Physique Chimie - BupDoc - Union des Professeurs de Physique et

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N° 858
Sommaire du n° 858 - Cahier n° 2
(Novembre 2003)
publication mensuelle
97e année
PHYSIQUE
L’énergie électrique ne passe pas par les fils
(André DEIBER et Frédéric PAVIET-SALOMON) ....................................................................35
Aspects statistiques à l’œuvre dans l’irréversibilité, dans le cadre d’un système fermé
et isolé de particules à deux niveaux d’énergie
(Didier MAGLOIRE)..........................................................................................................61
Les coordonnées exotiques
(Jean LEGOIX) .................................................................................................................79
Quelques exemples de recherches en SPI, et plus précisément en mécanique
(Éric SAVATTERO) ............................................................................................................93
PARUS OU À PARAÎTRE.........................................................................................................110
BONS DE COMMANDE .......................................................................................................113
L’UNION DES PROFESSEURS DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE
Les responsables nationaux ...........................................................................................I à IV
Le Bup ..............................................................................................................................V
Les tarifs des cotisations et abonnements ......................................................................VI à VII
Les bureaux académiques........................................................................................VIII à XIV
Le n° 858 comprend deux cahiers,
le sommaire du cahier n° 1 est en deuxième et troisième de couverture.
Novembre 2003
Le Bup
Physique
N° 858 - Cahier n° 2 - Enseignement supérieur
CHIMIE
Synthèse du styrène selon une réaction de Wittig
(Alexandre CHEMIN et Isabelle CHEMIN) ............................................................................7
Utilisation atomique, facteur E : application à la réaction d’allylation du phénol solution catalytique
(Catherine C. SANTINI, Émile KUNTZ et Abderramane AMGOUME) ....................................15
Le mouvement de rotation à l’échelle moléculaire : synthèse de moteurs moléculaires
(Alexandre CARELLA, Gwénaël RAPENNE et Jean-Pierre LAUNAY)........................................23
Novembre 2003
Cahier n° 2
Chimie
Cahier
Enseignement supérieur
UNION DES PROFESSEURS DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE
44, bd Saint-Michel - 75270 PARIS CEDEX 06
ISSN 0366-3876
http://www.cnam.fr/hebergement/udp/
Sommaire du n° 858 - Cahier n° 1
(Novembre 2003)
ARTICLES GÉNÉRAUX
De Kepler à Newton
(Bernard LAHAYE) ........................................................................................................1389
Thomson et l’émergence du principe de la conservation de l’énergie :
quand les liens donnent du sens
(Muriel GUEDJ)............................................................................................................1405
Pierre Curie : l’excellence alliée à l’humilité
(Michel BARQUINS).....................................................................................................1421
Les équations différentielles en terminale scientifique........................................................1455
– Activité mathématiques n° 6
(Jean WINTHER) ...............................................................................................1456
(Michel GOUY) .................................................................................................1471
(Michel GOUY) .................................................................................................1477
(Maurice DOUCEMENT) ....................................................................................1485
ACTUALITÉS PÉDAGOGIQUES
Travaux pratiques
– Expérience des tubes « paresseux » : les courants de Foucault
et la loi de Lenz revisités (Jean-Christophe FILLOUX) ..............................................1499
– Un aimant dans un puits de potentiel anharmonique (André DEIBER).......................1127
Vu au laboratoire
– Au sujet de la trousse de premiers secours et des relations avec l’infirmière
(Micheline IZBICKI) ............................................................................................1519
Internet
– Des souris et des profs... (Thibaut PLISSON) .........................................................1521
VIE DE L’ASSOCIATION
Activités de l’UdPPC
– Le « grain de sel » du bulletin de la SFP...............................................................1525
– Compte-rendu du Conseil de l’UdPPC ..................................................................1527
Suite du sommaire en troisième de couverture
INFORMATIONS - LIVRES ET LOGICIELS
Informations
– Faire voler une expérience en micropesanteur ......................................................1541
– Enseignement des sciences : un SOS à l’échelle européenne..................................1542
– Stage INSTN : « Radioactivité : principes et applications de l’énergie nucléaire » ....1544
Parus ou à paraître ......................................................................................................1546
Les bons de commande ................................................................................................1547
Adhésion et abonnement pour l’année 2004 ....................................................Encart cartonné
Les responsables nationaux ...........................................................................................I à IV
Le Bup ..............................................................................................................................V
Les tarifs des cotisations et abonnements ......................................................................VI à VII
Les bureaux académiques........................................................................................VIII à XIV
Publicités ......................................................................................................................XV à XXII
Encart publicitaire : Crocodile Physics et Crocodile Chemistry ......................................cédérom
Le n° 858 comprend deux cahiers,
le sommaire du cahier n° 2 est en quatrième de couverture.
Union des professeurs
de physique et de chimie
MEMBRES D’HONNEUR
M. Michel BOYER
Professeur à l’Université Paris VI
Président des Olympiades nationales de la chimie.
M. Georges CHARPAK
Membre de l’Académie des sciences
Chercheur au CERN
Prix Nobel.
M. Claude COHEN-TANNOUDJI
Professeur au Collège de France
Prix Nobel.
M. Pierre-Gilles de GENNES
Prix Nobel.
M. Jean-Marie LEHN
Prix Nobel.
M. Pierre LÉNA
Professeur à l’Université Paris VII.
PRÉSIDENTS D’HONNEUR
F. BLAIN, A. DURUPTHY, J.-P. FOULON, J. GATECEL, J. MAUREL, J. TINNÈS, A. TOUREN.
MEMBRES DU CONSEIL
Membres de droit
F. BLAIN, A. DURUPTHY, J.-P. FOULON, J. GATECEL, J. MAUREL, J. TINNÈS, A. TOUREN.
Les présidents des sections académiques font, de droit, partie du Conseil de l’Union des professeurs de
physique et de chimie (UdPPC) (voir pages ci-après).
Membres élus (renouvelable par tiers chaque année)
2001 : J. BOULOUMIÉ (élu 2003), M. BOURGAREL, D. LAUNER (élue 2003), J. MARÊCHÉ, P. NÉEL (élu 2003),
G. REYMANN, J.-L. RICHTER, A. SEFFAR, J. VINCE (élu 2003).
2002 : M. BASUYAUX (élu 2003), G. BAUDRANT, G. DUPUIS, S. GRUNEISEN, O. LEFEBVRE, M. RUFFENACH,
G. TORCHET, J. WINTHER.
2003 : G. BOUYRIE, R. CARPENTIER, N. CHEYMOL, D. DUCOURANT, B. HEUZÉ, A. LEURIDAN, M.-A. MARTENS,
G. SERRA.
-I-
Le bureau national
Siège social
Union des professeurs de physique et de chimie - 44, bd Saint-Michel - 75270 PARIS CEDEX 06.
Aucune permanence n’est assurée à cette adresse.
Secrétariat administratif (adhésions et abonnements)
Tél. : 01 43 25 61 53 (10 h - 12 h et 14 h - 16 h sauf mercredi après-midi)
Fax : 01 43 25 07 48 - Mél. : [email protected]
Serveur administratif (adhésions et abonnements) : http://www.udp-bup.org
Secrétariat général de l’association
Mél. : [email protected] - Serveur : http://www.cnam.fr/hebergement/udp/
Secrétariat de la rédaction du bulletin
Mél. : [email protected]
✥✥✥
Présidente
Madeleine SONNEVILLE - 29, rue Edmond About - 92350 LE PLESSIS-ROBINSON Tél. : 01 43 50 79 12 - [email protected]
Questions générales, relations internationales.
Vice-président(e)s
Bernard CIROUX - 2 bis, rue Paul Claudel - 71530 CHAMPFORGEUIL Tél. : 03 85 41 43 30 - [email protected]
Laboratoires - Enseignement technique : baccalauréats technologiques STL - Lycées professionnels.
Rosine FANGUET - 13, allée de la Butte - 13500 MARTIGUES Tél. et Fax : 04 42 42 11 74 - [email protected]
Chimie.
Marie-Françoise KARATCHENTZEFF - 30 bis, rue Elisée-Reclus - 91120 PALAISEAU Tél. : 01 60 10 13 92 - [email protected]
Lycées.
Vincent MAS - 10, square du Vexin - L’orée du Lac - 78200 MANTES-LA-JOLIE Tél. : 01 30 94 64 43 - [email protected]
Collèges - Relations avec le primaire.
Stéphane OLIVIER - 26, rue des Cordelières - 75013 PARIS Tél. : 01 45 35 75 53 - [email protected]
Physique - Liaisons secondaire supérieur.
Bulletin de l’Union des professeurs de physique et de chimie
Directeur de la publication
Madeleine SONNEVILLE - 29, rue Edmond About - 92350 LE PLESSIS-ROBINSON Tél. : 01 43 50 79 12 - [email protected]
Rédacteur en chef
André GILLES - Sauveterre - 31320 AUREVILLE Tél. : 05 61 76 76 25 - Fax : 05 61 76 76 24 - [email protected]
Rédacteur en chef adjoint
Jean-Pierre DAVAL - 5, rue Jean Jaurès - 92370 CHAVILLE Tél. : 01 47 50 34 46.
- II -
Trésorier
François VILLEDARY - 10, rue de la Bergerie - 91300 MASSY Tél. : 01 69 30 47 43 - [email protected]
Secrétaire général
Gilles GALLIN-MARTEL - 24, rue Alfred de Musset - 74600 SEYNOD Tél. : 04 50 69 57 15 - [email protected]
Relations avec les sections académiques.
Secrétaires générales adjointes
Edith PIGANEAU - 58, rue du Rôle - 91800 BRUNOY Tél. et Fax : 01 69 43 72 81 - [email protected]
Lycées.
Monique SCHWOB - 39, rue de la Prévôté - 57950 MONTIGNY-LÈS-METZ Tél. : 03 87 38 02 59 - [email protected]
Secrétariat de l’association - Serveurs et bases de données - Relations avec les associations étrangères.
Membres
Serge BETTON - Lendrevie-Basse - 81600 BRENS Tél. : 05 63 57 36 07 - [email protected]
Collèges.
Jean-Marie BIAU - 3, allée Val Prévert - 69400 LIMAS Tél. : 04 74 65 37 50 - [email protected]
Enseignement technique : baccalauréats technologiques STI - BTS.
Michèle GOUÉDARD - 34 bis, rue du Docteur Le Savoureux - 92290 CHATENAY-MALABRY Tél. : 01 46 60 08 33 - [email protected]
Relations extérieures chimie.
Micheline IZBICKI - 50, chemin de Buglise - 76290 MONTIVILLIERS
Tél. : 02 35 30 50 27 - [email protected]
Olympiades de chimie - Sécurité en chimie.
Jean-Charles JACQUEMIN - 2, boulevard Magenta - 75010 PARIS Tél. : 01 42 06 02 37 - [email protected]
Enseignement technique : baccalauréats technologiques STI - Lycées.
Olivier KEMPF - 15, rue Louis Flamant - 02400 CHÂTEAU-THIERRY Tél. : 03 23 69 28 30 - [email protected]
Serveurs et bases de données.
Cathy PARIS - 11, rue Matabiau - 31000 TOULOUSE Tél. : 05 61 62 22 79 - [email protected]
Collèges.
Michel MÉTROT - 183, rue François Perrin - 87000 LIMOGES Tél. : 05 55 49 03 16 - [email protected]
IUFM - Lycées.
Chargé(e)s de mission auprès du bureau
Jacques BOULOUMIÉ - 17, hameau de la Caravelle - 91650 BREUILLET Tél. : 01 64 58 43 34 - Fax : 01 69 94 09 61 - [email protected]
Chargé de mission auprès du trésorier.
Huguette GRIMAUD - Aurore E - 134, rue Curat - 34090 MONTPELLIER
Tél. et Fax : 04 67 72 80 24 - [email protected]
Chargée de mission aux olympiades de physique.
Élyane YACINE - 4, rue des Bouleaux - 63100 CLERMONT-FERRAND
Chargée de mission à la publicité.
- III -
Les olympiades
Olympiades de physique
Huguette GRIMAUD - Aurore E - 134, rue Curat - 34090 MONTPELLIER
Tél. et Fax : 04 67 72 80 24 - [email protected]
Site des olympiades de physique : http://olympiades-physique.in2p3.fr
Olympiades nationales de la chimie
Micheline IZBICKI - 50, chemin de Buglise - 76290 MONTIVILLIERS
Site des olympiades nationales de la chimie : http://www.sfc.fr/Olympiades/olympiades.htm
Les commissions de l’UdPPC
« Base de données - BUPDOC »
Responsable : Monique SCHWOB.
« Formation des maîtres - IUFM »
Responsable : Michel MÉTROT.
« Réforme des lycées »
Responsable : Marie-Françoise KARATCHENTZEFF.
« Sécurité en chimie »
Responsable : Micheline IZBICKI.
Le serveur de l’UdPPC
Relations avec le serveur
Rosine FANGUET
[email protected]
Monique SCHWOB
[email protected]
Administrateur
Olivier KEMPF
[email protected]
- IV -
Le Bup
Comité de rédaction
Rédacteur en chef : André GILLES.
Rédacteur en chef adjoint : Jean-Pierre DAVAL.
Comité de rédaction : L. DETTWILLER, G. DUPUIS, A. GILLES, J. JOURDAIN, D. LAUNER, F. LAVERNHE,
E. PIGANEAU, F. ROGER, J. TINNÈS, B. VELAY, J. WINTHER.
Publicité
Elyane YACINE - 4, rue des Bouleaux - 63100 CLERMONT-FERRAND Tél. : 04 73 30 85 07 - [email protected]
Secrétariat de la rédaction du bulletin
Mél. : [email protected]
Publication des articles
Tout article ou communication doit être adressé en triple exemplaires à : Union des professeurs de physique et de chimie - A l’attention du rédacteur en chef - 44, boulevard Saint-Michel - 75270 PARIS CEDEX 06.
Dès réception l’expéditeur en est avisé (ne pas oublier de fournir une adresse postale complète, et si possible une adresse mél et un numéro de téléphone).
Les manuscrits sont ensuite soumis, par le comité de rédaction, au comité de lecture pour avis. L’avis
du comité de lecture est strictement anonyme. Le comité de rédaction donne ou refuse son accord à la
publication ou bien demande des modifications. L’auteur en est immédiatement avisé. En cas d’acceptation, aucun engagement sur la date de publication ne peut être fourni ; les manuscrits acceptés ne
sont pas rendus. En cas de refus, les manuscrits sont renvoyés à l’auteur.
L’auteur reçoit les épreuves de son article (éventuellement par mél) aux fins de vérifier sa conformité
à l’original et s’engage à renvoyer les épreuves corrigées dans les huit jours suivant leur réception. Après
publication, il reçoit dix tirés à part sur demande et un fichier pdf de l’article sous sa forme définitive.
Recommandations aux auteurs
Tout article doit impérativement être accompagné d’un résumé de quelques lignes et de cinq à huit
mots-clés.
Joindre le fichier informatique correspondant, sur disquette ou cédérom, dans un format usuel (indiquer le logiciel utilisé et le numéro de version).
Si l’article comporte des figures :
♦ Celles-ci seront insérées dans le texte ou leur position repérée clairement.
♦ Si les figures n’existent que sous forme papier, elles doivent être tracées avec soin sur feuille séparée
(éviter le calque). Fournir des originaux, éviter les photocopies ; en cas de nécessité fournir des photocopies laser d’excellente qualité.
♦ Si les figures existent sous forme numérique :
– l’épaisseur des traits, dans le cas de graphiques, doit être au minimum de 0,5 point ;
– pour des images au trait, la définition doit être au minimum de 1200 dpi dans la dimension finale
souhaitée ;
– pour des images en niveau de gris ou en couleur, la définition doit être au minimum de 300 dpi
dans la dimension finale souhaitée ;
– fournir impérativement les fichiers séparés de chaque image au format tif ou eps ;
– insérer éventuellement les images dans le texte pour en repérer la position.
Si l’article comporte des photos, fournir dans la mesure du possible les originaux papier ou diapositives. Ces originaux seront retournés à l’auteur dès la publication.
-V-
Les tarifs des cotisations et abonnements
Réadhésion par Internet
http://www.udp-bup.org
Réadhésion « papier » : Voir encart cartonné dans les bulletins de juillet/août/septembre, octobre,
novembre et décembre.
Dans les deux cas :
– adressez-vous à votre correspondant d’établissement (s’il existe) ;
– envoyez votre chèque par voie postale à l’Union des professeurs de physique et de chimie.
1. COTISATIONS ANNUELLES : membres actifs ou adhérents
Le paiement de la cotisation seule ne donne pas droit au service du bulletin.
☞
a - Tarif normal.................................................................................................................................24 e
b - Tarif réduit : retraité ou étudiant .................................................................................................21 e
Le tarif étudiant est accordé aux intéressés sur leur demande et après envoi d’une pièce justificative de
leur qualité.
c - Tarif spécial : enseignant de collège
Un enseignant en collège peut opter pour l’une des deux possibilités ci-dessous :
– cotiser selon les tarifs du paragraphe 1a,
– verser une cotisation de ........................................................................................................................25 e
Dans ce cas les trois numéros spécialement consacrés aux collèges seront envoyés gracieusement.
Moyennant paiement de la cotisation, la qualité de membre actif est réservée aux professeurs et aux
membres du personnel de laboratoire de sciences physiques de l’enseignement public et de l’enseignement privé sous contrat d’association avec l’État, en activité ou en retraite ; celle de membre adhérent à
toute autre personne. Le non-paiement de la cotisation entraîne la radiation de membre de l’Union des
professeurs de physique et de chimie. La qualité de membre de l’Union des professeurs de physique et de
chimie permet de participer aux activités nationales et académiques de l’Union des professeurs de physique et de chimie.
2. ABONNEMENT AU BULLETIN « LE BUP »
(Année civile 2004)
France métropolitaine
et D.O.M.
(dont TVA à 2,1 %)
a - Membres actifs ou adhérents
☞
Étranger
Abonnement
(exonéré de la TVA)
Expédition*
(prix préférentiel réservé aux membres de l’association à jour de leur cotisation)
Normal
36 e
35,26 e
13 e
Réduit (retraité, étudiant)
31 e
–
–
b - Collectivités (collège, autre établissement, personne morale, bibliothèque, laboratoire...)
Collège
83 e
–
–
Autre que Collège
108 e
105,78 e
22 e
58,77 e
13 e
c - Individuel non membre de l’association
Prix public
60 e
* Pour l’expédition par voie aérienne, consulter les tarifs ci-après, paragraphe 4.
- VI -
L’abonnement est annuel et comprend :
– pour les individuels : les dix numéros du BUP de janvier à décembre.
– pour les collectivités collèges : les dix numéros du BUP, du 1er mai 2004 au 30 avril 2005 plus les deux
cahiers énoncés et corrigés des concours d’Agrégations et CAPES de 2004 ;
– pour les collectivités sauf collèges : les dix numéros du BUP, du 1er mai 2004 au 30 avril 2005 plus
les deux cahiers énoncés et corrigés des concours d’Agrégations et CAPES de 2004 plus le cahier Enseignement Supérieur.
L’abonnement individuel est à régler à compter du 1er octobre 2003 et avant le 1er décembre 2003. Pour
tous règlements ultérieurs, les numéros du bulletin qui seront épuisés seront remplacés par des numéros
des années antérieures.
3. CHANGEMENT D’ADRESSE
Toute demande de changement d’adresse d’expédition du bulletin peut être faite directement par
Internet. Par courrier, précisez l’ancienne et de la nouvelle adresse.
4. TARIFS DES EXPÉDITIONS DU BULLETIN PAR VOIE AÉRIENNE (hors CEE)
Les membres de l’Union des professeurs de physique et de chimie qui en feront la demande lors du
paiement de l’abonnement, pourront recevoir le bulletin par avion, à condition de rajouter les frais d’expédition indiqués ci-dessous au tarif d’abonnement : France pour le Régime intérieur et assimilé, Étranger (exonéré de TVA) pour le Régime international.
• Régime intérieur et régime assimilé
DÉPARTEMENTS D’OUTRE-MER : Guadeloupe, Martinique, Guyane Française,
La Réunion, Saint-Pierre-et-Miquelon, Mayotte ...........................................................................20,5 e
TERRITOIRES D’OUTRE-MER : Nouvelle-Calédonie, Polynésie Française,
Terres Australes et Antarctiques Françaises, Wallis et Futuna.........................................................42 e
• Régime international
Zone 1
EUROPE 1 : Allemagne, Belgique, Danemark, Italie, Luxembourg, Norvège, Pays-Bas,
Portugal et Suède...............................................................................................................................26 e
Zone 2
EUROPE 2 : Autriche, Espagne, Finlande, Grande-Bretagne, Grèce, Irlande, Islande et
Suisse .................................................................................................................................................23 e
Zone 3
États-Unis et Canada ................................................................................................................................34 e
Zone 4
Afrique, Europe de l’Est, Proche et Moyen Orient.................................................................................31 e
Zone 5 (reste du monde)
Autres : Amérique, Asie et Océanie ........................................................................................................51 e
- VII -
Les bureaux académiques
Aix - Marseille
Président et Courrier : Michel FANGUET - 13, allée de la Butte - 13500 Martigues - Tél. et Fax : 04 42 42 11 74 [email protected]
Vice-présidente : Magali GIACINO - 5, rue Renoir - Domaine de Calas - 13480 Calas - [email protected]
Trésorier : Pierre MARTIN - 10, rue Pierre de Coubertin - 13100 Aix-en-Provence - [email protected]
Chimie : André DURUPTHY - Chemin des Baux - 13510 Eguilles - [email protected]
Chimie (olympiades) : Nathalie BARDE - 8, rue Elzéard Rougié - 13004 Marseille - [email protected]
Collège : Michel BARDE - 8, rue Elzéard Rougié - 13004 Marseille - [email protected]
Informatique : Frédéric ALLARD - 19, lotissement « Le Petit Prince » - 84450 Saint Saturnin-lès-Avignon [email protected]
IUFM : Michèle CLEMENTE - Tour 9 Andalousie - Le Roy d’Espagne - 13009 Marseille - [email protected]
Physique : Hervé IDDA - Bâtiment F13 - 20, avenue Jean Giono - 13090 Aix-en-Provence - [email protected]
Physique (olympiades) : Hervé IDDA - Bâtiment F13 - 20, avenue Jean Giono - 13090 Aix-en-Provence - [email protected]
Relations enseignement supérieur : Jean-Marie DONNINI - 7, boulevard Chave - 13005 Marseille [email protected]
Technique : Marie-Line MILLON - Plan Redon d’Auriol - 13720 La Bouilladisse - [email protected]
Amiens
Président et Courrier : Jan DUDA - 6, rue de Villeneuve - 60110 Lormaison - Tél. : 06 79 29 03 71 [email protected]
Vice-président : Patrick PIERENS - 1, rue Jean de La Fontaine - 02100 Saint-Quentin - [email protected]
Secrétaire : Savério CALLEA - 22, rue de Mulhouse - 02100 Saint-Quentin - [email protected]
Trésorier : M. Dominique PAIN - 6, rue Boucher de Perthes - 80000 Amiens - [email protected]
Chimie (olympiades) : Christophe DEBLANGY - 4, rue Bigaudet - 80290 Taisnil - [email protected]
Collège : Bertrand LEMASLE - 4, rue Porchez - 80000 Amiens - [email protected]
Informatique : Laurent LARROCHE - 25, rue de la République - 60160 Montataire - [email protected]
IUFM : Daniel GUEANT - 1, rue Gérard Philippe - 80330 Cagny.
Physique (olympiades) : Olivier GRAS - 33, résidence « La clé des Champs » - 80160 Plachy Buyon [email protected]
Jean-Luc JUGUET
Technique : Jean-Philippe FOURNOU - Lycée Paul Langevin - 3, avenue Montaigne - 60009 Beauvais Cedex [email protected]
Université : Daniel GUEANT - 1, rue Gérard Philippe - 80330 Cagny.
Antilles - Guyane
Présidente et Courrier pour les Antilles : Nady MONTRÉSOR - 8, lotissement Petit - Étang 2 - Gissac - 97180 Sainte-Anne.
Vice-président et Courrier pour la Guyane : Jean-Pierre OCTAVIA - BP 49 - 97372 Kourou Cedex.
Chimie et Physique (olympiades) : Jean-Pierre OCTAVIA - 8, rue Samuel Lubin - 97310 Kourou.
Besançon
Président et Courrier : Thierry GUILLOT - 32, rue Saint-Vincent - 25720 Avanne - Tél. : 03 81 41 04 02 [email protected]
Vice-président : André BRUNETTA - 32, rue de Fevery - 90700 Châtenois-les-Forges - [email protected]
Secrétaire : Anne-Marie STUDER - 13 bis, rue du Rosaire - 90850 Essert - [email protected]
Trésorier : Jean-Claude POINSARD - 5, rue du Bougney - 25000 Besançon - [email protected]
Classes préparatoires : Jean-Noël BERNARD - 101, rue des Granges - 25000 Besançon - [email protected]
Chimie (olympiades) : Françoise CHAGRIN - 8, rue de Franche-Comté - 25000 Besançon - [email protected]
Collège : Christian THOMAS - 55, rue de Besançon - 25300 Pontarlier - [email protected]
Commission Olympiades de physique : Maryse FISCHER - Hameau du Coteau - 25770 Franois [email protected]
Physique (olympiades) : Dominique OBERT - 5, rue Boudot - 25000 Besançon - [email protected]
Relations enseignement supérieur : Daniel VAN LABEKE - Domaine de Maupaillol - Chemin du Lièvre - 25000 Besançon [email protected]
Technique : Hervé L’HUILLIER - Route de Geneuille - 25870 Devecey - [email protected]
Correspondant Haute-Saône : Nicole PETITOT - 113, avenue de la République - 70200 Lure [email protected]
Bordeaux
Président et Courrier : Philippe GOYER - Les Harmonies - Bâtiment D - Appartement 293 - 64, rue Lamartine - 33400 Talence Tél. : 05 56 37 91 19 - [email protected]
- VIII -
Secrétaire : Guy BOUYRIE - Lycée Victor Louis - 33400 Talence - [email protected]
Trésorier : Jean-Pierre NADAL - Lycée Laure Gatet - BP 3085 - 24003 Périgueux Cedex - [email protected]
Chimie : Daniel MARSAN - Résidence Macedo - 3, place Toulouse Lautrec - 33600 Pessac - [email protected]
Chimie (olympiades) : Daniel MARSAN - Résidence Macedo - 3, place Toulouse Lautrec - 33600 Pessac [email protected]
Informatique : INCERTI - [email protected]
IUFM : Jean-François PEYRELONGUE - 6, impasse du Pradas - 33640 Beautiran - [email protected]
Physique : Guy BOUYRIE - Lycée Victor Louis - 33400 Talence - [email protected]
Physique (olympiades) : Guy BOUYRIE - Lycée Victor Louis - 33400 Talence - [email protected]
Caen
Président et Courrier : Jacques MARIE - 14, chemin de Touques - 14910 Benerville-sur-Mer - Tél. : 02 31 87 22 85 [email protected]
Vice-président : Bernard TAMAIN - 3, allée des Roses - 14610 Epron - [email protected]
Secrétaire : François MARVIN - 5, avenue Albert Sorel - Bâtiment E - 14000 Caen - [email protected]
Trésorier : François MARVIN - 5, avenue Albert Sorel - Bâtiment E - 14000 Caen - [email protected]
Chimie : Gérard GUIBERT - 45, rue des Tisserands - 14000 Caen.
Collège : Mireille GERVAIS - La Gatellerie - 61250 Colombiers - [email protected]
Informatique : Daniel GUÉRIN - Les Gigannières - 50140 Saint-Clément.
Physique : Thérèse LEVALOIS - 20, rue de l’Église - 14610 Épron.
Technique : Jacques BESNARD - Allée des Marronniers - 14610 Colomby-sur-Thaon.
Clermont-Ferrand
Président et Courrier : Roland FUSTIER - 4, rue Henri Pourrat - 63360 Gerzat - Tél. : 04 73 24 27 87 [email protected]
Vice-présidente : Marie-Colette MORENAS - 1 bis, boulevard Fleury - 63000 Clermont-Ferrand [email protected]
Secrétaire : Éric GOURBEYRE - Olhat - 63990 Job - [email protected]
Trésorière : Elyane YACINE - 4, rue des Bouleaux - 63100 Clermont-Ferrand - [email protected]
Chimie (olympiades) : Stéphanie MORTIER - 5, allée du Capitaine Diederich - 63170 Aubière - [email protected]
Collège : Daniel CHAMBENOIS - 18, rue du Docteur Teilhol - 63170 Aubière - [email protected]
Informatique : Frédéric BROMONT - 7, rue Haute - 63670 Corent - [email protected]
IUFM : Elyane YACINE - 4, rue des Bouleaux - 63100 Clermont-Ferrand - [email protected]
Physique (olympiades) : Roland FUSTIER - 4, rue Henri Pourrat - 63360 Gerzat - [email protected]
Relations enseignement supérieur : Gilles BOUTEVILLE - 4, rue Victor Hugo - 63400 Chamalières [email protected]
Corse
Présidente et Courrier : Valérie DENIS - 27, boulevard Paoli - 20200 Bastia - Tél. : 04 95 32 67 06 [email protected]
Trésorier : Marcel BERNACCHI - 51, résidence Terra Corsa - Minelli - 20200 Bastia - [email protected]
Collège : Antoine MURGIA - Route de Propriano - 20100 Sartene - [email protected]
Informatique : Michèle L’HARIDON - Résidence Les Aloès - Bâtiment C - 20000 Ajaccio - [email protected]
Relations avec les CPGE : Marie-Françoise PALLIER - 21, cours Napoléon - 20000 Ajaccio.
Technique : Jacques LINALE - 20246 Pieve - [email protected]
Créteil
Courrier : Marcelle PLOTARD - 1, allée Clotilde - 77500 Chelles - [email protected]
Trésorière : Marcelle PLOTARD - 1, allée Clotilde - 77500 Chelles - [email protected]
IUFM : Madeleine MASLE - 33, avenue de la Sibelle - 75014 Paris - [email protected]
Dijon (Section académique de Bourgogne)
Président d’honneur : Joseph ADAMSKI - [email protected]
Secrétaire et Courrier : Christine FRIOUR - 7, rue Charles Dullin - 71100 Chalon-sur-Saône - [email protected]
Trésorier : Alain PELVILLAIN - 10, rue de la Gare - 21270 Talnay - [email protected]
Chimie (olympiades) : Éliane SEMELET - Lycée Montchapet - 36, boulevard Pompon - 21000 Dijon.
Collège : Stéphanie ÉVRARD - 10, rue des Fleurs - 21000 Dijon - [email protected]
Concours collège « T’as vu ma manip ? » : Michel NOUVEL - 19, rue Chaudot - 89300 Joigny - [email protected]
Diffusion du Trait d’Union : Florence CHARAU - 11, rue J.-B. Baudin - 21000 Dijon.
Physique (olympiades) : Gérard GOUTHIÈRE - 2, allée des Vergers - 21370 Plombières-lès-Dijon - [email protected]
Relations enseignement supérieur : Marie-Thérèse DOUET-GIRARD - 9, impasse Gabriel Fauré - 21800 Chevigny-Saint-Sauveur [email protected]
Site Internet : Michel NOUVEL - 19, rue Chaudot - 89300 Joigny - [email protected]
Technique : Bernard CIROUX - 2 bis, rue Paul Claudel - 71530 Champforgeuil - [email protected]
- IX -
Grenoble
Président et Courrier : Gilles GALLIN-MARTEL - 24, rue Alfred de Musset - 74600 Seynod - Tél. : 04 50 69 57 15 [email protected]
Vice-président : Gilles BAUDRANT - 7, rue Saint-Just - 38400 Saint-Martin d’Hères - [email protected]
Trésorier : Hugues DE SAINTE FOY - 45, montée de l’Epallud - 38300 Domarin - [email protected]
Trésorier adjoint : Daniel BIBOUD - 9, chemin du Marais - 38100 Grenoble - [email protected]
Collège : Josiane BOUVIER - Résidence du Château - 5, rue Guy Mocquet - 38130 Échirolles - [email protected]
Chimie (olympiades) : Stéphanie LARBAUD - 5, rue Jourdan Laforte - 38190 Brignoud - [email protected]
IUFM : Anne GOUBE - 10, avenue de l’Europe - 38120 Saint-Égrève - [email protected]
Physique (olympiades) : Gilles BAUDRANT - 7, rue Saint-Just - 38400 Saint-Martin-d’Hères - [email protected]
Post-bac : Philippe ODERMATT - 11, clos de Chapicolle - 38330 Montbonnot - [email protected]
Responsable du secteur « 2 Savoies » : Didier PETITJEAN - Bâtiment Paroissial - 73590 Crest-Voland [email protected]
Technique : Didier PETITJEAN - Bâtiment Paroissial - 73590 Crest-Voland - [email protected]
Lille
Président et Courrier : Jean-Christophe NAZE - 69, rue Leconte Baillon - 59100 Roubaix - Tél. : 03 20 81 01 44 [email protected]
Vice-présidente : Isabelle MULLER - 60, avenue du Quennelet - 59493 Villeneuve d’Ascq - [email protected]
Secrétaire général : Jean-Marc BOUGENIÈRE - 2, allée de la Forge - 59830 Louvil - [email protected]
Secrétaire générale adjointe : Sabine DARTOIS - Résidence Gambetta-Leclerc - 6, rue Corbet - 59800 Lille [email protected]
Trésorière : Nathalie GAIGNARD - 49, rue Delsaux - 59300 Valenciennes - [email protected]
Chimie : Isabelle MULLER - 60, avenue du Quennelet - 59493 Villeneuve d’Ascq - [email protected]
Chimie (olympiades) : Isabelle MULLER - 60, avenue du Quennelet - 59493 Villeneuve d’Ascq - [email protected]
Collège : Daniel TAVERNE - 25, rue Salvador Allende - 59280 Armentières - [email protected]
Marie-Dominique BASUYAUX-PORTIER - A54 Le Parc du Château Blanc - 135, rue Faubourg de Roubaix 59800 Lille - mbasuyaux@nordnet
Enseignement privé : Marie-Dominique BASUYAUX-PORTIER - A54 Le Parc du Château Blanc - 135, rue Faubourg de Roubaix 59800 Lille - mbasuyaux@nordnet
Informatique : Nathalie LEBRUN - 4, rue Pascal - 59650 Villeneuve d’Ascq - [email protected]
IUFM : Chantal DUPREZ - 24, allée Turgot - 59650 Villeneuve d’Ascq - [email protected]
Laboratoire : Michel BASUYAUX - A54 Le Parc du Château Blanc - 135, rue Faubourg de Roubaix - 59800 Lille mbasuyaux@nordnet
Lycée : Michel BASUYAUX - A54 Le Parc du Château Blanc - 135, rue Faubourg de Roubaix - 59800 Lille mbasuyaux@nordnet
Thérèse COUCKE - 71, rue Roland - 59800 Lille - [email protected]
Physique : Arnaud DURIEUX - 4, rue des Teinturiers - 59126 Linselles - [email protected]
Physique (olympiades) : Arnaud DURIEUX - 4, rue des Teinturiers - 59126 Linselles - [email protected]
Relations avec les CPGE : Gérard DUPUIS - 53, rue Alfonse Mercier - 59000 Lille - [email protected]
Site Internet : Nathalie LEBRUN - 4, rue Pascal - 59650 Villeneuve d’Ascq - [email protected]
Isabelle MULLER - 60, avenue du Quennelet - 59493 Villeneuve d’Ascq - [email protected]
Technique : Arnaud DURIEUX - 4, rue des Teinturiers - 59126 Linselles - [email protected]
Université : Chantal DUPREZ - 24, allée Turgot - 59650 Villeneuve d’Ascq - [email protected]
Nathalie LEBRUN - 4, rue Pascal - 59650 Villeneuve d’Ascq - [email protected]
Visite d’entreprises : Marie-Dominique BASUYAUX-PORTIER - A54 Le Parc du Château Blanc - 135, rue Faubourg de Roubaix 59800 Lille - mbasuyaux@nordnet
Limoges
Président et Courrier : Julien BARDET - 12, Les Grandes Loges - 23320 Fleurat - Tél. : 05 55 52 61 08 [email protected]
Vice-présidents : Sophie RÉMY - 5, résidence d’Arliquet - 87700 Aixe-sur-Vienne - [email protected]
Michel MÉTROT - 183, rue François Perrin - 87000 Limoges - [email protected]
Trésorier : Gérard ROGUES - 13, rue du Pérou - 87570 Rilhac Rancon.
Bar des sciences : Sophie RÉMY - 5, résidence d’Arliquet - 87700 Aixe-sur-Vienne - [email protected]
Chimie : Jean-Christophe JOUVY - Lycée Guy-Lussac - 87036 Limoges - [email protected]
Collège : Françoise FABRE - 245, rue du Mas Loge - 87100 Limoges - [email protected]
Informatique : Patrick LASSIAILLE - Lycée Raoul Dautry - 14, rue du Puy Imbert - 87000 Limoges.
Physique : Sophie RÉMY - 5, résidence d’Arliquet - 87700 Aixe-sur-Vienne - [email protected]
Physique (olympiades) : Sophie RÉMY - 5, résidence d’Arliquet - 87700 Aixe-sur-Vienne - [email protected]
Relations enseignement supérieur : Thérèse MERLE - 12, rue de l’Amphithéâtre - 87000 Limoges.
Relations extérieures : Michel MÉTROT - 183, rue François Perrin - 87000 Limoges - [email protected]
Lyon
Président et Courrier : Jean-Marie BIAU - 3, allée Val Prévert - 69400 Limas - [email protected]
Vice-présidente : Hélène PRUVOT - 21, domaine des Essarts - 69390 Vernaison - [email protected]
Secrétaire : Françoise KHANTINE-LANGLOIS - 91, rue Duguesclin - 69006 Lyon - [email protected]
-X-
Trésorier : François-Jacques BACCHUS - 10, rue Sainte-Anne de Baraban - 69003 Lyon - [email protected]
Chimie : Daniel SIMON - ENS Lyon - 46, allée d’Italie - 69364 Lyon Cedex 07 - [email protected]
Chimie (olympiades) : Josette CARRETTO - 177 bis, avenue Félix Faure - 69003 Lyon - [email protected]
Collège : Gérard VACHER - 169, cours Lafayette - 69006 Lyon - [email protected]
Laboratoire : M. Dominique JANTON - 1, impasse de l’école - 42660 Jonzieux - [email protected]
Physique : Bernadette HAGUENAUER - 765, route des Alpes - 01280 Prevessin - [email protected]
Physique (olympiades) : Florence CHAVANEL - 25, rue de Montribloud - 69009 Lyon - [email protected]
Relations avec les CPGE : Sylvaine ALBRECHT - 14, rue de Pizay - 69001 Lyon - [email protected]
Relations extérieures : Annie LESTRADE - 177 bis, avenue Félix Faure - 69003 Lyon - [email protected]
Site Internet : Sylvaine ALBRECHT - 14, rue de Pizay - 69001 Lyon - [email protected]
Technique : Jean-Marie BIAU - 3, allée Val Prévert - 69400 Limas - [email protected]
Université : Roger DUFFAIT - 7, rue des Alouettes - 69890 La Tour de Salvagny - [email protected]
Montpellier
Président et Courrier : Franck MILLOT - Lycée Mermoz - 717, avenue Mermoz - 34060 Montpellier Cedex 1 Tél. / Fax : 04 67 73 98 76 - [email protected]
Vice-présidents : Jean-Pierre PONSA - 22, rue Edouard Vaillant - 66350 Toulouges - [email protected]
René TORRA - Rue du Val de la Mosson - 34430 Saint-Jean-de-Vedas - [email protected]
Secrétaire : Marie BOURGAREL - 3, rue du Commerce - 34000 Montpellier - [email protected]
Secrétaires adjoints : Christophe REY - 14, rue Bourseul - 34500 Béziers - [email protected]
Martine JEANJEAN - Lycée Docteur Lacroix - Rue Gay Lussac - 111000 Narbonne [email protected]
Trésorière : Sylvie BEAUFORT - Parc des Amandiers - 5, rue Yourcenar - 34430 Saint-Jean-de-Vedas [email protected]
BUP, contractuels, PLC2 et T1 : Mathieu RUFFENACH - 1, La Source - 34570 Montarnaud - [email protected]
Chimie : Jean-Pierre PONSA - 22, rue Edouard Vaillant - 66350 Toulouges - [email protected]
Chimie (olympiades) : Jean-Pierre PONSA - 22, rue Edouard Vaillant - 66350 Toulouges - [email protected]
Collège : Bernard FABRE - 11, rue Jean-Baptiste Perdraut - 34500 Béziers - [email protected]
Mme Dominique DUCOURANT - 7, rue des Martres - 34090 Montpellier - [email protected]
Informatique : Martial CASANOVA - Lycée Mermoz - 717, avenue Mermoz - 34060 Montpellier Cedex 1 [email protected]
Liaison lycée - post-bac : Sylvette ALMAIRAC - 37, rue Lacase Duthiers - 34090 Montpellier - [email protected]
Suzanne CAUSSIGNAC - Lycée Jean Lurçat - 25, avenue Albert Camus - 66000 Perpignan [email protected]
Henri ESCUDIER - 7, chemin des Prés - 34820 Teyran - [email protected]
Ferial TERKI - Université Montpellier II - Bâtiment 21 - Case courrier 074 34095 Montpellier Cedex 5 - [email protected]
Henri LAVIE - 8, impasse des Garrigues - 11110 Vinasson - [email protected]
Physique : Christophe REY - 14, rue Bourseul - 34500 Béziers - [email protected]
Relation avec les enseignants étrangers : Witold KUBEL - Lycée Jules Fil - 23, boulevard Joliot Curie - 11000 Carcassonne [email protected]
Site Internet : Robert QUER - Lycée Mermoz - 717, avenue Mermoz - 34060 Montpellier Cedex 1 - [email protected]
Technique : Franck MILLOT - Lycée Mermoz - 717, avenue Mermoz - 34060 Montpellier Cedex 1 - [email protected]
Nancy - Metz (Section académique de Lorraine)
Courrier : Monique SCHWOB - 39, rue de la Prévôté - 57950 Montigny-lès-Metz - [email protected]
Trésorier : Frédéric CORDIER - 85 bis, rue Camp - 54700 Pont-à-Mousson - [email protected]
Secrétaire : Claire HUTTIN - 4, rue de Bure - 57650 Havange - [email protected]
Collège : Laurent PERTUY - 1, rue du Chemin de Fer - 57655 Boulange - [email protected]
Lycée : Karine LADMIRAL - 50, quai Charles François - 54700 Pont-à-Mousson - [email protected]
Lycées technique et professionnel : Chantal FRIES - 57, rue de la Pépinière - 57970 Yutz - [email protected]
Nantes
Trésorier et Courrier : Alain LAFOND - 15, rue des Naudières - 44800 Saint-Herblain - [email protected]
Chimie (olympiades) : Gaëlle JOBIC - 13, chemin Clos Saint-Julien - 44340 Bouguenais.
Collège : Claudine NIZOU - 23 bis, rue Charles Terront - 44300 Nantes - [email protected]
Informatique : Jean-Marie PUYSILOUX - [email protected]
Physique (olympiades) : Jean-Luc CANCOUET - 71, rue des Renardières - 44100 Nantes - [email protected]
Site Internet : Jean-Marie PUYSILOUX - [email protected]
Technique et professionnel : Philippe GUINEL - 85, boulevard de Charbonneau - 44470 Carquefou [email protected]
Nice - Toulon
Président (Alpes-Maritimes) et Courrier : Serge TRICOIRE - 557, route de la Colle de Revel - 06730 Saint-André Tél. : 04 97 00 07 91- [email protected]
- XI -
Vice-président (Var) : Francis BERTHOMIEU - Place de l’Église - 83111 Ampus - [email protected]
Secrétaire : Chantal OTTO - Les Maisons de Villeneuve - 33, chemin des Ferrayonnes - 06270 Villeneuve-Loubet.
Trésorier : Serge OLIVIER - 8, route de Sospel - 06500 Menton.
Collège : Marie-Hélène CANAVESIO - 220, avenue Sainte-Marguerite - Bâtiment C3 - 06200 Nice.
Informatique : Patrice GARNIER - Avenue Darié La Madone - 06230 Villefranche-sur-Mer.
Orléans - Tours
Président et Courrier : Jean JOURDAIN - 60, rue Carnot - 45400 Fleury-les-Aubrais - Tél. : 02 38 88 61 00 [email protected]
Vice-président : Philippe CHEVALLIER - Lycée Rotrou - 28000 Dreux - [email protected]
Trésorier : Jean JOURDAIN - 60, rue Carnot - 45400 Fleury-les-Aubrais - [email protected]
BTS : Christian MABILAT - 23, rue des templiers - 37400 Amboise - [email protected]
Chimie (olympiades) : Chrystelle BLERIOT - 1, rue du Moulin - 45170 Crottes-en-Pithiverais - [email protected]
Collège : Jean JOURDAIN - 60, rue Carnot - 45400 Fleury-les-Aubrais - [email protected]
Informatique : Bruno DE MARTEL - 15, rue Sourderie - 41000 Blois - [email protected]
Physique (olympiades) : Arnaud SOULAS - Lycée Benjamin Franklin - 21 bis, rue Eugène Vignat - 45000 Orléans [email protected]
Technique : Christiane SELLIER - Lycée Durzy - 45700 Villemandeur - [email protected]
Université : Caroline ANDRÉAZZA - CRMD UMR 6619 - Université d’Orléans - CNRS - 1 bis, rue de la Férollerie 45071 Orléans Cedex 2 - [email protected]
Autre membre du bureau : Michèle DEPREZ - Lycée Pothier - 2 bis, rue Marcel Proust - 45000 Orléans [email protected]
Paris
Secrétaire et Courrier : Jean-Charles JACQUEMIN - 2, boulevard Magenta - 75010 Paris - [email protected]
Trésorière : Jacqueline CHAUSSADE - 11-13, rue Lasson - 75012 Paris - [email protected]
Chimie (olympiades) : Jacqueline GUÉ - 11, rue de l’Industrie - 92400 Courbevoie - [email protected]
Collège : Christian LARCHER - 19 bis, rue de Verdun - 94170 Le Perreux-sur-Marne - [email protected]
Informatique : Annick MACE - 6 bis, avenue des Tilleuls - 94140 Alfortville - [email protected]
IUFM : Christian LARCHER - 19 bis, rue de Verdun - 94170 Le Perreux-sur-Marne - [email protected]
Lycées privés : Christian LARCHER - 19 bis, rue de Verdun - 94170 Le Perreux-sur-Marne - [email protected]
Technique : Jean-Charles JACQUEMIN - 2, boulevard Magenta - 75010 Paris - [email protected]
Poitiers
Président et Courrier : Denis PICARD - 19, rue de l’Abreuvoir - 86440 Migne Auxances - [email protected]
Vice-présidents : Jean-Luc FOUQUET - Collège Les Salières - 17410 Saint-Martin de Ré - [email protected]
Thomas MARSH - 8, rue des Amandiers - 17130 Puilboreau - [email protected]
Secrétaire : Florence EDARD - 4, rue de la Grange - 86800 Saint-Julien l’Ars - [email protected]
Trésorière : Françoise ARNAUD - 51, rue Rémy Belleau - 86000 Poitiers - [email protected]
Chimie : Catherine BRUNE - Chandigon - 86100 Antrans.
Collège : Jean-Luc FOUQUET - Collège Les Salières - 17410 Saint-Martin de Ré.
Technique : Francis VALLADE - 91, rue du Pré des Mottes - 86550 Mignaloux-Beauvoir.
Université : Thomas MARSH - 8, rue des Amandiers - 17130 Puilboreau - [email protected]
Polynésie Française
Président et Courrier : Pierre LEYRAL - BP 51152 - Pirae - Tahiti.
Reims
Présidente et Courrier : Nicole HERMAN - 18, rue de Taissy - 51100 Reims - Tél. : 03 26 85 43 17 [email protected]
Trésorière : Françoise SAINGERY - 11, rue Labori - 51100 Reims.
Chimie (olympiades) : Luc LEPICIER - Lycée Libergier - Rue Libergier - 51100 Reims.
Physique (olympiades) : Nicole HERMAN - 18, rue de Taissy - 51100 Reims - [email protected]
Technique : François SEVIN - 19, rue Follepeine - 51100 Reims.
Rennes
Président et Courrier : Loïc POULLAIN - 39 A, avenue du Général de Gaulle - 22190 Plerin - Tél. : 02 96 74 42 60 [email protected]
Vice-président : Éric MARCADE - 6, avenue des Chevreuils - 22410 Lantic - [email protected]
Secrétaire : Edith LE BUANEC - 2, route de Kerhervrec - 22300 Ploulech - [email protected]
Trésorier : Louis GILLOIS - 3, allée du Haut-Moulin - 35760 Saint-Grégoire - [email protected]
Action culturelle et Collège : Laurence LE CALVEZ - L’horizon - 35135 Chantepie - [email protected]
Collège : Jacques SALLAIS - 53, rue du Parc - 35135 Chantepie - [email protected]
- XII -
Informatique : Louis GILLOIS - 3, allée du Haut-Moulin - 35760 Saint-Grégoire - [email protected]
IUFM : Alain JAMEAU - 39, avanue de l’Étang - 35590 Saint-Gilles - [email protected]
Lycée : Claudine ROLLIN - 14, rue de la Tour d’Auvergne - 56000 Vannes - [email protected]
Physique (olympiades) : Éric MARCADE - 6, avenue des Chevreuils - 22410 Lantic - [email protected]
Post-bac : Marie-Annick MARÉCHAL - 4, rue Surcouf - 35740 Pace - [email protected]
Technique : Alain JAMEAU - 39, avanue de l’Étang - 35590 Saint-Gilles - [email protected]
Rouen
Trésorière et Courrier : Brigitte MARY - Appartement 20 - 6, rue Collins - 76120 Grand-Quevilly - Tél. : 02 35 67 07 74 [email protected]
Chimie (olympiades) : Annick GUILLOUX - 11, rue de Zurich - 76000 Rouen.
Collège : Jacques BOURET - 12, rue Brisout de Barneville - 76100 Rouen - [email protected]
Informatique : Colette ETASSE - 4, avenue René Coty - Appartement 448 - 76120 Grand-Quevilly.
Technique (STI) : Brigitte MARY - Appartement 20 - 6, rue Collins - 76120 Grand-Quevilly - [email protected]
Technique (STL) : Micheline IZBICKI - 50, chemin de Buglise - 76290 Montivilliers - [email protected]
Strasbourg
Président et Courrier : Alain SPRAUER - 79, rue Baldung-Grien - 67720 Weyersheim - Tél. : 03 88 51 76 83 [email protected] Vice-présidente : Odile LEIBER - 58, rue de Verdun - 68100 Mulhouse - [email protected]
Trésorier : Bernard GOERIG - 14, rue Principale - 67300 Schiltigheim - [email protected]
Chimie (olympiades) : Jean-Michel TOLEDANO - 11, rue Victor Kessler - 67000 Strasbourg - [email protected]
Collège : Michèle DOLLÉ - 2, rue du Landsberg - 67800 Hoenheim - [email protected]
Contact extérieur : André ISEL - 15, rue Geiler - 67000 Strasbourg - [email protected]
CPGE : Jean-François THIVENT - 15, rue Victor Schoelcher - 67300 Schiltigheim - [email protected]
CPGE (technique) : Brigitte JUNCKER - 11, rue de Niederbourg - 67400 Illkirch Graffenstaden - [email protected]
Europe : Lucie CHAUMONT - 61 A, rue Himmerich - 67000 Strasbourg - [email protected]
Informatique : François BOSSERT - 5, rue Claude Debussy - 67460 Reichstett - [email protected]
IUFM : Alain SPRAUER - 79, rue Baldung-Grien - 67720 Weyersheim - [email protected]
LP - TICE : Jean-Paul XUEREB - 19, rue Sainte-Marguerite - 67201 Eckbolsheim - [email protected]
Lycée : Bernard GOERIG - 14, rue Principale - 67300 Schiltigheim - [email protected]
Lycée (privé) : Marie-Noëlle EASTES - 15, rue des Frères Stoeffler - 67000 Strasbourg - [email protected]
Physique (olympiades) : François SCHLOSSER - 57, boulevard d’Anvers - 67000 Strasbourg [email protected]
Rectorat : Alain SPRAUER - 79, rue Baldung-Grien - 67720 Weyersheim - [email protected]
Relations enseignement supérieur IUFM : Jean MEULLEMEESTRE - 20, rue d’Oslo - 67000 Strasbourg [email protected]
Sécurité chimie : Alfred MATHIS - 18, rue des Pommes - 67200 Eckbolsheim - [email protected]
Site Internet et webmestre : Jean-Luc RICHTER - 36, rue Rivoli - 67600 Hilsenheim - [email protected]
Technique : Nicolas ESQUENET - 4, rue Kirstein - 67000 Strasbourg - [email protected]
Technique post-bac : Jean-Marc DIRRIG - 16 A, rue de la Brigade Alsace-Lorraine - 67114 Eschau - [email protected]
Bruno HERRBACH : 15, rue du Sport - 67130 Lutzelhouse - [email protected]
Toulouse
Présidente et Courrier : Marie-Laure MIEGEVILLE - 3, rue B. de Ventadorn - 31750 Escalquens - [email protected]
Secrétaire : Anne BATAILLE - 302, route de Saint-Simon - 31100 Toulouse - [email protected]
Trésorier : Jean-Marc LEMAIRE - Route de Rosières - 81350 Valderies.
Chimie : Mireille GALLIAN - 4, place del Rei Petit - 31120 Lacroix-Falgarde - mireille. [email protected]
et [email protected]
André GILLES - Sauveterre - 31320 Aureville - [email protected]
Chimie (olympiades) : Mireille GALLIAN - 4, place del Rei Petit - 31120 Lacroix-Falgarde mireille. [email protected] et [email protected]
André GILLES - Sauveterre - 31320 Aureville - [email protected]
Collège : Cathy PARIS - 11, rue Matabiau - 31000 Toulouse - [email protected]
Serge BETTON - Lendrevie-Basse - 81600 Brens - [email protected]
Informatique : Thierry MARTIN - 3, lotissement Le Foulon - 31360 Saint-Martory - [email protected]
IUFM : Alain RABIER - 10, allée du Soulor - 31770 Colomiers - [email protected] et [email protected]
Lycée : Dominique KAHRAMAN - Route des Crêtes - 31320 Mervilla - [email protected]
Technique : Jean-Marc LEMAIRE - Route de Rosières - 81350 Valderies.
TICE : Thierry MARTIN - 3, lotissement Le Foulon - 31360 Saint-Martory - [email protected]
Versailles
Présidente et Courrier : Françoise COUSSON - 31, allée Marcel Jouhandeau - 92500 Rueil-Malmaison [email protected]
Trésorière : Nicole GUIBÉ - 15, allée de Trévise - 92330 Sceaux.
- XIII -
Chimie (olympiades) : Catherine RIPERT - 1, rue Félix Faure - 95880 Enghien-les-Bains [email protected]
Collège : André CALAS - 40, rue des Boulangers - 75005 Paris - [email protected]
Vincent MAS - 10, square du Vexin - L’Orée du Lac - 78200 Mantes-la-Jolie - [email protected]
Informatique : Bernard RENAUD - 9, ruelle du Douaire - 95270 Viarmes - [email protected]
IUFM : Pierre FONTES - 48, rue Jean Moulin - 92160 Antony - [email protected]
Physique (olympiades) : Françoise COUSSON - 31, allée Marcel Jouhandeau - 92500 Rueil-Malmaison [email protected]
Jérôme BOHIN - 39, rue Gabriel Péri - 92300 Levallois-Perret - [email protected]
Technique : Olivier JALLU - 40 bis, rue Jules Larose - 92230 Gennevilliers - [email protected]
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Salon de l’éducation
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Du 23 au 26 octobre 2004
52es Journées nationales de l’Union des professeurs de physique et de chimie
Grenoble.
- XIV -
97e Année - N° 858 (2)
Publication mensuelle
Novembre 2003
Union des professeurs
de physique et de chimie
Cahier
Enseignement supérieur
N° 858 (2) - Novembre 2003
Administration et rédaction
44, boulevard Saint-Michel - 75270 PARIS CEDEX 06
3
Sommaire
CHIMIE
par Alexandre CHEMIN et Isabelle CHEMIN .....................................................................7
Utilisation atomique, facteur E : application à la réaction d’allylation du phénol solution catalytique
par Catherine C. SANTINI, Émile KUNTZ et Abderramane AMGOUME .......................15
Le mouvement de rotation à l’échelle moléculaire :
synthèse de moteurs moléculaires
par Alexandre CARELLA, Gwénaël RAPENNE et Jean-Pierre LAUNAY .........................23
PHYSIQUE
par André DEIBER et Frédéric PAVIET-SALOMON ...........................................................35
Aspects statistiques à l’œuvre dans l’irréversibilité, dans le cadre
d’un système fermé et isolé de particules à deux niveaux d’énergie
par Didier MAGLOIRE .......................................................................................................61
par Jean LEGOIX ...............................................................................................................79
Quelques exemples de recherches en SPI, et plus précisément en mécanique
par Éric SAVATTERO ..........................................................................................................93
PARUS OÙ À PARAÎTRE ..................................................................................................110
BONS DE COMMANDE .....................................................................................................113
Les responsables nationaux.........................................................................................I à IV
Le Bup ................................................................................................................................V
Les tarifs des cotisations et abonnements ..............................................................VI à VII
Les bureaux académiques ...................................................................................VIII à XIV
Ce numéro spécial a été coordonné par André GILLES
Rédacteur en chef du bulletin « Le Bup »
C
HIMIE
CHIMIE
7
par Alexandre CHEMIN
Professeur agrégé en mathématiques spéciales option PC
Prytanée National Militaire - 72200 La Flèche
et Isabelle CHEMIN
Professeur agrégée
Lycée Paul Louis Courier - 37000 Tours
[email protected]
RÉSUMÉ
Une synthèse de Wittig, ne faisant intervenir que des réactifs relativement courants,
conduisant au styrène avec un bon rendement et pouvant être réalisée par des élèves lors
d’une séance de travaux pratiques de quatre heures est proposée et analysée.
La réaction de Wittig est particulièrement importante en chimie organique et très
appliquée dans les synthèses multi-étapes réalisées au laboratoire. Elle permet, par
l’intermédiaire d’un ylure de phosphore, de créer une nouvelle liaison carbone-carbone,
tout en transformant une double liaison C=O en une double liaison C=C selon le schéma
ci-dessous :
R3
R1
O
R1
R3
R2
R4
Ph3P
+
R1
R4
R2
R3
+
R2
R4
Ph3P
+
O
(ylure de phosphore)
L’ylure de phosphore étant une espèce relativement instable, on le prépare in situ à
partir d’un sel de phosphonium et d’une base suffisamment forte pour pouvoir arracher un
hydrogène situé sur un carbone en α du phosphore :
R3
B
+
X , Ph3P
( base )
R3
H
R4
Ph3P
R3
Ph3P
R4
+
BH
+
X
R4
(sel de phosphonium)
Cela fait en général intervenir des bases très fortes telles que le diisopropylamidure de
lithium (LDA) ou le butyllithium (BuLi) nécessitant des conditions opératoires assez
délicates (en particulier une atmosphère inerte) qu’il n’est en général pas possible de
mettre en place dans les lycées. De plus, étant très réactives, ces bases sont à manipuler
avec le plus grand soin, ce qui n’est malheureusement pas toujours le cas des élèves de
lycée.
Nous avons donc cherché à mettre en place un mode opératoire illustrant la réaction
de Wittig et pouvant être utilisé lors d’une séance de travaux pratiques de quatre heures
Vol. 97 - Novembre 2003
Alexandre CHEMIN et Isabelle CHEMIN
8
dans une classe de mathématiques spéciales option PC, dont la réaction de Wittig figure
actuellement au programme.
1. CHOIX DE LA SYNTHÈSE
Pour pouvoir s’affranchir de l’emploi des bases fortes citées précédemment, il fallait
faire intervenir un sel de phosphonium possédant un hydrogène en α relativement plus
acide que les sels de phosphonium habituels. Nous avons donc choisi un sel du type ArCH2-P+Ph3, X- (où Ar représente un groupement aryle) dont l’atome d’hydrogène en α du
phosphore est suffisamment acide pour pouvoir être arraché par de la soude concentrée.
Bien qu’une réaction de Wittig avec un tel composé ait déjà été décrite [1-2], cette
synthèse présente l’inconvénient de partir du bromure de para-carboxybenzyle qui est un
réactif particulièrement coûteux. La synthèse de ce réactif est également possible [3-4],
mais cela augmente alors considérablement le temps de manipulation.
Nous avons donc adapté un mode opératoire [5] permettant d’obtenir du styrène à
partir du bromure de benzylphosphonium et de formaldéhyde lors d’un TP de quatre
heures.
Le sel de phosphonium est préparé au préalable à partir de bromure de benzyle et de
triphénylphosphine selon le mode opératoire suivant :
« Dans un ballon de 250 mL équipé d’un réfrigérant, on introduit 25,0 g de bromure de
benzyle (0,146 mol), 39,3 g de triphénylphosphine (0,150 mol) et 150 mL d’acétone.
Le mélange est porté au reflux pendant deux heures tout en agitant. Après avoir
refroidi le mélange à température ambiante, le précipité blanc formé est essoré sur
verre fritté et lavé avec de l’acétone. Après séchage, on récupère 61,1 g de bromure
de benzylphosphonium sous forme de poudre ».
Si l’on souhaite intégrer cette synthèse dans le TP global (il faut alors prévoir une
séance de TP d’au moins 6h30), il faut tenir compte du fait que le bromure de benzyle est
lacrymogène et prévoir impérativement une hotte aspirante pour chaque poste de travail.
Le sel de phosphonium est obtenu avec un très bon rendement (96 %) et peut se
conserver pendant plusieurs mois (voire plusieurs années) dans un flacon bouché.
2. ÉNONCÉ
Nous proposons ici un énoncé de TP conduisant au styrène brut qui pourra être purifié
ultérieurement. Certaines questions peuvent être omises si l’on souhaite tester la curiosité
scientifique et la capacité d’analyse des élèves…
ÉNONCÉ
Quel ylure faut-il utiliser pour préparer du styrène à partir du méthanal par une réaction de
Wittig ?
Analyse d’un mode opératoire
« Dans un ballon de 250 mL équipé d’un réfrigérant, on introduit 25 g de bromure de
benzyle, 39,3 g de triphénylphosphine et 150 mL d’acétone. Le mélange est porté au
reflux pendant deux heures tout en agitant. Après avoir refroidi le mélange à température
Le Bup no 858 (2) - Cahier enseignement supérieur
9
ambiante, le précipité blanc formé est filtré sur verre fritté et lavé avec de l’acétone. Après
séchage, on récupère 61,1 g de solide blanc sous forme de poudre ».
Quel est le solide blanc formé ?
À quoi sert le lavage du précipité ?
Quel est l’intérêt de l’acétone ?
Calculer le rendement de la synthèse.
Préparation du styrène
Préparer 20 mL d’une solution de soude concentrée ( : réaction exothermique,
risque de projection de soude => à manipuler avec gants et lunettes de protection). Pour
cela, dissoudre petit à petit, 10 g de NaOH dans 20 mL d’eau contenue dans un bécher
refroidi avec un bain d’eau glacée.
Quel est le rôle de la soude ? Pourquoi doit-elle être concentrée ?
Introduire dans un tricol de 250 mL équipé d’un réfrigérant à eau, d’une ampoule de
coulée, et d’un thermomètre, 9,5 g de bromure de benzylphosphonium et 50 mL de
formaldéhyde aqueux à 37 % (également appelé formol) ( : réactif toxique à manipuler
autant que possible sous la hotte).
Ajouter alors goutte à goutte, sous agitation, la solution de soude concentrée, de
façon à ce que la solution ne dépasse pas 40 °C.
Pourquoi faut-il ajouter la soude goutte à goutte ?
Pourquoi la température ne doit-elle pas dépasser 40 °C ?
Lorsque la réaction n’évolue plus (environ 45 minutes), refroidir le réacteur et ajouter
25 mL d’éther de pétrole au mélange. Celui-ci est filtré et le précipité formé d’oxyde de
triphénylphosphine est lavé à l’eau puis à l’éther de pétrole.
Pourquoi faut-il refroidir avant d’ajouter de l’éther de pétrole ? Quel est le rôle de l’éther de
pétrole ? du lavage ?
Le mélange étant assez visqueux, la filtration peut s’avérer difficile. Si c’est le cas,
diluer modérément la solution avec un peu d’eau.
Séparer les deux phases. Extraire la phase aqueuse à l’éther de pétrole (2 × 25 mL).
Filtrer à nouveau si l’ajout d’éther de pétrole provoque l’apparition d’un précipité. Toutes
les phases organiques sont réunies, lavées à neutralité avec une solution d’acide
chlorhydrique à 0,1 mol.L − 1 , séchées sur MgSO 4 et le solvant évaporé à l’évaporateur
rotatif.
Quel est le rôle de l’extraction ? du lavage à neutralité ? du séchage sur MgSO4 ?
Proposer une méthode de purification ainsi qu’une méthode de caractérisation du styrène
ainsi obtenu.
Calculer le rendement de la réaction.
10
3. RÉPONSES AUX QUESTIONS POSÉES
♦ L’ylure intervenant dans la synthèse est PhCH= PPh 3 .
♦ Le solide blanc obtenu est le bromure de benzylphosphonium.
♦ Le lavage du solide permet d’éliminer les réactifs qui pourraient ne pas avoir réagi.
♦ L’acétone est un bon solvant des réactifs (favorise le contact entre eux) et un mauvais
solvant du produit obtenu ce qui déplace l’équilibre vers la formation du sel de
phosphonium. De plus, sa température d’ébullition est relativement basse ce qui
permet de travailler au reflux.
Masse
(g)
Masse molaire
(g.mol-1)
Quantité
de matière
(mol)
Équivalents
PPh 3
39,3
262,29
0,150
1,02
PhCH 2Br
25,0
171,04
0,146
1
PhCH 2P + Ph 3 , Br
61,1
433,33
0,141
Composé
♦ On trouve un rendement de 96 %.
Composé
Masse
(g)
Masse molaire
(g.mol-1)
Quantité
de matière
(mmol)
Équivalents
PhCH 2P + Ph 3 , Br
9,5
433,33
21,9
1
NaOH
10
40,00
250
11,4
H2 C = O
18,5
30,03
616
28,1
PhCh = CH 2
1,6
104,15
15,3
♦ La soude sert ici de base permettant de former l’ylure à partir du sel de phosphonium.
Son intérêt est qu’il s’agit d’une base courante très bon marché, facilement
manipulable et en solution dans l’eau (même solvant que le formaldéhyde aqueux).
L’inconvénient vient du fait que c’est une base qui est juste assez forte pour pouvoir
réaliser cette réaction : il faut donc l’utiliser concentrée (≈ 12,5 mol.L-1) et en large
excès pour favoriser autant que possible la formation de l’ylure.
♦ La réaction acide-base étant exothermique, l’ajout de soude doit se faire goutte à
goutte pour ne pas que la solution s’échauffe trop. En effet, pour des températures
supérieures à 60 °C, on favorise la réaction de polymérisation du styrène (vraisemblablement par voie radicalaire ici).
Remarque : L’évolution de la réaction peut être suivie par chromatographie sur couche
mince (plaque de silice, éluant acétone, révélateur UV). Le sel de phosphonium est plus
polaire que l’oxyde de triphénylphosphine : on voit donc apparaître le styrène et Ph3P = O
11
tandis que le sel de phosphonium disparaît progressivement. Le formaldéhyde quant à lui
n’est pas révélé.
♦ L’éther de pétrole (solvant apolaire) est un mauvais solvant de Ph3P=O, ce qui permet
de faire précipiter ce composé avant l’extraction. Cette précipitation est favorisée à
basse température. La précipitation n’est pas toujours totale et il se peut que l’ajout
d’éther de pétrole lors de l’extraction fasse apparaître à nouveau le précipité, auquel
cas, il est nécessaire d’effectuer une nouvelle filtration.
♦ Le lavage de l’oxyde de triphénylphosphine permet de récupérer les éventuels réactifs
et produits emprisonnés dans le solide lors de la précipitation.
♦ L’extraction permet de récupérer le styrène qui est partiellement passé dans la phase
aqueuse. Le lavage à neutralité élimine tous les ions présents dans la phase organique
(en particulier la soude qui était en excès) ainsi que le formaldéhyde en excès. Le
séchage élimine les dernières traces d’eau contenues dans la phase organique.
♦ Le styrène ainsi obtenu peut être purifié par distillation (mais le chauffage risque de
favoriser la polymérisation) ou par chromatographie sur colonne (éluant éther de
pétrole) ce qui est préférable mais plus fastidieux.
♦ Le styrène peut être caractérisé par IR, son indice de réfraction, ou mieux par RMN.
♦ Les élèves obtiennent en général une masse de styrène de l’ordre de 1,6 g ce qui
correspond à un rendement d’environ 70 %.
BIBLIOGRAPHIE
[1] BROOS R., TAVERNIER D. et ANTEUNIS M. J.Chem.Educ.,1978, 55, p. 813.
[2] BLANCHARD-DESCE M., FOSSET B., GUYOT P., JULLIEN L. et PALACIN S. Hermann (Ed),
1987, p. 369-373.
[3] TULEEN D.L. et HESS B.A. J.Chem.Educ., 1971, 48, p. 476.
[4] BLANCHARD-DESCE M., FOSSET B., GUYOT P., JULLIEN L. et PALACIN S. Hermann (Ed),
1987, p. 163.
[5] CAMBELL T.D. et Mc DONALD R. J.Org.Chem., 1959, 24, p. 1296.
Alexandre CHEMIN
Professeur agrégé en CPGE
Prytanée Militaire
La Flèche (Sarthe)
Isabelle CHEMIN
Professeur agrégée
Lycée Paul-Louis Courier
Tours (Indre-et-Loire)
12
Annexe 1
Matériel nécessaire
Produits
Composés
Formaldéhyde aqueux à 37 %
Matériel
par
binôme
50 mL
NaOH solide
10 g
-1
HCl 0,1 mol.L
50 mL
Unité
par
binôme
Tricol 250 mL + barreau aimanté
1
Réfrigérant à eau
1
Agitateur magnétique chauffant
1
1
Éther de pétrole
Ampoule à brome isobare
+
Bouchon en verre
MgSO4 anhydre
Erlenmeyer de 250 mL
1
Éprouvette de 50 mL
1
Bromure de benzylphosphonium
(PhCH2P+Ph3, Br-)
10 g
2
Bécher 100 mL
1
Spatule
1
Petit cristallisoir
Fiole à vide
+
Verre fritté
Entonnoir
+
Papier filtre
Ampoule à décanter
+
Bouchon en verre
Rouleau de papier pH
Ballon 250 mL pour évaporateur
rotatif
Cuve chromatographie
+
plaque silice
+
capillaires
Thermomètre
1
1
Coupelle de pesée
1
Évaporateur rotatif
1
1
1
1
1
1
1
Lampe UV
13
Annexe 2
Spectre IR du produit obtenu
15
Utilisation atomique, facteur E
Application à la réaction d’allylation du phénol
Solution catalytique
par Catherine C. SANTINI*, Émile KUNTZ et Abderramane AMGOUME
Laboratoire de chimie organométallique de surface
ESCPE Lyon - 69626 Villeurbanne Cedex
[email protected]
RÉSUMÉ
L’efficacité d’un procédé sera dorénavant mesuré par son facteur E, défini comme le
rapport massique déchets / produits recherchés, et par l’utilisation atomique, calculée en
divisant la masse molaire du produit recherché par la somme des masses de toutes les
substances produites. Dans la plupart des cas, une solution est de remplacer une réaction
stoechiométrique par une réaction catalytique. Ainsi, dans le cas de la réaction d’allydation
du phénol (intermédiaire de synthèse) la réaction stoechiométrique en présence d’une
base donne une valeur du facteur E = 43 % (avec formation du sous-produit NaCl) alors
que pour la réaction catalysée par du palladium E < 1 %.
L’efficacité d’un procédé ne tiendra plus seulement compte du seul rendement
chimique, mais également de l’élimination à la source des déchets et d’éviter l’utilisation
de substances toxiques ou dangereuse. Deux mesures valables de cette acceptabilité
d’un nouveau procédé chimique sont le facteur E, défini comme le rapport massique
déchet/produit recherché, et l’utilisation atomique, calculée en divisant la masse molaire
du produit recherché par la somme des masses de toutes les substances produites selon
l’équation stœchiométrique [1]. Une solution est de remplacer la réaction stœchiométrique
par une réaction catalytique : ainsi, dans le cas de la réaction d’oxydation décrite cidessous, la réaction stœchiométrique d’oxydation avec l’oxyde de chrome donne une
valeur d’utilisation atomique de 48 % alors que la réaction d’oxydation catalytique par
l’oxygène est de 87 %. Remarquons que ces calculs sont faits en supposant que le
rendement est de 100 %.
3 PhCH(OH) CH3 + 2 CrO 3 + 3 H2 SO 4 → 3 PhCO CH3 + Cr2 (SO 4 ) 3 + 6 H2 O
E = 500/360 et utilisation atomique = 360/860 = 42 %
catalyseur
→
PhCH(OH) CH3 + ½ O 2
PhCO CH3 + H2 O
E = 18/ 120 et utilisation atomique = 120/138 = 87 %
L’objectif de ce TP est de comparer l’accès à un même produit par une voie
stœchiométrique et une voie catalytique.
1. ALLYLATION DU PHÉNOL PAR LE CHLORURE D’ALLYLE : RÉACTION
DE WILLIAMSON (SUBSTITUTION NUCLÉOPHILE)
La réaction connue sous le nom de synthèse de Williamson (Alexander W. WILLIAMSON
(1824-1904), chimiste anglais) est la réaction de substitution nucléophile de l'halogène
Catherine C. SANTINI...
16
d'un halogénoalcane R-X par un anion phénolate ArO-, principale voie d'obtention des
éther-oxydes.
Équation-bilan
R1O − + R − X
→ R1 − O − R 2 + X −
Cette réaction est une substitution nucléophile. Elle est réalisée dans les conditions
favorisant le mécanisme d'ordre 2.
Cl
ArO-
Nuc
Ar O
Groupe
partant
Il faut limiter la solvatation de l'attaquant nucléophile R1O − pour ne pas affaiblir ses
propriétés nucléophiles d'où l'utilisation d'un solvant polaire :
− température ambiante (pour limiter les réactions secondaires) ;
− encombrement minimal : la réaction ne se fait qu'avec des réactifs primaires (halogène
en bout de chaîne).
Les ions phénolates peuvent être alkylés soit au niveau de l’atome d’oxygène pour
conduire aux éthers, soit au niveau des atomes de carbone en position ortho et para
(C-alkylation). L'alkylation du phénolate sur l'oxygène (O-alkylation) conduit au prop-2ényloxybenzène (oxyde d'allyle et de phényle).
Le produit correspondant à la réaction sur la position ortho est le 2-(prop-2-ényl)-phénol
(orthoallylphénol).
Les pourcentages des produits précédents dépendent des conditions expérimentales :
température, nature du solvant, du contre-ion.
Lorsque la réaction est conduite dans les conditions d'un contrôle cinétique
(température basse, durée courte) le produit de O-alkylation est majoritaire. Sous contrôle
thermodynamique (température plus haute, équilibre entre les composés) c'est le produit
de C-alkylation qui prédomine. Le produit de O-alkylation se forme plus rapidement que
celui de C-alkylation car dans le second cas l'état de transition perd son caractère
aromatique.
Utilisation atomique, facteur E : application...
17
1.1. Transposition de Claisen du prop-2-ényloxybenzène
Lorsqu'on chauffe à 200 °C le prop-2-ényloxybenzène (oxyde d'allyle et de phényle),
on obtient le 2-(prop-2-ényl)-phénol (orthoallylphénol). La réaction constitue un exemple
d'une réaction très générale qui affecte les éthers de vinyle et d'allyle : la transposition de
Claisen mise en évidence par Ludwig CLAISEN (1851-1930).
Il s'agit d'un exemple de sigmatropie [3, 3']. Le mécanisme fait intervenir un état de
transition cyclique. La force motrice d'une transposition de Claisen ordinaire est la
formation d'un groupe carbonyle qui possède une grande énergie de liaison. Ici, la
diénone n'est qu'un intermédiaire qui se tautomérise en phénol beaucoup plus stable du
fait de son caractère aromatique.
1.2. Procédure expérimentale
OH
O
Cl
NaOH, EtOH
+
+ NaCl
Dans un ballon sont introduits successivement :
− 4,2 g d’une solution1 de phénol dans l’éthanol, 30 % en poids, soit 1,26 g (0,013 mol)
de phénol ;
− 1,3 mL d’une solution de soude 10 mol. L− 1 ;
− 1,14 mL (0,014 mol) de chlorure d’allyle.
Le ballon est alors surmonté d’un réfrigérant à air. Le milieu réactionnel est chauffé à
50 °C pendant une heure sous agitation. Après refroidissement à la température ambiante,
0,1 mL du milieu réactionnel est prélevé est mis dans un pilulier contenant 0,4 ml d’acide
chlorhydrique 4 mol. L− 1 . Après agitation 0,4 mL d’éther éthylique est ajouté et la phase
organique est analysée par chromatographie phase gaz, annexe 1. Calcul des valeurs E
et utilisation atomique en tenant compte du rendement.
1
La solution initiale a été préparée à partir de 15 g (0,16 mol) de phénol (99 %) et de 35,5 g (45,5 mL)
d’éthanol absolu.
18
2. ALLYLATION CATALYTIQUE DU PHÉNOL PAR L’ALCOOL ALLYLIQUE [2]
Le palladium catalyse de nombreuses réactions d’addition de composés allyliques
substitués par un d’atome halogène, ou par une fonction carbonate ou ester, avec des
nucléophiles qui peuvent être des dérivés phénoliques. En revanche, l’alcool allylique est
rarement utilisé comme produit de départ. Or tant du point de vue économique
qu’environnemental cette matière première est intéressante. Dans ce TP, nous allons
étudier la réaction de l’alcool allylique avec le phénol en présence d’un système
catalytique constitué d’un sel de palladium(II) et d’isopropoxytitane(IV).
2.1. Mécanisme
Dans un premier temps, le sel de palladium(II), précurseur catalytique, est réduit in situ
en palladium(0) à l’aide de la phosphine. Des traces d’eau présentes dans les produits
bruts, permettent cette réaction sans nuire à la catalyse.
Pd(OAc ) 2 + 4 PPh 3 + H2 O → Pd(PPh 3 ) 3 + OPPh 3 + 2AcOH étape 1)
De cette façon est préparé in situ le catalyseur au palladium(0) : Pd(PPh 3 )n (n = 3 à 4),
étape 1). La formation des produits obtenus au cours de cette réaction laisse supposer
l’existence d’un intermédiaire π-allyl-palladium2 obtenu par addition oxydante*3 de l’alcool
allylique par le complexe Pd(0), étape 2). Puis, après la réaction d’échange de ligand –OX
par –OPh, étape 3). Il y a formation du produit attendu par élimination réductrice*4 et
régénération de l’entité catalytique Pd(0), étape 4). Et le cycle catalytique recommence.
2
Le ligand allyle est lié da façon π, c’est-à-dire trihapto, il apporte trois électrons au métal en tant que ligand LX.
M
M
3
L’addition oxydante* d’un substrat A-B par un complexe MLn consiste pour le métal à couper la liaison entre A et B
pour former deux liaisons M-A et M-B, A et B devenant des ligand X pour le métal. Donc, le degré d’oxydation du
métal augmente de +2 [3].
4
La réaction inverse, l’élimination réductrice*, consiste à produire une molécule A-B à partir de deux ligands X du
métal que sont A et B dans le complexe M(A)(B). Dans cette réaction, le degré d’oxydation du métal diminue de 2 [3].
19
Précurseur Catalytique
Pd(OAc)2 + 4 PPh3
1) formation de
l' Entité Catalytique
OPh
Pd0(PPh3)n
X
4) Elimination
Réductrice
L
X = OH ou
OTi(OR)3
2) Addition
Oxydante
Pd(II)
OPh
Ph3P
Pd(II)
X X = OH ou
OTi(OR)3
PhOH
H2O ou
HOTi'OR)3
3) Réaction
d'Echange
2.2. Procédure expérimentale
OH
O
OH
+
Pd(OAc)2, PPh3
Ti(OiPr)4
+ H2O ou
HOTi(OiPr)3
Dans un tube de Schlenk, muni d’un bouchon à jupe rabattable, préalablement
dégazé, sont introduits, sous atmosphère d’argon ou azote, par l’intermédiaire d’une
seringue, 2 mL d’un mélange alcool allylique : phénol (4 : 1). Soit, phénol n = 5 10 − 3 mol
et alcool allylique n = 2 10 − 2 mol.
Puis sous courant d’argon, sont successivement ajoutés au milieu réactionnel :
− 0,052 g (2 10 − 4 mol) de triphénylphosphine (TPP) ;
− après dissolution de la TPP, on ajoute 0,011 g (5 10 − 5 mol) d’acétate de palladium ;
− puis, à l’aide d’une seringue, 0,15 mL (5 10 − 4 mol) de titanate d’isopropryle Ti(OiPr)4.
Le bouchon à jupe rabattable est remplacé par un bouchon de verre et le robinet en
contact avec la ligne d’argon ou azote est fermé. Le milieu réactionnel est alors chauffé à
90 °C, sous agitation, pendant une heure. Après refroidissement à la température ambiante et remise en contact avec l’argon ou azote, un aliquote de 1 mL du milieu réactionnel est prélevé, à l’aide d’une seringue, sous argon ou azote pour analyse par chro-
20
matographie phase gaz. Le TP est limité à un cycle. E < 1 % est atteint après plusieurs
recyclages du système catalytique (élimination des produits de réaction par distillation
sous pression réduite).
Objectifs de ce TP
♦ Technique de travail en atmosphère inerte (argon ou azote) :
− rampe vide-argon ;
− manipulation sous courant d’argon ;
− prélèvement et addition sous argon (seringue, canule).
♦ Réaction catalytique :
− pas de solvant ;
− pas de sous produit ;
− calcul des valeurs E et d’utilisation atomique ;
− écrire un cycle catalytique.
BIBLIOGRAPHIE
[1] R.A. SHELDON. C.R. Acad Sci. Paris, Série IIc, Chim. 2000, 3, p. 541-551.
[2] T. SATOH, M. IKEDA, M. MIURA, M. NOMURA, J. Org. Chem., 1997, 62, p. 4877-4879.
[3] D. ASTRUC, Chimie Organométallique, EDP Sciences, Paris, 2000.
Catherine C. SANTINI
Directeur de recherche au CNRS
Laboratoire de chimie organométallique de surface - ESCPE Lyon
Villeurbanne (Rhône)
Émile KUNTZ
Ingénieur chimiste
Abderramane AMGOUME
Étudiant en thèse
Université de Rennes 1
21
Annexe 1
Chromatographie phase gazeuse
Colonne HP5
Composition : 5 % diphényl et 95 % diméthylpolysiloxane - colonne non polaire
Température d’utilisation : 300-325 °C - Tinjecteur = Tdétecteur = 300 °C
Colonne remplie silcone OV-275 dicyanoalllylsilicane - colonne polaire
Température d’utilisation 100 à 180 °C,10° C / mn - Tinjecteur = Tdétecteur = 200 °C
Détermination des temps de rétention
Produit
tR (min), colonne HP5
tR (min), colonne OV-275
Phénol
6,3
7,5
Allylphénylether
9
3,8
Annexe 2
Sécurité
Produits
Chlorure
d'allyle
alcool
allylique
VME
1ppm
3mg/m3
PPh 3
Pd(OAc ) 2
Discussion des dangers
Prévention
− extrêmement inflammable ;
− très toxique par inhalation ;
− peut être absorbé par la
porter des vêtements de
peau ;
protection et gants appropriés,
− irritant pour les yeux, les
lunettes de
voies respiratoires et la
sécurité
peau ;
− provoquant de graves
brûlures ;
− cancérigène.
− peu toxique.
− extrêmement hydrolysable
et inflammable ;
Ti(Oi Pr) 4
− nocif par inhalation, contact
avec la peau et ingestion ;
− provoque de graves
brûlures.
22
Annexe 3
Constantes physico-chimiques
Produits M. g/mol P.F °C
chlorure
d'allyle
76,53
-135
P. Eb°C Densité
44-46
alcool
allylique
58,08
-129
96-98
TPP
262,29
79-81
377
Pd(OAc ) 2
224,49
Ti(Oi Pr) 4
284,26
0,939
0,854
ndT
Solubilités
Prix (¼
1,4135
peu soluble
dans l'eau
15,5/1L
1,412
très soluble
dans l'eau
24/1L
13,80/100g
60/1g
18-20
232
0,963
1,464
15/5mL
23
Le mouvement de rotation à l’échelle moléculaire :
Synthèse de moteurs moléculaires
par Alexandre CARELLA
[email protected]
Gwénaël RAPENNE
[email protected]
et Jean-Pierre LAUNAY
[email protected]
Groupe NanoSciences
CEMES UPR 8011 CNRS - 31055 Toulouse Cedex 4
RÉSUMÉ
Le mouvement de rotation à l’échelle moléculaire est de première importance, en particulier le contrôle du sens de rotation qui intervient dans l’élaboration de moteurs moléculaires. Dans la première partie, les exemples les plus représentatifs de cette nouvelle
classe de molécules sont présentés, leur mode de fonctionnement et leur source d’énergie
détaillés. Dans une seconde partie, nous présenterons des molécules imaginées pour
réellement travailler à l’échelle d’une seule molécule.
1. INTRODUCTION
Dans l’objectif constant de miniaturisation, la conception de machines et de moteurs à
l’échelle moléculaire est en pleine expansion. Une machine moléculaire est un système
multicomposant dans lequel un signal provoque le mouvement de l’un des composants.
Ce signal peut être électronique, lumineux, ou contrôlé par le pH. Ce mouvement doit être
réversible, et d’une amplitude suffisamment grande pour qu’il soit mesurable et exploitable. On distingue deux familles de machines, les machines qui travaillent de manière
linéaire (par exemple les muscles) ou rotative. Dans le domaine des nanosciences, un des
défis est la conception et la construction d’un moteur moléculaire de taille nanométrique
[1]. Les chimistes, inspirés par les machines moléculaires naturelles que sont par exemple
les enzymes, élaborent des composants ayant des fonctionnalités de plus en plus complexes et variées. Cet article se limitera aux moteurs moléculaires rotatifs. Ce sont des
machines qui, de manière continue, transforment une énergie en produisant un travail via
un mouvement de rotation unidirectionnel contrôlé. L’ATP synthase est l’exemple type
d’une formidable machine biologique dans laquelle se produit un mouvement contrôlé de
rotation [2].
2. L’ATP SYNTHASE : UN MOTEUR ROTATIF BIOLOGIQUE
Chaque homme consomme en moyenne 40 kg d’ATP (Adénosine tri phosphate) par
jour. L’ATP est converti en ADP en libérant un phosphate et de l’énergie, puis le stock
d’ATP est reconstitué par le mécanisme inverse. Le siège de ces réactions est une
enzyme : l’ATP synthase. Elle transforme en énergie chimique, par le biais de la synthèse
d’ATP, l’énergie électrique due à une différence de concentration en protons (ions H+ ) de
part et d’autre d’une membrane.
Alexandre CARELLA...
24
Figure 1 : Schéma de l’ATP synthase incorporée dans une membrane.
Comme le montre la figure 1, l’ATP synthase est constituée de deux parties : la première, nommée F0 , est incorporée dans la membrane des cellules ; la seconde, nommée
F1 , est à l’extérieur. F0 est composée d’une partie mobile, le rotor (c), constitué de dix à
douze sous-unités protéiques, et d’un stator (b). Près de ce dernier, lorsqu’un proton se
fixe sur l’une des sous-unités c chargées négativement, celle-ci devient neutre et se déplace pour rejoindre un environnement avec lequel elle a plus d’affinité, celui de la membrane, vers laquelle elle se tourne en entraînant l’ensemble. Le rotor, une sorte de turbine à
protons, se prolonge dans F1 par un arbre (γ) dont les mouvements au sein de F1 activent
tour à tour les trois sous-unités (αβ) qui synthétisent l’ATP.
Il est extraordinaire de constater que ce dispositif tourne dans un sens pour produire
de l’ATP et que la turbine tourne dans l’autre sens afin de produire de l’énergie en consommant l’ATP présent lorsque c’est nécessaire. Inspirés par les performances de cette
molécule naturelle, nous allons maintenant voir les premières machines moléculaires
artificielles synthétisées.
3. MOTEURS MOLÉCULAIRES EN SOLUTION
3.1. Une roue à cliquet moléculaire : un moteur à énergie chimique
T. ROSS KELLY et son équipe (Boston College, États-Unis) se sont intéressés à la
synthèse d’un moteur moléculaire rotatif basé sur le modèle macroscopique de la roue à
cliquet [3].
Le moteur est constitué d’une partie triptycène et d’une partie hélicène reliées entre
elles par une liaison simple carbone-carbone. Le triptycène est une molécule aromatique
qui a la forme d’une roue à trois dents, le squelette bicyclooctane de la partie centrale du
triptycène lui conférant une grande rigidité, ce fragment joue le rôle de rotor. L’hélicène est
une molécule polyaromatique de forme hélicoïdale, elle est donc chirale [4]. L’hélice pouvant tourner dans le sens des aiguilles d’une montre (hélice droite ou P) ou dans le sens
inverse (hélice gauche ou M), cette partie joue le rôle de cliquet afin d’orienter la rotation
du rotor. KELLY a utilisé un hélicène optiquement pur (énantiomère droit) afin de tenter de
contrôler le sens de la rotation du fragment triptycène.
Le mouvement de rotation à l’échelle moléculaire...
25
Figure 2 : Le moteur moléculaire développé par KELLY, les deux eniantomères du [4]hélicène,
et une roue à cliquet (a) roue dentée à profil dissymétrique; (b) cliquet.
Dans une roue à cliquet, le cliquet impose un sens de rotation (cf. figure 2). Lorsque
l’on agite un système contenant une roue à cliquet, les forces d’inertie créées par les
changements de direction tendent à faire tourner la roue. Cette rotation n’est possible que
si la force tend à faire tourner la roue dans le sens autorisé par le cliquet, et la roue peut
alors avancer d’un cran. Ainsi, avant l’ère du quartz, il existait déjà des montres mécaniques « automatiques », qui se remontent toutes seules sous l’action des mouvements
désordonnés du poignet. Peut-on transposer ce dispositif à l’échelle microscopique, en
considérant l’agitation thermique comme une énergie et la rotation unidirectionnelle
comme un travail ? La réponse est NON : un système qui transformerait une énergie d’agitation thermique (sans source froide) en un mouvement de rotation unidirectionnel violerait
le second principe de la thermodynamique. Le raisonnement macroscopique n’est donc
plus valable à cette échelle, comme l’a montré FEYNMAN, dans une analyse restée célèbre
du fonctionnement de la roue à cliquet soumise à un mouvement brownien [5].
Ainsi, lors d’études préliminaires, KELLY a synthétisé une roue à cliquet composée seulement d’un triptycène relié à un hélicène, et comme on pouvait s’y attendre la roue dentée
(triptycène) tourne avec autant de probabilité dans un sens ou dans l’autre. Le cliquet ne
joue donc pas son rôle.
Afin de contrôler le sens de la rotation, KELLY a dû modifier la molécule. Il a synthétisé
la molécule 1 (cf. figure 3) qui possède un motif triptycène ayant une fonction amine laté-rale connecté à un hélicène substitué par une fonction alcool primaire.
La séquence de réaction associée à une rotation d’un tiers de tour est présentée figure
3. Le phosgène permet de transformer la fonction amine du composé 1 en isocyanate 2.
Dans sa conformation de plus basse énergie, la fonction isocyanate située sur le
triptycène est trop loin de la fonction hydroxyle portée par l’hélicène pour réagir de
manière intramoléculaire. Par contre, si le triptycène tourne de 60° par rapport à la liaison
triptycène - hélicène (conformation 3), la fonction hydroxyle est maintenant assez proche
de l’isocyanate pour réagir et former l’uréthane 4, bloquant la molécule dans cette conformation énergétiquement défavorisée. Si on donne à la molécule une énergie supérieure à
l’énergie d’activation de la rotation triptycène / hélicène, 4 peut tourner d’un cran et ainsi
se retrouver de nouveau dans une conformation basse en énergie 5. Le clivage de la
fonction uréthane conduit à la formation de 6, un atropo-isomère de 1, obtenu après une
rotation de 120°.
26
O
Cl
NH2
Cl
N
C
O
Rotation
Et3N
O
N
O
(CH2)3OH
1
(CH2)3OH
2
H2O
H2N
Coupure de
l'uréthane
O
C
O
(CH2)3OH
O
3
Formation de
l'uréthane
Rotation
H
N
O
NH
O
O
(H2C)3 O
O
(CH2)3OH
6
5
O
4
Figure 3 : Séquence réactionnelle de la rotation.
L’équipe de KELLY a ainsi créé un prototype de moteur moléculaire rotatif synthétique.
Comme dans le cas de l’ATP-synthase, on transforme de l’énergie chimique en un mouvement de rotation unidirectionnel, le phosgène jouant le rôle de carburant (comme l’ATP).
On peut toutefois regretter que le mouvement généré ne soit pas un mouvement continu,
chaque tour ayant besoin de neuf étapes de réaction (!).
3.2. Un moteur à énergie lumineuse
Parallèlement aux travaux de KELLY, FERINGA et ses collaborateurs (Université de
Groningue, Pays-Bas) ont développé un moteur dont la rotation est déclenchée par la
lumière. Là encore, la chiralité est au centre de la directionnalité donnée au mouvement
[6].
La molécule est une oléfine symétrique qu’on nommera simplement diméthylphénanthrylidène (DMPH), les fragments phénanthryle ont une hélicité (P ou M) qui peut être
inversée par interconversion chaise / chaise (cf. figure 4). La rotation de 360° a lieu en
quatre étapes distinctes : deux isomérisations E-Z photochimiques et deux interconversions thermiques (cf. figure 5).
> 280 nm
> 380 nm
-55°C
(P,P)-E-DMPH
(M,M)-Z-DMPH
60 °C
20 °C
> 380 nm
> 280 nm
(M,M)-E-DMPH
(P,P)-Z-DMPH
Figure 4 : Cycle à quatre temps du moteur de FERINGA.
27
L’irradiation à – 55 °C, à 280 nm de l’isomère trans éniantomériquement pur (P, P)-EDMPH conduit à la formation de (M, M)-Z-DMPH qui s’interconvertit de manière sélective
et irréversible en (P, P)-Z-DMPH après retour à température ambiante. En effet, dans le
plus stable des isomères (P, P), les substituants méthyle adoptent une conformation axiale
ce qui réduit la gène stérique avec les groupements phénanthryle. Des calculs ont montré
que (M, M)-Z-DMPH et (M, M)-E-DMPH, avec les groupements méthyle en équatorial,
étaient moins stables, respectivement de 46 et 36 kJ. mol− 1 . L’interconversion thermique
de (M, M)-Z-DMPH en (P, P)-Z-DMPH permet de relâcher la contrainte stérique en permettant aux méthyle d’adopter à nouveau une conformation axiale. L’irradiation de (P, P)Z-DMPH à 20 °C produit le (M,M)-Z-DMPH qui s’isomérise par interconversion chaise /
chaise en (P,P)-E-DMPH sous un chauffage à 60 °C pour minimiser les interactions
stériques. Les différents isomères peuvent être isolés mais une irradiation à une température plus élevée (60 °C) peut conduire à une rotation unidirectionnelle et continue d’un des
motifs phénanthryle par rapport à l’autre (cf. figure 4).
3.3. Moteurs basés sur une structure caténée
3.3.1. Avec une source d’énergie électrochimique
Le principe de la multistabilité d’un anneau dans un caténane a été démontré par
SAUVAGE et ses collaborateurs (Université de Strasbourg) en 1994 [7]. La molécule est un
[2]-caténane, c’est-à-dire une molécule formée de deux anneaux entrelacés ; le premier
contient un ligand phénantroline (ligand bidenté) et le second comporte deux ligands : une
phénanthroline et une terpyridine (ligand terdenté). Entre ces deux anneaux se trouve un
ion cuivre coordiné par un ligand de chaque anneau (cf. figure 5).
O
N
N
N
N
O
O
N
Cu
O
N
N
O
O
Figure 5 : Moteur moléculaire basé sur un [2]-caténane.
Cet ion peut être sous forme de cuivre (I) ou de cuivre (II) ; or les exigences stéréoélectroniques de ces deux degrés d’oxydation du cuivre sont très différentes. En effet, le
cuivre (I) est stable dans un environnement tétraédrique, alors que le cuivre (II) préfère un
nombre de coordination de 5 ou 6. En jouant sur le degré d’oxydation du cuivre, on peut
donc déclencher de manière électrochimique un réarrangement conduisant à la géométrie
la plus favorable.
L’oxydation du centre de cuivre (I) tétracoordiné du [2]-caténane conduit à l’espèce
cuivre (II) tétracoordiné. Le cuivre (II) préférant les degrés de coordination élevés, l’anneau contenant le ligand terpyridine tourne autour du centre métallique afin d’augmenter la
coordinence de l’ion métallique. La réduction du [2]-caténane conduit ensuite au complexe
pentacoordiné de cuivre (I) qui se réarrange à son tour pour stabiliser au mieux l’ion
cuivre (I) en remplaçant le ligand terdenté par le ligand bidenté par rotation de l’anneau
contenant les deux types de ligands.
28
Figure 6 : Rotation contrôlée électrochimiquement de l'anneau contenant une terpyridine
et une phénanthroline par rapport à celui contenant seulement un ligand phénanthroline.
Cuivre (II) en noir, cuivre (I) en blanc.
Il a été montré que le réarrangement autour du cuivre (I) était rapide (de l’ordre de
quelques secondes) alors que le réarrangement autour du cuivre (II) était plus lent (de
quelques minutes à quelques heures). Toutefois, il n’y a pas de contrôle de la direction de
la rotation, le passage de l’une à l’autre des géométries pouvant se faire par rotation dans
n’importe quel sens de l’anneau contenant les deux ligands.
3.3.2. Avec une source d’énergie lumineuse
Utilisant également des structures caténées, LEIGH et ses collaborateurs (Université
d’Edimbourg, Royaume-Uni) ont imaginé un moyen de contrôler le sens de la rotation.
Pour ce faire, ils ont étendu la stratégie de SAUVAGE en utilisant un caténane dont l’un des
anneaux ne comporte plus cette fois-ci deux, mais trois stations notées A, B et C [8]. Le
second anneau a, suivant les conditions, une affinité plus grande pour une des trois stations. La molécule synthétisée par l’équipe de LEIGH est représentée schématiquement
figure 7.
O
O
O
NH HN
O
A
O
N
H
H
N
N
H
O
NH HN
O
O
MeN
O
O
C
O
O
O
NH
B
NMe
Figure 7 : [2]-caténane avec un anneau ayant trois stations A, B et C, et le cycle de rotation.
A est un groupe amide furamide secondaire qui se lie fortement, car la configuration E
de l’oléfine dispose les groupements carbonyle dans une orientation idéale pour créer des
liaisons hydrogène avec le petit anneau. B est un groupe amide furamide tertiaire qui se
lie moins fortement que A avec le macrocycle à cause de l’encombrement stérique dû à la
présence des deux substituants méthyle. C est un ester amide succinique, il se lie bien
29
moins fortement que A et B parce qu’il est plus flexible et qu’il possède un groupe ester
qui est un mauvais groupe accepteur de liaison hydrogène.
Pour permettre le passage de l’une à l’autre des stations, la molécule intègre deux
doubles liaisons qui peuvent être sélectivement isomérisées. Un groupement benzophénone est lié au groupe A, permettant une isomérisation E-Z de cette station sous une
irradiation à 350 nm. La double liaison de la station B peut aussi subir une isomérisation
E-Z, mais sous irradiation à 254 nm. Ces isomérisations déclenchent le déplacement de
l’anneau.
Le cycle est donc le suivant : initialement, le petit anneau établit des liaisons hydrogène avec la station A. L’isomérisation de l’oléfine de la station A à 350 nm rend
l’interaction avec la station B plus favorable, le petit anneau se déplace donc afin d’établir
des liaisons H avec la station B. Suite à l’isomérisation de B à 254 nm, le petit anneau
quitte la station B pour la station C pour la même raison que précédemment. L’isomérisation simultanée des oléfines des stations A et B en configuration E déclenche le retour
de l’anneau sur la station A.
Toutefois, des études de RMN 1H ont montré que le macrocycle benzylamide changeait de stations avec une grande sélectivité, mais sans contrôle du sens de la rotation, le
passage d’une station à une autre pouvant se faire par rotation dans un sens ou dans
l’autre avec la même probabilité. Pour contrôler la directionnalité du mouvement, ils ont
tiré parti de la présence d’un produit secondaire formé simultanément au cours de la
synthèse du [2]-caténane. En effet, la réaction de caténation forme le [2]-caténane par
cyclisation d’un anneau (50 % de rendement) tandis que la cyclisation de deux anneaux
conduit au [3]-caténane (21 % de rendement). Dans ce [3]-caténane représenté figure 8, si
on applique le cycle réactionnel décrit pour le [2]-caténane, il y a contrôle de la direction
de rotation car le second anneau ajoute une contrainte au système, le premier anneau ne
peut alors plus tourner que dans un sens.
O
D
O
A
NHHN
O
H
N
N
H
O
NHHN
O
O
N
H
O
O
O
O
C
O
O
NH
O
MeN
N
O HN O
H
H
NHO
N
NMe
O
B
Figure 8 : Rotation des deux anneaux au sein du [3]-caténane.
30
4. MOTEURS MOLÉCULAIRES ÉTUDIÉS A L’ÉCHELLE DE LA MOLÉCULE UNIQUE
4.1. L’hexa-tert-butyl décacyclène : un rotor monomoléculaire
Les moteurs moléculaires présentés dans la partie précédente ont été étudiés en solution. Leur comportement est celui d’une assemblée de molécules et non de la molécule
unique. En revanche, les molécules décrites dans le présent paragraphe ont été élaborées
dans le but d’être étudiées et manipulées individuellement avec la pointe d’un microscope
à effet tunnel (STM).
Le premier rotor réellement moléculaire à avoir été étudié est la molécule ci-dessous
[9]. Il s’agit de l’hexa-tert-butyle décacyclène, une plate-forme aromatique de 1,5 nm de
diamètre reposant sur six pieds tert-butyle, chaînes carbonées saturées permettant d’isoler la plate-forme aromatique de la surface métallique sur laquelle elle a été étudiée. Le
microscope à effet tunnel permet non seulement de visualiser les molécules, mais aussi
de les manipuler. Sur la figure 9 (droite), on voit une monocouche de cette molécule
déposée sur une surface de cuivre (Cu 100).
Immobile
En rotation
Images STM
Calculs ESQC
Figure 9 : À gauche, une monocouche d’ hexa-tert-butyle décacyclène ; Images STM et images calculées
(méthode ESQC) représentant une molécule immobile (en haut) et en rotation (en bas).
À droite, deux représentations de la molécule : structure chimique (en haut) et modèle CPK (en bas).
La molécule à laquelle on s’intéresse est au centre de l’image. On voit que lorsqu’on la
déplace légèrement vers la droite, la molécule, initialement immobile car bien calée entre
ses voisines (taches blanches bien localisées), se met à tourner. Les différentes parties
visibles de la molécule ne sont plus localisées et on ne voit plus qu’un tore. Il s’agit bien
d’un rotor monomoléculaire mais sa rotation est contrôlée par son environnement. Sans ce
réseau supramoléculaire, la molécule perd sa fonction et de plus, cette rotation n’est pas
directionnelle.
4.2. Vers le contrôle de la direction du mouvement de rotation : l’hélicoptère
L’étape suivante consiste à avoir un rotor capable de jouer ce rôle indépendamment
de son environnement. Les moteurs moléculaires synthétisés qui ont été présentés plus
haut n’ont jamais étudiés à l’échelle d’une seule molécule. Le moteur que l’on va présenter
ici a été pensé pour être adressé individuellement. Le but est de le déposer entre deux
électrodes distantes de quelques dizaines de nanomètres (une nanojonction).
Ce moteur est composé de trois parties, avec une structure générale en tabouret de
piano, courante en chimie organométallique. La première est un socle constitué de trois
pieds, fonctionnalisé de manière à se lier de manière covalente à la surface isolante dans
laquelle seront enterrées les deux électrodes de la nanojonction. La seconde est une
31
plate-forme aromatique ayant cinq groupements électroactifs accrochés de manière linéaire et rigide. Entre ces deux parties, un métal de transition joue le rôle de rotule. La partie
supérieure sera libre de tourner alors que la partie inférieure restera immobile, accrochée
à la surface. Le schéma de principe est représenté figure 10.
e
_
-
-
e
-
EG
+
EG
Cathode
Anode
EG
EG
EG
Figure 10 : Une molécule entre les deux électrodes constituant la nanojonction (vue de dessus).
Le groupement électroactif (EG) à proximité de la cathode devrait être réduit et la
répulsion électrostatique devrait conduire à la rotation d’un cinquième de tour de la partie
supérieure de la molécule. Le fragment réduit (chargé négativement, en noir) devrait être
attiré par l’anode et lui céder son électron. Entre temps, un autre groupement électroactif
devrait se placer au voisinage de la cathode, il serait alors réduit et ainsi de suite. Il
convient de noter que ce principe de fonctionnement est inspiré de celui de la turbine à
protons de l’ATP-synthase.
Dans le schéma de synthèse de notre molécule cible, le complexe de ruthénium
représenté figure 11 est un intermédiaire clef. L’atome de ruthénium est la rotule qui va
permettre la rotation. La partie inférieure est constituée d’un ligand trisindazolylborate qui
a vocation à être fonctionnalisé pour être accroché sur une surface, il constitue le stator.
Le plateau supérieur, par la présence des cinq atomes de brome, est prêt à recevoir les
groupements électroactifs.
Br
Br
Br
Ru
Br
Br
N
N
N
N
N
N
(2)
(1)
B
H
Figure 11 : Structure chimique du complexe de ruthénium intermédiaire clef dans la synthèse
de notre moteur moléculaire.
Un mouvement intéressant y a été mis en évidence [10]. Du fait de la gène stérique
imposée par les trois pieds du ligand tripode, la rotation du plateau supérieur (rotation
aléatoire provoquée par l’agitation thermique) entraîne la rotation des pales (les cinq
groupements para-bromophényle). Cette molécule se comporte comme un tourniquet
moléculaire avec un effet de cliquet, ou peut-être même d’engrenage.
Lorsque nous aurons terminé la synthèse de notre molécule cible, il restera (et ce ne
sera pas le plus facile !) à contrôler sa disposition pour lui amener de l’énergie autre que
thermique, et dissymétriser son environnement pour que la conversion d’un flux d’électrons se traduise en mouvement de rotation unidirectionnel. La disposition de la figure 10
(dans laquelle la molécule n’est pas sur l’axe entre les deux électrodes, de sorte que les
32
deux mouvements de rotation possibles ne sont pas équivalents) pourrait suffire. Mais
peut-être faudra-t-il appliquer un champ électrique supplémentaire avec deux autres
électrodes. On peut aussi imaginer d’introduire une chiralité intrinsèque à la molécule, par
synthèse d’un plateau incorporant une unité asymétrique. Au stade actuel du projet, de
nombreuses options restent ouvertes, qui ne manqueront pas de faire appel à la créativité
des chimistes et des physiciens.
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JIMENEZ-MOLERO M. C., SAUVAGE J.-P. Acc. Chem. Res., 2001, n° 34, p. 477-487.
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LEIGH D.A., WONG J.K.Y., DEHEZ F. et ZERBETTO F., Nature, 2003, n° 424, p. 174-179.
[9]
GIMZEWSKI J. K., JOACHIM C., SCHLITTER R., LANGLAIS V. et TANG H., Science, 1998,
n° 281, p. 531-533.
[10] CARELLA A., JAUD J., RAPENNE G. et LAUNAY J.-P., Chem. Commun, 2003, p. 24342435.
Alexandre CARELLA
Étudiant en troisième0 année de thèse
Groupe NanoSciences - CEMES UPR 8011 CNRS
Toulouse (Haute-Garonne)
Gwénaël RAPENNE
Maître de conférences
Université Paul Sabatier
Jean-Pierre LAUNAY
Professeur
Université Paul Sabatier
P
HYSIQUE
PHYSIQUE
35
L’énergie électrique ne passe pas
par les fils
par André DEIBER et Frédéric PAVIET-SALOMON
Lycée Kléber - 67000 Strasbourg
[email protected]
[email protected]
RÉSUMÉ
Des charges électriques se répartissent sur la surface des conducteurs même s’ils
sont parcourus par des courants continus ou lentement variables. La présence de ces
charges surfaciques est nécessaire à la mise en mouvement des porteurs de charges et
au transfert d’énergie électromagnétique via le vecteur de Poynting.
L’étude d’un câble coaxial parcouru par un courant continu permet aisément de
dégager les lignes directrices de l’argumentation. Nous considérerons ensuite en détail le
transfert d’énergie électrique via une classique rallonge électrique en confirmant l’égalité
des bilans de puissance électrique et électromagnétique en courant continu.
Un transfert d’énergie par l’extérieur des fils conducteurs peut suggérer des critiques
qui sont en dernière analyse infondées. Pour un circuit présentant une géométrie
particulière, par calcul numérique on peut dresser une carte des lignes de champ du
vecteur de Poynting, déterminer la densité surfacique de charges et vérifier la neutralité
globale du circuit.
Une étude expérimentale montre que ces charges interviennent aussi dans les
régimes transitoires pour véhiculer l’énergie électromagnétique en contournant des écrans
métalliques à l’aide des effets capacitifs.
1. L’ÉLECTROMAGNÉTISME ENGLOBE L’ÉLECTROCINÉTIQUE
Vu son importance technologique, l’étude des circuits électriques occupe une place de
choix dans l’enseignement de la physique. Pourtant deux questions fondamentales
laissent perplexes la grande majorité des étudiants. Au-delà des bilans d’énergie électrique, comment et par quel chemin a lieu le transfert énergétique entre le générateur et le
récepteur ? Quelle est l’origine physique précise de la force qui met les porteurs de charge
en mouvement dans les conducteurs ? Comme l’électromagnétisme englobe l’électrocinétique, on peut y chercher des éléments de réponse. Mais les représentations mentales
que nous utilisons volontiers dans les cours d’électricité vont-elles sortir indemnes de cette
confrontation ? Rien n’est moins sûr !
1.1. Entretien de la circulation des porteurs de charge
Un premier modèle du courant électrique, que l’on peut qualifier d’hydraulique, exploite
l’analogie avec l’écoulement d’un fluide en circuit fermé. Ce modèle circulatoire largement
utilisé dans l’enseignement de l’électricité est au centre du document d’accompagnement
du programme de première S (Électrodynamique en classe de première scientifique) [1].
Des électrons mis en mouvement au niveau du générateur électrique entraînent par une
André DEIBER et Frédéric PAVIET-SALOMON
36
action de proche en proche les autres charges mobiles situées dans le reste du circuit. Le
porteur de charge avance parce qu’il est poussé par les autres. L’image du fluide
incompressible est assez suggestive et présente l’avantage de dissocier la vitesse des
porteurs de charge de la célérité du signal électrique, sans que l’on cherche à expliciter ce
concept à ce stade. Mais le mécanisme qui met un électron donné en mouvement reste
obscur.
Dans une présentation
plus élaborée, on contourne cette difficulté en introduisant un
G
champ électrique E créé par le générateur au sein du conducteur. La seconde loi de
Newton appliquée au porteur de charge
aboutit bien à la loi d’Ohm locale, mais on ne peut
G
éluder la question de l’origine de E . Là encore, on ne voit guère par quel processus le
générateur pourrait produire un tel champ électrique dans l’ensemble du circuit et ce
quelle que soit sa forme. En affirmant que le générateur impose un gradient de potentiel le
long du circuit, nous n’explicitons pas l’origine physique de la mise en mouvement des
charges mobiles. Il est clair qu’il manque un maillon à notre raisonnement.
1.2. Échange d’énergie électromagnétique entre le générateur et les récepteurs
Sur le plan des transferts d’énergie électrique d’un générateur vers un récepteur, le
modèle hydraulique semble allier simplicité et efficacité. Le générateur fournit de l’énergie
aux porteurs de charge qui la cèdent ensuite au récepteur avant de revenir à leur point de
départ. Les électrons ont donc implicitement le statut de porteurs d’énergie électrique
circulant dans ces canalisations que constituent les fils conducteurs.
Dans quelle mesure peut-on conserver cette idée en l’adaptant au second modèle
explicité plus haut ? L’énergie passe-t-elle effectivement par les fils ? Sous quelle forme ?
Ces questions ne Gpeuvent être dissociées de la problématique précédente. En effet, le
champ électrique E intervient à la fois au sein du conducteur, comme moteur des élecG
trons, et dans l’expression du vecteur de Poynting π , qui est le vecteur densité de courant
G G
G E ∧B
dans un milieu non magnétique). La puissance
d’énergie électromagnétique ( π =
µ0
G
rayonnée par le générateur est égale au flux de π à travers une surface fermée entourant
G JJJG
ce dipôle électrique Prayonée = w
∫∫ π . dS .
S
Par exemple, considérons un circuit simple constitué d’un générateur et d’une résistance reliés par deux fils rectilignes. Séparons l’espace en deux parties par un plan
perpendiculaire aux fils de liaisons. Le générateur de force électromotrice E est placé dans
une boîte située d’un côté de ce plan et le récepteur de l’autre. Un minimum de cohérence
veut que la puissance
électrique fournie par le générateur P = EI soit égale à
G JJJG
Prayonnée = EI = w
π
.
dS
,
même
en courant continu.
∫∫
boîte
37
Figure 1 : Surface fermée entourant le générateur.
Les particules ne peuvent se déplacer qu’à l’intérieur des conducteurs, mais le champ
G
π peut exister dans et en dehors de ces matériaux, ce qui ouvre la possibilité d’un
transfert énergétique par l’espace entourant les fils. L’énergie est présentée comme étant
G
véhiculée par les charges mobiles en électricité, tandis que ce rôle revient au vecteur π
en électromagnétisme censé englober l’électrocinétique. On peut déjà pressentir que le
passage de la particule à un champ ne va pas manquer de conséquences.
1.3. Vecteur(s) courant de l’énergie électromagnétique
Le vecteur de Poynting n’est pas le seul choix possible pour tenir le rôle
G de vecteur
courant de l’énergie électromagnétique. En régime permanent, le vecteur V j où V est le
G
potentiel scalaire et j la densité volumique de courant convient également. En effet, un
détecteur d’énergie, donc sensible à la puissance traversant une surface fermée qui
l’entoure, ne permet pas de distinguer entre ces divers vecteurs.
Pour cela il suffit de vérifier que :
G
G JJJG
 G B  JJJG
∧
E
w
∫∫S  µ0  .dS = w
∫∫S V j .dS
JG
G
 JG B 
donc que div  E ∧
 = div V j . Cette égalité découle des relations suivantes :

µ0 

G
G G JJJJJG
div V j = Vdiv j + j .gradV 
G
G JG
G
 ⇒ div V j = − j .E
div j = 0


JG
JG
JG
JG JJJG B JJJGJG B 
 JG B 
div  E ∧  = −E.rot
+ rotE. 
JG
JG G
µ0 
µ0
µ0 
 JG B 

 = −E. j
 ⇒ div  E ∧
JG
µ0 
JJJGJG G JJJG B G


rotE = 0 rot
= j

µ0

( )
( )
()
()
( )
G
En adoptant V j comme vecteur courant énergétique, on peut justifier dans un cadre
JG
 JG B  JJJG
∧
E
très général la relation centrale de notre discussion : UI = w
∫∫  µ0 .dS .
entrant 

38
Considérons un dipôle passif entouré d’une surface fermée S. Les fils reliant ce dipôle
au générateur traversent S en A et B, le courant entrant en A et sortant en B. Notons SA
et SB les sections des fils par la surface S. La puissance reçue par ce composant s’écrit
G JJJG
G JJJG
G JJJG
alors w
∫∫ V j.dS = + ∫∫V j .dS − ∫∫V j .dS .
entrant
SA
SB
On peut toujours choisir S de telle sorte que SA soit une surface équipotentielle de
potentiel VA et SB de potentiel VB , ce qui donne :
G JJJG
G JJJG
G JJJG
w
∫∫ V j.dS = +VA ∫∫ j.dS − VB ∫∫ j.dS = [VA − VB ]I
entrant
SA
SB
1.4. Charges statiques et charges mobiles
JG
L’utilisation de π revient implicitement à prendre en compte l’existence de charges
électriques sur les fils parcourusJG par un courant vu que lesJG courants électriques sont les
sources de champ magnétique B et les charges celles de E (il ne peut y avoir de champ
électrique permanent sans charges pour le produire). Ce point étant essentiel dans notre
argumentation, il est donc utile de préciser qu’en plus des charges mobiles dont le
déplacement constitue le courant électrique, il doit y avoir des charges permanentes
réparties dans ou sur les fils.
Explicitons qualitativement ce point en reliant deux fils aux pôles d’un générateur
continu (cela revient à supprimer la résistance sur la figure1). La différence de potentiel
entre ces fils traduit l’existence de charges réparties à la surface des matériaux conducteurs. Du fait des effets capacitifs, le fil relié à la borne positive est chargé positivement et
l’autre négativement, l’ensemble restant électriquement neutre. Lorsqu’on ferme le circuit
sur un conducteur ohmique de résistance R, on est tenté de dire que ces charges
surfaciques vont disparaître lorsqu’un courant électrique s’établit. Il n’en est rien ! Si on
peut avoir des charges sur les conducteurs en l’absence de courant, la réciproque est
fausse.
Une application numérique va fixer les idées. La capacité de deux fils de rayon
πε 0 l
r1 = 1 mm , de longueur l = 1 m , distants de 2a = 1 cm est égale à C =
≅ 12 pF [2].
a
argch
r1
Pour une force électromotrice du générateur E de 5 V, la charge en surface ne dépasse
pas 10 −10 C par mètre de fil.
Par ailleurs, on peut estimer la densité électronique n du cuivre en supposant qu’il y a
un électron de conduction par atome du réseau cristallin : n ≈ 8.1028 m−3 [3]. Le nombre de
charges mobiles se trouvant dans une portion de 1 m des deux fils est donc de l’ordre de
1023 porteurs de charge. Si R = 50 Ω , l’intensité sera de 100 mA soit un dixième de
Coulomb par seconde. Le nombre de charges volumiques en déplacement dépasse de
plusieurs ordres de grandeurs les charges statiques présentes à la surface. Mais on ne
peut pour autant négliger ces dernières, car elles assurent plusieurs fonctions [4-5]. Elles
maintiennent la quasi uniformité
du potentiel des conducteurs, permettent le transfert
JG
d’énergie électrique via π et jouent un rôle de premier plan dans la circulation des
porteurs de charges.
39
2. NÉCESSITÉ DES CHARGES SURFACIQUES : CAS DU CÂBLE COAXIAL
JG Supposons, dans un premier temps, que la puissance électrique s’identifie au flux de
π et exploitons cette hypothèse dans le cas simple d’un câble coaxial dont l’isolant est
caractérisé par ε 0 et µ0 .
2.1. Le vecteur de Poynting dans un câble coaxial en courant continu
Relions une source de tension continue Ug à un conducteur ohmique de résistance R
par l’intermédiaire d’un câble coaxial de grande longueur l, et d’axe Oz de vecteur unitaire
JJG
ez .
Figure 2 : Câble coaxial alimenté en courant continu.
Le courant d’intensité I parcourant l’âme (r < r1 ) et la gaine (r2 < r < r3 ) engendre dans
JG µ I JJG
l’espace isolant du câble (r1 < r < r2 ) , un champ magnétique orthoradial B = 0 eθ . En
2π r
JG
est
nul
à
l’extérieur
du
câble.
Il
en
est
de
même du
négligeant les effets de
bord,
B
JG
vecteur de Poynting π , ce qui signifie qu’un transfert d’énergie électromagnétique est
impossible par l’extérieur du câble ( r > r3 ).
C’est donc dans le volume intérieur ( r < r3 ) que le vecteur de Poynting véhicule,
jusqu’au récepteur, l’énergie électrique fournie parJG le générateur. Pour que ce transfert
énergétique puisse se faire, il est nécessaire que π ait une composante axiale1 (suivant
l’axe Oz du câble). En effet, ce n’est qu’à cette condition que le flux du vecteur de
Poynting à travers une section droite du câble ne s’annule pas. Le champ magnétique
étant
orthoradial, ceci entraîne l’existence d’une composante radiale du champ électrique
JG
E . Les distributions volumiques étant exclues dans les conducteurs, des charges électriques doivent donc être réparties sur les deux surfaces en regard r = r1 et r = r2 , voire sur
la surface externe de la gaine r = r3 .
Pour que l’énergie électromagnétique puisse se propager dans le câble, il existe
simultanément des courants pour créer le champ magnétique et des charges statiques
pour engendrer le champ électrique. Les deux champs sont indispensables. On peut alors
se demander quelle est la répartition surfacique de charges compatible avec ce bilan
énergétique.
1
Le terme axial s’entend ici comme colinéaire à l’axe Oz et non par rapport aux propriétés de transformation
dans des opérations de symétrie.
40
Dans le cas simple d’un matériau conducteur idéal, la conductivité infinie entraîne la
nullité du champ électrique dans l’âme (r < r1 ) et dans la gaine (r3 > r > r2 ) . Le vecteur de
JG
Poynting π est également nul dans ces deux régions et il n’y a pas de transfert d’énergie
électrique via les conducteurs idéaux.
JG JG G
Figure 3 : Disposition des vecteurs E, B, π dans un câble coaxial idéal, parcouru par un courant continu.
JG
Dans l’espace compris entre les armatures,
les
locales vérifiées par E sont
JJJ
G JGéquations
G
JG
les mêmes qu’en électrostatique ( divE = 0 et rot E = 0 ). De plus, si le matériau conducteur est idéal, l’âme et la gaine sont des volumes équipotentiels et les conditions aux
limites sont alors identiques à celles du condensateur cylindrique.
JG
On en déduit alors les expressions du champ électrique E et de la charge surfacique
JG
JJG
Ug
ε 0 Ug
σ 1 portée par l’âme : E =
. Les charges surfaciques gardent
er et σ 1 =
r ln (r2 r1 )
r1 ln (r2 r1 )
une densité constante, mais pas forcément uniforme, lorsque le câble est parcouru par un
courant continu après avoir branché la résistance R. En ce sens l’électrocinétique prolonge l’électrostatique.
Néanmoins, le rôle des charges surfaciques ne se limite pas au maintien du caractère
équipotentiel des conducteurs et au transfert d’énergie électromagnétique. En effet, leur
action dans la mise en mouvement des porteurs de charges au sein des conducteurs est
déterminante, mais pour expliciter ce point, il faut prendre en compte la conductivité du
métal.
2.2. Exploitation du modèle électrocinétique du câble coaxial
Le modèle électrocinétique d’un câble coaxial est un bon support heuristique pour affiner l’analyse précédente. Par souci de simplification, nous faisons l’hypothèse suivante : la
gaine se comporte comme un conducteur idéal, alors que l’âme est constituée d’un métal
de conductivité électrique finie γ .
2.2.1.
41
Prévision d’un gradient de densité surfacique de charges
Figure 4 : Modélisation électrocinétique d'une portion de câble.
La modélisation classique d’un câble à constantes réparties se simplifie en courant
continu car on peut supprimer les inductances. Les intensités dans les branches capacitives étant nulles, le câble est équivalent pour la circulation du courant à une association en
série de résistances élémentaires, si on néglige la conductivité du diélectrique. Néanmoins
les condensateurs élémentaires explicitent bien la présence de charges surfaciques au
sein du câble même lorsqu’il est parcouru par un courant continu.
Figure 5 : Modélisation électrocinétique d'un câble alimenté en courant continu.
Notons Rcab la résistance totale du câble, puis découpons le en N parties de
Rcab
n
. Chaque cellule est affectée de l’indice n tel que zn = l .
N
N
D’une cellule à l’autre, la tension Un aux bornes du condensateur élémentaire varie de
Rcab
R I
I , d’où Un = Ug − n cab et UN = UR = Ug − RcabI . En passant au cas continu, il vient
N
N
 (U − UR ) z 
z
z
U ( z ) = Ug − Rcab I , puis U ( z ) = Ug − Ug − UR  = Ug 1 − g
.
l
l
Ug
l 

résistance élémentaire
La densité surfacique de charges σ 1( z ) , portée par l’âme, étant directement proporσ U − UR
tionnelle à cette différence de potentiel, il vient : σ 1( z ) = σ 01 − a1z , avec a1 = 01 g
.
l
Ug
Les charges déposées sur les surfaces en regard étant opposées, on observe pour les
charges surfaciques un gradient axial uniforme dans la gaine et un gradient opposé dans
l’âme. Si le matériau constituant le câble est bon conducteur (Rcab << R ) , on obtient
42
UR ≅ Ug et a1 ≅ 0 . Le gradient de charges surfaciques tend vers 0 dans le cas asymptotique du métal idéal.
À ce stade, il apparaît clairement que des charges en mouvement permanent coexistent avec des charges surfaciques permanentes. Les câbles étant de bons conducteurs,
ces dernières se répartissent en première approximation suivant les lois de l’électrostatique. Le faible écart entre la distribution réelle et celle prévue par l’électrostatique ne doit
pas être étranger à la mise en mouvement des porteurs de charges. Ce rôle électrodynamique des charges surfaciques va se confirmer à travers le calcul direct du champ électrique sur l’axe Oz du câble.
2.2.1. Champ électrique dans un câble coaxial parcouru
par un courant continu
Dans un câble coaxial parcouru par un courant d’intensité I, la densité de courant est
G
JJG
JJG
I JJG
I
axiale2 et uniforme en première approximation : j 1 = 2 ez si r < r1 et j 2 = −
ez
2
2
π r1


π r3 − r2 
si r2 < r < r3 . La conductivité de la gaine étant infinie, et celle de l’âme valant γ , il en
résulte pour la composante axiale du champ électrique Ez (r , z ) = E1 > 0 pour r ∈ [0, r1 ] et
Ez (r , z ) = 0 pour r ∈ [r2 , r3 ] . En revanche, la composante radiale reste nulle dans l’âme et
JG
dans la gaine. Compte tenu de la continuité de la composante tangentielle de E en r = r1 ,
le champ électrique n’est pas radial dans le diélectrique c’est-à-dire pour r1 < r < r2 .
Dans l’espace interarmatures, le potentiel est solution de l’équation de Laplace. La
fonction V (r , z ) = A ln r + B + Cz ln r + Dz , qui est une solution de l’équation de Laplace en
coordonnées cylindriques, satisfait les conditions aux limites de notre problème :
U − UR
et V10 − V20 = Ug ).
V (r1, z ) = −E1z + V01 et V (r2 , z ) = V02 (avec E1 = g
l
On obtient alors les deux composantes du champ électrique :
Ez (r , z ) =
Ug − UR ln (r2 r )
ln ( r2 r1 )
l
et
Cette dernière expression implique que
1
1
z

Er (r , z ) = Ug − (Ug − UR ) 
l  ln (r2 r1 ) r

∂Er ( r , z )
est indépendant de z.
∂z
JG
Comme le champ électrique E est axial dans le conducteur Er (r = r1− , z ) = 0 , la
(
)
σ (z)
charge surfacique sur l’âme est donnée par le théorème de Coulomb Er (r = r , z ) = 1 ,
ε0
même en présence d’un courant.
+
1
De la relation
ε 0 (Ug − UR )
∂Er ( r , z )
∂σ 1( z )
= constante , il résulte
= − a1 = −
, comme
∂z
∂z
l r1 ln (r2 r1 )
r = r1
l’indiquait le modèle électrocinétique du câble. Notons alors σ 1( z ) = σ 01 − a1z , la charge
2
On néglige le champ de Hall dans le matériau conducteur.
43
surfacique sur la face externe de l’âme et σ 2 ( z ) = −σ 02 + a2 z celle sur la face interne de la
gaine (toutes les grandeurs introduites étant positives). Le théorème de Gauss appliqué à
un cylindre d’axe Oz et de rayon r, tel r2 < r < r3 , montre dans le contexte étudié que les
surfaces en regard portent des charges opposées, d’où σ 01r1 = σ 02r2 et a1r1 = a2r2 .
Il n’est pas inutile de préciser des valeurs numériques concernant les contributions
radiales et axiales du champ électrique dans un câble de longueur l = 1 m chargé par une
résistance R = 50 Ω :
I
I
Ez (r1,0) γπ r12
γπ r12
r
1
=
=
≅
ln 2
σ1
Ug
γπ Rr 1 r1
Er ( r1,0)
r
ε0
r1 ln 2
r1
Les données numériques correspondent à un câble de référence RG58 :
γ Cu = 5,9.107 Ω-1m-1 , r1 ≅ 0,43 mm , r2 = 1,47 mm , r3 ≅ 1,60 mm :
Ez (r1 )
≅ 3.10 −7 ⇒ Ez (r1 ) << Er (r1 ) . La composante axiale du champ électrique est très
Er (r1 )
faible devant la composante radiale. La distribution électrostatique surfacique est donc
très peu modifiée par le passage du courant électrique.
2.2.3. Décomposition en deux distributions surfaciques :
uniforme et antisymétrique
Pour dégager le rôle électrodynamique du gradient de densité surfacique de charge,
calculons le champ électrique en un point M0 de l’axe du câble, que l’on choisit comme
origine de l’axe Oz. Séparons le câble en trois parties : une zone de largeur 2z0 centrée
sur M0 et les deux parties complémentaires z < − z0 et z > z0 . Le paramètre z 0 est un
intermédiaire de calcul dont la valeur précise a peu d’importance tant que l’inégalité forte
z 0 >> r2 reste vérifiée.
Figure 6 : Séparation du câble en trois parties.
Un porteur de charge placé en M0 est essentiellement soumis à l’action des charges
réparties entre − z0 et z0 . Si z0 est assez grand, la contribution des charges du reste du
câble est très faible. En effet, une portion élémentaire du coaxial comprise entre z et
z + dz (avec z > z0 ) est globalement neutre et le barycentre des charges positives est
confondu avec celui des charges négatives. De ce fait, le champ créé en M0 par cette
44
r
. Même après intégration
z0
sur z, il reste une contribution du troisième ordre donc négligeable.
portion se limite au terme quadrupolaire du quatrième ordre en
Pour la partie centrée sur M0 , décomposons la distribution surfacique σ 1( z ) = σ 01 − a1z
en une distribution uniforme de densité σ 1′ ( z ) = σ 01 et une distribution antisymétrique de
densité σ 1′′ ( z ) = − a1z .
2.2.4.
La répartition symétrique créé un champ radial
JJG JJG
JJG JJG
Les deux plans (M0 , er , eθ ) et (M0 , er , ez ) sont deux plans de symétrie de la distribution
de charge de densité σ 1′ ( z ) = σ 01 . Le champ électrique créé par cette distribution uniforme
JG
est donc radial. Comme il n’y a pas de charges au sein de l’âme, E y est nul. Ce champ
électrique ne peut pas mettre en mouvement axial les porteurs de charges situés dans
l’âme du câble. Il en est de même pour r3 > r > r2 . On retrouve ainsi l’expression classique
JG σ r JJG
du champ électrique dans un condensateur cylindrique E = 01 1 er pour r1 < r < r2 .
ε0 r
2.2.5. La distribution antisymétrique met les porteurs de charges
en mouvement
JJG JJG
Le plan (M0 , er , eθ ) est un plan d’antisymétrie pour la distribution de charges de densité
JG
σ 1′′ ( z ) = −a1z . La composante radiale de E est donc nulle dans ce plan de section droite.
Les porteurs de charge qui se trouveraient au voisinage de ce plan vont donc subir l’action
de la composante axiale qui est dirigée dans le sens inverse du gradient de densité
surfacique. C’est cette contribution au champ électrique qui est responsable de la circulation du courant électrique dans l’âme. Notons que, en accord avec le principe de Curie [6],
cette distribution antisymétrique présente les mêmes éléments de symétrie que la répartition de courant dans le circuit.
Estimons par un calcul direct le champ électrique sur l’axe commun aux deux surfaces
cylindriques :
Ez =
z

z0
r2a2 z 2dz 
1  0 r1a1z 2dz
−
3
3 
∫
2ε 0  −∫z0 2
 r1 + z 2  2 − z0 r22 + z 2  2 


 
 
Comme a1r1 = a2r2 , on obtient, après un changement de variable dans chaque intégrale, un résultat indépendant de l’intermédiaire de calcul z0 sous réserve que z0 >> r2 > r1 :
z0
 zr0

r2
r1a1  1 u 2du
u 2du 
Ez =
− ∫

3
3 
2ε 0  ∫z0
2 2
2
z


−
− 0 1 + u  2 
1
+
u

 
r2 
 r1 
z0
r
et :
ra 1
Ez = 1 1 ∫
ε 0 z0
r2
45
z0
u 2du
3
1 + u 2  2
r
r a 1 du r1a1 r2 Ug − UR
ln =
≅ 1 1∫
=
= E1
ε 0 z0 u
ε 0 r1
l
r2
Le champ électrique est uniforme sur l’axe du câble et est bien proportionnel au gradient de densité surfacique de charges. Ce résultat est conforme au calcul électrocinétique
du § 2.2.1.
2.3. Conclusion partielle
L’exemple du câble coaxial dégage les éléments fondamentaux de notre argumentation :
♦ des charges existent à la surface des conducteurs, même s’ils sont parcourus par des
courants continus ;
♦ en première approximation, la répartition correspond à la distribution prévue par l’électrostatique. Le volume conducteur est pratiquement équipotentiel, vu la présence de
ces charges en surface ;
♦ les porteurs de charges sont mis en mouvement suite à une légère déformation de
cette distribution ;
♦ l’énergie électromagnétique véhiculée par le vecteur de Poynting ne passe pas par les
conducteurs. Là encore, les charges surfaciques jouent un rôle de premier plan.
On pourra objecter que cet exemple correspond à une géométrie particulière. Il est vrai
que le calcul explicite du vecteur de Poynting est rarement possible. Néanmoins, nous
allons étudier deux autres situations qui vont confirmer cette approche.
3. FLUX D’ÉNERGIE AU VOISINAGE D’UNE RALLONGE ÉLECTRIQUE BIFILAIRE
Inversons maintenant notre discussion en partant de l’hypothèse d’une répartition surfacique de charges de type électrostatique sur les conducteurs
JG JJJG pour étudier la topographie
des flux énergétiques puis en déduire l’égalité UI = ∫∫ π .dS par intégration. Choisissons
sec tion
pour cela le cas d’une rallonge électrique, formée de deux fils sans résistance parallèles à
l’axe Oz, reliant le générateur au récepteur.
3.1. L’énergie ne passe pas par les conducteurs
L’énergie ne passe pas par
JG les fils, même si on prend en compte leur résistance. En
effet, le champ électrique E est axial dans le matériau conducteur (voire nul si la
conductivité est infinie), ce qui implique la nullité de la composante selon Oz du vecteur de
Poynting.
Si on néglige la résistance des fils ceux ci sont équipotentiels. Dans le cas où ils portent des charges opposées, ils constituent donc un condensateur bifilaire dont les armatures sont parcourues par des courants. L’équation de Poisson reste valable
à l’extérieur
JG
des conducteurs, avec les conditions aux limites de l’électrostatique ( E est radial à la
surface des conducteurs).
46
3.2. Expression des champs
Pour calculer le vecteur de Poynting en tout point du plan orthogonal aux fils, la
méthode la plus directe consiste à utiliser le « bon » système de coordonnées.
3.2.1.
Un système de coordonnées adaptées au problème
Prenons le plan x = 0 comme plan médiateur des deux fils. Il est judicieux d’utiliser les
coordonnées bipolaires (α , β ) [7] liées aux coordonnées cartésiennes par les relations :
x=b
shα
chα − cos β
;
y =b
sin β
chα − cos β
;
β ∈ [0,2π [ α ∈ ]−∞; +∞[ .
Les lignes β = constante sont des cercles passant par les points x = ± b , y = 0 , tandis
b
que les courbes α = constante correspondent à des cercles de rayon
, centrés sur
shα
b
, y = 0) 3. On peut choisir deux valeurs α1 et α 2 = −α1 de α telles que
tanhα
les sections circulaires des fils soient des lignes d’égale valeur de α .
les points ( x =
Figure 7 : Coordonnées bipolaires planes.
Dans ce système de coordonnées curvilignes orthogonales, le déplacement élémenJJG JJG JJG
taire s’écrit dans la base orthonormée directe eα , eβ , −ez :
JJJJG
JJG
JJG
dOM = hα dα eα + hβ dβ eβ
3
(
avec
)
hα = hβ =
b
.
chα − cos β
Il est important de noter que les sections des conducteurs ne sont pas centrées sur les points
( x = ±b, y = 0) .
47
On en déduit l’élément de longueur dans le plan ds 2 = hα2 dα 2 + hβ2 dβ 2 , l’élément de surfaJJJJJG
1 ∂f JJG 1 ∂f JJG
ce dS = hα hβ dα dβ et l’expression de l’opérateur gradient gradf =
eα +
eβ [7],
hα ∂α
hβ ∂β
[chα − cos β ]
2
 ∂ 2f
∂ 2f 
 2 + 2  est séparable en α et β , ce
∂β 
b
 ∂α
qui constitue l’intérêt majeur de ce système de coordonnées4.
[8]. L’équation de Poisson ∆f =
3.2.2.
2
Calcul du champ électrique
On peut prendre le potentiel de la forme V (α ) compatible avec les conditions aux
JG
limites (i.e. le fait que les charges linéiques des fils sont opposées en imposant E nul à
1 ∂V
nul en α = 0± et β = 0+ ou β = 2π − ). Posons alors V (α1 ) = V1 ,
l’infini, donc
hα ∂α
V (α 2 = −α1 ) = V2 . L’équation de Laplace implique une dépendance affine de V avec α :
∆V = 0 ⇒
(V − V ) (α V − α1V2 ) = (V1 − V2 )α + V1 + V2
∂ 2V
= 0 ⇒ V (α ) = 1 2 α − 2 1
∂α 2
2α1
2
(α1 − α 2 )
(α1 − α 2 )
On voit que V ( −α ) − V (0) = − [V (α ) − V (0)] , conformément à l’antisymétrie des charges
par rapport au plan Oyz ( α = 0 ). Le calcul du champ électrique est immédiat :
JG
JJJJJG
(V − V ) JJG JG (V − V )[chα − cos β ] eJJG .
E = −grad (V ) = − 1 2 eα → E = − 1 2
α
2 hα α1
2 b α1
3.3. Bilan de puissance électrique et électromagnétique
JG
JG JJJG
Pour établir la relation UI = ∫∫ π .dS , le théorème d’Ampère et la structure de E
JG
JJG JJG
JG
JJG
JJG
suffisent. Décomposons B dans la base orthonormée (eα , eβ ) : B = Bα eα + Bβ eβ . Vu
JG JG
JG
JG E ∧ B (V1 − V2 ) JJG
(V − V ) JJG
l’expression E = − 1 2 eα , on obtient π =
=
Bβ ez . Calculons le flux du
2hαα1
µ0
2µ0 hαα1
vecteur de Poynting à travers la partie du plan de section droite extérieure aux fils, donc
pour ( −α1 ≤ α ≤ α1;0 ≤ β < 2π ) , l’intensité I étant comptée positivement dans le sens
associé à celui de Ug par la convention générateur :
sec tion
JG JJJG α =+α1 β =+2π [V1 − V2 ]
π .dS = ∫ ∫
Bβ hα hβ dα dβ
2µ0 hαα1
α =−α1 β =0
plan −fils
∫∫
ou encore :
JG JJJG α =+α1 [V1 − V2 ] β =2π 1
π .dS = ∫
dα ∫
Bβ hβ dβ .
2α1
µ0
α =−α1
β =0
plan −fils
∫∫
4
Cette séparation des variables ne fonctionne qu’en dimension 2, donc pour les coordonnées bipolaires
planes. Mais l’équation de Laplace n’est pas séparable en dimension 3 pour les coordonnées bipolaires
cylindriques. Ce qui signifie que ce calcul n’est pas généralisable au cas des conducteurs avec résistance,
car dans ce cas le potentiel dépend aussi de z.
48
β = 2π
Comme
∫
β =0
α =+α1
1
Bβ hβ dβ = I et
µ0
∫
α =−α1
∫∫
(V1 − V2 ) dα =
(V1 − V2 )α , on a bien :
2α1
JG JJJG
π .dS = [V1 − V2 ]I
plan −disques
conformément au résultat général du § 1.3.
Le bilan de puissance électromagnétique s’identifie au bilan électrique sous la seule
hypothèse que les fils sans résistance sont chargés suivant les lois de l’électrostatique
même s’ils sont parcourus par un courant.
3.4. Répartition du flux d’énergie au voisinage d’une rallonge électrique
Pour aller plus loin et expliciter comment se répartit
JG le flux d’énergie au voisinage de la
rallonge électrique, il faut complètement déterminer B .
3.4.1.
Champ magnétique créé par la ligne bifilaire
Commençons par étudier la direction du champ magnétique dans l’approximation des
régimes quasi-stationnaires. Dans ce cadre, le champ électrique créé par les charges de
surface, dont la répartition varie dans le temps, peut être assimilé au champ électrostatique. Si laJG longueur d’onde est très grande devant la longueur du circuit, la composante
axiale de E est négligeable devant les autres composantes.
À cette précision, l’onde électromagnétique véhiculée par le guide d’ondes que
constitue la ligne bifilaire est
JG donc transverse électrique TE d’axe Oz. Or pour
JG ce type
d’onde, la composante de B dans le plan de section droite est orthogonale à E [16]. En
négligeant les effets de bord, ce plan est un plan d’antisymétrie pour la distribution des
courants. En régime quasi-stationnaire,
JG
JGet le régime continu en est le cas limite des très
faibles fréquences, les champs E et B sont donc orthogonaux partout à l’extérieur des
fils5 et ce quel que soit l’écartement des cylindres. En d’autres termes, les lignes de
6
champ magnétiques sont les lignes équipotentielles dans
de
JG . Les
JG un plan JJ
G section droite
lignes de champ magnétique sont les lignes iso − α : B = Bβ (α , β )eβ . De plus, B est un
JG
1 ∂(hβ Bβ (α , β ))
γ
champ à flux conservatif : divB = 0 , d’où
.
= 0 . On en tire Bβ =
hβ
hβ
∂β
Une conséquence directe est la non uniformité des densités de courant dans les fils
cylindriques auxquels sont affectés les indices 1 et 2. En effet, le JJ
cercle
G JJG limitant une
section du conducteur numéro 1 est une ligne de champ magnétique B1 + B2 de l’ensemJG
JJG JJG
ble de la ligne. Dans l’hypothèse d’uniformité de j1 et de j 2 , B1 serait tangent au cylindre
JJG
1 tandis que B2 ne le serait pas dans le cas général. Tout se passe comme si le champ
5
Ce résultat est classique pour des conducteurs cylindriques de sections quelconques infinis dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires ou pour leur mode TEM [2, 16].
6
On aboutit au même résultat si on note que l’on peut prendre comme potentiel vecteur dans la jauge de
JG
JJG
Coulomb A = kV (α )ez où V est le potentiel scalaire calculé au § 3.2.2 et k une constante.
49
JG JJG JJG
total B = B1 + B2 était la superposition des champs créés par deux conducteurs filiformes
centrés en ( x = ± b, y = 0 ) .
Figure 8 : Champs magnétiques dans l’hypothèse d’uniformité des courants dans les deux cylindres.
Que les courants répartis dans la ligne bifilaire produisent le même champ magnétique
(à l’extérieur des conducteurs) que deux fils non centrés sur les axes des cylindres ne
surprend qu’à moitié, dans la mesure où les positions de ces fils équivalents coïncident
avec les images électriques des deux cylindres portés aux potentiels ± V1 (cf. § 3.1.2.).
3.4.2.
Précautions à prendre pour appliquer le théorème d’Ampère
JG
Pour calculer B dans l’espace extérieur aux conducteurs, donc pour β ∈ [0;2π [,α ∈ [−α1;α1 ] ,
JJJG JG G
on peut utiliser son caractère irrotationnel dans ce domaine. Comme rot B = 0 , il existe
JG JJJJJG
une fonction ϕ telle que B = gradϕ . La fonction ϕ ne peut dépendre de α , vu que
JJJG JG G
JJJG JG JJG
JG
JJG
1 ∂(hβ Bβ )
B = Bβ (α , β ) eβ , il vient ϕ = γ β . Suite à rot B = 0 ⇒ rot B.eβ ⇒
= 0 , il vient
hα hβ ∂β
hα hβ = cte et ϕ = γβ à une constante additive près.
Pour déterminer la constante d’intégration γ , il faut utiliser le théorème d’Ampère, dont
l’application requiert des précautions. La fonction ϕ n’est exploitable, via la relation
dϕ
Bβ = hβ
, que sur le domaine plan D défini par β ∈ ]0;2π [,α ∈ [−α1;α1 ] (on a supprimé la
dβ
JJJG JG G
demi droite (α > 0, β = 0) ). En effet, les deux assertions « ∀M ∈ D, rot M (U ) = 0 » et
JG JJG G
« ∀C ⊂ D, v∫ U.dl = 0 » ne sont équivalentes que si la surface Σ s’appuyant sur le contour
C
C est incluse dans le domaine plan D. Ceci n’est manifestement pas le cas pour les
contours entourant un des deux fils.
50
Figure 9 : Divers chemins reliant A1 et A2 .
A2
En d’autres termes, on peut écrire ϕ 2 − ϕ1 =
∫
A1 chemin1
A2
∫
JG JJG
B.dl (cf. figure 9). Par
A1 chemin2
JG JJG
B.dl car le chemin n° 3 traverse la coupure7.
A2
contre, ϕ 2 − ϕ1 ≠
JG JJG
B.dl =
∫
A1 chemin3
Pour tourner autour du point A ( x = +b, y = 0) en évitant de couper l’axe Ox en un point
tel que x > +b , on peut utiliser le contour explicité sur la figure 10 avec un paramètre ε tel
que ε << R , R désignant le rayon du cercle d’équation α = constante . Dans ce cas le flux
deG la
fermé peut être assimilé à l’intensité
JJG densité de courant à travers le contour
JG
∫∫ j .ezdS ≅ I . D’autre part la circulation de B sur les portions A4 A1 et A2 A3 se compensent
si ε << r1 ( r1 rayon du fil) et
A2
que
0
A1
à
JG JJG
∫ B.dl = µ I
β = 2π
soit
∫
β =0
JG JJG
∫ B.dl <<
A4
A2
A3
A1
JG JJG
∫ B.dl
. À cette approximation on peut donc écrire
JG JJG β =2π
B.dl = ∫ Bβ (α , β ) × hβ × d β = µ0I . Finalement comme Bβ est égal
γ
sur la ligne A1A2 , il vient γ
hβ
β =0
β = 2π
∫
β =0
d β = µ 0I → γ =
µ 0I
µI
→ Bβ = 0 .
2π
2π hβ
Figure 10 : Contour d’intégration du théorème d’Ampère.
7
L’introduction d’une coupure est donc nécessaire, mais sa position dans le plan est arbitraire.
51
3.4.3.
Vecteur de Poynting dans un plan de section droite de la ligne
JG
D’après ce qui précède, π a pour expression :
JG
[V1 − V2 ]I = [V1 − V2 ]I chα − cos β 2 .
π =
[
]
4 π hα hβ α1 4 π b 2α1
La norme du vecteur de Poynting prend des valeurs particulièrement élevées entre les
deux fils constituant la ligne bifilaire, mais tend rapidement vers zéro lorsqu’on s’éloigne
des fils. L’énergie électrique circule donc dans une sorte de manchon entourant les
conducteurs comme le montrent les figures 11, 12 et 13.
Figure 11 : Norme du vecteur de Poynting dans un plan
de section droite de la ligne bifilaire
JG
Figure 12 : Norme de π dans le plan médiateur.
Figure 13 : Répartition du flux de puissance au voisinage de la rallonge électrique.
3.5. Énergie électromagnétique au voisinage des fils
Pour mettre en évidence la continuité entre l’électrostatique et l’électrocinétique,
ε E2
comparons les densités volumiques d’énergie électrique w elec = 0
et magnétique
2
2
w elec
B
w mag =
au voisinage de la ligne bifilaire. Le rapport
est indépendant du point
2µ0
w mag
52
considéré :
2
w elec µ0ε 0Eα2 π (V1 − V2 ) ε 0 π 2 R 2
=
=
×
=
en notant Zvide l’impédance du
2
α12I 2
µ0 α12 Zvide 2
w mag
Bβ
vide Zvide =
µ0
≅ 377 Ω (8).
ε0
2
Pour une ligne bifilaire refermée sur une résistance R de quelques kilo-ohms, l’énergie
électrique est largement prépondérante devant l’énergie magnétique. Lorsqu’on diminue
R, w mag augmente, par l’intermédiaire de I, alors que w elec reste constante. Pour R faible,
l’énergie magnétique l’emporte, la transition s’opérant pour une valeur de R voisine de
l’impédance du vide.
4. ANALYSE DE QUELQUES CRITIQUES DE CE MODÈLE
4.1. Interaction entre deux fils parcourus par un courant
Comme les charges statiques coexistent avec des charges mobiles, l’interaction entre
deux fils parallèles est à la fois de nature magnétique et électrique. Pour des fils de
longueur l de rayon r ′ faible devant leur distance 2a, la force de Laplace a pour norme
JJJJG
JJJJG
µ 0I 2
λ2
Fmag ≅
l et celle de la force électrique vaut Felec ≅
l ( λ densité linéique
2π (2a )
2πε 0 (2a )
JJJJG
2
Felec
 λc 
de charge). Le rapport JJJJG ≅ 
 peut se réécrire en introduisant la capacité linéique
 I 
Fmag
approchée de la ligne bifilaire
πε 0
, l’impédance du vide Zvide et la résistance de
 2a 
ln  
 r′ 
JJJJG
2
Felec
π2  R 
charge R de la ligne : JJJJG ≅

 . Dans une expérience typique de mise en
 2a  Z
Fmag
ln2    vide 
 r′ 
évidence de la force de Laplace, la résistance R est de l’ordre de l’ohm. La force
électrique est donc tout à fait négligeable devant la force magnétique, ce qui simplifie la
réalisation de l’ampère étalon.
4.2. Peut-il y avoir transfert d’énergie entre deux circuits voisins ?
Si l’énergie électrique passe à côté des conducteurs, ne doit-on pas envisager un
transfert énergétique entre deux circuits indépendants mais voisins ?
8
Dans le cas du câble coaxial, on aboutit à un résultat similaire w elec =
w mag
4π 2
R2 .
2
2
  r2   Zvide
 ln  r  
  1 
53
Figure 14 : Ces deux circuits peuvent-ils échanger de l’énergie ?
Cette question doit être examinée avec soin dans la mesure où le champ magnétique
au voisinage de la résistance R1 est la somme des champs magnétiques créés par le
JG JJG JJG
circuit 1 et le circuit 2 : B = B1 + B2 . Ces deux contributions se retrouvent dans le vecteur
JJG
JJG
JJG JG B
JJG JG B
JG JJG JJG
de Poynting π = π 1 + π 2 où π 1 = E ∧ 1 et π 2 = E ∧ 2 . Il faudrait donc envisager un
µ0
µ0
transfert d’énergie entre deux circuits non reliés.
L’approche explicitée au § 1.3. peut éclaircir ce débat. Considérons une surface fermée Σ
entourant le conducteur ohmique de résistance R1 à l’exclusion des autres composants.
Notons SA et SB les surfaces obtenues par intersection de Σ et des fils reliant R1 au
générateur. Le potentiel sur les deux sections SA et SB délimitant le tube de courant que
forme R1 présente a priori deux contributions provenant des charges réparties sur les
circuits 1 et 2 : VA = VA1 + VA 2 et VB = VB1 + VB 2 . La puissance absorbée par R1 est donc
égale à [VA − VB ]I = (VA1 + VA 2 ) − (VB1 + VB 2 ) I , ce qui laisserait entrevoir le transfert de
puissance P2→1 = [VA 2 − VB 2 ]I du circuit 2 vers le circuit 1.
En pratique ce transfert énergétique ne peut être que très faible, car la présence d’un
second circuit parcouru par un courant (donc chargé en surface) ne modifie pas sensiblement le potentiel des fils reliant le générateur au dipôle récepteur. La différence de
potentiel aux bornes du générateur n° 1 est fixée par sa force électromotrice. Il est réaliste
de négliger l’action des charges présentes sur le circuit 2 sur le comportement de ce
générateur. Si on se place dans l’hypothèse de fils de liaison de très grande conductivité,
ces conducteurs sont équipotentiels même s’ils sont parcourus par des courants. En
conséquence, la différence de potentiel VA − VB reste imposé par le générateur E1
indépendamment de la présence du second circuit. Les charges réparties sur le circuit
numéro 2 modifient néanmoins la distribution de charges sur les fils du circuit n° 1.
4.3. Peut-on contrecarrer les transferts d’énergie électromagnétique ?
Si l’énergie électromagnétique ne passe pas par les fils de connexion, il devrait être
possible à première vue de contrecarrer ces transferts énergétiques en interposant des
écrans métalliques.
4.3.1.
Un générateur placé dans une boite métallique
Considérons une source de tension continue enfermée dans un coffret métallique
JJG
alimentant un conducteur ohmique Rext placé à l’extérieur. Les fils de liaisons d’axe ez de
rayon r1 passent par deux petites ouvertures cylindriques de rayon r1 + d pratiquées dans
la paroi métallique. Le coffret métallique est un volume équipotentiel, le champ électrique y
54
est nul. IlJGn’y a pas de transfert
JG JJG d’énergie à travers la boîte. Il en est de même au niveau
des fils : E y est axial donc π .ez = 0 .
Les charges surfaciques présentes sur les fils et les surfaces des ouvertures correspondantes expliquent aisément le flux d’énergie à travers l’isolant séparant les fils de
liaison du coffret et ce quelle que soit l’épaisseur d de l’isolant.
Dans le cas général, l’énergieJGdoit passer a priori par les deux ouvertures cylindriques,
ce qui impose une contrainte sur π comme l’indique la figure ci dessous.
JG JJG JG
Figure 15 : disposition des vecteurs π , B, E au niveau des ouvertures fortement agrandies.
Les potentiels des deux fils sont notés V1 et V2 (avec V2 > V1 ), tandis que le coffret est
JG
porté à un potentiel V0 . Le sens de E qui en résulte montre que le potentiel du coffret
métallique est tel que V2 > V0 > V1 . Ceci ne fait que traduire l’existence d’effets capacitifs
entre les fils de liaison et le coffret métallique. La géométrie cylindrique des trous de
σ r r + d 
passage des fils entraîne Vi − V0 = i 1 ln  1
 pour l’ouverture i ( i = 1,2 ) où σ i est la
ε 0  r1 
densité surfacique du fil n° i.
JG µ I JJG
Calculons la puissance traversant l’ouverture n° 2. Comme B = 0 eθ , il vient :
2π r
θ = 2π r = r1 + d
JJ
G
JJ
G
JG
JJ
G
σ rI
σ 2r1I
σ r I r + d 
e .rdrdθ ez = 2 1 ln  1
π = 2 1 2 ez et P2 = ∫ ∫
 = [V2 − V0 ]I .
2 z
2
πε
ε0
2πε 0 r
r
0
 r1 
θ =0 r = r1
Pour l’autre ouverture on obtient
P1 = [V0 − V1 ]I . Le bilan de puissance global
Ptot = P1 + P2 = [V2 − V1 ]I est indépendant du potentiel du boîtier et conforme au calcul
électrocinétique9. Les charges surfaciques maintiennent les conducteurs non parcourus
par des courants à un potentiel constant tout en permettant les transferts énergétiques
9
En régime variable la répartition de charges évolue dans le temps. Néanmoins ce calcul doit rester valable
D
(D longueur caractéristique du système) devant la
c
période du signal produit par le générateur.
tant que l’on peut négliger le temps caractéristique
55
entre les divers composants du circuit placés dans leur voisinage en dépit de la présence
de pièces métalliques.
P1
en agissant sur V0 à l’aide d’un générateur auxiliaire.
P2
Par exemple en reliant un des fils au coffret, le transfert énergétique est reporté sur
l’isolant de l’autre trou où existe un gradient de potentiel.
On peut modifier le rapport
4.3.2.
Confrontation avec l’expérience
Pour tester cette idée en régime variable, Olivier KEMPF a tenté de charger un condensateur enfermé dans un coffret blindé percé de deux petites ouvertures cylindriques pour
laisser passer les fils d’alimentation.
Le générateur placé à l’extérieur de la boîte métallique délivre une tension carrée qui
charge et décharge le condensateur à travers une résistance R = 10 Ω . Cette source de
tension construite sur la base d’un suiveur de puissance de très large bande passante et
de faible résistance de sortie permettait de choisir un condensateur C de capacité 0,5 µF
et une fréquence du générateur de 100 kHz.
Dans ces conditions, l’épaisseur e des parois métalliques est suffisante pour blinder
2
efficacement car, e >> δ où δ représente l’épaisseur de peau. δ =
≈ 0,2 mm à
µ0ωγ
100 kHz pour le cuivre.
Figure 16 : Un condensateur enfermé dans un coffret métallique.
De multiples essais n’ont pas permis de mettre en évidence une quelconque influence
de la boîte métallique sur la constante de temps du circuit RC, ce qui corrobore l’analyse
précédente. Nous remercions vivement Olivier KEMPF pour cette contribution expérimentale essentielle qui a été le point de départ de notre réflexion.
5. SIMULATION INFORMATIQUE D’UN CIRCUIT PLUS COMPLEXE
Sous certaines conditions un logiciel de calcul formel permet d’établir une cartographie
du potentiel créé par un circuit dans et en dehors des conducteurs [10-11]. Afin de valider
les analyses précédentes, on peut ainsi calculer le champ électrique, le vecteur de Poynting et la densité de charges pour l’ensemble du circuit.
56
5.1. Un circuit de géométrie particulière
Le problème posé est délicat à résoudre en trois dimensions. Par contre les calculs
numériques aboutissent rapidement si on se restreint à un circuit de géométrie plane.
Considérons l’association de deux résistances et d’un générateur reliés par des fils sans
résistance, les trois composants étant dans le plan xOy. Etirons ensuite ce circuit suivant
l’axe Oz pour aboutir à une sorte de tuyau à section rectangulaire de très grande longueur
par rapport à la dimension du circuit de départ. Le vecteur densité de courant est dans le
plan xOy en tout point.
Figure 17 : Circuit étiré en tuyau conducteur très allongé.
Dans cette géométrie qui rappelle celle du solénoïde infini le champ magnétique est
uniforme et dirigé suivant l’axe Oz. Il en résulte que :
JG
JG
♦ le vecteur de Poynting ne dépend que du champ électrique : π ∝ E ;
JJG JJG
♦ les sections des surfaces équipotentielles par un plan (M, ex , ey ) sont les lignes de
JG
champ de π ;
JG G
♦ à l’extérieur de ce circuit cylindrique B = 0 . Les transferts énergétiques se limitent à
l’intérieur du tuyau.
5.2. Résolution de l’équation de Poisson
5.2.1.
Conditions aux limites : profil de potentiel le long du circuit
Le circuit étudié a la forme d’un carré de coté a, le générateur ponctuel occupe le
a
sont centrées sur deux autres
2
côtés. Les fils de liaisons sans résistance matérialisent des équipotentielles, tandis que la
décroissance du potentiel est affine au sein des conducteurs ohmiques (le champ électrique y est uniforme). On aboutit ainsi au profil de potentiel schématisé sur la figure 18.
milieu d’un des côtés les deux résistances de longueur
57
p o ten tiel
E
R1
R2
Figure 18 : Profil de potentiel imposé.
5.2.2.
Recherche d’une solution par la méthode de relaxation
Le potentiel électrique vérifie l’équation de Poisson, que l’on peut résoudre par décomposition de Fourier [12] ou par une méthode de relaxation [2] qui exploite la signification
géométrique de l’opérateur laplacien [13]. On partage la surface du carré en N 2 petits
carrés repérés par deux indices (i , j ) avec i = 1...N , j = 1...N . Les valeurs des 4N − 4
carrés latéraux sont fixées d’après les contraintes exposées ci-dessus. On parcourt
séquentiellement les carrés restants en les remplaçant par la valeur moyenne des carrés
adjacents, puis on itère le processus. On obtient à l’itération n+1 :
Vn +1(i , j ) =
[Vn (i − 1, j ) + Vn (i + 1, j ) + Vn (i , j − 1) + Vn (i , j + 1)] .
4
Cette méthode converge rapidement et produit la matrice N × N des V (i , j ) valeurs proa
a
(i − 1) et y =
( j − 1) .
ches du potentiel V ( x, y ) aux points de coordonnées x =
N −1
N −1
5.2.3. Topographie du vecteur de Poynting
JG
Les lignes équipotentielles sont les lignes de champ de π . Comme l’explicite la figure
19, elles partent toutes du générateur et aboutissent à l’une ou à l’autre résistance en
évitant les conducteurs.
JG
De la connaissance de V (i , j ) on tire une valeur approchée du champ électrique E :
JG
JG
G
G
N
N
E (i , j ) = − [V (i + 1, j ) − V (i − 1, j )]e x − [V (i , j + 1) − V (i , j − 1)]e y puis la norme π du vec2a
2a
JG
JG
2
2
teur de Poynting : π ∝ E ( i , j ) ∝ [V ( i , j + 1) − V ( i , j − 1)] + [V (i + 1, j ) − V (i − 1, j )] .
58
Figure 19 : Lignes de champ du vecteur de Poynting dans le volume intérieur du circuit.
Figure 20 : Lignes de champ du vecteur de Poynting et potentiel V ( x, y )
5.3. Calcul des charges surfaciques
JG σ JG
Le théorème de Coulomb E = n donne les densités de charges surfaciques σ
ε0
présentes sur les fils et les résistances. On obtient par exemple en un point M (1, j ) ,
V (1, j ) − V (2, j )
σ = ε 0N
∝ V (1, j ) − V (2, j ) . En procédant ainsi sur les quatre côtés (on omet
a
les sommets du carré), il est possible d’étudier le profil de charges surfaciques le long du
circuit [14-15].
E
59
R1
R2
Figure 21 : Répartition surfacique de charges pour l’ensemble du circuit.
Comme le montre la figure 21 les charges surfaciques statiques sont présentes sur
l’ensemble du circuit. La densité très élevée au niveau du générateur (elle est écrêtée sur
la figure 21) traduit une modélisation un peu abrupte par un composant ponctuel. Maple
permet de calculer la charge totale du circuit qui est pratiquement nulle avec une excellente précision, comme on pouvait s’y attendre. Un tracé très fin de la figure 20 corrobore
que σ s’annule aux points où l’équipotentielle est orthogonale aux côtés du carré.
Au terme de cet article, nous remercions vivement le collègue anonyme qui s’est
chargé de la relecture de cet article avant sa publication. Au-delà des erreurs typographiques, ses critiques constructives nous ont amenés à clarifier certains points fondamentaux. Ce travail de relecture est difficile car il faut pénétrer en profondeur la pensée
des auteurs. Par son engagement, le relecteur contribue à la cohérence et à la lisibilité
des articles pour le plus grand bien de tous.
Il est heureux de noter que l’électromagnétisme ne s’oppose pas à l’électrocinétique
mais en affine les représentations (ils aboutissent aux mêmes bilans énergétiques). En
compartimentant l’enseignement en divers domaines (électrostatique, magnétostatique,
électromagnétisme des ondes, électrocinétique…), nous ne favorisons pas une structuration en profondeur des concepts. Il n’y a pourtant pas de différence de fond entre un
courant nul et un courant très faible. Sous cet angle, l’électrocinétique est fille de
l’électrostatique. Les charges surfaciques sont au centre de cette problématique. Pour
créer des ponts entre ces domaines, nous ne pouvons ignorer les multiples fonctions de
ces charges trop souvent négligées.
BIBLIOGRAPHIE
[1]
Site EDUSCOL du ministère de l’Éducation nationale et aussi
http://www.cndp.fr/lycee/phychim/
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JACKSON J.D. Électrodynamique classique. Dunod, 2001.
60
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PEREZ J.-Ph., CARLES R. et FLECKLINGER R. Électromagnétisme. Paris : Masson,
1991.
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J. Phys., July 1996, vol. 64.
[5]
HEALD M. A. « Electric fields and charges in elementary circuits ». Am. J. Phys., june
1984, vol. 52.
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SIVARDIERE J. La symétrie en mathématiques, physique et chimie. Presses Universitaires de Grenoble,1995.
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Site d’Eric WEISSTEIN : World of Mathematics - A wolfram Web Resource http://mathworld.wolfram.com/
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LANDAU L. et LIFCHITZ E. Théorie des champs. Chapitre 10, Moscou : Éditions Mir,
1970.
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MAURAS D. Électromagnétisme. Paris : Presses Universitaires de France, 1999.
[10] MAJCEN S., HAALAND R.K. et DUDLEY S.C. « The Poynting vector and power in, a
simple circuit ». Am. J. Phys., september 2000, vol. 68.
[11] AGUIRREGARIBA J.M., HERNANDEZ A., RIVAS M. « An example of surface charge distribution on conductors carrying steady currents ». Am. J. Phys., june 1994, vol. 62.
[12] SARMANT J.-P. Exercices et problèmes d’électromagnétisme. Tec & Doc - Lavoisier.
[13] SIVARDIERE J. « Une introduction géométrique et physique du laplacien ». Bull. Un.
Phys., mai 1992, vol. 86, n° 744, p. 771-788.
[14] PREYER N.W. « Surface charges and fields of simple circuit ». Am. J. Phys., november 2000, vol. 68.
[15] SASLOW W.M. « Consider a spherical battery ». Am. J. Phys., june 1994, vol. 62.
[16] LORRAIN P. et CORSON D. R. Champs et ondes électromagnétiques. Armand Colin,
Collection U, p. 574-581.
André DEIBER
Professeur
Lycée Kléber
Strasbourg (Bas-Rhin)
Frédéric PAVIET-SALOMON
Professeur
Lycée Kléber
Strasbourg (Bas-Rhin)
61
Aspects statistiques à l’œuvre dans l’irréversibilité,
dans le cadre d’un système fermé et isolé de particules
à deux niveaux d’énergie
par Didier MAGLOIRE
Ancien élève de l’ENS de Cachan
Agrégé de sciences physiques
49100 Angers
[email protected]
RÉSUMÉ
Cet article propose une étude quantitative des aspects statistiques à l’œuvre dans le
phénomène macroscopique « d’irréversibilité ». Elle s’appuie sur les études macro- et
microscopique de la mise en équilibre de deux sous-parties macroscopiques d’un système
thermodynamique fermé et isolé.
Nous commencerons par présenter et commenter les notions de microétats et de
macroétats d’un système ainsi que les liens qui unissent ces concepts entre eux. Nous
définirons alors le modèle physique des entités élémentaires constituant le système, et nous
nous intéresserons ensuite à la mise en équilibre thermique elle-même, en suivant des points
de vue micro- et macroscopiques. Enfin, nous relierons la notion d’entropie statistique aux
résultats obtenus et discuterons les problèmes soulevés par le postulat fondamental de la
physique statistique dans le cadre microcanonique.
1. MICROÉTATS ET MACROÉTATS D’UN SYSTÈME
1.1. Définition d’un microétat
Un microétat ou état microscopique d’un système est défini par l’ensemble des valeurs
des grandeurs physiques jugées pertinentes pour caractériser l’état physique de chaque
entité élémentaire qui compose le système (atomes, molécules, ions, particules élémentaires...), dans le cadre du modèle que nous nous imposons. Nous nous plaçons de fait à
l’échelle la plus intime du système en individualisant chaque entité et en recueillant pour
chacune les grandeurs physiques que nous pensons d’intérêt pour la description d’ensemble
du système. Cette conception du microétat d’un système étend, de fait, à un système
composé d’un grand nombre de particules, les modes de raisonnement de la mécanique
rationnelle, à travers l’attention qu’elle porte aux caractéristiques physiques de ses
constituants élémentaires.
La collection de ces données suppose que le thermodynamicien ait défini deux
ensembles d’hypothèses préalables. En premier lieu, il doit avoir élaboré un modèle physique
de ces entités. Par exemple, il choisit de considérer les entités élémentaires comme étant soit
des points matériels sans dimension et sans structure interne, soit des sphères dures encore
Didier MAGLOIRE
62
sans structure interne, soit des atomes, conçus comme un ensemble d’électrons gravitant
autour d’un noyau, ou bien encore des molécules, assemblages d’atomes, etc. De la
complexité du modèle choisi pour les entités du système va dépendre la finesse des
phénomènes étudiés. La deuxième série d’hypothèses porte sur la liste des grandeurs
physiques à collecter qui paraissent pertinentes relativement aux hypothèses constitutives du
modèle. Cependant, un modèle un tant soit peu détaillé complique l’exploitation que l’on peut
en espérer, et devient de fait rapidement inutilisable. La modélisation manifeste ainsi son
caractère de compromis entre la subtilité recherchée dans l’analyse et la commodité de son
emploi.
Nous présentons à titre d’exemple une modélisation déjà rencontrée par ailleurs, pour
comprendre les propriétés d’une grande collection de molécules : le modèle du gaz parfait
monoatomique. Le modèle le plus simple, celui sur lequel est fondée la théorie cinétique du
gaz parfait monoatomique, consiste à considérer que les molécules qui constituent le gaz
sont des points matériels sans volume et sans interaction entre eux, hormis leurs collisions,
mais possédant une masse. L’état microscopique du système est alors connu si nous
supposons, au moins en théorie, que nous avons collecté l’ensemble des positions et des
vitesses de ses points matériels : vu la simplicité du modèle, il n’apparaît pas d’autres
grandeurs physiques pertinentes. Or, lorsque nous étudions expérimentalement un gaz réel,
nous constatons que des propriétés se découvrent, tels les changements d’état, qui ne
peuvent être déduites du modèle précédent : ceci exige alors que nous le détaillions, afin de
tenir compte d’une réalité plus complexe. Par exemple, nous pouvons donner un volume à
chaque entité élémentaire et introduire une interaction à distance de nature dipolaire
électrostatique, qui implique que nous sachions décrire des phénomènes électrostatiques,
etc.
1.2. Macroétat d’un système
Un macroétat d’un système thermodynamique est défini, lui, par l’ensemble des valeurs
des grandeurs physiques mesurables à notre échelle, dite à ce titre «macroscopique». Les
grandeurs physiques en question prennent le nom de paramètres d’état ou paramètres
macroscopiques. La pression, la température, le volume, la masse, la masse volumique,
l’énergie interne, l’enthalpie, l’entropie, la charge, le potentiel électrostatique ou le champ
électrique, la polarisation diélectrique, le champ magnétique, l’aimantation, etc. constituent
une liste non exhaustive de ces paramètres.
Un système est à l’équilibre thermodynamique lorsque ses paramètres d’état pertinents
ne dépendent plus du temps et qu’il n’échange ni énergie ni matière avec l’extérieur. En
revanche, si le système est hors d’un état d’équilibre, il est nécessaire, pour décrire son état
macroscopique, de substituer aux paramètres les champs correspondants, qui traduisent
alors la dépendance en temps et en position au sein du système, des grandeurs physiques
considérées.
1.3. Microétats d’un macroétat donné
Nous nous intéressons maintenant au lien entre microétats et macroétats d’un système.
Pour cela, nous devons constater que le grand nombre de particules soumises à notre
examen laisse soupçonner les difficultés que nous rencontrerions pour rassembler expéri-
Aspects statistiques à l’œuvre dans l’irréversibilité...
63
mentalement les données qui permettraient de décrire complètement un microétat du
système. En effet, ce nombre est supposé être de l’ordre de grandeur du nombre d’Avogadro,
soit 10 23 - 10 24 entités élémentaires. Aussi n’est-il pas question d’en entreprendre le
recensement effectif, impossible à mener de façon pratique. Par ailleurs, le traitement de ces
données ne présente d’intérêt que sur un plan statistique : en effet, l’accumulation des
valeurs des grandeurs physiques concernant une des entités du système ne possède de
sens que mise en relation avec celles concernant les autres entités, et les grands nombres en
question commandent de facto ce traitement statistique.
Le modèle microscopique avec lequel travaille le physicien doit lui permettre de déduire,
plus ou moins facilement, des comportements macroscopiques sous l’effet des contraintes
extérieures qui s’exercent sur le système. Ces comportements se traduisent théoriquement
par des relations particulières entre les valeurs qui caractérisent les grandeurs physiques
macroscopiques étudiées, relations que nous nommons équations d’état entre les
paramètres d’état du système à l’équilibre. Mais, à la fin, seule la confrontation entre les
mesures expérimentales et les valeurs déduites de la théorie autorise à valider ou à infirmer
le modèle de travail. La question se pose de déterminer la relation qui existe entre les
mesures macroscopiques auxquelles nous pouvons accéder et l’état microscopique du
système.
Une partie de la réponse est contenue dans la constatation suivante, à savoir que la
mesure macroscopique d’une grandeur physique est en elle-même une construction statistique. En effet, le capteur à l’aide duquel le physicien procède à la mesure (thermomètre,
manomètre, etc.) possède une certaine étendue spatiale (il n’existe pas de capteur qui puisse
être réduit à un point) et nécessite un certain temps de réponse (il n’existe pas de dispositif
physique répondant instantanément à une sollicitation extérieure). Ainsi, la mesure physique
se révèle être le résultat combiné d’une suite dans le temps de processus qui se sont
déroulés en des points différents de l’espace. Par exemple, la mesure de la température d’un
système thermodynamique est la conséquence de la mise en équilibre thermique du
thermomètre avec le système ; nous concevons que cette mise en équilibre résulte d’une
multitude de chocs des particules du système sur la paroi du thermomètre, qui transmet
l’énergie qu’elle reçoit aux particules du thermomètre. Ce processus égalise les énergies
cinétiques moyennes des particules du système et celles du thermomètre. Or, ces chocs
trahissent des changements de positions et de vitesses des particules du système, et donc
un changement concomitant de son état microscopique. Par conséquent, la valeur de la
température fournie par l’instrument de mesure, qui caractérise en partie, pour l’expérimentateur, un état macroscopique donné du système, provient de la succession des
interactions entre le thermomètre et des microétats distincts du système. Il est dès lors clair
qu’un macroétat donné d’un système est réalisé par plusieurs microétats.
Ceci est illustré par le modèle simple du gaz parfait, pour lequel nous savons que sa
température et son énergie interne mesurent respectivement l’énergie cinétique moyenne et
l’énergie cinétique totale du gaz. Or, cette dernière est la somme des énergies cinétiques de
chacun des atomes et donc nous concevons aisément que la permutation des valeurs des
énergies cinétiques entre les diverses entités conduit à la même valeur d’énergie cinétique
totale. Ce qui est conforme à la conclusion à laquelle nous sommes arrivés.
Didier MAGLOIRE
64
2. ÉVOLUTION D’UN SYSTÈME VERS UN ÉTAT D’ÉQUILIBRE THERMODYNAMIQUE
2.1. Présentation de la situation étudiée
Nous allons consacrer notre étude à la description des microétats d’un système
particulier, dont nous définirons la composition au paragraphe suivant, isolé et fermé, noté $,
résultant de la mise en équilibre thermique de deux sous-parties, notées 1 et 2 , et
fréquemment désignées par la suite sous le terme de « corps ». Les deux corps forment une
partition du système : ainsi, $ = 1 ∪ 2 . Dans l’état initial du système, les températures des
sous-parties sont différentes. Nous les noterons pour la suite T1i et T2i . L’étude de l’évolution
est faite dans un référentiel galiléen dans lequel les corps sont supposés être au repos et
sans interaction aucune avec des champs de force extérieurs ou par contact avec un
troisième système.
Le second principe de la thermodynamique classique nous permet d’affirmer que le
système constitué des deux corps atteint un état d’équilibre thermodynamique, un macroétat,
caractérisé par une température Tf uniforme sur l’ensemble des deux corps. La température
Tf est intermédiaire entre les deux températures initiales, ce qui traduit la conservation de
l’énergie d’un système isolé et fermé inscrite dans le premier principe de la thermodynamique, grâce auquel nous pouvons par ailleurs la calculer. Cette température finale Tf ,
toujours selon le second principe de la thermodynamique, maximise alors l’entropie de notre
système, ce qui induit une variation d’entropie strictement positive du système isolé et fermé,
au cours de sa transformation.
2.2. Modèle microscopique du système
Le système en question est une collection de N particules sans mouvement, identiques
mais discernables, qui ne peuvent avoir que deux états possibles d’énergie, 0 et E : soit la
particule possède une énergie nulle, soit une énergie égale à E ; par ailleurs, nous ne
considérons aucune interaction entre les particules constitutives du système autre que
l’échange interparticulaire des quanta E . Chacun des corps 1 et 2 est constitué
respectivement de N1 et N 2 de ces particules, de sorte que N = N1 + N 2 .
Ce modèle dit « à deux niveaux d’énergie », est élémentaire, voire simpliste, sûrement
très éloigné de la complexité réelle, mais toutefois suffisant pour ce que nous voulons
montrer par la suite. En effet, la seule donnée microscopique pertinente pour une particule
quelconque du système, eu égard à ce modèle, est son état énergétique, à savoir si elle
possède ou non le quantum d’énergie E . Il en résulte qu’un microétat du corps est alors
défini par l’établissement de la liste des particules de ce corps qui possèdent le quantum E .
2.3. Caractérisation des macro- et microétats du système
Le modèle microscopique présenté au paragraphe précédent permet de considérer que
les paramètres d’état pertinents pour décrire le système à l’échelle macroscopique, donc son
macroétat initial, sont la quantité de « matière », la température ou l’énergie interne de
chaque corps, traduites respectivement par N1 , N 2 , T1i , T2i , U1i et U 2i . Son macroétat final
sera caractérisé par N1 , N 2 , Tf , U1f et U 2f .
65
Le quantum d’énergie E , dont la possession par une particule décrit complètement son
état physique, et la température d’un corps, relient entre eux le niveau microscopique et les
données macroscopiques, énergie interne ou température. En effet, l’énergie interne de
chaque corps comptabilise simplement les quanta d’énergie E attachés à ses entités
élémentaires puisque le modèle microscopique adopté ne fait pas référence à d’autres
interactions entre les particules, exclut tout mouvement et ne repose que sur la détention et
l’échange de tels quanta. L’énergie interne de chaque corps est donc égale à la somme des
quanta d’énergie qu’il possède par le truchement de ses particules.
Nous introduisons n1i < N1 (resp. n 2i < N 2 ) le nombre de particules du corps 1 (resp.
2 ) qui possèdent le quantum E , à l’état initial, et nous pouvons alors écrire :
U1i = n1i E
et
U 2i = n 2i E
(1)
Enfin, l’état d’équilibre final de chaque corps est caractérisé par un nombre n1f < N1 (resp.
n 2f < N 2 ) de particules du corps 1 (resp. 2 ) détentrices d’un quantum E . De la sorte, nous
avons :
U1f = n1f E et U 2f = n 2f E
(2)
Nous vérifions que les températures initiales et finales sont données par les relations
1
suivantes :
E
E
(3)
et k BT2i =
k BT1i =
 N1 − n1i 
 N 2 − n 2i 


ln
ln
 n1i 
 n 2i 
Nous pouvons remarquer, au passage, que l’état macroscopique d’équilibre d’un des
corps est complètement défini par la donnée d’une seule des trois grandeurs : température
T x , énergie interne U x ou nombre de particules excitées n x , si l’on accepte les relations (1)
et (3). Ce constat ne doit pas étonner puisque ces corps fermés ne possèdent de facto
qu’une seule variable d’état qui définit complètement leur état énergétique, décrit ainsi par
l’une des trois données citées.
1
Ces relations sont établies en utilisant la définition de l'énergie interne d'un corps :
∂
U=−
ln Z ,
∂β
où
β=
1
,
k BT
T étant la température du corps, k B la constante de Boltzmann et Z la fonction de partition du système de
particules identiques et discernables :
(
)
N
Z = 1 + e −β E .
Le lecteur retrouvera aisément l'origine de ces expressions dans les références [2], [5] et [6], qui toutes
reprennent les fondements de la physique statistique.
Didier MAGLOIRE
66
2.4. Résultats macro- et microscopiques fournis par la thermodynamique
classique
L’application du premier principe de la thermodynamique au système isolé et fermé, sous
le régime des hypothèses précédentes, nous permet de déduire la température de son état
d’équilibre final. En effet et de manière évidente, la conservation de l’énergie interne du
système isolé et fermé conduit à :
E
,
(4)
k BTf =
 N − ni 

ln
 ni 
dans laquelle nous avons introduit n i le nombre total de particules initialement excitées, tel
que :
(5)
n i = n1i + n 2i = n1f + n 2f .
Nous allons montrer maintenant que les informations précédentes permettent de trouver
les nombres n1f et n2f de particules excitées, i.e. possédant le quantum d’énergie E , dans
chacun des deux corps, à l’équilibre thermodynamique final. En effet, la conservation de
l’énergie interne signifie simplement que le nombre total de particules excitées reste constant
entre l’état initial et l’état final. D’autre part, l’uniformité de la température finale d’équilibre Tf
du système permet d’assurer que les énergies internes finales respectives des corps 1 et
2
2 sont dans la proportion de leurs nombres respectifs de particules . Ainsi avons-nous les
relations (5) et :
U1 f
N
(6)
= 1.
U2f
N2
De (2), (5) et (6), nous déduisons donc :
N1
N
= n i 1 et
n1f = n i
N1 + N 2
N
n 2f = n i
N2
N
= ni 2 .
N1 + N 2
N
(7)
L’interprétation de ces deux nombres est immédiate : les particules excitées se
répartissent entre les deux corps en proportion de leur taille. Ainsi, dans le nouvel état
d’équilibre, les quanta d’énergie E sont répartis de façon homogène entre les deux corps. Ce
résultat découle des premier et second principes de la thermodynamique et exploite l’identité
du rôle énergétique de chaque particule du système.
2
En effet, la relation entre l'énergie interne U i du corps i et sa température Ti est, pour le modèle particulier
étudié,
Ni E
Ui =
.
1 + e E kBTi
Elle est obtenue directement à l'aide des informations de la note 1.
67
Il est également possible de calculer la variation d’entropie du système $ entre ses états
d’équilibre initial et final. Pour cela, nous écrivons que :
∆S = S irr =
Tf
∫
T1i
C1 (T )
dT
+
T
Tf
∫
T2 i
C 2 (T )
dT
,
T
(8)
où, par définition, la capacité calorifique C i (T ) du corps 1 est la dérivée partielle de son
énergie interne par rapport à sa température. Tous calculs faits3, nous obtenons l’expression
de la variation d’entropie du système, en fonction des températures :
2

1+ e − E
∆S = k B ∑  N m ln
1+ e − E
m =1 
k B Tf
k B Tmi
E k BTmi
 E k BTf
+ Nm 
−
E k T
E k T
 1 + e B f 1 + e B mi

  ,

(9)
ou à l’aide des nombres de particules excitées, grâce aux relations (3) et (4) :
N −n
N −n

n n1i (N1 − n1i ) 1 1i n 2ni2 i (N 2 − n 2i ) 2 2 i
NN
∆S = k B ln n
⋅ 1i
⋅
N − ni
N1
N2
i
N1
N2
 n i (N − n i )

.


(10)
2.5. Interprétation microscopique de l’évolution vers l’équilibre thermodynamique
Il s’agit essentiellement ici de dénombrer les microétats du système étudié correspondant
à l’état initial et à l’état final et de commenter les résultats obtenus. Aussi recherchons-nous,
pour commencer, le nombre Ω (n1i , n 2i ) de microétats qui sont associés au macroétat initial
du système. Leur nombre se calcule en observant qu’il correspond au produit du nombre de
combinaisons des n1i particules, possédant l’énergie E , parmi N1 dans le corps 1 par le
nombre de combinaisons des n 2i parmi N 2 dans le corps 2 . Ainsi,
Ω (n1i , n 2i ) = C Nn11i ⋅ C Nn22i =
N1 !
N2 !
⋅
.
n1i ! (N1 − n1i )! n 2i ! (N 2 − n 2i )!
(11)
Naturellement, pour s’accorder à la réalité, nous considérons que les nombres introduits, N1 ,
N 2 , n1i et n 2i , sont tous très grand devant 1, de l’ordre de grandeur du nombre d’Avogadro,
pour fixer les idées.
3
Nous pouvons à cet égard utiliser le fait que, de par sa définition :
∂2
∂U
= kBβ2
C (T ) =
ln Z
∂T
∂β 2
dT
dβ
=−
β
T
La différentielle dS de l'entropie d'un des corps peut se mettre ainsi sous la forme :


∂
dS = k B d  ln Z − β ln Z  ,
∂β


où Z est la fonction de partition du corps en question. Nous signalons que les calculs, sans être difficiles, sont
assez fastidieux à mener.
et :
Didier MAGLOIRE
68
Le nombre total Ω (n i E ) des microétats correspondant au macroétat final du système
s’obtient en constatant qu’il s’agit du nombre de combinaisons possibles des ni quanta
d’énergie sur les N = N1 + N 2 particules susceptibles de les accueillir, à savoir :
Ω (n i E ) = C Nni =
N!
.
n i ! (N − n i )!
(12)
En effet, la contrainte d’isolement de chacun des corps étant maintenant levée, les quanta
sont a priori libres de se distribuer sur tous les sites offerts par le système $. Le
dénombrement des microétats accessibles au système isolé d’énergie n i E que nous avons
établi est donc bien, de ce fait, complet. Cependant, nous ne pouvons nous empêcher de
relever que les nombres moyens n1f et n2f de quanta d’énergie E présents à l’équilibre final
dans chaque corps et donnés par les égalités (7), nous invitent spontanément à affirmer que
le nombre de microétats correspondant au macroétat final est donné par le produit des
combinaisons des n1f parmi N1 particules ayant en moyenne un quantum E dans le corps
1 et des combinaisons des n2f parmi N 2 particules pour ce qui concerne le corps 2 , soit :
Ω M = C Nn11f ⋅ C Nn22f =
N1 !
N2 !
⋅
.
n1f ! (N1 − n1f ) ! n 2f ! (N 2 − n 2f ) !
(13)
Nous ne saurions pourtant trop insister sur le fait que Ω M ne représente qu’une fraction du
nombre total de microétats accessibles au système $ dans son état d’équilibre final.
Toutefois, nous aurons à revenir sur Ω M afin de montrer le rôle et l’importance qu’il a vis-àvis de Ω (n i E ) .
En effet, il est intéressant de constater que le nombre de microétats accessibles à
l’équilibre final (12) peut aussi s’écrire sous la forme suivante :
Ω (n i E ) =
soit :
Ω (n i E ) =
min (ni ,N1 )
∑
n = max (0 ,ni −N 2 )
C Nn1 ⋅ C Nni2−n
min (ni ,N1 )
N1 !
N2 !
⋅
=
Ω (n ) ,
∑
0 ,ni − N 2 ) n ! (N 1 − n )! (n i − n )! (N 2 − n i + n )!
n = max (0 ,ni − N 2 )
(14)
min (ni ,N1 )
∑
(
n = max
(15)
expression qui définit la fonction Ω (n ) dont nous étudierons le comportement en fonction de
n pour l’intérêt qu’il présente. Nous pouvons dès à présent observer que, eu égard aux
égalités (5) et (11) :
Ω (n1i , n 2i ) = Ω (n1i ) et Ω M = Ω(n1f )
(16)
Or, chacun de ces termes contribue au nombre total de microétats Ω (n i E ) donné par (12), ce
qui confirme la mise en garde faite précédemment.
Afin de compléter l’interprétation que nous pouvons faire des valeurs n1f et n2f données
par les égalités (7), nous allons montrer qu’elles représentent les nombres de particules
excitées dans chaque corps, auxquels correspond la répartition moyenne des quanta entre
les corps produisant le plus grand nombre de microétats parmi tous ceux qui sont acces-
69
sibles au système isolé et fermé, d’énergie interne initiale n i E . La traduction mathématique
de cette assertion revient à démontrer que la valeur nM de n qui rend maximale la fonction
Ω (n ) n’est autre que n1f .
Pour cela, nous considérerons donc que n est une variable continue (alors que sa valeur
est en réalité entière d’après la signification que nous lui accordons), et nous étudierons
ln Ω (n ) , en nous servant de la formule de Stirling ln N ! ≈ NlnN − N , pour approcher les
factorielles que nous rencontrerons, lorsque N est grand. Ainsi, une fois les calculs faits, en
utilisant l’approximation de Stirling, nous obtenons :
lnΩ (n ) = N1lnN1 − N1 + N 2lnN 2 − N 2 + N1 + N 2 − nlnn...
− (N1 − n )ln(N1 − n ) − (n i − n )ln(n i − n ) − (N 2 − n i + n )ln(N 2 − n i + n ).
Sa dérivée par rapport à n vaut, tous calculs faits :
 (N − n )(n i − n ) 
d
 .
lnΩ (n ) = ln 1
dn
 n (N 2 − n i + n ) 
(17)
La valeur de n qui annule la dérivée est obtenue en égalant l’argument du logarithme à 1.
Cette valeur vaut donc :
N1n i
= n1f .
nM =
(18)
N1 + N 2
Nous reconnaissons en elle, comme nous l’avions affirmé, la valeur n1f donnée par la
première des deux relations (7). Il ne reste plus qu’à montrer qu’il s’agit bien d’un maximum,
en calculant la valeur en nM de la dérivée seconde de lnΩ (n ). Pour ce faire, nous dérivons
l’expression (17) par rapport à n , et prenons sa valeur pour n = nM = n1f . Il vient alors :
d2
N3
lnΩ (n ) = −
.
2
N1N 2 n i (N − n i )
dn
(19)
Il est clair que n i est inférieur à N = N1 + N 2 , et que le signe de l’expression (19) est, de ce
fait, négatif. Voilà donc démontré le fait qu’il s’agit d’un maximum.
Nous devons maintenant nous demander pourquoi l’état macroscopique du système nous
incite à ne considérer que les Ω M microétats correspondant à la répartition moyenne homogène des quanta E , alors qu’objectivement le nombre total des microétats accessibles à
l’équilibre final est devenu Ω (n i E ) . Pour répondre à cette interrogation, nous pouvons étudier
le comportement de la fonction Ω (n ) au voisinage de son maximum.
2.6. Étude de ln (n) autour de nM
Autour du maximum n M , nous pouvons développer la fonction lnΩ (n ). Nous noterons :
1
d2
= − 2 lnΩ (nM ) .
2
σ
dn
Didier MAGLOIRE
70
Comme nM est un extremum, la dérivée première par rapport à n de lnΩ (n ) est nulle en ce
point et nous pouvons écrire :
1
2
lnΩ (n ) ≈ lnΩ M − 2 (n − n M ) + ...
(20)
2σ
Ainsi, nous pouvons approcher la fonction Ω (n ) par :
 (n − n M )2 
.
Ω (n ) ≈ Ω M exp −
2σ 2 

(21)
La fonction Ω (n ) est une courbe gaussienne centrée sur nM et d’écart-type σ . Pour saisir le
comportement de cette fonction, nous pouvons nous intéresser aux valeurs de n qui conduisent à un nombre de microétats au moins supérieur à Ω M / 1000 . Un calcul élémentaire
donne que ces nombres n sont tels que :
(22)
n M − 6,9 σ < n < n M + 6,9 σ
Or, quel est l’ordre de grandeur de σ ? L’expression fournie par (19) et le fait que N , N1 , N 2
et n i soient du même ordre de grandeur (à savoir N ) indiquent que σ est de l’ordre de
grandeur de
N . Alors, le rapport :
14σ
nM
qui traduit la largeur relative de l’intervalle des valeurs de n défini par (22), auquel nous nous
intéressons, devient de l’ordre de 1 N . Par exemple, si nous prenons des corps de tailles
similaires ( 2N1 = 3N 2 ), et une énergie initiale caractérisée par n i = 3N 2 4 , les valeurs
approchées de σ et de σ nM , exprimées en fonction de N1 seront respectivement :
σ=
21N1
250
,
14σ
210
1
= 14
⋅
.
225 N1
nM
Comme nous considérons des corps dont le nombre de particules est de l’ordre du nombre
d’Avogadro, il vient immédiatement que la largeur relative de notre intervalle (22) est donc de
l’ordre de 10 − 11 : ceci se manifeste par une distribution des microétats très étroitement
centrée sur nM (cf. figure 1 ci-dessous).
Figure 1
71
Poursuivons la discussion de cette situation en étudiant quelle proportion du nombre total
de microétats accessibles représente le nombre de microétats dont n est compris dans
l’intervalle défini par les inégalités (22). Cette fraction peut être exprimée de la sorte, si
n i < N1 :
nM + 6 ,9 σ
∑
n = nM − 6 ,9 σ
Ω (n )
Ω (n i E )
.
Vue la forme de la courbe Ω (n ), la proportion peut être estimée par :
nM + 6 ,9 σ
∫
Ω (n )dn
nM − 6 ,9 σ
+∞
,
∫ Ω (n )dn
−∞
où Ω (n ) est donnée par son expression approchée (21). Le résultat, que nous pouvons
évaluer à l’aide de la fonction « erf » de MAPLE, vaut numériquement 1 à mieux que 10 − 21
près. L’étude qui précède signifie que, parmi tous les microétats accessibles à l’équilibre final,
ceux qui distribuent les quanta de manière homogène ou presque entre les deux corps en
constituent l’immense majorité.
Nous pouvons, pour achever ceci, évaluer l’écart relatif de température entre 1 et 2 ,
qui résulterait de la répartition suivante des quanta : n1 = n M + 6,9 σ et n 2 = n i − n M − 6,9 σ
4
dans chaque corps. La température du corps 1 serait alors donnée par :
E
k BT1 =
,
 N1 − n M − 6,9 σ 

ln 
 n M + 6,9 σ 
celle du corps 2 par :
k BT2 =
E
.
 N 2 − n i + nM + 6,9 σ 

ln 
 n i − nM − 6,9 σ 
En appelant ∆T = T1 − T2 l’écart entre les deux températures et en considérant que nous
sommes dans la situation où σ est très petit devant les quantités suivantes N1 − n M , nM ,
n i − n M et N 2 − n i + n M , le développement de ∆T Tf conduit à :
∆T
=
Tf
6,9
 N − ni
ln 
 ni
1
⋅ ,
 σ


(23)
4 Ces deux températures sont obtenues à partir de la même relation que celle employée pour définir les températures (3) et (4).
Didier MAGLOIRE
72
qui varie aussi comme 1 N pour des ordres de grandeurs similaires à ceux envisagés plus
haut. Les valeurs numériques de l’exemple précédent donnent un écart relatif :
6,9
250
∆T
,
=
⋅
Tf
ln (7 3 ) 21N1
de l’ordre de 10 − 11 , pour notre exemple. Ce calcul nous montre que l’inhomogénéité
introduite dans la répartition des quanta amène un écart relatif de température entre ces
corps, autour de la valeur d’équilibre, qui est indécelable à l’échelle macroscopique.
Au terme de cette étude, nous arrivons à la conclusion intermédiaire suivante :
♦ lors de son évolution vers l’équilibre thermodynamique, un système isolé et fermé passe
d’un macroétat initial auquel correspond un nombre de microétats Ω (n1i , n 2i ) à un état
macroscopique final auquel correspondent Ω (n i E ) microétats. Ω (n i E ) est non seulement
supérieur à Ω (n1i , n 2i ) , mais surtout il est presque égal au nombre de microétats pour
lesquels la répartition des quanta peut être regardée, à l’échelle macroscopique, comme
étant homogène entre les deux corps, les inhomogénéités se révélant indétectables à
l’échelle macroscopique.
3. ENTROPIE D’UN SYSTÈME
3.1. Définition statistique de l’entropie d’un système isolé
Dès 1877, le physicien allemand L. BOLTZMANN (1844-1906) exhibe une relation par
laquelle il relie l’entropie S d’un système thermodynamique à l’équilibre au nombre Ω (U ) de
microétats du système, compatibles avec son énergie interne U . Cette relation s’exprime
ainsi :
S = k B ln Ω (U ) ,
(24)
où k B est la constante de Boltzmann, dont la valeur approchée, avec trois chiffres significatifs, vaut 1,38.10-23 J.K-1.
3.2. Application à notre système
La définition statistique de l’entropie proposée par BOLTZMANN nous permet de déterminer
l’entropie du système dans ses états initial et final.
L’état initial, caractérisé par le nombre Ω (n1i , n 2i ) de microétats, donné par la relation
(11), conduit à une valeur de l’entropie statistique initiale S i , égale à :
S i = k B ln Ω (n1i , n 2i ) .
La valeur de l’entropie statistique finale vaut, de manière similaire :
Sf = k B ln Ω (n i E ) ,
(25)
(26)
où Ω (n i E ) est fourni par la relation (12). Nous avons déjà vu pourquoi ce nombre était
supérieur à Ω (n1i , n 2i ) . Il en résulte évidemment que l’entropie statistique finale du système
73
est supérieure à son entropie statistique dans l’état initial, ce qui est conforme au second
principe de la thermodynamique, dans le cadre du système que nous étudions.
Plus intéressante à observer est la parfaite compatibilité des expressions donnant la
variation de l’entropie à laquelle conduit sa définition statistique. En effet, le calcul de cette
variation à partir des expressions (25), (26), (11) et (12), à la limite des grands nombres pour
lesquels il est pertinent de remplacer les logarithmes des factorielles par leur approximation
de Stirling, redonne exactement l’expression (10). Or, celle-ci est obtenue à partir du
raisonnement classique qui la calcule le long d’un chemin réversible entre l’état initial et l’état
final, à l’origine de la relation (8), bien que nous devions y souligner l’insertion de relations
issues de la physique statistique pour les définitions des capacités calorifiques et des
températures des corps.
3.3. Problème soulevé par la définition statistique de l’entropie et commentaire
Cependant, la définition statistique de l’entropie soulève un problème de fond sur l’interprétation à donner à l’augmentation de l’entropie qui accompagne la transformation
macroscopique irréversible d’un système isolé et fermé. En effet, le recensement précédent
du nombre Ω (n i E ) de microétats du système à l’équilibre final, compatibles avec son énergie
n i E , inclut des microétats qui correspondent au macroétat initial du système. Cette constatation conduit à se poser la question de savoir si tous les microétats de notre système dans
son état final sont d’égale importance, ou si certains de ces microétats sont privilégiés,
justifiant que le macroétat final du système, qui leur correspondrait, soit différent ad vitam de
son macroétat initial.
A priori, rien n’indique que certains états microscopiques puissent présenter un intérêt
supérieur à d’autres : sur le plan énergétique, ils sont identiques, l’identité des particules du
système a déjà plaidé en faveur d’une identité de leur rôle en son sein ; et l’échange du
quantum d’énergie entre elles a été implicitement conçu comme symétrique. Rien ne semble
donc s’opposer à ce que tous les microétats du système isolé et fermé à l’équilibre soient
considérés comme ayant une égale importance. Le statisticien traduit alors cette égale
importance en terme de probabilité statistique de réalisation d’un microétat et postule, pour
qualifier l’identité accordée à chaque microétat du système isolé à l’équilibre thermodynamique (donc macroscopique), que :
♦ tous les états microscopiques accessibles d’un système isolé à l’équilibre thermodynamique (les microétats) ont la même probabilité d’être réalisés (nous disons qu’ils sont
équiprobables).
Il s’agit du postulat fondamental de la mécanique statistique. Un système satisfaisant aux
hypothèses d’isolement et de fermeture que nous avons posées, est appelé ensemble
microcanonique.
Le postulat précédent peut être compris par analogie avec un tirage de pile ou face à
l’aide d’une pièce de monnaie. Lorsque nous disons que la probabilité d’apparition de pile
(resp. de face) lors du lancement d’une pièce est p (resp. 1 − p ), nous exprimons par là que,
sur le relevé de N tirages, le nombre d’apparition du côté pile (resp. de face) est proche de
Np (resp. N (1 − p ) ). La transposition au système physique de cette situation nous conduit à
Didier MAGLOIRE
74
supposer que, lorsque nous observons pendant une durée t 2 − t 1 le système à l’équilibre
thermodynamique, la « durée d’existence », de chaque microétat est environ égale au produit
5
de la probabilité qu’il a d’exister par la durée de l’intervalle de temps d’observation . Or, si les
probabilités sont égales, comme l’énonce le postulat fondamental, et si le nombre de
microétats accessibles pour une énergie égale à n i E est Ω (n i E ) , alors la probabilité d’être
réalisé du microétat de numéro k , pk , vaut :
pk =
1
.
Ω (n i E )
(27)
Il peut sembler curieux d’affirmer ce qui précède car parmi les microétats possibles, il y a
aussi les microétats initiaux, qui sont associés à une situation macroscopique dans laquelle
respectivement n1i et n2i particules étaient excitées dans les deux corps. Par conséquent,
cet état a une probabilité non nulle d’exister à nouveau et donc d’être observé. Ceci défie
l’intuition issue de l’observation : une transformation « irréversible » ferait en quelque sorte un
« retour en arrière » !
Or, la notion d’irréversibilité sous-tend l’idée que le système ne repassera jamais par son
état macroscopique initial, où les températures des corps étaient distinctes de manière mesurable, comme dans l’exemple de la mise en équilibre étudiée au cours de l’article. Pourtant,
l’hypothèse centrale de la physique statistique n’en affirme pas moins que tous les
microétats compatibles avec la valeur de l’énergie du système sont équiprobables.
Ceci signifie ni plus ni moins que le système a une probabilité non nulle de repasser par des
microétats qui caractérisaient son macroétat initial. Cependant l’étude du comportement de
Ω (n ) autour de nM = n1f à laquelle nous nous sommes livrés, nous éclaire sur ce qui est à
l’œuvre. En effet, nous avons vu que les microétats qui représentent l’ensemble des
microétats accessibles à mieux que 10 − 21 près, sont ceux pour lesquels le nombre de particules excitées dans le corps 1 vaut environ nM à moins de ± 6,9 σ . Interprétons ceci à la
lueur de l’équiprobabilité postulée de tous les microétats : les microétats en question
possèdent de ce fait une probabilité d’apparition supérieure à 1 − 10 − 21 . Comme nous l’avons
déjà calculé, le passage du système par ces microétats particuliers s’accompagne pour
chacun des corps d’une fluctuation relative de température autour de celle d’équilibre dont
l’ordre de grandeur, donné par (23), devient très rapidement négligeable devant 1 pour un
système macroscopique. Ainsi, alors que l’état microscopique du système évolue en
permanence et que ce dernier explore en quelque sorte tous les microétats qui lui sont
accessibles, nous ne percevons aucune différence dans les mesures de ses paramètres
macroscopiques. Il en résulte pour l’observateur une impression d’immuabilité de l’équilibre
qui est inscrite dans le nombre fantastiquement grand de particules composant le moindre
système macroscopique.
5
Le principe ergodique, sur lequel repose la mécanique statistique, postule que les statistiques établies sur un
ensemble de systèmes placés dans des conditions identiques à un instant t conduisent aux mêmes résultats
que celles faites au cours du temps sur l'un de ces systèmes. Il est donc équivalent de dire que le nombre de
système dans un certain microétat donné parmi un grand nombre de systèmes identiques est proportionnel à sa
probabilité d'existence.
75
De plus, si nous supposons que le macroétat initial correspond à des microétats de valeur
n1i hors de l’intervalle défini par les inégalités (22), nous pouvons affirmer qu’il a une
probabilité de réalisation qui est certainement inférieure à 10 − 21 , après que le système $ a
atteint l’équilibre. Le macroétat initial, la contrainte d’isolement entre les deux corps ayant été
levée, apparaît de la sorte hautement improbable. Afin de rendre concrète l’extrême petitesse
de ce nombre, nous pouvons l’illustrer en disant que, sur une durée de l’ordre de l’âge de
l’univers, (soit entre dix et vingt milliards d’années, donc entre 3 et 6. 10 17 s), les microétats
de cet état initial ont statistiquement moins d’une milliseconde (entre 3 et 6. 10 − 4 s) de durée
d’existence ! Quoique non vérifiable expérimentalement, cette assertion est un premier pas
pour comprendre ce qu’est l’irréversibilité macroscopique à notre échelle d’observation
temporelle et spatiale ; H. POINCARE évoquait à ce sujet dans la valeur de la science [7] « une
sorte de concession à l’infirmité de nos sens », pour valider les conclusions tirées du principe
de Carnot.
Enfin, la croissance de l’entropie au cours de la transformation irréversible d’un système
isolé est intimement liée à la réunion des systèmes. Elle conduit en effet à la création d’un
ensemble de microétats nouveaux, compatibles avec la valeur totale de l’énergie du système,
et qui n’étaient pas accessibles avant que les corps soient mis en contact. En communicant
entre eux, une plus grande possibilité de répartition est offerte aux quanta d’énergie E et le
système explore spontanément ces nouvelles possibilités microphysiques. Cette « exploration », écarte le système de son état macroscopique initial, caractérisé par la distribution
(n1i , n2i ) de particules excitées dans les deux corps, avant leur mise en contact ; elle le
conduit, par échange de quanta entre les corps, vers une distribution (n M , n i − nM ) , autour de
laquelle - inégalités (22) - le nombre de façons de répartir les quanta :
nM + 6 ,9 σ
∑
n1 = nM − 6 ,9 σ
Ω (n1 )
est tellement énorme qu’il « piège » le système dans le parcours de ces microétats.
3.4. Irréversibilité et perte d’informations sur le système
L’assertion précédente mérite d’être commentée. Que signifie, pour notre connaissance
du système, cette augmentation du nombre de microétats associée à l’évolution vers un
équilibre thermodynamique ? Nous pouvons comprendre cette question si nous acceptons le
point de vue suivant : nous considérons que nous connaissons d’autant mieux l’état microphysique d’un système dans un certain macroétat s’il lui correspond un « petit » nombre de
microétats plutôt qu’un nombre plus élevé. En effet, le choix parmi tous les microétats qui
sont compatibles avec la conservation de l’énergie du système est plus étroit si le nombre de
microétats est peu élevé ; par conséquent, nous risquons moins de nous tromper en
choisissant l’un de ces microétats plutôt qu’un autre et si nous affirmons que le système est
dans ce microétat particulier.
Éclairons ceci par un exemple particulier, dans les termes du modèle employé aux
paragraphes précédents. Supposons que les nombres de particules excitées dans chaque
corps, à l’état initial, soient respectivement n1i = N1 et n 2i = 0 ; à cette situation très particulière correspond un seul état microphysique du système et Ω (N1 ) = 1. Nous savons parfai-
Didier MAGLOIRE
76
tement quelles sont les particules excitées et celles qui ne le sont pas, donc l’information que
nous avons sur le système est complète, au sens de notre modèle. Examinons une situation
intermédiaire du système évoluant vers son équilibre final lorsqu’il passe de son état initial à
l’état caractérisé par n1 = n1i − 1 et n 2 = 1 particules excitées dans chaque corps, donc quand
un des quanta d’énergie a migré de 1 vers 2 . Le nombre de microétats correspondant à
cette situation particulière est alors N1N 2 : nous comprenons immédiatement qu’en choisissant l’un de ces microétats pour caractériser microscopiquement le système à un instant
donné, l’équiprobabilité des microétats fait que nous n’avons plus qu’une chance sur N1N 2
d’avoir désigné le « bon » microétat pour décrire le système. Nous voulons exprimer par là
que, si nous affirmons qu’à l’instant t , le système est dans l’état microphysique où seule la
particule n° 4 du corps 1 n’est pas excitée et seule la particule n° 8 du corps 2 l’est, nous
n’avons qu’une chance sur N1N 2 que cela soit exact, en supposant que les microétats soient
équivalents entre eux. Ainsi ne pouvons-nous que constater une moindre connaissance de
l’état microphysique du système à un instant donné lorsqu’augmente le nombre de microétats
compatibles avec le macroétat étudié. Nous résumons cette idée en disant que nous avons
moins d’informations sur le système.
Reprenons l’exemple de la mise en équilibre thermique que nous avons étudiée. Sur le
plan microphysique, le système passe d’un état macroscopique à moindre nombre de microétats correspondants à un état d’équilibre final, auquel est associé un plus grand nombre de
microétats tous équiprobables. Donc, nous pouvons affirmer que cette transformation, que
nous qualifions d’ «irréversible » en thermodynamique classique, s’accompagne d’une perte
d’information sur le système.
Nous conclurons cet article en rappelant que l’interprétation précédente de l’irréversibilité
d’une transformation thermodynamique peut susciter l’étonnement voire la suspicion ou la
réserve des thermodynamiciens. En effet, l’idée que le système puisse repasser, au moins en
théorie, par son état initial constitue une hypothèse semblant aller à l’encontre de la
perception que nous avons de l’irréversibilité. Pourtant, la majorité des équations de la
microphysique sont invariantes par rapport au renversement du sens du temps ; cette
hypothèse de la physique des particules n’est infirmée à ce jour que par l’interaction faible qui
6
exhibe un processus violant l’invariance par renversement temporel . Donc, si nous
supposons que l’évolution d’un système thermodynamique vers son équilibre final n’est que
la conséquence du comportement de ses composants microscopiques, et que n’intervienne
pas le cas cité de violation par renversement du temps, nous ne pouvons refuser, sauf à
avancer des arguments réellement décisifs et fondés théoriquement ou expérimentalement,
les termes de cette interprétation, qui, eux, sont parfaitement compatibles avec cette
invariance singulière et presque générale des lois de la physique à l’échelle microscopique.
Nous devons donc surmonter nos réticences éventuelles et reconnaître cette possibilité pour
6
Ce processus concerne la désintégration du kaon neutre K 0 en π + et π − : K 0 → π − + e + + ν e est très
légèrement plus probable que K 0 → π + + e − + ν e . Cela suffit cependant à violer l'invariance CP (par
conjugaison de charge et inversion de l'espace). le théorème d'invariance par CPT conduit de ce fait à ce que
l'invariance par T (renversement du sens du temps) soit légèrement violée au cours de ce phénomène. Ceci a
été expérimentalement confirmé au CERN entre 1991 et 1995.
77
ce qu’elle est à ce jour, à savoir, un des éléments constitutifs de notre discours sur le monde
physique.
REMERCIEMENTS
Je tiens à remercier chaleureusement les relecteurs qui ont eu la patience de travailler ce
trop long article et la gentillesse de me faire profiter de leurs conseils et de leurs remarques
éclairés afin qu’il aboutisse à la forme sous laquelle il est publié aujourd’hui.
BIBLIOGRAPHIE
[1]
P. W. ATKINS. Chaleur et désordre : le deuxième principe de la thermodynamique. Belin,
1990.
[2]
B. DIU, C. GUTHMANN, D. LEDERER et B. ROULET. Physique statistique. Hermann, 1989.
[3]
L. LANDAU et E. LIFSCHITZ. Physique statistique, cours de physique théorique - Tome 5 :
Mir. Moscou, 1984.
[4]
J. TONNELAT. Thermodynamique probabiliste, un refus des dogmes. Masson, 1991.
[5]
H. B. CALLEN. Thermodynamics and an introduction to thermostatistics. 2nd edition, John
Wiley and sons, 1985.
[6]
F. REIF. Statistical and thermal physics. McGraw Hill international, 1985.
[7]
H. POINCARE. La valeur de la science. Coll. Champs, Flammarion, 1970.
[8]
I. PRIGOGINE et D. KONDDEPUDI. Thermodynamique. Odile Jacob, 1999.
[9]
P. RICHET. Les bases physiques de la thermodynamique. Belin sup, 2000.
[10] I. PRIGOGINE. Les lois du chaos. Coll. Champs, Flammarion, 1994.
Didier MAGLOIRE
Ancien élève de l’ENS Cachan
Agrégé de sciences physiques
Angers (Maine-et-Loire)
Didier MAGLOIRE
79
par Jean LEGOIX
Lycée Montaigne - 33000 Bordeaux
[email protected]
RÉSUMÉ
Les systèmes de coordonnées les plus utilisés sont les coordonnées cartésiennes,
polaires, cylindriques et sphériques. Cet article a pour but de d’étudier d’autres systèmes
de coordonnées.
1. LES COORDONNÉES CYLINDRICO PARABOLIQUES
1.1. Définition
Soit un point M de coordonnées cartésiennes x, y et z dans le repère Ox, Oy, Oz
orthonormé. Soient u, v et w les coordonnées de M dans un autre système de
coordonnées (S). Le système de coordonnées (S) sera défini par :
x = x (u, v, w)
y = y (u, v, w)
z = z (u, v, w)
u, v et w doivent être défini de façon qu’à tout triplet (u, v, w) correspond un seul point M et
inversement. Dans le cas du système cylindrico parabolique, les relations entre x, y, z et u,
v et w sont les suivantes :
x = auv
a ⋅ ( v 2 − u2 )
2
z=w
y=
avec :
u≥0
et
−∞<v<+∞
a est une constante positive homogène à une longueur. En utilisant cette définition, on
constate que u et v sont des grandeurs sans dimension. w a la dimension d’une longueur.
Dans le système SI on peut prendre a = 1 m.
1.2. Calcul des vecteurs de base
Les vecteurs de base dans le système de coordonnées (S), défini par u, v et w, sont
les vecteurs e u , e v et e w définis par :
∂OM
e u = ∂u
∂OM
∂u
;
∂OM
e v = ∂v
∂OM
∂v
et
∂OM
e w = ∂w
∂OM
∂w
Jean LEGOIX
80
Soit e x , e y et e z les vecteurs unitaires de base du système de coordonnées cartésiennes et e u , e v et e w les vecteurs de base du système de coordonnées cylindrico
paraboliques. Les vecteurs e x , e y et e z sont portés respectivement par Ox, Oy et Oz.
OM = x ⋅ e x + y ⋅ e y + z ⋅ e z
∂OM ∂x
∂y
∂z
=
⋅ ex +
⋅ ey +
⋅ ez
∂u
∂u
∂u
∂u
x = a⋅u⋅v donc :
∂x
=a⋅v
∂u
y=
;
a ⋅ (v 2 − u 2 )
2
donc :
∂y
= − a⋅u ;
∂u
donc :
∂z
=0
∂u
Donc :
∂OM
= a ⋅ v ⋅ ex − a ⋅ u ⋅ ey
∂u
De plus :
D’où la relation (1) :
z=w
∂OM
= a ⋅ u2 + v 2
∂u
v ⋅ ex − u ⋅ ey
eu =
u2 + v 2
∂y
∂z
∂OM ∂x
⋅ ey +
⋅ ez
=
⋅ ex +
∂v
∂v
∂v
∂v
x = a⋅u⋅v donc :
donc :
∂x
= a⋅u ;
∂v
∂y
=a⋅v
∂v
a ⋅ (v 2 − u 2 )
2
z=w
;
∂z
=0
∂v
donc :
Par conséquent :
y=
∂OM
= a ⋅ u ⋅ ex + a ⋅ v ⋅ ey
∂v
ev =
et
∂OM
= a ⋅ u2 + v 2
∂v
u ⋅ ex + v ⋅ ey
u2 + v 2
∂OM ∂x
∂y
∂z
=
⋅ ex +
⋅ ey +
⋅ ez
∂w
∂w
∂w
∂w
x et y ne dépendent pas de w, donc
∂x ∂y
=
=0
∂w ∂w
de plus z = w donc
81
∂z
= 1.
∂w
ew = ez
Donc :
Calculons maintenant les expressions de e x et e y en fonction de e u et e v .
D’après la relation (1) :
u2 + v 2 ⋅ eu = v ⋅ e x − u ⋅ e y
(3)
u2 + v 2 ⋅ e v = u ⋅ e x + v ⋅ e y
(4)
Donc :
v ⋅ u2 + v 2 ⋅ eu = v 2 ⋅ e x − u ⋅ v ⋅ e y
et
u ⋅ u2 + v 2 ⋅ e v = u2 ⋅ e x + u ⋅ v ⋅ e y
u2 + v 2 ⋅ (v ⋅ eu + u ⋅ e v ) = ( u2 + v 2 ) ⋅ e x
Donc :
ex =
v ⋅ eu + u ⋅ e v
u2 + v 2
En utilisant les relations (3) et (4), nous pouvons écrire :
− u ⋅ u2 + v 2 ⋅ eu = − u ⋅ v ⋅ e x + u2 ⋅ e y
v ⋅ u2 + v 2 ⋅ e v = u ⋅ v ⋅ e x + v 2 ⋅ e y
u2 + v 2 ⋅ (v ⋅ e v − u ⋅ eu ) = ( u2 + v 2 ) ⋅ e y
Donc :
ey =
v ⋅ e v − u ⋅ eu
u2 + v 2
1.3. Propriétés des vecteurs de base
Montrons que les vecteurs e u , e v est e w forment une base orthonormée. Par définition les trois vecteurs sont unitaires. Calculons e u ∧ e v :
 v ⋅ ex − u ⋅ ey
eu ∧ e v = 

u2 + v 2

car :
  u ⋅ ex + v ⋅ ey
∧
 
u2 + v 2
 
ex ∧ ex = 0
;
 v 2 ⋅ e x ∧ e y − u2 ⋅ e y ∧ e x
=
= ex ∧ ey = ez

u2 + v 2

ey ∧ ey = 0
et
ex ∧ ey = − ey ∧ ex .
eu ∧ e v = e w
Donc :
Donc e w est orthogonal à e u et e v . De plus :
 v ⋅ ex − u ⋅ ey
eu ⋅ e v = 

u2 + v 2

  u ⋅ ex + v ⋅ ey
⋅
 
u2 + v 2
 

=0


Donc e u et e v sont orthogonaux.
Jean LEGOIX
82
Les vecteurs e u , e v et e w forment un trièdre direct orthonormé. Nous dirons qu’un
système de coordonnées u, v ,w est orthogonal si les vecteurs de base e u , e v et e w
forme un trièdre direct orthonormé. Le système cylindrico parabolique est donc un
système de coordonnées orthogonal.
1.4. Étude de quelques courbes particulières
1.4.1
Courbes u = constante et w =constante
Appelons C u cette famille de courbes. z = w est donc constant.
x
v=
,
Éliminons v entre x et y :
a⋅u
y=
donc :

a  x2
⋅
− u 2 
2  a 2 ⋅ u 2

ou
y=
x2
a ⋅ u2
−
2
2
2⋅a ⋅u
x2
a ⋅ u2
−
situées dans
2
2
2⋅a ⋅u
x2
a ⋅ u2
le plan d’équation z = w. Les surfaces S u d’équation y =
−
sont les surfaces
2
2
2⋅a ⋅u
telles que u = constante. Ces surfaces S u sont des cylindres à base parabolique d’axe
Oz.
Les courbes C u sont donc des paraboles d’équation y =
dOM =
∂OM
∂OM
∂OM
∂OM
⋅ du +
⋅ dv +
⋅ dw =
⋅ dv
∂u
∂v
∂w
∂v
;
du = 0
et
dw = 0 .
∂OM
est donc tangent aux courbes C u et est colinéaire à e v . Donc e v
∂v
est tangent en tout point des paraboles C u .
Le vecteur Tu =
1.4.2. Courbes v = constante et w = constante
Soit C v cette famille de courbe. z = w est constant. Éliminons u entre x et y.
u=
x
a⋅v
et
y=
a  2
x2 
⋅  v − 2 2 
2 
a ⋅v 
d' où
y=
a ⋅ v2
x2
.
−
2
2⋅a ⋅ v2
Les courbes C v sont donc des paraboles situées dans le plan z = w = constante et
a ⋅ v2
x2
a ⋅ v2
x2
−
. Les surfaces S v d’équation y =
−
sont des
2
2
2
2⋅a⋅v
2 ⋅a ⋅ v2
surfaces telles que v = constante. Ces surfaces S v sont des cylindres à base parabolique
d’équation y =
∂OM
est tangent aux courbe C v et est colinéaire à e u . Donc
∂u
est tangent à des paraboles C v .
d’axe Oz. Le vecteur Tu =
eu
83
1.4.3. Représentation des familles Cu et Cv
La figure 1 représente quelques courbes des familles Cu et C v . Les courbes Cu sont
représentées par des tirets. Les courbes C v sont représentées par des traits pleins. En un
point d’intersection d’une courbe Cu avec une courbe C v , on constate que les vecteurs
e u et e v sont orthogonaux . Les courbes Cu et C v forment donc deux familles de courbes orthogonales. Le fait que S u et S v sont des familles de cylindres à base parabolique
conduit à appeler ce système de coordonnées : système cylindrico parabolique. En MAPLE
on l’appelle : « paracylindrical ».
Figure 1
2. APPLICATION À LA MÉCANIQUE
2.1. Vecteur vitesse en coordonnées paraboliques
On se place en mécanique newtonienne. Considérons un référentiel R défini par les
axes Ox, Oy et Oz portant respectivement les vecteurs unitaires e x , e y et e z . Soient u, v
et w les coordonnées cylindrico paraboliques de M et e u , e v et e w la base associée à
ces coordonnées. Les coordonnées cylindrico paraboliques de M sont définis par :
x=auv
y=
(
a
⋅ v 2 − u2
2
)
et
z=w.
Le vecteur vitesse de V(M) de M par rapport à R est :
•
•
•
 dOM 
 = ∂OM ⋅ u + ∂OM ⋅ v + ∂OM ⋅ w
V(M) = 
 dt 
∂u
∂v
∂w

R
∂OM ∂OM
=
⋅ eu
∂u
∂u
;
∂OM ∂OM
=
⋅ ev
∂v
∂v
et
∂OM ∂OM
=
⋅ ew
∂w
∂w
Jean LEGOIX
84
∂OM
∂OM
=
= a ⋅ u2 + v 2
∂u
∂v
et
∂OM
=1
∂w
•
•
 •
V( M ) = a ⋅ u 2 + v 2 ⋅  u⋅ e u + v⋅ e v  + w⋅ e w


Donc :
qui constitue la relation (7).
 de 
2.2. Calcul des vecteurs  u  ,
 dt 

R
 de
2.2.1. Calcul de  u
 dt

 de u

 dt

e u ne dépend pas de w donc :


 et  de w

 dt
R




R



R
eu =
D’après la relation ( 1 ) :
 de v

 dt

v ⋅ ex − u ⋅ ey
u2 + v 2
•
•
•

 = ∂e u ⋅ u + ∂e u ⋅ v + ∂e u ⋅ w

∂u
∂v
∂w
R
∂e u
=0
∂w
− ey
u ⋅ ( v ⋅ ex − u ⋅ ey )
∂e u
=
−
3
2
2
∂u
u +v
( u2 + v 2 ) 2
donc :
donc :
2
2
2
∂e u − u ⋅ e y − v ⋅ e y + u ⋅ e y − u ⋅ v ⋅ e x
=
3
∂u
( u2 + v 2 ) 2
v2 ⋅ ey + u ⋅ v ⋅ ex
v ⋅ (v ⋅ e y + u ⋅ e x )
∂e u
= −
= −
3
3
∂u
( u2 + v 2 ) 2
( u2 + v 2 ) 2
en utilisant la relation (2), on obtient :
∂e u
v⋅e
= − 2 v2
∂u
u +v
(8)
v ⋅ (v ⋅ e x − u ⋅ e y )
∂e u
ex
=
−
3
2
2
∂v
u +v
( u2 + v 2 ) 2
2
2
2
∂e u u ⋅ e x + v ⋅ e x + u ⋅ v ⋅ e y − v ⋅ e x
=
3
∂v
( u2 + v 2 ) 2
85
∂e u u ⋅ ( u ⋅ e x + v ⋅ e y )
=
3
∂v
( u2 + v 2 ) 2
Donc :
∂e u
u ⋅ ev
=
∂v u 2 + v 2
•
 de
2.2.2. Calcul de  v
 dt

Donc :
 de
Donc :  v
 dt

•



R
ev =
La relation (2) s’écrit :
 de v

 dt

•
 de u 
 = u ⋅ v − u⋅ v ⋅ e v

 dt 
u2 + v 2

R
•
u ⋅ ex + v ⋅ ey
u2 + v 2
•
•
•

u⋅ e x + v⋅ e y ( u ⋅ u + v ⋅ v ) ⋅ ( u ⋅ e x + v ⋅ e y )
 =
−
3

u2 + v 2
R
( u2 + v 2 ) 2
•
•
•
•
•
•
•

( u⋅ u 2 + u⋅ v 2 − u⋅ u 2 − u ⋅ v ⋅ v ) ⋅ e x + ( u 2 ⋅ v + v 2 ⋅ v − u ⋅ u⋅ v − v 2 ⋅ v ) ⋅ e y
 =
3

R
( u2 + v 2 ) 2
Donc :
 de v

 dt

•
•
•
Donc :
•
•

( u⋅ v 2 − u ⋅ v ⋅ v ) ⋅ e x − ( u ⋅ u⋅ v − u 2 ⋅ v ) ⋅ e y
 =
3

R
( u2 + v 2 ) 2
•
de v ( u⋅ v − u ⋅ v ) ⋅ (v ⋅ e x − u ⋅ e y )
=
3
dt
( u2 + v 2 ) 2
Donc en utilisant la relation (1), on obtient la relation (9) :
 de v

 dt

•
•

 = ( u⋅ v − u ⋅ v ) ⋅ e u

u2 + v 2
R
Dans la suite du paragraphe 2. nous étudierons un problème particulier.
2.3. Énoncé du problème
Une bille B est lancée à l’instant t = 0 d’un point A avec un vecteur vitesse V0
horizontal à une hauteur y 0 du sol. Soit Ox et Oz les axes horizontaux. Soit Oy l’axe
vertical orienté vers le haut. Le repère Ox, Oy et Oz est orthonormé direct. Soient e x , e y
et e z les vecteurs unitaires portés respectivement par Ox, Oy et Oz. Soient x, y et z les
Jean LEGOIX
86
coordonnées cartésiennes de B. Soient u, v et w les coordonnées cylindrico paraboliques
de B. Posons OA = y 0 ⋅ e y . Le vecteur V0 étant horizontal : V0 = V0 ⋅ e x . Le référentiel R
défini par les axes Ox, Oy et Oz est galiléen ; la bille B supposée ponctuelle n’est soumise
qu’à son poids. Donc d’après le principe fondamental :
 d 2 OB 
 = m⋅g
m⋅
 dt 2 

R
••
••
x=0 ;
Donc :
•
z=0
et
•
x = V0
Donc en intégrant :
••
y =−g
•
y = − g⋅ t
;
Donc en intégrant de nouveau : x = V0 ⋅ t
y=−
;
z=0
et
g⋅ t2
+ y0
2
et
z = 0.
La trajectoire est dans le plan d’équation z = 0 .
Déterminons les coordonnées cylindrico paraboliques, le vecteur vitesse et le vecteur
accélération dans la base des coordonnées cylindrico paraboliques et le rayon de courbure de la trajectoire de B.
2.4. Coordonnées cylindrico paraboliques
Nous pouvons écrire :
x = V0⋅t = a⋅u⋅v
a ⋅ u2
g⋅ t2
=
2
2
On peut choisir :
g⋅ t2
a
u=
Donc :
Donc :
y=−
;
x = V0 ⋅ t = a ⋅ u ⋅ v = a ⋅
Donc :
v=
Donc :
y0 =
et
et
v=
a ⋅ v2
.
2
2 ⋅ y0
a
2 ⋅ y0
g ⋅ t2
⋅ 2⋅
= 2 ⋅ g ⋅ y0 ⋅ t
a
a
V0 = 2 ⋅ g ⋅ y 0
Il faut donc choisir y 0 de façon que y 0 =
g⋅ t2
a ⋅ ( v 2 − u2 )
+ y0 =
2
2
d' où
y0 =
V02
.
2⋅g
V02
.
2⋅g
2 ⋅ y0
2 ⋅ V02
V0
=
=
a
2⋅g⋅a
g⋅a
D’où les coordonnées cylindrico paraboliques de B sont :
u=
g
⋅t
a
v=
V0
g⋅a
et w = 0
87
Ce qui constitue les relations (10) ; on vérifie que u et v sont sans unité car a est
homogène à une longueur. L’équation de la trajectoire de B en coordonnées cylindrico
paraboliques est de la forme v = constante, u étant une fonction linéaire de t.
2.5. Vecteur vitesse :
Le vecteur vitesse V( B ) de B est d’après la relation (7) :
•
•
•
 dOB 
 = a ⋅ u 2 + v 2 ⋅ ( u⋅ e u + v⋅ e v ) + w⋅ e w
V( B ) = 
 dt 

R
g
⋅t
a
u=
Mais :
•
u=
Donc :
w = 0.
et
g⋅a
•
g
a
V( B ) = a ⋅
Donc :
V0
v=
;
•
v =w =0
et
v2
g⋅ t2
g
+ 0 ⋅
⋅ eu
a
g⋅a a
V( B ) = V02 + g 2 ⋅ t 2 ⋅ e u
2.6. Vecteur accélération
Soit γ( B) l’accélération de B dans R. En utilisant la relation (11), on peut écrire :
 dV( B ) 
 = V02 + g 2 ⋅ t 2
γ( B ) = 
 dt 

R
La relation (8) s’écrit :
 de u

 dt

 de 
⋅ u  +
 dt 

R
•
Donc :
donc :
V02 + g 2 ⋅ t 2
⋅ eu
•

 = u⋅ v − v ⋅u ⋅e
v

u2 + v 2
R
V0
 de u

 dt

g2 ⋅ t

 = −

R
g⋅a
⋅t⋅
g
a
g ⋅ t 2 V02
+
a
g
⋅ ev
 de u 

 = − g ⋅ V0 ⋅ e v
2
2
2
 dt 

 R V0 + g ⋅ t
γ( B ) =
g ⋅ ( g ⋅ t ⋅ e u − V0 ⋅ e v )
V02 + g 2 ⋅ t 2
Jean LEGOIX
88
V0
D’après les relations (6) et (10) : e y =
v ⋅ e v − u ⋅ eu
u2 + v 2
ey =
Donc :
⋅ ev − t ⋅
g⋅a
=
g
⋅ eu
a
V2
g⋅ t2
+ 0
a
g⋅a
V0 ⋅ e v − g ⋅ t ⋅ e u
g ⋅ t 2 + V02
B ) = − g ⋅ e y .
Donc :
L’expression de γ(B) peut être obtenu beaucoup plus simplement en utilisant les coordonnées cartésiennes. Ce calcul de γ(B) montre comment on obtient ce résultat avec les
coordonnées cylindrico paraboliques.
2.7. Rayon de courbure
Soient τ , n et b le trièdre de Frenet en B. Si on pose :
V( B ) = V ⋅ τ et γ( B ) =
V2
dV
⋅τ+
⋅n
dt
ρ
la lettre ρ représentant le rayon de courbure. En comparant avec la relation (11), nous
pouvons écrire : V 2 = V02 + g 2 ⋅ t 2 . En comparant avec la relation (12), nous pouvons
écrire :
g ⋅ V0 ⋅ e v
V2
⋅n = −
τ = e u et
ρ
V02 + g 2 ⋅ t 2
Donc :
n = − ev
et
V02 + g 2 ⋅ t 2
=
ρ
g ⋅ V0
V + g2 ⋅ t 2
2
0
3
D’où le rayon de courbure ρ :
( V02 + g 2 ⋅ t 2 ) 2
ρ=
g ⋅ V0
3. APPLICATION À L’ÉLECTROSTATIQUE
Nous allons étudier l’équation des surfaces équipotentielles et des lignes de champ
créées par un demi plan conducteur.
3.1. Position du problème
Soit (P) un demi plan conducteur et V0 son potentiel. Soient un repère orthonormé Ox,
Oy et Oz. Le demi plan (P) est contenu dans le plan défini par Oy et Oz. L’axe Ox est
perpendiculaire à (P). L’équation du demi plan (P) est : x = 0 et y > 0. Supposons que le
potentiel soit nul au point M0 de coordonnées x = a, y = z = 0. Soit un point M dont les
coordonnées cartésiennes sont x, y et z et les coordonnées cylindrico paraboliques sont u,
89
v et w. Soient x 0 , y 0 et z 0 les coordonnées cartésiennes de M0 et u 0 , v 0 et w 0 les
coordonnées cylindrico paraboliques de M0 .
Nous pouvons écrire :
x = a u0 v 0 = a ;
y=
a
⋅ ( v 02 − u 02 ) = 0
2
z0 = w 0 = 0 .
et
Donc v 02 = u 02 et u 0 v 0 = 1 . Mais u 0 ≥ 0 donc u 0 = v 0 = 1. Donc les coordonnées
cylindrico paraboliques de M 0 sont u 0 = 1 , v 0 = 1 et w 0 = 0 .
Déterminons l’équation du demi plan (P). x = a⋅u⋅v = 0. Donc u ou v est nul. Comme
a
y = ⋅ ( v 2 − u 2 ) et que a et y sont positifs l’équation de (P) en coordonnées cylindrico
2
paraboliques est u = 0.
3.2. L’équation de Laplace
Le potentiel V(M) en tout point M sans charge de l’espace vérifie l’équation de
Laplace :
∆V(M) = 0
(13)
Soit un système de coordonnées orthogonales u, v, w. Posons :
hu =
∂OM
∂u
; hv =
∂OM
∂v
et
hw =
∂OM
∂w
Le laplacien dans ce système de coordonnées s’écrit :
∆V =
 ∂  h ⋅ h ∂V  ∂  hu ⋅ h w ∂V  ∂  hu ⋅ h v ∂V 
1
+

+


⋅   v w ⋅
⋅
⋅
hu ⋅ h v ⋅ h w  ∂u  h u
∂u  ∂v  h v
∂v  ∂w  h w
∂w 
Voir les références bibliographiques : [1, 2 et 3].
Dans le cas du système de coordonnées cylindrico paraboliques :
hu = h v = a ⋅ u 2 + v 2
Donc : h u ⋅ h v ⋅ h w = u 2 + v 2
hv ⋅ hw
=1 ;
hu
;
et
hw = 1
hu ⋅ h w
= 1 et
hv
hu ⋅ h v
= a2 ⋅ ( u2 + v 2 )
hw
Le système de coordonnées cylindrico paraboliques est orthogonal, donc :
∆V =
∂2V ∂2V
∂2V
+ 2 + a2 ⋅ ( u2 + v 2 ) ⋅
2
∂u
∂v
∂w 2
D’où l’équation de Laplace en coordonnées cylindrico paraboliques :
2
∂ V
∂u
2
2
+
∂ V
∂v
2
2
2
2
2
+ a ⋅( u + v )⋅
∂ V
∂w
2
=0
Jean LEGOIX
90
3.3. Les surfaces équipotentielles
La fonction V = A u + B est solution de l’équation de Laplace. Les points tels que u = 0
sont au potentiel V0 et sont sur le demi plan (P). Bien que le demi plan (P) soit chargé en
surface, la fonction V = A u + B est valable pour u = 0 car le potentiel V est une fonction
continue des coordonnées et donc de u. Donc V0 = B . Au point M0 alors u = u 0 = 1 et
V = 0 . Donc 0 = A + V0 . Donc A = − V0 . Donc le potentiel en tout point de l’espace est
défini par :
V = V0 (1 − u)
V
. Les équipotentielles sont des surfaces telles que V = constante donc en
V0
coordonnées cylindrico paraboliques elles sont définies par u = constante. Ces équipotentielles sont des cylindres à base parabolique.
Donc u = 1 −
3.4. Les lignes de champ
Le vecteur champ électrostatique E en M est obtenu par la relation E = − grad( V ) . On
peut écrire dV = − E ⋅ dOM . Considérons un système de coordonnées orthogonales défini
par u, v et w.
dOM =
∂OM
∂OM
∂OM
⋅ e u ⋅ du +
⋅ e v ⋅ dv +
⋅ e w ⋅ dw
∂u
∂v
∂w
dOM = h u ⋅ e u ⋅ du + h v ⋅ e v ⋅ dv + h w ⋅ e w ⋅ dw
Donc :
E = Eu ⋅ eu + E v ⋅ e v + E w ⋅ e w
De plus :
Donc :
dV = − E ⋅ dOM = h u ⋅ E u ⋅ du + h v ⋅ E v ⋅ dv + h w ⋅ E w ⋅ dw
dV =
De plus :
∂V
∂V
∂V
⋅ du +
⋅ dv +
⋅ dw
∂u
∂v
∂w
Donc quelque soit du, dv et dw la relation ci-dessous est vérifiée :
∂V
∂V
∂V
− h u ⋅ E u ⋅ du − h v ⋅ E v ⋅ dv − h w ⋅ E w ⋅ dw =
⋅ du +
⋅ dv +
⋅ dw
∂u
∂v
∂w
Donc :
Eu = −
Ici :
1 ∂V
⋅
h u ∂u
Ev = −
1 ∂V
⋅
h v ∂v
hu = h v = a ⋅ u 2 + v 2
;
et
Ew = −
1 ∂V
⋅
h w ∂w
h w = 1.
V = V0 (1 − u) .
De plus :
Donc :
;
Eu =
V0
a ⋅ u2 + v 2
et
Ev = Ew = 0
car V est indépendant de v et w.
Donc :
E=
V0
a ⋅ u2 + v 2
91
⋅ eu
Donc les lignes de champ sont tangentes en tout point à e u .
Or d’après le paragraphe 1.4.2. le vecteur e u est tangent aux courbes v = constante et
w = constante. Donc les lignes de champ sont des paraboles d’équations v = constante
et w = constante (cf. [4]).
Les vecteurs e v sont tangents aux courbes équipotentielles telles que u = constante et
w = constante. Les vecteurs tangents T aux surfaces équipotentielles sont tels que
T = λ ⋅ e v + µ ⋅ e v . Donc T est orthogonal à e u . Donc les lignes de champ trouvées sont
orthogonales aux surfaces équipotentielles. Ce résultat était attendu.
3.5. Représentation graphique
On se place dans le plan z = 0. Le système cylindrico parabolique devient le système
a
parabolique défini par : x = a u v et y = ⋅ ( v 2 − u 2 ) . Or en MAPLE le système paraboli2
u2 − v 2
et y = u v . Il suffit de faire la transforque appelé « parabolic » est défini par x =
2
mation y → x et x → − y ce qui revient à faire tourner la figure par le logiciel MAPLE d’un
π
angle − radians.
2
Le programme ci-dessous est en MAPLE V Release4
> with(plots):
> V0:=plot([0,v,v=-5..5],coords=parabolic,color=black,thickness=4):
> V1:=plot([1,v,v=-5..5],coords=parabolic,color=black):
> V2:=plot([2,v,v=-5..5],coords=parabolic,color=black):
> C1:=plot([u,1,u=-5..5],coords=parabolic,color=black,linestyle=4):
> C2:=plot([u,2,u=-5..5],coords=parabolic,color=black,linestyle=4):
> A:=display({V0,V1,V2,C1,C2}):
> plots[display](rotate(A,-Pi/2),labels=[x,y]);
>
Figure 2
Jean LEGOIX
92
Le demi plan (P) est représenté par la demi droite en trait épais. Les lignes équipotentielles sont en trait plein. Les lignes de champ sont en pointillé .
4. AUTRES SYSTÈMES DE COORDONNÉES
On peut définir de nombreux autres systèmes de coordonnées. Nous donnons dans
cet article quelques méthodes pour les étudier. Citons pour conclure quelques systèmes
de coordonnées et donnons l’expression du vecteur vitesse dans un système de coordonnées quelconque.
Le système cylindrico elliptique ou appelé « ellcylindrical » en MAPLE :
x = a ch(u) cos( v )
y = a sh(u) sin( v )
z=w
a étant une grandeur homogène à une longueur que l’on peut prendre égale à 1 m dans
le système S.I.
Le système ellipsoïdal qui généralise les coordonnées sphériques. Ce système est
appelé « prolatespheroidal » en MAPLE.
x = a sh(u) sin( v ) sin( w )
y = a sh(u) sin( v ) cos( w )
z = a ch(u) cos( v )
a étant une grandeur homogène à une longueur que l’on peut prendre égale à 1 m dans le
système S.I.
On peut montrer à l’aide du paragraphe 2.1. et des définitions du paragraphe 3.2. que
l’expression du vecteur vitesse V( M ) dans un système de coordonnées quelconque est :
•
•
•
V( M ) = h u ⋅ u⋅ e u + h v ⋅ v ⋅e v + h w ⋅ w⋅ e w
BIBLIOGRAPHIE
[1] SPIEGEL M. Analyse vectorielle. MacGraw-Hill éditeur, p. 151.
[2] ANGOT A. Compléments de mathématiques. CNET éditeur, p. 138.
[3] Aide du logiciel MAPLE.
[4] DURAND E. Électrostatique et magnétostatique. Masson éditeur, p. 297.
Jean LEGOIX
Professeur
Lycée Michel Montaigne
Bordeaux (Gironde)
93
Quelques exemples de recherches en SPI,
et plus précisément en mécanique
par Éric SAVATTERO
École normale supérieure - 94235 Cachan Cedex
[email protected]
RÉSUMÉ
Cet article concerne, quelques exemples de recherche dans le domaine des Sciences
pour l’ingénieur (SPI). Les exemples présentés ci-dessous sont issus du Laboratoire de
mécanique et technologie (LMT-Cachan), dirigé par Pierre LADEVEZE. Ce laboratoire de
recherche (UMR CNRS), conjoint à l’ENS Cachan et à l’Université Paris 6, est localisé
géographiquement sur le campus l’ENS Cachan. C’est à partir de conférences réalisées
par Pierre LADEVEZE et Olivier ALLIX, tous deux professeurs à l’ENS de Cachan et
chercheurs au Laboratoire de mécanique et technologie que cet article a été écrit.
CONTEXTE DES RECHERCHES EN SPI ET PLUS PARTICULIÈREMENT
EN MÉCANIQUE
Les problèmes se posent sous la forme de défis. La caractéristique première des
recherches effectuées dans ce secteur réside dans le fait que les questions de recherche
sont dégagées à partir de problèmes concrets, de défis, de verrous technologiques actuels
auxquels les industriels souhaitent apporter des réponses. L’aspect, sans doute le plus
difficile, est de dégager de ces problèmes les points de blocages scientifiques et les
questions de recherches amont associées. Il s’agit ensuite de proposer les concepts et les
démarches, souvent tout à fait nouveaux, permettant de traiter ces problèmes amont.
Lorsque ces différents aspects ont été traités et les outils correspondant développés, il est
Éric SAVATTERO
94
alors possible de revenir sur leurs applications ce qui entraîne souvent de nombreux
développements.
Cette nécessité de traiter l’ensemble des problèmes théoriques avant de revenir aux
applications explique les délais de « retour des recherches », de deux à dix unités de
temps, l’unité de temps élémentaire correspondant à la réalisation d’une thèse soit trois
ans. Il faut donc de six à trente ans dans ce secteur, pour que l’industrie s’approprie
totalement les retombées de la recherche. C’est le cas dans les domaines de la sécurité,
du bruit, des transports, de l’information et des télécommunications, … lieux d’application
des SPI.
L’objet plus spécifique des recherches en Mécanique des matériaux et des structures
est de prévoir, c’est-à-dire de simuler numériquement la réponse (de plus en plus souvent
probabiliste) d’une famille de structures dans leur environnement et, notamment, d’évaluer
dans le temps l’état d’endommagement pour le comparer aux états ultimes. Cette discipline interagit aujourd’hui fortement avec des domaines divers : physique et chimie des
matériaux, mathématiques appliquées et informatique, technologie... Le mot structure
désigne l’enveloppe matière faite de matériaux divers (métalliques, bétons, composites...)
et plongée dans des environnements solides fluides ou gazeux. L’optimisation du couple
matériau-structure est l’étape finale. Les problèmes pratiques sont liés au dimensionnement, au contrôle, à la fiabilité de l’objet que l’on conçoit ou construit, voire au procédé
utilisé pour le construire.
Une idée répandue est que dans le domaine des recherches appliquées, il suffit de se
reposer sur le développement des moyens de calcul qui permettent ou permettront d’aborder et de résoudre n’importe quel problème en utilisant des méthodes déjà développées. Il
n’en est rien, le calcul ne « tue pas la recherche », mais constitue au contraire un
formidable vecteur de recherches nouvelles. En effet, à chaque gain de puissance correspond une multitude de nouveaux problèmes que l’on peut envisager de résoudre et pour
lesquels les méthodes restent à développer. En conséquence sont abordés aujourd’hui
des problèmes inimaginables il y a seulement dix ans.
De plus, au sein même d’un problème donné, l’accroissement de la puissance invite à
introduire des échelles de modélisation et de calcul de plus en plus fine en adéquation
avec les phénomènes physiques déterminant à ces échelles. La complexité des problèmes à résoudre apparaît alors croître bien plus vite que la puissance de calcul disponible !
Le contexte culturel des études en SPI est extrêmement marqué et varié. Ceci explique que contrairement aux secteurs scientifiques dits « fondamentaux », la formation d’un
chercheur en SPI prend beaucoup de temps. En effet, il ne suffit pas de maîtriser techniquement les outils de la recherche, il est également indispensable de comprendre et
d’analyser le contexte de l’étude. On voit ici apparaître l’interface entre science et
technologie.
Pour cette raison, l’interaction formation - recherche a toujours fait l’objet d’attentions
particulières à l’ENS de Cachan, mettant en évidence auprès des jeunes étudiants, dès le
début de leur scolarité, les besoins et particularités de ce secteur scientifique.
Pour illustrer ces propos, trois thèmes faisant partie de la modélisation mécanique, et
pour lesquels les degrés de maturation sont différents, vont être développés :
♦ le premier, « Vérification et validation des modèles », a fait l’objet de recherches
depuis une vingtaine d’années et conduit aujourd’hui à des retombées industrielles ;
Quelques exemples de recherches en SPI...
95
♦ le second, « Élaboration de concepts et méthodes pour décrire et prévoir le comportement des matériaux » en est à un niveau intermédiaire. Les problèmes scientifiques
ne sont pas tous résolus et les industriels (EADS par exemple) planifient des études
sur ce thème pour encore une dizaine d’années ;
♦ enfin, le troisième, « Élaboration de concepts et méthodes pour décrire et prévoir le
comportement des structures » est plus récent, les outils classiques disponibles
aujourd’hui ne permettent pas de répondre aux problèmes posés par les industriels.
1. VÉRIFICATION ET VALIDATION DES MODÈLES
Ce que l’on entend par vérification concerne la qualité de l’approximation numérique,
du calcul, le modèle utilisé n’étant pas remis en question. Le problème est donc d’estimer
la « distance » entre le résultat du calcul et la solution exacte du modèle, solution que l’on
ne connaît évidemment pas. Pour résumer la question de la vérification est donc :
Le calcul est-il bon ?
Ce que l’on entend par validation concerne la qualité du modèle lui-même. Pour
estimer la qualité d’un modèle, il faut, bien entendu, disposer de résultats expérimentaux.
Pour résumer la question de la validation est donc :
Le modèle est-il bon ?
Bien sûr, ces deux questions ont des liens très forts. Pour illustrer la question de la
validation, l’exemple du modèle de la coiffe de la fusée Ariane 5 sera examiné. Le problème posé consiste à prévoir le comportement en vol de l’ensemble qui supporte les
satellites embarqués par la fusée. Les dimensions de ce support sont conséquentes (10 m
de haut, 5 m de diamètre), et sa structure complexe (nombreuses liaisons).
Éric SAVATTERO
96
Une caractéristique du spatial est que l’on ne peut faire au sol des essais réellement
représentatifs des conditions en vol. Dans ce domaine, une très bonne connaissance du
modèle est indispensable. Pour en estimer la qualité et l’optimiser, des essais au sol sont
réalisés en excitant l’ensemble support et coiffe suivant certaines fréquences, et en mesurant la réponse à ces excitations. Le modèle mathématique des vibrations d’une structure
complexe est usuellement discrétisé par éléments finis au moyen de modèles à grands
nombres de degrés de liberté (déplacement des points coïncidant avec les nœuds du
maillage Éléments Finis utilisé). Des essais ont été effectués, les résultats portant sur les
premiers modes et fréquences propres. Des différences sensibles avec les prévisions du
modèle peuvent apparaître ; elles sont dues, le plus souvent, aux défauts de modélisation
inhérents à certaines parties, difficilement modélisables, comme les assemblages.
La référence étant l’expérience, le problème est alors d’améliorer le modèle mathématique, de trouver les paramètres structuraux qui réalisent le minimum de l’écart « virtuelréel ». Il s’agit d’un problème d’optimisation mal posé. Un point important est que pour les
structures complexes il n’est pas possible de mettre en doute tous les paramètres structuraux - la question clé est donc de localiser les zones erronées. Un autre aspect essentiel
est que la quantité d’informations expérimentales est faible au regard du nombre d’inconnues du problème. De plus ces quantités expérimentales ne sont pas toutes précises, pas
toutes fiables. En conséquence vouloir imposer à la maquette virtuelle une parfaite
adéquation aux essais conduirait à une maquette virtuelle erronée.
À Cachan, une méthode a été développée pour tenir compte au mieux de ces différents aspects. Dans le processus d’optimisation sont distinguées les informations fiables
de nature théorique ou expérimentale (principe fondamental de la dynamique, principes de
la thermodynamique, informations expérimentales fiables) des informations moins fiables
(modèle de matériau, partie des informations expérimentales jugées non fiables…). Il
97
s’agit alors, et c’est le point majeur, de définir une erreur virtuel/réel, le concept utilisé
étant celui d’erreur en relation de comportement. De plus, comme nous l’avons déjà
signalé, il n’est pas raisonnable de mettre en doute tous les paramètres structuraux. Le
processus d’optimisation est alors conduit en deux étapes, la localisation, à l’aide de
l’erreur des zones les plus erronées, l’optimisation des paramètres structuraux dans ces
zones uniquement. Le processus est stoppé lorsque l’erreur atteint un certain seuil lié à la
qualité des informations expérimentales. Si ce seuil ne peut être atteint, cela signifie que le
modèle mathématique lui-même est erroné. Une difficulté est que certains capteurs peuvent être défectueux, ou mal orientés. La vérification de chacun d’entre eux étant
impossible de par leur nombre, c’est directement la méthode de calcul qui doit détecter les
erreurs de mesure et les écarter ou les corriger. C’est ce qui s’appelle « redresser » les
résultats expérimentaux. Aussi l’erreur en relation de comportement modifiée est tout
d’abord utilisée pour détecter ces capteurs défectueux, ce n’est que dans un second
temps que le modèle de comportement est recalé et la qualité du modèle recalé finalement estimé.
Éric SAVATTERO
98
Dans le cas présenté ci-dessus, une telle approche a permis de passer d’une erreur
initiale supérieure à 12 %, résultat totalement inacceptable pour un modèle aérospatial de
ce type, à une erreur finale de moins de 2,5 %, ce qui satisfait les besoins des ingénieurs.
Aujourd’hui, ce type de méthode est en cours de transfert au niveau industriel.
2. ÉLABORATION DE CONCEPTS ET MÉTHODES POUR DÉCRIRE ET PRÉVOIR
LE COMPORTEMENT DES MATÉRIAUX
Ces travaux, initiés il y a une vingtaine d’années, ont permis d’établir une véritable
mécanique multi-échelle de l’endommagement des composites structuraux permettant la
modélisation, l’identification et la prévision de l’évolution des mécanismes d’endommagement jusqu’à rupture. Ils ont été progressivement développés et enrichis à travers leur
adaptation à plusieurs classes de composites structuraux : des structures stratifiées,
tissées ou 3D, pour des environnements éventuellement agressifs. Ils reposent sur des
concepts, des méthodologies expérimentales, des outils d’identification et de simulation et
ont été développés, avec un fort partenariat industriel tant en statique, en dynamique que
pour des impacts. Ces travaux se traduisent par des méso-modèles de comportement qui,
inclus dans des codes de calcul, permettent d’évaluer l’état d’endommagement en tout
point d’une structure en matériaux composites et de simuler l’apparition et le développement de modes de rupture tels que le délaminage.
99
Dans l’exemple suivant, sont présentées les grandes lignes des travaux permettant de
prévoir le comportement de structures composites stratifiés, matériaux employés aujourd’hui de façon massive dans l’industrie aéronautique. Un tel matériau stratifié est composé
de fibres (de carbone dans le cas présent) regroupées par couche dans un liant (approximativement 60 % de fibre, 40 % de liant par couche), puis empilées dans différentes
orientations afin de répondre au mieux aux sollicitations extérieures imposées aux pièces
mécaniques ainsi réalisées. Nous avons ici le cas des poutres ventrales d’avions de
transport, pièces de sécurité primaire pour un appareil de ce type, réalisées totalement à
l’aide de ces matériaux. Or ceux-ci possèdent des comportements complexes, notamment
au niveau local, dans les zones de fortes sollicitations. Au cours du temps, la connaissance de ces matériaux et de leurs comportements s’est construite sur la réalisation de
milliers d’essais. Mais ces essais coûtent très chers, et ne permettent pas d’aborder tous
les cas de figures liés à la généralisation de leur emploi dans l’industrie. En conséquence,
Éric SAVATTERO
100
le défi à relever consiste à remplacer des milliers d’essais par des résultats de simulation,
résultats confortés par un nombre réduit d’essais de validation.
Les modes d’endommagement et de ruine de ces matériaux composites résultent de
plusieurs mécanismes (endommagement diffus, fissuration transverse, délaminage diffus,
macro-délaminage, rupture de fibre, …), leurs compréhensions nécessitant des approches
à des échelles différentes. Comment passer alors d’un modèle de comportement élastique
à un modèle apte à prendre en compte ces différents phénomènes et leurs évolutions en
fonction des sollicitations et de l’endommagement du matériau ?
101
Pour répondre à cette question, et de façon schématique, le matériau est décrit comme des empilements de deux constituants élémentaires : la couche et les interfaces intercouches. Le pari est, qu’une fois modélisés et identifiés ces deux constituants élémentaires, il est possible de prévoir par des simulations certes complexes, l’état ultime de
toute structure bâtie à partir de ces constituants. Les mécanismes d’endommagement sont
introduits au moyen de modèles à variables internes associés aux différents mécanismes :
rupture de fibre, endommagement diffus et fissuration transverse à l’échelle de la couche,
délaminage traduisant la séparation des plis au niveau des interfaces.
Un tel schéma n’a rien d’évident et des travaux sont encore en cours pour rendre
équivalente, dans le cas de sollicitations quelconques, une vision à une échelle très fine
(fibres individuelles, fissures… ) et cette approche dite mésoscopique. En parallèle, sont
également développés des outils, des logiciels permettant l’identification, et le calcul sur
des modèles représentant le matériau.
La phase d’identification est basée sur des essais canoniques largement exploités
maintenant en sites industriels. La figure ci-dessous présente par exemple la réponse d’un
empilement de couches à 45° sollicité en traction. Comme on peut le constater, si au
début de l’essai la réponse semble classique, linéaire, elle devient rapidement non-linéaire,
traduisant la dégradation du matériau. Le processus d’identification consiste à écrire la loi
traduisant l’évolution de cette dégradation en fonction du chargement appliqué sur le
matériau.
Un autre exemple de problèmes posés par ce type de matériau, qui permet de mesurer
le degré de maturation, de transfert de compétence, de ces méthodes dans l’industrie, se
situe au niveau de leur comportement face aux petits chocs. En effet, si les matériaux
composites sont très performants dans le cadre de sollicitations statiques, ils supportent
mal les chocs, qui produisent des délaminages et les endommagent fortement. Ce problème est particulièrement sensible en maintenance aéronautique, où la chute d’un outil de
deux kilos, d’une hauteur d’un mètre, produira des dommages d’autant plus dangereux
qu’ils seront totalement invisibles extérieurement. Pour comprendre et prévoir le compor-
Éric SAVATTERO
102
tement de ces matériaux dans de telles circonstances, des essais représentatifs sont
réalisés. L’un d’entre eux consiste à envoyer une bille calibrée sur le matériau, et à
mesurer, par C-Scan par exemple, la répartition tridimensionnelle des dommages en
termes de délaminage et fissuration transverse dans chacune des couches qui composent
le matériau.
Des cartes de dommages peuvent ainsi être réalisées. Parallèlement des outils numériques spécifiques intégrant la vision matériau décrite précédemment sont développés. Ils
permettent de prévoir ces dommages dans les matériaux stratifiés lors de tels incidents de
103
maintenance. Cette confrontation essai / calcul est bien sûr indispensable pour valider les
outils ainsi développés.
Pour bien comprendre les difficultés actuelles liées au transfert de ces méthodes dans
l’industrie, un calcul « simple » correspondant à un essai calibré en laboratoire se quantifie
par approximativement 200 000 degrés de liberté, en trois dimensions, avec des comportements non-linéaires. Il est alors évident que le calcul sur une situation réelle nous est
encore hors de portée. En conséquence, pour aborder ces calculs hors de portée, une
tendance actuelle est de développer des méthodes de calculs également multi-échelles.
Un des intérêts de ces approches est d’être naturellement parallélisables et ceci de façon
extensive, c’est-à-dire avec une efficacité qui ne se dégrade pas lorsque le nombre de
processeurs du calculateur parallèle utilisé augmente. Pour simplifier à l’extrême deux
types d’approches de ce genre de problème sont proposés :
♦ La première classe, plutôt développée par des mathématiciens appliqués, cherche à
paralléliser, de la façon la plus efficace possible, la résolution d’un système matriciel
du type F = KU où F et K sont connus et U est l’inconnue recherchée.
♦ Le second type de méthode est basée sur des techniques de sous-structuration. Dans
celle développée à Cachan la parallélisation est faite en amont de toute méthode
numérique, par une description de la matière en entités volumiques et entités surfaciques raccordant les entités volumiques.
Aujourd’hui, les travaux au LMT portent sur les approches multi-échelles et parallèles
en espace et également en temps de problèmes fortement non-linéaires. Leur transfert
dans l’industrie est difficile notamment parce que les grands codes du commerce ne
permettent pas d’intégrer ces nouvelles approches.
3. ÉLABORATION DE CONCEPTS ET MÉTHODES POUR DÉCRIRE ET PRÉVOIR
LE COMPORTEMENT DES STRUCTURES
De nombreuses structures industrielles sont aujourd’hui dimensionnées aussi en fonction de leur comportement vibro-acoustique. C’est par exemple le cas des caisses automobiles. Les sollicitations rencontrées lors du fonctionnement d’un véhicule (rotation du
moteur, bruit de roulement, bruit aérodynamique) engendrent des transferts d’énergie le
long des longerons de la caisse jusqu’aux panneaux qui la composent, générant par la
même une ambiance acoustique désagréable pour les passagers. Si ces transferts ne
posent pas d’autres problèmes, en basse fréquence, que la modélisation des matériaux ou
des assemblages, le domaine dit des moyennes fréquences ne semble pas résolu aujourd’hui. Le principal blocage vient du fait que la longueur de variation du phénomène que
l’on cherche à décrire est très courte devant la longueur caractéristique de la structure
L’exemple illustré ici est celui des problèmes de bruit dans les véhicules automobiles. La
figure ci-dessous présente un exemple de modélisation suivant une méthode d’éléments
finis d’un châssis de véhicule automobile. L’ensemble de ce maillage représente
3 000 000 de degrés de liberté. Aujourd’hui, avec les techniques courantes, le calcul des
premiers modes propres ne pose plus de problème, ce qui correspond à la gamme [0,
200 Hz] environ. La durée d’un tel calcul est tout de même de l’ordre de la journée sur des
calculateurs puissants.
Éric SAVATTERO
104
Pour atteindre une fréquence double de la précédente, il faut multiplier le nombre de
degrés de liberté par un facteur de quatre à huit, le temps de calcul est alors accru par un
facteur de l’ordre de seize à soixante-quatre ! Ainsi, pour atteindre des fréquences visées,
approximativement 4000 Hz, le temps de calcul correspondrait aujourd’hui à plusieurs
années.
Pour tenter d’expliquer ces évolutions des coûts de calcul et illustrer la nécessité de
démarches alternatives aux approches Éléments Finis classiques dans le cas de l’étude de
la dynamique des structures, on distingue trois types de domaines et donc d’approches :
♦ /HVDSSURFKHV©EDVVHVIUpTXHQFHVªSRXUlesquelles la méthode des éléments finis
est utilisée, avec comme règle de calcul pour chaque mode de vibration d’utiliser un
minimum de sept éléments finis pour obtenir une image suffisamment fidèle du
comportement de la structure. Lorsque la fréquence augmente, la longueur d’onde
diminue, ce qui veut dire que l’on doit augmenter en conséquence, et dans les deux ou
trois dimensions de l’espace le nombre d’éléments permettant la description du
comportement de la structure, d’où l’explosion décrite précédemment des temps de
calcul.
♦ Les approches « moyennes fréquences » domaine relevant de la recherche. Dans ce
domaine, un grand nombre de modes propres existent sur un petit intervalle de fréquence. Pour une voiture, les longueurs d’ondes pour les modes autour de 3000 Hz
sont de l’ordre du centimètre... En conséquence, une variation de dimension
géométrique de 5 mm sur un pavillon d’automobile change totalement les modes
correspondants. Ainsi pour une famille de voiture, la réponse dans cette gamme ne
peut absolument plus être considérée comme déterministe.
♦ Les approches « hautes fréquences », basées sur des méthodes énergétiques.
105
L’idée développée dans la théorie proposée pour le calcul des structures en moyennes
fréquences est de décrire explicitement les variations à une échelle fine, dite aussi rapide.
Seules seront calculées les répartitions à grande échelle de ces variations rapides. Pour
cela on tient compte des fondements de la mécanique, fondements qui imposent la nature
des solutions. À l’échelle fine, la description de la solution est explicite sous forme d’ondes
à partir de modes élémentaires connus (ondes volumiques, surfaciques, de bord, de
coins…). Le calcul aura alors pour objet la détermination des grandeurs caractéristiques
de ces ondes, comme la répartition de leur amplitude. Il s’agit donc d’un exemple d’appro-
Éric SAVATTERO
106
che multi-échelle où les échelles rapides, trop coûteuses à calculer, sont introduites
explicitement, l’objet du calcul étant uniquement de déterminer la partie effective à grande
longueur de variation de la solution. À titre de comparaison, pour un problème simple
nécessitant par une telle approche seulement une dizaine de degrés de liberté, le calcul
par une méthode classique d’éléments finis demanderait 160 000 degrés de liberté.
Bien sûr, le passage à des structures réelles, complexes comme le châssis d’automobile cité au début de cet exemple présente de nombreuses difficultés puisqu’il faut décrire
les formes d’ondes élémentaires mises en jeu dans la solution. L’idée est alors de découper la structure en sous-domaines, pour lesquels l’approche précédente s’applique. Une
formulation variationnelle adaptée permet ensuite de raccorder entre eux les différents
sous domaines. Ceci explique le nom de théorie variationnelle des rayons complexes (à
cause de l’amortissement) donné à cette théorie...
L’illustration ci-dessus présente l’application de cette démarche sur le quart d’un châssis simplifié d’automobile. Ces travaux démarrés il y a environ cinq ans ont donc permis
d’établir une méthodologie de calcul. Il est maintenant possible de retourner au problème
industriel. Celui-ci recèle bien d’autres difficultés au niveau, notamment de la modélisation
de l’amortissement en moyenne fréquence. L’amélioration des modèles très frustres utilisés aujourd’hui nécessite des moyens expérimentaux nous permettant de corréler résultats expérimentaux et résultats de calcul. C’est pour cette raison que le LMT-Cachan
achève la réalisation d’une nouvelle plate-forme d’essais dédiée à l’étude des structures.
107
Les essais seront utilisés pour juger de la qualité des modèles utilisés et probablement
en proposer d’autres. Mais ceci nécessitera sans doute encore des années de travail.
Les trois thèmes de recherches illustrés précédemment ne sont que quelques exemples parmi la trentaine d’opérations de ce type en cours au LMT-Cachan. Ils sont représentatifs de la vision « Science et technologie » caractéristique du secteur SPI (Sciences
pour l’ingénieur), secteur ou les acteurs de la recherche ont la possibilité de voir au long
de leur carrière, les applications industrielles des recherches menées dans les laboratoires.
Éric SAVATTERO
108
Le renouvellement des besoins de la société nous incite à croire en l’avenir de la
recherche dans ce secteur scientifique, d’autant plus que les progrès des outils informatiques permettront d’aborder des domaines totalement nouveaux et ceci dans une vision
statistique et probabiliste, aspects jusqu’aujourd’hui fort peu inclus dans ces études.
Éric SAVATTERO
Agrégé de mécanique
Directeur de la formation
ENS
Cachan (Val-de-Marne)
Livres
Bons de commande
110
Nous avons lu
N’oubliez pas, pour compléter cette rubrique, de consulter le serveur de l’UdPPC :
http://www.cnam.fr/hebergement/udp
où vous trouverez des analyses d’ouvrages qui ne sont pas, faute de place, publiées dans le BUP.
Pour toute remarque ou renseignement concernant cette rubrique, s’adresser à Bruno VELAY
(14, rue de Kerbezo - 44350 GUÉRANDE) ou par mél. :
[email protected]
LIVRES
Des cordes aux ondelettes par B. ESCUDIÉ, C. GAZANHES et H. TACHOIRE et V. TORRA
Éditions Publication de l’Université de Provence (1) - 2002 - 480 pages - 45 e
Public visé : Historien des sciences, enseignant.
Les « publications de l’Université de Provence » (Aix-Marseille I) ont publié un ouvrage
consacré à l’histoire de l’analyse spectrale et de l’analyse temps-fréquence. La réalisation de cet
ouvrage a été initialement proposée par B. ESCUDIÉ, disparu prématurément en 1996, et menée à
son terme par Claude GAZANHES, Henri TACHOIRE et Vicenç TORRA. Cet ouvrage volumineux de 480
pages est découpé en deux parties et vingt chapitres.
La première partie (quinze chapitres) retrace l’histoire de l’analyse spectrale, depuis la notion
de fréquence, la théorie des cordes vibrantes, la résolution de l’équation de la propagation de la chaleur par J. FOURIER, jusqu’aux analyseurs harmoniques mécaniques et électroniques, et jusqu’aux
algorithmes rapides. L’analyse temps-fréquence n’est que très sommairement abordée (quatorze
pages), ce qui rend le titre de l’ouvrage (des cordes aux ondelettes) un peu usurpé, mais sans doute
est-ce dû à la disparition de B. ESCUDIÉ.
La deuxième partie, dont le lien avec la première est assez ténu, est consacrée à la calorimétrie et aux travaux des thermiciens marseillais Albert TION et Edouard CALVET. Cet ouvrage, très
bien documenté, réalise un bon compromis entre les dimensions historiques et scientifiques. Ce
n’est évidemment pas un ouvrage qui a la vocation de présenter les résultats scientifiques évoqués
à ceux qui les ignoreraient (mais étant donné la diversité des domaines présentés, on peut parfois
le regretter), mais de les replacer dans un contexte historique, et de montrer l’évolution des idées
et la chronologie des travaux effectués depuis l’antiquité jusqu’aux années 80. Il a le mérite de rappeler les contributions importantes de physiciens injustement méconnus, comme (entre autres) Joseph
SAUVEUR, André BLONDEL et Edouard CALVET.
À ma connaissance, c’est le seul ouvrage d’histoire des sciences dans le domaine de l’analyse spectrale de Fourier et ses domaines connexes, l’analyse temps-fréquence, la localisation spatio-temporelle des sources sonores et la calorimétrie. On peut regretter que le travail effectué ne se
soit pas étendu aux méthodes paramétriques, et aux travaux réalisés dans les autres pays européens.
(1)
PUP - 29, avenue Robert Schuman - 13621 AIX-EN-PROVENCE - [email protected]
111
Du fait de la spécificité de son sujet, et de la qualité assez inégale de sa rédaction, il intéressera sans doute un nombre assez réduit de personnes. Mais l’existence d’un tel ouvrage et sa disponibilité dans les bibliothèques universitaires me paraissent tout à fait nécessaires. J’en recommande la lecture à ceux qui, par exemple, enseignent ces notions depuis de nombreuses années. Ils
y retrouveront un intérêt et une motivation peut-être émoussés par le niveau actuel des étudiants, et
par l’engouement de ces derniers pour les sciences exactes.
François AUGER
Procédés électriques de mesure et de traitement des polluants coordination par E. HNATIUS
Éditions Tec & Doc - 2002 - 370 pages - 78 e
Public visé : Ingénieurs, enseignants de chimie et de génie électrique.
Cet ouvrage collectif est intéressant à plus d’un titre. Tout d’abord il faut noter qu’il s’agit
d’un ouvrage traduisant une réelle coopération entre des auteurs universitaires français et roumains
(plusieurs auteurs travaillant pour le compte d’écoles d’ingénieurs comme l’INSA de Lyon ou les
Écoles des Mines d’Alès et d’Albi). Je noterai à ce propos l’intérêt pour la « francophonie scientifique » de ce type de travail ainsi que l’excellence du niveau de langue des chercheurs roumains,
l’un d’entre eux assurant de plus la coordination des auteurs du livre. Ensuite il faut indiquer que
ce livre est dédié à un aspect capital des sciences de l’environnement qui sont un domaine en plein
développement et devenir, dont l’importance devrait être, me semble-t-il, évidente au moins pour le
citoyen scientifique de base. Il faudrait qu’elle le devienne aussi réellement pour chaque décideur
de l’industrie. C’est pourquoi dans l’esprit de ses auteurs ce livre poursuit le double objectif d’être
à la fois un plaidoyer et surtout un guide pour promouvoir auprès des ingénieurs de toutes disciplines, actifs dans l’industrie, les méthodes électriques d’évaluation de la pollution et encore plus
celles d’élimination de polluants. On notera les remerciements aux responsables de l’Agence de
l’environnement et de la maîtrise de l’énergie (ADEME) et à ceux d’EDF. Le livre est organisé en
quatre grandes parties.
La première décrit la problématique des sciences de l’environnement. En particulier en identifiant les différentes sources de pollution (y compris acoustique ou par les odeurs), mais aussi en
décrivant la législation en vigueur et son histoire, ainsi que la diversité des approches selon les pays
européens (un lien vers un site institutionnel proposant les textes précis serait appréciable), puis en
proposant une introduction insistant (insistance qui apparaît plusieurs fois dans le livre) sur l’importance des méthodes électriques en matière d’environnement (diversité et avantages).
La seconde partie est consacrée aux méthodes d’analyse et de mesure des polluants, en particulier en les comparant aux autres méthodes dites « classiques ». Après un chapitre d’introduction
à cette partie, on y traite en détail de techniques de séparation ioniques et électriques (chromatographie, électrophorèse... qui font les beaux jours de la physico-chimie), de détections électroniques
diverses et de capteurs, ce septième chapitre étant d’ailleurs une bonne synthèse de ce qu’il faut
savoir sur les différents capteurs chimiques, qui sont bien moins connus que les capteurs usuels de
température ou de pression (on remarquera en particulier le QCM qui n’est autre qu’une micro
balance à quartz permettant de mettre en évidence le surcroît de masse des produits d’une réaction
chimique spécifique de l’espèce détectée, ou encore un capteur pHmétrique à fibre optique).
La troisième partie est certainement le cœur de l’ouvrage qui aborde le traitement de la pollution. Après une introduction spécifique et un chapitre de synthèse décrivant et comparant les différentes méthodes « classiques », il est proposé deux longs chapitres consacrés d’une part aux procédés d’oxydation avancée puis aux procédés émergents, d’autre part aux procédés basés sur les
112
décharges électriques. Comme en témoigne une bibliographie détaillée (qualité valable d’ailleurs
pour les quatre parties du livre), les auteurs proposent un panorama très à jour de l’État de l’Art de
leur discipline. Même s’ils annoncent leur étude comme non exhaustive il est à souligner néanmoins
qu’elle est au minimum très complète. On remarquera les références explicites à des exemples
concrets de réalisations industrielles (les sites des principales sociétés sont indiqués ce qui permet
de disposer de photos, de données et d’explications complémentaires). Ces chapitres intéresseront
tout particulièrement le chimiste qui y trouvera des informations détaillées sur les réactions et les
procédés (en espérant que la référence appuyée à l’électricité ne l’ait pas fait fuir ce qui n’est pas
un livre d’électrotechnique).
La dernière partie propose, outre une courte étude sur les différents types de pollution industrielle, une longue analyse synthétique et comparative des différents procédés de production d’énergies renouvelables ou alternatives, en insistant tout particulièrement sur les évolutions et les progrès
en cours ou proches. Si le sommaire détaillé et l’index suffisent, un glossaire aurait été appréciable
en particulier pour certains acronymes (DCO, MES...). En conclusion, je dirai que ce livre remplit
certainement ses objectifs d’actualisation des connaissances et de guide pour les décideurs techniques industriels. Il sera certainement remarqué par les collègues chimistes mais aussi par ceux qui
enseignent le génie électrique et la mesure, qui apprécieront le caractère synthétique et d’actualisation du livre afin d’étendre le champ de leurs connaissances industrielles.
Bruno VELAY
113
Publications hors abonnement
et numéros anciens
Serveur de l’UdPPC :
Année
ou
numéro
Nombre
Prix
d’exemunitaire
plaires
Prix
total
BROCHURES DOCUMENTAIRES ET PÉDAGOGIQUES
♦ Nouveaux programmes de 3e
1999
16,5 e ....................
=
..........................
♦ Le collage : le moyen intelligent d’assembler
♦ (Michel BARQUINS)
2001
11 e ....................
=
..........................
CONCOURS : CAPES ET AGRÉGATION
1995
♦ Énoncés
♦ Solutions
♦ Énoncés
♦ Solutions
784 (2)
9,5 e
784 (3)
12 e
1996
1997
1998
792 (3)
13 e
802 (2)
10 e
802 (3)
13,5 e
812 (2)
11 e
812 (3)
14 e
1999
2000
2001
2002
817 (2)
12 e
822 (2)
14,5 e
824 (2)
12,5 e
838 (2)
15 e
834 (2)
12 e
849 (2)
16 e
845 (2)
13 e
857 (2)
17e
.......................... ....................
....................
=
..........................
.......................... ....................
....................
=
..........................
.......................... ....................
....................
=
..........................
.......................... ....................
....................
=
..........................
.......................... ....................
....................
=
..........................
.......................... ....................
....................
=
..........................
....................
=
..........................
....................
=
..........................
....................
=
..........................
2003
♦ Énoncés
Parution prévue
en décembre 2003
♦ Solutions
CONCOURS DES GRANDES ÉCOLES
♦ 1998 (36 e), 1999 (36,5 e), 2000 (37 e), 2001 (38 e),
♦ 2002 (38,5 e), 2003 (42 e)
.......................... ....................
BREVETS DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR
♦ 1997 (14,5 e), 1998 (12 e)
♦ Sur le serveur : 1999
.......................... ....................
BACCALAURÉATS TECHNOLOGIQUES
♦ Sur le serveur : 1999, 2000
.......................... ....................
114
Prix
unitaire
Quantité
Prix
total
....................
=
.....................
e
....................
=
.....................
e
BASE DE DONNÉES « BUPDOC »
♦
♦
♦
♦
Deux cédéroms (pour PC et Mac) comprenant :
– BUPTEXTE : 20 ans d’articles « plein texte » (1980-1999)
– BUPINDEX : 6500 notices bibliographiques (1907-2001)
– et le logiciel
Licence 1 :
Individuelle
Adhérent
Public
UdPPC
40 e
63 e
Licence 2 :
Établissement
Ets abonné
Public
au BUP
80 e
126 e
COOPÉRATION EUROPÉENNE « EURENERG - EURWORK » (Projet Comenius)
♦ Eurenerg : une base de documents pédagogiques de différents
8e
.................... = ..................... e
♦ pays européens sur le thème de l’énergie
♦ Eurwork : programme de mise à jour de la base Eurenerg
4e
....................
=
.....................
e
♦ Eurenerg + Eurwork
10 e ....................
=
.....................
e
PAIEMENT
Envoyer le bon de commande et le titre de paiement à :
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Ci-joint mon règlement de ............................. e par chèque bancaire ❏ chèque postal ❏
Le Directeur de la publication : Madeleine Sonneville
Réalisation : Union des professeurs de physique et de chimie
Imprimé en France par SPEI - 54425 Pulnoy
Numéro commission paritaire : 62628 - Dépôt légal : 4e trimestre 2003

Physique Chimie - BupDoc - Union des Professeurs de Physique et

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