etude et simulation du phenomene de transport electronique dans

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Université des Sciences et de la Technologie d’Oran
Mohamed Boudiaf
Faculté de Génie Electrique
Département d’Electrotechnique
MEMOIRE EN VUE DE L’OBTENTION DU DIPLOME DE MAGISTER
SPECIALITE: Electrotechnique
OPTION: Ingénierie des Plasmas et des Décharges
PREENTE PAR
Mme : DALI FATIMA ZOHRA
Née:BELARBI
SUJET DE MEMOIRE
ETUDE ET SIMULATION DU PHENOMENE DE
TRANSPORT ELECTRONIQUE DANS UN GAZ (CF4)
Soutenu le 28.10.10
devant le jury composé de :
A.W.BELARBI
MCA
USTO
PRESIDENT
A.SETTAOUTI
Prof
USTO
RAPPORTEUR
L.SETTAOUTI
MCB
USTO
RAPPORTEUR
A.HAMID
MCA
USTO
EXAMINATEUR
M.MESSAAD
MCA
USTO
EXAMINATEUR
DEDICACE
Je dédie ce modeste travail à :
Mes parents ,
Mon marie, mes enfants ,mes neveux
Mes frères , sœurs, belle sœur
A tous ceux qui me sont chers.
Remerciements
J’exprime ma profonde reconnaissance à Madame L.SETTAOUTI chargée de cours, qui à
bien voulue m’accorder ce sujet de thèse ainsi que toute son attention et beaucoup de son
temps ,les mots ne suffissent pas pour lui témoigner toute ma reconnaissance, je lui souhaite
très sincèrement beaucoup de bonheur dans sa vie .
Mes remerciements vont également à Monsieur le professeur A.SETTAOUTI pour avoir
accepté d’être mon rapporteur.
J’exprime ma très grande gratitude à Monsieur A.W BELARBI maitre de conférence qui à
bien voulu s’intéresser à mon travail en me faisant l’honneur de présider mon jury de thèse,
je le prie de trouver ici l’expression de mes sincères remerciements.
Mes remerciements vont également à Monsieur A.HAMID maitre de conférence qui à bien
voulu s’intéresser à mon travail en me faisant l’honneur de le jugé
Je remercie aussi Monsieur M.MESSAD maitre de conférence d’avoir bien voulu examiner
ce travail et pour avoir aimablement accepté d’être parmi les membres de jury.
.
Enfin merci à toute ma famille et à tous ceux qui de prés ou de loin, m’ont soutenu, aidé et
encouragé.
ETUDE ET SIMULATION DU PHENOMENE DE TRANSPORT ELECTRONIQUE
DANS UN GAZ (CF4)
Résumé
Le présent travail est consacré à l’étude et simulation du phénomène de transport électronique
dans un gaz (CF4) (Tétra Fluorure de Carbone) pour un champ électrique uniforme par la
méthode de Monte Carlo qui est un outil puissant de simulation dans le domaine de la
physique des plasmas. La procédure de calcul prend en compte la marche aléatoire des
électrons et l’influence des paramètres de transport (la vitesse de dérive et l’énergie moyenne
d’électron) exprimés en fonction du temps et en fonction du champ électrique réduit E/N (E :
champ électrique appliqué, N la densité du gaz)
La simulation consiste à simuler un par un, le mouvement d’un grand nombre d’électrons, un
électron donné est donc suivi depuis son émission (à partir de l’état initiale ou par ionisation
dans le gaz) jusqu'à sa disparition (attachement ou dépassement des limites temporelles fixées
au début de la simulation)
Au cours de la simulation on relève pour chaque électron et à chaque temps de vol, les
composantes de son vecteur position et son vecteur vitesse.
La connaissance de ces grandeurs permet, à l’aide des moyennes statistiques appropriées et à
l’aide des méthodes d’échantillonnage, de calculer les paramètres de transport électronique
dans le gaz considérés en prenant en considération les processus collisionnels intervenant.
Les résultats obtenus sont en bon accord avec beaucoup de résultats théoriques et
expérimentaux
Mots clés :
-
Décharges électrique.
-
Equation de Boltzmann.
-
Méthode de Monte Carlo.
-
Simulation de Monte Carlo.
-
Sections efficaces de collision.
-
Phénomène de transport électronique.
TABLE DES MATIERES
*************
*******
**
TABLE DES MATIERES
INTRODUCTION GENERALE……………………………………………………………..01
CHAPITRE I :
DESCRIPTION DES MECANISMES MIS EN JEU LORS D’UNE
DECHARGE ELECTRIQUE
I-1 Introduction ………………………………………………………………………………04
I-2 Les processus élémentaires dans
I-2-1 L’excitation………………………………………………………..................................05
I-2-2 L’ionisation ………………………………………………………………………...…..05
I-2-3 L’attachement…………………………………………………………………………...07
I-2-4 La recombinaison……………………………………………………………………….08
I-2-5 Le détachement………………………………………………………………………...09
I-2-6 Interactions coulombiennes………………………………………………………..…...09
I-2-7 Diffusion ………………………………………………………………………………10
I-2-8 Dissociation …………………………………………………………………………....12
I-3 Section efficace de collision …………………………………………………….......……12
I-3-1 Section efficace différentielle………………………………………………………..…12
I-3-2 Section efficace totale………………………………………………..…………………14
I-3-3 Section efficace de collision élastique……………………………………….…………15
I-3-4 Section efficace de collision inélastique………………………………………………..15
I-4 claquage de Townsend……………………………………………………………………17
I-4-1 Définition………………………………………………………………………….……17
I-4-2 Critère d’auto-entretien………………………………………………………………....17
I-4-3 Les relations entre les coefficients α, η et les sections efficaces ……………...……….18
I-5 Conclusion……………………………………………………………………………….20
CHAPITREII :METHODE DE CALCUL DES FONCTIONS DE DISTRIBUTION ET
PARAMETRES DE TRANSPORT
II-1 Introduction …………………………………………………………………………..21
II-2 Equation de Boltzman………………………………………………………………...22
II-2-1 Généralités…………………………………………………………………………..22
II-2-2 Opérateur de collision ………………………………………………………………23
II-2-3 Théorie cinétique…………………………………………………………………….30
II-2-3-1 Développement de la fonction de distribution ƒ( r,ν,t) en série de
gradients spatiaux……………………………………………………………..32
II-2-3-2 Développement de la fonction de distribution ƒ( r,ν,t) en série de
gradients temporels …………………………………………………………..34
II-2-3-3 Développement en série de polynomes de Legendre des fonctions
d’ordre zéro F(0)(v,t) et G(0)(v’z)………………………………………………35
II-3 Description de la méthode de Monte Carlo………………………………………..38
II-3-1 Historique de la méthode de Monte Carlo…………………………………..38
II-3-2 Principes de la méthode ……………………………………………………..38
II-3-3 Générateur de nombres aléatoires……………………………………………39
II-3-4 Relation entre la méthode de Monte Carlo et les mesures de
probabilités………………………………………………………………………………...40
II-4 Conclusion…………………………………………………………………………..43
CHAPITREIII : CALCUL DES PARAMETRES DE TRANSPORT ELECTRONIQUE PAR
SIMULATION DE MONTE-CARLO
III-1 Introduction …………………………………………………………………………….44
III-2 Méthode de simulation de Monte-Carlo………………………………………..……….45
III-2-1 Approche du libre parcours moyen…………………………………………….……..45
III-2-2 Approche du temps de vol moyen…………………………………………………….46
III-2-3 La technique de collision nulle……………………………………………….…….…47
III-2-4 Le mouvement de l’électron entre deux collisions successives…………………….49
III-2-5 Détermination de la nature de collision……………………………………..…...……50
III-2-6 Vitesse et direction de l’électron après collision…………………………….…..……52
III-2-6-1 Détermination de l’angle polaire et l’angle azimutal……………………...……53
III-2-6-2 Détermination du module de la vitesse après le choc……………….…………54
III-2-6-2-1 Collisions élastiques………………………………………………..………54
III-2-6-2-2 Collisions inélastiques conservatives…………………………………...….55
III-2-7 Organigramme de Monte-Carlo………………………………………………………56
III-2-8 Calcul des paramètres de transport ……………………………………...……………58
III-2-8-1 Paramètres de transport…………………………………………………………..…58
III-3 Choix du gaz et section efficace de collision…………………………………………....61
III-3-1 Carbone tétrafluoride……………………………………………………….................61
III-3-2 La section efficace de collision ……………………………………………………....61
III-4 Résultats et discutions……………………………………………………………….…..63
III-4-1 Cas d’un champ électrique nul ………………………… ……………………………63
III-4-2 Cas d’un faible champ réduit faible E/N …………………………………..…………66
III-4-3 La vitesse de dérive et l’énergie moyenne en fonction du champ réduit…………….69
III - Conclusion……………………………………………………………………….………82
CONCLUSION GENERALE………………………………………………………83
BIBLIOGRAPHIE
INTRODUCTION GENERALE
*************
*******
**
Introduction Générale Dans leurs états normales les gaz sont des isolants électrique mais si on applique un
champ électrique assez intense il devient conducteur ,et les phénomènes complexes qui se
produisent
portent le non des décharges électrique dans les gaz
L'intérêt pour les décharges électriques à énormément augmente ces dernières années dues a
leurs importances dans des applications technologiques parmi elles la technologie micro
électronique.
La simulation des décharges électriques est en général conditionnée par la
connaissance d'un grand nombre de données de base, sections efficaces de collision
électronique et coefficients de transport ainsi que les propriétés microscopiques des gaz qui
sont actuellement des sujets d'intérêt très important chez les chercheurs dans le domaine de la
haute tension.
Ce travail est consacre à la simulation numérique du transport des électrons dansCF4
soumis à l'action d'un champ électrique uniforme.
Cette étude est basée sur la résolution de l'équation de Boltzmann. son objectif est de
développer une méthode statistique de Monte-Carlo afin de décrire le transport électronique
dans un gaz tout en tenant compte des processus collisionnels électron-molécule.
Ce mémoire se divise en trois chapitres.
Dans le chapitre I. nous allons présenter quelques mécanismes mis en jeu lors d'une
décharge électrique qui est basée sur la connaissance des processus physiques importants
pour la modélisation, il s' agit des mécanismes élémentaires microscopiques qui dominent un
milieu gazeux et ils sont liés aux sections efficaces de collision.
En effet, sachant que chaque section efficace représente un processus collisionnel spécifique
dépendant de l’énergie incidente, connaitre toutes les sections efficaces en fonction de
l'énergie est indispensable pour le calcul des paramètres de transport tels que la vitesse de
dérivé, l'énergie moyenne, coefficients d'ionisation, de recombinaison, d'attachement, de
diffusion longitudinal et transversal. L’explication du phénomène de claquage dans un gaz est
important dans une décharge électrique.
1
Introduction Générale Le chapitre II sera consacré à la description de l'équation de Boltzmann et sa
résolution par la méthode de Monte-carlo qui sont fréquemment utilisées pour la modélisation
des décharges électriques.
L’équation de Boltzmann est utilisée pour étudier le comportement des électrons dans
les gaz et les difficultés rencontrées pour la résolution dans le cas général. Les hypothèse
simplificatrices admises qui concernent en premier lieu le terme de droite de cette équation
(operateur de collision), sont explicitées en même temps que les principaux types de
collision. Les hypothèses simplificatrices qui concernent le terme de gauche de l'équation de
Boltzmann sont abordées dans le cadre de la théorie cinétique classique qui est établie aussi
bien dans le cas d'un milieu homogène et non-stationnaire ( cas relatif a la simulation des
expériences de mesure de paramètres de transport dites TOF :temps de vol) que dans le cas
d'un milieu stationnaire et non-homogène( cas relatif à la simulation des expériences de
mesure de paramètres de transport dites ATS correspondant à l'expérience de Townsend en
régime stationnaire). La méthode de résolution numérique des équations de transport établies
dans le cas TOF et dans le cas ATS est ensuite brièvement décrite.
Nous terminons ce chapitre en décrivant la méthode de simulation statistique de Monte Carlo qui est basée sur les lois de probabilité et de statistique d'une manière générale. Cette
méthode consiste à simuler un ensemble d' événements difficilement réalisables par un autre
ensemble d'événements facilement
réalisables. ceci est fait par des tirages de nombres
aléatoires. on donnera un aperçu sur les principes de la méthode et on définit la relation entre
la simulation de Monte-Carlo et les mesures de probabilités.
Le chapitre III est consacré à l'application de la méthode de Monte-Carlo qui est
capable de suivre le mouvement des électrons depuis leur émission jusqu'a leur disparition
tout en incluant le traitement des processus électron-molécule (collision élastique, ionisation,
attachement, vibration etc.). Cette méthode permettra le calcul des paramètres de transport
électronique dans le CF4 soumis a l'action d'un champ électrique uniforme par la technique
de collision nulle qui simplifie beaucoup le calcul du temps de vol.
2
Introduction Générale Durant chaque temps de vol, la position et la vitesse de chaque électron avant collision sont
déterminées par les lois de la mécanique classique, tandis que la nature de la collision et la
vitesse de l'électron juste après chaque collision dépendent des sections efficaces du gaz
considéré. Grace à ces grandeurs, on peut calculer les paramètres de transport tels que la
vitesse de dérive et l'énergie moyenne à l'aide des moyennes statistiques appropriées.
L'étude du mouvement des électrons dans le CF4 nous permet de voir comment évoluent les
paramètres de transport tels que la vitesse de dérive et l'énergie moyenne dont le but est de
diminuer l'utilisation de SF6 et ceci a cause de ses retombées environnementaux.
3
CHAPITRE I
************************
DESCRIPTION DES MECANISMES MIS EN JEU LORS
D’UNE DECHARGE ELECTRIQUE
Chapitre I Description des mécanismes mis en jeu lors d’une décharge électrique I-1 Introduction :
Les recherches qui concernent la physique des diélectriques gazeux sont basées sur
l'acquisition
de la connaissance des processus microscopiques appropries en plus du
processus de claquage, le développement de l'équation de transport de Boltzmann et sa
résolution à l'aide de la méthode de Monte-Carlo, vont permettre la modélisation du
phénomène de décharge et ses caractéristiques [1].
En général, l'étude des décharges électriques est basée sur la connaissance des processus
physiques qui sont importants pour la modélisation, il s'agit des mécanismes élémentaires
microscopiques tels que l'excitation. L’ionisation, l'ionisation par photons, l'attachement,
détachement, recombinaison, dissociation
et il s'agit aussi des collisions élastiques et
inélastiques qui dominent un milieu gazeux.
En effet, sachant que chaque section efficace représente un processus collisionnel spécifique
dépendant de l'énergie incidente, connaitre toutes les sections efficaces [2] en fonction de
l’énergie est indispensable pour le calcul des paramètres de transport tels que la vitesse de
dérive, l'énergie moyenne, coefficients d'ionisation. de recombinaison, d'attachement, de
diffusion longitudinal et transversal. L’explication du phénomène de claquage dans un gaz
est important dans une décharge électrique.
4
Chapitre I Description des mécanismes mis en jeu lors d’une décharge électrique I -2 Les processus élémentaires dans les décharges électriques :
I-2-1 L'excitation :
L’excitation d'un atome est faite de deux façons
-
par collision avec un électron :
e- + A
e- + A*
Il faut que l'énergie cinétique de l'électron incident soit au moins égale à l'énergie d'excitation
afin que cette réaction puisse se produire.
-
par absorption d'un photon :
hυ + A
A*
h: constante de Planck qui vaut 6.625 10-34 (SI).
υ: la fréquence du photon.
hυ: l'énergie d'excitation.
I-2-2 L'ionisation :[3.4et 5]
On dit qu'un atome est ionisé quand il perd un électron par absorption d'une énergie qui est
assez suffisante, il deviendra une particule chargée positivement.
Le processus important pour former des paires ion positif électron est 1'ionisation d'un gaz
par les électrons libres accélérés.
e- + A
A+ + 2 e-
5
Chapitre I Description des mécanismes mis en jeu lors d’une décharge électrique -
Ionisation thermique :
Une élévation de température conduit à une agitation thermique croissante qui rend ce
processus efficace, surtout si la pression est élevée. Dans ce cas l'ionisation ne se produit pas
au cours d'un seul choc, mais est le résultat d'excitations successives.
-
Ionisation par choc :
Un électron peut ioniser une particule neutre à condition qu'il ait une énergie cinétique
supérieure à l'énergie d'ionisation de la particule neutre. Dans le cas d'une collision avec une
particule excitée, l'énergie requise pour 1 'ionisation est plus faible et est donnée
par la relation:
mv ² = Ei -E e
Avec : Ee l'énergie d'excitation de l'atome.
-
Ionisation par photon :
Un photon suffisamment énergétique peut exciter ou même ioniser une particule neutre.
L'ionisation d'une particule par absorption d'un photon ne se produit que si l'énergie du photon
incident est au moins égale à l'énergie d'ionisation de la particule considérée, on peut écrire
alors:
A+ + e-
A+ hv
L’électron éjecté emporte l'excédent d'énergie sous forme d'énergie cinétique. La probabilité
pour qu'un atome ou une molécule soit ionisé est au maximum quand la différence entre
l'énergie du photon et l'énergie d'ionisation est petite. La photoionisation se produit non
seulement à partir de radiation extérieure mais aussi à partir de radiation émise du gaz lorsque
les atomes excites retournent à leur état fondamental ou lorsque les atomes ionisés se
recombinent avec les ions négatifs afin de former des molécules neutres.
6
Chapitre I Description des mécanismes mis en jeu lors d’une décharge électrique I-2-3 L'attachement : [3,4]
Le processus d'attachement est un comportement opposé à l'ionisation. Il correspond à la
capture d'un électron par une particule neutre, qu'elle soit atomique ou moléculaire, ce qui
conduit à la création d'un ion négatif.
L’attachement est important pour les gaz électronégatifs, il augmente leur rigidité, les
électrons interagissent avec les molécules d'un gaz électronégatif ils peuvent être absorbés
selon l'affinité du gaz et le résultat est la création d'ions négatifs.
L’énergie de l'ion négatif formé lors d'une collision d'attachement est inferieure à l'énergie de
la particule neutre et l'excès d'énergie est libéré sous forme de photon, c'est ce qu'on appelle
attachement radiatif et on écrit :
e- +A
A- + hv
Après une collision d'attachement l'excès d'énergie libéré peut être aussi acquis par une
troisième particule comme énergie cinétique Wc , c'est le cas d'une collision à trois corps et
on écrit alors
e- + A + B
A- + (B + Wc )
L’excès d'énergie est utilisé pour la séparation de deux atomes d'une même molécule en
atome neutre et ion négatif, c'est ce qu'on appelle attachement dissociatif le processus inverse
est le détachement associatif et on écrit :
e- + xy
(xy)- *
x- + y
Les ions négatifs peuvent être créés après une collision d'un électron avec une molécule, dans
cette collision la molécule est divise en deux ions, un ion positif et l’autre négatif sans qu'il y
ait attachement de l'électron incident, c'est ce qu'on appelle production de paires ion, et on
écrit :
e- + x y
x + + y- + e -
7
Chapitre I Description des mécanismes mis en jeu lors d’une décharge électrique Les processus conduisant à la diminution du nombre d'électrons libres dans un gaz ionisé
peuvent être de deux types: attachement et recombinaison.
I-2-4 La recombinaison : [3,4]
La recombinaison est obtenue par collision d'un ion positif avec un électron ou un ion
négatif.
Dans le cas de la recombinaison entre ion positif et ion négatif, on a la réaction suivante :
A+ + B-
AB + hv
Les deux particules qui possèdent des charges de signe contraire, échangent ces charges pour
revenir à. l'état neutre avec une certaine énergie, soit sous forme d'un photon, soit sous forme
d'énergie cinétique cédée à une molécule de gaz voisine.
Dans le cas de la recombinaison entre ion positif et un électron, on a la réaction suivante :
e- + A +
A + hv
e- + A +
A* + hv
L’électron se recombine avec un ion positif pour donner un atome neutre ou bien excité, et on
aura une énergie sous forme d'un photon, si elle dépasse l'énergie d'ionisation, le photon peut
ioniser le gaz à une certaine distance.
Dans les gaz ou les ions négatifs peuvent se former facilement, la recombinaison d'ions
positifs avec les ions négatifs prend place plus rapidement que dans le cas d'un gaz ou les ions
négatifs ne peuvent plus se former, on peut dire que la recombinaison de deux ions de signes
contraires d'un même gaz est plus probable de se produire que la recombinaison d'ion positif
avec électron libre.
Le taux de recombinaison est proportionnel aux concentrations des ions positifs et des
ions négatifs ou électrons.
8
Chapitre I Description des mécanismes mis en jeu lors d’une décharge électrique =
= Rn+n-
(I-1)
n+ : densité de charges positives en cm-3.
n - : densité de charges négatives en cm-3.
R : coefficient de recombinaison en cm3s-1
I-2-5 Le détachement : [3.4et 5]
Le détachement est la réaction inverse de l’attachement, un ion négatif perd son électron
supplémentaire.
On peut distinguer 4 types de détachement
-collisions des ions avec molécules.
-détachement associatif
-le détachement collisionnel qui constitue le processus principal de production d'électrons à
partir d'ions négatifs, ainsi l'électron éjecté pourra, à son tour, participer à la multiplication
électronique.
-photodétachement par absorption de radiations.
-recombinaison des ions atomiques positifs et négatifs pour former une molécule diatomique
neutre par collision à trois corps avec des électrons.
I-2-6 Interactions coulombiennes : [6]
Ce genre d'interaction est totalement différent des autres types de collision électron- atome ou
atome-atome. Cette différence est essentiellement due à la longue portée du potentiel
coulombien (potentiel en l/r ou r est la distance inter-particules). En effet dans le cas d'une
collision électron-atome, le potentiel d'interaction est un potentiel dit a courte portée
(potentiel du type Lennard-Jones comme exemple). Ce qui signifie que tant que l’électron se
trouve loin de l’atome, il n’y a aucune interaction. Mais des que l'électron se trouve à
proximité de l'atome, il y a une interaction. c'est pour cela qu'on considère l'interaction
électron-atome comme collision binaire avec toutes les implications de la mécanique
classique qui en découlent. En revanche, dans le cas des interactions entre particules chargées,
les électrons interagissent en permanence avec un grand nombre d'électrons et d'ions du
9
Chapitre I Description des mécanismes mis en jeu lors d’une décharge électrique milieu. Les interactions coulombiennes (surtout électron-électron) jouent un rôle important
dans l'équilibre énergétique. En effet, elles permettent des échanges d'énergie directes entre
les électrons du milieu.
I-2-7 Diffusion: [4,7 et 8]
Si une des propriétés macroscopique d’un gaz n’étais pas uniformément répartie à travers le
volume considéré, il apparait un flux moyen de cette propriété tendant à uniformiser les
conditions en tout point.
Dans les décharges électriques , quand il y a une concentration non uniforme d’ions ,il y’aura
déplacement des ions des régions à concentration élevée vers les régions à faible
concentration .
Ce processus qui est appelé diffusion ,donne naissance à un effet déionisation dans les
régions à concentration élevée et un effet d’ionisation dans les régions à faible concentration
.La diffusion est relativement faible à pression élevée pour laquelle la recombinaison est
particulièrement importante .
On écrit l'équation de diffusion comme suit :
=
2
(Dv)
(I-2)
D : coefficient de diffusion.
v: vitesse des particules.
Quand D est une constante 1'équation (1-2) deviendra :
=
2
v
(I-3)
Lorsqu'on considère un gaz avec une densité importante d'ions positifs et d'ions négatifs,
leurs mobilités sont différentes, les ions négatifs diffusent plus rapidement, ceci entraine la
création d'un champ électrique donnant naissance à des forces qui vont augmenter la vitesse
de dérive des ions positifs et retarder les ions négatifs . Ainsi, les ions positifs et négatifs
diffusent avec la même vitesse, on appelle ce processus diffusion ambipolaire.
10
Chapitre I Description des mécanismes mis en jeu lors d’une décharge électrique La vitesse des ions positifs diffusés est :
+
=-
+ K+ E
(I-4)
La vitesse des ions négatifs diffusés est :
-
=-
- K- E
(I-5)
K+ : mobilité des ions positifs.
K- : mobilité des ions négatifs.
E : champ électrique appliqué.
Par élimination de E et en posant :
n+ =n - =n
=
=
v+ = v- = v
La vitesse moyenne des ions sera égale à :
V= -
(I-6)
Il s'ensuit que le coefficient de diffusion ambipolaire est
Da = -
(I-7)
11
Chapitre I Description des mécanismes mis en jeu lors d’une décharge électrique I-2-8 Dissociation : [20]
La dissociation d’une molécule en deux ou plusieurs constitue est un phénomène assez
probable car l’énergie nécessaire pour le réaliser est rarement supérieur à 10ev
-
La recombinaison dissociative
e- +A2+ →
A+A
La dissociation peut donner naissance soit à des ions ou molécules neutres ,soit à des
particules chargés des deux signes.
Elle peut être accompagnée d’ionisation ou d’attachement
- e- +CF4 → CF3 + F + e- e- +CF4 → CF2 + 2F + e- e- +CF4 → CF + 3F + e- e- +CF4 → CF3+ + F + 2 e- e- +CF4 → CF2+ + 2F +2 e-
I-3 Section efficace de collision: [8, 2, 9 et 10]
Le plasma est constitue d'une multitude de particules ce qui implique que de très nombreuses
collisions ont lieu en même temps. Pour décrire cela, on a recours à une grandeur statistique :
la section efficace.
Donc la section efficace de collision est un concept très utile et largement étudié, les
particules sont représentées par le modèle de sphères rigides qui définit bien les collisions
quand la distance entre deux particules est égale à la somme de leurs rayons une collision
devra se produire.
I-3-1 Section efficace différentielle :
Les mesures de sections efficaces différentielles sont traitées à l'aide d'une expérience typique
qui nécessite un faisceau de particules mono énergétique, le centre du faisceau et le centre de
la particule cible sont sur un même axe. La particule incidente, ayant une vitesse v se dévie
après interaction avec la particule cible. Dans cette expérience les particules diffusées sont
comptées a l'aide d'un détecteur qui est loin de la particule cible, la vitesse finale des
particules diffusées est v', 1'angle entre v et v' est l'angle de diffusion θ .
12
Chapitre I Description des mécanismes mis en jeu lors d’une décharge électrique dΩ
________________________________________
_______________θ____________
φ
________________________________________
Fig I-1 : Diffusion des particules incidentes
Les particules incidentes sont diffusées dans diverses directions
On suppose que la particule cible est beaucoup plus massive que le faisceau de particules. la
cible est considère comme fixe. Ces suppositions vont impliquer que la vitesse initiale et la
vitesse finale des particules incidentes sont égales.
Soit dN/dt le nombre de particules diffusées par unité de temps à l'intérieur de l'angle solide
dΩ autour d'une direction donnée. Cette direction sera repérée par rapport à celle du faisceau
incident au moyen de deux angles θ et Ф, ou Ф est l' angle azimutal.
On définie alors la section efficace différentielle par le rapport du nombre de particules
incidentes qui sont déviées dans l'angle solide d Ω .On a l’expression ci- dessous
= nσ(θ)dΩ
13
(I-8)
Chapitre I Description des mécanismes mis en jeu lors d’une décharge électrique dN: nombre de particules diffusées dans l'angle solide dΩ
N : nombre total des particules tests
n : nombre des particules cibles par unité de surface.
L'équation (1-8) montre que la quantité σ a les dimensions d'une surface. De plus. on pourra
considérer qu'elle ne dépend pas de l'angle azimutal Ф mais uniquement de l'angle de
déviation θ , donc on aura la définition suivante :
= nσ(θ)sin θ dθdØ
(I-9)
avec: dΩ=sin θ dθ dФ
I-3-2 Section efficace totale :
On va s'intéresser à présent à la description de l'ensemble des collisions qui se produisent et
pour cela on va introduire la notion de section efficace totale.
La section efficace totale est l'intégrale de la section efficace différentielle étendue à toutes les
valeurs possibles de l' angle θ , soit
Ω
σt = ∑
σ
σt = ∑
2 sin
(I -10)
(I -11)
∑ Indique la sommation des intégrales relatives à chaque type possible d'interaction élastique
et inélastique.
Le concept de la section efficace est utilisé pour décrire par exemple le trajet d'un électron
dans un gaz quand il effectue des collisions inélastiques et élastiques avec les molécules du
gaz, la section efficace totale est :
σt = ∑
(I -12)
j
14
Chapitre I Description des mécanismes mis en jeu lors d’une décharge électrique j: symbole désignant le type de collision.
La probabilité de collision du type j est donnée par
Pj =
(I -13)
D'une autre part, on peut définir la fréquence de collision νc qui est utilisée aussi dans
la description du phénomène de collision, elle est définie comme étant le nombre de
Collisions par unité de temps .
νc =
ou
(I -14)
est la vitesse moyenne de la particule incidente et N la densité du gaz .N σ est le
nombre de collisions par unité de longueur qui est défini comme étant égale à l'inverse du
libre parcours moyen λ
λ.=
( I-15)
I-3-3 Section efficace de collision élastique :
Il y a plusieurs manières de mesurer la section efficace de collision élastique, on cite deux
méthodes habituellement utilisées :
- L'atténuation d'un faisceau d’électrons dans un gaz d'une pression donnée.
-Dans les expériences dites « transport des électrons ».
La section efficace de collision élastique est le produit d'une diffusion non symétrique d'un
électron.
I-3-4 Section efficace de collision inélastique :
A fin de mesurer la section efficace d'excitation σ
ex
ou la section efficace d'ionisation σ
ion
il est essentiel de séparer le nombre des électrons diffusées en conséquence. Pour mesurer
σ ion on compte le nombre d'ions positifs issus de l'ionisation, tandis que la mesure de σ ex est
faite par des méthodes optiques aux basses pressions, en comptant le nombre de photons émis
lorsque les états excités des molécules reviennent aux états fondamentaux.
15
Chapitre I Description des mécanismes mis en jeu lors d’une décharge électrique Il est important de signaler que dans des cas, la recombinaison entre un électron et un ion
positif peut prendre place (ceci est possible quand l'électron a une faible énergie, a ce qu'il
réside aux alentours de l'atome pour un temps de l'ordre de 10-8 s). De même quelques atomes
tendent à attirer des électrons de faibles énergies pour former des ions négatifs.
La formation de ces derniers est un processus essentiel de suppression d'électrons du faisceau,
ce processus doit être pris en compte dans telles mesures.
Il y a une relation entre le coefficient de recombinaison R et la section efficace de
recombinaison σ r qui est :
R=
(I-16)
σr
est la vitesse moyenne de l'ion.
La section efficace d’attachement est donnée par :
=- σ atNnv
=- Pa σ t Nnv
(I-17)
(I-18)
v: vitesse des électrons.
n : densité des électrons.
N : densité des atomes.
Pa: probabilité d'une collision d'attachement.
Pa = σat / σt
(I -19)
16
Chapitre I Description des mécanismes mis en jeu lors d’une décharge électrique I-4 Claquage de Townsend : [1, 9,7et 11]
I -4-1 Définition :
On peut définir le claquage comme le passage du gaz d'un état isolant à un état conducteur.
Le claquage du gaz se produit quand un électron perdu à l’anode est remplacé en moyenne
dans le temps par un électron secondaire émis à la cathode par le bombardement ionique.
La valeur de la tension à laquelle le claquage se produit, il s'agit de la tension de claquage qui
dépend du gaz, de sa densité, de l'espace inter-électrode, de la forme et la composition des
électrodes et la nature de la tension appliquée. On peut définir aussi ce que l'on appelle le
critère de claquage ou d'auto-entretien.
I -4-2 Critère d'auto-entretien :
Pour définir le critère d'auto-entretien, on définit premièrement a comme étant le coefficient
d'ionisation ( ou premier coefficient de Townsend).
α est évidemment très dépendant du champ électrique.
Le processus de la multiplication électronique d'électrons par ionisation est présente par :
n=no exp(αd)
(I-20)
n : nombre d'électrons à la distance x =d.
no : nombre d'électrons à la distance x=0.
α: le nombre moyen d'ionisations qu'effectue un électron par unité de longueur dans la
direction du champ électrique.
(exp (αd) ) est appelé la multiplication électronique : c'est le nombre moyen d'électrons
créés par un électron secondaire pendant son passage de la cathode à l'anode.
Si en plus de l'ionisation par impact d'électrons, d'autres processus secondaires tels que
les collisions des ions positifs, photons et espèces métastables avec la cathode,
photoionisation dans le gaz contribuent a la production d'électrons, donc :
n =no
17
(I-21)
Chapitre I Description des mécanismes mis en jeu lors d’une décharge électrique γ: nombre d'électrons arrachés à la cathode par un ion positif, on le défini comme étant le
deuxième coefficient de Towsend.
L'auto entretien de la décharge est atteint lorsque l’électron émis au départ est exactement
compensé par les γ (exp(αd)-1) électrons secondaires, c’est a dire que :
γ
exp(αd)-1 ] =1
(I-22)
Expression que l'on peut aussi écrire:
exp (αd)=1+
(I-23)
le processus d'attachement à été introduit dans la théorie de Towsend avec la relation suivante
:
γ
exp(αd)-1 ] =1-
(I -24)
η est le coefficient d'attachement, il est défini comme étant l'inverse de la distance moyenne
traversée dans la direction du champ électrique par un électron libre avant d'être arraché .
I -4-3 les relations entre les coefficients α , η et les sections efficaces :
Si pour un gaz donné, les sections efficaces des processus microscopiques sont connues, on
peut les utiliser avec les équations de conservation de charge pour la modélisation de la
décharge. Vu le manque de données dans la littérature, ceci est difficile en pratique .On a
souvent recours aux coefficients de transport. Le coefficient d'ionisation α et le coefficient
d’attachement η sont exprimes en fonction de E/N et en fonction des sections efficaces
respectives
Si pour un gaz pur, on considère un électron avec une énergie ε > I avec I seuil de l'énergie
d'ionisation, le nombre des collisions d'ionisation par seconde est σ ion (ε)Nv
σ ion (ε)Nv = σ ion (ε)N ( )1/2
18
(I-25)
Chapitre I Description des mécanismes mis en jeu lors d’une décharge électrique m : masse de l'électron
Le nombre moyen des événements ionisants qu'effectue l'électron par unité de distance est
donné par
[σ ion (ε)N ( )
1/2
]
ƒ(ε, )d ε =α
(I-26)
avec vd : la vitesse de dérive de l'électron.
Les relations des coefficients
α , η et les sections efficaces d'ionisation et σ
d'attachement σ ion (ε) sont données par
( )=
( )=
ƒ (ε, ) ε1/2 σ ion (ε)dε
vd -1
vd
-1
ƒ (ε, ) ε1/2 σ att (ε)dε
19
(I-27)
(I-28)
ion
(ε) et
Chapitre I Description des mécanismes mis en jeu lors d’une décharge électrique I-5 Conclusion :
Dans ce chapitre, il nous a été nécessaire de décrire les processus élémentaires qui peuvent
avoir lieu lors d’une décharge électrique dans un gaz
La notion de la section efficace de collision et l'expérience typique pour mesurer la section
efficace différentielle ainsi le calcul de la section efficace total pour des chocs élastiques et
inélastiques ont été discutées.
Ensuite on a donné un aperçu sur le phénomène de claquage et on à présenté à la fin la
relation entre le coefficient d'ionisation de Towsend et la section efficace d'ionisation ainsi
que le coefficient d’attachement de Towsend et la section efficace d'attachement dans le but
est de mieux situer le problème de la modélisation des décharges électriques dans les gaz.
En effet connaître toutes les sections efficaces en fonction de l'énergie est indispensable pour
le calcul des paramètres de transport tels que : la vitesse de dérive, l'énergie moyenne,
coefficients d'ionisation, de recombinaison, d'attachement, de diffusion longitudinal et
transversal.
Le chapitre suivant est consacré pour la description des méthodes qui sont généralement
utilisées afin de simuler le transport des électrons dans un milieu gazeux et ceci dans le but de
calculer les coefficients de transport et simuler les décharges électriques dans un gaz.
20
CHAPITRE II
************************
METHODE DE CALCUL DES FONCTIONS DE
DISTRIBUTIONS ET PARAMETRES DE TRANSPORT
Chapitre II Méthodes de calcule des fonctions de distribution et paramètre de transport II-l Introduction :
L'équation de Boltzmann est l'équation la plus utilisée pour la description de l’évolution de la
fonction de distribution des vitesses des diverses particules .cette équation traduit le fait que la
fonction de distribution dans un élément de volume de l'espace des phases ( r , v) des
positions et des vitesses, varie d'une part en raison du mouvement libre de ces particules (en
présence des forces extérieures appliquées) , et sous l'effet des collisions .
En l'absence de toute force extérieure appliquée et au bout d'un temps de relaxation
suffisamment long la solution de l'équation de Boltzmann correspond à l'équilibre
hydrodynamique local et conduit à une fonction de distribution de Maxwell quelque soit le
type de particule considérée. L’état du système est uniquement caractérise par sa température
et par les densités des diverses particules.
En présence de forces extérieures, on peut toujours mettre en évidence une solution
d'équilibre entre l'énergie dissipée par ces mêmes particules au moment des collisions.
L’état de non- équilibre spatio-temporel est beaucoup plus facile à prendre en compte à l'aide
de la méthode de Monte Carlo, que par la résolution directe de l’équation de Boltzmann
La méthode de Monte Carlo est un outil puissant pour simuler numériquement le transport
des particules dans divers milieux.
Ce chapitre est consacré à la description de l’équation de Boltzmann utilisée pour étudier le
comportement des électrons dans les gaz et les difficultés rencontrées pour la résolution dans
le cas général. Les hypothèses simplificatrices admises, qui concernent en premier lieu le
terme de droite de cette équation (opérateur de collision), sont explicitées en même temps que
les principaux types de collision susceptibles de changer directement ou indirectement la
fonction de distribution des électrons. Après, les hypothèses simplificatrices qui concernent le
terme de gauche de l'équation de Boltzmann sont abordées dans le cadre de la théorie
cinétique classique. Cette théorie est établie aussi bien dans le cas d'un milieu hormogène et
non-stationnaire (cas relatif à la simulation des expériences de mesure des paramètres de
transport dites TOF :temps de vol) que dans le cas d'un milieu stationnaire et non-homogène
(cas relatif à la simulation des expériences de mesure des paramètres de transport dites ATS
correspondant à l'expérience de Towsend en régime stationnaire dans laquelle un spectre
21
Chapitre II Méthodes de calcule des fonctions de distribution et paramètre de transport d'arrivée à l'anode du nuage électronique est analysé).La méthode de résolution numérique
des équations de transport établies dans le cas TOF et dans le cas ATS est ensuite brièvement
décrite.
Ensuite on décrit d'une manière générale la méthode de simulation statistique de Monte Carlo
qui est basée sur les lois de probabilité et de statistique. Cette méthode consiste à simuler un
ensemble d'événements difficilement réalisables par un autre ensemble d'événements
facilement réalisables, ceci est fait par des tirages de nombres aléatoires, on donne un aperçu
sur les principes de la méthode et on définit la relation entre la simulation de Monte Carlo et
les mesures de probabilités.
II-2 Equation de Boltzmann :
II-2-1 Généralités :
Le milieu étudie est constitué de plusieurs espèces de particules, électriquement chargées ou
non. Sous l'action d'une force extérieure d'accélération γ, les électrons se déplacent en
effectuant des collisions avec toutes les espèces de particules.
Le nombre probable d’électrons à un instant " t " qui occupent un volume dv est
dn (r,v,t) =dv f (r, v ,t)
Avec dr=dxdvdz et dv =dvx dvy dvz
(II-l)
en coordonnées cartésiennes
f (r ,v ,t) est la fonction de distribution des électrons dans l'espace des phases .
La définition de la fonction de distribution des électrons f(r ,v ,t) repose sur des notions de
probabilité , et toute expression dans laquelle elle sera figurée par exemple l'expression des
paramètres de transport, va être relative au comportement moyen des électrons .A chaque
instant, cette fonction dépend du vecteur position r qui sont des variables indépendantes de
l'espace des phases (espace des positions et des vitesses ).
Cette fonction induit à l'équation de Boltzmann :
22
Chapitre II Méthodes de calcule des fonctions de distribution et paramètre de transport .
=
Avec v =δr/ δt
= C (ƒ)
(II-2)
et γ=
L’équation (II-2) signifie la variation élémentaire " df " de la fonction f(r, v, t) dans
l'intervalle "t" et " t+dt ", c'est une équation de continuité dans l'espace des phases.
L'opérateur C (f ) représente des collisions qui sont à l’origine de la modification du nombre
de particule dans le volume élémentaire dv de l'espace des phases d’où
* un terme de diffusion spatiale (v ∂ f / ∂r ) qui traduit la tendance du gaz à relaxer vers un
état homogène dans l'espace.
* un terme de force extérieure ( y ∂ f / ∂v)qui exprime l'action du champ électrique sur les
particules du gaz
* un terme de collision C ( f ) sous la forme d'un opérateur qui agit sur f (r , v ,t) .
La plus ou moins grande difficulté pour la résolution de l'équation (II-2) dépend de l’écriture
plus ou moins complexe de C( f ) et de la complexité du terme de gauche de cette équation
c'est à dire du nombre de variables à considérer .A la suite on va d'abord décrire les
hypothèses simplificatrices utilisées pour l’écriture de l’opérateur de collisions, ensuite la
théorie cinétique permettant une écriture simplifiée de l'équation de Boltzmann, ainsi que la
forme intégro-différentielle finale sous laquelle l’équation de Boltzmann peut-être
numériquement résolue .
II-2-2 Opérateur de collision: [6]
Il est nécessaire de donner une série d'hypothèses qui simplifient l'opérateur de collision C(f)
pour le linéariser :
-Le milieu gazeux est supposé assez dilué si bien que seules les collisions binaires sont prises
en compte.
23
Chapitre II Méthodes de calcule des fonctions de distribution et paramètre de transport -Les collisions sont supposées instantanées et locales de sorte que l’opérateur de collision agit
sur la fonction de distribution des électrons par l'intermédiaire de la vitesse seulement.
-la fonction de distribution des atomes (ou molécules) neutres (excités ou non) est supposée
maxwellienne a une température T du gaz.
Avec ces hypothèses, une bonne approximation de l’opérateur de collision est considérée par
cette expression :
C(f) = J(f ) -υ(v)f
J(f) dv est le nombre d'électrons qui peuplent l'élément de volume dv de l'espace des phases à
l'instant t .
υ(v)f dv est le nombre d'électrons qui dépeuplent le volume dv à ce même instant.
υ(v)f est le produit de la fréquence de collision totale υ(v) qui dépend de la vitesse v (v est le
module du vecteur v) avec la fonction de distribution f(r , v ,t).
υ(v) est l'ensemble des processus de collision électron-atome et d'interaction coulombienne
qui sont pris en compte (électron-électron, électron-ion) .
Contrairement au terme de dépeuplement ou les collisions atome-atome ne jouent aucun rôle,
le terme de peuplement inclut non seulement les collision électron- atome, électron-électron et
électron-ion mais aussi les collisions atome-atome qui entraînent l’apparition de nouveaux
électrons dans le système:
J =J e-at +J coul +J at-at
Les termes de peuplement qui vont suivre sont écrits dans le cas d'un mélange gazeux
incluant
ng gaz (le gaz ' ig' a une masse Mig et une pression partielle Nig / N ) .
Ces termes dépendent uniquement de la partie isotrope Ø o(r ,v ,t ) de la fonction de
distribution .f(r, v, t) étant donne que la diffusion des électrons après un choc est supposée
isotrope.
24
Chapitre II Méthodes de calcule des fonctions de distribution et paramètre de transport Terme de peuplement relatif aux collisions électron-atome J e-at :
J e-at = J el +Jex +Jsup + Jion + Jcu
*Le terme J
el
représentant 1e peuplement par collisions élastiques se décompose en un
premier terme qui exprime la rotation du vecteur vitesse au cours du choc, un deuxième terme
qui exprime l'échange d'énergie et un troisième terme relatif à l'agitation thermique du gaz
cible
NJex (Ø0 (r ,v ,t )) =
∑
Nig ∑
NJel (Ø0 (r ,v ,t )) =∑
+
Nig
,
,
(v) Ø0 (r ,
(
,
) Ø0 (r ,
,
,t )
,t )
(v)[ Ø0 (r , ,t )+
Ø0 (r , ,t )]
: la section efficace de transfert de la quantité de mouvement par collision
élastique
K : constante de Boltzmann.
T : température du mélange gazeux.
me: masse de l’électron.
*Le terme Jex représente le peuplement par excitation électronique des atomes à partir du
niveau fondamental :
NJex (Ø0 (r ,v ,t )) = ∑
avec :
,
=
+
Nig ∑
,
,
25
,
(
,
) Ø0 (r ,
,
,t )
Chapitre II Méthodes de calcule des fonctions de distribution et paramètre de transport : L’énergie d'excitation de seuil des atomes du gaz ig du niveau fondamental au niveau
,
excité j.
: le nombre de niveaux excités d'un atome du gaz ig.
: la section efficace d’excitation du niveau fondamental au niveau excité j.
,
*Le terme J sup représente le peuplement par collisions super -élastiques
NJsup (Ø0 (r ,v ,t )) = ∑
avec :
,
= v² -
∑
,
,
(
,
) Ø0 (r ,
,
,t )
,
, : l'énergie de destruction de seuil de l'état excité j par collision super- élastique .
: la densité des atomes du gaz ig dans leurs états excités .
,
la section efficace de destruction de l'état excité j par collision super- élastique
*Le terme Jion est le peuplement par ionisation des atomes à partir de leurs niveaux
fondamentaux :
NJion (Ø0 (r ,v ,t )) = ∑
Avec :
= v² +
∆
∆
(v1)Ø0 (r , ,t)+
et
=
26
∆
v² +
∆
(v2)Ø0 (r , ,t)
Chapitre II Méthodes de calcule des fonctions de distribution et paramètre de transport *Le terme Jcu est le peuplement par ionisation cumulative ( ou ionisation par étape )
NJcu (Ø0 (r ,v ,t )) = ∑
+
avec:
,
∆
,
,
= v² +
∆
∑
,
∆
(v2cu,j )Ø0 (r ,
,
(v1cu,j )Ø0 (r ,
, ,t)
, ,t)
( ,
) et
=
,
∆
v² +
( ,
)
∆ est un paramètre qui caractérise la répartition de l'énergie entre les deux électrons diffusé et
éjecté :
é ,
é
é
é é
é =
∆ ∆ : Section efficace d'ionisation à partir du même niveau.
Terme de peuplement relatif aux collisions atome-atome J at-at :
J at-at =J pen +J mm
Le terme J at-at correspond au peuplement par collisions Penning J pen et par collisions entre
deux atomes métastables J mm qui entraînent la création de nouveaux électrons dans le milieu.
Ce terme, contrairement aux termes précédents, ne dépend pas directement de la fonction de
distribution Øo (r ,v ,t ) ,il dépend uniquement des pressions partielles des atomes mis en
jeu dans les réactions atome-atome et des fréquences de collision correspondantes.
27
Chapitre II Méthodes de calcule des fonctions de distribution et paramètre de transport NJpen =∑
a)
∑
) et
)
Avec :
=
sont respectivement, l'énergie d'excitation du niveau métastable d'un atome du
et ( (t) δ(v-
= Njg
,
gaz " ig ", et l'énergie d'ionisation d'un atome du gaz " jg "
est la section efficace de collision entre un atome du gaz " ig "dans un état
métastable, et un atome du gaz "jg" dans son état fondamental
est la vitesse relative moyenne entre les atomes du gaz " ig " dans un état et ceux du
gaz "jg ",
est égal a 1 si b)
NJmm =∑
=
Avec :
( est supérieur a ∑
. Si non. il sera égal à 0.
(t) δ(v-
) et
)
=
est la section efficace de collision entre deux atomes dans des états métastables des
deux gaz " ig " et " jg ".
est égal à 1 si ( ) est supérieur a Si non. il sera égal à 0.
Pour expliquer les rapports du nombre d'atomes métastables du gaz " ig " sur celui des
électrons
/n , il est nécessaire de coupler, à l’équation de Boltzmann, les équations de
conservation des différentes espèces qui participent à la génération et à la disparition des
électrons et des atomes métastables .
28
Chapitre II Méthodes de calcule des fonctions de distribution et paramètre de transport Terme de peuplement par interactions coulombiennes Jcoul
Jcoul = Je-e + Je-ion
Le champ coulombien de l'électron projectile interagit simultanément avec le champ de
l'ensemble des particules chargées qui se trouvent dans son rayon d'action. Cela implique une
notion d'interactions multiples et simultanées et il est supposé que les interactions
coulombiennes sont une succession d'interactions binaires entraînant de faibles déviations
après le choc
Dans ces conditions. Le terme de collisions coulombien peut-être déduit de l'opérateur de
Fokker-planck écrit dans le cas de collisions entre particules chargées [ 6]
Dans le cas des interactions électron-électron, l’opérateur coulombien est :
NJe-e (Ø0 (r , ,t))=
ve-e v3 [A1 (v,t)+( A2 (v,t)+ A3 (v,t))] v Ø0 (r , ,t)
avec :
A1 (v,t) =
A2 (v,t) =
A3 (v,t) =
(r,v’,t)v’² dv’
(r,v’,t)v’4 dv’
²
(r,v’,t)v’ dv’
v
29
Chapitre II Méthodes de calcule des fonctions de distribution et paramètre de transport Dans le cas des interactions électron-ion
Je-ion (Ø0 (r , ,t)= ∑
v4 (r,v,t)+
(r,v,t)+
Ø0 (r , ,t)
II-2.-3 Théorie cinétique: [6,12 et 13]
C'est l'opérateur de collision de l'équation de Boltzmann dans ce qui a précédé qui vient d'être
explicité. Sa linéarisation moyennant un certain nombre d’hypothèses a permis une écriture de
cet opérateur relativement simple et accessible du point de vue du calcul numérique.
Maintenant, il reste à transformer le terme de gauche de l'équation (II-2) car en pratique, il est
inutile de résoudre l’équation de Boltzmann sous sa forme.
Des conditions physiques assez particulières dans lesquelles se trouve le plasma (régime
stationnaire ou milieu spatialement infini ou régime hydrodynamique ou géométrie monodimentionnelle, géométrie de révolution, etc...) vont permettre un certain nombre de
simplifications et ces dernières vont être envisagées dans le cadre de la théorie cinétique
classique du régime hydrodynamique. Il s'agit du développement de la fonction de
distribution f(r, v, t) en série de gradients spatiaux de la densité électronique n(r, t).
Pour des raisons de simplifications d'écriture des équations, on va s'intéresser à un cas de
géométrie mono-dimentionnelle (l’axe Oz choisi correspond à la direction de l'accélération
des forces extérieures γ ).Alors la fonction de distribution f(r,v, t) peut-être développée :
-Soit en série de gradients spatiaux de la densité n(z, t) :
f (z ,v,t)= ∑
(v,t) Θ ( - ∂z )i n( z,t)
30
(II-3)
Chapitre II Méthodes de calcule des fonctions de distribution et paramètre de transport Les fonctions de distribution F(i) ( v ,t ) d' ordre i vérifient les conditions de normalisation
suivantes :
∞
∞
,
Avec :
∞
∞
,
, ,
,
et
=
1 si i=0
0 si i=0
Θ est le produit scalaire tensoriel contracté d'ordre i (le résultat du produit est toujours un
scalaire).
-Soit en série de gradients temporels de la densité n(z, t) :
, ,
∑
Les fonctions de distribution G
,
(i)
Θ
,
(II-4)
( v ,z ) d’ordre i vérifient les conditions de normalisation
suivantes :
1
,
∞
, ,
∞
Avec :
∞
∞
,
,
et
=
1 si i=0
0 si i=0
Le développement (II-3) est valable lorsque les gradients spatiaux de la densité sont
relativement faibles (les électrons sont suffisamment éloignés de la source d'électrons).
Il permet la simulation des expériences de mesure de paramètres de transport dites TOF(Time
of Flight) dans lesquelles la résolution spatiale du spectre électronique en fonction du temps
est observée.
31
Chapitre II Méthodes de calcule des fonctions de distribution et paramètre de transport Tandis que le développement (II-4) est valable lorsque les gradients temporels de la densité
sont à leur tour relativement faibles. Il permet la simulation des expériences de mesure de
paramètres de transport dites ATS (Arrival Time Spectra) dans lesquelles la résolution
temporelle du spectre électronique est observée.
II-2-3-1 Développement de la fonction de distribution f(r, v, t) en série de gradients
spatiaux :
Tout d'abord on va écrire l'équation de continuité des électrons qui est obtenue en intégrant
l'équation de Boltzmann (II-2) dans l'espace des vitesses :
,
,
(II-5)
est le lus d′ électrons et ,
,
zf
(v,z,t)
est le taux d′ ionisation net: = n(z,t)
et
(0)
(z,t)
νz est la projection du vecteur vitesse sur I' axe O z.
Si le développement (II-3) est injecté dans l'équation de continuité (II-5). On obtiendra
l'équation suivante:
[ ∑
Ω(i)
z)’
32
] n(z,t) = 0
(II-6)
Chapitre II Méthodes de calcule des fonctions de distribution et paramètre de transport Ω(i) (t) sont les paramètres de transport d'ordre i à l'instant t.
Si le développement (II-6) est tronqué à l'ordre 2, on obtiendra l'équation de conservation
classique appelée équation de diffusion généralisée:
,
Ω(0)(t)n(z,t)+ Ω (1)(t) n(z,t)- Ω(2)(t)
,
0
(II-7)
Avec
(0)
(1)
= fréquence d'ionisation nette.
(t)=
(t)=vd (t)=
= la vitesse de dérive relative à l'expérience TOF
(2)
L (t)=
Ω
Ω
4
= coefficient de diffusion longitudinal
coef icient de diffusion transversal Le nombre total d'électron à l'instant " t " est : n(t)= _
,
,
Position moyenne des électrons suivant l'axe Oz.
33
Chapitre II Méthodes de calcule des fonctions de distribution et paramètre de transport F(i)(v,t)
Finalement, les équations cinétiques vérifiant les fonctions de distribution
s'obtiennent en multipliant l'équation (II-2) par zi et en l'intégrant dans l'espace des positions
dz , il s'ensuit :
Ω
Pour i=0 :
t
ν
,
0
(II-8-1)
et pour i > 0
Ω
,
,
∑
,
(II-8-2)
II-2-3-2 Développement de la fonction de distribution f(r, v, t) en série de gradients
temporels :
Si le développement (II-4) est injecté dans l'équation de continuité (II-5), on obtiendra
l'équation de conservation classique qui s'écrit lorsque le développement est tronqué à
l'ordre 2 :
,
,
,
,
0
(II-9)
Les coefficients α(i)(z) sont les paramètres de transport d'ordre i relatifs à l’analyse du spectre
électronique sur le plan z :
= Coefficient d’ionisation net.
= inverse de la Vitesse de dérive moyenne relative à l’expérience ATS
= quantité symétrique au coefficient de diffusion longitudinal
34
Chapitre II Méthodes de calcule des fonctions de distribution et paramètre de transport par rapport à t et z
,
Avec
n(z) : est le nombre total d'électron qui traverse le plan " z " de t = 0 à + ∞
,
Finalement, les équations cinétiques vérifiées par les fonctions de distributions
G(i) (v ,z)s'obtiennent en multipliant l'équation (II-2) par ti et en l'intégrant dans l'espace des
temps dt, il s'ensuit :
Pour i=0
,
0 (II-10-1)
Et pour i > 0 :
,
,
∑
,
(II-10-2)
II-2-3-3 Développement en série de polynômes de Legendre des fonctions d'ordre zéro
F(0) (v, t) et G(0) (v, z) :
*Développement de la fonction F(0) (v, t):
La fonction F(0) (v, t) peut-être décomposée en série de polynômes de Legendre PL(cosθ)
avec θ l'angle entre v et l'axe γ .
35
Chapitre II Méthodes de calcule des fonctions de distribution et paramètre de transport ,
,
(v,t)
,
avec :
,
;
0 1
est la partie isotrope de la fonction F(0) (v, t).
est la première anisotropie de la fonction F(0) (v, t).
L'intérêt de ce développement de la fonction de distribution en série de polynômes de
Legendre est de faciliter la résolution numérique de l'équation de départ(II-8-1).
En effet, on a une réduction du nombre de variables à considérer parce que la fonction
F(0)(v, θ , Ø ,t ) en coordonnées sphériques est remplacée par les fonctions
,
et
(v,t).
,
Les équations qui vérifient les fonctions
et
(v,t) sont obtenues en
multipliant l'équation (II-8-1) par d'abord P0(cosθ ) et en intégrant le tout par rapport à
l'espace angulaire (cosθ )
,
,
,
,
Ensuite en multipliant la même équation par P1 cosθ et en l'intégrant par rapport
à (cosθ ) :
,
,
,
0
36
(II-11-2)
(II-11-1)
Chapitre II Méthodes de calcule des fonctions de distribution et paramètre de transport *Développement de la fonction G(0) (v, z ) :
Le développement de la fonction G(0) (v, z) est obtenu avec la même Façon que le
développement de F(0) (v, t).
,
G(0) (z, v )=
avec : ,
,
+ cosθ cos θ G (0) (z,v)d cos θ ; L = 0 et 1
=
Tandis que les équations vérifiées par les fonction (z .v) et (z .v) sont obtenues en
multipliant l'équation (II-10-1) par PL cos(θ) (avec L = 0 puis 1 ) et en intégrant l'ensemble
par rapport a cas( θ) , il s'en suit :
,
,
,
,
, (II-12-1)
,
,
,
,
0
(II-12-2)
Les équations (II-11-1) et (II-11-2) ainsi (II-12-1) et (II-12-2) forment un système de deux
équations aux dérivées partielles du premier ordre en t (ou en z) et du second en v.
Dans ce qui suit, on décrira la méthode de calcul des fonctions de distribution des électrons
par la résolution directe de l’équation de Boltzmann.
37
Chapitre II Méthodes de calcule des fonctions de distribution et paramètre de transport On tient compte du régime hors- équilibre dans l'espace temps et position, la prise en compte
du non- équilibre spatio-temporel est facile avec la méthode de Monte Carlo qu'avec la
résolution directe de l'équation de Boltzmann.
II-3 Description de la méthode de Monte Carlo :
II-3-1 Historique de la méthode de Monte Carlo :
La méthode de Monte Carlo est une méthode ancienne, son développement et son usage ne
sont pas récents. En effet, c'est au début du siècle qu'elle a été utilisée pour examiner
l'équation de Boltzmann. En 1908 un fameux statisticien l'a employé pour l'estimation du
coefficient de corrélation dans sa distribution "t". Plus tard, le terme "Monte Carlo" était
introduit par Von Newmann et Ulam durant la deuxième guerre mondiale, comme un "mot de
passe" dans le travail secret à Los Almos, et c'est à partir de 1944, que les méthodes de Monte
Carlo ont connu un véritable essor, elles étaient appliquées aux problèmes liés à la bombe
atomique, en simulant directement le comportement de la diffusion aléatoire des neutrons
dans les matériaux fissionables. Par la suite elles étaient utilisées pour évaluer les intégrales
complexes multidimensionnelles et la simulation du mouvement de particules dans un fluide.
II-3-2 Principes de la méthode :
La méthode de Monte Carlo est basée sur les lois de probabilité et de statistique. Elle
consiste, en général, à simuler un ensemble d'événements difficilement réalisables, par un
autre ensemble d'événements plus facilement réalisables. Cette simulation est réalisée en
faisant correspondre à un événement du premier ensemble (ensemble à simuler) un ou
plusieurs événements du deuxième ensemble. Son but est de réaliser, de façon fictive, des
événements en connaissant par avance leurs probabilités d'apparition. En général, cette
simulation est faite par
des tirages de nombres aléatoires compris entre 0 et 1 . Les nombres aléatoires sont en
pratique génères sur calculateur à l'aide de formule mathématique simple.
Ce sont en réalité des nombres pseudo -aléatoires, car la séquence de nombres génères est
reproductible des lors ou elle est initialisée avec le même nombre «germe». Cette séquence est
également, périodique avec une période qui doit être la plus longue possible, car pour une
38
Chapitre II Méthodes de calcule des fonctions de distribution et paramètre de transport période donnée, la qualité du résultat recherché augmente en même temps que le nombre de
tirage.
Nous allons tout d'abord exposer le principe de la génération de nombres aléatoires.
II-3-3 Générateur de nombres aléatoires :
Le générateur de nombres aléatoire est inclue dans plusieurs; langages de programmation. il
est généralement basé sur une méthode linéaire simple. Dans cette méthode chaque terme
dans la séquence peut être trouvé suivant le terme précédent par la relation :
xn+1 = (axn + c) mod m
avec : x0 le nombre germe,
et a, c, m des entiers positifs.
y =x mod m signifie que si x est supérieur à m, alors y est égale au reste de la division de x par
m
Les nombres aléatoires r compris entre 0 et 1 sont donnés par :
r n=
La période, en général, dépend des trois paramètres :
-
Le multiplicateur a.
-
L ' incrémentateur c .
-
Le modulo m.
39
Chapitre II Méthodes de calcule des fonctions de distribution et paramètre de transport Si on choisit soigneusement a, c et m tel que la période maximale est obtenue, alors
tous les entiers possibles entre 0 et m-1 doivent se produire dans cette séquence et par
conséquent avoir un nombre maximum de nombres aléatoires rn dans l'intervalle [0,1 [ .
II-3-4 Relation entre la méthode de Monte Carlo et les mesures de probabilités :
Soit un ensemble bien défini d'événements incompatibles Ei (i=1 , n). A l'issue d'une
expérience, un seul de ces événements, est réalisé. Cette épreuve est répétée N fois. Si
l’événement Ei est réalise Ni fois, alors la probabilité de l'événement Ei est :
Pi =
Avec: ∑
=1
Donc pour mesurer les probabilités Pi (i= 1, n), il est évident qu'il faut réaliser un très grand
nombre de fois les événements Ei ( i = 1. n).
De plus, nous savons qu'au cours de ces expériences, un événement donné Ei ayant une
probabilité de réalisation
Pi
non nulle, sera tôt ou tard réalisé. Par conséquent. Plus
l'événement en question tarde à se produire plus la chance de le voir apparaître augmente, et
cette chance est d'autant plus grande que la probabilité de cet événement est grande.
La simulation Monte Carlo est basée sur un principe similaire. Son but. à l'inverse des
expériences de mesure de probabilité, est de réaliser de façon fictive les événements en
connaissant par avance leurs probabilités d'apparition.
Ces événements sont associés aux tirages de nombres aléatoires de distribution uniforme
comprise entre 0 et 1 . Pour un événement Ei bien déterminé et de probabilité Pi bien connue
(comprise entre 0 et 1) et d'après le principe ci-dessus, tôt ou tard des nombres aléatoires
tomberont dans les sous intervalles correspondants à Pi (figure II-1).
0
P1
E1
P1+ P2
E2
P1+ P2+ P3 P1+ P2+ …Pj-1
E3
40
Ej
P1+ P2+ …Pj
∑
∑
En
Chapitre II Méthodes de calcule des fonctions de distribution et paramètre de transport Figure II-1 : Représentation schématique des événements Ei et les sous- intervalles
correspondant aux probabilités d'occurrence Pi .
Il est évident que le nombre de réalisation de l'événement Ei est directement proportionnel à la
probabilité Pi .
Donc, connaissant la probabilité Pi , de chaque événement Ei la simulation de Monte
Carlo de l'ensemble des événements peut se faire en représentant la probabilité de chaque
événement par un sous intervalle à l'intérieur de l'intervalle [0, 1], puis on tire un nombre
aléatoire R compris entre 0 et 1 . Ce nombre R appartient nécessairement à l'un des sous
intervalles correspondant aux différentes probabilités Pi, ensuite c'est l'événement
correspondant Ei, qui est supposé se produire.
Cette manière de simuler des événements peut être considérée comme une règle
générale à suivre pour appliquer la méthode de Monte Carlo tout en rappelant que l'ensemble
des événements à étudier doit être incompatible et les probabilités d'occurrence de chaque
événement doivent être connues auparavant.
Le principe fondamental de la méthode de Monte Carlo appliquée à un nombre très
grand de collisions successives dans des petits intervalles de temps, peut être formulé d'une
manière brève comme suit :
On affecte, arbitrairement, une variable x de l'intervalle [0, xm [ aux événements de collisions
C1, C2, C3 ,…… Cm.
Avec :
K- 1 ≤ x < K représente l’événement Ck .
Si P(x) dx est la probabilité pour que x soit entre x et x + dx,
avec : a ≤ x < b
et
(x)dx
Alors le nombre aléatoire R est défini par la fonction de distribution de probabilités :
41
Chapitre II Méthodes de calcule des fonctions de distribution et paramètre de transport R=
x est donc déterminé uniquement comme une fonction de R .
Si R est uniformément distribué dans l'intervalle [0,1[ alors x tombe dans l'intervalle
[x, x+dx [ avec une fréquence de P(x)dx.
Les problèmes traités par la méthode de Monte Carlo sont nombreux et varies [10, 14,15 et
16], cette méthode a donné entière satisfaction dans la simulation du mouvement de particules
dans un fluide et les problèmes liés aux intégrales multiples. La simulation du déplacement
des électrons dans un milieu gazeux sous l’effet des collisions consiste à suivre le transport
des électrons et comment ils évoluent, depuis leur création jusqu'à leur disparition par
collision ou dépassement des limites spatiales fixées au début de la simulation.
Dans leur déplacement, les électrons suivent des trajectoires entièrement déterminées
par le champ électrique applique, lors d'un choc avec les molécules du gaz considéré. En effet,
la simulation par la méthode de Monte Carlo nécessite tout simplement la connaissance de la
trajectoire et de la vitesse v (vx, vy, vz ) de chaque électron à tout instant et en tout point r (x,
y, z). On relève pour chaque électron, les composantes de son vecteur position et son vecteur
vitesse en fonction du temps.
Ces grandeurs permettent à la suite de calculer la fonction de distribution ainsi les
paramètres de transport électronique dans un gaz en fonction de la position et du temps.
42
Chapitre II Méthodes de calcule des fonctions de distribution et paramètre de transport II-4 Conclusion :
Dans ce chapitre, il est très utile de présenter toutes les notions développées dans ce
qui suivra. On a illustre l’équation de Boltzmann des électrons pour aboutir aux paramètres de
transport hydrodynamique afin d'étudier et analyser le comportement des électrons dans un
gaz .
On a décrit la complexité de la résolution de l'équation de Boltzmann dans le cas
général et des hypothèses physiques simplificatrices ont été posées pour permettre de
contourner les difficultés contenant le terme de droite et le terme de gauche de l’équation de
Boltzmann. La théorie cinétique à été discutée dans le cas d'un milieu homogène et non
stationnaire et dans le cas d'un milieu non- homogène et stationnaire.
Ensuite la méthode de Monte Carlo a été exposée dans le cas général, elle est basée sur
la génération de nombres aléatoires permettant de recréer un enchaînement d'événements
réels.
La méthode de Monte Carlo est un outil puissant afin de simuler le comportement d'un
grand nombre d'électrons dans un gaz et suivre l'évolution spatio-temporelle de ces électrons
depuis leur apparition jusqu'il leur disparition.
Dans ce qui va suivre, on va détailler cette méthode de simulation afin de calculer les
paramètres de transport électronique dans un gaz .
43
CHAPITRE III
CALCUL DES PARAMETRES DE TRANSPORT
ELECTRONIQUE PAR SIMULATION DE
MONTE-CARLO
************************
***********
**
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo III-1Introduction
En général pour connaitre le comportement et la modélisation des décharges
électriques dans un milieu gazeux ,on doit savoir un grand nombre de données de base :
sections efficaces de collision électronique et coefficients de transport .
La connaissance de toutes les sections efficaces en fonction de l’énergie est indispensable
pour calculer les paramètres de transport.
Dans ce chapitre on va décrire une méthode de simulation statistique de Monte-Carlo qui est
capable de suivre le mouvement des électrons depuis leur émission jusqu’à leur disparition
tout en incluant le traitement des processus électron-molécule (collision élastique ,ionisation
,attachement ,vibration etc).
Le développement du comportement électronique par ionisation ou n’importe quel type de
collision de l’électron dans les gaz comprend des paramètres fondamentaux tel que la vitesse
de dérive et l’énergie moyenne .
44
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo III-2 Méthode de simulation de Monte-Carlo :
La méthode de Monte-Carlo est appliquée dans les problèmes de la décharge électrique dans
un gaz. On considère un gaz dans un champ électrique uniforme et dans la direction z
(normale aux électrodes) à t=0, les ne électrons initiaux sont libérés de la cathode avec une
énergie initiale er0 , ils sont repartis aléatoirement entre les électrodes.
L'électron se déplace dans un pas dt ou une distance ds sous l'action du champ électrique E,
d'ou on parle de l'approche du temps de vol moyen et l'approche du libre parcours moyen et
de la technique de collision nulle. La nouvelle position et, énergie (ou vitesse) de l'électron
sont calculées selon l'équation de mouvement; la probabilité de collision et la nature de
collision sont déterminées par comparaison avec des nombre
aléatoires génères par
ordinateur .Les procédures des approches du libre parcours moyen, du temps de vol moyen et
de la technique de collision nulle sont discutes séparément ci-dessous.
III-2-1 Approche du libre parcours moyen :
Le libre parcours moyen exprime la distance moyenne parcourue par une particule entre deux
chocs dus à un processus donné.
Dans le cas ou le champ électrique est uniforme, l'électron se déplace suivant une , orbite
parabolique [17] jusqu'à ce qu'il rentre en collision ,avec une des molécules du gaz.
( III -1)
Le libre parcours moyen est donné par:
Le libre parcours moyen sera inversement proportionnel à la somme de ces différentes
sections efficaces de collision.
σT ( ε ) : La section efficace totale de collision en fonction de l'énergie.
N : la densité du gaz
ε : L'énergie de l'électron en (eV).
La section efficace est en fonction de l'énergie de l'électron, ce qui implique que le libre
parcours moyen dépend aussi de l'énergie de l'électron.
Le libre parcours moyen est divisé en petites fractions ds tel que:
45
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo k est généralement choisi entre 10 et 100
La probabilité pour que l'électron entre en collision avec une des molécules de gaz dans cette
marche de distance ds est calculée comme suit :
Plus la distance ds suffisamment petite, plus le temps de calcul augmente et on obtient une
mei1leure approximation de simulation.
L'événement de la collision est décidé par un nombre aléatoire. Si aucune collision ne se
produit dans la distance ds, le mouvement de l'électron pour le pas suivant sera simulé. Dans
le cas ou une collision se produit, les paramètres de mouvement de l'électron vont être
modifiés selon le type de collision qui s'est produit et ce type de collision est décidé par un
autre nombre aléatoire, ainsi la nouvelle direction de l'électron après la collision est assignée
selon une distribution isotrope. La procédure est répétée pour le pas suivant jusqu'à ce que la
seconde électrode soit atteinte.
III-2-2 Approche du temps de vol moyen :
Le temps de vol correspond à la période pendant laquelle une particule ne fait pas de
collision et n'est plus soumise qu'aux lois de la mécanique classique. Le temps de vol est bien
entendu lié aux sections efficaces.
Le temps de vol moyen de l'électron qui se déplace avec une vitesse v ( ε) est :
σ ε
(III-2)
ε N : la densité du gaz
σT ( ε ) : La section efficace totale de collision en fonction de l'énergie.
46
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo v(ε) : la vitesse de l'électron
le temps réel de vol actuel est donné comme suit :
Tα =- Tm LnR
R est un nombre aléatoire compris entre 0 et 1
Cependant cette constante n’est pas applicable pour plusieurs gaz Braglia ( 17) divise
Tm (ε0)à t0 ou l’électron est au début de son libre parcours par le nombre K suffisamment
grand
ε
La fréquence de collision est supposée constante dans l'intervalle dt et la probabilité de
collision dans l'intervalle dt est : P1 =1-exp -
III-2-3 La technique de collision nulle :
Les deux méthodes citées ci-dessus ont l'inconvénient que le temps de calcul sur ordinateur,
nécessaire pour le mouvement de l'électron est excessivement long. Ce problème est surmonté par
la technique de collision nulle [17]. On introduit un nouveau type de collision tel que l'électron ne
change ni de trajectoire ni de vitesse et la section efficace de collision est choisie de façon que la
fréquence totale de collision soit constante .Quand l'électron effectue des collisions avec les
molécules du gaz, la fréquence de collision nulle νnulle est :Σ v1( ε )+vel(ε)+ vnulle(ε) = ν max (III-3)
vel: fréquence de collision élastique.
v1: fréquence de collision inélastique du processus 1
Si nous trouvons une meilleure limite de fréquence de collision νmax tel que
v max = max [ N σT (ε) v( ε ) ]
Dans ce cas la constante du temps de vol est :
et le temps de vol réel est:
47
(III-4)
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo dt = -
(III-5)
La section efficace totale est : σT’ = σT +σnulle
La position et l’énergie d'un électron dans l'intervalle de temps dt subissent les variations
suivantes:
dx =vx0 dt
dy =vy0 dt
dz = vz0 dt+
(dt)²
dε = eEdz
avec
me :la masse de l’électron.
e : la charge de l’électron
E : le champ électrique.
dx , dy , dz : les distances traversées le long des directions x, y, z
vx0 , vy0 ,vz0: les compos antes initiales de la vitesse de l'électron au début de l'intervalle de
temps dt.
On peut déterminer si la collision est nulle ou réelle en déterminant que la collision est faite
après un certain intervalle dt ,la probabilité de collision réelle P1 est :
P 1=
Pour P1 >R la collision est réelle, autrement la collision est nulle, et on procède vers la
collision suivante sans changer l'énergie et la direction de l'électron. La nature de collision est
déterminée de la manière suivante :
On définit la probabilité pour que la collision de processus j existe
P2J , ou j= 1,2,…..,N
P2,j =
avec
∑
,
=1
tel que :
48
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo P2,1 ≤ P2,2 ≤P2J ≤P2,N
si la relation suivante est vérifiée :
P2,1 + P2,2 + P2j-1 ≤ R ≤ P2,1 + P2,2 + P2j-1+ … P2j
Ceci détermine le processus de collision j,
III-2-4 Le mouvement de l'électron entre deux: collisions successives:
Le mouvement de l’électron entre deux collisions successives est déterminé par la résolution
de l'équation de Newton [10,18], l’électron est soumis à l'action des forces électriques ou
l'équation de mouvement s'écrit :
F = me
= - eE
Dans le cas d'un champ électrique antiparallèle à l'axe Oz, les composantes de la force
électrique s'écrivent :
me
=0
me
=0
me
=- eE
Pour connaitre la position et la vitesse de l'électron entre deux collisions successives on doit
résoudre le système d'équations.
Si t0 correspondant au début du temps de vol libre ou l'électron est dans la position r0
de composantes x 0 , y0 , z 0 avec une vitesse v0 de composantes v x0 , v y0 , v z0 , alors la
vitesse et la position à l'instant t1 correspondant à la fin du temps de vol libre sont données
par:
49
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo vx1 = vx0
vy1 = vy0
vz1 = vz0 +
dt
x1 = x0 + vx0 dt
y1 = y0 + vy0 dt
z1 = z 0 + vz0 dt +
dt²
vx1 , vy1 , vz1 : les composantes du vecteur vitesse v1 à la fin du temps de vol
x1 , y1 , z1 : les composantes du vecteur position r1 au même temps .
A l’instant t1 l’énergie ε1 de l’électron est donnée par la relation suivante
ε1 = mev12
III-2-5 Détermination de la nature de collision :
A un instant t1 l’électron va subir une collision .On connait la position r1 et la vitesse v1 de
cet électron juste avant la collision (à un instant t1 )
D’après l’équation de mouvement. Maintenant, le calcul de la vitesse de l’électron juste après
la collision nécessite la connaissance de la nature de la collision .
On suppose que la collision est locale et quasi-instantanée c'est-à-dire la position et le temps
ne change pas au cours de la collision. Par conséquent, au cours du choc seule la vitesse peut
changer en module et en direction (déviation de l’électron) selon le type de la collision
effectuée.
50
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo •
Si P1
•
Si P1 ≥ R : il existe une collision dans l'intervalle de temps dt .
R : pas de collision.
Maintenant pour déterminer le type de collision, il faut calculer la probabilité de chaque
processus de collision.
La probabilité d'avoir une collision de type j est
P2,j =
j = 1,2,3, …… ,N , y compris la collision nulle, les collisions élastiques, vibrationnelles,
d'excitation, d'attachement , rotationnelles, dissociation , ionisation
σ j : section efficace de collision du processus j ,
σT’: section efficace totale de collision :
= Σ σj
La probabilité de chaque événement est représentée par un sous intervalle du segment
[0,1], on connait que la somme des probabilités de collision est égale à l'unité:
, 51
1
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo Les sous intervalles du segment [0,1] sont définis pour différentes collisions de la manière
suivante :
S1 =
0,
S2=
,
S3=
,
,
,
,
S4=
,
,
,
,
,
,
,
, ,
,
,
,
,
,
-------------------------------------------------------------------------Sj=
,
,
,
,
,
,
…
,
,
--------------------------------------------------------------------------SN=
,
,
,
,1
La nature de la collision est obtenue par un simple tirage d'un nombre aléatoire Rcoll
qui est uniformément distribué dans l’intervalle [0,1] et on procède comme suit
Le type de collision qui se produit est celui qui correspond à l'intervalle ou tombe
Rcoll.
Si Rcoll tombe dans l'intervalle S1 donc c'est la première collision dont il s'agit.
Si Rcoll tombe dans l'intervalle S3 donc c'est la troisième collision dont il s'agit.
et ainsi de suite jusqu’à terminer les sous intervalles définis.
Une fois on a trouvé la nature de la collision, on doit savoir la vitesse et la direction de
l'électron après collision.
III-2-6 Vitesse et direction de l'électron après collision :
On considère que la position de l'électron juste après la collision est la même que celle juste
avant la collision, donc pendant le choc seule la vitesse peut changer en module et en
direction (déviation de l'électron) d'après le type de collision effectué
S'il s'agit d'un attachement, la simulation de l'électron en cours de traitement est alors
terminée et on passera à l'électron suivant.
52
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo Si d'autres collisions surviennent alors la vitesse de 1'électron après collision dépendra de la
nature de collision qui a eu lieu, dans ce cas on déterminera l'angle polaire θ et l'angle
azimutal Ø de l'électron après collision.
III-2-6-1 Détermination de l'angle polaire et l'angle azimutal :
L'angle azimutal Ø est supposé tout au long de ce travail suivre une distribution uniforme
entre 0 et 2π , tandis que l'angle polaire θ suit une distribution entre 0 et π , on suppose que la
direction de l'électron après collision suit une distribution isotrope, c'est a dire que la
probabilité de la diffusion de l’électron est uniformément distribuée dans toutes les directions.
La probabilité de la diffusion de l'électron après collision est P( θ ,Ø)dθdØ
(III-6)
P( θ ,Ø)dθdØ =
dΩ: angle solide élémentaire. d Ω =sinθd θdØ
on a :
P( θ ,Ø) =
(III-7)
Les densités de probabilité pour θ et Ø sont obtenues par :
P( θ) =
P(Ø) =
, Ø Ø
, Ø
Ø
(III-8)
(III-9)
Pour trouver l'angle polaire θ et l'angle azimutal Ø, on va introduire deux nombre aléatoires
R1 et R2 uniformément distribues dans l'intervalle [0, 1] .
L’angle polaire θ est donné par :
R1 =
Ø (III-10)
Apres avoir intégrer on trouve :
Cos θ = 1-2R1
(III-11)
L'angle azimutal Ø est donné par
53
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo R2 =
Ø (III-12)
Apres avoir intégrer on trouve :
Ø = 2π R 2
(III-13)
Une fois on à déterminé l'angle polaire θ et l'angle azimutal Ø de l'électron après
collision, on est amené à trouver le module de la vitesse de l'électron après la collision.
III-2-6-2 Détermination du module de la vitesse après le choc :
III-2-6-2-1 Collisions élastiques :
La connaissance des deux angles θ et Ø ainsi que l'utilisation des lois de conservation de la
quantité de mouvement et de l'énergie, permettent de calculer les composantes du vecteur
vitesse de l'électron après la collision.
Lors des collisions élastiques, les échanges énergétiques sont généralement faibles par rapport
aux énergies mises en jeu. Dans ce cas, ces collisions entraînent principalement une
redistribution angulaire de l'électron projectile.
Le traitement de ces collisions peut être effectué en négligeant la vitesse de la cible
(molécule), la fraction d'énergie est comme suit :
=2
²
(1-cosθ)
avec :
ε1 : l'énergie de l'électron juste avant la collision,
: l'énergie de l'électron juste après la collision,
θ : l'angle entre le vecteur vitesse et le vecteur champ électrique,
M : masse de la molécule.
Comme
<< 1, on aura :
ε1 = ε1[ 1-((2me /M) (1-cosθ)]
54
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo Donc la vitesse de l'électron après une collision élastique est la suivante :
= 1
1
(III-14)
III-2-6-2-2 Collisions inélastiques conservatives:
Il s'agit des collisions qui conduisent à l'excitation des molécules c'est à dire la perte
d'énergie. Dans notre cas ce sont les collisions d'excitation électronique, vibrationnelle et
rotationnelle.
Lors de ces collisions, les énergies échangées sont prises en compte.
Les pertes d'énergie par excitation sont égales aux énergies des niveaux excités considérés. Le
module de la vitesse de l'électron après une excitation est déduit comme suit :
L'énergie de l'électron après une collision d'excitation est :
-∆
=
ou ∆ représente l’énergie d'excitation de seuil des molécules du niveau fondamental au
niveau excité j
Le module de la vitesse de l’électron après une excitation est :
∆
= 55
(III-15)
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo III-2-7 Organigramme de Monte-Carlo :
Dans ce qui suit, on va décrire en détail les différentes étapes du déroulement de
l'organigramme de la méthode de Monte-Carlo (voir Figure III-l), et ceci dans le cas des
collisions électron -molécule.
, on connait les composantes de la vitesse
Quelle que soit la nature de la collision à l'instant
de l'électron test après collision. Par la suite, on peut traiter la collision suivante avec comme
nouvelles conditions initiales les composantes de cette vitesse
=
sinθ
=
sin
=
cosθ
cosØ
θsinsØ
et les composantes de la nouvelle position :
= x1
=y1
= z1
Si on à une collision d’ionisation, on traite également l’électron éjecté à son tour.
Avec ces nouvelles conditions initiales. on détermine ensuite la nature de la collision, après
on calcule la vitesse après le choc. Cette procédure est répétée jusqu'a atteindre la limite
temporelle tmax ou spatiale Zmax qui est fixée au début de la simulation et jusqu'à ce que touts
les électrons tests et mêmes les électrons créés par ionisation soient épuisés.
Les différentes étapes qui correspondent a l’organigramme de la simulation de Monte-Carlo
sont illustrées sur la figure III-1.
56
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo INPUT
Choix du gaz (section efficace de collision ) et paramètres de
simulation : ne,N,er0,tmax,E
Choix du pas de temps dt
T=T+dt
Echantillonage sur les électrons
Paramètres de l’électron avant une collision
Les paramètres de
l’électron restent
constants
Collision
Non
Oui
Type
Elastique,Excitation,
Vibration,Rotation,dissocia
tion
Attachement
Ionisation
Paramètres de
l’électron après
collision
ne=ne+1
n+=n++1
ne=ne-1
n-=n-+1
Paramètres de l’électron
Stockage des paramètres de l’électron
STOP :
Paramètres de transport
Non
ne=0
Oui
Oui
Tous les esont simulés
durant dt
3.1L’organigramme de la méthode de simulation de Monte-Carlo
57
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo III-2-8 Calcul des paramètres de transport :
Pour chaque électron on relève les composantes de son vecteur position et son vecteur vitesse
en fonction du temps pendant la simulation.
Connaitre les grandeurs de cet électron nous permet , à l’aide du calcul des moyennes
statistiques appropriées et à l’aide de méthodes d’échantillonnage , de calculer les paramètres
de transport électronique dans le gaz.
3-2-8-1 Paramètres de transport :
Les paramètres de transport hydrodynamiques sont obtenus à l’aide des grandeurs stockées à
chaque collision.il faut discrétiser l’intervalle de temps [0,tmax]en nt sous intervalles réguliers
pour avoir la variation temporelle de ces paramètres :
[0,tmax]=[t0 , t1 , t2 , ……,ts-1 ,ts , ts+1, …..,tmax]
ts+1-ts=dt
On va introduire une grandeur
relative à l’électron numéro j dans les relations qui sont
décrites dans le deuxième chapitre paragraphe II-2-3-1 concernant les coefficients de transport
.
Cette grandeur va effectuer une collision i dans l’intervalle [ts,ts+1] , sa valeur moyenne
dans l’intervalle [ts,ts+1] est obtenue par la relation classique donnant la moyenne sur
les électrons et les collisions.
58
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo La vitesse de dérive :
∑
∑
(III-17)
Autrement :
∑
∑
(III-18)
L’énergie moyenne
(
∑
= ∑
(III-19)
Coefficient de diffusion longitudinal :
∑
∑
(III-20)
Coefficient de diffusion transversale :
∑
∑
(III-21)
Coefficient d’ionisation :
=
Avec
=
∑
(III-22)
∑
59
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo Coefficient d’attachement :
Sans ionisation :
η=
(III-23)
avec ionisation
η=
α
(III-24)
ou :
est le nombre d’électrons dans l’intervalle de temps [ ts , ts+1],
est le nombre de collisions effectué par un seul électron dans l’intervalle de temps
[ts , ts+1] ,
,
et
sont les composantes du vecteur vitesse dans l’intervalle de
temps [ts ,ts+1] ,
,
et
sont les composantes du vecteur position de l’électron relevées
pour chaque collision dans l’intervalle de temps [ts , ts+1] ,
n0 représente le nombre d’électrons initiaux .
(n+et n- représentent les nombres des ions positifs et négatifs générés dans l’intervalle de
temps [ts,ts+1]
60
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo III-3 Choix du gaz et section efficace de collision :
III-3-1 Tétra fluorure de Carbone [31,32]
Egalement connus sous le nom de Carbon Tétra Fluoride ,Perfluoromethane ,tétra
Fluorométhane est un gaz non toxique ,incolore ,volatile ,produit inflamable, il possède une
exellente rigidité diélectrique c’est un gaz électronégative .
Utilisé dans la fabrication des semi-conducteur ,il est utilisé en mélange avec l’oxygène pour
nettoyer par plasma les réacteurs de C.V.D
III-3-2 La section efficace de collision :
Pour la modélisation des décharges électriques dans un milieu gazeux et pour le calcul des
paramètres de transport par la methode de Monte-Carlo ,on doit savoir un grand nombre de
données de base tels que les sections efficaces de collisions des gaz étudiés .Dans se travail
les sections éfficaces de collision sont choisies de telle façon que les paramètres de transport
calculés dans le gaz s’approchent le plus possible des paramètres de transport qui existe dans
la littérature .
Les sections efficaces de collision électron-molécule en fonction de l’énergie de l’électron
sont données dans se paragraphe []
Les processus de collision représentés sur la figure 3.2 concerne le tetrafluoride
De carbon par l’intermédiaire de leurs sections efficaces de collisions en fonction de l’énergie
de l’électron
61
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo Section efficaces de collisions (m2)
1E-18
sela
svib2
1E-19
sioni
sdiss
1E-20
sexi
svib
1E-21
satt
1E-22
0,01
0,1
1
10
100
1000
Energie de l'électron (ev)
Figure III-2 Sections efficaces de collision en fonction de l’énergie de l’électron
Satt-attachement, Svib-vibration, Sexi-excitations, Sion-ionisation, Sela-élastique
Svib-vibration , Svib2- vibration2
III-4 Résultats et Discutions
Après avoir suivi tous les électrons et ceci depuis leur création jusqu’à leur disparition on à pu
obtenir les paramètres de transport électronique dans le CF4
62
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo Parmi ces paramètres on va déterminer la vitesse de dérive des électrons et leur énergie
moyenne
Les électrons se déplacent dans un pas de temps dt sous l’effet d’un champ électrique
appliqué
Etant donné la complexité de la méthode de Monte Carlo , on à constaté qu’un certain nombre
de tests de validité est nécessaire pour vérifier si la méthode réagit correctement
dans
quelques cas classiques ou la solution cherchée est déjà connue soit analytiquement ,soit
expérimentalement .
III-4-1 Cas d’un champ électrique nul
Un faisceau d’électrons ne est libéré avec une énergie er0, une densité du gaz N un
temps de simulation maximal tmax.
On donne :
N= 3,29.1022 m-3
ne=10000
er0=2ev
tmax=50.10-9s
Les électrons tests ne à l’instant t=0s sont émis de la cathode sous condition de champ réduit
E/N =0Td (1Td=10-21 V.m2).
Les figures III-4 et III-5 montrent les variations temporelles de la vitesse de dérive et de
l’énergie moyenne des électrons avec un champ nul.
Les particules chargées dans le gaz n’auront pas une direction préférée de leur mouvement ,
après avoir effectuer peu de collisions leurs vitesses initiales deviennent rapidement
négligeables .on signale que le comportement des électrons décrit à un champ nul est vrai
quelque soit le gaz choisi et quelque soit la nature des collisions effectuées .L’énergie
moyenne atteint sa valeur d’équilibre.
63
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo 1000000
800000
vd(m/s)
600000
400000
200000
0
-200000
0,00E+000
1,00E-008
2,00E-008
3,00E-008
4,00E-008
t(s)
Figure III-3 Vitesse de dérive vd en fonction du temps
E/N=0Td
64
5,00E-008
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo 2,0
emoy(ev)
1,5
1,0
0,5
0,0
0,00E+000
1,00E-008
2,00E-008
3,00E-008
4,00E-008
t(s)
Figure III-4 Energie moyenne emoy en fonction du temps
E/N=0Td
65
5,00E-008
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo III-4-2 Cas d’un faible champ réduit E/N
Dans le Cas d’un champ réduit faible qu’on prendra égal à 10Td , on déterminera la vitesse
de dérive et l’énergie moyenne en fonction du temps .
Les électrons effectuent des collisions élastiques ,rotationnelles, et des collisions
vibrationnelles .
Les électrons ne peuvent acquérir une énergie suffisante pour occasionner des collisions
d’ionisation .
Les figures III-6 et III-7 montrent les variations temporelles de la vitesse de dérive
et l’énergie moyenne des électrons dans le gaz considérée pour 10Td
La vitesse de dérive en fonction du temps qui comme le cas d’un champ nul après
quelques collisions tend vers des valeurs presque nulles .
l’énergie moyenne tend vers l’énergie du gaz qui est un peu supérieure à celle du cas d’un
champ nulle .
Les électrons injectés avec une énergie de 2ev voient leurs énergies diminuer avec le temps .
Les fluctuations statistiques des coefficients de transport pour les champs réduits faibles sont
attribués au premier temps au non équilibre de la distribution de l’énergie ,ensuite ces
fluctuations sont dues à l’éparpillement statistique puisque le nombre d’électrons diminue
rapidement et ceci est du au phénomène d’attachement qui surgit .
Les grandes fluctuations peuvent donner des vitesses de dérive négatives on les remarques
plus dans le cas de la vitesse de dérive que dans le cas de l’énergie moyenne car la vitesse de
dérive est la moyenne statistique de la composante de vitesse le long de l’axe z ,alors que
l’énergie moyenne est la moyenne du carré de trois composantes de la vitesse le long de l’axe
x, l’axe y , l’axez.
Afin de réduire ces fluctuations ,il faut injecter un grand nombre d’électrons car durant notre
simulation quand on augmentait le nombre d’électrons initiaux on abouti à moins de
fluctuations statistiques .
66
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo 1000000
800000
vd(m/s)
600000
400000
200000
0
0,00E+000
1,00E-008
2,00E-008
3,00E-008
4,00E-008
t(s)
Figure III-5 Vitesse de dérive vd en fonction du temps
E/N=10Td
67
5,00E-008
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo 2,0
emoy(ev)
1,5
1,0
0,5
0,0
0,00E+000
1,00E-008
2,00E-008
3,00E-008
4,00E-008
t(s)
Figure III-6 Energie moyenne emoy en fonction du temps
E/N=10Td
68
5,00E-008
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo III-4-3 La vitesse de dérive et l’énergie moyenne en fonction du champ réduit :
La variation de la vitesse de dérive et l’énergie moyenne en fonction du temps est étudiée
avant de voir comment elles varient en fonction du champ réduit .
Les électrons tests sont injectés à l’instant initial avec une énergie de 0.1ev .
Pour les simulations que nous avons utilisés dans notre travail ,on à pris des valeurs de
champ réduits E/N : 100Td , 200Td , 300Td ,400Td ,500Td ,
600Td ,700Td , 800Td , 900Td et 1000Td.
Le nombres d’électrons injectés sont comme suite : 5000 ,5000, 5000,5000 ,5000
,5000,1000,1000,100,50.et10
Les figures de III-7 à III-16 montrent les variations temporelles de la vitesse de dérive et de
l’énergie moyenne ou nous avons remarqué que ces paramètres passent par un régime
transitoire puis par un régime permanant (état d’équilibre hydrodynamique)
Le processus d’attachement des électrons avec les molécules du CF4 est le plus dominant
dans les premiers temps de simulation ,tant que le champ réduit augmente le phénomène
d’attachement se néglige ,la vitesse de dérive et l’énergie moyenne augmentent .
Le choix du nombre d’électrons teste ne est important vu les fluctuations qu’on peut observer
dans les paramètres dans les paramètres obtenus en augmentant ne les fluctuations diminuent
et le temps de calcule augmente et au contraire si on diminue le nombres d’électrons tests les
fluctuations augmentent et le temps de calcul diminue.
69
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo 100Td
200Td
300Td
900000
vd(m/s)
600000
300000
0
0,00E+000
1,00E-008
2,00E-008
3,00E-008
4,00E-008
t(s)
Figure III-7 Vitesse de dérive vd en fonction du temps
70
5,00E-008
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo 400Td
600Td
900000
Vd(m/s)
600000
300000
0
0,00E+000
1,00E-008
2,00E-008
3,00E-008
4,00E-008
t(s)
Figure III-8 Vitesse de dérive vd en fonction du temps
71
5,00E-008
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo 500Td
700Td
900000
vd(m/s)
600000
300000
0
0,00E+000
1,00E-008
2,00E-008
3,00E-008
4,00E-008
t(s)
Figure III-9 Vitesse de dérive vd en fonction du temps
72
5,00E-008
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo 800Td
900Td
vd(m/s)
900000
600000
300000
0
0,00E+000
1,00E-008
2,00E-008
3,00E-008
4,00E-008
t(s)
Figure III-10 Vitesse de dérive vd en fonction du temps
73
5,00E-008
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo 900000
1000Td
vd(m/s)
600000
300000
0
0,00E+000
1,00E-008
2,00E-008
3,00E-008
4,00E-008
t(s)
Figure III-11 Vitesse de dérive vd en fonction du temps
74
5,00E-008
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo 100Td
200Td
300Td
12
10
emoy(ev)
8
6
4
2
0
0,00E+000
1,00E-008
2,00E-008
3,00E-008
4,00E-008
t(s)
Figure III-12 Energie moyenne emoy en fonction du temps
75
5,00E-008
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo 400Td
600Td
14
12
emoy(ev)
10
8
6
4
2
0
0,00E+000
1,00E-008
2,00E-008
3,00E-008
4,00E-008
t(s)
Figure III-13 Energie moyenne emoy en fonction du temps
76
5,00E-008
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo 500Td
700Td
14
12
emoy(ev)
10
8
6
4
2
0
0,00E+000
1,00E-008
2,00E-008
3,00E-008
4,00E-008
t(s)
Figure III-14 Energie moyenne emoy en fonction du temps
77
5,00E-008
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo 800Td
900Td
15
emoy(ev)
10
5
0
0,00E+000
1,00E-008
2,00E-008
3,00E-008
4,00E-008
t(s)
Figure III-15 Energie moyenne emoy en fonction du temps
78
5,00E-008
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo 25
1000Td
emoy(ev)
20
15
10
5
0
0,00E+000
1,00E-008
2,00E-008
3,00E-008
4,00E-008
t(s)
Figure III-16 Energie moyenne emoy en fonction du temps
79
5,00E-008
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo Les figures III-17 et III-18 montrent respectivement la variation de la vitesse
de dérive et l’énergie moyenne en fonction du champ réduit E/N.
La vitesse de dérive des électrons croit presque linéairement avec le champ réduit
La même tendance de croissance est observée pour l’énergie moyenne .
En générale ,la comparaison des résultats obtenus montre une bonne concordance avec les
résultats expérimentaux et théoriques tout en constatant une légère différence entre nos
résultats et ceux qu’on trouve dans la littérature ,ceci est du peut être aux choix des sections
efficaces prises ,au choix du nombre d’électrons injectés ou bien du phénomène
d’attachement qui surgit et peut arrêter la simulation .
600000
500000
vd(m/s)
400000
300000
200000
100000
100
200
300
400
500
600
700
800
E/N(Td)
Figure III-17 Vitesse de dérive vd en fonction du champ réduit
80
900
1000
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo 16
14
emoy(ev)
12
10
8
6
4
100
200
300
400
500
600
700
800
E/N(Td)
Figure III-18 Energie moyenne emoy en fonction du champ réduit
81
900
1000
Chapitre III Calcule des paramètres de transport électronique par simulation de Monte‐carlo III-5 Conclusion :
Le transport des électrons dans une décharge électrique est le plus souvent caractérisé par un
ensemble de grandeurs appelées paramètres de transport comme la vitesse de dérive et
l’énergie moyenne .
Nous nous sommes intéressés au cas du gaz CF4, cette étude à été effectuée par la méthode de
Monte- Carlo qui traite les phénomènes microscopiques dans les décharges électriques ,sans
doute cette méthode connait actuellement son importante application et sa meilleur
justification .
Se travail présente les variations temporelles de la vitesse de dérive et de l’énergie moyenne
des électrons ainsi leurs variations en fonction du champ réduit .
Les résultats sont en général comparable avec les résultats trouvés dans la littérature.
82
CONCLUSION GENERALE
************************
***********
**
Dans ce travail nous avons développé un code numérique de simulation
des décharges électriques par la méthode de Monte-Carlo dont le but était de
déterminer les paramètres de transport électronique dans le gaz choisi.
Dans le chapitre I , on a insisté sur la description des mécanismes
élémentaires microscopiques mis en jeu lors d’une décharge électrique ,qui
dominent un milieu gazeux et qui sont liés aux sections efficaces de collisions.
Dans le chapitre II ,on s’est intéressé à la description de la complexité de
l’établissement de l’équation de Boltzmann des électrons dans le cas général et
on a donné les hypothèses simplificatrices qui sont habituellement utilisées.
Ensuite d’une manière générale ,on a décrit la méthode de simulation statistique
de Monte –Carlo qui est un outil très puissant pour simuler le mouvement des
électrons dans un gaz.
Dans le chapitre III, on a appliqué la méthode de Monte-Carlo qui nous a
permis de suivre le mouvement de chaque électron , on a traité plusieurs
processus (électron-molécule) qui peuvent intervenir (collision élastique
,attachement, vibration, etc)
Cette méthode nous permet de calculer les paramètres de transport électronique
dans le gaz considérés.
Grâce à la méthode dite la technique de collision nulle ,on a étudié le
mouvement des électrons depuis leur apparition jusqu’à ce qu’ils atteignent la
limite temporelle fixée au début de la simulation ,on a trouvé les positions et les
vitesses de chaque électron durant chaque temps de vol ,ceci nous a permis de
déterminer les fréquences de collision et les probabilités qui peuvent se produire
et par comparaison d’un nombre aléatoire avec ces probabilités ,on a pu trouver
le type de collision qui s’est produit et les vitesses des électrons avant collision
et aussi après le choc.
On a suivi le déroulement du mouvement des électrons même lors d’une
collision d’ionisation les électrons crées sont traités à leur tour.
83
Dans la première partie un test de validité de la méthode consiste à
trouver la vitesse de dérive et l’énergie moyenne des électrons en fonction du
temps et en fonction du champ réduit .
On a abouti à des résultats qui sont comparables avec les résultats théoriques de
plusieurs auteurs ,ceci nous permet d’apprécier la puissance et la richesse de la
méthode de Monte-Carlo.
84
Conclusion générale Dans ce travail nous avons développé un code numérique de simulation des décharges
électriques par la méthode de Monte-Carlo dont le but était de déterminer les paramètres de
transport électronique dans le gaz choisi.
Dans le chapitre I , on a insisté sur la description des mécanismes élémentaires
microscopiques mis en jeu lors d’une décharge électrique ,qui dominent un milieu gazeux et
qui sont liés aux sections efficaces de collisions.
Dans le chapitre II ,on s’est intéressé à la description de la complexité de
l’établissement de l’équation de Boltzmann des électrons dans le cas général et on a donné
les hypothèses simplificatrices qui sont habituellement utilisées.
Ensuite d’une manière générale ,on a décrit la méthode de simulation statistique de Monte –
Carlo qui est un outil très puissant pour simuler le mouvement des électrons dans un gaz.
Dans le chapitre III, on a appliqué la méthode de Monte-Carlo qui nous a permis de
suivre le mouvement de chaque électron , on a traité plusieurs processus (électron-molécule)
qui peuvent intervenir (collision élastique ,attachement, vibration, etc)
Cette méthode nous permet de calculer les paramètres de transport électronique
dans le gaz considérés.
Grâce à la méthode dite la technique de collision nulle ,on a étudié le mouvement des
électrons depuis leur apparition jusqu’à ce qu’ils atteignent la limite temporelle fixée au début
de la simulation ,on a trouvé les positions et les vitesses de chaque électron durant chaque
temps de vol ,ceci nous a permis de déterminer les fréquences de collision et les probabilités
qui peuvent se produire et par comparaison d’un nombre aléatoire avec ces probabilités ,on a
pu trouver le type de collision qui s’est produit et les vitesses des électrons avant collision et
aussi après le choc.
On a suivi le déroulement du mouvement des électrons même lors d’une collision
d’ionisation les électrons crées sont traités à leur tour.
83
Conclusion générale Dans la première partie un test de validité de la méthode consiste à trouver la vitesse
de dérive et l’énergie moyenne des électrons en fonction du temps et en fonction du champ
réduit .
On a abouti à des résultats qui sont comparables avec les résultats théoriques de plusieurs
auteurs ,ceci nous permet d’apprécier la puissance et la richesse de la méthode de MonteCarlo.
84
BIBLIOGRAPHIE
************************
***********
**
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