω = − (40 − (n − 1)ω).
2
D’après le Théorème d’isomorphisme de [GL], lorsque
−(n − 1) > s(s − (n − 1)),
L est un isomorphisme et il existe C > 0 tel que
(s−1)
(s−1)
k ω kk+1,α ≤ C k Lω kk−1,α .
Dans notre cas, comme ω vérifie (∗) on a
Lω = Bian(H0 , div∗0 ω) − Bian(H, div∗0 ω) .
{z
}
|
Lr ω
(s−2)
Pour tel que C < 1, on veut montrer qu’il existe ν tel que, si k r kk+2,α ≤ ν
alors
(s−1)
(s−1)
k Lr ω kk−1,α ≤ k ω kk+1,α .
D’après le lemme 12 de l’appendice 9, on a
(s−1)
(−2)
(−2)
(s−2)
k Lr ω kk−1,α ≤ C(ĥ)[1 + (k h kk,α )] k h kk,α k div∗0 ω kk,α
.
D’autre part, comme div∗0 est un opérateur linéaire continu de Λs−1
k+1,α (B, T1 )
s−1
dans Λk,α (B, S2 ), on a
(s−2)
(s−1)
k div∗0 ω kk,α ≤ Cte k ω kk+1,α .
s−2
Comme ici l’application Λs−2
k+2,α 3 r −→ h ∈ Λk+2,α est lisse au voisinage de
(−2)
zéro et comme s ≥ 0, d’après la proposition 3.3 de [GL] p. 208, k h kk,α
(s−2)
tend vers zéro lorsque k r kk+2,α tend vers zéro. On peut ainsi écrire
(s−1)
(s−1)
k Lr ω kk−1,α ≤ C(r) k ω kk+1,α
14
E. DELAY
(s−2)
avec C(r) qui tend vers 0 lorsque k r kk+2,α tend vers 0. Il existe donc ν
(s−2)
tel que pour k r kk+2,α ≤ ν, C(r) ≤ . Pour conclure, il ne reste plus qu’à
rappeler que ω vérifie (∗) et donc que l’on a :
(s−1)
(s−1)
(s−1)
(s−1)
k ω kk+1,α ≤ C k Lω kk−1,α = C k Lr ω kk−1,α ≤ C k ω kk+1,α ,
(s−1)
donc que k ω kk+1,α = 0 puisque C < 1 ; finalement ω = 0.
Remarques :
(i)La condition −2n > s(s − (n − 1)) peut s’écrire (n − 1)(s − 2) > s2 + 2 et
2 +2
+ 1 = f (s), on
comme n > 1, il faut s > 2; de même en l’écrivant n > ss−2
√
voit qu’il faut au moins n ≥ 10, puisque f est minimum pour s = 2 + 6 et
vaut alors environ 9, 9. Enfin la condition peut se réécrire sous la forme
p
(n − 1)2 − 8n
n − 1 + (n − 1)2 − 8n
s1 =
< s < s2 =
,
2
2
nous voyons qu’alors s2 tend vers l’infini quand n tend vers l’infini et un simple développement limité montre que s1 tend vers 2 quand n tend vers l’infini.
n−1−
p
(ii)Dans la démonstration du théorème, on a vu que pour annuler ω on a
uniquement besoin de la continuité de r −→ h et de la condition −(n − 1) >
s(s − (n − 1)) qui est plus faible que −2n > s(s − (n − 1)).
(iii)Notons que la solution h de l’équation F (h, r) = 0 est dans Λs−2
k+2,α (B, S2 ),
tout comme l’est le tenseur r, et nous ne savons pas si elle est dans Λs−2
k+4,α (B, S2 ).
Ce manque de régularité (perte de deux points) est dû au terme
−
1
div∗ Bian(H, R)
n−1 0
nécessaire pour compenser le défaut d’ellipticité de l’opérateur de Ricci.
Cette dernière remarque nous pousse à détailler le processus de résolution.
Pour k ∈ N, notons hk+2 l’application r → h d’un voisinage de zéro dans
Λs−2
k+2,α (B, S2 ) dans un autre, donnée par le théorème 5. Notons rk+2 l’application
d’un voisinage de zéro dans Λs−2
k+2,α (B, S2 ) dans un voisinage de zéro dans
s−2
Λk,α (B, S2 ) définie par
rk+2 (.) := Ricci(H0 + .) − R0 .
On a alors le
Etude locale de courbures sur Hn (−1)
15
Corollaire 1 Sous les hypothèses du théorème 5, l’application rk+2 est injective au voisinage de zéro. Si de plus k ≥ 1, l’application hk+2 l’est aussi.
Preuve :
La deuxième partie du corollaire est évidente. En effet, on a pour k ≥ 1
∀r ∈ Λs−2
k+2,α (B, S2 ) voisin de zéro, rk+2 ◦ hk+2 (r) = r.
Pour la première partie, montrons que l’on a :
∀h ∈ Λs−2
k+4,α (B, S2 ) voisin de zéro, hk+2 ◦ rk+4 (h) = h.
En effet, pour tout h ∈ Λs−2
k+4,α (B, S2 ) voisin de zéro, rk+4 (h) est voisin de
s−2
zéro dans Λk+2,α (B, S2 ) et vérifie
F (hk+2 ◦ rk+4 (h), rk+4 (h)) = 0,
avec hk+2 ◦ rk+4 (h) voisin de zéro dans Λs−2
k+2,α (B, S2 ). Mais d’autre part, on
a
F (h, rk+4 (h)) = 0,
s−2
avec h voisin de zéro dans Λs−2
k+4,α (B, S2 ) donc dans Λk+2,α (B, S2 ). Ainsi, par
construction de l’application hk+2 , on a
hk+2 ◦ rk+4 (h) = h.
Remarque : Pour k ≥ 1 et s ∈ [0, n[, l’application hk+2 ne peut être
surjective. En effet, soit v ∈ Λsk+2,α (B) voisin de zéro et tel que
v 6∈ Λsk+4,α (B).
Supposons que h = vH0 ∈ Λs−2
k+2,α (B, S2 ), voisine de zéro, soit dans l’image
de hk+2 :
∃r ∈ Λs−2
k+2,α (B, S2 ), F (h, r) = 0.
Comme k ≥ 1, on a nécessairement
rk+2 (h) = r.
En outre (pour la définition de e
h, voir le corollaire 4), on a
hij )rk+2 (h)ij + e
hij R0ij ,
σ := (H0ij + e
voisin de zéro dans Λsk+2,α (B). Pour s ∈ [0, n[, le théorème 1 de [D1] p.
s
349 implique que h est dans Λs−2
k+4,α (B, S2 ) et v dans Λk+4,α (B), ce qui est
absurde.
16
E. DELAY
Notons que les exposants caractéristiques s1 et s2 du théorème 5 (section
3) vérifient
p
1
s1 = (n − 1 − (n − 1)2 − 8n) > 0,
2
p
1
s2 = (n − 1 + (n − 1)2 − 8n) < n − 1.
2
Ils sont donc dans l’intervalle [0, n[ du théorème 1 de [D1] p. 349.
Etude locale de courbures sur Hn (−1)
4
4.1
17
Autres résolutions
Une résolution de l’équation de Ricci avec changement d’infinité conforme.
Au paragraphe 3 nous résolvions l’équation Ricci(H0 + h) = R0 + r pour r
s−2
voisin de zéro donné dans Λs−2
k+2,α (B, S2 ) avec la solution h dans Λk+2,α (B, S2 ).
Pour l’argument de fonction implicite, nous avions besoin de la condition
technique s > 2 (cf. remarque (i) en fin de section 3). Ainsi cette solution h
ne modifiait pas ce qu’il est convenu d’appeler avec [GL] l’infinité conforme
:
lim ρ−2 (H0 + h)
ρ→0
qui est égale à E, la métrique euclidienne, en l’occurence.
Dans ce paragraphe, nous commençons par modifier H0 en une métrique
H1 = H0 + h0 où h0 est donné dans Λ−2
k+4,α (B, S2 ) voisin de zéro. On cherche
ensuite à résoudre l’équation
Ricci(H1 + h) = Ricci(H1 ) + r,
où r est donné dans Λs−2
k+2,α (B, S2 ). Posons R1 =Ricci(H1 ) et mettons l’indice
1 pour toutes les quantités faisant intervenir la métrique H1 , comme nous le
faisions pour H0 . En utilisant une méthode semblable à celle de la section 3
plus un ingrédient, un argument de continuité par rapport au paramètre h0 ,
on peut montrer le (la démonstration complète est dans [D3], section 4.8)
Théorème 6 Si −2n > s(s − (n − 1)) et si h0 est voisin de zéro dans
Λ−2
k+4,α (B, S2 ), alors l’équation
Ricci(H1 + h) + div∗1 (H1 R1−1 Bian(H1 + h, R1 + r)) = (R1 + r),
pour r donné dans Λs−2
k+2,α (B, S2 ) voisin de zéro, possède une solution unique
h voisine de zéro dans Λs−2
k+2,α (B, S2 ). De plus, lorsque k ≥ 1, quitte à réduire
les voisinages de zéro, notre solution vérifie
Ricci(H0 + h0 + h) = Ricci(H0 + h0 ) + r.
4.2
Une résolution de l’équation de Ricci contravariante
Il est possible d’améliorer les conditions s > 2 et n ≥ 10 du théorème 5
(section 3) si l’on prescrit plutôt le tenseur de Ricci contravariant donné en
coordonnées locales par
Ricci(H)ij = H is H jt Ricci(H)st .
18
E. DELAY
Autrement dit, on résoud au voisinage de zéro l’équation
Ricci(H0 + h) = R0 + r,
où
ij
R0 = H0is H0jt R0st = −(n − 1)H0ij
et où r est donné dans S 2 voisin de zéro. Pour cela nous procédons, comme
pour l’opérateur de Ricci. Tout d’abord on introduit l’opérateur de Bianchi
approprié, défini pour toute métrique H et tout tenseur R deux fois contravariant par
Bian(H, R) := Bian(H, HHR),
pq
où (HHR)ij = Hip Hjq R . On montre alors le (la démonstration complète
est dans [D3], section 4.6)
Théorème 7 Si s ≥ 0 et 2n − 4 > s(s − (n − 1)), alors l’équation
F (h, r) = Ricci(H0 +h)+
1
H −1 H −1 div∗0 Bian(H0 +h, R0 +r))−(R0 +r) = 0,
(n − 1) 0 0
2
pour r donné dans Λs+2
k+2,α (B, S ) voisin de zéro, possède une unique solution
h voisine de zéro dans Λs−2
k+2,α (B, S2 ). L’application solution r −→ h est
2
lisse d’un voisinage de zéro dans Λs+2
k+2,α (B, S ) dans un voisinage de zéro
dans Λs−2
k+2,α (B, S2 ). De plus, lorque k ≥ 1, quitte à réduire les voisinages, la
solution vérifie
Ricci(H0 + h) = R0 + r.
Remarque :
La condition 2n − 4 > s(s − (n − 1)) peut s’écrire (n − 1)(s + 2) > s2 + 2 et
2 +2
comme n > 1, il faut s > −2 ; de même en l’écrivant n > ss+2
+ 1 = f (s),
√
on voit qu’il faut au moins n ≥ 2, puisque f est minimale pour s = −2 + 6
et vaut alors environ 1, 8. Comme d’autre part, on a s ≥ 0, il suffit en fait
de supposer n > 2.
Etude locale de courbures sur Hn (−1)
5
19
Une obstruction liée au poids, pour l’équation
de Ricci
Nous travaillons toujours sur l’équation
Ricci(H0 + h) = R0 + r,
avec r donné dans Λs−2
k+2,α (B, S2 ). Mais ici, nous prenons s assez grand (s >
n−1). Nous montrons alors que pour certains r, il ne peut y avoir de solution
appartenant à Λs−2
0 (B, S2 ).
5.1
Remarque sur une équation linéaire
Rappelons que (cf. preuve du lemme 2 dans [D1] p. 366-367) lorsque s est
un entier plus grand que n − 1, la solution de l’équation
40 ϕ = ρs ,
qui s’annule sur ∂B est de la forme ϕ = an−1 ρn−1 + ... + as−1 ρs−1 avec ai > 0
pour i ∈ {n − 1, .., s − 1}. De même que la solution de l’équation
40 ψ = ρs+1
qui s’annule sur ∂B est de la forme ψ = bn−1 ρn−1 + ... + bs ρs avec bi > 0
pour i ∈ {n − 1, .., s}. De plus les ai et les bi vérifient la même relation de
récurrence : en particulier il existe c > 0 tel que ai = cbi . On a alors les trois
relations suivantes (les équivalences sont en ρ = 0)
(1) 40 ϕ = ρs
et ϕ ≈ an−1 ρn−1
s
s+1
s
(2) 40 (ϕ − 2cψ) = ρ − 2cρ
≈ ρ et ϕ − 2cψ ≈ −an−1 ρn−1
(3) 40 (ϕ − cψ) = ρs − cρs+1 ≈ ρs
et ϕ − cψ ≈ −cbs ρs .
Ainsi, par (1) et (2), on remarque qu’une inéquation du type 40 v ≥ ρs , pour
ρ voisin de zéro, ne suffit pas pour préciser le comportement de v quand ρ
tend vers 0. D’autre part, même si l’on a 40 v = ρs +O(ρs+1 ), on ne peut rien
dire, par exemple dans le cas (2) où le terme en O(ρs+1 ) fait tout changer.
On a donc besoin de l’équation sur tout B et de toutes les puissances de ρ,
ce dont nous tenons compte dans ce qui suit.
5.2
Idée pour une obstruction
Rappelons que pour résoudre l’équation de Ricci (cf. paragraphe 3), nous
avons introduit la fonction Q définie pour toute métrique H, de classe C 2
20
E. DELAY
sur B et tout R, 2-tenseur covariant symétrique, de classe C 2 sur B, par :
Q(H, R) = Ricci(H) − R −
1
div∗1 div gravR,
n−1
(où div et grav sont relatif à la métrique H et div∗1 est relatif à une métrique
fixée H1 dans Λ−2
k+2,α (B, S2 ), cf. section 4.1).
Donnons tout d’abord un développement de Q.
−2
Proposition 2 Soient H ∈ Λ−2
k+2,α (B, S2 ) une métrique sur B, R ∈ Λk+2,α (B, S2 )
t−2
et t ∈ [0, ∞[. Soit h ∈ Λt−2
k+2,α (B, S2 ) petit et r ∈ Λk+2,α (B, S2 ). On a
Q(H + h, R + r) = Q(H, R) + DH Q(H, R)h + DR Q(H, R)r + G(h, r),
avec
t−2
DH Q(H, R) ∈ L(Λt−2
k+2,α (B, S2 ), Λk,α (B, S2 )),
t−2
DR Q(H, R) ∈ L(Λt−2
k+2,α (B, S2 ), Λk,α (B, S2 )).
En outre G(h, r) ∈ Λ2t−2
k,α (M, S2 ) vérifie
(2t−2)
k G(h, r) kk,α
(t−2)
(t−2)
(t−2)
≤ C(ĥ, r̂)(1 + ε(k h kk+2,α ))(k r kk+2,α + k h kk+2,α )2 ,
avec ε(ν) qui tend vers 0 quand ν tend vers 0. En particulier l’application
(h, r) −→ G(h, r) est lisse au voisinage de zéro entre les Banach correspondants.
Preuve :
Tout d’abord, d’après le lemme 16 (section 9), on a
Ricci(H + h) = Ricci(H) + r1 + r2 ,
où r1 est linéaire en h. Ensuite, d’après le lemme 17 (section 9), on a
Bian(H + h, R + r) = Bian(H, R) + b1 + b2 ,
où b1 est linéaire en (h, r). Posons
G(h, r) = r2 +
1
div∗ b2 .
n−1 1
On a alors
Q(H + h, R + r) = Q(H, R) + r1 − r +
1
div∗ b1 + G(h, r).
n−1 0
Etude locale de courbures sur Hn (−1)
21
D’après les lemmes 16 et 17 (section 9) et en utilisant le fait que div∗0 est
t−2
linéaire continue de Λt−1
k+1,α (B, T1 ) dans Λk,α (B, S2 ), on a
(2t−2)
(t−2)
(t−2)
(t−2)
k G(h, r) kk+2,α ≤ C(ĥ, r̂)(1 + ε(k h kk+2,α ))(k r kk+2,α + k h kk+2,α )2 .
Comme d’autre part, r1 − r +
1
div∗1 b1
n−1
est linéaire en (h, r) et que
(t−2)
(2t−2)
k G(h, r) kk+2,α ≤ Cte k G(h, r) kk+2,α
lorsque t ≥ 0, alors par définition du linéarisé, on a :
r1 − r +
1
div∗ b1 = DH Q(H, R)h + DR Q(H, R)r.
n−1 1
Remarquons que, puisque par ailleurs un calcul direct fournit
DR Q(H, R)r = −r +
1
div∗ Bian(H, r) ∈ Λt−2
k,α (B, S2 ),
n−1 1
on a finalement
DH Q(H, R)h = r1 +
1
div∗1 [b1 − Bian(H, r)] ∈ Λt−2
k,α (B, S2 ).
n−1
Remarque : Sous les conditions de la proposition précédente, on a
Q(H + h, R + r) − Q(H, R) ∈ Λt−2
k,α (B, S2 ).
Dans le cas particulier où H = H0 + h et R = R0 + r, on remplace
Q(H0 + h, R0 + r) par
F (h, r) = Ricci(H0 + h) − R0 − r −
1
div∗ Bian(H0 + h, R0 + r),
n−1 0
qui est linéaire en r. D’après la proposition 2, cette fonction peut se développer
de la manière suivante.
Proposition 3 Soit t un réel non négatif, pour h et r dans Λt−2
k+2,α (B, S2 ),
on a
F (h, r) = F (0, 0) + Dh F (0, 0)h + Dr F (0, 0)r + G(h, r),
(t−2)
(t−2)
où G(h, r) ∈ Λ2t−2
k,α (B, S2 ) et lorsque k r kk+2,α et k h kk+2,α sont assez petites
(2t−2)
k G(h, r) kk,α
(t−2)
(t−2)
(t−2)
≤ C(ĥ, r̂)(1 + (k h kk+2,α ))(k r kk+2,α + k h kk+2,α )2 ,
avec ε(ν) qui tend vers 0 quand ν tend vers 0.
22
E. DELAY
Rappelons maintenant que le linéarisé de F par rapport à h (à r fixé) est
:
1
Dh F (0, 0)δh = [40 (uH0 ) + (40 − 2n)h0 ],
2
où l’on a décomposé δh = uH0 + h0 à travers le scindage S2 = H + S20 . Nous
avons vu que, par le Théorème des fonctions implicites, pour
p
p
n − 1 − (n − 1)2 − 8n
n − 1 + (n − 1)2 − 8n
t1 =
< t < t2 =
,
2
2
il existe U voisinage de zéro dans Λt−2
k+2,α (B, S2 ) et V voisinage de zéro dans
t−2
Λk+2,α (B, S2 ) ainsi que h : r ∈ U −→ h ∈ V fonction C 1 sur U telle que
F (h, r) = 0 ⇐⇒ h = h(r) au voisinage de zéro. Ainsi, il existe M > 0 telle
que (||.|| désignant la norme d’application linéaire) :
||Dr h|| < M
pour r dans un voisinage de zéro que l’on renote U . Par le Théorème des
accroissements finis, on a donc
(t−2)
(t−2)
k h kk+2,α ≤ M k r kk+2,α .
(∗)
Dans toute la suite de cette section, nous supposerons donc ce fait acquis.
Corollaire 2 Pour n ≥ 11, on a t = n2 ∈]t1 , t2 [. Soit r assez petit dans
t−2
Λt−2
k+2,α (B, S2 ). Notons h = uH0 + h0 ∈ Λk+2,α (B, H ⊕ S20 ) la solution du
théorème 5. Alors, dans tout système euclidien de coordonnées, il existe une
constante C indépendante de r telle que, pour tout i et j dans {1, ..., n},
1
[40 (uH0 )
2
+ (40 − 2n)h0 ]ij ≥ rij +
1
[div∗0 Bian(H0 , r)]ij
n−1
(t−2)
−C[k r kk+2,α ]2 ρn−2 ,
et
1
[40 (uH0 )
2
+ (40 − 2n)h0 ]ij ≤ rij +
1
[div∗0 Bian(H0 , r)]ij
n−1
(t−2)
+C[k r kk+2,α ]2 ρn−2 .
Preuve :
D’après (∗) et la proposition 3 précédente, on a, pour tout i et j dans
{1, ..., n},
(t−2)
(t−2)
|G(h, r)ij | ≤ C[k r kk+2,α ]2 ρ2t−2 = C[k r kk+2,α ]2 ρn−2 .
Etude locale de courbures sur Hn (−1)
23
On va maintenant montrer que r = µρs H0 donne une obstruction pour
l’équation de Ricci, pour µ 6= 0 assez petit et s bien choisi. On s’intéresse
pour cela à la partie conforme (à travers la décomposition S2 = H ⊕ S20 ) des
termes de droite dans les inéquations ci-dessus.
Lemme 5 La partie conforme de ρs H0 +
1
div∗0 Bian(H0 , ρs H0 )
n−1
est
s+1
2
2−n
2−n
[
s(
− 1) + 1] ρs H0 +
s[1 − (s + 1)] ρs+1 H0 .
2(n − 1)
n
2(n − 1)
n
|
{z
}
|
{z
}
A
B
Preuve :
Tout d’abord, pour toute fonction v ∈ C 2 (B), on a
1
n
2−n
∇0m v,
Bian(H0 , vH0 ) = H0st [∇0t (vH0sm − ∇0m (vH0st )] = ∇0m v− ∇0m v =
2
2
2
ainsi
div∗0 Bian(H0 , vH0 )ij =
2−n
2−n
(∇0i ∇0j v + ∇0j ∇0i v) ≡
∇0j ∇0i v.
4
2
D’une part ∇0i ∇0j v = ∂i ∂j v − Γ0 kij ∂k v, avec Γ0 kij = ρ1 (δik xj + δjk xi − δ pk xp δij ),
donc
1
∇0i ∇0j v = ∂i ∂j v − (xj ∂i v + xi ∂j v − δ pk xp ∂k vδij ).
ρ
D’autre part, si v = ρs alors ∂j v = −sρs−1 xj , ainsi
X
−Γ0 kij ∂k v = sρs−2 (2xi xj − (
x2k )δij ).
P
Comme ( x2k ) = 1 − 2ρ et comme ∂i ∂j v = s(s − 1)ρs−2 xi xj − sρs−1 δij , on a
finalement
div∗0 Bian(H0 , ρs H0 )ij =
Or
xi xj =
2 − n s−2
sρ [(s + 1)xi xj + (ρ − 1)δij ].
2
1 − 2ρ
2ρ − 1
δij + xi xj +
δij ,
n
n
| {z } |
{z
}
∈H
∈S20
donc la partie conforme de div∗0 Bian(H0 , ρs H0 ) est
2 − n s−2
1 − 2ρ
sρ [(s + 1)
+ ρ − 1]δij .
2
n
24
E. DELAY
Lemme 6 Si s > n − 1 est un entier, la solution de (A et B ayant étés
définis au lemme précédent)
40 v = Aρs + Bρs+1 ,
qui s’annule sur ∂B est de la forme αn−1 ρn−1 + ... + αs ρs , avec αn−1 > 0 dès
que s > n2 .
Preuve :
Nous savons d’après le lemme 2 de [D1] p.366-367 que la solution est de la
forme αn−1 ρn−1 + .. + αs ρs , mais quel est le signe de αn−1 ? En utilisant la
démonstration du lemme 2 de [D1] avec p = s − (n − 1) et s2 = n − 1, on
obtient que la solution de l’équation
40 ϕ = ρs ,
est
ϕ=ρ
p−1
X
n−1
j=0
avec Bp−1 =
1
2s−n
Bj
ρj ,
j+n−1
et les Bj reliés par la relation de récurrence (où j ≥ 1)
Bj−1 =
j
Bj .
(2j + n − 2)
Notons que cette relation est linéaire par rapport à Bj et que le coefficient
de Bj est positif. De même la solution de
40 ψ = ρs+1
est
ψ=ρ
n−1
p
X
j=0
Cj
ρj
j+n−1
1
et les Cj sont reliés par la même relation de récurrence que
où Cp = 2(s+1)−n
les Bj . En particulier,
Cp−1 =
=
p
C
(2p+n−2) p
(s−n+1)
1
.
(2s−n) 2(s+1)−n
Comme d’une part les Bj et les Cj sont définis par la même relation de
récurrence et que celle-ci est linéaire à coefficients positifs, comme d’autre
part
1
αn−1 =
(AB0 + BC0 ),
n−1
Etude locale de courbures sur Hn (−1)
25
il suffit pour connaître le signe de αn−1 de connaître celui de (ABp−1 +BCp−1 )
qui lui est identique. On calcule donc
ABp−1 + BCp−1
s+1
1
2−n
s(
− 1) + 1]
2(n − 1)
n
2s − n
2−n
2
(s − n + 1)
1
+
s[1 − (s + 1)]
2(n − 1)
n
(2s − n) [2(s + 1) − n]
=[
1
s(2 − n) s + 1
1
+
{(
− 1)
2s − n 2(n − 1)
n
(2s − n)
(s − n + 1)
1
2
}
+[1 − (s + 1)]
n
(2s − n) [2(s + 1) − n]
=
et l’accolade vaut
{...} =
(s + 1 − n) 1
2
1
{ + [1 − (s + 1)] 2
} = 0.
(2s − n) n
n
n[ n (s + 1) − 1]
Donc
ABp−1 + BCp−1 =
qui est positif pour s > n2 .
1
2s − n
On peut donc énoncer le
Théorème 8 Soient n ≥ 11 et s un entier strictement plus grand que n − 1.
Rappelons que t = n2 ∈]t1 , t2 [. Alors pour µ 6= 0 assez petit, la solution
h ∈ Λt−2
k+2,α (B, S2 ) donnée par le théorème 5, telle que
Ricci(H0 + h) = R0 + µρs H0 ,
n’est pas dans Λk−2
pour tout réel k > n − 1.
0
Preuve : Posons h = uH0 + h0 ∈ H ⊕ S20 . Supposons µ > 0 assez
petit et prenons la trace par rapport à H0 de la première inégalité du corollaire 2 précédent (trace prise en coordonnées euclidiennes), remarquons que
40 (uH0 ) = (40 u)H0 et utilisons le lemme 5 ci-avant ; on obtient
1
(t−2)
n40 u ≥ Anµρs + Bnµρs+1 − nC(k µρs H0 kk+2,α )2 ρn ,
2
|
{z
}
nCc2 µ2
26
E. DELAY
(t−2)
où c =k ρs H0 kk+2,α . Sachant que (cf. preuve de la proposition 9 de [D1] p.
379) 40 (ρn−1 ) = n(n − 1)ρn , par le Principe du maximum et par le lemme 6
Cc2 µ n−1
(section 5), on a u ≥ 2µ[Aϕ + Bψ − n(n−1)
ρ ], c’est-à-dire
u≥
2µ
Cc2 µ n−1
{[AB0 + BC0 −
]ρ
+ βn ρn + ... + βs ρs }.
n−1
n
2
Or comme pour µ assez petit on a [AB0 + BC0 − Ccn µ ] > 0, la fonction u ne
peut appartenir à Λk0 lorsque k > n − 1. De même lorsque µ < 0, on travaille
avec la deuxième inégalité du corollaire 2 ci-avant.
Etude locale de courbures sur Hn (−1)
6
27
Equation de Ricci en dimension deux
6.1
Existence et unicité
En dimension n = 2, la courbure de Ricci de la métrique H est donnée par
(cf. [H] par exemple) :
Ricci(H) =
Scal(H)
H.
2
Pour résoudre l’équation
Ricci(H) = R,
(1)
où R est donné dans S2 au voisinage de R0 , nous devons donc chercher H
sous la forme
H = e2f (−R)
(rappelons que R0 = −H0 et donc que si R est assez proche de R0 , −R est
définie positive et peut être considérée comme une métrique sur B). Or la
courbure scalaire d’une telle métrique conforme est donnée par
Scal(H) = e−2f [4−R (2f ) + Scal(−R)],
donc sa courbure de Ricci, par
1
Scal(−R)
Ricci(H) = Scal(H)e2f (−R) = [4−R (f ) +
](−R).
2
2
Ainsi, résoudre l’équation (1) équivaut à résoudre
[4−R (f ) +
Scal(−R)
] = −1.
2
(2)
Théorème 9 Si 0 < s < 1 alors l’équation
Ricci(H0 + h) = R0 + r,
pour r donné dans Λs−2
k+2,α (B, S2 ) voisin de zéro, possède une unique solution
h voisine de zéro dans Λs−2
k+2,α (B, S2 ). De plus l’application solution r → h
est lisse au voisinage de zéro entre les Banach correspondants.
Preuve :
Remarquons tout d’abord que lorsque R = R0 + r = −H0 + r, avec r ∈
ij
] où (−r)
] ∈ Λs+2 (B, S 2 ) joue
Λs−2 (B, S 2 ), alors [(−R)−1 ]ij = H ij + (−r)
k+2,α
0
k+2,α
28
E. DELAY
ici le rôle de la perturbation e
h introduite dans le corollaire 4 (section 9) ;
l’application
s+2
2
]
r ∈ Λs−2
k+2,α (B, S2 ) −→ (−r) ∈ Λk+2,α (B, S )
est en particulier lisse. Il vient par conséquent
] ij Ricci(H0 − r)ij
Scal(−R) = Scal(H0 − r) = (H0 + (−r))
ce qui permet de définir une application lisse (cf. corollaire 8 section 9 ciaprès)
s
r ∈ Λs−2
k+2,α (B, S2 ) −→ σ = σ(r) ∈ Λk,α (B)
par
] ij Ricci(H0 − r)ij .
Scal(H0 ) + σ = −2 + σ = (H0 + (−r))
L’équation (2) est finalement équivalente à la suivante :
4−R f = −
σ(r)
.
2
(3)
D’après le théorème d’isomorphisme de [GL] p. 217, si
0 > s(s − 1),
alors 40 est un isomorphisme de Λsk+2,α (B) dans Λsk,α (B). D’autre part,
d’après le lemme 11 (section 9), on sait que 4H0 +h tend vers 40 dans
s−2
s−2
L(Λs−2
k+2,α (B), Λk,α (B)) lorsque h tend vers 0 dans Λk+2,α (B, S2 ). Ainsi d’après
le lemme 19 de l’appendice, pour r voisin de zéro dans Λsk+2,α (B), 4−R
reste un isomorphisme. Il existe donc une unique solution f ∈ Λsk+2,α (B) de
l’équation (3). Bien entendu, comme H0 + h = e2f (−R) = e2f (H0 − r), alors
h = (e2f − 1)H0 − e2f r
−2
f
s
est dans Λs−2
k+2,α (B, S2 ) car H0 ∈ Λk+2,α (B, S2 ), (e − 1) ∈ Λk+2,α (B) d’après
2f
0
le lemme 3 de [D1] p.368, e est dans Λk+2,α (B) et r dans Λs−2
k+2,α (B, S2 )
6.2
Un problème de Dirichlet
Nous avons vu au paragraphe précédent qu’il y a existence et unicité d’une
métrique H = H0 + h (avec h ∈ Λs−2
k+2,α (B, S2 )) voisine de H0 pour r ∈
s−2
Λk+2,α (B, S2 ) donné assez petit avec 0 < s < 1. Nous allons examiner ici ce
qui se passe lorsque
r = λR0 avec λ ∈ R
Etude locale de courbures sur Hn (−1)
29
cas dans lequel on atteint le poids-limite s = 0.
On considère donc l’équation
Ricci(H0 + h) = (1 + λ)R0 ,
où λ est un réel donné quelconque. Rappelons que pour tout réel positif C,
Ricci(CH0 ) = R0
ce qui exclut la piste naïve d’une solution h du même type que la donnée
r. On a vu précédemment que H = H0 + h est forcément conforme à R =
(1 + λ)R0 donc à H0 , et que si l’on pose H =e2f H0 , l’équation précédente
équivaut à
40 f = −λ.
(4)
Proposition 4 Les solutions de l’équation
Ricci(H) = (1 + λ)R0 ,
où λ est un réel donné quelconque, sont toutes les métriques de la forme
H = e2g ρ−2λ H0 ,
où g est une fonction harmonique sur B.
Preuve :
En dimension deux, dans le système de coordonnées euclidien, le Laplacien
hyperbolique est donné par :
40 f = −ρ2 (∂12 f + ∂22 f ).
Ainsi nous devons résoudre l’équation
∂12 f + ∂22 f =
4λ
λ
=
.
2
ρ
(1 − x21 − x22 )2
Une solution particulière est
1
f (x1 , x2 ) = −λ ln[ (1 − x21 − x22 )] = −λ ln(ρ),
2
et si fe est une autre solution, alors g = fe − f est harmonique. Finalement,
les solutions sont de la forme
H = e−2λ ln(ρ)+2g H0 = e2g ρ−2λ H0 .
30
E. DELAY
La proposition 4 nous donne une infinité de solutions pour l’équation
Ricci(H) = (1 + λ)R0 ,
toutes de la forme H =e2g ρ−2λ H0 =e2g ρ−2λ−2 E, où g est harmonique sur B.
Or d’après [An], le problème de Dirichlet asymptotique
40 g = 0 sur B
g
= f sur ∂B
pour f donnée dans C 0 (∂B), possède une unique solution g dans C ∞ (B) ∩
C 0 (B). Ainsi on obtient directement le
Théorème 10 Soit λ ∈ R quelconque. Pour toute fonction f continue sur
∂B donnée, le problème de Dirichlet
Ricci(H)
= (1 + λ)R0 sur B
2λ+2
limρ→0 ρ
H = e2f E
sur ∂B
possède une solution unique H dans C ∞ (B, S2 ), avec ρ2λ+2 H ∈ C 0 (B, S2 ).
6.3
Un résultat d’obstruction
Nous déduisons en outre de la proposition 4 le résultat d’obstruction suivant
:
2
Corollaire 3 Si λ 6= 0, il n’y a pas de solution h dans Λ−2
0 ∩ Cloc (B, S2 ) de
l’équation
Ricci(H0 + h) = (1 + λ)R0 .
Preuve :
On a vu précédemment que toute solution est nécessairement conforme :
H = e2u H0 . Si donc H = H0 + h, on a l’équivalence
2
0
2
h ∈ Λ−2
0 ∩ Cloc (B, S2 ) ⇐⇒ u ∈ Λ0 ∩ Cloc (B),
ceci d’après le lemme 3 de [D1] p. 368. Or pour H = e2u H0 solution, avec
2
u ∈ Λ00 ∩ Cloc
(B), la proposition 4 montre que
ϕ = λ ln(ρ) + u
est harmonique. D’après [GT p. 14], on a alors
Z
Z
1
1
1
1
2
ϕ(0) =
ϕds =
λ2πR ln[ (1 − R )] +
uds.
2πR ∂BR
2πR
2
2πR ∂BR
Etude locale de courbures sur Hn (−1)
31
Comme u ∈ Λ00 (B), d’une part
1
ϕ(0) = λ ln( ) + u(0)
2
est fini ; d’autre part il existe M > 0 telle que |u| ≤ M , ce qui nous donne
1
1
1
|ϕ(0)| ≥ |λ ln[ (1 − R2 )]| −
2πRM = |λ ln[ (1 − R2 )]| − M.
2
2πR
2
Ainsi |ϕ(0)| tend vers l’infini quand R tend vers 1, ce qui est impossible.
32
7
E. DELAY
Une résolution de l’équation d’Einstein
Dans cette section, on veut prescrire le tenseur d’Einstein sur tout B au
voisinage de la métrique hyperbolique H0 . Autrement dit, pour e voisin de
zéro dans S2 , on cherche h voisin de zéro dans S2 tel que
1
Ein(H0 + h) := Ricci(H0 + h) − Scal(H0 + h)(H0 + h) = E0 + e,
2
où E0 = Ein(H0 ) = 12 (n − 1)(n − 2)H0 .
Remarquons tout d’abord que Ein(H) = grav[Ricci(H)], où on rappelle
que pour tout g ∈ S2 ,
1
(grav g)ij = gij − Trace(g)Hij .
2
Comme T race[grav(g)] =
2−n
T race(g),
2
grav−1 (G) = G +
on a, pour tout G ∈ S2 ,
1
[Trace(G)]H.
2−n
On va donc résoudre l’équation équivalente
Ricci(H) = grav−1 (E).
Nous allons procéder par une méthode semblable à celle de la résolution de
l’équation de Ricci (cf. section 3).
Remarquons que si Ricci(H) = grav −1 (E), alors Bian[H, grav −1 (E)] = 0
d’où (comme Bian(H, .) = −div grav)
div E = 0.
Rappelons que la différentielle de l’opérateur Ricci est donnée par (cf. section
3) :
DRicci(H)δh :=
d
1
Ricci(H + tδh)|t=0 = 4L δh − div∗ div gravδh.
dt
2
Par ailleurs, la différentielle par rapport à H de l’opérateur grav −1 est
[DH (grav−1 E)(H)δh]ij =
1
[(−H ps H qt δhpq Est )Hij + H st Est δhij ].
2−n
D’autre part, comme par définition
(div E)i = −H jk ∇k Eij = −H jk (∂k Eij − Γpki Epj − Γpkj Epi ),
Etude locale de courbures sur Hn (−1)
33
alors la différentielle de divE par rapport à H est (cf. lemme 18 de l’appendice)
[DH (div E)(H)δh]i = H st H tk δhst ∇k Eij
+ 12 H jk (∇k δhpi + ∇i δhpk − ∇p δhki )Epj
+ 12 H jk (∇k δhpj + ∇j δhpk − ∇p δhkj )Epi
Cette dernière prise en E = λH, où λ est un réel, donne
DH (div E)(H)δh = −λdiv δh.
Remarquons d’autre part que pour g ∈ S2 ,
1
( div grav g)i = (div g)i + ∇i [Trace(g)].
2
Considérons donc (avec désormais H = H0 + h et E = E0 + e),
a(h, e) = A(H, R) = Ricci(H) − grav−1 (E) −
2
div∗ div E.
(n − 1)(n − 2) 0
Alors
Dh a(0, 0)δh =
1
4 δh
2 L
− div∗0 div0 grav0 δh
+ n−1
[−Trace0 (δh)H0 + nδh] + div∗0 div0 δh
2
=
1
4 δh
2 L
− 12 ∇∇[Trace0 (δh)]
+ n−1
{nδh − [Trace0 (δh)]H0 }.
2
Décomposons δh = uH0 + h0 ∈ H0 ⊕ S20 , alors (cf. section 3)
Dh a(0, 0)δh =
=
1
[40 uH0
2
+ (40 − 2n)h0 ] +
1
{240 uH0 + [40
2 | {z
} |
∈H0
n−1
nh0
2
− n2 ∇∇u
+ n(n − 3)]h0 − n∇∇u − 40 uH0 }.
{z
}
∈S20
Ainsi, d’après le théorème d’isomorphisme de [GL] p. 217 on obtient directement le
Lemme 7 Si n ≥ 3 et si s ∈]0, n − 1[ alors Dh a(0, 0) est un isomorphisme
s−2
de Λs−2
k+2,α (B, S2 ) dans Λk,α (B, S2 ).
34
E. DELAY
Remarque : l’opérateur Dh a(0, 0) est elliptique car son symbole est l’isomorphisme
de S2 dans S2 donné par
1
σ(ξ)hij = − (H0st ξs ξt hij + ξi ξj H0st hst ).
2
En remarquant maintenant que si l’on pose
R0 + r = R := grav−1 E = grav−1 (E0 + e),
s−2
on définit une application e 7→ r lisse de Λs−2
k+2,α (B, S2 ) dans Λk+2,α (B, S2 ),
alors d’après la démonstration du lemme 4 de la section 3, on obtient le fait
s−2
s−2
que a est lisse de Λs−2
k+2,α (B, S2 ) × Λk+2,α (B, S2 ) dans Λk,α (B, S2 ) au voisinage
de zéro.
Théorème 11 Si n ≥ 3 et si s ∈]0, n − 1[, alors l’équation
a(h, e) = 0
pour e donné dans Λs−2
k+2,α (B, S2 ) voisin de zéro, possède une unique solution
h voisine de zéro dans Λs−2
k+2,α (B, S2 ) et l’application ainsi définie e −→ h
est lisse d’un voisinage de zéro dans Λs−2
k+2,α (B, S2 ) dans un voisinage de zéro
s−2
dans Λk+2,α (B, S2 ). De plus, lorsque k ≥ 1, quitte à réduire les voisinages
de zéro, la solution vérifie
Ein(H0 + h) = E0 + e.
Preuve :
D’après le lemme 7, ce qui précède, et le Théorème des fonctions implicites, la
première partie du théorème est évidente. Il nous reste à montrer que pour ”e
petit”, notre solution vérifie Ein(H0 + h) = E0 + e (c’est-à-dire Ein(H) = E) .
Nous montrerons pour cela que divE = 0, la méthode consistant à appliquer
brutalement l’opérateur Bian(H, .) à l’équation A(H, R) = 0. Nous obtenons
d’abord
2
Bian(H, div∗0 divE) = 0.
div E −
(n − 1)(n − 2)
Posons ensuite ω = divE ; ω ∈ Λs−1
k+1,α (B, T1 ) vérifie l’équation :
(n − 1)(n − 2)
ω = 0.
2
s−1
Considérons l’application linéaire L de Λs−1
k+1,α (B, T1 ) dans Λk−1,α (B, T1 ) définie
par
Bian(H, div∗0 ω) −
(n − 1)(n − 2)
1
ω = − [40 + (n − 1)2 ]ω.
2
2
Par la même méthode que pour la fin de preuve du théorème 5 de la section
3, on conclut que pour e assez petit, ω = 0.
Lω = Bian(H0 , div∗0 ω) −
Etude locale de courbures sur Hn (−1)
8
35
Image de l’opérateur de Riemann-Christoffel
Dans la section 3, nous n’obtenons pas un résultat aussi complet que l’on
pourrait espérer à cause d’une perte de régularité. Dans cette section, nous
nous plaçons dans le cadre C ∞ pour éviter ce phénomène.
Pour s ∈ R, nous dirons qu’une fonction u ∈ C ∞ (B) est dans Λs∞ (B) si
elle est dans Λsk,α (B), pour tout k ∈ N ( α étant fixé dans ]0, 1[). On munit
(s)
l’espace Λs∞ (B) de la famille de normes {k . kk,α }k∈N . L’espace Λs∞ (B) est
un espace de Fréchet. Remarquons que d’après la proposition 3.3 de [GL]
p. 208, u tend vers v dans Λs∞ (B) si et seulement si il existe k0 ≥ 0 tel que
(s)
∀k ≥ k0 , k u − v kk,α tend vers 0. Comme pour les Λsk,α (B), on étend cette
définition aux tenseurs.
Rappelons maintenant que pour s vérifiant −2n > s(s − (n − 1)), on a
défini au paragraphe 3 les applications lisses au voisinage de zéro
s−2
rk+2 (.) ≡ Ricci(H0 + .) − R0 : Λs−2
k+2,α (B, S2 ) −→ Λk,α (B, S2 )
et
s−2
hk+2 (.) : Λs−2
k+2,α (B, S2 ) −→ Λk+2,α (B, S2 ),
l’unique solution de
s−2
r ∈ Λs−2
k+2,α (B, S2 ) −→ F (hk+2 (r), r) ≡ 0 dans Λk,α (B, S2 ).
On a vu que
s−2
hk+2 ◦ rk+4 : Λs−2
k+4,α (B, S2 ) ,→ Λk+2,α (B, S2 )
est l’injection canonique, et que, lorsque k ≥ 1,
s−2
rk+2 ◦ hk+2 : Λs−2
k+2,α (B, S2 ) ,→ Λk,α (B, S2 )
est l’injection canonique. Considérons les applications correspondantes
s−2
r(.) ≡ Ricci(H0 + .) − R0 : Λs−2
∞ (B, S2 ) −→ Λ∞ (B, S2 )
et
s−2
h(.) : Λs−2
∞ (B, S2 ) −→ Λ∞ (B, S2 ).
Alors d’après ce qui précède, les applications r et h sont lisses au voisinage
de zéro et vérifient
h ◦ r = r ◦ h = IdΛs−2
,
(∗)
∞ (B,S2 )
au voisinage de zéro. On alors directement le
36
E. DELAY
Théorème 12 Soit s un réel vérifiant −2n > s(s − (n − 1)). Alors, pour
s−2
tout r voisin de zéro dans Λ∞
(B, S2 ), l’équation
Ricci(H0 + h) = R0 + r,
s−2
possède une unique solution h ∈ Λ∞
(B, S2 ) voisine de zéro. De plus l’application
r −→ h est lisse au voisinage de zéro entre les Fréchet correspondants.
Considérons R13 , le sous-espace de T31 des tenseurs vérifiants
i
i
i
i
i
i
= 0.
, τklm
+ τmkl
+ τlmk
= −τkml
τilm
= 0, τklm
On définit l’application
s−2
1
ρ(.) ≡ Riem(H0 + .) − R0 : Λs−2
∞ (B, S2 ) −→ Λ∞ (B, R3 ).
Il est clair que ρ(.) est lisse au voisinage de zéro.
Enfin, on définit l’application linéaire
1
s−2
T r : Λs−2
∞ (B, R3 ) −→ Λ∞ (B, S2 )
i
i
qui à τklm
associe τkim
. On a alors le
Théorème 13 Soit s un réel vérifiant −2n > s(s − (n − 1)). On a
1
Λs−2
∞ (B, R3 ) = ImDρ(0) ⊕ KerT r.
Preuve
On a T r ◦ ρ ≡ r, donc T r ◦ Dρ(0) = Dr(0). Par ailleurs d’après (∗), on a
Dh(0) ◦ Dr(0) ≡ Dr(0) ◦ Dh(0) ≡ IdΛs−2
.
∞ (B,S2 )
Le diagramme suivant est donc commutatif
Dρ(0)
Tr
s−2
1
s−2
Λs−2
∞ (B, S2 ) −→ Λ∞ (B, R3 ) −→ Λ∞ (B, S2 )
|
↑
− − − − − − − − − − − − − − − − −−
(D).
Dr(0)
↑
|
− − − − − − − − − − − − − − − − −−
Dh(0)
1
Ainsi, pour tout τ dans Λs−2
∞ (B, R3 ), on a
τ = [Dρ(0) ◦ Dh(0) ◦ T r](τ ) + τ − [Dρ(0) ◦ Dh(0) ◦ T r](τ ) .
{z
} |
{z
}
|
∈ImDρ(0)
∈KerT r
Etude locale de courbures sur Hn (−1)
37
Si maintenant τ = Dρ(0)δh ∈ ImDρ(0) est dans kerT r, alors Dr(0)δh =
T r[Dρ(0)δh] = 0, donc δh = Dh(0)(0) = 0, puis τ = 0.
Remarque.
Le scindage du théorème 13 ne se déduit pas du scindage classique des
tenseurs de type courbure sectionnelle (cf. [Be] p. 45-48) ; nous discutons ce
point dans ([D3], section 4.5.6).
Théorème 14 Soit s un réel vérifiant −2n > s(s − (n − 1)). Alors Imρ est
1
une sous-variété de Λs−2
∞ (B, R3 ), graphe de l’application de ImDρ(0) dans
KerT r donnée par
Ψ −→ (ρ ◦ h ◦ T r)(Ψ) − Ψ.
Preuve
Nous allons montrer qu’il y a un changement de coordonnées au voisinage
1
de zéro dans Λs−2
∞ (B, R3 ) qui redresse Imρ en ImDρ(0). Pour fixer les
idées, remarquons qu’en plus du diagramme (D), nous avons le diagramme
commutatif suivant (au voisinage de zéro) :
ρ
Tr
s−2
1
s−2
Λs−2
∞ (B, S2 ) −→ Λ∞ (B, R3 ) −→ Λ∞ (B, S2 )
|
↑
− − − − − − − − − − − − − − − − −−
.
r
↑
|
− − − − − − − − − − − − − − − − −−
h
1
Ainsi, tout τ voisin de zéro dans Λs−2
∞ (B, R3 ) peut se décomposer de deux
façons
τ = [Dρ(0) ◦ Dh(0) ◦ T r](τ ) + τ − [Dρ(0) ◦ Dh(0) ◦ T r](τ )
|
{z
} |
{z
}
∈KerT r
∈ImDρ(0)
et
τ = (ρ ◦ h ◦ T r)(τ ) + τ − (ρ ◦ h ◦ T r)(τ ) .
|
{z
} |
{z
}
∈Imρ
Considérons l’application Φ de
nage de zéro définie par
∈KerT r
1
Λs−2
∞ (B, R3 )
1
dans Λs−2
∞ (B, R3 ) lisse au voisi-
Φ(τ ) = τ 0 = [Dρ(0) ◦ Dh(0) ◦ T r](τ ) + τ − (ρ ◦ h ◦ T r)(τ )
(notons que T r(τ 0 ) = T r(τ )). Alors Φ est inversible, d’inverse lisse :
Φ−1 (τ 0 ) = τ = τ 0 − [Dρ(0) ◦ Dh(0) ◦ T r](τ 0 ) + (ρ ◦ h ◦ T r)(τ 0 ).
38
Par ailleurs Φ(Imρ) = ImDρ(0) au voisinage de zéro.
E. DELAY
Remarque :
On peut remplacer R13 dans tout ce qui précède par n’importe quel sousp
p
espace de S31 = {R ∈ T31 , Ripj
= Rjpi
}, comprenant les tenseurs de type
Riemann.
Etude locale de courbures sur Hn (−1)
9
39
Appendice
Dans cette section, H0 désigne, plus généralement que la métrique hyperbolique, une métrique quelconque dans Λ−2
p,α (B, S2 ) (p correspondant à la
régularité de h, cf. infra) et R0 , plus généralement que le tenseur de Ricci de
la métrique hyperbolique, un tenseur quelconque de Λ−2
p,α (B, S2 ).
Enonçons tout d’abord une condition qui reviendra tout au long de ce
paragraphe. Rappelons que d’après la proposition 3.3 de [GL] p. 208, pour
tout s ∈ [0, ∞[, tout l ∈ N et tout α ∈]0, 1[, il existe deux constantes C 0 et
−1 i
ik
C 00 telles que pour tout h ∈ Λs−2
l,α (B, S2 ), on a (en notant (H0 h)j = H0 hkj ):
(0)
(s)
(2)
(s−2)
k H0−1 h kl,α ≤ Cte k H0−1 h kl,α ≤ C 0 k H0−1 kl,α k h kl,α
.
Et pour tout u et v dans Λ0l,α (B, T11 ),
(0)
(0)
(0)
k uv kl,α ≤ C 00 k u kl,α k v kl,α .
2
Définition 1 Soient s ∈ [0, ∞[, l ∈ N et α ∈ [0, 1[. Soit h dans Λs−2
l,α (B, S ).
Nous dirons que h vérifie la condition (Bl,α;s ) si h vérifie
(s−2)
(2)
k h kl,α < C −1 (k H0−1 kl,α )−1 ,
où C = C 0 C 00 (C 0 et C 00 ayant été définies ci-avant).
Cette condition a été créée pour avoir la
Proposition 5 Soient s ∈ [0, ∞[, l ∈ N et α ∈]0, 1[. Soit h dans Λs−2
l,α (B, S2 )
; supposons que h vérifie le condition (Bl,α;s ). Alors, on a
(0)
k H0−1 h kl,α < (C 00 )−1 .
où C 00 a été définie ci-avant.
9.1
Inverse d’une métrique voisine de la métrique H0 .
Lemme 8 Soient s ∈ [0, ∞[, l ∈ N, α ∈]0, 1[. Soit h ∈ Λs−2
l,α (B, S2 ) ;
supposons que h vérifie la condition (Bl,α;s ). Alors H = H0 +h est inversible.
2s+2
On peut définir h1 ∈ Λs+2
l,α (B, S2 ) linéaire en h et h2 ∈ Λl,α (B, S2 ) tels que
H −1 = H0−1 + h1 + h2 ,
(s+2)
(s−2)
k h1 kl,α ≤ C(ĥ) k h kl,α ,
et
(2s+2)
k h2 kl,α
(s−2)
(s−2)
≤ C(ĥ)(1 + (k h kl,α ))(k h kl,α )2 ,
avec limµ→0 (µ) = 0. En particulier les applications h −→ h1 et h −→ h2
sont lisses en zéro entre les Banach correspondants.
40
E. DELAY
Preuve :
Regardons H −1 formellement : remarquons que
Hij = H0ij + hij = H0ij (δjk + hkj ),
où l’on a posé hij = H0ik hkj . Ainsi on a (en notant H ij l’inverse de Hij ):
#
"
∞
X
j
(−1)q+1 hαk 1 hαα21 ...hjαq
H ij = H0ik δk +
q=0
Spj
z"
}|
∞
X
#{
= H0ij −H0ik hjk + H0ik hαk hpα δpj − hjp +
(−1)q+1 hαp 1 hαα21 ...hjαq .
| {z }
q=1
h1 ij
|
{z
}
h2 ij
D’après la proposition 3.3 de [GL] p. 208, on a :
(s+2)
(2)
(s−2)
(s−2)
k h1 kl,α ≤ Cte(k H0−1 kl,α )2 k h kl,α = C(ĥ) k h kl,α
.
Regardons maintenant h2 . D’après l’inégalité triangulaire et le rappel en
début d’appendice, on a :
kS
(0)
kl,α ≤
1+
∞
X
(0)
00 j−1
(C )
(k
H0−1 h
(0)
kl,α )j
=1+
j=1
k H0−1 h kl,α
(0)
1 − C 00 k H0−1 h kl,α
.
(0)
Ainsi la série S converge dès que k H0−1 h kl,α < (C 00 )−1 , ce qui est vérifié
d’après la condition (Bl,s;α ) et la proposition 5. Maintenant que h2 est bien
défini, nous allons estimer sa norme. Rappelons que l’on a
(0)
(2)
(s−2)
k H0−1 h kl,α ≤ C 0 k H0−1 kl,α k h kl,α
.
Ainsi, d’après la proposition 3.3 de [GL] p. 208, on a
(2s+2)
k h2 kl,α
(2)
(2)
(s−2)
(2)
(s−2)
(0)
≤ Cte k H0−1 kl,α k H0−1 kl,α k h kl,α k H0−1 kl,α k h kl,α k S kl,α .
Finalement,
(2)
"
k
(2s+2)
h2 kl,α
≤ Cte(k
(2)
H0−1 kl,α )3 (k
"
= Cte 1 +
h
(s−2)
kl,α )2
(2)
1+
1−C k
(2)
kl,α k
(s−2)
h
(2)
(s−2)
1 − C k H0−1 kl,α k h kl,α
C 0 k H0−1 kl,α k h kl,α
H0−1
(s−2)
C 0 k H0−1 kl,α k h kl,α
(s−2)
kl,α
#
(s−2)
(k h kl,α )2 .
#
Etude locale de courbures sur Hn (−1)
41
(2)
Pour conclure, il suffit de poser (µ) =
C 0 k H0−1 kl,α µ
(2)
1 − C k H0−1 kl,α µ
.
De ce lemme découle directement le
Corollaire 4 Sous les hypothèses du lemme précédent, on a H −1 = H0−1 + e
h,
s+2
2
e
avec h ∈ Λl,α (B, S ) et
(s+2)
(s−2)
(s−2)
ke
h kl,α ≤ C(ĥ)(1 + (k h kl,α )) k h kl,α ,
avec limµ→0 (µ) = 0.
9.2
Symboles de Christoffel d’une métrique voisine de
la métrique H0
Nous travaillons ici dans un système de coordonnées fixé. Nous noterons Γ0 kij
les symboles de Christoffel relatifs à H0 et Γkij ceux d’une métrique voisine
H = H0 + h.
Lemme 9 Soient s ∈ [0, ∞[, k ∈ N, α ∈]0, 1[. Soit h dans Λs−2
k+1,α (B, S2 ) ;
supposons que h vérifie la condition (Bk+1,α;s ). Alors on peut définir Γ1 ∈
2s−1
1
1
Λs−1
k,α (B, T2 ) linéaire en h et Γ2 ∈ Λk,α (B, T2 ) tels que
Γkij = Γ0 kij + Γ1 kij + Γ2 kij ,
(s−1)
(s−2)
k Γ1 kk,α ≤ C(ĥ) k h kk+1,α ,
et
(2s−1)
k Γ2 kk,α
(s−2)
(s−2)
≤ C(ĥ)(1 + (k h kk+1,α ))(k h kk+1,α )2 .
En particulier les applications h −→ Γ1 et h −→ Γ2 sont lisses en zéro entre
les Banach correspondants.
Preuve :
On a
2Γkij = H ks (∂i Hsj + ∂j His − ∂s Hij )
= H ks (∇0i Hsj + Γ0 pis Hpj +Γ0 pij Hsp
| {z }
+∇0j His + Γ0 pji Hps + Γ0 pjs Hip
−∇0s Hij − Γ0 psi Hpj −Γ0 psj Hip .
| {z }
42
E. DELAY
Ainsi, comme les termes soulignés se compensent, on a (pour la définition de
e
h, voir le corollaire 4 ci-avant)
2(Γkij − Γ0 kij ) = H ks (∇0i Hsj + ∇0j His − ∇0s Hij )
= (H0ks + e
hks )(∇0i hsj + ∇0j his − ∇0s hij )
= 2(Γ1 kij + Γ2 kij ),
où l’on a posé
1
Γ1 kij = H0ks (∇0i hsj + ∇0j his − ∇0s hij )
2
et
1 ks
Γ2 kij = e
h (∇0i hsj + ∇0j his − ∇0s hij ).
2
Pour simplifier l’écriture, omettons les constantes de majoration (de la
proposition 3.3 de [GL] p. 208) dans ce qui suit. D’une part, on a :
(s+1)
k Γ1 kk,α
(2)
(s−3)
≤ k H0−1 kk,α k ∇0 h kk,α
(s−3)
≤ k ∂h kk,α
(−1)
(s−2)
+ k Γ0 kk,α k h kk,α
(s−2)
≤ k h kk+1,α ,
les inégalités étant vérifiées d’après la proposition 3.3 de [GL] p. 208. D’autre
part, on a :
(2s−1)
k Γ2 kk,α
(s+2)
(s−3)
≤ ke
h kk,α k ∇0 h kk,α
(s+2)
(s−2)
≤ ke
h kk+1,α k h kk+1,α
(s−2)
(s−2)
≤ (1 + (k h kk+1,α ))(k h kk+1,α )2 ,
la dernière inégalité étant vérifiée d’après le corollaire 4 (et la proposition 3.3
de [GL] p. 208).
De ce lemme découle directement le
Corollaire 5 Sous les hypothèses du lemme précédent, on a
ekij ,
Γkij = Γ0 kij + Γ
Etude locale de courbures sur Hn (−1)
43
e ∈ Λs−1 (B, T 1 ). De plus
avec Γ
2
k,α
e k(s−1) ≤ C(ĥ)(1 + (k h k(s−2) )) k h k(s−2) .
kΓ
k,α
k+1,α
k+1,α
e est lisse en zéro entre les Banach corEn particulier l’application h −→ Γ
respondants.
9.3
Dérivation covariante associée à une métrique voisine de la métrique H0
Lemme 10 Soient k ∈ N, α ∈]0, 1[ et p ∈ N. Soit h ∈ Λs−2
k+1,α (B, S2 ) ;
supposons que h vérifie la condition (Bk+1,α;s ). Si l’on note ∇, la dérivation
covariante relative à H = H0 + h. Alors, on a
e
∇ = ∇0 + ∇,
e ∈ L(Λs−p (B, Tp ), Λs−p−1 (B, Tp+1 )). De plus, on a :
avec ∇
k+1,α
k,α
(−2)
(−2)
e k≤ C(ĥ)(1 + (k h k
k∇
k+1,α )) k h kk+1,α ,
où k k est la norme d’application linéaire continue. En particulier l’application
e est continue en zéro entre les Banach correspondants.
h −→ ∇
Preuve :
Rappelons que la dérivation covariante d’un tenseur covariant τ ∈ Tp est
définie en coordonnées locales par :
∇i τj1 ...jp = ∂i τj1 ...jp − Γqij1 τqj2 ...jp − ... − Γqijp τj1 ...jp−1 q .
ek , ainsi
D’après le corollaire 5, on a Γkij = Γ0 kij + Γ
ij
eq τqj2 ...jp − ... − Γ
eq τj1 ...jp−1 q .
∇i τj1 ...jp = ∇0i τj1 ...jp − Γ
ij1
ijp
Finalement,
(s−p−1)
e k
k ∇τ
k,α
(−1)
(s−p)
ek kτ k
≤ Cte k Γ
k,α
k+1,α .
Ou encore
(−1)
e k≤ Cte k Γ
ek
k∇
k,α .
Le corollaire 5 permet de conclure.
44
9.4
E. DELAY
Laplacien brut d’une métrique voisine de la métrique
H0
Lemme 11 Soient k ∈ N, α ∈ [0, 1[ et p ∈ N. Soit h ∈ Λ−2
k+2,α (B, S2 ) ;
supposons que h vérifie la condition (Bl,α;0 ) (pour l = k + 2 et l = k + 1). Si
l’on note 4, le Laplacien brut relatif à H = H0 + h. Alors, on a
e
4 = 40 + 4,
e ∈ L(Λs−p (B, Tp ), Λs−p (B, Tp )). De plus, on a :
avec 4
k+2,α
k,α
(−2)
(−2)
e k≤ C(ĥ)(1 + (k h k
k4
k+1,α )) k h kk+1,α ,
où k k est la norme d’application linéaire continue. En particulier l’application
e est continue en zéro entre les Banach correspondants.
h −→ 4
Preuve :
Rappelons que dans un système de coordonnées locales, si τ ∈ Tp , on a
−(4τ )j1 ...jp = H ij ∇i ∇j τj1 ...jp .
p
Considérons τ ∈ Λs−p
k+2,α (B, T ), d’après le corollaire 4 et le lemme 10, on a
−(4τ )j1 ...jp =
=
e i )(∇0j + ∇
e j )τj1 ...jp
(H0ij + e
hij )(∇0i + ∇
H0ij ∇0i ∇0j τj1 ...jp + e
hij ∇0i ∇0j τj1 ...jp
e i ∇0j τj1 ...jp + H0ij ∇0i ∇
e j τj1 ...jp
+H0ij ∇
e j τj1 ...jp
e i ∇0j τj1 ...jp + e
hij ∇0i ∇
+e
hij ∇
e i∇
e j τj1 ...jp + e
e i∇
e j τj1 ...jp
+H0ij ∇
hij ∇
e )j ...jp .
=: −(40 τ )j1 ...jp − (4τ
1
Remarquons tout d’abord que pour l ∈ {k, k + 1}, ∇0 est une application
s−p
linéaire continue de Λs−p
l+1,α (B, Tp ) dans Λl,α (B, Tp+1 ), nous noterons k . k sa
e (cf. lemme
norme lorsque l = k et |.|, lorsque l = k + 1 ; de même pour ∇
10). Comme toujours, dans les majorations qui vont suivre, les constantes
Etude locale de courbures sur Hn (−1)
45
ne seront pas indiquées. On a
(2)
(s−p−2)
(2)
e k(s−p) ≤ k e
e 0 τ k(s−p−2)
k 4τ
h kk,α k ∇0 ∇0 τ kk,α
+ k H0−1 kk,α k ∇∇
k,α
k,α
(2)
(2)
e k(s−p−2) + k e
e 0 τ k(s−p−2)
+ k H0−1 kk,α k ∇0 ∇τ
h kk,α k ∇∇
k,α
k,α
(2)
e k(s−p−2) + k H0−1 k(2) k ∇
e ∇τ
e k(s−p−2)
+ke
h kk,α k ∇0 ∇τ
k,α
k,α
k,α
(2)
(s−p−2)
e ∇τ
e k
+ke
h kk,α k ∇
k,α
(2)
(s−p)
(2)
(s−p)
e k |∇0 | k τ k
≤ ke
h kk,α k ∇0 k |∇0 | k τ kk+2,α + k H0−1 kk,α k ∇
k+2,α
(2)
(2)
e k τ k(s−p) + k e
e k |∇0 | k τ k(s−p)
h kk,α k ∇
+ k H0−1 kk,α k ∇0 k |∇|
k+2,α
k+2,α
(2)
e k |∇|
e k τ k(s−p)
e k τ k(s−p) + k H0−1 k(2) k ∇
+ke
h kk,α k ∇0 k |∇|
k,α
k+2,α
k+2,α
(2)
e k |∇|
e k τ k(s−p) .
+ke
h kk,α k ∇
k+2,α
Pour conclure, il suffit de regarder les majorations respectives des normes de
e
e dans le corollaire 4 et le lemme 10.
h et ∇
9.5
Accroissement de l’opérateur de Bianchi pour une
métrique voisine de la métrique H0
Lemme 12 Soient s ∈ [0, ∞[, k ∈ N, α ∈]0, 1[. Soit h ∈ Λ−2
k+1,α (B, S2 ) ;
supposons que h vérifie la condition (Bk+1,α;0 ). Alors, on a
Bian(H0 + h, .) = Bian(H0 , .) + B(.),
s−1
2
1
avec B ∈ L(Λs−2
k+1,α (B, S ), Λk,α (B, T )). De plus, on a
(−2)
(−2)
k B k≤ C(ĥ)(1 + (k h kk+1,α )) k h kk+1,α ,
où k k est la norme d’application linéaire continue. En particulier l’application
h −→ B est continue en zéro entre les Banach correspondants.
Preuve :
Dans un système de coordonnées, pour tout g dans Λs−2
k+1,α (B, S2 ), on a :
Bian(H, g)m = H st (∇t gsm − 12 ∇m gst )
= H st [∂t gsm − Γpts gpm − Γptm gsp − 12 (∂m gst − Γpms gpt − Γpmt gsp )].
46
E. DELAY
Tout d’abord, d’après le corollaire 4, on a
ω1m := H st ∂t gsm − H0st ∂t gsm = e
hst
1 ∂t gsm ,
ainsi
(s−1)
(−2)
(s−3)
(−2)
(s−2)
k ω1 kk,α ≤ Cte k e
h kk,α k ∂g kk,α ≤ Cte k e
h kk,α k g kk+1,α .
On procède de même pour l’autre terme de la forme H −1 ∂g. D’autre part,
d’après les corollaires 4 et 5, on a
epts )gpm
H st Γpts gpm = (H0st + e
hst )(Γ0 pts + Γ
epts gpm + e
epts gpm .
= H0st Γ0 pts gpm + e
hst Γ0 pts gpm + H0st Γ
hst Γ
Posons ω2m := H st Γpts gpm − H0st Γ0 pts gpm . On a ainsi :
(s−1)
k ω2 kk,α
(2)
(−1)
(s−2)
≤ Cte k e
h kk,α k Γ0 kk,α k g kk,α
(2) e (−1)
(s−2)
+Cte k H0−1 kk,α k Γ
kk,α k g kk,α
(2) e (−1)
(s−2)
+Cte k e
h kk,α k Γ
kk,α k g kk,α .
On procède de même pour les trois autres termes de la forme H −1 Γg. Finalement, on a (d’après les corollaires 4 et 5):
(s−1)
k B(g) kk,α
(s−1)
= k Bian(H0 + h, g) − Bian(H0 , g) kk,α
(−2)
(−2)
(s−2)
≤ C(ĥ)(1 + (k h kk+1,α )) k h kk+1,α k g kk,α ,
avec limµ→0 (µ) = 0.
9.6
Dérivée covariante d’un symbole de Christoffel en
coordonnées locales pour une métrique voisine de
la métrique H0
Nous travaillons ici dans un système de coordonnées locales. Les quantités
que nous définissons sont tensorielles.
Etude locale de courbures sur Hn (−1)
47
Lemme 13 Soient s ∈ [0, ∞[, k ∈ N, α ∈]0, 1[. Soit h ∈ Λs−2
k+2,α (B, S2 ) ;
supposons que h vérifie la condition (Bk+2,α;s ). Alors, on a (pour la définition
de Γ1 et Γ2 , voir le lemme 9 ci-avant)
∇0l Γkij = ∇0l Γ0 kij + ∇0l Γ1 kij + ∇0l Γ2 kij ,
2s−2
1
1
avec ∇0 Γ1 ∈ Λs−2
k,α (B, T3 ) linéaire en h et ∇0 Γ2 ∈ Λk,α (B, T3 ). De plus, on
a
(s−2)
(s−2)
k ∇0 Γ1 kk,α ≤ C(ĥ) k h kk+2,α ,
et
(2s−2)
k ∇0 Γ2 kl,α
(s−2)
(s−2)
≤ C(ĥ)(1 + (k h kk+2,α ))(k h kk+2,α )2 ,
avec limµ→0 (µ) = 0. En particulier les applications h −→ ∇0 Γ1 et h −→
∇0 Γ2 sont lisses en zéro entre les Banach correspondants.
Preuve : On a (en omettant les constantes de majoration de la proposition
3.3 de [GL] p. 208) :
(s−2)
(s−2)
k ∇0 Γ1 kk,α ≤k ∂Γ1 kk,α
(−1)
(s−1)
(s−2)
+ k Γ0 kk,α k Γ1 kk,α ≤k Γ1 kk+1,α .
De la même façon, on a
(2s−2)
k ∇0 Γ2 kk,α
On conclut ensuite avec le lemme 9.
(2s−2)
≤k Γ2 kk+1,α .
De ce lemme se déduit immédiatement le
Corollaire 6 Sous les hypothèses du lemme précédent, on a (pour le définition
e voir le corollaire 5 ci-avant)
de Γ,
ekij ,
∇0l Γkij = ∇0l Γ0 kij + ∇0l Γ
e ∈ Λs−2 (B, T31 ). De plus
avec ∇0 Γ
k,α
(2s−2)
ek
k ∇0 Γ
l,α
(s−2)
(s−2)
≤ C(ĥ)(1 + (k h kk+2,α )) k h kk+2,α ,
e est lisse en zéro
avec limµ→0 (µ) = 0. En particulier l’application h −→ ∂ Γ
entre les Banach correspondants.
48
E. DELAY
9.7
Courbure de Riemann pour une métrique voisine
de la métrique H0
Donnons tout d’abord le
Lemme 14 Pour toute métrique H sur B, on a
eikm − ∇0m Γ
eikl + Γ
eijl Γ
ej − Γ
eijm Γ
ej ,
Riem(H)iklm − R0 iklm = ∇0l Γ
km
kl
où l’on rappelle que
ekij = Γkij − Γ0 kij ,
Γ
e ∈ T 1.
et que Γ
2
Preuve :
Rappelons que la courbure de Riemann s’exprime en coordonnées locales par
Riem(H)iklm = ∂l Γikm − ∂m Γikl + Γijl Γjkm − Γijm Γjkl .
Or on a
p ei
i ep
eikm = ∂l Γ0 ikm + ∇0l Γ
eikm + Γ0 p Γ
ei
∂l Γikm = ∂l Γ0 ikm + ∂l Γ
lk pm + Γ0 lm Γkp − Γ0 lp Γkm ,
| {z } | {z } | {z }
a
c
b
ainsi que
p ei
i ep
eikl −Γ0 p Γ
ei
eikl = −∂m Γ0 ikl −∇0m Γ
−∂m Γikl = −∂m Γ0 ikl −∂m Γ
mk pl − Γ0 ml Γkp + Γ0 mp Γkl .
| {z } | {z } | {z }
d
e
b
D’autre part, on a
eijl Γ0 j +Γ
eijl Γ
ej ,
ej + Γ
Γijl Γjkm = Γ0 ijl Γ0 jkm + Γ0 ijl Γ
km
km
km
| {z } | {z }
c
d
et
ei Γ0 j −Γ
ei Γ
ej
ej − Γ
−Γijm Γjkl = −Γ0 ijm Γ0 jkl − Γ0 ijm Γ
jm
jm kl .
kl
kl
| {z } | {z }
e
a
Ainsi, en sommant les quantités ci-dessus, comme les termes repérés par les
mêmes lettres se compensent, on obtient :
ei − ∇0m Γ
ei + Γ
ei Γ
ej
ei ej
Riem(H)iklm = R0 iklm + ∇0l Γ
km
kl
jl km − Γjm Γkl .
Rappelons qu’on a défini S31 comme le sous-espace de T31 des tenseurs
vérifiant
%ikim = %imik .
Etude locale de courbures sur Hn (−1)
49
Lemme 15 Soient s ∈ [0, ∞[, k ∈ N, α ∈]0, 1[. Soit h ∈ Λs−2
k+2,α (B, S2 ) ;
supposons que h vérifie la condition (Bk+2,α;s ). Alors, on peut choisir %1 ∈
2s−2
1
1
Λs−2
k,α (B, S3 ) linéaire en h et %2 ∈ Λk,α (B, S3 ) tels que
Riem(H0 + h) = R0 + %1 + %2 .
Avec de plus
(s−2)
(s−2)
k %1 kk,α ≤ C(ĥ) k h kk+2,α ,
et
(2s−2)
k %2 kk,α
(s−2)
(s−2)
≤ C(ĥ)(1 + (k h kk+2,α ))(k h kk+2,α )2 ,
avec limµ→0 (µ) = 0. En particulier les applications h −→ %1 et h −→ %2
sont lisses en zéro entre les Banach correspondants.
Preuve :
D’après le lemme précédent, on a
ei − ∇0m Γ
ei + Γ
ei Γ
ej
ei ej
Riem(H)iklm − R0 iklm = ∇0l Γ
km
kl
jl km − Γjm Γkl .
Or on a (en vertu du lemme 9) :
j
j
i
i
ej
ei Γ
Γ
jm kl = (Γ1 jm + Γ2 jm )(Γ1 kl + Γ2 kl )
= Γ1 ijm Γ1 jkl +Γ2 ijm Γ1 jkl + Γ1 ijm Γ2 jkl +Γ2 ijm Γ2 jkl .
{z
} | {z }
| {z } |
(2)km
(3)km
(4)km
Estimons la norme des termes sélectionnés ci-dessus. On a
(2s−2)
k (2) kk,α
(2s−2)
De plus k (3) kk,α
(3s−2)
≤k (3) kk,α
(3s−2)
k (3) kk,α
(s−1)
(s−1)
≤ (k Γ1 kk,α )2 ≤ (k Γ1 kk+1,α )2 .
(−1)
et
(s−1)
(s−1)
(2s−1)
≤k Γ1 kk,α k Γ2 kk,α ≤k Γ1 kk+1,α k Γ2 kk+1,α .
(2s−2)
De la même manière k (4) kk,α
(4s−2)
k (4) kk,α
(4s−2)
≤k (4) kk,α
(2s−1) 2
≤ (k Γ2 kk,α
et
(2s−1)
) ≤ (k Γ2 kk+1,α )2 .
eΓ.
e D’autre part, d’après
On procède de même pour l’autre terme de la forme Γ
le lemme 13, on a
∇0l Γikm = ∇0l Γ0 ikm + ∇0l Γ1 ikm + ∇0l Γ2 ikm ,
50
E. DELAY
de même pour l’autre terme de la forme ∇0 Γ. En regroupant les deux termes
du type ∇0 Γ1 , on obtient un terme que l’on note %1 , qui vérifie les conditions
demandées d’après le lemme 13. En regroupant ensuite les deux termes du
type ∇0 Γ2 et ceux repérés par (2), (3) et (4) dans les deux produits du type
eΓ,
e on obtient un terme que l’on note %2 vérifiant les propriétés demandées,
Γ
d’après les lemmes 13 et 9.
Ce lemme nous donne directement le
Corollaire 7 Sous les hypothèses du lemme précédent, on a
Riem(H0 + h) = R0 + %,
1
avec % ∈ Λs−2
k,α (B, S3 ). De plus
(s−2)
(s−2)
(s−2)
k % kk,α ≤ C(ĥ)(1 + (k h kk+2,α )) k h kk+2,α ,
avec limµ→0 (µ) = 0. En particulier l’application h −→ % est lisse en zéro
entre les Banach correspondants.
9.8
Courbure de Ricci pour une métrique voisine de
la métrique H0
D’après le paragraphe précédent, on a
Lemme 16 Soient s ∈ [0, ∞[, k ∈ N, α ∈]0, 1[. Soit h ∈ Λs−2
k+2,α (B, S2 ) ;
supposons que h vérifie la condition (Bk+2,α;s ). Alors, on peut choisir r1 ∈
2s−2
Λs−2
k,α (B, S2 ) linéaire en h et r2 ∈ Λk,α (B, S2 ) tels que
Ricci(H0 + h) = R0 + r1 + r2 .
Avec de plus
(s−2)
(s−2)
k r1 kk,α ≤ C(ĥ) k h kk+2,α ,
et
(2s−2)
k r2 kk,α
(s−2)
(s−2)
≤ C(ĥ)(1 + (k h kk+2,α ))(k h kk+2,α )2 ,
avec limµ→0 (µ) = 0. En particulier les applications h −→ r1 et h −→ r2
sont lisses en zéro entre les Banach correspondants.
Corollaire 8 Sous les hypothèses du lemme précédent, on a
Ricci(H0 + h) = R0 + r,
avec r ∈
Λs−2
k,α (B, S2 ).
De plus
(s−2)
(s−2)
(s−2)
k r kk,α ≤ C(ĥ)(1 + (k h kk+2,α )) k h kk+2,α ,
avec limµ→0 (µ) = 0. En particulier l’application h −→ r est lisse en zéro
entre les Banach correspondants.
Etude locale de courbures sur Hn (−1)
9.9
51
Opérateur de Bianchi pour une métrique voisine
de la métrique H0 et un tenseur voisin du tenseur
R0
Lemme 17 Soient s ∈ [0, ∞[, k ∈ N, α ∈]0, 1[ et r ∈ Λs−2
k+1,α (B, S2 ). Soit
s−2
h ∈ Λk+1,α (B, S2 ) ; supposons que h vérifie la condition (Bk+1,α;s ). Alors, on
2s−1
peut choisir b1 ∈ Λs−1
k,α (B, T1 ) linéaire en (h, r) et b2 ∈ Λk,α (B, T1 ) tels que
Bian(H0 + h, R0 + r) = Bian(H0 , R0 ) + b1 + b2 .
Avec de plus
(s−1)
(s−2)
(s−2)
k b1 kk,α ≤ C(ĥ, r̂)(k h kk+1,α + k r kk+1,α )
et
(2s−2)
k b2 kk,α
(s−2)
(s−2)
(s−2)
≤ C(ĥ, r̂)(1 + (k h kk+1,α ))(k h kk+1,α + k r kk+1,α )2 ,
avec limµ→0 (µ) = 0. En particulier les applications (h, r) −→ b1 et (h, r) −→
b2 sont lisses en zéro entre les Banach correspondants.
Preuve :
Rappelons que l’opérateur de Bianchi est défini en coordonnées locales par
1
Bian(H, R)m = H st (∇t Rsm − ∇m Rst ).
2
Or on a
∇t Rsm = ∂t Rsm − Γpts Rpm − Γttm Rsp
et
∇0t Rsm = ∂t Rsm − Γ0 pts Rpm − Γ0 ttm Rsp .
e = Γ − Γ0 , on a
Ainsi, en rappelant que Γ
epts Rpm −Γ
eptm Rsp − 1 (∇0m Rst −Γ
ep Rpt −Γ
epmt Rsp )].
Bian(H, R)m = H st [∇0t Rsm −Γ
ms
2
D’une part on a (en vertu du corollaire 4) :
H st ∇0t Rsm = (H0st + e
hst )(∇0t R0sm + ∇0t rsm )
= H0st ∇0t R0sm + e
hst ∇ R
+ H st ∇ r +e
hst ∇0t rsm .
{z
}
|
{z
} | 0 0t 0sm{z 0 0t sm} |
(0)m
(1)m
(2)m
52
E. DELAY
Estimons la norme des termes sélectionnés ci-dessus. On a (en omettant les
constantes) :
(s−1)
(2)
(s−3)
(s−2)
k (1) kk,α ≤k H0−1 kk,α k ∇0 r kk,α ≤k r kk+1,α
De la même manière,
(2s−1)
k (2) kk,α
(s+2)
(s−3)
(s+2)
(s−2)
≤k e
h kk,α k ∇0 r kk,α ≤k e
h kk+1,α k r kk+1,α .
On procède de même pour l’autre terme de la forme H −1 ∇0 R.
D’autre part, on a (en vertu du corollaire 4 et du lemme 9)
epts Rpm = (H0 st + e
epts (R0pm + rpm )
H st Γ
hst )Γ
= +H0 st Γ1 pts R0pm
{z
}
|
(1)m
epts rpm + e
epts R0pm
+H0 st Γ2 pts R0pm + H0 st Γ
hst Γ
|
{z
}
(2)m
epts rpm .
+e
hst Γ
| {z }
(3)m
Comme précédemment, estimons la norme des termes selectionnés ci-dessus.
On a (en omettant les constantes) :
(s−1)
k (1) kk,α
(s+2)
(−3)
(2)
(s−1)
(−2)
≤ ke
h kk,α k ∇0 R0 kk,α + k H0−1 kk,α k Γ1 kk,α k R0 kk,α
(s+2)
(s−1)
≤ ke
h kk+1,α k Γ1 kk,α .
D’autre part,
(2s−1)
k (2) kk,α
(2)
(2s−1)
≤ k H0−1 kk,α k Γ2 kk,α
(−2)
(2)
(s−1)
(s+2) e (s−1)
(−2)
+ke
h kk,α k Γ
kk,α k R0 kk,α
(2s−1)
≤ k Γ2 kk,α
(2s−1)
De plus k (3) kk,α
(s+2)
e k(s−1) k r k(s−2) + k e
e k(s−1) .
+kΓ
h kk+1,α k Γ
k,α
k+1,α
k,α
(3s−1)
≤k (3) kk,α
(3s−1)
k (3) kk,α
(s−2)
ek
k R0 kk,α + k H0−1 kk,α k Γ
k,α k r kk,α
et
(s+2) e (s−1)
(s−2)
≤ ke
h kk,α k Γ
kk,α k r kk,α
(s+2)
(s−1)
(s−2)
ek
≤ ke
h kk+1,α k Γ
k,α k r kk+1,α .
Etude locale de courbures sur Hn (−1)
53
e
On procède de même pour les trois autres termes de la forme H −1 ΓR.
En regroupant les termes repérés par (0), on obtient Bian(H0 , R0 ). En
regroupant ensuite les termes repérés par (1), on obtient un terme que l’on
note b1 . De même, en regroupant les termes repérés par (2) et (3), on obtient
un terme que l’on note b2 . b1 et b2 vérifient les conditions demandées d’après
les corollaires 4 et 5 et le lemme 9.
Ce lemme nous donne directement le
Corollaire 9 Sous les hypothèses du lemme précédent, on a
Bian(H0 + h, R0 + r) = Bian(H0 , R0 ) + eb,
avec eb ∈ Λs−1
k,α (B, T1 ). De plus
(s−2)
(s−2)
(s−2)
(s−2)
k eb kk,α ≤ C(ĥ, r̂)(1 + (k h kk+1,α ))(k h kk+1,α + k r kk+1,α ),
avec limµ→0 (µ) = 0. En particulier l’application (h, r) −→ eb est lisse en
zéro entre les Banach correspondants.
9.10
Différentielle d’un symbole de Christoffel en coordonnées locales
Lemme 18 En coordonnées locales, le linéarisé d’un symbole de Christoffel
est :
1
(DH Γ(H)δh)ijk = (∇k δhij + ∇j δhik − ∇i δhjk ).
2
Preuve :
On a :
(DH Γ(H)δh)ijk =
1 is
H (∂k δhjs
2
+ ∂j δhks − ∂s δhjk )
− 21 H pt H is δhps (∂k Hjt + ∂j Hkt − ∂t Hjk )
=
1 is
H (∂k δhjs
2
+ ∂j δhks − ∂s δhjk ) − H is δhps Γpjk .
D’autre part (en repérant les termes qui se compensent),
∇k δhjs
+∇j δhks
=
=
p
∂k δhjs − Γpkj δhps − Γ\
ks δhpj
∂j δhks − Γpjk δhps − Γpjs δhpk
p
−∂s δhjk + Γp δhpk + Γ\
δhpj
−∇s δhjk =
sj
sk
− − −− −− − − − − − − − − − − − − − − −
la somme =
∂k δhjs + ∂j δhks − ∂s δhjk − 2Γpkj δhps .
54
E. DELAY
Ainsi
(DH Γ)(H)δh)ijk =
=
9.11
1 is
H (∇k δhjs
2
1
(∇k δhij
2
+ ∇j δhks − ∇s δhjk )
+ ∇j δhik − ∇i δhjk ).
Isomorphisme et continuité.
Nous donnons ici un lemme général qui n’utilise pas l’espace hyperbolique ;
il nous sera d’un usage fréquent dans cet article.
Lemme 19 Soient E et F deux espaces de Banach, soit u : E −→ F
linéaire, continue, inversible d’inverse u−1 . Si v : E −→ F est linéaire
1
et que ||v − u|| < ||u−1
alors v est continue, inversible et
||
||v −1 || ≤
||u−1 ||
||u−1 ||2 ||u − v||
−1
−1
et
||v
−
u
||
≤
.
1 − ||u−1 ||.||u − v||
1 − ||u−1 ||.||u − v||
Remarque :
Les normes considérées sont les normes d’applications linéaires continues;
d’une manière générale, nous noterons L(E, F ) le Banach des applications
linéaires continues de E dans F muni de sa norme.
Preuve :
Posons pour simplifier w = v−u et z = u−1 w. On a ainsi v = u+w = u(I+z).
On peut donc écrire formellement :
"
#
∞
X
v −1 = I +
(−1)k z k u−1 .
k=1
La série ci-dessus converge dès que ||z|| < 1, et comme ||z|| ≤ ||u−1 ||.||w||, il
1
suffit que ||w|| < ||u−1
. Dans ce cas, v est inversible et
||
"
−1
||v || ≤
∞
X
#
k
(||z||)
||u−1 || =
k=0
donc v −1 est continue. D’autre part
"
v −1 − u−1 =
1
||u−1 ||
||u−1 || ≤
,
1 − ||z||
1 − ||u−1 ||.||w||
∞
X
k=1
#
(−1)k z k u−1 ,
Etude locale de courbures sur Hn (−1)
55
d’où
||v −1 − u−1 || ≤ ||z||
1
||u−1 ||
1 − ||z||
≤ ||u−1 ||.||w||
1
1−
||u−1 ||.||w||
||u−1 ||
56
E. DELAY
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the complex Monge-Ampère equation I. Comm. Pure Appl. Math. 31
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Université François Rabelais de Tours
Faculté des Sciences et Techniques
Département de Mathématiques
Parc Grandmont
37200 TOURS
FRANCE
e-mail : <[email protected]>