CHAPITRE 4 – ELEMENTS FINIS DE BARRES 1 – INTRODUCTION

CHAPITRE 4 – ELEMENTS FINIS DE BARRES
1 – INTRODUCTION - STRUCTURES DE TYPE TREILLIS
Nous nous intéressons ici aux structures composées de barres droites sollicitées uniquement
en traction ou compression. Ce sont des "treillis", structures formées de barres liées entre elles
par des liaisons de type "rotule", "pivot" ou "articulation" et chargées par des forces
s’exerçant uniquement au niveau des liaisons.
Figure 1 – Treillis de barres articulées sous une charge ponctuelle
(extrait du guide de validation des progiciels de calcul de structure – AFNOR)
Les treillis sont faits de barres qui possèdent en général des directions diverses dans l’espace
3D. Les bases des repères locaux associés aux différentes barres ne sont pas identiques. Pour
construire la relation globale du type K q = F, il faut assembler les équations d’équilibre
provenant des différentes barres, ce qui ne peut être fait que si ces équations sont toutes
exprimées dans un même repère, nommé repère global et noté Rg. Nous allons montrer ici
comment mettre en œuvre la méthode des déplacements vue au chapitre précédent pour
obtenir les équations d’équilibre élémentaires en projection dans le repère local, puis
comment transformer ces équations pour les obtenir en projection dans le repère global.
2 – ELEMENT DE BARRE TRAVAILLANT DANS UN PLAN
Nous nous limitons ci-après à étudier le cas des structures formées par des barres droites dont
les lignes moyennes sont contenues dans un même plan, et chargées par des forces
appartenant à ce plan. Dans ces conditions, les lignes moyennes restent dans le plan après
déformation. Nous utilisons le plan (Oxy) comme plan moyen.
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
Ch. 4 – Page 1
2.1 – Formulation en repère local.
Dans ce paragraphe 2.1, les différents vecteurs et matrices considérés sont projetés sur les
axes du repère local R = (i x y ) de l’élément. Nous ajoutons une barre au dessus des termes
qui sont exprimés en projection dans le repère local.
x
y
j
y
α
R
i
Rg
x
O
Figure 2 – Repère local et repère global
2.1.1 – Approximation du champ de déplacement.
Isolons un élément fini de longueur L et plaçons-nous dans son repère local. Les 2 nœuds de
l’élément sont notés de manière générique i et j.
y, v
i ui
vj
v
vi
x
j uj
M u
x, u
Figure 3 – Déplacements
Soit M le point courant appartenant à la ligne moyenne, de coordonnées (x , 0 ) dans le repère
local (i x y ) . Après chargement de la structure, la barre s’est déplacée par rapport au repère
local, mais, compte tenu des hypothèses, elle est restée droite et dans le plan. On choisit donc
de donner au vecteur U , associé aux déplacements de M, les composantes suivantes :
- la translation u dans la direction x
- la translation v dans la direction y
U T = [u
v]
(1)
Le vecteur des déplacements nodaux de l’élément est :
[
q eT = u i
vi
uj
vj
]
(2)
Les fonctions retenues pour approximer le champ des déplacements à l’intérieur de l’élément
sont les suivantes:
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
Ch. 4 – Page 2
 u = u (x ) = a 0 + a 1 x

v = v(x ) = a 2 + a 3 x
(3)
Ces fonctions ne dépendent pas de y , cette coordonnée étant nulle pour tout point M
de la barre avant déplacement. Ces fonctions sont linéaires, elles sont donc conformes au
modèle de la Résistance des Matériaux dédié aux barres, mais uniquement pour le cas des
barres de section constante (que l’on peut assimiler à des ressorts linéaires).
Les conditions aux limites permettent d’exprimer les 6 composantes de q e en fonction des 4
coefficients ah inconnus :
u i
v
 i

u j
v j
= u (0 ) = a 0
= v(0 ) = a 2
(4)
= u (L ) = a 0 + a 1 L
= v(L ) = a 2 + a 3 L
On peut en déduire l’expression de chaque coefficient ah en fonction des composantes de q e
et établir la relation suivante, de la forme U = A q e :
N2(x )
u   N1(x ) 0
 v  = 0
N1(x ) 0
  
u i 
 
0
 vi 
N2(x ) u j 
 
 v j 
(5)
où N1, N2 sont deux fonctions d’interpolation définies par :
 N1(x ) = 1 − x L

 N2(x ) = x L
(6)
2.1.2 – Déformations et contraintes.
La barre travaille seulement en traction (ou compression). Seule la déformation ε xx
due à l’effort normal est non nulle. ε xx est constante le long de la barre. En nous plaçant dans
le plan (i x y ) nous pouvons écrire :
ε xx
[
2
]
1
2 2
∆L (L + u j − u i ) + (v j − v i )
=
=
L
L
−L
(7)
Si nous considérons que les déplacements restent petits devant L, et en faisant un
développement limité au premier ordre, il vient :
ε xx ≅
u j − ui
L
(8)
Dans le cadre de l’approche matricielle, nous allons aboutir à ce résultat en donnant une
forme spécifique à l’opérateur de dérivation C qui intervient dans la relation déformationsdéplacements ε = C U . Posons :
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
Ch. 4 – Page 3
[C] = [d
dx 0 ]
(9)
Alors la relation ε = C U s’écrit ici :
[ε xx ] = [d dx
N2(x )
u 
 N1(x ) 0
0]   = [d dx 0] 
N1(x ) 0
v
0
u i 
 
0
  vi 
N2(x ) u j 
 
 v j 
(10)
d’où la relation suivante, de la forme ε = B q e :
[ε xx ]
=
[N1
,x
u i 
v 
i
0]   =
u j 
 
 v j 
0 N2 , x
u i 
v 
[− 1 L 0 1 L 0]  i 
uj
 
 v j 
(11)
Ce qui donne :
[ε xx ]
=
 u j − ui 


 L 
(12)
On retrouve bien le résultat de l’équation (8). Nous pouvons en déduire que, dans cette
approche, le calcul des déformations néglige l’effet des déplacements dans la direction y .
Seules les déformations dans la direction initiale de la barre ( x ) sont considérées.
Considérons maintenant les contraintes. Seule la contrainte σ xx est différente de zéro et la loi
de Hooke s’écrit simplement :
σ xx = E ε xx = E
u j − ui
(13)
L
Sous forme matricielle, on peut établir la relation suivante, du type σ = D ε = D B q e :
[σ xx ]
= [E ][ε xx ]
u i 
v 
i
= [E ][− 1 L 0 1 L 0]  
u j 
 
 v j 
(14)
2.1.3 – Matrice de rigidité de l’élément.
Rappelons que la matrice de rigidité Ke de l’élément e est définie par la relation :
We = ∫
1 T
1 eT e e
σ ε dv =
q K q
V 2
2
(15)
où We est l’énergie de déformation de l’élément. Sachant que (14) peut s’écrire
T
σ T = q e B T D et que ε = B q e , la relation (15) induit :
Ke =
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
∫ (B
V
T
)
D B dv
(16)
Ch. 4 – Page 4
Cette relation (16) est très générale et vraie pour tout type d’élément. Dans notre cas, les
termes de B et de D sont indépendants de x , nous avons :
(
K e = BT D B
)∫
(
L
S dx = S L B T D B
x =0
)
(17)
où S est la surface de la section droite de la barre. D’où la matrice de rigidité élémentaire de
l’élément barre dans son repère local :
Ke
1 L 
 0 
ES
= S L   [E ][1 L 0 1 L 0] =
1 L 
L
 
 0 
1

0
− 1

 0
0 − 1 0

0 0 0
0 1 0

0 0 0
(18)
2.1.4 – Forces nodales.
L’expression de l’énergie potentielle totale associée à l’élément est :
Ve = We - Te =
1 eT e e
q K q − q eT Q e
2
(19)
Q e regroupe les efforts nodaux dans les directions du repère local.
[
Q eT = Q xe i
Q ye i
Q xe j
Q ye j
]
(20)
Dans cette expression, la composante Q xe i représente la force exercée par le nœud i sur
l’élément e dans la direction x . Rappelons que le théorème de l’énergie potentielle totale
permet d’établir la relation :
Ke qe = Qe
(21)
qui traduit aussi l’équilibre de l’élément. Cela donne dans notre cas :
1

ES  0
L − 1

 0
0 −1
0 0
0 1
0 0
0

0
0

0
 u i   Q xe i 
v   e 
 i  = Qyi 
 u j   Q xe j 
   e 
 v j   Q y j 
(22)
Cette relation nous permet d’établir les remarques suivantes :
- les déplacements v i et v j qui ne sont pas nuls en règle générale, n’auront aucune
influence sur le calcul des efforts normaux Q xe i et Q xe j dans la direction x
- nous obtiendrons systématiquement Q ye i = Q ye i = 0
La modélisation utilisée est donc telle que les forces aux nœuds restent implicitement dirigées
dans la direction initiale de la barre. Tout se passe comme si l’élément ne travaillait que dans
la direction x , mais en ayant la possibilité de se déplacer (légèrement) dans la direction y .
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
Ch. 4 – Page 5
y, v
Qxj
Qxi
vj
vi
x, u
j uj
i ui
Figure 4 – Forces nodales
2.1.5 – Calcul des contraintes et des forces internes.
Les équations vues ci-avant permettent d’établir l’expression de la force normale dans la barre
(identique quelque soit le point M) :
N = Q xe j = − Q xe i =
ES
(u j − u i )
L
(23)
Les déformations et les contraintes en tout point de la barre se calculent directement avec les
équations (12) et (13). On retrouve bien :
ε xx =
N
1
= (u j − u i )
ES L
(24)
2.2 – Formulation en repère global
Notons maintenant U, q e les vecteurs déplacements en projection dans le repère global
R = (O x y ) (voir figure 2), et Q e les forces nodales.
U T = [u
[
v]
q eT = u i
vi
uj
vj
]
[
Q eT = Q ex i
Q ey i
Q ex j
Q ey j
]
(25)
Soit G la matrice de passage de la base locale (x y ) vers la base globale (x y ) . En notant α
l’angle entre les deux bases (voir figure 2), nous avons :
cosα − sinα 
G=

 sinα cosα 
c − s
c 
que nous notons G = 
s
(26)
Remarquons que G −1 = G T . Nous pouvons mettre en place les relations suivantes :
au point courant M :
(27)
U=G U
au nœud i :
 u i  c − s   u i 
 v  = s c   v 
  i
 i 
et
Q exi  c − s   Q xie 
 e =
 e
Q yi  s c   Q yi 
(28)
au nœud j :
 u j  c − s   u j 
v  = 
 
 j  s c   v j 
et
Q exj  c − s   Q xje 
 e =
 e
Q yj  s c   Q yj 
(29)
Nous pouvons alors écrire :
G 0  e
e
qe = 
q =Hq
0
G


et
G 0  e
e
Qe = 
Q =HQ
0
G


(30)
Il est facile de montrer que : H −1 = H T . Nous avons alors :
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
Ch. 4 – Page 6
q e = H T q e et Q e = H T Q e
(31)
Si nous reprenons l’équation (21) :
Ke qe = Qe
⇒ K e HT q e = HT Qe
⇒ H K e HT q e = Qe
(32)
D’où la matrice de rigidité de l’élément barre dans le repère global :
Ke = H Ke HT
(33)
 c2
cs - c 2 - cs


2
- cs - s 2 
E S  cs s
e
K =
L - c 2 - cs c 2
cs 


2
cs s 2 
 - cs - s
(34)
Ce qui donne :
Remarque : La méthode des déplacements permet de calculer q e . Il est possible de revenir
ensuite aux vecteurs considérés dans le repère local en utilisant l’équation (31). Le calcul des
contraintes dans la barre peut toutefois être effectué directement à partir de q e en considérant
que :
σ = D B qe
= D B HT qe
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
 ui 
v 
E
[− c − s c s ]  i 
=
uj
L
 
 v j 
(35)
Ch. 4 – Page 7
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
Ch. 4 – Page 8
4 - EXERCICES
Exercice 4.1 – Treillis n°1
Considérons un treillis formé de trois barres articulées comme défini par la figure ci-après.
2
3
E, S, L
E, S
1
y
P
1
2
On pose a =
x
3
E, S, L
ES
ES
et d =
L
2 2L
Appliquer la méthode des déplacements au calcul de cette structure :
1.Etablir la matrice de rigidité de chaque élément.
2. Etablir la matrice de rigidité [K] du treillis.
3. Déterminer les conditions aux limites
4. Donner le système qui permettra de calculer les déplacements. On donne l'inverse K'-1 de la
matrice K' qui apparaît dans ce système :
d
1 
K' =
0
ad 
d
−1
0
d
d

d 
a + 2d 
d
5 - Etablir l'expression des déplacements des noeuds.
6 - Etablir l'expression des actions de liaison.
7 - Etablir l'expression de la contrainte dans la barre 3.
Ci-après quelques documents supports pour les calculs.
* Tableau récapitulatif des caractéristiques des éléments
Elément
Noeud I
Noeud J
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
E.Sect/lg
α
c = cosα
s = sinα
Ch. 4 – Page 9
* Matrices de rigidité des éléments (dans le repère global)
[K ] =
1
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 

. 
. 

. 

[K ] =
2
.

.
.

.
[K ] =
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 

. 
. 

. 

. 

. 
. 

. 

* Assemblage et conditions aux limites
.
.

.
.

.
.
 .
 .
 
 .
= .
 
 .
 .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.


=

.
.

.
.
.
.
.
.
.
 .
 • .
 
 .




.

.
.


=

.
.

.
.
.
.
.
.
.
 .
 • .
 
 .




 .
 .
 
 • .
 .
 .
 .
 








* Calcul des déplacements
* Calcul des actions de liaison
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
Ch. 4 – Page 10
Exercice 4.2 – Treillis n°2
Considérons un treillis formé de trois barres articulées comme défini par la figure ci-après.
V
2
E, S, L
3
E, S 2 , L 2
1
y
3
1
H
x
2
E, S, L
On pose a =
ES
L
Appliquer la méthode des déplacements au calcul de cette structure :
1.Etablir la matrice de rigidité de chaque élément.
2. Etablir la matrice de rigidité [K] du treillis.
3. Déterminer les conditions aux limites
4. Donner le système qui permettra de calculer les déplacements.
5. Etablir l'expression des déplacements des noeuds.
6. Etablir l'expression des actions de liaison.
7. Etablir l'expression de la contrainte dans la barre 3.
Ci-après quelques documents supports pour les calculs.
* Tableau récapitulatif des caractéristiques des éléments
Elément
Noeud I
Noeud J
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
E.Sect/lg
α
c = cosα
s = sinα
Ch. 4 – Page 11
* Matrices de rigidité des éléments (dans le repère global)
[K ] =
1
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 

. 
. 

. 

[K ] =
2
.

.
.

.
[K ] =
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 

. 
. 

. 

. 

. 
. 

. 

* Assemblage et conditions aux limites
.
.

.
.

.
.
 .
 .
 
 .
= .
 
 .
 .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.


=

.
.

.
.
.
.
.
.
.
 .
 • .
 
 .




.

.
.


=

.
.

.
.
.
.
.
.
.
 .
 • .
 
 .




 .
 .
 
 • .
 .
 .
 .
 








* Calcul des déplacements
* Calcul des actions de liaison
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
Ch. 4 – Page 12
Exercice 4.2 – Treillis libre
Considérons un treillis formé de six barres articulées comme défini par la figure ci-après.
P
3
2
3
5
4
2
y
6
1
x
2
1
-P
Les caractéristiques des barres sont les suivantes :
- longueurs L1 = L 2 = L 3 = L 4 = L et
-
L5 = L6 = 2 L
surfaces des sections S1 = S 2 = S 3 = S 4 = S et S 5 = S 6 = 2 2 S
même matériau de module d'élasticité E
Appliquer la méthode des déplacements au calcul de cette structure :
1.Etablir la matrice de rigidité de chaque élément.
2. Etablir la matrice de rigidité [K] du treillis.
3. Déterminer les conditions aux limites
4. Montrer que le déterminant du système qui devrait permettre de calculer les déplacements
est nul.
5. Proposer de nouvelles conditions aux limites qui produiront un problème équivalent mais
qui pourra être résolu (qui éliminent les mobilités et rendent la structure isostatique).
6. Donner le système qui permettra de calculer les déplacements.
7. Etablir l'expression des déplacements des nœuds.
8. Etablir l'expression des actions de liaison.
9. Calculer les contraintes dans les barres avec : E = 200 Gpa , L = 1 m , S = 10 mm2 ,
F = 1000 N
Ci-après quelques documents supports pour les calculs.
* Tableau récapitulatif
Elément
Noeud I
Noeud J
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
E.Sect/lg
α
c = cosα
s = sinα
Ch. 4 – Page 13
* Matrice de rigidité des éléments :
.
.
[K ] =
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
[K ] =
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
1
4
. 

. 
. 

. 

.
.
[K ] =
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
[K ] =
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
2
. 

. 
. 

. 

5
.
.
[K ] =
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
. 

. 
. 

. 

.
.
[K ] =
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
 .
 .
 
 .
 .
 • .
 .
 
 .
 .











. 

. 
. 

. 

3
6
. 

. 
. 

. 

. 

. 
. 

. 

* Assemblage et premières conditions aux limites
.
.

.
.
.

.
.
.






=





.
.

.
.
.
.

.
.
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* Calcul des déplacements
.
.

.
.

.



=



.
.

.

.
.
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 .
 .
 
 • .
 
 .
 .







.

 .
 • .
 
 .

.







* Calcul des actions de liaison
.

.
.



=


.
.

.
Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor
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Ch. 4 – Page 14