Représentation des systèmes dynamiques continus LTI

UV Automatique
Cours 1
Représentation des systèmes
dynamiques continus LTI
ASI 3
Automatique
1
Contenu
! Introduction
" Définition d'un système
" Classification des systèmes
! Quelques rappels
" Transformée de Laplace
" Les signaux usuels et leur transformée de Laplace
! Fonction de transfert d'un système
" Définition et détermination de la FT
" Eléments caractéristiques de la FT
" Association de fonctions de transfert
Automatique
2
Introduction
! Qu'est-ce qu'un système?
Système : ensemble d'objets interagissant entre eux pour réaliser
une fonction. Il est connecté au monde extérieur à travers :
# ses entrées
• signaux d'excitation : actions envoyées au système
• perturbations qui sont en général imprévisibles
# ses sorties : réponses du système aux signaux d'entrée
Perturbations
Signaux d’entrée
ou excitations u
Automatique
Système
Signaux de sortie
ou réponses y
3
Classification des systèmes (1)
! Système statique
La réponse du système à une excitation est instantanée
i(t)
Equation
R
u(t)
y (t ) = i (t ) =
1
u (t )
R
! Système dynamique
La réponse est fonction de l'excitation et des réponses passées
i(t)
u(t)
R
C
Vc(t)
Equation
RC y& (t ) + y (t ) = u (t )
avec
y (t ) = Vc (t )
! Systèmes monovariable et multivariable
" Monovariable : système à une entrée et une sortie
" Multivariable : nombre d'entrées + nombre de sorties > 2
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Classification des systèmes (2)
! Systèmes continu et discret
" Continu : l'information circule à tout instant de façon continue
RC y& (t ) + y (t ) = u (t )
" Discret : l'information circule à des instants discrets
RCy (k + 1) + (1 − RC ) y (k ) = u ( k )
! Systèmes linéaires et non linéaires
" Le système est linéaire s'il satisfait au principe de
superposition
Si yi(t) est la réponse du système à l'entrée ui(t) alors la
réponse du système à u (t ) = ∑ α i ui (t ) est y (t ) = ∑α i yi (t )
i
i
" Le système est non-linéaire dans le cas contraire
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5
Classification des systèmes (3)
! Système causal
La réponse temporelle du système ne peut précéder son entrée
! Système invariant ou stationnaire
La réponse du système est invariante par translation dans le temps
Soit y(t)=f(u(t), yt ) la réponse à l'instant t à partir des conditions
0
initiales yt . Le système est stationnaire ssi f (u (t ), yt0 ) = f (u (t + T ), yt0 +T )
0
On peut décrire les systèmes linéaires à temps invariant (LTI) par
des fonctions de transfert en s (cas continu) ou en z (cas discret)
Dans la suite, on étudiera les systèmes monovariables continus LTI
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6
Rappels sur la transformée de Laplace (1)
! Définition de la Transformée de Laplace (TL)
"
x(t) : signal réel tel que x(t ) = 0 ∀t < 0
"
Transformée de Laplace de x(t) : X ( s ) = L ( x(t ) ) = ∫0 x(t )e − st dt
"
X(s) : fonction de la variable complexe s = σ + jω , σ ≥ 0
+∞
Exemple
Soit le signal x(t ) = e − at pour t ≥ 0 et a > 0
X ( s ) = ∫0+∞ e − at e − st dt = ∫0+∞ e −( a + s )t dt
1
X (s) =
s+a
Signal x(t)
1
0.5
0
0
10
20
30
40
Temps t
! Transformée de Laplace inverse
σ + j∞
1
x(t ) = L-1 ( X ( s ) ) =
X ( s )ets ds
∫
2πj σ − j∞
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Rappels sur la TL (2)
! Propriétés de la TL
x(t) et y(t) : signaux réels tels que x(t ) = 0, y (t ) = 0 ∀t < 0
" Linéarité
L (α x(t ) + β y (t ) ) = αX ( s ) + βY ( s ) ∀α , β ∈ R*
" Dérivation
L ( x& (t ) ) = sX ( s ) − x(0 + )
x(0 + ) : condition initiale
L ( x ( k ) (t ) ) = s k X ( s ) − s k −1 x(0 + ) − s k −2 x (1) (0 + ) − L − x ( k −1) (0 + )
x(0 + ), x (1) (0 + ),L, x ( k −1) (0 + ) : conditions initiales
Cas particulier : conditions initiales nulles L ( x ( k ) (t ) ) = s k X ( s )
" Intégration
X ( s ) y (0 + )
t
+
y (t ) = ∫0 x(τ )dτ ⇒ L ( y (t ) ) =
s
s
X (s)
Condition initiale nulle : L ( y (t ) ) =
Automatique
s
8
Rappels sur la TL (3)
! Rappels sur la TL
1
x(t)
" Retard temporel
L ( x(t − T ) ) = e − sT X ( s )
x(t-T)
0.5
retard T
0
0
10
20
30
40
50
" Théorème de la valeur initiale
x(0 + ) = lim x(t ) = lim sX ( s )
t →0 +
s →+∞
" Théorème de la valeur finale
x∞ = lim x(t ) = lim sX ( s )
t →+∞
s →0
" Produit de convolution
z(t) : convolution des signaux réels x(t) et y(t)
∞
z (t ) = x(t ) * y (t ) = ∫ x(τ ) y (t − τ )dτ ⇒ Z ( s ) = X ( s ) .Y ( s )
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0
9
TL de quelques signaux usuels
! Impulsion de Dirac δ(t)
δ (t )
! Rampe ou échelon de vitesse
v(t)
v(t ) = tΓ(t )
t
L ( δ (t ) ) = 1
t
! Echelon unité Γ(t)
1
L ( v(t ) ) =
s2
! Signal sinusoïdal
Γ (t )
1
t
t
0 t<0
Γ(t ) = 
1 t ≥ 0
1
L ( Γ(t ) ) =
s
Automatique
x(t ) = sin (ωt + ϕ ) t ≥ 0
s sin ϕ + ω cos ϕ
L ( x(t ) ) =
s2 + ω 2
10
Réponse temporelle d'un système LTI
Système
linéaire
u
Un
système
linéaire
est
assimilable à un filtre linéaire F
y
! Réponse du système à une impulsion de Dirac δ(t)
h(t) = F (δ(t) ) h(t) est la réponse impulsionnelle du système
! Réponse à une entrée quelconque u(t), u(t) = 0 ∀t < 0
+∞
" Rappel : u(t) = u(t) * δ(t) = ∫ u(τ)δ(t − τ)dτ
" y(t) = F (u(t) ) = F
(
+∞
∫0 u(τ)δ(t
Système linéaire
0
− τ)dτ
)
⇒ y(t) = ∫0 u(τ)F (δ(t − τ) )dτ
Système invariant ⇒
+∞
h(t − τ) = F (δ(t − τ) )
+∞
y(t) = ∫0 u(τ) h(t − τ)dτ = u(t) * h(t)
y(t) = F (u(t) ) produit de convolution de u(t) et de h(t)
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Fonction de transfert d'un système LTI (1)
! Fonction de transfert
y(t) = u(t) * h(t)
⇒ Y(s) = L( y(t) ) = U(s) H(s)
⇒ H (s) =
Y (s)
U (s)
H(s) est la fonction de transfert du système
H(s) = L(h(t) ) est la TL de la réponse impulsionnelle
! Système continu régi par une équation différentielle
an y ( n ) (t ) + L + a1 y (1) (t ) + a0 y (t ) = bmu ( m) (t ) + L + b1u (1) (t ) + b0u (t )
avec m ≤ n
On suppose les conditions initiales nulles c'est-à-dire
y ( n−1) (0) = L = y (1) (0) = y (0) = 0
u ( m−1) (0) = L = u (1) (0) = u (0) = 0
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Fonction de transfert d'un système LTI (2)
! Système régi par une équation différentielle (suite)
En utilisant la TL, on a :
an s nY ( s ) + L + a1sY ( s ) + a0Y ( s ) = bm s mU ( s ) + L + b1sU ( s ) + b0U ( s )
(an s n + L + a1s + a0 )Y ( s) = (bm s m + L + b1s + b0 )U ( s)
Y ( s ) bm s m + L + b1s + b0
=
H (s) =
U ( s ) an s n + L + a1s + a0
La fonction de transfert a la forme d'une fraction rationnelle :
N (s)
H (s) =
D( s)
N(s) et D(s) : polynômes en s de degrés
respectifs n et m
Le système est dit d'ordre n
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Fonction de transfert d'un système LTI (3)
! Exemple : circuit RLC
i(t)
R
u(t)
L
C
Vc(t)
Sortie du système : y (t ) = Vc (t )
" Lois de l'électricité
di (t )
+ Vc (t ) = u (t )
dt
1 t
Vc (t ) = ∫0 i (τ )dτ ⇒ i (t ) = CV&c (t )
C
On en déduit : LC V&&c (t ) + RC V&c (t ) + Vc (t ) = u (t )
Ri (t ) + L
" Fonction de transfert
(LC s 2 + RC s + 1)Vc ( s) = U ( s)
Vc ( s )
1
=
H (s) =
2 + RC s + 1
U
(
s
)
LC
s
Automatique
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Réponse d'un système LTI par la TL (1)
! Exemple : circuit RC
i(t)
u(t)
R
C
Vc(t)
RC y& (t ) + y (t ) = u (t )
y (t ) = Vc (t )
avec
Donner l'expression de la réponse du système pour une entrée échelon
d'amplitude u0=2V. La tension initiale aux bords de la capacité est Vc(0)=0.5V
" Application de la TL
U ( s)
RC
+
Vc (0)
RC(sY ( s ) − Vc (0) ) + Y ( s ) = U ( s ) ⇒ Y ( s ) =
RC s + 1 RC s + 1
u0
s
RC
uo
⇒ Y (s) =
+
Vc (0)
s( RC s + 1) RC s + 1
u (t ) = u0Γ(t ) ⇒ U ( s ) =
Automatique
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Réponse d'un système LTI par la TL (2)
! Exemple : circuit RC (suite)
RC
uo
Vc (0)
Y (s) =
+
s( RC s + 1) RC s + 1
En utilisant les tables de transformée, on a :
(
−
t
RC
−
)
t
RC
y (t ) = u0 1 − e
+ Vc (0) e
4243
14
4244
3 1
y L (t )
yF (t )
2
1 .5
y (t)
1
y F (t)
0 .5
Automatique
0
0
y L(t)
2
4
6
8
10
16
Régimes transitoire et permanent
Réponse du circuit RC
2
1 .5
R é g im e
tr a n s ito ir e
1
0 .5
0
2
4
R é g im e
p e rm a n e n t
6
8
10
! Régime permanent
Soumis à un entrée échelon, rampe, … un système linéaire stable
aura un comportement asymptotique similaire à l'entrée : on dit qu'il
a atteint le régime permanent.
! Régiment transitoire
C'est la partie de la réponse qui précède le régime permanent.
Le régime transitoire est lié à la dynamique du système
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Eléments caractéristiques de la FT
N(s) bmsm + L + b1s + b0
=
H(s) =
D(s) a sn + L + a s + a
n
1
0
! Pôles (modes) et zéros du système
" Les pôles sont les racines λi ∈ C du polynôme D(s). Les pôles
sont soit réels, soit des paires de pôles complexes conjugués
" Un système d'ordre n admet n pôles distincts ou non
" Les zéros sont les racines zi ∈ C du polynôme N(s)
! Gain du système
H(s) =
Automatique
K bm b0 sm + L + b1 b0 s + 1
α
s an aα s + L + a1 aα s + 1
n
b0
K=
aα
α ≥0
: gain du système
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Stabilité des systèmes LTI
! Théorème
Un système LTI est stable si et seulement si tous ses pôles λi
ont une partie réelle Re(λi) négative
Im
Im
Re
Stable
Im
Re
Instable
Re
Instable
Le domaine de stabilité est le demi-plan gauche du plan complexe
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Association de fonctions de transfert
! Association en série ou cascade
u
H1(s)
y1
y
H2(s)
H(s) = H1(s) × H2(s)
! Association en parallèle
H1(s)
y1
+
+
u
H2(s)
H(s) = H1(s) + H2(s)
y
y2
! Fonction de transfert en réaction
u
+-
H1(s)
H2(s)
Automatique
y
H1(s)
H(s) =
1 + H1(s)H2(s)
20