Les points de Lagrange

Gérard Debionne
lundi 18 mars 2002
Quasar 95
Les Points de Lagrange
A la fin du 17 eme siècle Newton avait retrouvé par une démarche purement
mathématique les lois du mouvement des planètes formulées empiriquement
par J. Kepler. Autrement dit, Newton avait parfaitement résolu le problème de
deux corps en interaction. Il pouvait sembler évident à l'époque que l'on
saurait rapidement étendre cette théorie à un nombre quelconque de corps en
interaction gravitationnelle. On dut rapidement déchanter… Au delà de deux
corps, le problème sous sa forme générale est insoluble autrement que par des
méthodes approchées …
Toutefois, dans un mémoire à l'Académie des Sciences daté de 1772,
Lagrange démontrait dans un cas particulier tout à fait intéressant un résultat
général sur le problème de 3 corps sans faire d'hypothèse sur les masses
relatives des corps.
Par la suite, ce résultat fut étendu au cas où le troisième corps a une masse
négligeable par rapport aux deux premiers.
C'est de ces configurations particulières des corps célestes que traite cet
exposé.
SOMMAIRE
1. Introduction.......................................................................................................................... 3
2. La mécanique dans un référentiel non galiléen................................................................... 3
3. Le Problème "restreint" de 3 corps...................................................................................... 5
3.1
Le problème traité par L. Euler..............................................................................................................................5
3.2
Cas général où les 3 corps ne sont pas alignés :..................................................................................................7
3.3
Raffinement à la théorie:.........................................................................................................................................9
3.4
Illustration sur deux cas de figures :......................................................................................................................9
3.4.1 Les points L1,L2,L3 du couple Soleil / Jupiter...............................................................................................9
3.4.2 Les points L4, L5 du couple Soleil / Jupiter....................................................................................................9
3.4.3 Le point L1 du couple Soleil / Terre:..............................................................................................................10
4. Le Problème des 3 corps "quelconques" traité par Lagrange. ........................................... 10
5. ANNEXES MATHEMATIQUES :.................................................................................. 11
5.1
Résolution de l'équation du problème d'Euler:..................................................................................................11
5.1.1 Mise en équation pour le point L2...................................................................................................................11
5.1.2 Résolution de l'équation:...................................................................................................................................11
5.1.3 Solution approchée pour le point L2:..............................................................................................................12
5.2
Le problème général de 3 corps...........................................................................................................................13
5.3
La force de Coriolis:...............................................................................................................................................14
5.4
L'intégrale de Jacobi...............................................................................................................................................15
5.5
Etude de la stabilité des points de Lagrange:.....................................................................................................17
5.5.1 Mise en équations ..............................................................................................................................................17
5.5.2 Discussion de la stabilité pour les points L4 , L5 :..........................................................................................18
5.5.3 Discussion pour les points L1 , L2 , L3 :............................................................................................................19
1. Introduction
On se propose de montrer que le problème de trois corps, bien qu'insoluble dans le cas général
est susceptible d'être résolu dans des cas particuliers importants puisque ces cas se rencontrent
dans le système solaire.
Le premier de ces cas est celui de trois corps de masses quelconques et formant un triangle
équilatéral. Dans ce cas, Lagrange a montré que le triangle reste équilatéral même si les
orbites ne sont pas parfaitement circulaires.
Le second cas suppose que le troisième corps a une masse négligeable par rapport aux deux
autres. On montre dans ce cas qu'il existe pour ce troisième corps cinq positions d'équilibres
appelées "points de Lagrange".
Dans les deux cas, la théorie du mouvement de ces corps fait intervenir un référentiel "non
galiléen" qui tourne avec les corps. Pour traiter le problème, il faut donc écrire les équations
de la mécanique sous la forme :
Masse * Accélerati on = Attraction _ de _ Newton + Force _ complémentaire
La force complémentaire étant due à la rotation du référentiel. Une première section est
consacrée au rappel des équations de la mécanique dans un référentiel non galiléen.
Avant d'entrer dans les détails techniques il importe de souligner le génie extraordinaire de
Lagrange. En effet, lorsque Lagrange envisage puis démontre la possibilité de configuration
d'équilibre particulière dans le système solaire, nous sommes en 1772, c'est à dire 29 ans
avant que Piazzi n'ait découvert la première des petites planète (Céres)… Ce n'est que bien
plus tard que les prédictions théoriques de Lagrange trouveront leur application dans le
comportement de groupes de planètes (les Troyens) qui précèdent et suivent Jupiter à ±60° de
longitudes.
Bravo donc Monsieur Lagrange…
2. La mécanique dans un référentiel non galiléen
Dans un référentiel galiléen, c'est à dire fixe ou en
translation uniforme, les équations de la
mécaniques appliquées à un corps de masse M
soumis à une force F prennent la forme simple :
y
F
M.Γ = F
Soit encore en appelant R le vecteur position du
corps et en exprimant l'accélération Γ comme la
dérivée seconde de R
R
x
M.d²R/dt² = F
o
L'équation précédente est une "équation différentielle" dont la fonction inconnue est la
position R(t) du corps.
Généralement, il est possible d'écrire l'accélération d²R/dt² comme la somme de deux termes,
le premier représente une accélération dans un repère local, le second est un terme plus ou
moins compliqué que nous noterons provisoirement A. L'équation précédente s'écrit donc :
M.{ (d²R/dt² )local + A} = F
En faisant passer le terme A à droite, on obtient :
M.(d²R/dt² )local = F – M.A
Tout se passe donc comme si le fait d'avoir utilisé un repère "non galiléen" ajoutait à la force
réelle F une "force fictive" – M.A
Prenons un exemple
Lorsque vous vous promenez en voiture en ligne droite et à vitesse constante, votre voiture
constitue un référentiel galiléen. Dans votre voiture, vous être immobile parce que la somme
des 2 forces qui agissent sur vous est nulle. Rappelons que ces deux forces sont d'une part la
pesanteur et d'autre part les ressorts de votre siège. Prenez maintenant un virage à vive allure,
supposons aussi qu'il fasse nuit... La voiture suivant une trajectoire non rectiligne, les lois
simples relatives aux référentiels galiléens ne s'appliquent plus. Par ailleurs, demandons nous
comment le passager interprète la situation alors qu'il ne voit pas ce qui se passe à l'extérieur.
Tout naturellement, il dit:
Une force non négligeable m'attire et me plaque sur la portière.
En fait , cette force n'est pas réelle mais fictive et est due au référentiel local en mouvement
non galiléen. cette force n'est autre que le terme de l'équation ci-dessus qui est passé du
membre de gauche à celui de droite. Dans le référentiel de la voiture, tout ce passe comme s'il
y avait une force et le passager se déplace effectivement sur sa banquette. Ce principe étant
acquis, retournons aux équations qui régissent le mouvement des planètes:
Application à l'astronomie :
Dans ce qui suit, nous allons considérer le cas des 3 corps suivants:
1) Le soleil. Sa masse est prépondérantes par rapport à tous le reste du système solaire.
2) Une planète de masse importante bien que négligeable par rapport au soleil.
3) Un corps qui aura suivant les cas soit une masse comparable au second corps soit une
masse négligeable.
Pour étudier le mouvement des planètes, nous allons nous placer dans un référentiel qui
tourne avec le second corps, c'est à dire la planète la plus grosse. Tout d'abord, exprimons la
force fictive dans ce référentiel tournant.
Que se passe-t-il si le référentiel tourne, disons à vitesse constante ? Tout se passe alors
comme si nous habitions sur un "manège tournant" pour enfants et que nous cherchions à y
réécrire les lois de la mécanique. En pratique, la "force induite par le référentiel tournant se
compose de deux termes. Le premier est bien connu, il s'agit de la force dite "centrifuge" et
que nous avons déjà rencontrée plus haut dans un virage. Son expression est bien connue. On
l'écrit souvent pour un corps de masse M:
Fa = M.V2 /R .
Cette écriture semble simple mais peut prêter à confusion. dans la suite, nous ferons plutôt
référence à la "vitesse angulaire", c'est à dire l'angle ω parcouru par seconde. Il s'agit ici de la
vitesse de rotation du repère. La vitesse est donnée pas V=ω.R. La force centrifuge est donc
donnée par
Fa = M.R.ω2 .u
Bien entendu, cette force se représente par un vecteur dirigé suivant la direction radiale u pour
exprimer son caractère dirigé.
La seconde force est plus subtile et moins bien connue, on l'appelle "Force de Coriolis".
Cette force ne s'exerce dans le référentiel local que si le corps se déplace , donc a une certaine
vitesse dans ce référentiel. Pour reprendre l'exemple de la voiture dans le virage, tant que je
reste immobile sur mon siège (donc avec une vitesse nulle), cette force ne s'exerce pas.
L'expression de cette force est un peu particulier dans la mesure ou elle fait intervenir à la fois
la vitesse angulaire du référentiel local, la vitesse relative du corps dans ce référentiel mais
aussi et surtout l'angle que fait le vecteur vitesse avec l'axe de rotation du repère.
Cette force s'exprime vectoriellement sous la forme :
r
r
r
Fcor = 2.M .Vr ∧ ω
On notera que la rotation ω est une grandeur "dirigée" dont la direction est précisément l'axe
de rotation. On trouvera en annexe B quelques illustrations de la manifestation de cette "force
fictive"
Dans le cas du système solaire, les forces qui s'exercent sur un corps sont d'origine
gravitationnelle. Le dessin ci-dessus ne représente donc qu'imparfaitement la réalité dans la
mesure où:
• Le centre "o" n'existe pas matériellement.
• En vertu de l'égalité de l'action et de la réaction, Le corps attiré exerce aussi une attraction
sur le corps attracteur.
3. Le Problème "restreint" de 3 corps.
On présente dans cette section d'abord un problème unidimentionnel traité par Léonard Euler puis sa
généralisation à deux dimensions traitée par Lagrange.
3.1 Le problème traité par L. Euler 1
Ce problème qui a été traité par Euler consiste à rechercher les positions d'équilibre des 3
corps lorsqu'ils sont alignés comme ci-dessous.
x
x1
O
x3
x2
Considérons donc la situation dans laquelle les 3 corps sont alignés et recherchons s'il existe
une position d'équilibre. Dans les équations générales données ci-dessus et détaillées en
section 3.2, on se place donc sur l'axe ox, autrement dit, on prend y=0. De même, puisqu'on
recherche une solution dynamique, mais statique dans le référentiel tournant, on annule toutes
les dérivées. Il reste alors pour le troisième corps supposé petit, la force centrifuge et
l'attraction des deux corps principaux:
M3 .x3 . ω2 = G. M3 *(M1 /(x3 -x1 )2 - M2 /(x2 -x3 )2 )
1
(1)
Léonard Euler (1707 -1787) et Joseph Louis de Lagrange (1736 – 1813) dominent de leurs statures
toutes les mathématiques du 18ème siècle.
On note que les signes "+" devant M1 et "-" devant M2 sont dus au fait que M1 et M2 "tirent"
sur M3 dans des directions opposées. Si l'on envisage le cas où M3 est situé après M2 , il
faudra prendre 2 signes "+"
Les abscisses x1 , x2 des corps principaux 1 et 2 sont liées par la relation des barycentres:
M1 .x1 + M2 .x2 =0
(a)
qui exprime que le centre de gravité de l'ensemble est animé d'un mouvement uniforme ainsi
que par l'équation de la dynamique qui s'écrit ici pour un mouvement circulaire des deux
corps. On suppose généralement que le mouvement uniforme d'entraînement des deux corps
est tout simplement nul. (Le centre de gravité des deux corps est immobile dans un référentiel
galiléen).
M2 .x2 .ω2 = G.M2 .M1 /(x2 -x1 )2
(b )
La première (a) relation permet d'éliminer x1 . En reportant dans la seconde (b) , on tombe sur
une équation élémentaire avec une seule racine x2 positive. On connaît donc aisément x1 et x2
que l'on peut reporter dans l'équation principale (1) dont l'inconnue est x3 .
x2 =
M 1.ω −2 / 3 .G1/ 3
x1 = −
(M 1 + M 2 ) 2 / 3
M 2 .ω −2 / 3 .G 1/ 3
(M 1 + M 2 ) 2 / 3
Dans la suite, il est commode de considérer le cas particulier du mouvement circulaire et
d'introduire la distance "a" entre les planètes principales (1,2) et le rapport des masses
µ=M2 /M1 . On a alors:
x2 = a/(1+µ) et
x1 = -a.µ/(1+µ)
"a" étant relié à la vitesse angulaire ω par la loi de Kepler (améliorée)
a3 .ω2=G.M1 (1+µ)
(2)
L'équation (1) est du 5ème degré en x3 . En variable réduite u=x3/a, cette équation s'écrit :
u.(1+µ) =
1
µ
−
2
(u − u 1 )
(u − u 2 ) 2
(1')
Cette équation en "u" étant après réduction, du 5ème degré n'a donc pas de solution littérale
exacte comme l'a montré le regretté Evariste Galois. L'étude numérique de cette équation
montre qu'elle a pour chacune des 3 configurations une racine réelle 2 et 4 racines complexes
parasites sans sens physique particulier. On peut toutefois montrer que les 3 solutions réelles
de ces 3 équations ne sont pas stables. Cela signifie que si l'on déplace légèrement le corps M3
de sa position d'équilibre, il s'en éloigne alors en principe indéfiniment.
2
Voir en Annexe A l'étude de cette équation.
3.2 Cas général où les 3 corps ne sont pas alignés :
On se propose de redonner les équations d'un corps petits dans le champs gravitationnel de
deux corps plus importants. Pour cela, on va écrire les équations de la mécanique sous la
forme :
Accélération locale + accélération complémentaire = Force de Newton.
Dans la suite, on suppose que le mouvement des 3 corps est contenu dans un plan. La
coordonnées "z" n'intervient donc pas. Comme beaucoup de forces en physique, on dit que la
force de gravitation "dérive" d'une fonction de force (c'est le potentiel changé de signe).
Autrement dit, les 3 composantes Fx, Fy, Fz de la force F agissant sur une masse unité sont
données par:
Fx =
∂Φ
∂x
,
Fy =
∂Φ
∂y
,
∂Φ
∂z
Fz =
,
Avec la fonction de force Φ(x,y) donné par :
Φ(x,y) =
G.M 1 G.M 2
+
R1
R2
La force correspondante est donnée par :
r
r
r
M 1 .R1
M 2 .R2
F = −G
−G
R13
R2 3
(3)
y3
R2
R1
x
O
x3
x2
x1
Nota: Dans la suite, on simplifie les notations en appelant (x3 ,y3 ) simplement (x,y)
Les équations de Newton s'écrivent alors projetées sur deux axes :Ox,Oy :
d² x
dy
∂Φ
= 2.ω + ω ².x +
dt²
dt
∂x
(4)
d² y
dx
∂Φ
= −2ω + ω ². y +
dt²
dt
∂y
On reconnaîtra dans les membres de droite, la force de Coriolis, la force centrifuge et la force
d'attraction. En fait, il est possible de simplifier encore un peu les équations en remarquant
que x et y sont les dérivées de la fonctions (x²+y²)/2. Pour cela, on définit une nouvelle
fonction de force : Φ eff = Φ + ½ ω².(x²+y²)
Le nouveau système s'écrit :
d ²x
dy ∂Φeff
= 2.ω +
dt²
dt
∂x
(4')
d² y
dx ∂Φeff
= −2ω +
dt²
dt
∂y
On peut montrer que les éventuelles positions stables de ces équations sont données par
l'annulation des deux dérivées de Φ eff En effet, on montre que dans ce cas les équations
différentielles homogènes ont pour solutions des constantes et des expression en
A.Cos(2. ωt) +B.Sin(2.ωt) .
L'utilisation de conditions initiales de vitesses nulles implique la nullité de A et B. Il reste à
trouver les couples de solutions (x,y) qui vérifient les deux équations
∂Φeff
∂x
=0
∂Φeff
et
∂y
=0
Les solutions (x,y) de ces deux équations seront appelées "points de Lagrange Réécrivons
explicitement ces 2 équations:
ω².x/G =
M 1 ( x − x1 )
R1
3
ω².y/G =
+
M 1y
R13
M 2 (x − x 2 )
+
R23
M2 y
R 23
(5.x)
(5.y)
avec
R1 2 = y²+ (x-x1 )²
et
R2 2 = y²+ (x-x2 )²
On rappelle par ailleurs que les abscisses x1 et x3 et les termes M1 , G et ω sont liés par les
relations
x2 = a/(1+µ) et
x1 = -a.µ/(1+µ)
et
a3 .ω2=G.M1 (1+µ)
En supposant que y est différent de 0; cette dernière relation permet de simplifier (5.y) en :
1+ µ
1
µ
= 3 + 3
3
a
R1
R2
(6)
Sous cette forme, une solution évidente apparaît; R1 =R2 =a ; Ceci à condition que cette
solution vérifie aussi la première équation (5.x). Il en est effectivement ainsi car si les
dénominateurs sont égaux, le terme (-M1 .x1 -M2 .x2 ) s'élimine puisque c'est l'équation du
barycentre O du système (M1 ,M2 ). Il reste alors après simplification par x la même relation
que (6). On a donc bien
R1 = R2 = a
Une telle configuration définit un triangle équilatéral, ou plus exactement, deux triangles
équilatéraux. Les deux sommets de ces triangles sont appelés points L4 et L5 (L pour
Lagrange)
3.3 Raffinement à la théorie:
La théorie présentée ci-dessus présente trois types de simplifications
• On suppose la vitesse de rotation de M2 constante (orbite circulaire)
• On néglige l'effet des autres corps
• On suppose que tous les corps évoluent dans un plan.
Lorsqu'on abandonne ces 3 hypothèses simplificatrices, les conclusions essentielles,
notamment la position des points de Lagrange demeure, en revanche, la stabilité des points de
Lagrange est perturbée. Ces perturbations induisent généralement des phénomènes
d'oscillation autours des points d'équilibres. Le mathématicien Jacobi a montré que ces
mouvements apparemment "chaotiques" obéissent en fait à une loi bien précise appelée
"intégrale de Jacobi" qui relie la vitesse du corps M3 au potentiel effectif créé par les deux
autres corps et le mouvement d'entraînement. En pratique, le corps M3 se déplace donc à
vitesse constante le long d'une équipotentielle.
3.4 Illustration sur deux cas de figures :
On donne dans cette section des ordres de grandeurs pour les points de Lagrange alignés, pour les
deux couples Soleil / Terre et Soleil / Jupiter.
3.4.1 Les points L1,L2,L3 du couple Soleil / Jupiter
Pour le couple Soleil / Jupiter, les 3 racines réelles des équations d'Euler ci-dessus sont
données dans le tableau suivant dans lequel les distances sont exprimées en grand axe SoleilJupiter soit environ 779 millions de Km..
Configurations pour M3 (
)
x3 /a
L1
0.9324
L2
1.06891
L3
-1.00135
On note qu'une station d'observation que l'on voudrait placer au voisinage du premier point
serait encore à 779.106 *(1 – 0.9324) Km soit 52 millions de Km.
De cette distance, la planète serait vue sous un angle de 9.4 minutes soit environ le tiers d'une
pleine lune.
Les deux autres points L2, L3 sont moins intéressants…
3.4.2 Les points L4, L5 du couple Soleil / Jupiter
Ces points sont occupés par un groupe d'une quinzaine de petites planètes appelées les
Troyens 3 . Ces planètes gravitent comme Jupiter à environ 5.2 UA mais à 60° en avant ou en
arrière de Jupiter.
3
Ces planètes portent les noms de héros de la guerre de Troie.
3.4.3 Le point L1 du couple Soleil / Terre:
Le point L1 du couple Soleil / terre est situé à environ 1.5 million de Km du centre de la terre.
Ce point a été utilisé pour la première fois pendant la période 1978 – 1982 pour y positionner
une sonde américaine d'observation du soleil (ISEE.3). L'intérêt de ce point est d'être en
dehors de la magnétosphère terrestre, ce qui en fait un observatoire idéal pour le vent solaire.
L'autre avantage est aussi d'occuper une position quasi constante par rapport au soleil sans
risque d'éclipse comme ce serait le cas d'un satellite en orbite autour de la terre. L'instabilité
de l'orbite est compensée par de petits moteurs fusé qui font les corrections nécessaires. La
sonde européenne SOHO lancée début 1996 et plus récemment WIND (USA) occupent aussi
cette position. En pratique, ces sondes ne dont pas tout à fait fixes mais se déplacent sur des
orbites (dites orbites halo) très allongées en suivant des équipotentielles suivant la relation de
Jacobi. (voir annexe)
4. Le Problème des 3 corps "quelconques" traité par Lagrange.
Dans le mémoire de 1772 à l'académie des Sciences de Paris, Lagrange traitait du problème
de 3 corps dans un cas particulier mais néanmoins avec une certaine dose de généralité dans
la mesure où il ne faisait aucune hypothèse sur la masse des 3 corps. Que dit Lagrange ?
Le problème de 3 corps peut être résolue de façon élémentaire et sous forme
finie (sans série) si l'on suppose que le triangle formé par les 3 corps reste identique
à lui même au cours du temps.
La démonstration donnée par Lagrange est extrêmement complexe. Laplace a montré que l'on
peut simplifier la démonstration si l'on admet que le plan des 3 astres est fixe dans l'espace.
En 1933 le physicien Carathéodory a donné une démonstration de l'assertion de Lagrange ,
bien plus simple que celle de Lagrange bien que présentant le même degré de généralité. On
ne donnera pas cette démonstration ici mais seulement les quatre principaux résultats
démontrés.
1) Le plan des 3 corps est fixe dans l'espace.
2) La résultante des forces de gravitation agissant sur chacun des 3 corps passe par le
barycentre des masses.
3) Le triangle formé par les 3 corps est équilatéral.
4) Les 3 corps décrivent des coniques semblables entre elles, l'un des foyers étant confondus
avec le barycentre des 3 masses
Dire que le triangle formé par les 3 corps reste identique à lui même revient à dire que toutes
les distances intervenant dans ce problème sont des constantes multipliées par une unique
fonction du temps f(t) valable pour les 3 corps>.
La partie délicate de la démonstration est le point (2). Si l'on admet ce point, il est très simple
de montrer à partir des équations générales du problème à 3 corps rappelées en annexe B que
le triangle formé par les 3 astres est équilatéral.
5. ANNEXES MATHEMATIQUES :
5.1 Résolution de l'équation du problème d'Euler:
5.1.1 Mise en équation pour le point L2
Réécrivons l'équation donnant la position du (petit) corps M3 supposé en équilibre dynamique entre les
corps M1 et M2.
M 3 .x3 . ω2 = G. M3 *(M1 /(x3-x1 )2 - M 2 /(x2 -x3 )2 )
(a)
Pour résoudre cette équation, il est commode de travailler en variables réduites. Pour cela,
dans cette équation, injectons la relation suivante qui est une expression de la loi de Képler:
a 3 .ω2 =G.M1 .(1+µ)
(k)
Il vient en posant
x1 /a = u 1 ,
soit
u 1 = -µ/(1+µ) ,
x2 /a= u 2.
x3 /a= u
et
u 2 = 1./(1+µ)
1
µ
u.(1+µ) =
−
2
(u − u 1 )
(u − u 2 ) 2
µ = M 2 /M 1
(a')
Après réduction au même dénominateur, cette relation devient une équation de degré 5 de la variable
"u" :
u5 + b4 .u4 + b3 .u3 + b2 .u2 + b1 .u + b0 = 0
avec les coefficients {bi } donnés par :
b4
-2.(u1 +u2 )
b3
b2
(u1 +u2 )2 +2.u1 .u2
µ −1
− 2.u1 .u 2 .(u1 + u 2 )
µ +1
b1
2 .(u 2 − µ.u1 )
(u1 .u 2 ) 2 +
1+µ
b0
µ.u1 − u 2 2
1+ µ
2
5.1.2 Résolution de l'équation:
Cette équation est résolue par une méthode numérique pour chacune des valeurs de *.
0.968164
1
0.9
0.8
q( m )
0.7
0.6
0.594568
0.5
4
1 10
00.0001
1 10
3
0.01
m
0.1
1
0.12
La courbe ci dessus représente la racine réelle de l'équation en fonction du rapport des masses µ. Pour
µ=1/100 par exemple; on lit x3 = 0.85.a
Pour µ=1/1047, qui représente le cas du couple Soleil/Jupiter, on aurait x3 = 0.9324.a. Autrement dit,
le point d'équilibre se trouverait à 52 millions de Km de Jupiter.
5.1.3 Solution approchée pour le point L2:
On peut montrer à l'aide d'un développement limité que pour des valeurs de µ faibles, u est donné avec
une bonne approximation par :
u = 1 – (µ/3) 1/3
Une meilleure approximation est donnée par :
u =1−
3.3 µ / 3
3+ 3 µ /3
−µ
5.2 Le problème général de 3 corps
Nota : On se limite dans cette annexe à poser les équations générales du mouvement, sans chercher à
les résoudre.
Soient A,B,C les 3 corps de masses MA , MB, MC. L'écriture des équation suppose le choix préliminaire
d'un repère galiléen. Un choix classique consiste à supposer que le barycentre O des 3 corps est animé
d'un mouvement uniforme ou bien au repos. Cela revient à relier les positions des 3 corps par la
relation:
MA .OA + MB.OB +MC.OC = 0
On pose dans la suite :
r
OA= R A ,
r
OB= RB ,
r
OC= RC ,
Les équations de la dynamique sont de la forme suivante pour le corps A , par exemple :
r
r
r
r
RB − R A
RC − R A
d² r
R = G.M B r
r 3 + G.M C r
r 3
dt² A
RB − RA
RC − R A
(B2a)
Et 2 équations similaires pour les corps B et C :
r
r
r
r
RB − RC
R A − RC
d² r
R = G.M B r
r 3 + G.M A r
r
dt² C
RB − RA
RC − R A
3
r
r
r
r
RC − R B
R A − RC
d² r
R = G.M C r
r 3 + G.M A r
r 3
dt² B
RC − R B
RC − R A
(B2c)
(B2b)
En pratique, il est mal commode de faire référence à un points théorique (O) et parfaitement
inobservable de l'espace et l'on préfère choisir un des trois points A,B,C comme référence (A par
r
r
r
exemple ) et prendre comme fonctions vectorielles inconnues les quantités Rb = RB − R A et
r
r
r
Rc = RC − R A . Cette procédure ramène de 3 à 2 le nombre d'équations vectorielles par soustraction de
l'une des équations par rapport aux deux autres. On Remplace donc 3 équations notées
symboliquement
A=0 , B=0 , C=0
par deux équations notées :
B-A=0
et
C-A=0
Soit explicitement :
Pour le corps B :
Et pour le corps C :
r
r
r
r
Rb
Rc
Rc − Rb
d² r
R + G.(M A + M B ) 3 = −G.M C ( 3 − r
r 3)
dt² b
Rb
Rc
Rc − Rb
r
r
r
r
Rc
Rb
Rb − Rc
d² r
R + G.(M A + M C ) 3 = −G.M B ( 3 − r
r 3)
dt² c
Rc
Rb
R c − Rb
(B3b)
(B3c)
Ces deux équations sont générales et présentent la même structure. Examinons plus attentivement la
première, relative au corps B.
Si l'on suppose provisoirement que le corps C est de masse nulle, on retrouve le problème à deux
corps.
r
Rb
d² r
R + G.(M A + M B ) 3 = 0
(B4.b)
dt² b
Rb
Notons au passage que si l'on ne se préoccupe pas de la nature des repères et que l'on considère le
corps A immobile et situé à l'origine, on écrira "rapidement" l'équation de la dynamique sous la forme
MB.Γ=FNewton, soit explicitement et après avoir divisé les deux membres par MB :
r
Rb
d² r
R + G.M A 3 = 0
(B5.b)
dt² b
Rb
Cette équation est plus simple mais inexacte. Le remplacement de MA par MA +MB vient du fait que
l'équation (B3.a) n'est pas écrite dans un référentiel galiléen.
Les équations de type (B3).a sont à l'origine de tous les calculs effectuées soit par intégration
numérique directe soit à l'aide de la méthode de variation des constantes mise au point par le même
Lagrange.
5.3 La force de Coriolis:
Considérons un manège tournant de façon
régulière de ω radians par seconde dans le sens
direct (comme la terre). Supposons d'autre part
que le manège soit une simple plate-forme
tournante mais isolée du monde extérieur par
une sorte de coupole opaque. L'observateur a le
loisir de circuler librement ou de rester à l'arrêt.
Lorsqu'il est a l'arrêt, l'observateur subit la
gravitation (son poids) et la force centrifuge. En
fait, notre homme ne se rend pas compte que
cette force centrifuge n'existe pas pour lui car il la compense automatiquement en étant pas parallèle à
la normale au plan, mais légèrement incliné. Téléphonez lui pour lui dire qu'il ne se tient pas droit,
immédiatement, il va sortir un fil a plomb de sa poche et il pourra ainsi vous faire savoir qu'il se tient
parfaitement droit puisqu'il est parallèle à son fil à plomb.
Demandons lui maintenant (toujours au téléphone)
d'effectuer quelques exercices
1. L'homme étant addossé à la paroi, demandons lui
d'envoyer un objet vers le point qui matérialise le
centre de rotation du manège.
Observons :
Un essai, deux essais, trois essais, rien n'y fait, il rate
systématiquement la cible , envoyant à chaque fois
l'objet vers sa droite …
2. Demandons à notre homme de longer la paroi dans
le sens des aiguilles d'une montre puis dans le sens
inverse.
Dans les deux cas, la force centrifuge associée à cette vitesse devrait être la même. Or notre homme
constate au contraire qu'il est systématiquement dévié vers sa droite. Notre homme est donc attiré vers
le centre lorsqu'il parcourt son manège dans le sens horaire et vers la paroi lorsqu'il inverse son sens de
marche.
Que va conclure notre homme de tout ceci ?.
S'il ne dispose pas d'une culture scientifique suffisante, il conclura peut-être que le manège est le siège
d'une force maléfique…
S'il reprend calmement les équations de la mécanique, il en conclura au contraire que la rotation du
manège induit une force fictive qui est le produit de la vitesse de rotation ω par la vitesse relative Vr
de l'observateur dans le manège et bien sur de sa masse. Mathématiquement, cela s'écrit à l'aide du
produit vectoriel suivant :
r
r
Fcor = 2 .M .Vr ∧ ω
Cette force fictive a été mise en évidence par le mathématicien français G.G. Coriolis.
Les autres manifestations de cette force sont principalement :
• Le sens de rotation du tourbillon d'eau qui se forme dans l'écoulement d'un lavabo.
• L'usure des rails de chemin de fer plus prononcée d'un coté que de l'autre.
Bien entendu, ces deux effets s'inversent lorsqu'on passe de l'hémisphère nord à l'hémisphère sud.
5.4 L'intégrale de Jacobi
L'intégrale de Jacobi est une relation entre le module de la vitesse relative dans le référentiel tournant
et le potentiel effectif.
Reprenons les équations du mouvement rappelés ci dessous et écrites dans le référentiel tournant
d ²x
dy ∂Φeff
= 2.ω +
dt²
dt
∂x
(4')
d² y
dx ∂Φeff
= −2.ω +
dt²
dt
∂y
puis multiplions les respectivement par dx/dt et dy/dt et enfin additionnons le tout. On obtient, en
remarquant que le terme de Coriolis en 2ω s'élimine:
2
2
d  dx 
 dy   ∂ Φ eff dx ∂Φ eff dy
+
. +
.





=
dt  dt 
∂x dt
∂y dt
 dt  
Le premier membre entre { } est le carré de la vitesse. Le second membre est la dérivée par rapport au
temps de Φ eff
1/ 2
{
}
d 2
V / 2 − Φ eff = 0
dt
Soit en intégrant sur le temps et en introduisant une constante C/2 :
Ce qui s'écrit encore :
V² - 2. Φ eff = C
Cette relation permet donc connaissant Φ eff de tracer dans le plan des courbes à vitesse constantes. En
particulier, les points de Lagrange sont des points à vitesse nulle.
Rappelons que le potentiel effectif est donné par:
Φ eff (x,y,z) =
G.M 1 G.M 2
+
+ ½ ω².(x²+y²)
R1
R2
Notons qu'il peut être intéressant d'introduire la relation de Kepler pour exprimer ω² , ce qui permet de
travailler avec un potentiel effectif "réduit" de la forme :
Φ'eff(x',y',z') =
1
µ
+ ' + ½ (1+µ).(x'² +y'²)
'
R1 R 2
Les longueurs primés étant normalisées par rapport au grand axe 'a'.
Le schéma ci-dessous représente une partie des équipotentielles, centrées sur le corps M2 .
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
M
Point L1
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
5.5 Etude de la stabilité des points de Lagrange:
5.5.1 Mise en équations
Pour étudier la stabilité du corps M3 au voisinage d'un point de Lagrange, on repart des
équations (4') rappelées ci-dessous,
d ²x
dy ∂Φeff
= 2.ω +
dt²
dt
∂x
(4')
d² y
dx ∂Φeff
= −2ω +
dt²
dt
∂y
L'utilisation de ces équations sans faire intervenir de terme en "d²z/dt²" suppose implicitement
que l'on suppose que le mouvement éventuel autour d'un point d'équilibre continue à rester
dans un plan (d'équation z=0). Pour étudier la stabilité, on va se placer au voisinage d'un point
de Lagrange, (x,y)=(x°,y°) solution des deux équations suivantes :
∂Φeff
∂x
∂Φeff
=0
∂y
=0
puis on va faire un développement limité du potentiel Φ eff et des coordonnées x,y sous la
forme :
x=x°+U
∂Φ eff
∂x
=U *
∂ ²Φ eff
∂x ²
+V *
x °, y °
∂ ²Φ eff
∂x∂y
y=y°+V
∂Φ eff
et
∂y
x °, y °
=U *
∂ ² Φ eff
∂ x∂y
+V *
x °, y °
∂ ² Φ eff
∂² y
x °, y °
Dans la suite, on appelle les dérivées secondes ci-dessus Fxx, Fxy et Fyy
Le système (4') s'écrit alors avec les nouvelles variables:
d ²U
dV
− 2.ω
− Fxx*U − Fxy*V = 0
dt²
dt
(A3)
d ²V
dU
+ 2ω
− Fxy*U − Fyy*V = 0
dt²
dt
Pour de petites valeurs de U,V, les Fxx , Fxy et Fyy sont constants et le système aura des
solutions stables si l'on sait trouver des solutions trigonométriques du type ,:
U = A*exp(χ.t)
et
V=B*exp(χ.t)
χ étant imaginaire pur et A et B étant des constantes à déterminer ultérieurement (vecteurs
propres de la matrice 2x2).
La résolution d'un tel problème conduit nécessairement à écrire que le système linéaire en {A,
B} qui est homogène doit avoir un déterminant nul. On en déduit une équation aux valeurs
propres en χ² en écrivant que le déterminant du système suivant est nul.
A{χ²-Fxx} - B.{2. χ.ω+Fxy}=0
(A4)
A{2. χ.ω-Fxy } +B.{ χ²-Fyy }=0
L'équation séculaire en χ² s'écrit simplement en développant l'expression précédente:
(χ²)² + χ².[4. ω²-Fxx-Fyy] + [Fyy*Fxx-Fxy²] = 0
Pour exploiter cette équation, il faut calculer les 3 quantités Fxx, Fxy et Fyy. Le calcul est
pénible mais relativement élémentaire. On trouve :
Fxx = ω 2 +
G.M 1
5
R1
G.M 1
.[2 .(x − x1 )² − y ² ] +
G.M 2
R25
G.M 2
.[2.( x − x 2 )² − y ² ]
.[2 .y ² − ( x − x1 )²] +
.[2 .y ² − ( x − x 2 )²]
R15
R2 5
G.M
G.M 2
Fxy = 3. 5 1 .[ y.( x − x1 )] + 3.
.[y .(x − x 2 ) ]
R1
R25
Fyy = ω 2 +
R1 et R2 désignent toujours les distances du corps M3 aux deux corps M1 et M2 .
R1 = [y ² + ( x − x1 )²]
1
R2 = [y ² + ( x − x2 )²]
2
1
2
5.5.2 Discussion de la stabilité pour les points L 4 , L5 :
Pour les points L4 et L5 , une simplification importante vient du fait que les distances R1 et R2
sont constantes et égale à la distance entre les points M1 et M2 (R1 =R2 =a). Dans la suite, on ne
considère que le point L5 pour lequel "y°" est positif.
Les coordonnées de L5 sont données par :
y°=a.√3/2
et
x°= ½(x1 +x2 ) = ½(1-µ)/(1+µ)
On réécrit d'abord l'équation aux valeurs propres sous la forme suivante :
(χ²)² - χ².S + P = 0
avec ,
S = Fxx + Fyy -4. ω²
et
P = Fyy*Fxx-Fxy²
On trouve, après quelques calculs
Fxx = ω 2 −
G.M 1
4 .a
3
.(1 + µ )
Fyy = ω 2 +
5G.M 1
4.a
3
.(1 + µ )
Fxy =
G.M 1
3
. 3
.(1 − µ )
4
a3
Pour calculer ces quantités, on utilise la relation de Kepler :
a 3 .ω2 =G.M1 .(1+µ)
Fxx = 3.ω²/4
D'où
Fyy = 9.ω²/4
S = −ω 2
et
Fxy =
P=
3
(1 − µ )
. 3 .ω 2
.
4
(1 + µ )
27 4
µ
ω .
4
(1 + µ )2
Le produit des racines est positif et leur somme est négative. Les deux racines sont donc bien
négatives à condition toutefois que le discriminant soit positif pour quel les racines en χ²
soient bien réelles. Cette condition s'écrit (en simplifiant le discriminant par ω4 )
1-27µ/(1+µ)² >0
Cette condition montre donc que l'équilibre est stable à la condition que la masse M2 soit
inférieure à M1 /25. Dans le cas du couple soleil-Jupiter, cette condition est largement remplie.
5.5.3 Discussion pour les points L 1 , L2, L 3 :
Pour les points L1 , L2 , L3 le terme Fxy est nul car y=0. Les autres termes sont (en apparence)
un peu plus simple, on trouve en effet:
Fxx = ω 2 + 2.
G.M 1
x − x1
3
+ 2.
G.M 2
x − x2
3
G.M 1
Fyy = ω 2 − 2 .
.
x − x1
3
− 2.
G.M 2
x − x2
3
.
En reprenant les mêmes notations, la somme des racines de l'équation aux valeurs propres est
simplement -2ω² et le produit P est donné par Fxx*Fyy, soit encore,
 1
µ
P = ω − (2 .GM 1 ) .
+
3
 x − x1
x − x2
4
2
4.ω 4
P=ω −
(1 + µ ) 2
4


3

2
soit avec G.M1 = a3 .ω2
 a3
a3µ
.
+
 x − x 1 3
x − x2


3

2
Il reste à remplacer "x" par sa valeur pour une valeur particulière de µ.