LES SYSTEMES A DEUX ETATS "DE L`EFFET TUNNEL A L`EFFET

LES SYSTEMES A DEUX ETATS
"DE L'EFFET TUNNEL A L'EFFET LASER
DANS UN ESPACE DE HILBERT DE DIMENSION 2"
1. Physique dans un espace de Hilbert de dimension 2
L'exemple de la molécule NH3
Un peu d'algèbre à deux dimensions...
2. La molécule NH3 dans un champ électrique
Champ statique : inversion de population
Champ oscillant : émission stimulée
3. Le principe du LASER et quelques applications
Maser à ammoniac
Quelques exemples de lasers...
1. Physique dans un espace de Hilbert de dimension 2
Retour sur la molécule NH3
Un peu d'algèbre à deux dimensions…
L’opérateur « disposition »
MODELE SIMPLE DE LA MOLECULE D'AMMONIAC
NH3 : un atome d'azote (Z = 7), 3 atomes d'hydrogène (Z = 1)
H
V(x)
N
H
H
N
∆
a
H
a
H
H
"ˆ 2 14 14
qi q j
pi
ˆ
H =∑
+∑ ∑
" "
i =1 j =1, j ≠i 4πε 0 | ri − rj |
i =1 2 mi
14
E
x
Modèle de "double puits"
pour la coordonnée relative x
Rôle crucial de l'effet tunnel !
DOUBLE PUITS DE POTENTIEL
Fonctions d'ondes symétriques (S)
ou antisymétriques (A)
tg(ka)
0
π
2π
A
E3 ± A3
ka
A
S
A
S
 1 ± 2 e −κ ∆ 
tg( ka ) = − ka 
 κ a 
* ES,A = !2 kS,A2 /(2 m)
* "Clivage" des états S et A
S
S
Pour NH3 :
E2 ± A2
A
E1 ± A1
2 A1 = 10-4 eV
2 A2 = 4 10-3 eV
E2 - E1 = 0.12 eV
NIVEAUX MOLECULAIRES
Ex : molécule d'iode I2
Energie (103 cm-1)
Niveaux électroniques
(20000 cm-1 ou 0.5 µm,
2.5 eV, 30000 K)
Niveaux de vibration
(1000 cm-1 ou 10 µm,
0.15 eV, 1500 K)
Niveaux de rotation
(10 cm-1 ou 1 mm,
1.5 meV, 15 K)
Distance internucléaire (Å)
E = h c / λ = kB T
NIVEAUX MOLECULAIRES
Faut-il prendre en compte tous les niveaux ?
Loi de Boltzmann : NA / NB = exp{-(EA - EB) / kT}
A température ambiante (300K) on a kT = 25 meV :
seuls les niveaux les plus bas en énergie sont peuplés
NH3 : N2 / N1 = 0.008
E2 - E1 = 120 meV
NA1 / NS1 = 0.996
EA1 - ES1 = 0.1 meV
Couplage atome-champ (Planck - Einstein - Bohr...) : h νAB = E A - E B
Excitation quasi-résonnante de E A à E B
−> Approximation de « système à deux niveaux »
RESTRICTION A DEUX ETATS
E=0
kA
"Doublet" de plus basse énergie de NH3 :
EA
kS
# 2 π 2 8 e −κ ∆
∆E = E A - E S =
×
2
κa
2 ma
ES
EA - ES = #ω0, EA + ES = 0
ϕA(x)
Pour les deux états A et S :
x
-b
b
ϕS(x)
x
-b
ρA,S(x, t) = ψA,S(x, t) 2 = ϕA,S(x) 2
b
Densités de probabilité
* symétriques
* indépendantes du temps
(états stationnaires)
P(droite) = P(gauche) = 1/2
ETATS "GAUCHE" ET "DROIT"
ϕD(x)
Etats "Droit" et "Gauche"
x
-b
b
ϕG(x)
x
-b
Si
alors
ϕD = 1 (ϕS + ϕA)
2
b
ψ (t=0) = ϕD =
ϕG = 1 (ϕS - ϕA)
2
ne sont pas des états stationnaires !
1
(ϕS + ϕA)
2
ES = − #ω0 /2
EA = + #ω0 /2
ψ(t) = 1 { ϕS exp(- i E t/#) + ϕA exp(- i E t/#) }
A
S
2
= {(ϕD + ϕG) exp(iω0t /2) + (ϕD − ϕG) exp(- iω0t /2)} / 2
= ϕD cos( ω0 t) + i ϕG sin( ω0 t)
2
2
ETATS "GAUCHE" ET "DROIT"
ϕD(x)
Etats "Droit" et "Gauche"
x
-b
b
ϕG(x)
x
-b
Si
b
ϕD = 1 (ϕS + ϕA)
2
ϕG = 1 (ϕS - ϕA)
2
ne sont pas des états stationnaires !
ψ (t) = ϕD cos( ω0 t) + i ϕG sin( ω0 t)
2
2
Mouvement d'inversion de la molécule
−> « dipôle oscillant » −> rayonnement émis
ψ (t=0) = ϕD
alors
Comment décrire le couplage du mouvement
avec un champ électrique (statique ou oscillant) ?
ESPACE DES ETATS DE DIMENSION DEUX
| ψ 〉 = α | ψA 〉 + β | ψS 〉
α, β coefficients complexes
Dimension = 2
Ket
Bra
| ψ 〉 = α | ψA 〉 + β | ψS 〉
*
〈 ψ | = α* 〈 ψA | + β 〈 ψS |
〈 ψA | = 1, 0 et 〈 ψS | = 0, 1
donc 〈 ψ | = α* , β*
*, *
〈 ψ|ψ〉= α β
1
| ψA 〉 = 0
0
et | ψS 〉 = 1
α
donc | ψ 〉 = β
α = |α| 2 + |β| 2 = 1
β
*
*
〈 ϕ | ψ 〉 = λ , µ* α = α λ + β µ*
β
Norme
Produit scalaire
ESPACE DES ETATS DE DIMENSION DEUX
A=
a b+i c
b-ic d
Opérateur le plus général (a, b, c, d réels)
〈 ψA | A | ψA 〉 = 1, 0
a b+ic
b-ic d
〈 ψA | A | ψS 〉 = 1, 0
a b+ic
b-ic d
〈 ψS | A | ψA 〉 = 0, 1
a b+ic
b-ic d
〈 ψS | A | ψS 〉 = 0, 1
a b+ic
b-ic d
1 =a
0
0 = b+ic
1
1 = b-ic
0
0 =d
1
ESPACE DES ETATS DE DIMENSION DEUX
A=
a b+i c
b-ic d
Opérateur le plus général (a, b, c, d réels)
Exemple : Hamiltonien dans la base { | ψA 〉 , | ψS 〉 } ?
| ψA 〉 , | ψS 〉
sont états propres de H
avec les valeurs propres EA = #ω0 /2, ES = − #ω0 /2
donc :
H NH3 =
EA
0
0
ES
=#
ω 0 /2
0
0
- ω 0 /2
ESPACE DES ETATS DE DIMENSION DEUX
| ψA 〉 , | ψS 〉
Opérateur position dans la base
∞
〈 ψA,S | X | ψA,S 〉 =
x ϕ A,S
2
?
dx = 0 (parité)
-∞
∞
〈 ψA | X | ψS 〉 =
-∞
∞
〈 ψS | X | ψA 〉 =
ϕ *A x ϕ S dx = x0 (ϕ A(x) et ϕ S(x) réels)
ϕ *S x ϕ A dx = x0 (ϕ A(x) et ϕ S(x) réels)
-∞
Donc
X=
0
x0
x0
0
Opérateur non diagonal
Opérateur « disposition »
ESPACE DES ETATS DE DIMENSION DEUX
Valeurs propres et vecteurs propres de l'opérateur « disposition » ?
0
x0
x0
0
−λ
x0
x0
−λ
1
2
α
β
=λ α
β
donc
=0
(| ψA 〉 + | ψS 〉 ) = | ψD 〉
λ = ± x0
1
2
et
α
β
1 1
=
2 ±1
(| ψA 〉 - | ψS 〉 ) = | ψG 〉
ϕD(x)
ϕG(x)
x
-b
b
x
-b
b
ESPACE DES ETATS DE DIMENSION DEUX
Valeur moyenne et dispersion de l'opérateur « disposition » ?
X=
0
x0
x0
0
Etats | ψA 〉 , | ψS 〉
2
X =
*àt=0
| ψG 〉 , | ψD 〉
0
x02
(états propres de H)
〈 ψA | X | ψA 〉 = 〈 ψS | X | ψS 〉 = 0
Etats
x02
0
∆XS,A =
X2 - X 2 = x0
(états propres de X)
〈 ψD | X | ψD 〉 = x0
〈 ψG | X | ψG 〉 = - x0
∆XG,D =
X2 - X 2 = 0
La « disposition » est parfaitement connue dans les états D et G
EVOLUTION AU COURS DU TEMPS
On a vu que si | ψ (t=0)〉 = | ψD〉
alors :
| ψ (t) 〉 = | ψD 〉 cos( ω0 t) + i | ψG 〉 sin( ω0 t)
2
2
ω0t /2)
P(D) = | 〈 ψD | ψ (t) 〉 |2 = cos2(ω
ω0t /2)
P(G) = | 〈 ψG | ψ (t) 〉 |2 = sin2(ω
〈 ψ(t) | X | ψ(t) 〉 = x0 P(D) - x0 P(G) = x0 cos (ω0t)
Exercice : montrer qu’on retrouve le même résultat avec les matrices
La valeur moyenne de la disposition oscille au cours du temps :
on retrouve le mouvement d'inversion de la molécule
2. La molécule NH3 dans
un champ électrique statique ou oscillant
Objectif : utiliser la molécule comme source de rayonnement
Deux étapes : (1) communiquer de l’énergie à la molécule :
* inversion de population
* obtenue ici en appliquant un champ statique
qui sélectionne un état moléculaire
(2) extraire cette énergie sous forme de rayonnement :
* émission stimulée
* obtenue en appliquant un champ oscillant
de fréquence ω proche de ω0
MOLECULE D'AMMONIAC DANS UN CHAMP ELECTRIQUE
Champ électrique statique E
Dipole électrique :
H
N
H
H
N
H
D=qX
Energie d'interaction entre
le dipole et le champ électrique :
W =-D.E=#
H
H
0
ξ/2
ξ/2
0
# ξ / 2 = - q x0 E = - d0 E
HNH3 =
EA
0
H = HNH3 + W
0
ES
−>
=#
+ ω 0 /2 0
0
− ω 0 /2
H= #
2
ω0
ξ
ξ
−ω0
MOLECULE D'AMMONIAC DANS UN CHAMP ELECTRIQUE
ω0
ξ
H= #
2
# ξ = - 2 d0 E
#ω 0 = EA - E S
ξ
- ω0
Valeurs propres :
ω 0 -λ ξ
=0
ξ - ω 0 -λ
2
Ε±(ξ)
E+
EA
ξ
2
λ - ω0 - ξ = 0
2
λ ± = ± ω20 + ξ2
E± = ±#
2
#ξ/2
E−
2
ω20 + ξ
ES
- #ξ/2
MOLECULE D'AMMONIAC DANS UN CHAMP ELECTRIQUE
Vecteurs propres :
cos(θ ) =
ϕ+
ω0
ω 02 + ξ 2
 cos(θ / 2 )
=
 sin(θ / 2 ) 
sin(θ ) =
ϕ−
ξ
ω 02 + ξ 2
 − sin(θ / 2 )
=
 cos(θ / 2 ) 
Evolution dans le temps :
ϕ (t = 0 ) = ϕ A = cos(θ / 2 ) ϕ + − sin(θ / 2 ) ϕ −
ϕ (t ) = cos(θ / 2 ) e− iE +t /# ϕ + − sin(θ / 2 ) e− iE −t /# ϕ −
= cos( E+2−#E− t ) ϕ A − i sin( E+2−#E− t ) (cos(θ ) ϕ A + sin(θ ) ϕ S )
Probabilité de « transition » (passage de A à S)
2
2
2
ξ
t
ω
+
(
E
−
E
)
t
ξ
0
2
2
2
+
−
P ( A → S ) = sin (θ ) sin
= 2
sin
2
ω0 + ξ
2#
2
2. La molécule NH3 dans
un champ électrique statique ou oscillant
Molécules NH3 dans un champ électrique :
- états propres et valeurs propres
Champ statique :
- potentiel sensible à l’état interne
- préparation dans l’état
- inversion de population
Champ oscillant :
- oscillations de Rabi (absorption - émission)
- émission stimulée
CHAMP STATIQUE INHOMOGENE
y
Propagation d ’un jet de molécule
dans un gradient de champ électrique ?
Champ électrique « quadrupolaire » :
E(x = 0, y = 0) = 0
Jet de
|E(x,y)| augmente
molécules
hors d’axe
NH3
E(x,y)
+
−
z
x
−
+
E(x,y)
x
x
y
Energie « vue » par une
molécule dans l'état | ϕ Α〉 : Ε+ ≥ Ε Α
y
Energie « vue » par une
molécule dans l'état | ϕ S 〉: E − ≤ ES
Apparaît comme une énergie potentielle qui guide le mouvement !
INVERSION DE POPULATION
Comment réaliser un minimum
local de E (à 2 dimensions) ?
Champ quadrupolaire
| ϕS 〉
| ϕA 〉
y
+
−
z
x
Jet de
molécules NH3
−
| ϕS 〉
+
Les molécules dans l'état | ϕA 〉 sont guidées
Les molécules dans l'état | ϕS 〉 sont éjectées
En sortie le système est
hors d'équilibre thermodynamique :
"inversion de population"
ΕA
ΕS
2. La molécule NH3 dans
un champ électrique statique ou oscillant
Molécules NH3 dans un champ électrique :
- états propres et valeurs propres
Champ statique :
- potentiel sensible à l’état interne
- préparation dans l’état
- inversion de population
Champ oscillant :
- oscillations de Rabi (absorption - émission)
- émission stimulée
CHAMP HOMOGENE OSCILLANT
Energie d'interaction entre le dipole et le champ électrique :
Wt = - D.E0 cos(ωt) = #
H=#
0
ξ0 cos(ω t)
0
ξ0 cos(ω t)
ω 0/2
ξ0 cos(ω t)
ξ0 cos(ω t)
− ω 0/2
# ξ0 = - d0 . E0
# ω 0 = E A- E S
Equation de Schrödinger avec Hamiltonien dépendant du temps :
i # d α(t) = H α(t)
dt β(t)
β(t)
i α(t) =
i β(t) =
+ω 0/2 α(t) + ξ0 cos(ω t) β(t)
− ω 0/2 β(t) + ξ0 cos(ω t) α(t)
La méthode usuelle (trouver les états propres de H…) ne s’applique pas
Que fait-on ?
CHAMP HOMOGENE OSCILLANT
Equation de Schrödinger avec Hamiltonien dépendant du temps :
i α(t) =
i β(t) =
i ! d α(t) = H α(t)
dt β(t)
β(t)
+ω 0/2 α(t) + ξ0 cos(ω t) β(t)
− ω 0/2 β(t) + ξ0 cos(ω t) α(t)
Principe du calcul :
* Changement de variable :
α(t) = α(t) e − i ω t/2
β(t) = β(t) e+i ω t/2
i α(t) = (− ω + ω 0) α(t)/2 + ξ0 (1 + e2 i ω t) β(t)/2
i β(t) = (ω − ω 0) β(t)/2 + ξ0 (1 + e- 2 i ω t) α(t)/2
Apparition du « désaccord de fréquence » δ = ω − ω0
* Quelques approximations et manipulations (hors programme…)
… et on retrouve le cas statique en remplacant ω 0 par δ = ω − ω0
LA «ELECTRIQUE
FORMULE DE
RABI »
CHAMP
OSCILLANT
Condition initiale : | ψ (t=0) 〉 = | ϕA 〉 ⇒
Formule de Rabi :
ω = ω0
β(t) =
ξ0 sin
i
ξ20
2
PA→S(t) =
sin
(ω - ω0)2+ξ20
1
1
Pmax
A→S
0
ξ20 2 t
PA→S(t) = 2 sin δ
2
δ
(ω - ω0)2+ξ20 t
2
PA→S(t)
PA→S(t) = sin2 ξ0 t
2
δ =ω - ω0, |δ| >> ξ0
(ω - ω0)2+ξ20 t
2
(ω - ω0)2+ξ20
2π
ξ0
t
1 PA→S(t)
0
2π
δ
t
ω0
ω
L'EMISSION STIMULEE
Molécule dans l'état d'énergie ΕA et champ oscillant de fréquence ω ≈ ω0
ΕA
PA→S(t) pour ω ≈ ω0
ΕA
1
ΕS
t=0
ΕS
0
2π
ξ0
t
t = π/ξ0
* Le champ "induit" l'émission de la molécule
* La molécule cède son énergie au champ
* Processus réversible si le champ est confiné dans une cavité
* En fait le champ s'échappe de la cavité avec une énergie augmentée :
amplification par émission stimulée de rayonnement
3. Le principe du LASER et quelques applications
Maser à ammoniac
Quelques exemples de lasers...
Masers et Lasers
Albert Einstein a découvert le
principe de l’émission stimulée en
1917 (à partir d ’une étude
thermodynamique détaillée de la
loi de Planck)
Il en résulte qu’un ensemble d’atomes convenablement préparés
peuvent amplifier le rayonnement (radiofréquence ou lumineux)
* Comment passer d’un amplificateur à un oscillateur ?
Rétroaction ! (cf. effet Larsen...)
* Méthode la plus simple :
placer l’amplificateur dans une cavité résonnante
Principe du MASER (micro-ondes) et du LASER (lumière)
LE MASER A AMMONIAC
Jet
moléculaire
Focalisation
Inversion de
population
Cavité
micro-onde
Emission
stimulée
-> Oscillation auto-entretenue !
1954 : 1014 molécules/sec, P = 10-9 W, f = 24 GHz
LE MASER A AMMONIAC
Charles
Townes,
1954
(+Basov,
Prokhorov :
Nobel 1964)
MASER : Microwave Amplification by
Stimulated Emission of Radiation.
(Means of Acquiring
Support for Expensive Research !)
Le premier laser...
Le premier « brevet »
pour fabriquer des lasers
a été déposé en 1958 par
Arthur Schawlow et
Charles Townes
… et le premier laser a été fabriqué
en 1960 par Thomas Maiman
Rubis: ions Cr3+ dans
un cristal Al2O3
Les lasers « à gaz »
Laser Helium-Neon
(Ali Javan, 1960)
3s -> 3p : infra-rouge (3.39 µm)
2s -> 2p : infra-rouge proche (1.15 µm)
3s -> 2p : rouge (632.8 nm)
Laser ioniques (Ar, Kr, Xe)
Forte puissance (> 10 W)
Très mauvais rendement (< 0.001…)
Les lasers à semiconducteurs
Les « diodes lasers » sont partout :
- lecteurs de CD et DVD
- disques durs d’ordinateur
- systèmes de télécommunications...
1/10 mm
Les lasers « solides »
Les « diodes lasers » sont partout :
pointeurs laser…
(plus compliqué : conversions de
fréquence !)
Diode Laser : 808 nm
Nd:YVO4 : 1064 nm
KTP : 532 nm
Les lasers géants
Le plus puissant laser du monde :
le laser « Mégajoule »
(en construction près de Bordeaux)
300 m
Les lasers géants
Objectif du laser « Mégajoule » (LMJ) :
expérimentations sur la fusion thermonucléaire
10 m
300 m
1 cm
(D+T dans Au)
50 m
Pourquoi ?
- interdiction des essais thermonucléaires
- nécessité de « maintenir à niveau » les armes de dissuasion
- option retenue : expérimentation et modélisation intensive
Les lasers
Les lasers servent (presque) à tout !
* Ecouter de la musique, discuter sur internet, ou au téléphone...
* Remplacer les essais nucléaires...
* Outils essentiels en recherche (spectroscopie atomique et moléculaire,
optique, piégeage d’atomes, de molécules, de cellules, biologie, astronomie...)
* Très nombreuses applications industrielles (percage, usinage, découpage de
tissus, de matières plastiques, de métaux…)
* Très nombreuses applications en médecine (scalpel, chirurgie oculaire,
chirurgie esthétique, diagnostics biologiques…)
Bonne illustration de la complexité du chemin qui mène d ’une
découverte fondamentale (1917) aux applications ( 1977 ->)
PHENOMENES PHYSIQUES DECRITS
DANS DES ESPACES DE DIMENSION FINIE
De façon exacte :
* Le moment cinétique des particules
- moment cinétique "orbital" (nombres quantiques l, m ...)
- moment cinétique "intrinsèque" : spin
ex. d'espaces de dimension 2 : spin 1/2 (électron, proton, neutron...)
polarisation du photon
* La physique des "mésons neutres" étranges ou beaux : K
* Les oscillations quantiques de neutrinos
etc...
De façon approchée :
* La résonance magnétique nucléaire (RMN)
* La physique de l'interaction matière rayonnement
* La physique des lasers (systèmes à 2, 3, 4 niveaux...)
* La liaison chimique
etc...