1°) lim g(x)

CORRECTION CONTROLE COMMUN N°2
Exercice 1 :
1) f(x) = √x² + 3 –x =
(√x2 +3 –x)(√x2 +3+x )
√x²+3+x
=
x²+3−x²
=
√x²+3+x
3
√x²+3+x
Or limx↦+∞ √x² + 3 + x = +∞ et d’où limx↦+∞ f(x) = 0, la réponse est fausse.
2
2) limx↦1
x
= 2 et limx↦1 x² + 1 = 2 donc f est continue au point d’abscisse 1d’où sur ℝ. Réponse juste.
x²−6x+8
3) f(x) =
3−x
= (x²-6x+8)(
1
limx↦3 x² − 6x + 8 = -1et limx↦3+
limx↦3+
x²−6x+8
3−x
)
3−x
1
3−x
= limX↦0−
1
X
= - ∞ avec X=3-x. D’où par opération sur les limites, on a limx↦3+ f(x) =
= +∞. La réponse est juste.
Exercice 2
Partie A
1°) lim g(x) = lim x 4 = +¥ de même lim g(x) = lim x4 = +¥
x®-¥
x®-¥
x®+¥
x®+¥
g est dérivable sur  et g'(x) = 4x3 + 48x 2 = 4x 2 (x +12) . Le signe de g’(x) est celui de (x+12) d’où
x
-∞
-12
g’(x)
+
+∞
+∞
g(x)
+∞
-6909
2°) g est dérivable et strictement décroissante sur ]- ∞ , -12],Correction du N°3
1) f(x) = √x² + 3 –x =
(√x2 +3 –x)(√x2 +3+x )
√x²+3+x
=
x²+3−x²
=
√x²+3+x
3
√x²+3+x
Or limx↦+∞ √x² + 3 + x = +∞ et d’où limx↦+∞ f(x) = 0, la réponse est fausse.
2) limx↦1
3) f(x) =
2
x
= 2 et limx↦1 x² + 1 = 2 donc f est continue au point d’abscisse 1d’où sur ℝ. Réponse juste.
x²−6x+8
3−x
= (x²-6x+8)(
1
limx↦3 x² − 6x + 8 = -1et limx↦3+
limx↦3+
x²−6x+8
3−x
)
3−x
1
3−x
= limX↦0−
1
X
= - ∞ avec X=3-x. D’où par opération sur les limites, on a limx↦3+ f(x) =
= +∞. La réponse est juste.
g(]- ∞ , -12]) = [-6909, +∞[ et O  [-6909 , +∞[
donc d’après le corollaire du TVI, il existe une unique solution  appartenant à ]- ∞ , -12] telle que g()=0.
De la même manière il existe un unique réel  appartenant à [-12 , +∞[ tel que g()=0.
On a  = -16 et  = -0,58 à 0,01 près.
3°) D’où le tableau de signes
x
-∞


+∞
g(x)
+
0
0
+
Partie B
ainitialisation
Etape 1
Etape 2
Etape 3
Etape 4
m
Signe de
g(m)×g(a)
−16
-15,5
-15,75
-15,875
-15,9375
-
b-Initialisation :
Affecter à a la valeur −16
Affecter à b la valeur −15
Saisir la valeur de N
Traitement :
Tant que b −a > 10−N
Sortie :
a
-16
-16
-16
-16
Affecter à m la valeur a +b
2
Si g(𝑎)g(m)> 0, affecter à a la valeur de m.
Sinon, affecter à b la valeur m.
Afficher a
Afficher b.
b
−15
-15,5
-15,75
-15,875
-15,9375
b−a
1
0,5
0,25
0,125
0,0625
Partie C
x4
= lim x = -¥ de même lim f(x) = lim x = +¥
x®-¥
x®-¥ x 3
x®-¥
x®+¥
x®+¥
4
3
- lim x -1 = 255 et lim (x + 4) = 0 donc par quotient lim f(x) = -¥ de même lim f(x) = +¥
1°) lim f(x) = lim
x®4
x®-4
x<-4
3
2°) f '(x) =
3°)
x
f’(x)
4x3 ( x + 4) - 3( x 4 -1) ( x + 4)
( x + 4)
x®-4
x<-4
6
=

-
4x3 ( x + 4) - 3( x 4 -1)
2
( x + 4)
=
x 4 +16x3 + 3
( x + 4)
4
=
g(x)
( x + 4)

-4
+
-
+
+
-
4
+
-
f()
f(x)
4
x®-4
x>-4
+
-
f()
Fenêtre : xmin -40, xmax 40, ymin -100, ymax 100
EXERCICE N° 3
𝟏
a. D’après l’énoncé, 𝒑(𝑻𝟏 ) = 𝒑(𝑻𝟐 ) = ; 𝒑𝑻𝟏 (𝑻𝟐 ) = 𝟎, 𝟑 .
𝟐
𝑝𝑃1 (𝑃2 ) = 0,8 ; on en déduit 𝑝𝑃1 (𝑇2) = 1 − 𝑝𝑃1 (𝑃2) = 1 − 0,8 ; d’où 𝒑𝑷𝟏 (𝑻𝟐 ) = 𝟎, 𝟐 .
b. 𝑇2 = (𝑇2 ∩ 𝑇1 ) ∪ (𝑇2 ∩ 𝑃1 ) ; 𝑇2 ∩ 𝑇1 et 𝑇2 ∩ 𝑃1 étant incompatibles, on a :
1
1
𝟏
𝑝(𝑇2 ) = 𝑝(𝑇2 ∩ 𝑇1 ) + 𝑝(𝑇2 ∩ 𝑃1 ) = 𝑝(𝑇1 )𝑝𝑇1 (𝑇2 ) + 𝑝(𝑃1 )𝑝𝑃1 (𝑇2 ) = × 0,3 + × 0,2 ; 𝒑(𝑻𝟐 ) = .
2
c.
2
𝟒
𝑇𝑛+1
0,3
𝑇𝑛
𝑢𝑛
0,7
0,2
𝑃𝑛+1
𝑇𝑛+1
0,8
𝑃𝑛+1
𝑃𝑛
1 − 𝑢𝑛
d. Si 𝑛 ≥ 1 , d’après la propriétés des probabilités totales,
𝑢𝑛+1 = 𝑝(𝑇𝑛+1 ) = 𝑝(𝑇𝑛 )𝑝𝑇𝑛 (𝑇𝑛+1 ) + 𝑝(𝑃𝑛)𝑝𝑃𝑛 (𝑇𝑛+1 )
= 0,3𝑢𝑛 + 0,2(1 − 𝑢𝑛 ) = 0,3𝑢𝑛 + 0,2 − 0,2𝑢𝑛 , donc 𝒖𝒏+𝟏 = 𝟎, 𝟏𝒖𝒏 + 𝟎, 𝟐 .
e. A l’aide de la calculatrice, on conjecture que la limite de (𝑢𝑛 ) est 0,222 …
2
2
2
2
2. a. Pour 𝑛 ≥ 0 , 𝑣𝑛+1 = 𝑢𝑛+1 − 9 = 0,1𝑢𝑛 + 0,2 − 9 = 0,1 (𝑣𝑛 + 9) − 9 + 0,2
= 0,1𝑣𝑛 +
0,2
9
2
1,8
9
9
− +
; donc 𝒗𝒏+𝟏 = 𝟎, 𝟏𝒗𝒏 .
2
1
2
𝟓
Ceci prouve que la suite (𝑣𝑛 ) est une suite géométrique de raison 0,1 et de premier terme 𝑣0 = 𝑢0 − 9 = 2 − 9 , soit 𝒗𝟎 = 𝟏𝟖 .
𝟓
𝟓
𝟐
b. On a donc 𝒗𝒏 = 𝟏𝟖 . 𝟎, 𝟏𝒏 , et 𝒖𝒏 = 𝟏𝟖 . 𝟎, 𝟏𝒏 + 𝟗 , pour tout 𝑛 ≥ 0 .
𝟐
c. Puisque −1 < 0,1 < 1 , lim𝑛→+∞ 0,1𝑛 = 0 , donc 𝐥𝐢𝐦𝒏→+∞ 𝒖𝒏 = 𝟗 .
La conjecture du e. est validée car
2
9
= 0,222 … .
Exercice 4 :
notons les évènements B : « le lecteur choisit une biographie » , R : « le lecteur choisit un roman policier » et F : « le lecteur
choisit le livre d’un écrivain français ». Grâce aux données de l’énoncé, on peut modéliser la situation avec l’arbre pondéré :
150
1. P(R) =
= 0,75 , donc réponse b.
200
2. PR (F)=40% = 0,4 , donc réponse d.
3. P(R∩F) = PR(F)×P(R) = 0,4×0,75 = 0,3 , donc réponse c.
4. B et R formant une partition de Ω, d’après la loi des probabilités
totales , P(F) = PB(F)×P(B) + PR(F)×P(R)
= 0,7×0,25 + 0,4×0,75
= 0,475 , donc réponse c.
5. PF(R) =
6.
P(R∩F)
P(F)
=
PR (F)×P(R)
P(F)
=
0,4×0,75
0,475
=
12
19
, donc réponse c.
Notons X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de romans policiers choisis. Le fait de venir 20 fois à la
bibliothèque et de choisir ou pas un roman policier peut être assimilé à un schéma de Bernoulli, donc X suit la loi
binomiale B(20 ;0,75).
Donc P(X≥1) = 1 – P(X=0) = 1 – (0,25)20 , donc réponse a.