Chapitre 7 Proportionnalité. Voir 6ème, chapitres 7 et 12. I

5ème – Ch. 7
Chapitre 7
Proportionnalité.
Voir 6ème, chapitres 7 et 12.
I)
Définir
Vocabulaire :
On dit que deux grandeurs sont « fonction » l’une de l’autre si elles dépendent l’une
de l’autre.
Une définition :
Deux grandeurs sont proportionnelles, s’il existe un opérateur multiplicatif permettant
de passer de l’une à l’autre.
II)
Reconnaître sur un tableau
Propriété et définitions :
• Un tableau de nombres correspond à une situation de proportionnalité si les
grandeurs d'une ligne s'obtiennent en multipliant celles de l'autre par un même
nombre.
• Cet opérateur multiplicatif s'appelle coefficient de proportionnalité.
Conséquences :
• Si tous les couples de nombres qui se correspondent donnent le même quotient,
alors il y a proportionnalité.
• Il suffit qu'un quotient ne soit pas égal aux autres pour qu'il n’y ait pas
proportionnalité.
Exemple :
Volume de carburant (en L)
Prix (en €)
5
4
16,3
13,04
30
24
42,7
34,16
× 0,8
Méthode 1 : Recherche d’un opérateur multiplicatif.
13, 04
34,16
4
24
=
=
=
= 0,8
•
5
16,3
30
42, 7
Donc, ce tableau représente une situation de proportionnalité, de coefficient 0,8.
Il permet d’exprimer le prix « en fonction » du volume : Prix = 0,8 × Volume.
0,80 € pour 1 L (prix « de référence » ou « unité »).
Le prix payé est proportionnel au volume acheté.
5
•
= 1,25 est l’autre coefficient de cette proportionnalité.
4
Il permet de calculer le volume en fonction du prix. 1,25 L pour 1 €.
Méthode 2 : Test « du double » (ou du triple, ou du quart, etc.).
30 = 5 × 6 et 24 = 4 × 6 etc.
© 2006-2007 easymaths.free.fr
Page 1 sur 5
5ème – Ch. 7
Contre-exemple :
Grandeur A 2
15 26,9 45
Grandeur B 4, 6 34,5 62 90, 2
4, 6
34,5
62
4, 6
62
=
= 2,3 mais
≈ 2,3048. Par conséquent,
≠
.
2
15
26,9
2
26,9
Il n’existe donc pas d’opérateur multiplicatif permettant de passer de la grandeur A à
la grandeur B. D’où ce n’est pas un tableau de proportionnalité.
III)
Compléter un tableau
Remarques :
Pour compléter un tableau de proportionnalité, il faut connaître deux valeurs (non
nulles) qui se correspondent.
Le choix de la méthode est orienté par le contexte et les données.
A) Méthode 1
Calculer le coefficient de proportionnalité (retour à l’unité).
Exemple :
×
1
12
Longueur du tissu (en m)
Prix (en €)
0,8
9,6
2,3
9,2
4
48
5,6
67,2
× 12
On recherche, avec la colonne complète, les deux opérateurs multiplicatifs.
48
Prix en fonction de la longueur :
= 12.
12 € pour 1 m de tissu.
4
4
1
Longueur en fonction du prix :
=
≈ 0,0833.
1/12 m pour 1 €.
48 12
B) Méthode 2
Utiliser les propriétés de la proportionnalité (correspondants).
Exemple :
×4
Longueur du tissu (en m)
Prix (en €)
20 m = 5 m × 4 donc 60 € × 4 = 240 €
5
60
÷2
20
240
10
120
25
300
+
C) Méthode 3
Calculer la quatrième valeur proportionnelle à trois autres.
Trois nombres sont donnés (« règle de 3 »), un quatrième est à trouver.
Exemple :
© 2006-2007 easymaths.free.fr
Page 2 sur 5
5ème – Ch. 7
8 12
11
x
11
×
8
Le nombre x tel que ce tableau représente une situation de
proportionnalité est appelé quatrième proportionnelle.
Calcul du coefficient de proportionnalité :
Calcul de la 4ème proportionnelle x :
11
.
8
x = 12 ×
11 12 ×11
=
= 16,5.
8
8
Remarques :
•
On a les égalités de quotients :
11
x
8
12
=
et
=
.
8
12
11
x
IV)
Résoudre un problème
Démarche :
• On repère les grandeurs qui interviennent, et on s’assure qu’il y a bien
proportionnalité entre elles.
• On repère les valeurs qui se correspondent.
• On calcule le coefficient de proportionnalité.
Méthode :
On peut présenter les données dans un tableau pour mieux comprendre la situation :
• On précise les titres des lignes (les deux grandeurs qui interviennent et leurs
unités).
• On note les valeurs qui se correspondent. (On convertit si besoin.)
• On complète par la méthode de son choix.
V)
Applications
A) Pourcentage
Définition et propriété :
• Un pourcentage est un coefficient de proportionnalité de dénominateur 100.
• Calculer un pourcentage revient à calculer une 4ème proportionnelle.
Exemple :
Sur les 28 h de l’emploi du temps d’une 5ème, les maths représentent 3,5 h.
• Rédaction 1 :
3,5
Proportion de maths : 3,5 h sur 28 h donc
.
28
Il y a la même proportion de maths dans 100 h de cours que dans 28 h de cours.
x
3,5
3,5 × 100
Proportion en pourcentage :
=
donc x =
= 12,5.
28
100
28
D’où les maths représentent 12,5 % de l’emploi du temps d’une 5ème.
• Rédaction 2 :
" si "
Nombre total d'heures
28
100
Nombre d'heures de maths
3,5
x
© 2006-2007 easymaths.free.fr
× 3,5
28
Page 3 sur 5
5ème – Ch. 7
B) Échelle
Propriété et définition :
• Une reproduction est dite « à l’échelle », si les longueurs sur la reproduction et
les longueurs réelles correspondantes sont proportionnelles.
• Le coefficient de proportionnalité qui permet de passer des longueurs réelles aux
longueurs de la reproduction exprimées dans la même unité est appelé échelle.
Formule :
Échelle =
Longueur sur la reproduction
Longueur réelle
Longueurs dans la même unité !
Remarques :
• Une échelle s’écrit généralement sous la forme d’une fraction. Quand cela est
possible, on l’écrit avec un :
Numérateur égal à 1 si la reproduction est une réduction (échelle inférieure à 1).
Réalité
Reproduction 1
Dénominateur égal à 1 si la reproduction est un agrandissement (échelle supérieure
Réalité
1
à 1).
Reproduction
•
Une échelle n’a pas d’unité.
Exemple :
Sur une reproduction « à l’échelle », 12,50 m sont représentés par 5 cm.
• Rédaction 1 :
Même unité : 12,5 m = 12,5 × 100 cm = 1250 cm
5
1
Échelle de réduction :
=
1250
x
5
5 ×1
1
1250 × 1
Donc
=
=
ou bien
x=
= 250
1250
5 × 250
250
5
D’où l’échelle de réduction de cette reproduction est 1 / 250.
• Rédaction 2 :
Dimension réelle (en cm)
Dimension sur la reproduction (en cm)
1250
x
5
1
" si "
×
1
250
• Rédaction 3 :
5 cm représentent 12,50 m donc 1 cm représente 12,5 m ÷ 5 = 2,50 m c’est-à-dire
250 cm.
C) Unités de temps
Propriété :
Les durées exprimées en minutes et les durées correspondantes exprimées en
heures sont proportionnelles.
© 2006-2007 easymaths.free.fr
Page 4 sur 5
5ème – Ch. 7
Exemples :
• 15 min = 1/4 h = 0,25 h
•
1 h 30 min = 1,5
h
N
écriture
écriture
sexagésimale décimale
•
•
•
30 min = 1/2 h = 0,5 h
45 min = 3/4 h = 0,75 h
1
h
60
5,8 h = 5 h + 0,8 h = 5h + 0,8 × 60 min = 5 h + 48 min = 5 h 48 min
Durée (h)
1 0,8
On peut utiliser le tableau,
Durée (min) 60 t
1 h = 60 × 1 min = 60 min
1 min = 1 h ÷ 60 =
2 h 24 min = 2 h + 24 × 1/60 h = 2 h + 24/60 h = 2 h + 0,4 h = 2,4 h
Durée (min) 60 24
On peut utiliser le tableau,
t
Durée (h)
1
Calculatrice :
• Convertir 3,5 h en heures et minutes :
3,5 2nd DMS (galaxy 40)
3,5 ° / ’’ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ DMS = (TI 40 collège II)
3,5 ° ’ ’’ EXE (Casio fx 92 collège new +) : affichage 3° 30’ 0’’
• Convertir 3 h 30 min en un nombre décimal d’heures :
3 2nd π 30 2nd π ⇒ 0 2nd π ⇒⇒ = (TI 40 collège II)
3 ° ’ ’’ 30 ° ’ ’’ 0 ° ’ ’’ EXE shift ° ’ ’’ (Casio fx 92 collège new +)
D) Mouvement uniforme
Propriété et définitions :
• On dit qu’un mobile est animé d’un mouvement uniforme, si les distances
parcourues et les durées correspondantes sont proportionnelles.
• Le coefficient de proportionnalité qui permet de passer de la durée à la distance
est appelé vitesse constante du mobile.
Exemple :
Un mobile animé d’un mouvement uniforme, parcourt 41,6 km en 52 min.
Quelle est la distance parcourue en 1 h 18 min ?
Mouvement uniforme donc proportionnalité entre distance et durée.
1 h 18 min = 78 min.
Durée du parcours (min) 52 78
41, 6 × 78
Donc, d =
= 62,4.
Distance parcourue (km) 41, 6 d
52
D’où, ce mobile parcourt 62,4 km en 1 h 18.
© 2006-2007 easymaths.free.fr
Page 5 sur 5