Programme, titres et résumés

– Colloque tournant GDR TLAG 2013 –
Cergy, 23-25 Janvier 2013
• Exposés :
– Pierre Baumann (Strasbourg) : Quelques propriétéss de la base semi-canonique
Résumé: Soit g = n− + h + n+ la décomposition triangulaire d’une algèbre de Lie semisimple complexe simplement lacée. Utilisant la théorie des représentations de l’algèbre
préprojective construite sur le diagramme de Dynkin de g, Lusztig a construit une base
de U (n+ ), appelée base semi-canonique, qui jouit de propriétś remarquables. Par exemple, Geiß, Leclerc et Schröer ont montré que la base duale de la base semi-canonique
était compatible avec la structure amassée de l’algèbre des fonctions régulières sur le
groupe unipotent exp(n+ ). Dans l’exposé, on présentera une propriété de compatibilité
entre la base semi-canonique et le groupe de Weyl.
– Pierre Clare (Penn State) : Entrelacements géométriques et C*-algébriques
Des résultats récents permettent de réaliser les opérateurs d’entrelacement entre induites paraboliques au moyen de transformations intégrales classiques. On présentera
certains de ces résultats et de leurs applications dans le cadre classique ainsi que du
point de vue de la Géométrie Non-commutative.
– Julien Bichon (Clermont Ferrand) : Homologie de Hochschild des algèbres de Hopf
et modules de Yetter-Drinfeld libres
Je présenterai un lien entre les homologies de Hochschild de deux algèbre de Hopf
monodalement équivalentes (c’est-à-dire ayant des catégories de coreprésentations monodalement équivalentes) dans le cas où la counité de l’une des deux algèbres admet une
résolution par des modules de Yetter-Drinfeld libres. Ce résultat s’applique au groupe
quantique d’une forme bilinéaire non dégénérée, ce qui permet de généraliser divers
résultats de Collins-Hartel-Thom dans le cas orthogonal.
– Alexandre Bouayad (Paris 7) : Algèbres de Borcherds-Kac-Moody colorées et interpolation de Langlands
On introduit un processus de déformation des algèbres enveloppantes universelles des
algèbres de Borcherds-Kac-Moody, qui généralise celui des groupes quantiques et fournit
une grande classe de nouvelles algèbres appelées algèbres de Borcherds-Kac-Moody
(BKM) colorées. La direction de déformation est donnée par le choix d’une collection
de nombres. Par exemple, les algèbres enveloppantes classiques sont obtenues à partir
des entiers naturels, tandis que les groupes quantiques le sont à partir des nombres
quantiques. En type fini, on prouve que les représentations de dimension finie classiques
peuvent toujours être déformées en des représentations des algèbres BKM colorées. à
L’aide de ces résultats, on résout des conjectures de Frenkel-Hernandez à propos de
la dualité de Langlands entre les représentations des groupes quantiques. On obtient
aussi de nouveau résultats à propos de la dualité de Langlands entre les représentations
des algèbres BKM classiques.
– Xin Fang (Paris 7): Cohomologies des algèbres de battages quantiques
Dans cet exposé je parlerai d’une construction inductive des algèbres de battages quantiques associées aux matrices de Cartan. Cette construction nous permet d’établir
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un analogue ”non-commutatif” du théorème de Borel-Weil-Bott pour ces algèbres. Si
le temps permet, j’expliquerai, comme une application, comment factoriser la partie
négative d’un groupe quantique aux sous algèbres de Hopf quadratiques.
Banafsheh Farang-Hariri (Versailles) : La fonctorialité d’Arthur-Langlands locale
géométrique et la correspondance de Howe au niveau Iwahori
Dans cet exposé on présentera une conjecture sur la fonctorialité d’Arthur-Lanlgands
géométrique locale au niveau Iwahori pour un morphisme donné de groupes Langlands
duaux Ǧ × SL2 → Ȟ. On reliera conjecturalement cette fonctorialité à la correspondance de Howe géométrique au niveau Iwahori. On expliquera que cette seconde conjecture est vérifiée pour les paires duales réductives (GL1 , GLm ).
Eddy Godelle (Caen) : Garside theory and Yang-Baxter equation
Pour étudier les solutions ensemblistes des équations de Yang-Baxter, dans un article
publié en 1999, Etingof, Schedler et Soloviev ont introduit la notion de groupe de
structure d’une solution ensembliste. Ces groupes sont précisément les groupes dits de
I-type. Classifier les solutions ensemblistes de l’équation de Yang-Baxter revient alors à
classifier les groupes de I-type. Il s’avère que ces derniers sont des groupes de Garside.
J’expliquerai comment les récents développements de l’approche à la Garside peuvent
permettre d’attaquer le problème de classification des groupes de I-type. Il s’agit de
résultats obtenus en collaboration avec Fabienne Chouraqui.
David Hernandez (Paris 7) : Algèbres amassées et algèbres affines quantiques non
simplement lacées
Des catégorifications monoidales d’algèbres amassées utilisant des algèbres affines quantiques simplement lacées ont été établies. Dans cet exposé, nous présenterons de nouvelles relations entre les algèbres amassées et la théorie des représentations des algèbres
affines quantiques non simplement lacées. Il s’agit d’un travail en commun avec B.
Leclerc.
Philippe Humbert (Strasbourg) : Structures de genre g sur une catégorie enrubannée
Le langage des catégories tensorielles fournit une bonne formulation du lien existant
entre groupes quantiques et invariants d’objets noués : la catégorie des enchevêtrements
en bande est la catégorie enrubannée stricte ”universelle”. Dans cet exposé, on définit
la notion de structure de genre g sur une catégorie enrubannée afin de proposer une
généralisation de ce théorème aux catégories d’enchevêtrements sur des surfaces de
genre supérieur.
Victoria Lebed (Paris 7) : Une étude unificatrice des structures algébriques avec des
outils ”tressés”
étant donné un objet tressé V dans une catégorie monoı̈dale, on introduit et étudie les
structures suivantes: caractères de V, modules sur V (entre autres modules adjoints),
homologie de V (y compris avec des coefficients dans un V-module). Ces notions
généralisent les notions analogues pour des structures algébriques assez variées. Comme
illustration, on regarde en détail l’exemple des algèbres de Leibniz (= ”algèbres de
Lie non-commutatives” introduites par J.-L.Loday) : on exprime l’identité de Jacobi
(qui les définit) comme l’identité de Yang-Baxter pour un tressage bien choisi, et on
retrouve l’homologie de Leibniz. Toutes les constructions sont ensuite généralisées au
cadre des systèmes tressés, avec les bigèbres et les modules de Yetter-Drinfel’d comme
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exemples principaux. On retrouve notamment l’homologie de Gerstenhaber-Schack et,
respectivement, l’homologie de Panaite-Stefan pour ces deux structures.
Emmanuel Letellier (Caen) : Systèmes locaux sur la sphère épointée et produits
tensoriels de représentations de GLn (Fq )
On étudiera une conjecture reliant la cohomologie des espaces de modules des systèmes
locaux sur la sphère complexe épointée avec les décompositions des produits tensoriels
de représentations irréductibles de GLn (Fq ).
Anne Moreau (Poitiers) : Espace des arcs d’une variété horosphérique et intégration
motivique
Dans cet exposé, je présenterai un travail en commun avec Victor Batyrev dans lequel
nous nous intéressons à l’intégrale motivique sur l’espace des arcs d’une G-variété
horosphérique Q-Gorenstein X associée à un éventail colorié, où G est un groupe réductif
connexe. Nous donnons une formule pour la fonction E de cordes de X qui généralise
celle obtenue pour les variétés toriques par Victor Batyrev et nous en déduisons un
critère de lissité pour les variétés horosphériques localement factorielles.
Jonathan Ohayon (Montpellier) : Quantification des sous-algebres de Lie coı̈sotropes
simples
Une sous-algèbre de Lie coı̈sotrope dune bigèbre de Lie est une sous-algèbre de Lie
de qui est aussi un coidéal. Le problème de quantifications dune sous-algèbre de Lie
coı̈sotrope fut posée par V. Drinfeld, lors de son étude de la quantification des espaces
de Poisson homogènes G/C. Ces deux problèmes sont liés par le principe de dualité
établi par N. Ciccoli et F. Gavarini. Dans cette exposé, nous étudierons l’existence
d’une quantification de ces sous-algèbres dans le cadre des algèbres de Lie simple. Nous
nous intéresserons, dans un premier temps, à une famille de sous-algèbres cosotropes
construite par M. Zambon. Puis nous établirons un lien entre ces quantifications et
un résultat récent de classification des sous- algèbres coidéales à droite établie par I.
Heckenberger et S. Kolb. Nous conclurons par une conjecture sur une classification des
sous-algèbres de Lie coı̈sotropes.
Fan Qin (Pekin) : Algèbres amasseés quantiques acycliques et variétés de carquois
Pour une algèbre amassée quantique acyclique antisymétrique, nous exprimons ses
générateurs (variables d’amas quantiques) en termes des polynmes de Serre des grassmanniennes de carquois des modules rigides. Ensuite, nous introduisons une nouvelle
famille de variétés de carquois graduées avec une nouvelle t-déformation et généralisons
les (q; t)-caractères de Nakajima à ces constructions. Comme corollaire, dans un travail en commun avec Yoshiyuki Kimura, nous obtenons la (pseudo-)catégorification
monodale déformée des algèbres amassées quantiques acycliques.
Olivier Schiffmann (Orsay) : Volume des variétés nilpotentes de Lusztig et polynôme
de Kac
Nous exprimons le nombre de points sur un corps fini des varietes nilpotentes de Lusztig
d’un carquois en termes des polynomes de Kac associés.
Ronan Terpereau (Grenoble) : Schémas de Hilbert invariants et résolution des singularités quotients
Pour toute variété affine W munie d’une opération d’un groupe réductif G, le schéma de
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Hilbert invariant est un espace de modules qui classifie les sous-schémas fermés de W,
stables par l’opération de G, et dont l’algèbre affine est somme directe de G-modules
simples avec des multiplicités finies préalablement fixées. Dans cet exposé, on s’intéresse
au schéma de Hilbert invariant, noté H, qui paramètre les sous-schémas fermés GL(V )stables Z de W = V ⊕n1 ⊕V ∗⊕n2 tels que k[Z] est isomorphe à la représentation régulière
de GL(V ) comme GL(V )-module. Si dim(V ) ≤ 2, nous verrons que H est une variété
lisse, et donc que le morphisme de Hilbert-Chow γ : H → W//G est une résolution
des singularités du quotient W//G. En revanche, si dim(V ) = 3, le schéma H est
singulier. Lorsque dim(V ) ≤ 2, nous verrons également que l’on peut décrire H par
des équations explicites et aussi comme l’espace total d’un fibré vectoriel homogène
au-dessus d’un produit de deux grassmanniennes. Enfin, si le temps le permet, nous
évoquerons des résultats similaires lorsque l’on remplace GL(V ) par un autre groupe
classique (SL(V ), SO(V ), O(V ), Sp(V )) que l’on fait opérer dans W = V ⊕n .
• Programme :
Matin
9-9:50
10-10:50
Après midi
11:20-12:10
14-14:50
15-15:50
Clare
Lebed
Farang
Godelle
Schiffmann
Fang
Bouayad
Baumann
Humbert
Moreau
Qin
Hernandez
Mercredi
Jeudi
Vendredi
Letellier Terpereau
Bichon
Ohayon
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16:20-17:10 17:20-18:10