Chapitre 7 INTERFERENCES 7-1 Introduction aux interférences: Le

Chapitre 7 INTERFERENCES
7-1 Introduction aux interférences:
Le phénomène physique d’interférences se produit, sous certaines conditions, lorsque
deux ondes de même fréquence se superposent.. En travaux pratiques, vous avez réalisé des
interférences avec des ondes sonores (ondes stationnaires dans un tube de Kundt),
ultrasonores, électromagnétiques (optique et ondes radar), à la surface de l’eau (cuve à ondes
en découverte expérimentale). Par exemple dans une cuve à ondes, on peut réaliser deux
sources cohérentes à partir d'une même onde plane grâce à deux fentes. Derrière les fentes, les
amplitudes des ondes dues à chacune des fentes s'ajoutent. Regardons ce qui se passe dans la
zone de l’espace où les deux ondes se recouvrent. Il existe des points où les deux ondes vont
être exactement en phase en permanence, on parle alors d’interférences constructives. Si au
contraire on est en un point où les deux ondes sont en permanence en opposition de phase, on
parle alors d’interférences destructives. Aux autres points de l’espace, on a des cas
intermédiaires entre ces deux extrêmes.
Figure 1: Derrière les fentes, on distingue des Figure 2: Si on écarte les fentes, ces
directions dans lesquelles l'amplitude de directions se rapprochent les unes des autres.
l'onde résultante est maximale et d'autres
directions suivant
lesquelles elle est
quasiment nulle.
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0.5
1
1.5
2
0.5
1
1.5
2
0.5
1
1.5
2
-1
-1
-1
-2
-2
-2
-3
-3
-3
Interférence constructive de
deux
ondes
de
même
fréquence,
d'amplitude
respectives 1 et 2 et en phase.
La somme des deux est
représentée en gras.
Somme de ces deux ondes Interférence destructive quand
quand elles sont déphasées de les deux ondes sont déphasées
π/2. C'est un cas intermédiaire de π.
entre interférence constructive
et destructive.
Ondes 7-1
Autre exemple:
Figure 3: Observation sur un écran plan de la figure d'interférences de deux
trous carrés disposés horizontalement éclairés par un faisceau laser.
L'observation est faite au voisinage de l'axe optique loin des deux trous. : on
observe une série de lignes verticales équidistantes.
Figure 4: Observation sur un écran plan de la
figure d'interférences de deux fentes verticales
fines éclairées par un faisceau laser: cette figure
est caractérisée par un ensemble de points
lumineux régulièrement espacés.
L'origine de ces variations d'intensité est liée à la phase des ondes. La phase d'une
onde varie dans l'espace suivant la direction dans laquelle elle se propage. Or si les ondes 1 et
2 arrivent dans des directions différentes, la différence de phase entre les deux ondes va
dépendre du point considéré et donc l'amplitude résultante dépend donc du point considéré.
On va donc observer des maximas d'intensité pour les points tels que les ondes sont en phase,
et des minima d'intensité quand elles sont en opposition de phase.
Considérons deux ondes:
u1 (t ) = A1 cos(ωt + ϕ1 ) et u2 (t) = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
L'amplitude résultante est donc: u(t) = u1 (t) + u2 (t) = A1 cos(ωt + ϕ1 ) + A2 cos(ωt + ϕ 2 ) .
Raisonner en amplitude scalaire peut poser un problème avec les ondes
électromagnétiques puisque les grandeurs qui s'ajoutent sont des vecteurs. Cette approche sera
quand même valide si les champs électriques ont presque la même orientation (théorie
scalaire)
Considérons l'intensité de l'onde proportionnelle à l'amplitude au carré et sa moyenne
dans le temps:
u (t) = A1 cos (ωt + ϕ1 ) + A2 cos(ωt + ϕ 2 ) + 2A1 A2 cos(ωt + ϕ1 )cos(ωt + ϕ 2 )
2
2
2
2
u (t) = A1 cos (ωt + ϕ1 ) + A2 cos(ωt + ϕ 2 ) + A1 A2 cos(2ωt + ϕ1ϕ 2 ) + A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ 1 )
2
2
2
2
En prenant la moyenne dans le temps:
A 2 A2
2
u (t) = 1 + 2 + A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ 1 )
2
2
L'intensité résultante I peut ainsi s'écrire en fonction des intensités des deux ondes 1 et 2:
I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos(ϕ 2 − ϕ1 )
Quand (ϕ 2 − ϕ1 ) = 2 pπ : I est maximum et vaut Imax = ( I1 + I 2 ) =
2
Ondes 7-2
1
(A + A2 )2
2 1
Quand (ϕ 2 − ϕ1 ) = π + 2 pπ : I est minimum et vaut
2
1
Imin = ( I1 − I2 ) = (A1 − A2 )2 .
2
Les zones les plus brillantes correspondent donc aux lieux où le déphasage est un
multiple de 2π, les zones les plus sombres aux lieux où le déphasage vaut π à un multiple de
2π près.
Imax − Imin
2A A
= 2 1 2 2 . Il
Imax + Imin A1 + A2
est nécessairement plus petit que 1. Il est maximal quand l'amplitude des deux ondes est
égale.
Le contraste des interférences obtenues est donné par: C =
7-2 Conditions nécessaires à l’obtention d’interférences: cohérence
A priori des interférences nécessitent d'abord des sources de même fréquence. Mais avec
quelle précision? Avec des ondes ultrasonores en TP, vous avez pu ajouter des ondes de
fréquence très proche mais pas strictement égales. En un point donné, au cours du temps, on
observe des battements dont la fréquence dépend de la différence de fréquence entre les deux
ondes, ceci même pour des différences de fréquence très faible. Il faut donc des fréquences
strictement égales , d'où la nécessité de dédoubler une source initiale unique.
Mais ce n'est pas suffisant!!!!
Une source classique de lumière (lampe à incandescence…) émet de la lumière pendant un
temps fini, on dit qu’elle émet un “train d’onde”, puis elle recommence un peu plus tard.
1
0.5
5
10
15
20
-0.5
-1
Le train d’onde suivant sera sans relation de phase avec le précédent, etc. La durée d’un train
d’onde varie typiquement entre 10-9 s (laser) et 10-13 s (lampe spectrale). Ceci est beaucoup
plus grand que la période de l’onde lumineuse (10-15 s), mais beaucoup plus petit que le temps
d’observation. Pour que l’on puisse observer des interférences il faut que les deux ondes
qui se superposent aient , outre la même fréquence, une différence de phase constante
entre elles, on dit alors qu’elles sont “cohérentes” entre elles. On parle aussi de longueur
de cohérence : c'est la longueur parcourue par l'onde pendant un train d'onde:soit de l'ordre de
quelques dizaines de cm pour les lasers et de quelqus dizaines de microns pour une lampe
classique. Pour que ce soit possible avec des ondes lumineuses, compte tenu des ordres de
grandeur précédents, il faut que ce soient les mêmes trains d’onde qui interférent, c'est le cas
quand les deux ondes doivent proviennent de la même source et que la différence de distance
parcourue par les deux ondes soit inférieur à la longueur de cohérence.
Remarque :
Ceci dépend tout de même de la durée d’observation. Ainsi dans les années 60, une
expérience d’interférences avec deux lasers différents a été réalisée. Dans cette expérience le
Ondes 7-3
temps de détection était de 40 ns, alors que le temps de cohérence (durée du train d’onde) était
de 25 ns, donc du même ordre de grandeur que le temps de détection.
Si l’on revient sur le cas des ondes sonores ou ultrasonores, les interférences sont
possibles car les trains d’onde ont une durée qui est celle correspondant au temps pendant
lequel lequel on alimente le cristal piézo électrique qui crée ces ondes.
7-3 Interférences lumineuses à partir de deux sources ponctuelles
Pour réaliser deux sources ponctuelles cohérentes, on éclaire par exemple un
ensemble de deux trous par un même faisceau laser (en TP vous avez utilisé deux fentes
mais le principe est le même). Chaque trou se comporte alors comme une source
indépendante mais les deux sources sont cohérentes.
z
d
y
x
O1
O2
Si on place un écran loin des sources dans un plan parallèle à l’axe passant par les deux
sources. On voit alors un ensemble de franges régulières quasi rectilignes surtout au milieu
des sources dont le contraste est maximum au centre. Reprenez la figure 3 et comparez….
Nous allons maintenant chercher mathématiquement la position de sfranges brillantes et
sombres.
Considérons la source placée en O1. L'amplitude de l'onde émise peut s'écrire:
A
A1 = α 0 exp[iωt − ikO1 M]
O1 M
α est un coefficient de proportionnalité qui dépend par exemple de la taille du trou , A0
est l'amplitude reçue par le trou.
De même l'amplitude de l'onde émise par la source en O2 est:
A
A2 = α 0 exp[i ωt − ikO2 M ]
O2 M
Dans l'expérience, les trous sont identiques donc le coefficient α est le même et
l'éclairage est identique donc l'amplitude incidente A0 est la même pour les deux trous.
L'amplitude respective des deux ondes dépend de la distance aux sources, ce qui
explique que le contraste sera maximum quand cette distance est la même, donc par exemple
sur l'axe x tel qu'il est indiqué sur la figure.
La différence de phase dépend de la différence de chemin parcouru par les
deux ondes pour arriver au même point d'observation M.
O M − O1 M
Dans le vide le déphasage est donné par: ϕ 2 − ϕ1 = 2π 2
λ
O M − O1 M
Dans un milieu d'indice n, le déphasage est donné par: ϕ 2 − ϕ1 = 2π n 2
, où λ ets la
λ
longueur d'onde dans le vide.
Ondes 7-4
On appelle δ=Différence de marche = (différence de longueur parcourue x indice)
Si l’onde traverse différents milieux, il faut sommer toutes les différences de marche.
Le déphasage est alors donné par: ϕ 2 − ϕ1 = 2π
δ
,
λ
La position des maxima est donnée par :
δ = pλ , p étant un entier relatif, λ étant la longueur d'onde dans le vide.
La position des minima est donnée par : δ = pλ +λ/2, p étant un entier relatif
Dans le cas des deux sources précédentes, les points M présentant un mximum d'intensité sont
tels que: O2 M − O1 M = pλ .
Pour p=0, l'ensemble des points M est le plan bissecteur des deux sources qui intercepte
l'écran de la figure suivant une droite horizontale si les deux sources sont alignées
verticalement.
Si p est non nul, on obtient pour chaque un hyperboloïde dont les deux sources sont les
foyers et dont l'intersection avec le plan est une courbe complexe.
Essayons néanmoins de mieux appréhender ces courbes en nous plaçant au voisinage de l'axe
Ox, c'est-à-dire pour y et z petits devand la distance D entre l'écran et le plan parralèle à cet
écran dans lequel sont situées les sources.
d
d
Les deux sources sont placées sur l’axe Oz : O 1 : (0,0, ) ; O2 : (0, 0, − ) . Les points du plan
2
2
ont pour coordonnées (D, y,z ) . On en déduit donc :
d 2
d 2
2
2
2
2
O1M= r1 = D + y + (z − ) et O2M= r2 = D + y + (z + )
2
2
Si on se place loin des sources, alors D est grand devant toutes les autres distances.
⎛
⎛
d 2 ⎞ 1/ 2
d 2⎞
(z
−
)
(z
−
) ⎟
2
2
⎜
⎟
⎜
y
y
2
2
⎜
⎟
⎜
⎟
r1 = D 1+ 2 +
≈ D 1+
+
2
2
⎜
⎟
⎜ 2D2
⎟
D
D
2D
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
1/ 2
⎛
⎛
d ⎞
d ⎞
(z + ) 2 ⎟
(z + ) 2 ⎟
2
2
⎜
⎜
y
y
2 ⎟ ≈ D⎜ 1+
2 ⎟
r2 = D⎜ 1+ 2 +
2
2 +
⎜⎜
⎟
⎜
D
D
2D2 ⎟⎟
⎟
⎜ 2D
⎝
⎠
⎝
⎠
zd
On en déduit : r2 − r1 ≈
D
r2 − r1 est constant quand z est constant : les lignes intenses sont donc quasiment des droites
parallèles à y.
Si les phases initiales des deux sources est la même, alors les lignes les plus intenses sont
zp d
λ
λ D
≈ p , soit zp ≈ p
telles que :
.
D
n
n d
λ D
. i est appelé interfrange.
Les franges brillantes sont donc équidistantes de i =
n d
♦ Exercice 7-1. : Calculer l’ordre de grandeur de l’interfrange si l’on considère deux
sources distantes de 0.5 mm émettant la lumière rouge (0.62 µm) dans le vide, l’écran étant
placé à 30 cm des sources. Bien entendu, Young a fait l’inverse : il a mesuré l’interfrange et
en a déduit l’ordre de grandeur des longueurs d’onde de la lumière.
Ondes 7-5
♦ Exercice 7-2. : Que devient le système de franges si les deux sources sont déphasées de π ?
π/2 ?
- si on place un écran dans un plan perpendiculaire à l’axe des sources et loin des sources, on
observe alors des anneaux d’interférences.
z
y
O1
x
O2
2
2
2
2
2
2
r1 =
x + y + (D − d / 2)
r2 =
x + y + (D + d / 2)
En fait il faut s’intéresser à r2 − r1 qui est une fonction de x 2 + y 2 . Les lignes les plus intenses
sont donc des cercles concentriques dont le centre est sur l’axe des sources.
Expression de la différence de chemin optique parcouru dans deux cas simples
Cas d'un écran placé loin des deux sources à
la distances Let si on observe près de l'axe
seulement:
dz
δ2 − δ1 ≈ n M ,
L
n étant l'indice optique du milieu.
Cas d'un détecteur se déplaçant sur un cercle
de rayon suffisament grand devant d
notamment et dont le centre est situé au
milieu des deux sources :
δ 2 − δ 1 ≈ nd sin θ
7-4 Dispositifs à deux sources
Ondes 7-6
•
Dispositif des trous d’Young :
Ecran
T1
Champ
d'interférences
Source
d
T2
L
D
Les deux trous distants de d sont situés à une distance L de la source primitive et à une
distance D de l’écran d’observation. Chaque trou doit être suffisamment petit pour diffracter
l’onde, nous verrons cette notion plus tard. Pour l’instant, on admet que chaque trou va réémettre l’onde reçue dans une certaine ouverture angulaire, comme indiqué sur le schéma. Il y
a interférences là où les domaines d’émission se croisent. Les considérations précédentes
s’appliquent alors et l’on observe un système de franges sur l’écran perpendiculaire à l’axe
des trous (cf figure 3)
Dans le dessin les trous sont symétriques par rapport à l’axe principal. Si on décale les
trous verticalement, on introduit un déphasage entre les deux trous puisque les chemins
parcourus par l’onde depuis la source primitive ne sont plus identiques. Dans l’expression :
uˆ(M) =
a1
a
i − kr + ϕ
i −kr + ϕ
exp ( 1 1 ) + 2 exp ( 2 2 )
r1
r2
ϕ1 et ϕ2 sont égaux si les trous sont disposés de façon symétrique sinon :
2π
ϕ2 − ϕ1 = − (ST2 − ST1 ).
λ
La position des minima est toujours donnée par : k(r2 − r1 ) = ( ϕ2 − ϕ1 ) + 2 pπ + π . La variation
du déphasage entre les sources entraîne donc un déplacement des franges. Celles-ci sont en
le
long
de
l’axe
vertical
effet
données
par
leur
position
zp
1 λD
D
. Supposons que les fentes soient déplacées vers le haut
soit zp ≈ −(ST2 − ST1 ) + ( p + )
2 d
d
d
de z0 petit devant L . Alors ST2 − ST1 ≈ −z 0 . Les minima sont alors donnés par :
L
D
1 λD
zp ≈ z0 + ( p + )
L
2 d
D
Le système de franges est donc décalé vers le haut de z0 .
L
♦ Exercice 7-3. : A l’aide d’un schéma repérant la position de la frange brillante centrale,
justifier géométriquement le fait que, si on déplace les trous verticalement, les franges se
déplacent aussi verticalement dans le même sens que les trous.
• Interféromètre dit de Michelson.
Un autre montage rencontré en Travaux Pratiques est l’interféromètre de Michelson. C’est
un interféromètre à deux faisceaux séparés grâce à une lame semi-réfléchissante, réfléchis
chacun par un miroir puis recombinés ensuite grâce à cette lame. Dans le cas de la figure, les
Ondes 7-7
interférences sont constructives. Toute translation ou rotation de l’un des miroirs provoquera
l’apparition de franges ou d’anneaux. Par exemple si on déplace l’un des miroirs de a, il
apparaît entre les deux ondes une différence de marche de 2a. Si cette différence de marche
est égale à une demi-longueur d’onde (modulo la longueur d’onde), alors les interférences
entre les deux ondes sont destructives. Il y a donc un minimum d‘intensité pour :
2a =
λ
2
+ pλ .
SOURCE
MIROIR
RECEPTEUR
LAME
SEMI REFLECHISSANTE
MIROIR
L’interféromètre de Michelson a eu une grande importance historique. En effet on
pensait que la lumière se propageait dans l’éther. La Terre tourne par rapport à l’éther. Les
vitesses de la lumière par rapport à l’éther et par rapport à la Terre sont a priori différentes
(selon la loi de composition des vitesses). Dans l’expérience de Michelson et Morley (1881),
les deux branches du Michelson ont des longueurs égales. L’une des deux est parallèle à la
vitesse de rotation de la Terre autour de son axe, l’autre est perpendiculaire. La lumière ne se
propage donc pas à la même vitesse (par rapport au référentiel terrestre) dans les deux
branches. On doit donc mesurer un déphasage entre les deux ondes qui interférent. Ce
déphasage n’a jamais été trouvé. Einstein par la suite a postulé que l’éther n’existait pas et que
la vitesse de la lumière était indépendante du référentiel galiléen considéré (ce qui est peu
intuitif !).
L’interféromètre de Michelson est encore d’actualité (en dehors des travaux pratiques !) : le
projet VIRGO est un projet franco-italien, qui a pour but de détecter des « ondes
gravitationnelles ». Un gigantesque interféromètre de Michelson (chaque bras mesure 3 km) a
été construit près de Pise en Italie.
Insistons sur la grande sensibilité des dispositifs interférentiels, qui permettent de
détecter des variations de chemin optique de l’ordre de la longueur d’onde. Les applications
sont principalement les suivantes : spectroscopie, contrôle industriel du poli des surfaces,
astronomie : mesure du diamètre apparent des étoiles
7-5 Interférences multiples
Un autre exemple d’interférences que l’on voit au quotidien est le phénomène de
l’irisation des bulles de savon ou des flaques d’essence. Ceci sera étudié plus en détail dans le
problème sur les couleurs d’un film de savon.
Ondes 7-8
Si on considère une lame mince d'indice n éclairée en
incidence presque normale (pour la facilité des calculs), il
va y avoir interférences entre l'onde 1 résultant de la
première réflexion de l'onde incidente sur l'interface du
haut et l'onde 2 résultant de la transmiision au preier
inerface, puis réflexion au second interface et de nouveau
transmission au premier interface. Il existe en fait d'autes
ondes conduisant aussi à une onde réfléchie mais après un
certain nombre d'aller-retour dans l'épaisseur de la lame,
d'où le terme d'interférences multiples.
Intéressons nous seulement à l'onde 1 et 2. La différendce de chemin parcourue est
donnée par:
δ = 2ne + π
Le terme 2ne vient de la distance parcourue en plus dans la lame par l'oonde 2; le
terme π vient du changement de signe du champ électrique à la réflexion de l'onde incidente
d'un milieu d'indice 1 à un milieu d'indice n supérieur à 1, soit pour l'onde 1. Il n'y a pas de
déphasage lors d'une transmission ou lors de la réflexion du milieu d'indice n vers le milieu
d'indice 1 donc pour l'onde 2.
Les longueurs d'onde λ pour lesquelles δ=pλ seront en interférences constructives. Les
longueurs d'onde λ pour lesquelles δ=pλ+λ/2 seront en interférences destructives. La lame
apparaît comme colorée de ce fait si elle est éclairée en lumière blanche. C'est le cas par
exemple d'un film de savon (n=1,33), d'épaisseur faible de l'ordre du micron.
Ce phénomène d'interférences est aussi la clef de la compréhension des conditions de
réflexion et de réfraction des ondes comme les ondes lumineuses. Une onde plane arrivant sur
un interface plan avec un angle d'incidence i est réfléchie avce un angle de réflexion r égal à i
et est transmis dans une direction différente de la direction incidente. Vous avez vu en optique
que cette direction est définie par l'angle i' (entre la direction du faisceau et la normale à
l'interface) tel que n1sini=n2sini' si n1 et n2 sont les indices des milieux de part et d'autre de
l'interface (n1 pour le milieu incident).
2
Aux points A1 et A2 l'onde a la
A
2
même phase. Pour obtenir une
1
A1
onde réfléchie plane, il est
D1
nécessaire que la phase soit aussi
i
la même (à 2 π près) pour les
D2
points D1 et D2. La différence de
r
marche entre les deux rayons est:
C1
δ=n1B2C2- n1B1C1= n1(x sinr-x
B2
sini).
B1
C2
i
L'interférence entre les rayons est
x
constructive pour tout x si:
sini=sinr, soit i=r
Ondes 7-9
1
2
Pour l'onde transmise, la
différence de marche ets donnée
par:
δ=n2B2C2- n1B1C1
= n2x sini'- n1x sini.
A2
A1
i
L'interférence entre les rayons est
constructive pour tout x si:
n1sini=n2sini'. on retrouve bien la
loi de Descartes de la réfraction.
B2
B1
C2
i
i'
C1
i'
D1
D2
7-6 Pour en savoir plus: Historique sur la nature de la lumière
Les interférences d’ondes lumineuses ont joué un rôle capital dans l’histoire de la
physique. C’est en effet l’observation d’interférences qui montrent que la lumière visble est
une onde. Depuis longtemps l’être humain se pose des questions sur la nature de la lumière..
- On comprit tout d’abord que la lumière se propageait en ligne droite dans un milieu
homogène, on étudia les phénomènes de réflexion et de réfraction de la lumière quand
celle-ci change de milieu (ceci commença pendant l’Antiquité grecque jusqu’à Descartes
environ).
- Huyghens (1629-1695) émit l’hypothèse de la nature ondulatoire de la lumière (nous en
reparlerons plus en détail au chapitre suivant)
- Newton (1642-1727) est surtout connu en optique pour son expérience de décomposition de
la lumière blanche par le prisme. Pour lui la lumière blanche est formée de particules de
différentes couleurs que le prisme sépare. A cause de la grande influence de Newton, la
théorie corpusculaire a dominé par la suite pendant un certain temps.
- Young (1773-1829) médecin anglais très polyvalent, a prouvé la nature ondulatoire de la
lumière grâce à la célèbre expérience “des trous d’Young” réalisée en 1801 (voir le
schéma), dans laquelle il obtint sur l’écran derrière les deux trous une alternance de franges
lumineuses et sombres. Ainsi, en additionnant de la lumière avec de la lumière, on n’obtient
pas toujours la somme des deux intensités lumineuses, et il existe même des points où l’on
obtient des zones sombres! Comme on connaissait déjà le phénomène d’interférences pour les
ondes à la surface de l’eau et les ondes sonores, le résultat d’Young a été interprété comme
des interférences lumineuses, et a ainsi prouvé la nature ondulatoire de la lumière. De
plus il a été aussi capable d’évaluer pour la première fois la longueur d’onde de la
lumière. Par contre on ne comprenait pas bien de quelle nature était cette onde lumineuse..
Ondes 7-10
Ecran
O1
Champ
d'interférences
Source
O2
Dispositif des trous d’Young
- Maxwell (1831-1879) a montré qu’à partir des équations de l’électromagnétisme qu’il avait
trouvées on pouvait déduire une équation d’onde, or la vitesse qui apparaît dans cette équation
est précisément la vitesse de la lumière (qui avait été mesurée auparavant par différentes
personnes, dont Roemer, Foucault et Fizeau). Ceci montre que la lumière est une onde
électromagnétique.
- Par la suite, il restait encore deux problèmes à résoudre :
• Celui du milieu dans lequel la lumière se propage (on a longtemps cru que la lumière
avait besoin comme les autres ondes connues alors d’un milieu matériel pour se
propager, ce milieu avait été appelé “l’éther”)
• On est revenu par la suite au modèle corpusculaire de la lumière (Einstein, en 1905,
pour l’interprétation de l’effet photo-électrique); la lumière a donc une double
nature, ondulatoire et corpusculaire. Enfin, la matière elle-même possède
également cette double nature. En effet, à une particule de quantité de mouvement p,
on associe (en mécanique quantique) une onde de longueur d’onde λ (dite longueur
d’onde de de Broglie) telle que λ = h / p, où h est la constante de Planck et vaut h =
6.6 10-34 Js. Ceci a été prouvé par des expériences de diffraction d’électrons, de fentes
d’Young avec des électrons, etc. (la diffraction est également un phénomène
typiquement ondulatoire, comme nous le verrons au chapitre suivant).
Ondes 7-11
Exercices et problèmes:
Exercice 1:
L'antenne d'un émetteur radio est constituée de deux antennes verticales A1 et A2
placées perpendiculairement au sol à la même hauteur et distantes de d. Elles émettent en
phases des ondes E.M. de même fréquence 1MHz et d'intensité respective I1 et I2. Un
récepteur R se trouve à la distance d1 de A1 et d2 de A2 et se déplace dans un plan
perpendiculaire aux deux antennes.
a) Calculer le déphasage entre les deux ondes arrivant en R en fonction de d1 et d2 puis en
fonction de d et θ si le récepteur est placé loin des sources.
b) Localiser les maxima et minima du signal résultant.
Problème 1 : Expériences des trous d’Young
(extrait de l'examen de S3SMPE 2002-03)
On utilise le dispositif suivant :
x
T1
d
S
O
T2
L
On réalise d’abord une onde lumineuse plane grâce à une source lumineuse ponctuelle
placée au foyer d’une lentille. On éclaire deux trous T1 et T2 distants de d. On observe
à une grande distance L des deux trous le long de la direction x.
Indiquer qualitativement ce que l’on observe le long de l’axe x.
Exprimer T1M et T2M en fonction de d, L et x. Montrer que, dans la limite où L est
grand, la différence de chemin parcouru entre les deux rayons issus de T2 et T2 est
xd
proche de
.
L
En déduire la position des taches lumineuses intenses et la distance i entre ces taches.
Calculer i pour λ= 0.5 µm, L=1m , d=0.25 mm.
Le point O correspond-il à une tache lumineuse ? Pourquoi ?
On intercale juste avant le trou T2 une cuve de longueur l= 1m rempli d’un gaz qui
n’est pas de l’air et dans lequel On note c la vitesse de la lumière dans l’air. La vitesse
de la lumière dans le gaz n’est pas c mais c/n avec n>1.On intercale une cuve
identique devant le trou 1 mais remplie d’air. La seule différence entre les rayons
arrivant en T1 et T2 est donc la traversée du gaz :
Ondes 7-12
x
T1
d
S
O
T2
L
6- Quel est le temps t2 que met l’onde pour traverser la cuve devant le trou T2 ?
Quel est le temps t1 que met l’onde pour traverser la cuve devant le trou T1 ?
7- Montrer que tout revient à considérer que l’onde arrivant en T2 a parcouru un
chemin plus long que celle arrivant en T1. Montrer que la différence de chemin vaut
δ = c(t2 − t1 ) . Exprimer δ en fonction de n et l.
7- En déduire la nouvelle différence de chemin parcouru entre les deux rayons issus de
T2 et T1 et arrivant au point d’abscisse x.
9- En déduire que l’on observe un déplacement des taches lumineuses. Indiquer s’il est
vers le haut ou vers le bas.
(n − 1)lL
.
10-Montrer qu’il est égal en valeur absolue à
d
11- Quand on remplit progressivement la cuve , on constate un déplacement des taches
lumineuses dont la valeur finale est 0,2mm. En déduire (n-1). Commenter.
Problème 2: Etude d’une couche anti-reflet (extrait examen janvier 2004)
Soit une couche d’épaisseur e et d’indice n1 déposée
sur du verre d’indice n2. On éclaire le verre recouvert avec sa
couche anti-reflet avec une onde lumineuse plane sinusoïdale
de fréquence ν. On note Ox la normale à l’interface air/verre;
l’origine est prise à l’interface air/couche anti-reflet (voir
dessin). L’onde lumineuse incidente est polarisée suivant y et
on suppose que les autres ondes sont aussi polarisées suivant
y. On note Ei(x,t) l’amplitude du champ électrique :
Ei(x,t)=E0cos(ωt-kx).
On notera :
Er(x,t) l’amplitude du champ électrique réfléchie dans l’air et Eˆ r (O,t) son amplitude
complexe en O.
E1(x,t) l’amplitude du champ électrique de l’onde résultante se propageant vers les x croissant
dans la couche anti-reflet (onde 1) et Eˆ1 (O,t) son amplitude complexe en O.
E2(x,t) l’amplitude du champ électrique de l’onde résultante se propageant vers les x
décroissant dans la couche anti-reflet (onde 2) et Eˆ 2 (O,t) son amplitude complexe en O.
Ondes 7-13
Et(x,t) l’amplitude du champ électrique de l’onde transmise résultante se propageant vers les x
croissant dans le verre et et Eˆ t (O,t) son amplitude complexe en O.
1- a) Calculer la fréquence associée à une longueur d’onde de 0.5µm dans l'air?
b)Quelle est la fréquence et la longueur d'onde de cette onde dans un milieu d'indice
n=1,2
2- Ecrire le champ électrique de l’onde incidente en notation complexe.
3- Ecrire en un point d’abscisse x quelconque et en notation complexe les champs
électriques associés à chacune des ondes dans la couche anti-reflet et dans le verre en
fonction de leur amplitude complexe en O.
4- Exprimer le champ magnétique de l’onde incidente en précisant sa direction et sa
valeur en fonction de l'amplitude complexe du champ électrique incident en O.
5- Exprimer le vecteur de Poynting associé à l’onde incidente en précisant sa direction,
sa valeur et sa valeur moyenne dans le temps.
6- Exprimer le champ magnétique de chacune des ondes (onde réfléchie dans l’air, onde
1, onde 2 et onde transmise dans le verre) en précisant sa direction et sa valeur en
fonction des amplitudes complexes en O des champs électriques associés.
7- Exprimer le vecteur de Poynting associé à l’onde transmise en précisant sa direction
et en exprimant sa valeur ainsi que sa valeur moyenne dans le temps.
8- Justifier le fait que le champ électrique est continu au passage de l’interface air/couche
anti-reflet et couche anti-reflet/verre.
9- Justifier le fait que le champ magnétique est continu au passage de l’interface
air/couche anti-reflet et couche anti-reflet/verre.
10- On se place à l’interface x=0. Ecrire les deux équations traduisant la continuité du
champ électrique et la continuité du champ magnétique.
11- En combinant ces deux équations montrer que :
1 − n1 ˆ
1 + n1 ˆ
Eˆ i (O, t ) =
E1 (O, t ) +
E 2 (O, t )
2
2
12- On se place maintenant à l’interface x=e. Ecrire les deux équations traduisant la
continuité du champ électrique et la continuité du champ magnétique.
13- En combinant les deux équations obtenues à la question 12, montrer que :
n −n
2n e
n +n
Eˆ1 (O, t ) = 1 2 Eˆ t (O, t ) et Eˆ 2 (O,t) = 1 2 Eˆ t (O,t)exp−i2π 1 .
2n1
λ
2n1
14- a) En déduire que Eˆ (O, t ) s’exprime comme :
i
⎛
⎛
2n e ⎞ ⎞
Eˆ i (O,t) = ⎜ a + b exp⎜ −2πi 1 ⎟ ⎟ Eˆt (O,t)
⎝
⎝
λ ⎠⎠
b)Exprimer a et b en fonction des indices optiques.
c) On prend n1=1.2 et n2=1.4. Calculer a et b. a)Exprimer le carré du module de
Eˆ t (O, t ) en fonction du carré du module de Eˆ i (O, t ) , et de a , b, e et λ.
b) En déduire le rapport T entre le vecteur de Poynting (en moyenne dans le temps) de
l’onde transmise et celui de l’onde incidente.
15- Pour quelle(s) valeur(s) de l’ épaisseur e de la couche, ce rapport est-il maximal ?
minimal ?
T max − T min
.
16- Exprimer Tmax et Tmin en fonction de a et b, ainsi que F=
T max + T min
17- Justifier le fait que F mesure sorte l’efficacité de la couche anti-reflet. Calculer F avec
les valeurs des indices données précédemment. Commentaire.
18- Proposer une méthode pour améliorer l’efficacité de cette couche anti-reflet ?
Ondes 7-14
19- Calculer a et b pour n1=1.33 et n2=1 (film de savon) et retrouver les conditions
d'interférences constructives données en cours.
Problème 3: Couleurs d’un film de savon
www.ujf-grenoble.fr/PHY/UFR/html/platesformes/platef/optique/annexes/LameSavon.pdf
L’objectif est d’essayer de comprendre au moins qualitativement les couleurs d’une
bulle (ici, pour simplifier, d’une lame) de savon. On considère une lame de savon d’épaisseur
homogène e. On envoie sur cette lame de la lumière de longueur d'onde λ dans l'air sous
incidence normale. L’indice de l’eau savonneuse est d’environ 1.4, très légèrement supérieur
à l’indice de l’eau pure (1.33). L’onde incidente d’amplitude Ai arrive en incidence normale
sur la lame.L’onde incidente donne lieu à une onde réfléchie d’amplitude rAi, et à une onde
transmise d’amplitude tAi. Puis cette onde transmise se divise elle-même en une onde
réfléchie et une onde transmise, etc. Sur la figure, on a représenté les amplitudes des
différentes ondes successivement réfléchies et transmises. On a décalé les flèches uniquement
par souci de lisibilité.
A i A0 A1r
A2r
A3r
A4r
1) En utilisant certains résultats du chapitre 7, montrer que le
coefficient de réflexion r de l'air vers la lame se savon est
n − n2
, n1 étant l'indice de l'air et n2
r= 1
n1 + n2
celui de l'eau savonneuse, alors que celui de l'eau savonneuse
n −n
vers l'air est r' = 2 1 = −r .
n1 + n2
De même , montrer que le coefficient de transmission de
2n1
et celui de l'eau
l'amplitude de l'air vers l'eau est : t =
n1 + n2
A1t A2t A3t A4t
2n2
vers l'air est t' =
. Calculer r, r', t et t'. Montrer que
n1 + n2
tt'=1-r2.
2) En prenant comme origine le point où l'onde incidente frappe la première interface,
montrer que:
r
A0r = rA i
A1r = tr' t' exp(-i2
2πn 2 e
λ
Ar2 = tr' r' 2 t' exp(-i4
)Ai
2πn 2 e
)A
i
λ
2π n 2 e
)Ai ….
Ar3 = tr' r' 4 t' exp(-i6
λ
Donner l'expression de la résultante Ar de toutes les ondes réfléchies.
+∞
1
n
pour u < 1 que :
Montrer en utilisant ∑ u =
1−u
n =0
⎡
4π n2 e
4πn2 e ⎤
)
exp(−i
) ⎥
⎢ 1− exp(−i
Ar
λ
λ
⎥.
= r + r' tt'
= r⎢
4π n2e
4π n2 e ⎥
⎢
2
2
Ai
)
1 − r' exp(−i
⎢⎣ 1− r exp(−i λ ) ⎦⎥
λ
Ondes 7-15
3) Montrer que:
At1 = tt' exp(−
At2 = r' 2 exp(−
i4πn2 e
i2π n2 e
λ
)Ai
)A1
t
λ
i8πn2 e 1
)At
At2 = r' 4 exp(−
λ
et donc
i2π n2 e
1
At = tt' exp(−
)
A
λ 1 − r' 2 exp(− i4πn2 e ) i
λ
4) Exprimer le rapport T entre l'intensité transmise et l'intensité incidente, T =
R,
le
rapport
entre
l'intensité
réfléchie
et l'intensité
4π n2e
))
2(1 − cos(
(1 − r 2 )2
2
λ
et R = r
T=
4πn2 e .
⎡ 4π n2 e ⎤
4
2
4
2
))
−
2r
cos(
(1
+
r
1 + r − 2r cos⎢
⎣ λ ⎥⎦
λ
Montrer que R+T=1. Que traduit cette dernière égalité?
incidente.
At
2
2 , ainsi que
Ai
Montrer que:
5) Représenter T en fonction de e. Montrer que T est maximum pour certaines valeurs de e.
Lesquelles?. Que vaut Tmax? Montrer que T est minimum pour certaines valeurs de e.
Lesquelles?. Que vaut Tmin?
1
2π n2 e
Exprimer T en fonction de sin(
) . Montrer que T =
2
⎡ 2πn2 e ⎤
r
λ
1+
sin 2 ⎢
⎥
2 2
⎣ λ ⎦
(1 − r )
6) On pose e =
λ
n2
+ δe . Montrer que T vaut 1 pour δe =0. Pour quelle valeur de
δe/λ, T est-il divisé par 2?
Mêmes questions pour R.
3 Supposons maintenant qu’on envoie de la lumière monochromatique (par exemple un
faisceau laser) sur une lame de savon. On regarde la lame de savon par réflexion.
*Supposons que la lame ait une épaisseur homogène (elle est par exemple horizontale).
Que verra-t-on?
*Si la lame de savon est verticale, que peut-on dire de son épaisseur ? Conclure sur ce que
l’on voit.
8) On regarde maintenant en lumière blanche par réflexion.
a) Supposons que la lame ait une épaisseur homogène. Que verra-t-on?
Tracer l’intensité totale réfléchie en fonction de l’épaisseur du film entre 10 nm et 0.5 µm.
pour trois valeurs de longueurs d’onde : λbleu = 0.45 µm, λvert = 0.55 µm et λrouge = 0.65 µm
b) On dispose la lame verticalement. Que voit-on ?
Ondes 7-16
Problème 3: Emulsion photographique, procédé Lippman.
On considère un milieu diélectrique (ce sera plus tard l'émulsion photographique)
déposée sur la surface d'un miroir métallique parfait. Soit n , l'indice du milieu électrique. On
envoie une onde électromagnétique de fréquence ν en incidence normale sur l'interface
diélectrique/ métal.
1- Quelle est la longueur d'onde λ de la lumière dans le milieu diélectrique?
2- Montrer que la réflexion de l'onde sur le métal entraîne dans le diélectrique
l'apparition d'une onde stationnaire dont la forme générale est:
z
E = E 0 sin(2π )cos(2πνt + ϕ 0 )
λ
si z repère la distance par rapport à la surface métallique.
3- Exprimer la distance d entre deux ventres consécutifs.
4- Calculer numériquement le nombre N de plans ventraux pour une épaisseur
diélectrique de 0.1 mm, une longueur d'onde dans le vide de 0.6 µm et un indice
optique n=1.5.
5- Après impression, la plaque est développée et fixée. Elle contient alors des grains
d'"argent" dont la densité suit les variations de l'amplitude du champ électrique. Elle
est forte à l'emplacement des plans ventraux. Quand on illumine de nouveau la plaque
après développement, ces grains réfléchissent partiellement la lumière. C'est ce
phénomène que l'on va essayer de modéliser.
On assimile la plaque à un ensemble de N plans réflecteurs séparés par un milieu
transparent d'indice n. On éclaire par une onde incidente de fréquence ν. Les coefficients
de réflexion et de transmission de ces plans sont respectivement r et t, à valeurs
éventuellement complexes. L'onde incidente donne naissance à N ondes réfléchies sur
chacun des plans et on néglige les réflexions multiples, c'est-à-dire qu'une onde réfléchie
une première fois par un plan ne l'est plus.
On prend comme origine des phases la réflexion sur le premier plan (plan 0 à la cote 0).
Montrer que les amplitudes de différentes ondes réfléchies qui sortent sont:
4π nd
8π nd
Ar0 = rAi ; A1r = t 2 rAi exp(−i
) ; Ar2 = t 4 rAi exp(−i
) ;….
λ
λ
En déduire que l'amplitude totale réfléchie est de la forme:
⎡
4π ne ⎤
2N
)⎥
rAi ⎢1− t exp(−i
⎣
⎦
λ
.
Ar =
4π nd
)
1 − t 2 exp(−i
λ
En déduire l'intensité totale réfléchie en fonction de la longueur d'onde en écrivant t
comme t = t exp(iα ) et en supposant que t2N est quasiment nul:
1− t 2
I
=
I0 1 + t 4 − 2 t 2 cos( 4πnd − 2α )
λ
Prendre α=0.
Quelles sont les valeurs de λ (du spectre visible) pour lesquelles l'intensité réfléchie est
maximale? Représenter I en fonction de λ.
2
Si t =0.95, vérifier que t2N est quasiment nul. Calculer Imax/Imin.
On considère la plus grande longueur d'onde pour laquelle un maximum d'intensité est
observé. De combien faut-il s'écarter par rapport à cette longueur d'onde pour que
Ondes 7-17
l'intensité soit divisée par 2? Montrer que cet écart est tel que
utilisera un développement limité en supposant que
δλ
est petit.
λmax
2
δλ
1 1− t
. (On
≈
λ max 2π t
6- On remplace la lumière monochromatique par de la lumière blanche. Qu'observe-t-on.
Expliquer comment un tel procédé permet de photographier en couleur. C'est grâce à
la mise au point de ce procédé que le physicien français Lippman reçut le prix Nobel
au début du siècle. Montrer qu'une plaque photographique impressionnée par un objet
en couleur est caractérisée par une ensemble de plans dont la distance dépend de cette
couleur qui est ainsi simplement restituée par réflexion.
Ondes 7-18