VECTEURS – EXERCICES CORRIGES

VECTEURS – EXERCICES CORRIGES
Exercice n°1.
On considère un hexagone régulier ABCDEF de centre O, et I et J
les milieux respectifs des segments [AB] et [ED]. En utilisant les
lettres de la figure citer :
1) Deux vecteurs égaux
…………………………………………………….
2) Deux vecteurs de même direction, de sens contraire et de normes
différentes
…………………………………………………….
3) Deux vecteurs de même direction, de même sens et de normes
différentes
…………………………………………………….
4) Deux vecteurs de direction différentes et de même norme.
…………………………………………………….
5) Deux vecteurs opposés.
…………………………………………………….
Exercice n°2. Compléter les pointillés à l'aide de la relation de Chasles
IJ = IB + B.
H . = .. + IJ
MN = .P + ..
.E = F . + G.
AB = .C + .D + ..
.. = JK + .M
AB + BC + CD + DE = ..
CD = .A + A.
.Y = XJ + .. + .R
Exercice n°3.On considère la figure-contre :
En n'utilisant que les lettres représentées sur cette figure, compléter :
D
E
XK = XL + .K
RS = R. + .S
F
G
AB + FE =.........................................................................................
AB + AH ...........................................................................................
BA + BC =.........................................................................................
BC + DE =.........................................................................................
BF + GF =........................................................................................
AE + FB =.........................................................................................
H
B
C
A
Exercice n°4. ABC est le triangle ci-contre
1) Placer les points D et E tels que AD = AC − AB et AE = AB − AC
2) Démontrer que A est le milieu de [ED] .
Exercice n°5.
Dans chaque cas , Déterminer à partir du graphique une relation du type : =k
……………………….
……………………….
où k est un réel :
……………………….
……………………….
Exercice n°6. ABCD étant un parallélogramme, construire les points I, J et K tels que :
AI = 3 AB
3 DJ = − CD
2
DK = CA + 3 AB
Exercice n°7.
Soit A et B deux points distincts d’un plan. Placer le point G tel que −2GA + 5GB = 0
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Exercice n°8.
(
)
1) Exprimer plus simplement le vecteur : n = 2 MA − AC + MB − 3MC en fonction de AB et AC .
5
4
2) u , v et w sont 3 vecteurs. Déterminer le nombre k tel que w = k u sachant que u = − v et que w =
2
v.
3
Exercice n°9. Soient trois points A, B et C distincts non alignés.
Les vecteurs w et x sont-ils colinéaires dans les cas suivants?
1
2
2
6) w =
5
3) w = 3 AB – AC et x = 9 AB –2 AC
5) w =
2) w = –2 AB +3 AC et x = 4 AB –6 AC
1) w = 2 AB et x = –6 AB
4) w =
1 1 AB +2 AC et x = AB – 3 AC
3
2
3 AB +3 AC et x = – AB –9 AC
2
3 1 3 AB – AC et x = AB – AC
5
2
4
Exercice n°10. On considère un triangle ABC.
1) Construire les points D et E tels que AD = AC + AB et BE = AB + AD
2 2 AB et AN = AC
3
3
2) Construire les points M et N tels que AM =
3) Exprimer MN en fonction de BC . Que peut-on en déduire pour (MN) et (BC) ?
Exercice n°11.
Soit ABCD un quadrilatère quelconque. On désigne par I,J,K et L les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [DA]
1) Trouvez le nombre h tel que IJ =h AC
2) Que peut-on dire de LK ?
3) Conclure sur la nature du quadrilatère IJKL
Exercice n°12. On considère un triangle ABC.
On désigne par P le milieu de [AB], et par Q et R les points définis par BQ = -
1 4 BC et RC = AC
3
5
1) Exprimer PQ et PR en fonction des vecteurs AB et AC
2) Que peut-on dire des vecteurs PQ et PR ?
3) Que peut-on en déduire ?
Exercice n°13. Soit ABC un triangle.
1 5 3 AC + CB et CE = –2 AC + AB
2
2
2
On désigne par D et E les points tels que : AD =
Montrer que le point B est le milieu du segment [ED].
Exercice n°14. Soit ABC un triangle.
1) On désigne par J , D et K les points tels que AJ =
2 1 AB , BK = BC et AD = 2 AC
3
2
2) Montrer que les points J, D et K sont alignés.
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VECTEURS – CORRECTION
Exercice n°1
1) Deux vecteurs égaux sont par exemple :
AB = FO = OC = ED
ou encore FE = AO = OD = BC
2) Deux vecteurs de même direction, de sens contraire et de
normes différentes sont par exemple :
AB et CF
3) deux vecteurs de même direction, de même sens et de
normes différentes sont par exemple :
AB et FC
4) Deux vecteurs de direction différentes et de même norme
sont par exemple :
AB et BC
5) Deux vecteurs opposés sont par exemple :
AB et DE
Exercice n°2 Compléter les pointillés à l'aide de la relation de Chasles
IJ = IB + BJ
FE = FG + GE
AB + BC + CD + DE = AE
XK = XL +
CD = CA +
LK
AD
HJ = HI + IJ
RS = RA + AS (ou n’importe quelle
AB = AC + CD + DB
XY = XJ + RY + JR (on change alors
autre lettre que A)
l’ordre des vecteurs dans la somme)
JM = JK + KM
MN = MP + PN
Exercice n°3 On
la figure suivante :
considère
AB + FE = AB + BC = AC
AB + AH = AB + BE = AE
BA + BC = FG + GH = FH
BC + DE = BC + CB = 0
BF + GF = BF + AB = AB + BF = AF
AE + FB = AE + EC = AC
Exercice n°4
1)
AD = AC − AB
= AC + − AB
(
)
opposé du
vcteur AB
= AC + BA = BA + AC = BC
AE = AB − AC
= AB + − AC
(
)
opposé du
vcteur AC
= AB + CA = CA + AB = CB
2) Puisque CB = − BC , on déduit que AE = − AD = DA , qui caractérise le fait que A est le milieu de {ED]
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Exercice n°5
et
ont la même
et
ont la même
et
ont la même
et
ont la même
direction, et sont de même direction, et sont de sens direction, et sont de sens direction, et sont de même
sens donc k > 0 .
contraire donc k < 0 .
contraire donc k < 0 .
sens donc k > 0 .
5
u= v
3
2
u=− v
3
6
u=− v
5
4 2
u= v= v
6
3
Exercice n°6
3 3 DJ = − CD = DC
2
2
Exercice
n°7 − 2GA + 5 GB
=0
Relation
de Chasles
(
)
⇔ −2GA + 5 GA + AB = 0 ⇔ −2GA + 5GA + 5 AB = 0
⇔ 3GA + 5 AB = 0
−5 5 ⇔ 3GA = −5 AB ⇔ GA =
AB ⇔ AG = AB
3
3
D’où une construction du point G :
Exercice n°8
(
)
1) On écrit n = 2 MA − AC + MB − 3MC
(
)
(
)
= 2 MA − AC + MA + AB − 3 MA + AC
= 2 MA − 2 AC + MA + AB − 3MA − 3 AC
= 2 MA + MA − 3MA − 2 AC + AB − 3 AC
= AB − 5 AC
5
4
2
3
2) Si u = − v , alors v = − u . Si w = v , alors v = w
4
5
3
2
4

v = − 5 u
3
4
8 2  4 
Ainsi 
⇔ w = − u ⇔ w = × − u  = − u
2
5
3  5 
15
v = 3 w

2
8
Ainsi le nombre nombre k tel que w = k u vaut k = −
15
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Exercice n°9
1) Si w = 2 AB et x = –6 AB , alors −3w = −3 × 2 AB = −6 AB = x . Puisque x = −3w , les vecteurs x et w sont
colinéaires
−2 w = −2 −2 AB + 3 AC = ( −2 ) × −2 AB + ( −2 ) × 3 AC = 4 AB − 6 AC = x .
Puisque x = −2 w , les vecteurs x et w sont colinéaires
3) Si w = 3 AB – AC et x = 9 AB –2 AC , les vecteurs ne sont pas colinéaires, car s’il existait un réel k tel que k w = x ,
3k = 9
on aurait kw = k 3 AB − AC = 3k AB − k AC = x si et seulement si 
. Or il n’existe aucune valeur k réelle
 − k = −2
2) Si w = –2 AB +3 AC et x = 4 AB –6 AC , alors
(
)
(
(
)
)
solution de ce système
1 3 3  1 
AB +3 AC et x = – AB –9 AC , alors −3w = −3  AB + 3 AC  = − AB − 9 AC = x . Puisque
2
2
2
2

x = −3w , les vecteurs x et w sont colinéaires
1 1 AB +2 AC et x =
AB -3 AC , les vecteurs ne sont pas colinéaires, car s’il existait un réel k tel que
5) Si w =
3
2
k 1
 =
 1  k k w = x , on aurait kw = k  AB + 2 AC  = AB + 2k AC = x si et seulement si  3 2 . Or il n’existe aucune
3
 3
2k = −3
4) Si w =
valeur k réelle solution de ce système
2 3 1 3 5 5  2 3  5 2 5 3 AB − AC et x = AB – AC alors w =  AB − AC  = × AB − × AC
5
5
2
4
4
45
5
4 5
 4 5
1
3
5
= AB − AC = x . Puisque x = w , les vecteurs x et w sont colinéaires.
2
4
4
6) Si w =
Exercice n°10
1) et 2) voir ci-contre
3)
2 MN = MA + AN = − AM + AC
3
2 2 2 2 = − AB + AC = BA + AC
3
3
3
3
2 2 = BA + AC = BC
3
3 Les vecteurs MN et BC étant colinéaires,
(
)
on déduit que les droites (MN) et (BC) sont parallèles
Exercice n°11 (le Théorème de Varignon)
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1) Dans le triangle ABC, I étant le milieu de [AB]et J celui de [BC], on applique la propriété dite de la droite des milieux
(ou de Thalès Vectoriel) pour conclure que IJ =
1 AC
2
2) Dans le triangle ACD, L étant le milieu de [AD]et K celui de [CD], on applique la propriété dite de la droite des
1 AC
2
1 1 3) Puisque IJ = AC et LK = AC , on conclut que IJ = LK , donc que IJKL est un parallélogramme.
2
2
milieux (ou de Thalès Vectoriel) pour conclure que LK =
Exercice n°12
1) On écrit
PQ = PB + BQ
car P est
le milieu
par définition
de [ AB]
1  1 
= AB +  − BC 
2
 3

1
1
= AB − BA + AC
2
3
1
1 1 = AB − BA − AC
2
3
3
1
1
1 = AB + AB − AC
2
3
3
5 1 = AB − AC
6
3
4 4 Si RC = AC , alors, on peut écrire de plus que CR = CA , d’où :
5
5
PR = PA + AC + CR
(
)
car P est
le milieu
de [ AB]
par définition
1
 4 
= BA + AC +  CA 
2
5

1 4 = − AB + AC − AC
2
5
1 1 = − AB + AC
2
5
2) On calcule
3 3  5 1 
− PQ = −  AB − AC 
5
56
3

3 × 5 3 × 1 =−
AB +
AC
5× 6
5×3
1 1 = − AB + AC
2
5
= PR
Les vecteurs PR et PQ sont donc colinéaires
3) On en déduit que les points P, Q et R sont alignés
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Exercice n°13
1) On va exprimer les vecteurs BD et BE en fonction de AB et AC afin de montrer qu’ils sont colinéaires
On écrit d’une part :
BD = BA + AD
5 3 = BA + AC + CB
2
2
5 3 = − AB + AC + CA + AB
2
2
3 5 3 = − AB + AB + AC − AC
2
2
2
1 = AB + AC
2
(
)
Et d’autre part :
BE = BC + CE
1 = BA + AC − 2 AC + AB.
2
1 = − AB + AB + AC − 2 AC
2
1 = − AB − AC
2 Puisque BD = − BE , on en déduit que le point B est le milieu du segment [ED].
Exercice n°14
On écrit successivement :
JK = JA + AB + BK
2 1 = BA + AB + BC
3
2
2
1 = − AB + AB + BA + AC
3
2
2
1 1 = − AB + AB − AB + AC
3
2
2
1 1 = − AB + AC
6
2
2 2 puis JD = JA + AD = BA + 2 AC = − AB + 2 AC , ce qui nous permet de constater que JD = 4 JK , donc de
3
3
(
)
conclure que les points J,D et K sont alignés.
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