Partie 3 - Séquence 3 Recherche d`originaux
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Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2 Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux I. Généralités Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux I. Généralités Définition Si x est un signal causal discret et si (Zx)(z) = X(z) est sa transformée en z Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux I. Généralités Définition Si x est un signal causal discret et si (Zx)(z) = X(z) est sa transformée en z alors x est appelée original ou transformée en z inverse de la fonction X. On note (Z−1 X)(n) = x(n). Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux I. Généralités Définition Si x est un signal causal discret et si (Zx)(z) = X(z) est sa transformée en z alors x est appelée original ou transformée en z inverse de la fonction X. On note (Z−1 X)(n) = x(n). Exemples L’original de la fonction z 7→ 1 Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux I. Généralités Définition Si x est un signal causal discret et si (Zx)(z) = X(z) est sa transformée en z alors x est appelée original ou transformée en z inverse de la fonction X. On note (Z−1 X)(n) = x(n). Exemples L’original de la fonction z 7→ 1 est la suite de Dirac. Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux I. Généralités Définition Si x est un signal causal discret et si (Zx)(z) = X(z) est sa transformée en z alors x est appelée original ou transformée en z inverse de la fonction X. On note (Z−1 X)(n) = x(n). Exemples L’original de la fonction z 7→ 1 est la suite de Dirac. 1 L’original de la fonction z 7→ z Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux I. Généralités Définition Si x est un signal causal discret et si (Zx)(z) = X(z) est sa transformée en z alors x est appelée original ou transformée en z inverse de la fonction X. On note (Z−1 X)(n) = x(n). Exemples L’original de la fonction z 7→ 1 est la suite de Dirac. 1 L’original de la fonction z 7→ est la suite de Dirac retardée z de 1. Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux I. Généralités Définition Si x est un signal causal discret et si (Zx)(z) = X(z) est sa transformée en z alors x est appelée original ou transformée en z inverse de la fonction X. On note (Z−1 X)(n) = x(n). Exemples L’original de la fonction z 7→ 1 est la suite de Dirac. 1 L’original de la fonction z 7→ est la suite de Dirac retardée z de 1. z L’original de la fonction z 7→ z−1 Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux I. Généralités Définition Si x est un signal causal discret et si (Zx)(z) = X(z) est sa transformée en z alors x est appelée original ou transformée en z inverse de la fonction X. On note (Z−1 X)(n) = x(n). Exemples L’original de la fonction z 7→ 1 est la suite de Dirac. 1 L’original de la fonction z 7→ est la suite de Dirac retardée z de 1. z est le signal échelon unité L’original de la fonction z 7→ z−1 discret. Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Propriétés Pour une fonction X, si l’original de X existe alors il est unique. Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Propriétés Pour une fonction X, si l’original de X existe alors il est unique. La transformation en z inverse est linéaire, Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Propriétés Pour une fonction X, si l’original de X existe alors il est unique. La transformation en z inverse est linéaire, c’est-à-dire que si X et Y sont deux fonctions admettant un original et si k est un réel alors Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Propriétés Pour une fonction X, si l’original de X existe alors il est unique. La transformation en z inverse est linéaire, c’est-à-dire que si X et Y sont deux fonctions admettant un original et si k est un réel alors (Z−1 (X+Y)) = (Z−1 X)+(Z−1 Y) Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Propriétés Pour une fonction X, si l’original de X existe alors il est unique. La transformation en z inverse est linéaire, c’est-à-dire que si X et Y sont deux fonctions admettant un original et si k est un réel alors (Z−1 (X+Y)) = (Z−1 X)+(Z−1 Y) et (Z−1 (kX)) = k(Z−1 X) Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Propriétés Pour une fonction X, si l’original de X existe alors il est unique. La transformation en z inverse est linéaire, c’est-à-dire que si X et Y sont deux fonctions admettant un original et si k est un réel alors (Z−1 (X+Y)) = (Z−1 X)+(Z−1 Y) et (Z−1 (kX)) = k(Z−1 X) Exemple Soit X la fonction définie par X(z) = z 2z + z−1 z−3 Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Propriétés Pour une fonction X, si l’original de X existe alors il est unique. La transformation en z inverse est linéaire, c’est-à-dire que si X et Y sont deux fonctions admettant un original et si k est un réel alors (Z−1 (X+Y)) = (Z−1 X)+(Z−1 Y) et (Z−1 (kX)) = k(Z−1 X) Exemple Soit X la fonction définie par X(z) = z 2z + z−1 z−3 Alors X admet comme original la suite Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Propriétés Pour une fonction X, si l’original de X existe alors il est unique. La transformation en z inverse est linéaire, c’est-à-dire que si X et Y sont deux fonctions admettant un original et si k est un réel alors (Z−1 (X+Y)) = (Z−1 X)+(Z−1 Y) et (Z−1 (kX)) = k(Z−1 X) Exemple Soit X la fonction définie par X(z) = z 2z + z−1 z−3 Alors X admet comme original la suite x(n) = 2e(n) + 3n e(n). Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux II. Recherche d’originaux Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux II. Recherche d’originaux Pour rechercher l’original d’une fonction X, l’idée est de reconnaı̂tre des transformées en z de fonctions usuelles. Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux II. Recherche d’originaux Pour rechercher l’original d’une fonction X, l’idée est de reconnaı̂tre des transformées en z de fonctions usuelles. En général, il faut commencer par transformer l’expression de X, Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux II. Recherche d’originaux Pour rechercher l’original d’une fonction X, l’idée est de reconnaı̂tre des transformées en z de fonctions usuelles. En général, il faut commencer par transformer l’expression de X, pour cela on utilise en général une décomposition en éléments simples de X(z) X(z) X(z) ou 2 . ou z z Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Exercice 1 Déterminer l’original de la fonction : X(z) = 1 (z − 2)(z − 3) Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Exercice 1 Déterminer l’original de la fonction : X(z) = 1 (z − 2)(z − 3) Solution On décompose X en éléments simples. On cherche donc a et b tels que a b X(z) = + . On a : x−2 x−3 Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Exercice 1 Déterminer l’original de la fonction : X(z) = 1 (z − 2)(z − 3) Solution On décompose X en éléments simples. On cherche donc a et b tels que a b X(z) = + . On a : x−2 x−3 b a + x−2 x−3 = Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Exercice 1 Déterminer l’original de la fonction : X(z) = 1 (z − 2)(z − 3) Solution On décompose X en éléments simples. On cherche donc a et b tels que a b X(z) = + . On a : x−2 x−3 b a + x−2 x−3 = az − 3a + bz − 2b (z − 2)(z − 3) Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Exercice 1 Déterminer l’original de la fonction : X(z) = 1 (z − 2)(z − 3) Solution On décompose X en éléments simples. On cherche donc a et b tels que a b X(z) = + . On a : x−2 x−3 b a + x−2 x−3 = = az − 3a + bz − 2b (z − 2)(z − 3) (a + b)z − 3a − 2b (z − 2)(z − 3) Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Exercice 1 Déterminer l’original de la fonction : X(z) = 1 (z − 2)(z − 3) Solution On décompose X en éléments simples. On cherche donc a et b tels que a b X(z) = + . On a : x−2 x−3 b a + x−2 x−3 = = az − 3a + bz − 2b (z − 2)(z − 3) (a + b)z − 3a − 2b (z − 2)(z − 3) Par identification des coefficients : Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Exercice 1 Déterminer l’original de la fonction : X(z) = 1 (z − 2)(z − 3) Solution On décompose X en éléments simples. On cherche donc a et b tels que a b X(z) = + . On a : x−2 x−3 b a + x−2 x−3 = = az − 3a + bz − 2b (z − 2)(z − 3) (a + b)z − 3a − 2b (z − 2)(z − 3) Par identification des coefficients : a+b=0 Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Exercice 1 Déterminer l’original de la fonction : X(z) = 1 (z − 2)(z − 3) Solution On décompose X en éléments simples. On cherche donc a et b tels que a b X(z) = + . On a : x−2 x−3 b a + x−2 x−3 = = az − 3a + bz − 2b (z − 2)(z − 3) (a + b)z − 3a − 2b (z − 2)(z − 3) Par identification des coefficients : a+b=0 −3a − 2b = 1 Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Exercice 1 Déterminer l’original de la fonction : X(z) = 1 (z − 2)(z − 3) Solution On décompose X en éléments simples. On cherche donc a et b tels que a b X(z) = + . On a : x−2 x−3 b a + x−2 x−3 = = az − 3a + bz − 2b (z − 2)(z − 3) (a + b)z − 3a − 2b (z − 2)(z − 3) Par identification des coefficients : b = −a a+b=0 ⇔ −3a − 2b = 1 Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Exercice 1 Déterminer l’original de la fonction : X(z) = 1 (z − 2)(z − 3) Solution On décompose X en éléments simples. On cherche donc a et b tels que a b X(z) = + . On a : x−2 x−3 b a + x−2 x−3 = = az − 3a + bz − 2b (z − 2)(z − 3) (a + b)z − 3a − 2b (z − 2)(z − 3) Par identification des coefficients : b = −a a+b=0 ⇔ a = −1 −3a − 2b = 1 Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Exercice 1 Déterminer l’original de la fonction : X(z) = 1 (z − 2)(z − 3) Solution On décompose X en éléments simples. On cherche donc a et b tels que a b X(z) = + . On a : x−2 x−3 b a + x−2 x−3 = = az − 3a + bz − 2b (z − 2)(z − 3) (a + b)z − 3a − 2b (z − 2)(z − 3) Par identification des coefficients : b = −a a+b=0 ⇔ a = −1 −3a − 2b = 1 ⇔ a = −1 Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Exercice 1 Déterminer l’original de la fonction : X(z) = 1 (z − 2)(z − 3) Solution On décompose X en éléments simples. On cherche donc a et b tels que a b X(z) = + . On a : x−2 x−3 b a + x−2 x−3 = = az − 3a + bz − 2b (z − 2)(z − 3) (a + b)z − 3a − 2b (z − 2)(z − 3) Par identification des coefficients : b = −a a+b=0 ⇔ a = −1 −3a − 2b = 1 a = −1 ⇔ b=1 Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Solution Et donc : Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Solution Et donc : X(z) = Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Solution Et donc : X(z) = − 1 z−2 Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Solution Et donc : X(z) = − 1 1 + z−2 z−3 Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Solution Et donc : 1 1 z z −1 X(z) = − + =z + − z−2 z−3 z−2 z−3 Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Solution Et donc : 1 1 z z −1 X(z) = − + =z + − z−2 z−3 z−2 z−3 Le facteur z−1 correspond à un retard de 1. Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Solution Et donc : 1 1 z z −1 X(z) = − + =z + − z−2 z−3 z−2 z−3 Le facteur z−1 correspond à un retard de 1. On obtient alors l’original de X(z) : Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Solution Et donc : 1 1 z z −1 X(z) = − + =z + − z−2 z−3 z−2 z−3 Le facteur z−1 correspond à un retard de 1. On obtient alors l’original de X(z) : x(n) = (−2n−1 + 3n−1 )e(n − 1) Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Solution Et donc : 1 1 z z −1 X(z) = − + =z + − z−2 z−3 z−2 z−3 Le facteur z−1 correspond à un retard de 1. On obtient alors l’original de X(z) : x(n) = (−2n−1 + 3n−1 )e(n − 1) Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Exercice 2 Déterminer l’original de la fonction : X(z) = z3 − 3z (z + 3)(z − 1)2 Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Exercice 2 Déterminer l’original de la fonction : X(z) = z3 − 3z (z + 3)(z − 1)2 Solution Le degré du numérateur étant égal à celui du dénominateur, on X(z) décompose en éléments simples : z Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Exercice 2 Déterminer l’original de la fonction : X(z) = z3 − 3z (z + 3)(z − 1)2 Solution Le degré du numérateur étant égal à celui du dénominateur, on X(z) décompose en éléments simples : z X(z) z = Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Exercice 2 Déterminer l’original de la fonction : X(z) = z3 − 3z (z + 3)(z − 1)2 Solution Le degré du numérateur étant égal à celui du dénominateur, on X(z) décompose en éléments simples : z X(z) z = z2 − 3 (z + 3)(z − 1)2 Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Exercice 2 Déterminer l’original de la fonction : X(z) = z3 − 3z (z + 3)(z − 1)2 Solution Le degré du numérateur étant égal à celui du dénominateur, on X(z) décompose en éléments simples : z X(z) z = = z2 − 3 (z + 3)(z − 1)2 A B C + + 2 (z − 1) z−1 z+3 Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Solution Après calculs et identification, on obtient : Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Solution Après calculs et identification, on obtient : 1 A = − 2 B = 58 C = 83 Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Solution Après calculs et identification, on obtient : 1 A = − 2 B = 58 C = 83 Et donc : Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Solution Après calculs et identification, on obtient : 1 A = − 2 B = 58 C = 83 Et donc : X(z) = − 1 z 5 z 3 z + + 2 (z − 1)2 8 z − 1 8 z + 3 Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Solution Après calculs et identification, on obtient : 1 A = − 2 B = 58 C = 83 Et donc : X(z) = − 1 z 5 z 3 z + + 2 (z − 1)2 8 z − 1 8 z + 3 On en déduit l’original de X(z) : Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Solution Après calculs et identification, on obtient : 1 A = − 2 B = 58 C = 83 Et donc : X(z) = − 1 z 5 z 3 z + + 2 (z − 1)2 8 z − 1 8 z + 3 On en déduit l’original de X(z) : x(n) = Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Solution Après calculs et identification, on obtient : 1 A = − 2 B = 58 C = 83 Et donc : X(z) = − 1 z 5 z 3 z + + 2 (z − 1)2 8 z − 1 8 z + 3 On en déduit l’original de X(z) : x(n) = 1 − n 2 Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Solution Après calculs et identification, on obtient : 1 A = − 2 B = 58 C = 83 Et donc : X(z) = − 1 z 5 z 3 z + + 2 (z − 1)2 8 z − 1 8 z + 3 On en déduit l’original de X(z) : x(n) = 5 1 − n+ 2 8 Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Solution Après calculs et identification, on obtient : 1 A = − 2 B = 58 C = 83 Et donc : X(z) = − 1 z 5 z 3 z + + 2 (z − 1)2 8 z − 1 8 z + 3 On en déduit l’original de X(z) : x(n) = 5 3 1 − n + + (−3)n 2 8 8 Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Solution Après calculs et identification, on obtient : 1 A = − 2 B = 58 C = 83 Et donc : X(z) = − 1 z 5 z 3 z + + 2 (z − 1)2 8 z − 1 8 z + 3 On en déduit l’original de X(z) : x(n) = 5 3 1 n e(n) − n + + (−3) 2 8 8 Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux Solution Après calculs et identification, on obtient : 1 A = − 2 B = 58 C = 83 Et donc : X(z) = − 1 z 5 z 3 z + + 2 (z − 1)2 8 z − 1 8 z + 3 On en déduit l’original de X(z) : x(n) = 5 3 1 n e(n) − n + + (−3) 2 8 8 Partie 3 - Séquence 3 Recherche d’originaux