Etude de fonctions à l`aide de Maxima

IUT RT La Rochelle
Année 2009-2010
Mathématiques 1A – Module M2
Fondamentaux d’Analyse
Etude de fonctions à l’aide de Maxima
Le but de ce TP est de mener l’étude de plusieurs fonctions différentes en se servant du logiciel Maxima
pour effectuer les calculs de limites, dérivées ou de simplifications et pour tracer les courbes.
L’objectif est d’éviter de se focaliser sur les difficultés techniques de calcul, et de prendre du recul pour se
concentrer sur le plan d’étude et l’interprétation graphique des propriétés des fonctions.
Quelques rappels sur l’utilisation de Maxima :
- tous les produits doivent être explicites (symbole *)
- pour définir une fonction mathématique, on utilise :=
- pour affecter une variable ou une expression, on utilise :
- le symbole % fait référence au dernier résultat calculé
- les entrées et sorties des commandes précédentes sont réutilisables
dans une autre commande par %i1 , %i2 , …%o1 , %o2 , …
(%i1) f(x) := (x-1)^4;
(%i2) df : diff(f(x),x);
(%i3) expand(%);
(%i4) factor(%o3);
Symbole

e

i


ab
Maxima
%pi
%e
%phi
%i
inf
minf
a^b
Fonction
Arg(z)
ln(x)
log10(x)
sin(x)
tan(x)
Arcsin(x)
Arctan(x)
Maxima
arg(z)
ln(x)
log10(x)
sin(x)
tan(x)
arcsin(x)
arctan(x)
|z|
x
sqrt(x)
abs(z)
Exercice 1 :
On considère la fonction suivante :
f ( x) 
x3  5 x
 2Arctan( x)
x2  1
1) Déterminer a la main l’ensemble de définition de f .
Définir la fonction f sous Maxima.
2) Calculer avec Maxima les limites en ± ∞ et déterminer les éventuelles asymptotes obliques à Cf .
Rappel :
la droite D : y  ax  b est asymptote oblique à Cf en ∞  lim  f ( x)  (ax  b)   0
x 
en pratique on calcule a  lim
x 
f ( x)
et b  lim  f ( x)  ax  qui doivent être finis avec a  0
x 
x
3) Calculer, puis factoriser avec Maxima la fonction dérivée f '
Etudier à la main son signe et tracer le tableau de variations de f.
4) Déterminer avec Maxima les points d’inflexion et les équations des tangentes en ces points.
Rappel :
f admet un point d’inflexion en x a  f  s’annule en changeant de signe en x a
dans ce cas, la tangente en x a « traverse » la courbe Cf
5) Tracer avec Maxima 3 représentations graphiques d’échelles adaptées de f , avec respectivement :
a) les asymptotes obliques
b) les tangentes horizontales
c) les tangentes aux points d’inflexion
Exercice 2 :
On considère les fonctions
 x 


f ( x)  x  1 x 
et
ln( x)
x2 1
g ( x) 
1) Vérifier à la main que f et g sont définies sur ]0,1[]1, [
Rappel : ab  eb ln a n’est défini
que pour a  0
Définir les fonctions f et g sous Maxima.
Restreindre sous Maxima la variable x à r+ en tapant : assume(x>0)
Pour tout ce qui suit, on considèrera donc les limites à droite en 0, et des deux cotés en 1
2) Calculer avec Maxima les limites de f et de g aux bornes de leurs ensembles de définition.
En déduire les équations des asymptotes horizontales et verticales le cas échéant.
3) Etudier avec Maxima si f et g admettent des prolongements par continuité en 0 et en 1.
Etudier avec Maxima le cas échéant si ces prolongements sont dérivables en ces points.
Rappel :
- f est dite prolongeable par continuité en x a si f non définie en a mais L  lim f ( x) existe dans r
x a
alors on peut « prolonger par continuité » la fonction f au point a en « posant » f(a) = L
f (a)

f ( x)  L
- la fonction f ainsi prolongée sera dérivable en x a si f (a )  lim
x a
xa
def
existe dans r
4) Tracer avec Maxima les représentations graphiques de f et g pour 0  x  5 et 0  y  5 .
5) Déterminer graphiquement un intervalle contenant l’abscisse du point d’intersection de Cf et Cg .
Calculer une valeur numérique approchée de cette abscisse à l’aide de Maxima.
(utiliser le menu Equations / Résoudre numériquement)
Exercice 3 :
On considère la fonction
x
1
f ( x)    1 
x²  1
2
2
1) Définir f et calculer ses dérivées première f  et seconde f  avec Maxima.
2) Etudier les variations de h  f  , et en déduire le tableau de variation de f.
3) Déterminer avec Maxima les éventuelles asymptotes à Cf en  et en  .
Etudier la position de la courbe Cf par rapport à ces asymptotes.
4) Tracer avec Maxima une représentation graphique de f et de ses asymptotes.
5) Déduire de l’étude précédente que f définit une bijection de r vers un intervalle I à préciser.
6) Vérifier avec Maxima que la bijection réciproque f 1 est : g ( x) 
Rappel :
g  f 1 réciproque de f 
 g  f  ( x)  x
et
1
1 x
4( x  1)
x  I
 f  g  ( x)  x
7) Déterminer sans calcul les différentes asymptotes à la courbe C f 1 .
Rappel :
les courbes représentatives de f et de f 1 sont symétriques par rapport à la droite d’équation yx.
8) Tracer avec Maxima une représentation graphique de f 1 et de ses asymptotes.