Ch 9 : Proportionnalité 1 Tableau de proportionnalité

Ch 9 : Proportionnalité
5ème
Objectifs
• Compléter un tableau de nombres représentant une relation de
proportionnalité, en particulier déterminer une quatrième proportionnelle.
• Reconnaître si un tableau complet de nombres est ou non un tableau de proportionnalité.
• Mettre en oeuvre la proportionnalité dans les cas suivants :
1
-
comparer des proportions,
utiliser un pourcentage,
* calculer un pourcentage,
* utiliser l’échelle d’une carte ou d’un dessin,
calculer l’échelle d’une carte ou d’un dessin.
Tableau de proportionnalité
a.
Définition et propriétés
Définition (Tableau de proportionnalité)
Un tableau de proportionnalité est un tableau à deux lignes dans lequel la deuxième ligne est obtenue en multipliant
chaque nombre de la première par un même nombre appelé le coefficient de proportionnalité.
Exemple : Dans le tableau de proportionnalité ci-dessous, le coefficient de proportionnalité est 12 ÷ 4 = 3.
÷3 ↑
4
12
5
15
9
27
18
54
6
↓ ×3
18
Règle
Dans un tableau de proportionnalité, on ne peut parfois pas calculer exactement le coefficient de proportionnalité :
3
7
6
14
18
↓ ×?
42
Le coefficient de proportionnalité se calcule par l’opération : 7 ÷ 3 mais la division ne s’arrête pas. On écrit alors que
le coefficient de proportionnalité est 37 .
Propriété
Les opérations que l’on effectue sur la première ligne d’un tableau se retrouvent dans la deuxième ligne.
Exemple :
b.
+ ×2 ÷3
✻ ✻ ❄ ❄
❄
4
5
9 18 6
12 15 27 54 18
✻
❄ ❄ ✻ ✻
+ ×2 ÷3
Exemples de situations de proportionnalité
Droite passant par l’origine :
On note dans un tableau l’abscisse et l’ordonnée de plusieurs points de
la droite passant par l’origine :
abscisse
ordonnée
0
0
1
0,5
2
1
3
1,5
4
↓ ×0, 5
2
3
2
1
0
Ce tableau est un tableau de proportionnalité. Le coefficient de propor0 1 2
tionnalité est appelé coefficient directeur de la droite.
Prix payé en fonction du poids :
Au marché, le prix des pommes est 1,2e le kilogramme.
On reporte dans un tableau le prix payé en fonction de la quantité de pommes achetée :
pommes en kg
prix en e
1
1,2
5
6
3
3,6
2
2,4
0,5
0,6
1,5
1,8
Le coefficient de proportionnalité est 1,2. C’est le prix pour 1 kg de pommes.
10
↓ ×1, 2
12
3
4
5
Ch 9 : Proportionnalité
2
5ème
Déterminer une quatrième proportionnelle
Règle
On peut déterminer une quatrième proportionnelle en calculant le coefficient de proportionnalité.
Exemple : Dans le tableau de proportionnalité
3
18
5
, le coefficient de proportionnalité est 18 ÷ 3 = 6.
x
On a donc x = 5 × 6 = 30.
Théorème
Dans un tableau de proportionnalité, les produits « en diagonale » sont deux à deux égaux.
Règle
L’égalité des produits « en diagonale » permet de déterminer une quatrième proportionnelle.
Exemple : Dans le tableau de proportionnalité
4
8
7
, on a l’égalité 4 × x = 8 × 7.
x
D’où 4x = 56 et donc x = 56 ÷ 4 = 14.
3
Applications courantes
a.
Calcul de pourcentage
Que valent 30% de 120e ?
30
x
100 120
Le coefficient de proportionnalité qui permet de passer de la deuxième ligne à la première est égal à
30
× 120 = 0, 3 × 120 = 36
On trouve donc x = 100
On complète le tableau de proportionnalité
30
100 .
Règle
Pour calculer x % d’un nombre, on multiplie ce nombre par
b.
x
100 .
Mouvement uniforme
Lorsqu’un véhicule se déplace toujours à la même vitesse, il y a proportionnalité entre la distance parcourue et le
temps.
Temps (en secondes)
Distance parcourue (en m)
c.
0
0
1
30
2
60
3
90
4
120
Echelle sur une carte
Définition (Echelle)
L’échelle d’une carte est le coefficient de proportionnalité entre les mesures réelles et les mesures sur la carte.
Exemple : Une carte au 1/200 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 200 000 cm sur le terrain.
Combien 5 km sur le terrain font-ils sur la carte ?
200 000 cm valent 2000 mètres, c’est-à-dire 2 km.
sur la carte en cm
sur le terrain en km
1
2
x
5
On trouve x = 5 ÷ 2 = 2, 5. 5 km sur le terrain sont représentés par 2,5 cm sur la carte.