Le flocon de Von Koch : une introduction aux fractales

Astronomie et Imagerie Numérique
Le flocon de Von Koch : une introduction aux fractales
01-08-2010
Dernière mise à jour : 12-03-2011
Une fois l'applet Java chargé (cela doit prendre tout au plus quelques dizaines de secondes) vous pourrez accéder Ã
une simulation interactive qui vous permettra d'explorer quelques notions sur les fractales.Schéma interactif (Geogebra)
à manipuler à volonté pour illustrer le cours de mathématiques.Niveau : lycée et études supérieures.
Ci-dessous quelques captures d'écran (images cliquables, taille réduite par rapport à la taille d'origine) :
• Le flocon de Von Koch est l'une des premières courbes fractales à avoir été décrite (et ceci bien avant l'invention du
terme "fractale" par le mathématicien Benoît Mandelbrot).On peut le créer à partir d'un triangle équilatéral en modif
récursivement chaque segment de droite constituant l'un de ses côtés de la manière suivante :
- on divise le segment de droite en trois segments de longueurs égales ;
- on construit un triangle équilatéral ayant pour base le segment médian de la première étape ;
- on supprime le segment de droite qui était la base du triangle de la deuxième étape.Le flocon de Von Koch est la
limite de la courbe obtenue, lorsqu'on répète indéfiniment les étapes mentionnées ci-dessus et en effectuant les
modifications de telle manière que les triangles soient tous orientés vers l'extérieur. On peut aussi partir d'un hexagone,
et opérer cette fois-ci en orientant les triangles vers l'intérieur. Dans les deux cas, après quelques itérations on obtient
une forme évoquant un flocon de neige régulier.Voici, ci-dessous, un zoom sur un partie caractéristique de la courbe
frontière du flocon. La succession des images montre ce qui se passe lorsque le nombre d'itération croît.La courbe
frontière du flocon de Von Koch constitue un exemple de courbe continue mais non dérivable en chacun de ses points.
On parle, pour désigner sa structure "répétitive", de fractale.  Une structure fractale est une courbe ou une surface de
forme irrégulière ou morcelée qui est construite en suivant des règles déterministes ou stochastiques
(aléatoires) impliquant une homothétie interne. Plus précisémment "Les objets fractals peuvent être envisagés com
des structures gigognes en tous points" (on parle alors de structure "hologigogne").Le flocon de Von Koch possède ainsi
une propriété géométrique particulière : - considérons un des côtés du triangle équilatéral de départ.- comme
voir sur les images ci-dessous et en utilisant l'applet proposé, on peut le diviser en 4 parties égales. Chacune des
parties, si on la dilate par un facteur 3, est identique à la partie correspondante du flocon de Koch initial (il faut, au
préalable, si on veut vérifier ce résultat en utilisant l'applet, faire une itération supplémentaire, comme le montre
l'animation ci-après). On appelle cette propriété la similarité interne.   x 3 →  Une extension de la notion de dimens
permet d'attribuer à la courbe de Koch une dimension fractale (non entière) dont la valeur est donnée par la relation : où
n représente le nombre de parties et 1/m le rapport de similitude (soit ici, d'après ce qui précède 1/3). On obtient ainsi
le résultat suivant :  Remarque : cette définition de la dimension fractale est compatible avec la notion usuelle de
dimension. Considérons un carré : on peut le partager en 4 carrés égaux de côté moitié, et une similitude (ici une
dilatation) de rapport 2 redonne le carré de départ. La dimension fractale du carré vaut donc : ln(4)/ln(2)=2, ce qui est
bien la dimension usuelle d'un carré. Le flocon de Von Koch est de longueur infinie (pour le détail de la démonstration,
voir l'applet proposé en cochant la case "Longueur de la frontière du flocon de Von Koch") et délimite une aire finie
égale au 8/5 de l'aire A0 du triangle initial (voir, d'une part l'applet en cochant la case "Aire du flocon de Von Koch" et,
d'autre part, ci-dessous, une démonstration de ce résultat).Cliquer pour agrandir le texte  J'attire votre attention sur le fai
que votre navigateur doit accepter les javascripts pour pouvoir profiter pleinement des fonctionnalités proposées...
dans le cas contraire vous perdrez une bonne partie de l'interactivité de l'application. Vous faites apparaître une
nouvelle fenêtre avec l'applet GeoGebra en cliquant sur le lien ci-dessous :Le Flocon de Von Koch : une introduction
aux fractalesVeuillez noter également que le chargement de l'applet, puis son utilisation, peut être assez lent compte
tenu de la grande quantité de calculs nécessaires pour réaliser l'animation et ceci en particulier lorsque le nombre
d'itération dépasse 5. En déplaçant les curseurs vous pouvez faire varier le nombre n d'itération, la valeur de la
longueur d'un des côtés du triangle initial (utile pour zoomer sur la frontière du flocon lorsque le nombre d'itération
est supérieur à 4 et que la longueur L devient grande).François Emond, créé avec GeoGebra
http://www.astronomie-passion.fr
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