Devoir maison n˚3

TS Spécialité
Devoir maison n˚3
Pour le 24/02/2014
Exercice 1 : Un exemple de chiffrement affine
La lettre associée à l’entier x est codée par la lettre associée à f (x), reste de la division
euclidienne de 21x + 11 par 26.
1. Coder le mot RIGOLO.
2. Soit x et x′ , des entiers compris (au sens large) entre 0 et 25, tels que f (x) ≡ f (x′ )[26].
(a) Montrer que 21(x − x′ ) = 26k où k ∈ Z.
(b) En déduire que x ≡ x′ [26] puis que x = x′ .
3.
(a) Déterminer un couple d’entiers (u, v) tel que 21u + 26v = 1
(b) En déduire la fonction de décodage (à partir de la congruence f (x) ≡ 21x +
11[26], trouver x ≡ . . . [26])
4. Décoder le mot GLB.
Exercice 2 : Un exemple de déchiffrement affine
Un message a été codé par un chiffrement affine. On note f la fonction de codage : f (x)
est le reste de la division euclidienne de ax + b par 26. À l’aide d’une analyse fréquentielle,
on a remarqué que la lettre E est codée par E et que la lettre T est codée par Z.
1. Démontrer que a et b vérifient le système :
4a + b ≡ 4[26]
19a + b≡25[26]
2. En déduire que 15a ≡ 21[26].
3. Déterminer l’inverse de 15 modulo 26 et en déduire la valeur de a puis celle de b.
4. Déterminer la fonction de décodage. (voir exercice 1)
5. Décoder le message OQZROHOUT.
Exercice 3 : Codage par exponentiation
On considère la fonction de codage définie par f (x), égal au reste de la division euclidienne
de x5 par 26.
1. A l’aide d’un tableur ou de la calculatrice, dresser le tableau de congruence des
valeurs de x5 modulo 26.
2. Coder le mot TEST et décoder le mot STK.
3. Compléter le tableau de congruence pour obtenir les valeurs de x25 modulo 26 et
vérifier que pour tout entier x, x25 ≡ x[26]
4. En déduire que la fonction de décodage est f elle-même.
Exercice 4 : Chiffrement de Vigenère
1. Faire l’activité page 54 du manuel.
2. Rechercher des informations sur le carré de Vigenère et expliquer son fonctionnement.
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Une correction du Devoir maison
Exercice 1 : Un exemple de chiffrement affine
La lettre associée à l’entier x est codée par la lettre associée à f (x), reste de la division
euclidienne de 21x + 11 par 26.
1. Coder le mot RIGOLO.
A l’aide d’une feuille de calcul, on calcule les restes successifs des images de 17, 8, 6, 14, 11, 14
par f dans la division euclidienne par 26. On trouve alors : EXHTIT
2. Soit x et x′ , des entiers compris (au sens large) entre 0 et 25, tels que f (x) ≡ f (x′ )[26].
(a) Montrer que 21(x − x′ ) = 26k où k ∈ Z.
On a : 21x + 11 ≡ 21x′ + 11[26] ⇐⇒ 21x ≡ 21x′ [26] ⇐⇒ 21(x − x′ ) ≡ 0[26].
Ceci montre que 21(x − x′ ) est un multiple de 26.
(b) En déduire que x ≡ x′ [26] puis que x = x′ .
On a 21(x − x′ ) = 26k avec k ∈ Z donc 26|21(x − x′ ). Or, 21 et 26 sont
premiers entre eux, donc, d’après le théorème de Gauss, 26|x − x′ c’est-à-dire
x − x′ ≡ 0[26] ou encore x ≡ x′ [26].
Puisque x et x′ sont des entiers compris entre 0 et 25, nécessairement x = x′ .
3.
(a) Déterminer un couple d’entiers (u, v) tel que 21u + 26v = 1
Algorithme d’Euclide :
26 = 21 × 1 + 5
21 = 5 × 4 + 1
5 =1×5+0
D’où : 1 = 21 − 5 × 4 = 21 − (26 − 21 × 1) × 4 = 21 × 5 + 26 × (−4). On a donc
(u, v) = (5, −4)
21 et 5 sont inverses modulo 26 puisque 21 × 5 = 1 + 26 × 4.
(b) En déduire la fonction de décodage (à partir de la congruence f (x) ≡ 21x +
11[26], trouver x ≡ . . . [26])
f (x) ≡ 21x+11[26] donc 5f (x) ≡ 5×21x+55[26]. Or 55 ≡ 3[26] et 5×21 ≡ 1[26]
d’après la question précédente.
On en déduit : 5f (x) ≡ x + 3[26] soit x ≡ 5f (x) − 3[26]. Pour décoder, il suffit
de coder le message crypté à l’aide du codage affine 5x − 3
4. Décoder le mot GLB.
Avec la feuille de calcul, on trouve BAC (original...)
Exercice 2 : Un exemple de déchiffrement affine
Un message a été codé par un chiffrement affine. On note f la fonction de codage : f (x)
est le reste de la division euclidienne de ax + b par 26. À l’aide d’une analyse fréquentielle,
on a remarqué que la lettre E est codée par E et que la lettre T est codée par Z.
1. Démontrer que a et b vérifient le système :
4a + b ≡ 4[26]
19a + b≡25[26]
E est codé par E donc a × 4 + b ≡ 4[26]
T est codé par Z donc a × 19 + b ≡ 25[26]
2. En déduire que 15a ≡ 21[26].
Il suffit de soustraire membre à membre les deux équations précédentes
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3. Déterminer l’inverse de 15 modulo 26 et en déduire la valeur de a puis celle de b. On
procède comme dans l’exercice 1 :
On trouve une relation de Bézout : 15 × 7 − 26 × 4 = 1
Donc 15 × 7 ≡ 1[26]
De 15a ≡ 21[26] on tire 7 × 15a ≡ 7 × 21[26] soit a ≡ 17[26]. Donc a = 17 puisque
0 ≤ a ≤ 25.
On a donc :
68 + b ≡ 4[26]
b≡14[26]
⇐⇒
323 + b≡25[26]
b≡14[26]
Finalement, (a; b) = (17; 14)
4. Déterminer la fonction de décodage. (voir exercice 1)
On cherche tout d’abord l’inverse de 17 modulo 26 : On trouve 17×(−3)+26×2 = 1.
On a f (x) ≡ 17x + 14[26] donc : −3f (x) ≡ x − 42[26] soit x ≡ −3f (x) + 42[26] ≡
23f (x) + 16. Pour décoder, il suffit de coder le message crypté à l’aide du codage
affine 23x + 16
5. Décoder le message OQZROHOUT.
Avec la feuille de calcul, on trouve AUTRAVAIL (Pffff ! Comme si on n’y était pas
...)
Exercice 3 : Codage par exponentiation
On considère la fonction de codage définie par f (x), égal au reste de la division euclidienne
de x5 par 26.
1. A l’aide d’un tableur ou de la calculatrice, dresser le tableau de congruence des
valeurs de x5 modulo 26.
Voir fichier tableur
2. Coder le mot TEST et décoder le mot STK.
On trouve respectivement PKSP et SPE
3. Compléter le tableau de congruence pour obtenir les valeurs de x25 modulo 26 et
vérifier que pour tout entier x, x25 ≡ x[26]
Pour tout 0 ≤ x ≤ 25, on a : x25 ≡ x[26] (calculs tableur).
Soit x un entier quelconque. P
Il s’écritx′ + 26k avec 0 ≤ x′ ≤ 25 et k ∈ Z.
25 ′i
25
′
25
25−i ≡ x′25 ≡ x[26] (non demandé)
On a : x = (x + 26k) = 25
i=0 i x (26k)
NB : Il faudrait utiliser le petit théorème de Fermat pour démontrer cette question
en évitant ces calculs mais nous ne l’avons pas encore vu...
4. En déduire que la fonction de décodage est f elle-même.
On a : (f (x))5 ≡ (x5 )5 ≡ x25 ≡ x[26]
Exercice 4 : Chiffrement de Vigenère
1. Faire l’activité page 54 du manuel.
Avec la clef BAC, SPECIALITE est codé par TPGDICMIVF.
On trouve la clef BEC.
Le message codé était : "Maître corbeau sur un arbre perché, tenait en son bec un
fromage."
2. Rechercher des informations sur le carré de Vigenère et expliquer son fonctionnement.
http://www.bibmath.net/crypto/index.php?action=affiche&quoi=poly/vigenere
Cette leçon vaut bien un fromage sans doute...
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ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
BCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZA
CDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZAB
DEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABC
EFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABCD
FGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABCDE
GHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABCDEF
HIJKLMNOPQRSTUVWXYZABCDEFG
IJKLMNOPQRSTUVWXYZABCDEFGH
JKLMNOPQRSTUVWXYZABCDEFGHI
KLMNOPQRSTUVWXYZABCDEFGHIJ
LMNOPQRSTUVWXYZABCDEFGHIJK
MNOPQRSTUVWXYZABCDEFGHIJKL
NOPQRSTUVWXYZABCDEFGHIJKLM
OPQRSTUVWXYZABCDEFGHIJKLMN
PQRSTUVWXYZABCDEFGHIJKLMNO
QRSTUVWXYZABCDEFGHIJKLMNOP
RSTUVWXYZABCDEFGHIJKLMNOPQ
STUVWXYZABCDEFGHIJKLMNOPQR
TUVWXYZABCDEFGHIJKLMNOPQRS
UVWXYZABCDEFGHIJKLMNOPQRST
VWXYZABCDEFGHIJKLMNOPQRSTU
WXYZABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUV
XYZABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVW
YZABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWX
ZABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXY
Figure 1 – Le carré de Vigenère
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