Suites universelles de Fibonacci : Phi n`est qu`une des infinies

Suites universelles de Fibonacci : Phi n’est qu’une des infinies variantes de la constante P.
Universal Fibonacci sequences: Phi is one of the infinite variations of the constant P.
Jean-Yves BOULAY
Chercheur indépendant - 25 rue Pierre Loti 97430 LE TAMPON – France - Tél. 0262384734 [email protected]
IMPORTANT :
cet article n’est qu’une simple vulgarisation de phénomènes déjà découverts auparavant. Les récurrences
linéaires que l’auteur nomme suites universelles de Fibonacci sont par exemple décrites par d’autres auteurs ici :
http://mathworld.wolfram.com/LinearRecurrenceEquation.html et la constante nommée P est présentée par
exemple dans cet article de Clement Falbo : http://www.sonoma.edu/Math/faculty/falbo/cmj123-134
L’auteur ne cite pas ces articles en bibliographie. En effet, cet article a été écrit de bonne foi et avant même que
l’auteur n’ai eu la connaissance que les phénomènes présentés soient déjà connus. Il n’en revendique cependant
pas la paternité et confirme bien ne pas être à l’origine de ces découvertes et que cet article n’est qu’un simple
exercice de vulgarisation.
Résumé : En transformant la fonction Fn  Fn2  Fn1 formant la suite de Fibonacci par la fonction
Fn  xFn2  yFn1 , la convergence du ratio Fn Fn1 tend vers la constante [1] P =


y 2  4 x  y 2 . Cette
constante universelle a quelques propriétés identiques à la constante Phi. Plus exactement, la constante Phi n’est
qu’une des infinies variantes de cette constante P.
Abstract: By transforming the function Fn  Fn2  Fn1 to form the Fibonacci sequence by the function
Fn  xFn2  yFn1 , the ratio convergence Fn Fn1 tends to the constant P =


y 2  4 x  y 2 . This universal
constant has some same properties as the constant Phi. More precisely, the constant Phi is one of the infinite
variations of this constant P.
1. Introduction.
La très connue suite de Fibonacci formée par la fonction Fn  Fn2  Fn1 engendre une série de nombres dont la
convergence du ratio Fn Fn1 tend vers la constante Phi =
 5  1 2 . Aussi, la constante Phi a (parmi d’autres)
ces deux particularités :   1    1 et    2  1 . Il va être démontré ici que la relation de cette constante à la
suite de Fibonacci et ces deux particularités équationnelles n’ont rien d’exceptionnelles et que Phi partage ces
propriétés avec une infinie quantité d’autres nombres. Ceci en intégrant simplement une légère variante à la
formation de la suite de Fibonacci.
2. Développement
2.1. Théorème.
2.1.1. Valeur de la constante P.
Soit une suite de nombres définie par Fn  xFn2  yFn1 , pour tout x et y, x et y étant des nombres réels positifs,
la convergence du ratio Fn Fn1 tend vers la constante :
P
y 2  4x  y
2
Aussi, Pour tout x et y, x et y étant des nombres réels positifs :
x
P y
x
y
y
x
y  ...
2.1.2. Valeur de P-(1/P).
Pour tout x et y, x et y étant des nombres réels positifs se vérifie l’égalité :
P
1
x 1
x
 y
P y
P
P
P
2.1.3. Valeur de P2-P.
Pour tout x et y, x et y étant des nombres réels positifs se vérifie l’égalité :
P2  x
P  P  x   y  1P  P 
y
2
2.2. Valeur de Phi.
Pour x = 1 et y = 1, 0 et 1 étant les valeurs initiales, la suite engendrée est celle de Fibonacci et le ratio Fn Fn1
tend vers la constante Phi =
 5  1 2 , simple variante de la constante P. En effet, on vérifie que :
y 2  4x  y
12  4(1)  1
5 1



2
2
2
Aussi, la valeur de P pour x = 1 et y = 1 égale :
1
P  1
1
1
Pour x = 1 et y = 1 on vérifie que :
P

1
1
1  ...
1
11
1
1
 1
 P  1    1
P
P
P

On vérifie également que :
P2 1
 2 1
P  P  1  1  1P  P 
 
1
1
2
3. Démonstrations.
3.1. Valeur de P, 1/P et P2 pour x = 1, y = n et x = n, y = 1.
Les figures 1 et 3 génèrent des suites universelles de Fibonacci en fonction des valeurs de x et y. Les figures 2 et 4
donnent respectivement la valeur de P-(1/P) avec x = 1 et y = n et la valeur de P2-P avec x = n et y = 1.
3.1.1. Valeur de P ,1/P et P-(1/P) pour x = 1, y = n*.
Valeur Valeur
de x
de y
(x = 1) (y = n)
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
…
Valeurs
initiales**
F1
F2
0
0
0
0
0
0
Fn  xFn2  yFn1
F3
1
1
1
1
1
1
F5
F6
F7
F8
F9
F10
1
2
3
4
5
F4
2
5
10
17
26
3
12
33
72
135
5
29
109
305
701
8
70
360
1292
3640
13
169
1189
5473
18901
21
408
3927
23184
98145
34
985
12970
98209
509626
…
…
…
…
…
…
…
…
Fn
…
…
…
…
…
…
Fig. 1 Construction de suites universelles de Fibonacci en fonction des valeurs de x et y. Construction of universal Fibonacci sequences
according to x and y values.
*La valeur n de x et y de ce tableau et des tableaux suivants est indépendante et sans rapport au rang n de Fn.
**Ces valeurs initiales peuvent être différentes, la convergence du ratio Fn Fn1 reste toujours égale à la constante
P.
Valeur
de x
(x = 1)
1
1
1
1
1
1
Valeur
de y
(y = n)
1
2
3
4
5
…
n2  4  n
2
1
P
1,61803398874989
2,41421356237309
3,30277563773199
4,23606797749979
5,19258240356725
…
0,61803398874990
0,41421356237310
0,30277563773200
0,23606797749979
0,19258240356725
…
P
P
1
x 1
 y
y
P
P
1
2
3
4
5
…
Fig. 2 Valeur de P, 1/P et P-(1/P) avec x = 1 et y = n. Value of P, 1/P and P-(1/P) for x = 1 and y = n.
On vérifie que :
P
1
x 1
1
 y
 P  y
P
P
P
Ceci se vérifie pour Phi (x = 1 et y = 1) comme pour n’importe quelle valeur de P [2].
3.1.2. Valeur de P, P2 et P2 – P pour x = n, y = 1.
Valeur Valeur
de x
de y
(x = n) (y = 1)
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
…
1
Valeurs
initiales
F1
F2
0
0
0
0
0
0
Fn  xFn2  yFn1
F3
1
1
1
1
1
1
F8
F9
F10
1
1
1
1
1
F4
2
3
4
5
6
F5
3
5
7
9
11
F6
5
11
19
29
41
F7
8
21
40
65
96
13
43
97
181
301
21
85
217
441
781
34
171
508
1165
2286
…
…
…
…
…
…
…
…
Fn
…
…
…
…
…
…
Fig. 3 Construction de suites universelles de Fibonacci en fonction des valeurs de x et y. Construction of universal Fibonacci
sequences according to x and y values.
Valeur
de x
(x = n)
1
2
3
4
5
…
Valeur
de y
(y = 1)
1
1
1
1
1
1
P
1  4n  1
2
1,61803398874989
2,00000000000000
2,30277563773199
2,56155281280883
2,79128784747792
…
P2
P 2  P  x   y  1P  x
2,61803398874989
4,00000000000000
5,30277563773200
6,56155281280883
7,79128784747792
…
1
2
3
4
5
…
Fig. 4 Valeur de P, P2 et P2-P avec x = n et y = 1. Value of P, P2 and P2-P for x = n and y = 1.
On vérifie que :
P 2  P  x   y  1P  P 2  P  x
Ceci se vérifie pour Phi (x = 1 et y = 1) comme pour n’importe quelle valeur de P [2].
3.2. Valeur de P, 1/P et P2 pour x = n, y = n et x = y.
La figure 5 génère des suites universelles de Fibonacci en fonction des valeurs de x et y. Les figures 6 et 7 donnent
respectivement la valeur de P-(1/P) et la valeur de P2-P avec x = n, y = n et x = y.
Valeurs
initiales
F1
F2
Valeur Valeur
de x
de y
(x = n) (y = n)
Fn  xFn2  yFn1
F6
F7
F8
F9
F10
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
F3
1
2
3
4
5
F4
2
6
12
20
30
F5
3
16
45
96
175
5
44
171
464
1025
8
120
648
2240
6000
13
328
2457
10816
35125
21
896
9315
52224
205625
34
2448
35316
252160
1203750
Fn
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
Fig. 5 Construction de suites universelles de Fibonacci en fonction des valeurs de x et y. Construction of universal Fibonacci sequences
according to x and y values.
Valeur de P ,1/P et P-(1/P) pour x = n, y = n et x = y :
Valeur
de x
(x = n)
Valeur
de y
(y = n)
P
n 2  4n  n
1
P
2
P
1
x 1
 y
P
P
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1,61803398874989
2,73205080756888
3,79128784747792
4,82842712474619
5,85410196624968
0,61803398874990
0,36602540378444
0,26376261582597
0,20710678118655
0,17082039324994
1
2,36602540378444
3,52752523165195
4,62132034355964
5,68328157299975
…
…
…
…
…
Fig. 6 Valeur de P, 1/P et P-(1/P) avec x = n, y = n et x = y. Value of P, 1/P and P-(1/P) for x = n, y = n and x
= y.
On vérifie que :
P
1
x 1
 y
P
P
Ceci se vérifie pour Phi (x = n et y = n) comme pour n’importe quelle valeur de P.
Valeur de P, P2 et P2 – P pour x = n, y = n et x = y :
Valeur
de x
(x = n)
Valeur
de y
(y = n)
P
n 2  4n  n
2
P 2  P  x   y  1P
P2
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1,61803398874989
2,73205080756888
3,79128784747792
4,82842712474619
5,85410196624968
2,61803398874989
7,46410161513775
14,37386354243380
23,31370849898480
34,27050983124840
1
4,73205080756888
10,58257569495580
18,48528137423860
28,41640786499870
…
…
…
…
…
Fig. 7 Valeur de P, P2 et P2-P avec x = n, y = n et x = y. Value of P, P2 and P2-P for x = n, y = n and x = y.
On vérifie que :
P 2  P  x   y  1P
Ceci se vérifie pour Phi (x = n et y = n) comme pour n’importe quelle valeur de P.
3.3. Valeur de P, 1/P et P2 pour x = n, y = n et x  y.
Les figures 8 et 9 donnent respectivement la valeur de P-(1/P) et la valeur de P2-P avec x = n* et y = n* et x  y.
Valeur de P ,1/P et P-(1/P) pour x = n, y = n et x  y :
y 2  4x  y
1
P
1
x 1
 y
P
P
Valeur de
x
Valeur de
y
7
2,5
1,33333333
4,12310563
2,71828183
5
4,2
0,71428571
3,60555128
3,14159265
6,14005494464026
4,72868788561898
1,56581334728543
4,51812195553708
3,84800578767709
0,16286499209147
0,21147515424759
0,63864572474979
0,22133090028136
0,25987486900420
5,97718995254879
4,51721273137139
0,92716762253564
4,29679105525572
3,58813091867289
…
…
…
…
…
P
2
P
Fig. 8 Valeur de P, 1/P et P-(1/P) avec x = n, y = n et x  y. Value of P, 1/P and P-(1/P) for x = n, y = n and x  y.
* Figures 8 et 9, les valeurs de x et y (n) sont n’importe quel nombre réel positif (respectivement ligne par ligne :
entier, décimal, fractionnel, irrationnel et transcendant).
On vérifie que :
P
1
x 1
 y
P
P
Valeur de P, P2 et P2 – P pour x = n, y = n et x  y :
y 2  4x  y
P 2  P  x   y  1P
Valeur de
x
Valeur de
y
5
4,2
0,71428571
3,60555128
3,14159265
7
2,5
1,33333333
4,12310563
2,71828183
7,65331193145904
3,65052077683156
1,74310995766260
4,86432845054082
3,59271577940025
58,57318352021330
13,32630194207890
3,03843232450251
23,66169127474090
12,90760667155150
50,91987158875420
9,67578116524734
1,29532236683991
18,79736282420010
9,31489089215130
…
…
…
…
…
P
P2
2
Fig. 9 Valeur de P, P2 et P2-P avec x = n, y = n et x  y. Value of P, P2 and P2-P for x = n, y = n and x  y.
On vérifie que :
P 2  P  x   y  1P
4. Extension des conditions.
4.1. Extension de la règle.
La règle exposé plus haut « Soit une suite de nombres définie par Fn  xFn2  yFn1 , pour tout x et y, x et y étant
des nombres réels positifs, la convergence du ratio Fn Fn1 tend vers la constante P =
valable pour toute valeur négative de y.


y 2  4 x  y 2 » reste
Elle reste aussi valable pour toute valeur négative de x si et seulement si y 2  4 x  0 .
4.2. Suite des nombres entiers.
4.2.1. Suite des nombres entiers non négatifs.
La suite de nombres définie par Fn  xFn2  yFn1 pour x = -1 et y = 2, cas limite de la condition : x négatif et
y 2  4 x  0 , avec pour valeurs initiales 0 et 1 donne la suite des nombres entiers non négatifs et la convergence
du ratio Fn Fn1 tend vers la constante P =1/1 = 1.
En effet, on vérifie que :
P
y 2  4x  y
2

22  4  2 2
 1
2
2
Construction de la suite des nombres entiers non négatifs avec x = -1 et y = 2 :
F1
F2
0
1
Fn  xFn2  yFn1  1Fn2  2Fn1
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F9
F10
Fn
2
3
4
5
6
7
8
9
…
Fig. 10 Construction de la suite des nombres entiers non négatifs. Non-negative integers sequence
construction.
4.2.2. Suites des nombres pairs et impairs non négatifs.
Toujours pour x = -1 et y = 2, les valeurs initiales 0 et 2 génèrent la suite des nombres pairs, les valeurs 1 et 3 celle
des nombres impairs :
F1
F2
0
2
Fn  xFn2  yFn1  1Fn2  2Fn1
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F9
F10
Fn
4
6
8
10
12
14
16
18
…
Fig. 11 Construction de la suite des nombres pairs non négatifs. Construction of the non-negative even
numbers sequence.
F1
F2
1
3
Fn  xFn2  yFn1  1Fn2  2Fn1
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F9
F10
Fn
5
7
9
11
13
15
17
19
…
Fig. 12 Construction de la suite des nombres impairs positifs. Construction of the positive odd numbers
sequence.
4.3. Autres suites remarquables.
Parmi d’autres suites remarquables générées par la fonction Fn  xFn2  yFn1 , la suite de nombres définie par
Fn  xFn2  yFn1 pour x = -1 et y = 3 avec pour valeurs initiales 0 et 1 donne la suite de Fibonacci au carré et la
2
convergence du ratio Fn Fn1 tend vers la constante P =  . En effet, on vérifie que :
P
y 2  4x  y
2
32  4  3
5 3


2
2
2
Construction de la suite de Fibonacci au carré avec x = -1 et y = 3 :
F1
F2
0
1
Fn  xFn2  yFn1  1Fn2  3Fn1
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F9
F10
Fn
3
8
21
55
144
377
987
2584
…
Fig. 13 Construction de la suite de Fibonacci au carré. Construction of the Fibonacci sequence to the square.
5. Ecriture universelle de Phi.
Puisque Phi est une variante de P où x et y ont pour valeur 1, on peut donc écrire :
P
y 2  4x  y
12  4  1
 
 
2
2
Il se vérifie alors que pour tout x, x étant égal à tout nombre réel positif :

x 2  ( 2 x) 2  x
2x
x 2  ( 2 x) 2  x
2x
Conclusion.
La constante P, convergence du ratio Fn Fn1 d’une suite de nombres définie par Fn  xFn2  yFn1 , pour tout x
et y, x et y étant des nombres réels positifs, est égale à :
y 2  4x  y
2
=
x
P2  x
y =
= y
P
y
y
x
x
y
x
y  ...
La constante Phi n’est qu’une des infinies variantes de cette constante P.
Annexe.
[1] L’auteur nomme provisoirement cette constante ‘‘ P ’’, comme la première lettre de Phi.
[2] Le lecteur pourra vérifier l’exactitude, que confirme l’auteur, des convergences des ratios des variantes de
P = Fn/Fn-1 présentées ici.
Suites universelles de Fibonacci : Phi n’est qu’une des infinies variantes de la constante P. Jean-Yves BOULAY 2009 ©