Calcul de la position du point de Lagrange L1
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Calcul de la position du point de Lagrange L1
Calcul de la position du point de Lagrange L1 On définit vitesse angulaire – r : distance Soleil-satellite – d : distance Soleil-Terre (l’unité astronomique) – Ms , Mt , m : masses du Soleil, de la Terre et du satellite On suppose par ailleurs que l’orbite terrestre est circulaire (d est constant). GMs d3 Le terme d’accélération vaut donc v2 r −m = −mω 2 r = −GMs m 3 r d Finalement, l’équation 1 devient après simplification ω2 = Les forces et les accélérations sont toutes orientées selon l’axe Soleil-Terre. On peut donc se contenter de faire le bilan des forces selon cet axe uniquement. m − Ceci peut se mettre sous la forme adimensionnée r2 r3 f (r) = −1 + µ + =0 (d − r)2 d3 d2 r X = F dt2 avec µ = Mt /Ms = 3 · 10−6 . Finalement, Les principales forces sont l’attraction gravitationnelle du Soleil et de la Terre. Nous négligeons ici l’attraction des autres planètes, qui est nettement plus faible et de plus varie dans le temps. Comme le satellite suit une orbite circulaire, il subit une accélération en direction du Soleil. Son impact est comparable celui de l’attraction terrestre et ne peut donc pas être négligé. Ainsi v2 Ms m Mt m −m = −G 2 + G r r (d − r)2 f (x) = −1 + µ x2 + x3 = 0 (1 − x)2 x<1 (2) avec la nouvelle variable sans dimension x = r/d. Il suffit dès lors de résoudre en x, qui est plus facile à manipuler que r. Comme µ ≪ 1, on en déduit que x ≈ 1. Notons qu’il existe un second point de Lagrange de l’autre côté de la Terre. Sa position est racine de la même équation, après inversion du signe de la force d’attraction terrestre (1) Or le satellite reste sur l’axe Soleil-Terre, si bien que sa vitesse angulaire ω= 1 Mt 1 r =− 2 + 3 d r Ms (d − r)2 g(x) = −1 − µ 2π T x2 + x3 = 0 (1 − x)2 x>1 Estimation analytique de la racine de f(x) doit être la même que celle de la Terre. D’après la 3ème loi de Kepler, l’orbite terrestre obéit à la relation Comme r ≈ d avec r < d, nous pouvons poser que r = d − ǫ, avec 0 < ǫ ≪ d. Cela donne, au premier ordre en ǫ GMs d3 = 2 T 4π 2 Le même résultat s’obtient en faisant le bilan des forces pour la Terre. On en déduit la −1 + µ 1 d2 − 2dǫ d3 − 3d2 ǫ + =0 ǫ2 d3 0.5 0.4 0.3 0.2 f(x) 0.1 0 −0.1 −0.2 −0.3 −0.4 −0.5 0.94 0.96 0.98 1 x 1.02 1.04 1.06 Fig. 1 – Les fonctions f (x) et g(x) dont on tire que ǫ= 1/3 µ 3 [0.9, 0.99999]. Cela donne les itérations suivantes d = 0.01 k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 etc soit r = 0.99d. Recherche de la racine de f(x) La fonction f (x) possède une discontinuité en x = 1. Ceci exclut le recours à la méthode de la sécante, qui nécessite une fonction continue, et à la méthode de Newton, pour laquelle f (x) doit être continue et dérivable. Seule la méthode de la bissection fonctionne ici de manière sûre. Notons qu’on pourrait éliminer le dénominateur de l’équation 2 et s’affranchir ainsi des singularités. Même dans ce cas, toutefois, il faut rester prudent, car une discontinuité subsiste en x = 1 (passage de f (x) à g(x)). a 0.9000 0.9999 0.9999 0.9999 0.9874 0.9874 0.9905 0.9905 0.9898 0.9901 0.9899 b 0.9999 0.9500 0.9749 0.9874 0.9937 0.9905 0.9890 0.9898 0.9901 0.9899 0.9900 c 0.9500 0.9749 0.9874 0.9937 0.9905 0.9890 0.9898 0.9901 0.9899 0.9900 0.9900 f (c) -0.1417 -0.0688 -0.0188 0.0547 0.0047 -0.0086 -0.0024 0.0010 -0.0007 0.0001 -0.0003 Une meilleure stratégie consiste à démarrer avec la méthode de la bissection, pour ensuite accélérer la convergence avec la méthode de Newton. La solution exacte est x = 0.990033, soit r = 0.990033 d. Le point de Lagrange L1 se trouve environ à 0.01 unités astronomiques de la Terre. Prenons donc la méthode de la bissection, avec comme intervalle initial [a, b] = 2