correction cc4bmars2013

CORRECTION Devoir Commun N°1 de Mathématiques de 4ème
Exercice 1 (4 points)
A la banque, on peut échanger des euros (€) contre des livres sterling (£) utilisés au Royaume-Uni.
250 € permettent d’obtenir 212 £. Vous pouvez, si vous le souhaitez, présenter cela sous forme de
tableau et répondre aux questions suivantes.
a) Combien de livres sterling peut-on obtenir pour 420 €?
b) Combien faut-il d’euros pour obtenir 300 £?
EUROS (€)
LIVRES STERLING (£)
250
212
420
356,16
353,77
300
Exercice 2( 4 points)
M. et Mme Durand ont acheté une cuisine intégrée. Ils ont payé le sixième du prix à la commande puis
un quart du prix à la livraison.
a) Quelle fraction du prix total ont-ils payé ?
b) La cuisine coûtait au total 3 600 €. Combien reste-il à payer ?
c) Ils vont payer le reste en 6 mensualités. Calculer le montant d’une mensualité.
a) . Ils ont payé les 5/12 du prix total
b) Il reste à payer les 7/12, soit :
3600 2100; il reste à payer 2100 €
c) Prix d’une mensualité : 2100 : 6 = 350 €
Exercice 3 (4 points)
On considère le programme de calcul suivant :
« Choisis un nombre ; ajoute 5 à ce nombre ; multiplie le résultat par − 3 ; ajoute le triple du nombre de
départ. »
a) Exécute ce programme de calcul en choisissant comme nombre de départ 4 puis − 2.
b) Que remarques-tu ?
c) Si l'on note x le nombre choisi au départ, écris une expression donnant le nombre obtenu. Comment
peux-tu expliquer la remarque faite à la question précédente ?
a) pour 4 : 4 + 5 = 9 ; 9 × (-3) = -27 ; -27 + 12 = -15
pour -2 : -2 + 5 = 3 ; 3 × (-3) = -9 ; -9 + (-6) = -15
b) On remarque que l’on trouve deux fois le même résultat : « -15 »
c) Pour x : (x +5 ) × (-3) + 3 x = -3x -15 +3x = -15
Exercice 4 (4 points)
a) Exprimer le périmètre des figures ABDC et EFG en fonction de x.
b) Développer et réduire chacune des expressions (Si cela n'a pas été fait au a).
c) Que remarque-t-on?
a) PABCD = 2 × (4x + 7 + 3 - x)
PEFG = (2x + 5) + (x+6) + (3x + 9)
b)
PABCD = 2 × (4x + 7 + 3 - x) = 8x + 14 + 6 – 2x = 6x + 20
PEFG = (2x + 5) + (x+6) + (3x + 9) = 2x + 5 + x+6 + 3x + 9 = 6x + 20
c) On Remarque que les deux périmètres sont égaux (même expression).
Exercice 5 : Calculer et donner la réponse sous forme simplifiée (4 points)
2 1
+
1 15 1
3
6
F= − × ;
G=
3 1
9 9 6
−
2 3
Exercice 6 (6 points)
a) Faire un dessin à l’échelle 1/10. Laisser les traits de
construction visibles
b) Calculer la longueur BC.
c) Démontrer que le triangle ABD est rectangle. Préciser
en quel point.
d) Le point O est le milieu du segment [AB]. Démontrer
que OC = OD.
b) Dans ABC rectangle en C, j’applique le théorème de Pythagore :
BC² = AB² - AC² = 65² - 63² = 4225 – 3969 = 256
Donc BC = √ = 16 cm
c) Calculons : AB² = 65² = 4225
AD² +BD² = 56² + 33² = 3136 + 1089 = 4225
On remarque que AB² = AD² + BD².
D’après le théorème réciproque de Pythagore, ABD est rectangle en D.
d) [OC] est la médiane issue du sommet de l’angle droit dans le triangle rectangle ABC, sa
longueur est donc égale à la moitié de l’hypoténuse. Donc OC = AB/2
De même dans le triangle rectangle ABD, on obtient pour la médiane [OD] : OD = AB/2
Donc OC = OD
Exercice 7 (3,5 points)
EFGH est un rectangle de centre O. On appelle M le milieu de
[EF].
a) Démontrer que les droites (MO) et (EH) sont parallèles.
b) Démontrer que les droites (MO) et (EF) sont
perpendiculaires.
a) EFGH est un rectangle.
« Les diagonales d’un rectangle se coupent en leur milieu »
Donc O est le milieu de [HF]. Or M est le milieu de [EF].
J’applique dans le triangle EHF le théorème :
« La droite qui joint les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté »
Donc (MO) est parallèle à (EH)
b) EFGH est un rectangle. Donc les droites (EF) et (EH) sont perpendiculaires
Or (EH) est parallèle à (MO)
« Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre »
Donc (MO) et (EF) sont perpendiculaires.
Exercice 8 ( 4 points)
Le cric d'une voiture a la forme d'un losange de 21 cm
de côté. A quelle hauteur soulève-t-il la voiture lorsque
la diagonale horizontale mesure 32 cm ?
Si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une
trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la
notation.
J’utilise la figure ci-dessous :
« Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires et
se coupent en leur milieu »
Donc : OC = AC : 2 = 32 : 2 = 16cm
De même, OB = BD : 2
Dans le triangle BOC rectangle en O, j’applique le
théorème de Pythagore :
OB² = BC² - OC² = 21² - 16² = 441 – 256 = 185
OB = √ , D’où BD = 2 × 13,6 = 27,2cm
Donc la voiture se soulève d’environ 27 cm lorsque la diagonale horizontale fait 32 cm.
Exercice 9 (2,5 points)
Trouver la bonne réponse et l’entourer ici, sur l’énoncé.