TS SPE DEVOIR MAISON no 2 correction Le code-barres ISBN

DEVOIR MAISON no 2
TS SPE
correction
Le code-barres ISBN-13 (International Standart Book Number) permet d’identifier de manière unique un livre. Les 12
premiers chiffres donnent des informations sur le pays d’origine, l’éditeur et la série du produit. Le dernier chiffre est une
clé de contrôle qui permet de détecter une éventuelle erreur dans les 12 premiers chiffres.
A Calcul de la clé
1. S = (9 + 8 + 0 + 7 + 2 + 2) + 3(7 + 2 + 4 + 3 + 9 + 7) = 124
124 = 12 × 10 + 4 donc le reste vaut 4
clé= 10 − 4 = 6 La clé est bien égale à 6.
2. S = (9 + 8 + 0 + 7 + 2 + 5) + 3(7 + 2 + 4 + 3 + 8 + 0) = 103
103 = 10 × 10 + 3 donc le reste vaut 3
clé= 10 − 3 = 7 La clé est égale à 7.
3. Soit x le chiffre caché.
S = (9 + 8 + 0 + 1 + 2 + 6) + 3(7 + 2 + 9 + x + 6 + 4) = 26 + 3(28 + x) = 3x + 110
La clé de ce code est 9 donc le reste vaut 1 (10 − 1 = 9)
Comme 110 est un multiple de 10 alors le reste de la division euclidienne de 3x par 10 doit être de 1.
Pour x = 7, 3x = 21 et 21 = 2 × 10 + 1.
Donc x = 7
B Propriété de la somme S
S′ = S + c13
On a S = 10q + r avec q entier naturel
Donc S′ = 10q + r + c13
• si r = 0 alors c13 = 0 et S′ = 10q + r + c13 = 10q et S′ est multiple de 10
• si r , 0 alors c13 = 10 − r et S′ = 10q + r + c13 = 10q + r + 10 − r = 10q + 10 = 10(q + 1) et S′ est multiple de 10
C Détection des erreurs
1. On suppose qu’on a fait une erreur sur le chiffre c2 . On note b2 le chiffre qui s’est substitué à c2 .
On note S1 = (c1 + c3 + c5 + c7 + c9 + c11 + c13 ) + 3(c2 + c4 + c6 + c8 + c10 + c12 )
et S2 = (c1 + c3 + c5 + c7 + c9 + c11 + c13 ) + 3(b2 + c4 + c6 + c8 + c10 + c12 ).
a. b2 et c2 sont des chiffres donc 0 6 b2 6 9 et 0 6 c2 6 9
On en déduit que : −9 6 c2 − b2 6 9
b. S1 − S2 = (c1 + c3 + c5 + c7 + c9 + c11 + c13 ) + 3(c2 + c4 + c6 + c8 + c10 + c12 ) − (c1 + c3 + c5 + c7 + c9 + c11 + c13 ) − 3(b2 +
c4 + c6 + c8 + c10 + c12 ) = 3c2 − 3b2 = 3(c2 − b2 )
Comme −9 6 c2 − b2 6 9 alors −27 6 S1 − S2 6 27
S1 − S2 est un multiple de 3.
Si cette différence est un multiple de 10 alors comme cette différence est un multiple de 3 elle est aussi
multiple de 30.
Le seul multiple de 30 compris entre -27 et 27 est 0 ce qui est impossible car S1 , S2 (b2 , c2 )
Donc cette différence n’est pas un multiple de 10.
c. D’après la partie B, S1 est un multiple de 10 et on vient de démontrer que S1 − S2 n’est pas un multiple de 10
donc S2 n’est pas un multiple de 10 et la clé ne correspond pas.
L’erreur de saisie sera détectée.
2. Je reprends le premier code-barres : 978-2-04-732927-6 (somme S = 124)
Je change 2 chiffres de rang impair : 978-2-14-632927-6 (on vérifie que la somme S reste inchangée)
Les 2 erreurs ne sont pas détectées.