MECANIQUE LAGRANGIENNE - Equations de Lagrange

Université Chouaïb Doukkali
Faculté des sciences
Département de Physique
El Jadida
Année Universitaire 2015/2016
TD – SMP5 - Série 2
MECANIQUE LAGRANGIENNE
- Equations de Lagrange -
Exercice 1
Soit le régulateur à boules représenté sur la figure ci-dessous :
𝑧⃗) 𝑂, 𝑂
𝑏
𝑂+ 𝑎
ℓ
𝜃
𝑎
𝑀
𝐺, , 𝑚
𝐺+ , 𝑚
On suppose toutes les liaisons parfaites.
Le coulisseau a pour masse 𝑀 et coulisse le long de la tige verticale entraînée
suivant une loi imposée 𝜓(𝑡) autour de (𝑂, 𝑧) ) . Son moment d’inertie par
rapport à (𝑂, 𝑧) ) est négligé. Les tiges mobiles de masses négligeables, de
longueur 𝑏 sont articulées respectivement en 𝑂+ et 𝑂, , 𝑂+ 𝑂, = ℓ . A l’extrémité
de ces tiges sont montées des sphères identiques de masse 𝑚 et de moment
d’inertie par rapport à leur diamètre égal à 𝐼.
1. Montrer que 𝑞 = (𝜃) est un paramétrage complet du système formé par
les masses m et le coulisseau M.
2. Calculer l’énergie cinétique et l’énergie potentielle de ce régulateur.
3. Ecrire l’équation du mouvement par la méthode de Lagrange.
4. Trouver une condition suffisante d’existence d’une intégrale première
de Painlevé. Ecrire l’intégrale première.
Exercice 2
R 0 = (O , x 0, y 0, z 0 ) : repère fixe/sol
(P0) est un plan horizontal confondu avec x 0Oy 0 .
(S) est un solide de révolution homogène constitué d’un hémisphère et d’un
cylindre de même base.
1
Dans son mouvement Ȁܴ , ( ܵ ) reste en contact, par sa partie sphérique
uniquement, avec le plan (ܲ଴ &HFRQWDFWV·HIIHFWXHVDQVJOLssement.
On donne :
‫ ܯ‬la masse de (ܵ), ܽ le rayon de la base, ‫ ܩ‬le centre de masse de (ܵ), I le
ሬሬሬሬሬሬԦ ൌ ݄‫ݖ‬Ԧ
point de contact entre (ܵ) et (ܲ଴ ). ‫ܩܪ‬
‫ ܣ‬et ‫ ܥ‬VRQW OHV PRPHQWV G·LQHUWLH GH ܵ) respectivement par rapport à ‫ݔܩ‬Ԧ et
‫ݖܩ‬Ԧ. ȭ ൌ ሺܵሻ
1. (FULUHO·pTXDWLRQGHOLDLVRQሺκሻ traduisant le contact géométrique entre
(ܵ) et (ܲ଴ ).
2. On suppose que le contact ܵ െ ܲ଴ au point ‫ ܫ‬V·HIIHFWXH VDQV
frottements.
a. Ecrire les équations de Lagrange du mouvement de ( ܵ ) en
choisissant la liaison ሺκሻ comme principale et un C.V.V
compatible avec ሺκሻ.
b. A-­t-­RQO·LQWpJUDOHSUHPLqUHGHO·pQHUJLHFLQpWLTXH ?
c. La liaison ሺκሻ étant prise comme complémentaire. Ecrire les
équations de Lagrange en utilisant un C.V.V non compatible
avec ሺκሻ4XHOHVWO·LQWpUrWde cette méthode ?
3. On suppose que le contact en ‫ ܫ‬est sans glissement.
a. Ecrire les équations ሺκ௖ ሻ qui traduisent le non glissement.
b. Ecrire les équations de Lagrange en utilisant un C.V.V compatible
avec la liaison principale ሺκሻ et non compatible avec les la liaison
complémentaire ሺκ௖ ሻ.
c. Indiquer comment est modifiée la mise en équation si ሺκሻ et
ሺκ௖ ሻ sont complémentaire et si le C.V.V est non compatible avec
ሺκሻ et ሺκ௖ ሻ.
d. A-­t-­RQO·LQWpJUDOHSUHPLqUHGHO·pQHUJLHFLQpWique ?
‫ݖ‬Ԧ଴ ‫ݖ‬Ԧᇹ ‫ ܩ‬ ‫ݕ‬Ԧ଴ ‫ ܪ‬ ߙ ‫ݔ‬Ԧ଴ ‫ ܫ‬ 2 Exercice 3 :
Un point matériel de masse 𝑚 glisse sans frottement le long d’un rail en
forme d’hélice dont les équations en coordonnées cylindriques sont :
𝑟=𝑎 ;
𝑧 = 𝑏𝜃
(1)
A 𝑡 = 0, la bille est à l’arrêt en 𝑟 = 𝑎, 𝜃 = 0, 𝑧 = 0. On suppose que 𝑧 est
orienté vers le bas. La bille est soumise à l’accélération de la pesanteur 𝑔.
1. En utilisant les équations de liaison (1), écrire le Lagrangien 𝐿! en
fonction de la seule coordonnée 𝑧.
2. En déduire 𝑧(𝑡).
On souhaite maintenant déterminer les forces de liaison dues à la
liaison 𝑧 = 𝑏𝜃. Dans ce but, on réécrit l’équation de liaison holonome
𝑓(𝑧, 𝜃) = 0 avec 𝑓 𝑧, 𝜃 = 𝑧 − 𝑏𝜃, et on se propose de traiter cette liaison
à l’aide d’un paramètre de Lagrange.
3. Déterminer le Lagrangien 𝐿!" du système en fonction des variables 𝜃 et
𝑧.
4. Ecrire les équations de Lagrange du système à l’aide d’un paramètre
de Lagrange 𝜆 .
5. Déterminer 𝜆.
6. En déduire les composantes 𝐿! et 𝐿! de la force généralisée.
7. En utilisant la même méthode, déterminer la force généralisée 𝐿! due à
la liaison 𝑟 = 𝑎
8. En déduire les composantes 𝑅! ; 𝑅! ; 𝑅! de la réaction du rail sur la bille 𝑚