Chapitre 4: Le modèle à effets fixes

Chapitre 4: Le modèle à effets
fixes
•
Buts d
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1. Rappels sur les méthodes d’analyse de la variance et de la
covariance
2. Introduction à l’estimation de modèles sur données
longitudinales ou données de panel
3. Présentation du modèle dit à effets fixes comme un cas
particulier de l’analyse de la covariance
1
1. Analyse de la variance à un
facteur
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Notations :
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3
1.1 Le modèle
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Ojectif: m
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7
1.2 Forme usuelle du modèle
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•
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s :
1. le vecteur j est un vecteur de taille J dont tous les
éléments valent 1
2. le vecteur e est un vecteur de taille J dont tous les
éléments sont nuls, sauf les éléments 1 à J qui sont égaux
à1
J+
1
+
+
1
8
3. le vecteur e i = 2, . . . , I  est un vecteur de taille J dont
tous les éléments sont nuls, sauf les éléments ∑ J + 1 à
J qui sont égaux à 1
∑
4. β = μ, α , . . . , α  et X = j ∣ e ∣ e ∣ ⋯ ∣ e 
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entif iantes:
1. Si μ = 0, on retrouve le cas développé dans la sous section
précédente
2. Si on considère un indice i tel que α = 0, la population i
est dite population de référence
0
i0
0
9
En effet dans ce cas, on a :
μ = β
et α = β − β
Ces dernières quantités sont appelées des contrastes
puisqu’elles sont la différence entre l’effet de chaque
modalité et l’effet de la modalité de référence
3. Si ∑ α = 0, on obtient :
i0
i
i
i0
n
i
i=1
I
1
μ =
I
∑ βi
et α
i
= βi − μ
i=1
Les contrastes mesurent ici l’écart de l’effet de la modalité i
à la moyenne des effets
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11
1.3 Test d’homogénéité
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s’obtient par la régression de M Y sur M X
où M est le projecteur orthogonal sur l’espace orthogonal
à l’espace engendré par les variables X
2. β̂ s’obtient par la régression des résidus Y − X β̂ sur X
X1
X1
2
X1
1
1
2
2
1
13
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n
c
su
o
m
la
o
g
é n
é i t é
st a t i st i q
u
da n
s le m
o
dè le d’a n
ù
q
S
u
C
i
c o
est i m
C
•
R
0
r r esp
o
la
n
so
m
m
d i c i
a u
S
m
m
m
o
dè le t r i v
v
a r i a b
le dé p
S
en
da n
so
m
o
m
m
m
y
a r i a n
c e r ep
o
se
R
C
0
R
− 1
a
ù
seu
s so
le u
u
n
s l’h
e c o
n
y
p
o
st a n
t h
è se n
u
lle
t e μ est
C
R
0
m
en
n
v
es i n
a r i a b
di v
i li t é
i du
de la
v
do
n
c
é g
a le à la
v
a r i a b
i li t é
Ji
=∑∑ y ij − y .. 
e des c a r r é s des r é si du
e la
s est
t e :
i=1
c o
S
i a l o
e des c a r r é s des r é si du
t a le de la
La
C
e des c a r r é s des r é si du
I
•
v
é e
et t e so
t o
est
se de la
e :
W J+ = J + 
o
a ly
a r i a b
s so
2
j=1
u
s l’h
le dé p
en
y
p
da n
o
t h
è se a lt er n
t e p
a r
r a p
p
o
a t i v
r t
a u
e s’é c r i t
x
elles :
16
2
I
SCR a =
Ji
∑∑
•
Cette der n
(c a r
•
N
é a n
s i g
n
2
c r o
i n
s , s i
le R
m
o
i è r e es t do
i f i c a ti v
î t a v
ec
les
em
en
n
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c
n
y
b
en
de v
n
es
t di f f é r en
tes
•
s ta ti s ti q
C’es t s u
n
u
r
u
e W J+ n
c ette i n
lle H 0 d’h
o
m
o
tu
g
é n
n
é i té
q
u
di v
C
’es t b
t p
les
m
o
tr o
â ti
p
s
y
C
en
p
f a i b
le : S
li c a ti v
elles
R0 ≃ S
a s
lu
ex
i du
de la
e di f f è r e p
i ti o
en
a r i a b
i n
S
et la
 
μ+ α i
é c es s a i r em
le n
o

j=1
i=1
y i.
y ij −
n
n
lo
R0 ≥ S
C
Ra
es ) et W J + ≥ 0
e s o
e g
C
n
b
t p
a s
a le,
Ra
de 0
c e tes t, p
u
i s q
u
e s o
u
s
l’h
y
p
o
th
è s e
:
W J+
l o
i
ˆ
2
χ I − 1
J + →∞
17
2. Analyse de la variance à
deux facteurs: l’exemple des
données de panel
•
Observations y it (ind
•
P
•
N
as d
e val eu
rs m
anq
ivid
u
u
s i = 1, … , n et p
antes : l e p
anel
est d
é riod
es t = 1, … , T
it cylindré
otations:
n
T
y i. =
1
∑ y it
T
1
nT
y .t =
1
n
t=1
n
y .. =
et
y it
t=1
T
∑ ∑ y it
i=1
∑
t=1
n
=
1
n
∑ y i.
i=1
T
=
1
T
∑ y .t
t=1
18
Equation de
•
v
ar iab
∑y it
ilité
− y .. 
dé c om
totale
2
=
i,t
de
p
os ition de
la v
∑y i.
ar iab
− y .. 
2
le
+
i
ar iab
ilité
inte r -indiv
idue lle
+ v
ar iab
ilité
inte r -te m
or e lle
+ v
ar iab
ilité
intr a-indiv
D
•
é m
ar ianc e
dé p
e ndante ):
∑y .t
(dé c om
− y .. 
2
+
p
ons tr ation à l’aide
idue lle
d’op
p
os ition de
∑y it
la
− y i. − y .t + y .. 
2
i,t
t
= v
•
la v
intr a-te m
é r ate ur s
de
p
p
or e lle
(ou v
ar ianc e
r é s idue lle )
r oj e c tion
2.1 Définition des projecteurs
•
S
oit la m
atr ic e
c ar r é e
de
dim
JK =
e ns ion K :
1
⋯
1
⋮
⋱
⋮
1
⋯
1
19
•
Définition 1: L’op
ér ate u
r
G d
it d
e
m
o
ye n
n
e
p
r i n
c i p
a
l e
e s t:
y ..
G =
J nT
n
G
⇒
T
Y
⋮
=
nT,nT nT,1 
y ..
•
Le
v
total e
•
e c te u
y i
r
t
I nT − G Y a d
t e r -i n
d
p
ou
r
él ém
e nts
l e s
éc ar ts
à l a m
oy
e nne
− y .. 
Définition 2: L’op
i n
onc
nT,1 
i v i d
u
e l
ér ate u
e s t d
r
Bn d
éfini p
ar
it d
e
m
o
ye n
n
e
i n
d
i v i d
u
e l l e
ou
o
p
é r a
t e u
r
:
Bn
nT,nT 
=
In ⊗ JT
T
− G
20
•
Remarque:
y i1
JT
y i.
⋮
T
⋮
=
y iT
Le v
i n
p
•
t er-i n
ri n
D
ec t eur B n Y a d
c i p
é f i n
d
i v
i d
o
n
uel l es , o
c
p
u d
o
y i.
ur é l é men
i f f é ren
c es
t s
i n
i t i o
n
p
3: L’o
o
r e l
p
es t
d
é rat eur B T d
é f i n
i
p
i t
i v
i d
i f f é ren
uel l es
c es
à l a mo
y
en
n
e
d
e m
=
t ert emp
o
ec t eur B T Y a p
rel l es , o
u d
ye nne
Jn ⊗ IT
n
nT,nT 
Remarque: l e v
o
t e m
p
o
r e l l e
o
u o
p
é r a
t e u
r
ar:
BT
i n
d
d
al e y i. − y .. 
i nt e r t e m
•
l es
T,1 
i f f é ren
o
c es
ur é l é men
t emp
o
− G
t s
rel l es
l es
d
i f f é ren
à l a mo
y
en
c es
n
e p
ri n
c i p
al e
y .t − y .. 
21
Définition 4: L’op
•
i n
t r a
-t e m
p
o
ér ate u
r
W, dit o
r e l , e s t défini p
ar
p
é r a
t e u
r
i n
t r a
-i n
d
i v i d
u
e l
e t
:
W = I − BN − BT − G
Le
•
v
indiv
e c te u
idu
r
WY
a donc
e l l e s , te m
p
p
ou
or e l l e s
r
él ém
e t p
e nts
r inc ip
l e s
éc ar ts
al e
au
x
m
oy
e nne s
:
y it − y i. − y ..  − y .t − y ..  − y ..
2.2 Propriétés des opérateurs
•
C
e tte
fam
R nT e n s e s
•
E
il l e
p
d’op
ér ate u
r oj e c tions
s u
r s
r
p
e r m
de s
e t l a déc om
s ou
s -e s p
ac e s
p
os ition de
tou
t v
e c te u
e c tor ie l s
or th
og
onau
v
r
de
x
n e ffe t :
I = G + Bn + BT + W
e t tou
s
c e s
op
ér ate u
r s
s ont de s
P
2
p
r oj e c te u
= P e t P
r s
′
c ar
:
= P
22
(à v
•
•
é r i f i e r
De
p
x
e m
E
l u
e n
s, c e s o
p
e x
e r c i c e )
p
é r a t e u
r s G, B n , B T , W so
r
G p
In ⊗ JT
ù
e u
t
a u
ssi
s’é c r i r e
c o
In −
⇒ BnBT =
u
i sq
r t h
o
g
o
n
a u
x
e n
t r e
e u
x
m
m
e
n
− G
:
J nT
=
nT
Jn ⊗ JT
nT
:
BnBT =
p
o
Jn ⊗ IT
− G
T
G =
D’o
t
l e :
BnBT =
O
n
u
e
2
J n = nJ n e t
In −
2
Jn
n
⊗
JT
Jn
T
n
Jn
Jn
n
n
J T = TJ T
⊗
JT
T
⊗
IT −
IT −
JT
JT
T
T
= 0
■
23
•
Par ap
p
li c at i o
n
‖I − G Y ‖
p
•
u
D
i s q
é f i n
u
e
du
2
t h
é o
n
s u
e
de
Py
t h
ag
= ‖B n + B T + W Y ‖
Bn, BT, W s o
i t i o
rè m
p
p
lé m
n
e n
t
o
rt h
o
g
t ai re : l’o
o
n
p
au
o
2
re , i l v
i e n
t
2
= ‖B N Y ‖
:
+ ‖B T Y ‖
2
+ ‖WY ‖
2
é r a
x
t e u
r
i n
t r a
-i n
d
i v i d
u
e l
e s t
do
n
n
é
p
ar:
Wn = BT + W
•
•
Wn e s t
au
i n
di v
t e r-i n
I l e s t
di m
e n
e s t
de
do
s i o
m
n
s s i
u
i du
c
p
o
n
p
ro
j e c t e u
e l Bn e t
s s i b
n
i n
t e r-i n
ê m
e
s i
l’o
le
à l’o
d’o
n
di v
c o
r o
b
p
t e n
rt h
o
g
o
n
al, o
é rat e u
r de
i r u
dé c o
i du
e lle
n
s i dè re
e t
n
u
e
n
e
m
m
m
o
o
e n
y
p
di m
la dé c o
rt h
o
p
e n
o
g
o
n
n
e
s i t i o
s i o
p
n
n
s i t i o
al à l’o
n
i n
é rat e u
ri n
c i p
de
l’e s p
t ra-i n
i n
p
ale
t e rt e m
G
ac e
di v
i du
p
r
o
e n
u
n
e
e lle . I l e n
re lle
24
2.3 Estimation et tests
On é c r i t
•
le
m
o
d
è le
à d
o
u
b
le
i nd
i c e
c o
m
m
e
:
y it = μ + α i + β t + u it
μ e s t
•
le
p
α i l’e f f e t
a r a m
β t l’e f f e t
p
H
•
y
p
o
t h
p
è t r e
d
e
m
r i nc i p
a l – o
r i nc i p
a l – o
è s e s
p
r i nc i p
o
u
y
e nne
s p
é c i f i q
u
s p
é c i f i q
a le s
e t
s e c o
u it i nd
E
•
C
p
o
m
a r a m
m
e
d
a ns
è t r e s
d
e
le
c a s
c e
m
d
o
p
d
e
é p
u
e
u
e
nd
ne
s o
nt
– i nd
i v
– t e m
p
a m
u it = 0
s e
a le
a i r e s
e nd
l’a na ly
è le
r i nc i p
m
p
e
e nt
e l
r e l
v
i d
d
i s t r i b
u it = σ
V
la
a s
o
u
:
e t
d
i d
a r i a nc e
u
é
2
à u
n f a c t e u
r , le s
e nt i f i é s
25
•
On p
e u
t
r é é c r i r e
l e
m
o
d
è l e
c o
m
m
e
:
n
Y = μj n ⊗ j T  +
T
∑ α i e i
n
⊗ jT  +
T
(1)
⊗ et  + U
t=1
i=1
o
∑ β t j n
ù
1. le vecteur j est un vecteur de taille n dont tous les
éléments valent 1
2. le vecteur e est un vecteur de taille n dont tous les
éléments sont nuls, sauf l’élément i qui est égal à 1
n
n
i
•
I l
y a d
e u
x
s o
u
r c e s
d
e
m
u
l t i c o
l i né ar i t é
d
ans
c e
m
o
d
è l e :
n
j n ⊗ j T  =
∑e i
n
⊗ jT 
i=1
T
j n ⊗ j T  =
∑j n
T
⊗ et 
t=1
26
•
Deux c o
n
di t i o
n
s
i den
t i f i a n
t es
(d’a ut r es
p
o
n
= 0
∑ βt
et
s up
s o
•
P
n
o
t
ur
p
o
s e a i n
“c en
s i
q
ue les
ê t r e c h
o
i s i es ):
= 0
t=1
i=1
n
t
T
∑ αi
O
ur r a i en
ef f et s
s p
é c i f i q
ues
i n
di v
i duels
et
t em
p
o
r els
t r é s ”
es t i m
er
(1), i l s uf f i t
de r em
a r q
uer :
1. que le vecteur j ⊗ j  est une base de l’espace image de
la projection G = J ⊗ J / nT
2. que les vecteurs e ⊗ j 
forment une base de
l’espace image de la projection B + G = I ⊗ J / T
3. et que les vecteurs j ⊗ e 
sont une base de l’espace
image de la projection B + G = J ⊗ I / n
n
T
n
T
n
T
i
i=1,.,n
n
n
T
T
n
t
t=1,.,T
T
I l s uf f i t
•
r é p
é t é e p
m
dè les
o
a lo
p
o
r s
ur
r o
d’a p
m
o
j et é s
n
p
li q
t r er
uer
da n
s
q
le t h
é o
ue l’es t i m
les
n
r è m
e de F
a t i o
n
di f f é r en
t es
T
r i s c h
W
de (1) es t
di m
en
s i o
n
a ug
é q
ui v
h
de m
a len
a n
i è r e
t e a ux
s
27
•
Ceux-c i
s’é c r i v
en
t
:
GY = μj N ⊗ j T  + GU
n
BnY =
∑ α i e i
n
⊗ jT  + BnU
i=1
T
BTY =
∑ β t j n
T
⊗ et  + BTU
t=1
•
D
é m
o
n
st r a t i o
GY = G
μ
n
j N ⊗ j T 
+
∑
⊗ j T +
i=1
αi
n
e i ⊗ j T 
+
∑
T
t=1
∈B n +G 
∈G
= μj N
n
∑
n
i=1
=0
αi
j n ⊗ j T +
β
T
t
j n ⊗ e t 
+U
∈B T +G 
∑
T
t=1
β
t
j n ⊗ j T +GU
=0
28
car :
GB n = GB T = 0, G
BnY = Bn
2
= G, GB n + G  = G, e t
j N ⊗ j T 
μ
+
n
∑
i=1
αi
n
e i ⊗ j T 
=
∑
i=1
α i e
n
L
e s
n
o
m
ré s u
b
lt at s
re s
d’o
de
b
l’an
s e rv
aly
at i o
n
̂ = y ..
μ
•
O
n
l’an
p
e u
aly
re lat i f s
t
do
s e
au
n
de
x
T
t=1
β
T
t
j n ⊗ e t 
+U
∈B T +G 
⊗ j T +B n U
i
2
car B n G = B n B T = 0 e t
•
∑
+
∈B n +G 
∈G
n
GB T + G  = G
c u
Bn = Bn
s e
s
p
ari an
t e s t s
d’h
o
m
o
o
ari an
ce
à u
dali t é
i m
p

α i = y i. − y ..
u
ce
la v
ar m
,
t i li s e r t o
la v
de
s
le s
ré s u
à u
n
f act e u
g
é n
lt at s
r, e n
q
li q
,
u
p
e
n
u
f act e u
e n

β
l’o
n
art i cu
t
r av
e c é g
ali t é
de s
t :
= y .t − y ..
o
b
t i e n
li e r ce u
t
x
dan
q
u
s
i
le
s o
n
cas
de
t
é i t é
29
3. Analyse de la covariance
Extension de l’analyse de la variance au cas où l’on inclut des
variables explicatives dans le modèle.
3.1 Analyse de la covariance à un facteur
•
Revenons a u
•
S
u
p
p
osons q
c a s t r a i t é
u
e l’on ob
d
a ns la
r em
i è r e sec t i on
ser ve:
1. les variables y pour j
ij
p
= 1, . . . , J i
pour chaque modalité
i ∈ 1, . , I
2. les valeurs de K variables explicatives x
•
L
e m
od
è le d
e la
c ova r i a nc e s’é c r i t
c om
m
kij
pour k
= 1, . . . , K
e :
K
y ij = μ + α i +∑ x kij β k + u ij
(2)
k=1
30
Hypothèses:
•
′
1. pour tout k, Ex u  = 0
2. Eu = 0 et les perturbations sont indépendamment
distribuées et homoscédatiques
ij
kij
ij
P
a r
•
u
n
ex
em
e r é g
pl e, si
i on
l es v
a r i a b
l es y ij son
t l es r ev
en
u
s d’u
n
i n
di v
i du
j da n
s
i:
1. les paramètres α s’interprétent comme des effets
régionaux, et donc comme des coefficients d’analyse de la
variance
2. les paramètres β sont par exemple les effets de variables
comme l’éducation, l’expérience: ce sont ces paramètres
économiques qui nous intéressent en premier lieu
i
k
•
R
em
a r q
u
es:
1. les β ne dépendent pas de la région i (“égalité des
pentes”)
2. Seul le niveau de la variable y est influencé par la région
k
ij
31
3. On pourrait étudier le cas général dans lequel les
paramètres β dépendent d’un effet régional (voir par
exemple Hsiao, 1986)
k
•
Pour e st i m
c ov
•
R
a ri a n
c e
a rq
uon
e m
e r le s p
a ra m
è t re s β k on
s d’a b
ord q
ue
le s p
se
de
(i de m
a u c a s de
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3.2 Données de panel : le modèle à effets
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