POURCENTAGE – PROPORTION – ÉVOLUTION I

POURCENTAGE – PROPORTION – ÉVOLUTION
I.
PROPORTION
Dans une classe de 35 élèves il y a 14 filles.
0,4 × 100 = 40
14 2
= = 0,4
La proportion de filles dans cette classe est de
35 5
Dans cette classe il y a 40 % de filles.
42
× 14 = 5,88 ≈ 6
100
Parmi ces filles il y a 42 % de demi-pensionnaires, soit 6 filles.
6
× 100 ≈ 17,14
35
Elles représentent environ 17 % des élèves de la classe.
Définition 1 Soit un ensemble A, ayant a éléments, contenu
dans un ensemble B, ayant b éléments.
Dans l’exemple
A est l’ensemble des filles de la classe,
La proportion ou part de A par rapport à B est le réel
B est l’ensemble des élèves de la classe,
a nombre d’éléments de A
=
.
b nombre d’éléments de B
a = 14
et b = 35 .
Une proportion est toujours comprise entre 0 et 1. Elle s’exprime le plus souvent sous forme de pourcentage.
Dans la classe la part des élèves de plus de 30 ans est de 0/
et la part des élèves de moins de 30 ans est de
/
=0
=1
Propriété 1 Prendre x % d’une quantité (x ≥ 0) c’est multiplier cette quantité par x
100
Exercice 1 1) 32 % des 210 élèves de 2nde sont externes. Calculer le nombre d’externes en 2nde.
2) Parmi les 180 élèves de 1ère il y a 68 externes. Calculer la proportion d’externes parmi les élèves de 1ère
3) En terminale la proportion d’externes est de 42 % et il y a 71 externes.
a) Calculer le nombre d’élèves en terminale.
b) Calculer la proportion d’élèves de terminale externes parmi les élèves du lycée.
II. ÉVOLUTIONS ET POURCENTAGES
Dans la suite du cours on considère deux valeurs numériques positives :
• VI, la valeur initiale ;
• VF , la valeur finale, c’est-à-dire la valeur après une augmentation ou bien une baisse de VI de a % (a ≥ 0) .
Définition 2 Le coefficient multiplicateur de VI à VF (ou coefficient d’évolution) est le réel c =
VF
VI
La variation absolue de VI à VF est le réel VF – VI .
Le taux d’évolution de VI à VF (ou variation relative) est le réel t =
VF – VI
.
VI
Un taux d’évolution peut être donné sous forme de fraction, sous forme décimale ou sous forme de
pourcentage. Dans ces deux derniers cas on utilise souvent un arrondi. Il est supérieur à – 1.
Par convention, une évolution exprimée en pourcentage est toujours un taux d’évolution (ou variation
relative).
1/5
Exercice 2
Une température passe de 15 °C à 18 °C ;
Une production passe de 4 à 10 tonnes ;
Un prix passe de 12 € à 9 €.
Compléter le tableau.
Valeur initiale VI
15 °C
4t
12 €
100 €
Valeur finale VF
18 °C
10 t
9€
119,6 € 299 €
5 000 €
4186
3 °C
18
= 1,2
35
6t
–3€
19,6 €
49 €
819,6 €
686 €
1,196
1,196
1,196
1,196
= – 0,25 0,196
0,196
0,196
0,196
Variation absolue VF – VI
Coeff. mult. c = VF / VI
Taux d’évolution t =
= 0,2
= 2,5
= 1,5
= 0,75
TVA à 19,6 %
250 € 4180,6 € 3500 €
• Le taux d’évolution de la température est de 0,2 ou de 20 % . La température a augmenté de 20 %.
• Le taux d’évolution du prix est de – 0,25 ou de – 25 % . Le prix a diminué de 25 %.
• Le taux d’évolution de la production est de 150 % . La production a augmenté de 150 %.
Propriété 2 Soit a un réel positif et inférieur à 100 dans le cas d’une baisse.
Augmenter une quantité de a % revient à la multiplier par c = 1 +
a
=1+t.
100
a
(ou de a % ). Il est positif.
100
a 
× VI
VF = c × VI = ( 1 + t ) × VI = 1 +
100

a
Diminuer une quantité de a % revient à la multiplier par c = 1 –
=1+t.
100
a
(ou de – a % ). Il est négatif.
Le taux d’évolution est t = c – 1 = –
100
a 
VF = c × VI = ( 1 + t ) × VI = 1 –
× VI
100

Le taux d’évolution est t = c – 1 =
Un coefficient multiplicateur supérieur à 1 correspond à une hausse de a % et a = 100 (c – 1) .
Un coefficient multiplicateur c compris entre 0 et 1 correspond à une baisse de a % et a = 100 (1 – c) .
Le coefficient multiplicateur 0 correspond à un taux d’évolution de – 1 ou – 100 %, soit à une baisse de 100 %
Le coefficient multiplicateur 1 correspond à taux d’évolution nul, soit à une baisse ou une hausse de 0 % .
Un coefficient multiplicateur négatif n’a pas de sens. Il correspond à une baisse de plus de 100 % .
Exercice 3 Taux d’évolution + 0,3 %
Coeff. mult.
1,003
+ 30 % + 100 % + 130 % + 300 % – 0,3 %
1,3
– 84 % – 50 % – 34,3 %
0,16
0,5
0,657
2
2,3
4
0,997
0%
7,5 %
42 %
100 %
1
1,075
1,42
2
– 30 % – 85,5 %
0,7
0,145
220 % 1150 %
3,2
12,5
Exercice 4 Le tableau donne partiellement la fréquentation du
Année
1989 1995 2001 2002
cinéma en millions de spectateurs en France de 1989 à 2002.
Spectateurs 120,9 130,2 153 150
1) Calculer la variation absolue de 1989 à 1995 et le taux d’évolution de 1989 à 1995.
2) Sachant que la variation relative de 1995 à 2002 est de 15,2 %, calculer la fréquentation en 2002.
3) La variation relative de 2001 à 2002 est de – 0,02. En déduire la fréquentation en 2001.
2/5
Exercice 5 Un employé se voit proposer deux options pour l’augmentation de son salaire mensuel,
exprimé en euros, au 1er janvier de chaque année.
• option 1 : l’augmentation est chaque 1er janvier de 39 € ;
• option 2 : l’augmentation est chaque 1er janvier de 3 %.
Compléter le tableau en arrondissant les pourcentages à 0,01 %.
Année
2005
option 1
2006
2007
Salaires en euros
1300
1 339
1 378
1 417
39
39
39
39
40,17
41,38
3%
2,91 %
2,83 %
3%
3%
3%
Variation absolue
Variation relative en %
2008
2005
option 2
2006
2007
1300
1 339
2008
1379,17 1420,55
Cas de la TVA Comment, avec un taux de TVA de a%, passer d’un renseignement (prix HT, prix TTC,
montant de la TVA) à un autre ?
Ici la valeur initiale est le prix HT (hors taxe) et la valeur finale est le prix TTC (toutes taxes comprises).
Exemple pour une TVA à 19,6 %
a
×
100
HT 
→ TVA
,
HT TVA
a 

× 1+

100
+ TVA TTC
HT   → TTC ou HT →
HT a 

÷  1+

100
TTC    → HT
TTC HT
,
TTC
,
– prix HT TVA
TTC →
a
TVA 100
→ HT
÷
,
TVA HT
+ HT TTC
TVA →
III. ÉVOLUTIONS SUCCESSIVES
Exercice 6
Le prix d’un article subit deux augmentations successives de 22 % et de 15 %.
1) Calculer le pourcentage global d’augmentation ?
Exercice 7
2) Le prix final est de 94 €. Calculer le prix initial.
La population d’une ville augmente chaque année de 3 %.
1) Calculer le pourcentage d’augmentation sur 2 ans, 3 ans et 10 ans. Arrondir à 0,01 %.
2) Déterminer, à l’aide de la calculatrice, au bout de combien d’années la population double.
× c1
× c2
V1 → V2  → V3
      
→
×c
Le coefficient multiplicateur global c est le produit des coefficients multiplicateurs.
Propriété 3 Soient deux évolutions successives schématisées ainsi :
c = c1 × c2 = ( 1 + t 1 ) × ( 1 + t 2 )
Le taux global d’évolution t vérifie : 1 + t = ( 1 + t 1 ) × ( 1 + t 2 ).
Cette propriété se généralise à plusieurs évolutions.
Une hausse de 22 % suivie d’une hausse de 15 % ne correspond pas à une hausse de 37 % (voir ex. 6)
Ajouter des pourcentages de hausses (ou de baisses) n’a pas de sens.
3/5