b! - Kafemath

QUELQUES NOMBRES
IRRATIONNELS
TRANSCENDANTS
Hervé Stève
[email protected]
KaféMath du 30/09/2010
1
PLAN
1. Généralités
2. L’exponentielle e
3. Le nombre π
4. Irrationalité de 2√2
2
Généralités
R ensemble des réels, indénombrable
Q ensemble des rationnels
a / b avec a, b dans Z (entiers)
Q est dense dans R, dénombrable
b
5 4 3
6 1 2
7 8 9 10
a
Q=Z x Z  Z
a/bz
3
Généralités (suite)
 R \ Q irrationnels, indénombrable
 K ensemble des algébriques, dénombrable
racines des polynômes p(x)=c0+c1x+c2x²+…+cnxn
exemple) √2 solution de p(x) = x² - 2 = 0
 R \ K ensemble des transcendants indénombrable
 Joseph Liouville 1844 : premier transcendant
l
k
10
1
k!
0,11 0001 0000000000 00000000 1 0000 ...
1!2!
3!
4!
k! 1 2 3  (k 1) k
4
L’exponentielle e
e ≈ 2,718 281 828 459 045 235 360 287 4…
Constante de Neper (John Napier 1618)
logarithme népérien : ln(e)=1= eln(1)
L’aire sous l’hyperbole entre 1 et e vaut 1
e1
dx
1 x
ln( e) ln(1) 1
y
y=1/x
1
e
x
5
Exponentielle (Euler)
e notation proposée par Léonard Euler (1731)
1 1
1
e 1

 avec k! 1 2  k
1! 2!
k!
Identité d’Euler :
y
i²=-1
i
e
i
1 0
e
i
cos
1
x
i sin
α
eiπ=-1
0
6
Irrationalité/transcendance
Euler : e a un développement en fraction
continue Illimité
e irrationnel
2
e
1
1
1
2
1
1
1
1
1
4
1
1
1
1
6 
Transcendance : Charles Hermite en 1873
7
Irrationalité de e
Si e irrationnel  pour tout entier b>0
alors b e non entier  b! e non entier
b!e
b
x
k
x
b!
0
k!
y
b!
b
k 0
b
k
1
0
k!
b!
b (b 1)  (b
k b
1
1
k!
k 1) entier
1
1
1

b 1 (b 1)(b 2) (b 1)(b 2)(b 3)
1
1
1
1

1 non entier
2
3
b 1 (b 1)
(b 1)
b
y
y
a
1
b 1
1
1 a
a
2
a
3

1
1 a
1
1
b
donc b! e non entier => e irrationnel CQFD
8
Transcendance de e
Preuve de David Hilbert (1862-1943) :
Si e algébrique alors c0+c1e+c1e2+…+cnen=0
avec cj>0 entier, si k>0 entier, on note :
I
b
a
b
a
k
x (x 1)(x 2)
(x n)
k 1
e x dx
On a c0I0 +c1eI0 +c1e2I0 +…+cnenI0 =0=P1+P2
P1= c0I0 +c1eI1 +c1e2I2 +…+cnenIn
P2 =
c1eI01+c1e2I02+…+cnenI0n
j
0
x
x e dx
j!
Alors P1/k! entier > 0 et I P2/k! I < 1 non entier
Donc (P1+P2)/k! non entier ne peut être nul !
9
Le nombre π
Constante d’Archimède, Pi
1
0
π = C / d = circonférence d’un cercle de diamètre 1
= A / r² = aire d’un cercle de rayon 1
y
1 x 2 dx
arctan(1) arctan(0)
4
π/4
0
1
x
Lorsqu’on demande à un mathématicien
combien vaut π :
il répond «π»
10
Antiquité de π
Nombre 3 : Bible, en Chine, …
Tablettes babyloniennes (2000 avant J.-C.) :
π ≈ 3 + 7/60 + 30/3600 = 3 + 1/8 = 3,125
Papyrus de Rhind (scribe égyptien Ahmès) :
π ≈ 256 / 81 ≈ 3,1605…
Texte indien : π ≈ 339 / 108 ≈ 3,139
Traité d’Archimède (-230) :
3 + 10/71 < π < 3 + 1/7 soit π ≈ 3,14185…
Ptolémée (+150) :
π = 3 + 8/60 + 30/3600 ≈ 3,1416666…
11
‘trois castors sans chaise’
Histoire de π
> 1400 : développements en série
( 1) k
4 4 4
4
4
...
3 5 7
k 0 2k 1
En 1426, Al-Kachi (perse) donne 16 décimales
Formule de Viète (1593), Wallis (1655),…
Newton trouve 15 décimales et déclare « j’ai
honte de vous dire combien de décimales
grâce à ces calculs, n’ayant aucune autre
occupation à l’époque … »
Shanks (19ème) calcule 707 décimales en 15
ans ! seulement 527 sont correctes !
12
Calculs numériques
ENIAC (1949) : John von Neumann obtient
2037 décimales en 70 heures !
1973 : un million de décimales avec la
transformée de Fourier
5000 milliards de décimales calculées en
août 2010 !
Approximations de Pi :
π ≈ 355 / 113 ≈ 3,14159292…
π = 4 atan(1)= acos(-1)
13
Mémorisation de Pi
Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !
Immortel Archimède, artiste, ingénieur
Qui de ton jugement peut priser la valeur ?
Pour moi ton problème eut de pareils avantages
…
31415926535
8979
32384626
43383279
…
14
Irrationalité de π
 Johann Heinrich Lambert (1761) : le développement
en fraction continue de tan(m/n) est illimité (avec
m et n entiers non nuls)
tan(m/n) irrationnel
tangente
m
n
n
3n
m
m2
m2
m2
5n
7n 
Donc si x rationnel alors tan(x) est irrationnel
Par contraposée (si A alors B
si non B alors non A)
si tan(x) est rationnel alors x irrationnel
Or tan(π/4)=1 rationnel donc π/4 et π irrationnel
 Ivan Niven (1946) : preuve plus simple …
15
Transcendance de π
 Ferdinand von Lindemann (1882) généralise
Hermite (transcendance de e) : si x est algébrique
non nul alors ex est transcendant
Contraposée : si ex est non transcendant alors x est
non algébrique
Identité d’Euler : eiπ =-1 non transcendant donc iπ est
non algébrique et π est transcendant
 π est non constructible (règle, compas) car tout
nombre constructible est algébrique (Wantzel)
=> non quadrature du cercle
πr² ≠ c²
16
7ème problème de Hilbert
 Irrationalité de 2√2 ? Hilbert 1900
 Gel’fond-Schneider 1934 : transcendance de ab
avec a algébrique non nul, b algébrique non
rationnel => 2√2 transcendant
 Problème de Hilbert : existe-t-il a,b irrationnels
tels que ab rationnel ?
Fait appel au problème du tiers exclu
 Prenons a=b=√2 et c= ab= √2√2
17
Rappels sur √2
 √2 x √2 = 2
c'est bien le carré de sa racine carrée !
√2=21/2 : en effet (21/2)²=22/2=2
 Théorème de Pythagore :
√2 est valeur de de la diagonale d'un carré de côté 1
En effet d² = c² + c² = 2 donc d = √2
d
c
 √2 est irrationnel :
il n'est pas le rapport de 2 entiers …
c
18
Irrationalité de √2
Preuve par l'absurde :
Hypothèse : supposons que √2 rationnel
donc il existe p et q entiers tels que √2 = p / q
p/q fraction irréductible c.a.d. pgcd(p,q)=1
p ou q non pairs
√2=p/q
2=p²/q²
2q² = p² pair
p pair
On a p=2p' d'où 2q²=4p'² q²=2p'² pair
q pair
IMPOSSIBLE car le principe de non contradiction
"on ne peut avoir une chose et son contraire"
L'hypothèse est donc fausse CQFD
19
C'est quoi ce nombre 2√2 ?
 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
 23/2 = √23 = √2 x √2 x √2 = 2√2 2,828…
 Suite 2, 21,4, 21,41, 21,414, …
2√2 ~2,665..
21,4 = 27/5 = 5√27 = 5√2 x 5√2 x … x 5√2 puissance
7ème de la racine 5ème de 2 ~ 2,639…
21,41 =2141/100 = 100√2141 ~ 2,657..
…
 Nombres xe/r = r√xe avec r√xr = x
xy = ey ln(x) = 10y log10(x)
20
Tiers exclu
 a=b=√2 irrationnels ; c= ab= √2√2 rationnel ?
 Principe du tiers exclu (Aristote) :
1) soit c est rationnel, Hilbert est prouvé
2) Soit c est irrationnel, Hilbert est prouvé car
c
a
2
2
2
2
2
2
2 rationnel
 Conclusion : existence non explicite de √2√2 !
 Intuitionnistes : pas obligé de croire "Les
licornes existent mais on ne peut pas les voir"
 Sans tiers exclu : preuve en 1930
21
Logique
Proposition A, son contraire est (non A)
Théorie T = ensemble d'axiomes
non contradictoire entre eux
si A prouvée dans T alors P(A)
si A non prouvée dans T alors P(A)
Non contradictoire dans T :
P(A) et P(non A) ; P(non A) et P(A)
Contradictoire dans T :
P(A) et P(non A)
22
Indécidabilité
Indécidable dans T :
P(A) et P(non A) : théorie T incomplète
le contraire c'est P(A) ou P(non A)
autrement dit le principe du tiers exclus
Le principe du tiers exclus est en
contradiction avec l'indécidabilité et
conduit à des existences non explicites !
23
Les licornes
existent …
‘la vue’
Et Dieu ?
On ne peut voir, démontrer
Seulement croire … ou pas
Les trous noirs
existent mais on
ne peut pas les
voir !
24