Polycopié TD 15-16

L3PAPP
2015-2016
TRAVAUX DIRIGES DE THERMODYNAMIQUE
Sylvia Matzen
Philippe Lecoeur
Catherine Even
TRAVAUX DIRIGES N°1
I. Détente irréversible d’un gaz parfait
Un cylindre horizontal est fermé par un piston P mobile sans frottements. L’intérieur du
cylindre est séparé en deux compartiments A et B par une paroi fixe F. Sur la face
extérieure du piston s’exerce la pression atmosphérique constante P0 = 105 Pa. Les parois
du cylindre et le piston sont adiabatiques, mais la cloison F est diatherme. Toutes ces
parois sont de capacité thermique négligeable.
A l’état initial, le compartiment A contient une mole de gaz parfait caractérisé par la
valeur γ = cP/cV = 1.4, occupant un volume VA = 25 L. Le compartiment B est vide.
Constante des gaz parfaits : R = 8.31 J.mol-1.K-1
1. Préciser la température TA du gaz dans A.
2. On perce un orifice dans la paroi fixe F :
a. Par une analyse qualitative du problème, montrer que selon la valeur du
volume VB de B, deux types de solutions existent.
b. En supposant que VB est inférieur à la valeur-seuil VS (inconnue pour
l’instant), déterminer les caractéristiques P1, V1, T1 du gaz contenu dans
A+B quand le nouvel état d’équilibre est atteint.
Application numérique : VB = 25 L
c. Déterminer la valeur –seuil VS en fonction de VA et γ.
d. Pour VB > VS, déterminer P2, V2, T2 du gaz enfermé dans le cylindre lorsque
l’état d’équilibre est atteint.
Application numérique : VB = 50 L
II. Modèle d’atmosphère adiabatique
Ce modèle consiste à supposer que l’état de l’air à une altitude z quelconque peut se
déduire de celui de l’air à l’altitude z = 0 par une transformation adiabatique réversible.
On assimilera ici l’air à un gaz parfait. L’axe (Oz) est orienté vers le haut. L’accélération
de la pesanteur vaut –guz.
1. Quelle relation l’hypothèse d’adiabaticité donne-t-elle entre T(z), P(z) et γ ?
2. On suppose en outre l’équilibre mécanique du gaz. On rappelle que la résultante totale
uz
des forces de pression s’exerçant sur un petit volume dV vaut :
En déduire une relation entre dP/dz, M (masse molaire de l’air), g et V(z) (volume
molaire de l’air à l’altitude z).
3. A partir de ce qui précède, établir l’équation différentielle suivante :
où
, T0 et P0 étant la température et la pression à l’altitude z = 0.
4. Résoudre cette équation différentielle et donner les expressions de P(z) et T(z).
5. Application numérique : calculer la température et la pression à l’altitude de 5900 m.
Masse molaire de l’air : M = 29 g.mol-1
R = 8.31 J.mol-1.K-1
T0 = 27 °C
P0 = 105 Pa
g = 9.8 m.s-2
γ = 1.4
6. Expérimentalement, on constate que T(z) peut se schématiser de la façon suivante :
Quelles sont les limites de validité du modèle proposé dans cet exercice ?
TRAVAUX DIRIGES N°2
I. Mélange liquide-solide d’un corps pur
On dispose d’une masse mg de glace, à la température tg = -10°C, et d’une masse ml =
0.1kg d’eau liquide, à la température tl = +20°C. On place ces deux masses en contact
dans un récipient adiabatique de capacité calorifique négligeable. La pression est
maintenue constante à P = 1 atm durant toute l’expérience.
Certaines données numériques utiles sont rappelées à la fin.
1. Pourquoi la pression a-t-elle une influence négligeable sur le système étudié ? Quelle
relation approximative a-t-on entre les capacités calorifiques CP (à pression constante)
et CV (à volume constant) ?
2. Quelle doit être la température finale pour que l’on ait coexistence des phases liquide
et solide ?
3. On suppose dans cette question que cette coexistence est réalisée. On notera ∆m la
masse d’eau qui s’est solidifiée entre l’état initial et l’état d’équilibre final. Calculer
∆m.
Quelle est la valeur maximale possible pour ∆m ?
En déduire une valeur maximale mmax de mg pour qu’il y ait coexistence des deux
phases.
Peut-on avoir ∆m < 0 ? Comment interpréter un tel résultat ? Quelle inégalité doit-on
avoir entre ∆m et mg dans ce cas ?
En déduire une valeur minimale mmin de mg pour qu’il y ait coexistence des deux
phases.
Application numérique : calculer mmin et mmax .
4. Que se passe-t-il si mg < mmin ? Déterminer la température finale dans ce cas.
5. Que se passe-t-il si mg > mmax ? Déterminer la température finale dans ce cas.
6. L’expérience réalisée est-elle une expérience réversible ? Pourquoi ?
7. On se replace dans le cas où il y a coexistence des deux phases liquide et solide à l’état
final. Trouver un chemin réversible permettant de passer de l’état initial (glaçon de
masse mg à tg et eau liquide de masse ml à tl) à l’état final.
En déduire la variation d’entropie du système glaçon + liquide entre l’état initial et
l’état final.
En utilisant le fait que (x – 1 – ln(x)) est toujours positif, vérifier que la variation totale
d’entropie du système est positive.
Données :
Capacité calorifique de l’eau liquide à pression constante : Cl = 4.19 kJ.kg-1.K-1
Capacité calorifique de la glace à pression constante : Cg = 2.1 kJ.kg-1.K-1
Chaleur latente de fusion de la glace sous une pression de 1 atm : Lf = 334 kJ.kg-1
Température de fusion de la glace à 1 atm : t0 = 0 °C
II. Evaporation de l’eau
Un récipient dont les parois sont imperméables à la chaleur contient initialement une
masse m0 = 20 g d’eau liquide de chaleur massique c = 4185 J.kg-1K-1, à la température
T0=345K. La vapeur formée au cours de l’évaporation qui se produit est éliminée grâce à
une pompe qui l’aspire lentement. La chaleur latente de vaporisation de l’eau dans
l’intervalle de température considéré est de la forme :
L = A – B.T
Elle décroît de 2.9 103 J.kg-1 par degré K.
L’évaporation de la masse dm d’eau produit une variation de la température à l’intérieur
du récipient.
1. Etablir l’équation différentielle reliant dm et dT.
2. Lorsque la fraction d’eau vaporisée est de 0.1, la température à l’intérieur du récipient
est T=284K. Déterminer les constantes A et B de la relation L(T).
3. Quelle est la fraction d’eau vaporisée lorsqu’il reste dans le récipient la phase liquide à
0°C ? Quelle est la masse m’ de glace obtenue lorsque tout le liquide a disparu ? On
donne : chaleur latente de fusion de la glace Lf = 335 kJ.kg-1 et on négligera la
sublimation de la glace.
TRAVAUX DIRIGES N°3
MACHINES THERMIQUES
I. Moteur à deux temps
En 1860, l'ingénieur Lenoir invente un moteur à gaz qui est considéré comme l'ancêtre
du moteur à deux temps. Ce type de moteur présente l'avantage d'une très grande compacité et
s'est imposé de façon quasi-exclusive pour tous les deux-roues. On peut schématiser le
fonctionnement du moteur de Lenoir par le cycle portant son nom, qui se décompose de la
façon suivante :
1° temps:
- L'air et le carburant sont admis dans le cylindre. A la fin de l'admission, le système que
constitue l'air emprisonné dans le cylindre se trouve dans l'état 1 décrit par (P1, V1, T1).
- Le carburant est brûlé (explosion) de façon très rapide, le volume ne change pas de façon
significative. Le nouvel état obtenu est décrit par (P2, V2=V1, T2).
2° temps :
- Le gaz emprisonné dans le cylindre se détend de manière adiabatique jusqu'à l'état
(P3=P1, V3, T3)
- La pression étant constante et égale à P1, les gaz brûlés sont expulsés du cylindre et se
refroidissent au contact de l'atmosphère jusqu'à T1.
On supposera que le cycle est décrit de manière quasi-statique réversible et que la variation du
nombre de moles de gaz liée au carburant est négligeable. Le gaz sera assimilé à un gaz
parfait, de coefficient γ = 1.4.
Question préliminaire : calculer CV et CP en fonction de R et γ pour un gaz parfait (on
supposera g constant)
1. Quel est la nature du gaz introduit dans le cylindre?
2. Représenter le cycle de Lenoir sur un diagramme de Clapeyron (V, P), puis sur un
diagramme entropique (T, S).
3. Calculer le travail W échangé par une mole de gaz au cours d'un cycle en fonction de γ, R,
T1, T2 et T3.
4. Définir le rendement r de cette machine thermique. Calculer r en fonction de γ, et du
rapport (T3-T1)/(T2-T1).
5. Calculer T1 et T2 en fonction de T3, γ et du rapport volumétrique a = V3/V1. En déduire une
nouvelle expression du rendement r en fonction de γ et a.
6. Calculer le rendement d'une machine de Carnot qui fonctionnerait entre les deux
températures extrêmes du cycle en fonction de a et γ.
7. Calculer numériquement ces deux rendements dans le cas où a = 4. Commenter.
II. Efficacité d’une pompe à chaleur
On considère ici une pompe à chaleur avec un échangeur air-air. Cela signifie que la
source utilisée pour récupérer de la chaleur est l'air extérieur. Ce dispositif fonctionne selon
un cycle de Rankine avec du R134a (hexafluorure de carbone). Le compresseur génère une
pression maximale de 10 bar dans la partie haute pression, la pression minimale de la zone
basse pression est de 1 bar.
1. Rappeler la signification des termes de l'inégalité de Carnot-Clausius :
Σ QTii ≤ 0
2. On notera Q1 la chaleur algébrique reçue par le fluide au contact de l'air extérieur et Q2
la chaleur reçue au contact de l'habitation à chauffer.
Quels doivent être les signes de Q1 et Q2? Définir l'efficacité d'une pompe à chaleur.
A l'aide du premier principe, exprimer cette efficacité à l'aide de Q1 et Q2.
3. Déduire de ce qui précède une inégalité exprimée à l'aide de T1 et T2 quant à
l'efficacité de la pompe à chaleur, T1 étant la température de l'air extérieur et T2 la
température de la maison à chauffer.
4. Dans quel cas l'inégalité précédente se transforme-t-elle en égalité?
Que peut-on dire quant à l'efficacité lorsque l'écart de température entre l'extérieur et
l'intérieur augmente?
La pompe à chaleur est-elle mieux adaptée aux régions froides ou aux régions tempérées?
TRAVAUX DIRIGES N°4
Diagramme de Mollier, application à un réfrigérateur à cycle de Rankine
I. Lecture du diagramme de Mollier
En annexe, on trouvera le diagramme de Mollier du propane (appelé R290 par les
frigoristes, formule chimique : C3H8, masse molaire du carbone = 12 g.mole-1, masse molaire
de l'hydrogène = 1 g.mole-1).
1. Dans quelles zones a-t-on du liquide, du gaz et coexistence liquide-gaz? Comment sont
définies les courbes de rosée et d'ébullition? Où se trouve-t-elles sur le diagramme?
2. A quoi correspondent les différents réseaux de lignes ajoutées sur le diagramme?
Déterminer graphiquement la chaleur latente de vaporisation du propane à 10°C. Que vaut la
pression de vapeur saturante à cette même température?
3. Zone de stabilité du gaz : en assimilant le gaz à un gaz parfait, d'après la 2° loi de Joule,
quelle devrait être l'allure des isothermes? Est-ce le cas?
En supposant la 2° loi de Joule, déterminer l'équation des isochores dans la zone de stabilité
du gaz.
4. Zone de stabilité du liquide : d'après les approximations de l'état condensé, que peut-on
penser de l'influence de P? Qu'en résulte-t-il quant à la dépendance de l'enthalpie vis-à-vis de
T? Quelle doit l'allure des isothermes? Que peut-on penser quant à l'écart horizontal entre les
isothermes tracées sur le diagramme? Cela est-il bien vérifiée?
5. Zone de coexistence liquide-gaz : à quoi correspondent les lignes iso marquées 0.10 à 0.90?
Si on regarde les intersections de ces lignes avec une horizontale, que doit-on avoir? Est-ce le
cas? Pourquoi les isothermes sont-elles horizontales dans cette zone?
6. On considère l'isochore v = 0.2. Déterminer la pression correspondant aux températures
60°C, 0°C et -30°C. Regarder numériquement si le gaz vérifie la loi des gaz parfaits. En
quelle unité est exprimé le volume v sur le diagramme.
II. Etude d’un réfrigérateur à cycle de Rankine
On rappelle le principe du cycle de Rankine, utilisé par les réfrigérateurs à compresseur :
1 : tout le fluide est gazeux
1-2 : le gaz est compressé de manière adiabatique réversible de la pression P1 à la pression P2.
2-3 : le gaz se refroidit, puis se condense au contact de l'air extérieur.
3 : il ne reste que du liquide à la température T2 pour laquelle la pression de vapeur saturante
vaut P2.
3-4 : le fluide subit une détente de Joule-Thomson
4 : on obtient un mélange liquide-gaz à la pression P1
4-1 : le liquide du mélange se vaporise au contact de l'évaporateur du réfrigérateur, pour
obtenir uniquement du gaz à la température T1.
1. Déterminer qualitativement dans quelle zone doivent se trouver chacun des points 1, 2
3 et 4. Tracer qualitativement le cycle sur un diagramme de Mollier schématique où
l'on aura juste remis les courbes de rosée et d'ébullition.
2. Il faut que le réfrigérateur puisse fonctionner jusqu'à une température extérieure de
40°C. Quelle doit être la pression minimale P2 pour que le gaz puisse se condenser au
contact de l'air? On adoptera cette pression limite.
3. On désire avoir un point froid au niveau de l'évaporateur qui soit inférieur à -5°C pour
pouvoir fabriquer de la glace dans le freezer. Quelle doit être la pression maximale
pour P1? Si on avait voulut faire un congélateur et descendre à -28°C, quelle aurait dû
être la pression maximale pour P1? Pour la suite, on adopte la valeur trouvée pour
-5°C.
4. Lors de la détente de Joule-Thomson, en utilisant le diagramme de Mollier, déterminer
la fraction de fluide vaporisé. En déduire la quantité de fluide qui va se vaporiser dans
l'évaporateur. Pour 1 kg de fluide, déterminer la quantité de chaleur échangée au
niveau de l'évaporateur.
5. Lors de la compression adiabatique, dans quel état est le fluide? Quelle approximation
peut-on adopter? D'après le diagramme de Mollier, quelle est la température du fluide
à l'issue de la compression? En utilisant les propriétés du gaz parfait, en déduire le
travail fourni par l'utilisateur durant la compression.
6. Définir l'efficacité de la machine, puis la calculer numériquement.
TRAVAUX DIRIGES N°5
Gel d’une solution de sucre
On considère une solution liquide d'eau, dans laquelle on a mis 10g/litre d'un sucre. On
refroidit cette solution. La solution d'eau et de sucre est supposée idéale. On constate qu'elle
commence à geler pour une température T1 = -0.0543°C. Le but de l'exercice est de
déterminer la masse molaire du sucre.
1. Justifier que les potentiels chimiques peuvent être considérés comme indépendants de la
pression.
2. En supposant que l'eau sucrée constitue une solution idéale, que vaut le potentiel chimique
µ L(T) de l'eau dans le liquide en fonction de la fraction molaire y du sucre? Même question
pour la phase solide. On admettra que la phase solide qui se forme ne contient pas de sucre.
On notera µ L°(T) et µ S°(T) les potentiels chimiques respectifs de l'eau pure et de la glace
pure.
3. A la température de gel T0 = 0°C de l'eau pure, quelle relation a-t-on entre µ L°(T0) et
µ S°(T0)? Pour l'eau sucrée, quelle relation doit-on avoir entre µ L(T1) et µ S°(T1)? En faisant
un développement limité, justifié par le fait que (T1-T0) est très petit, exprimer µ L(T1) et
µ S°(T1) en fonction de µ L°(T0), µ S°(T0), (T1-T0) et une dérivée bien choisie.
4. Quelle relation y a-t-il entre le potentiel chimique µ(T) et l'enthalpie libre molaire
g(T,P) ≈ g(T)? Exprimer dg en fonction de l'entropie molaire et du volume molaire. Pourquoi
le terme vdP peut-il être négligé?
5. Exprimer la chaleur latente de fusion de la glace L en fonction de sL(T0) et sS(T0), entropie
molaire respective de l'eau liquide et de la glace. Déduire de tout cela la loi de la cryométrie,
qui donne la variation du point de fusion en fonction de R, T, L et y.
6. En utilisant les résultats expérimentaux donnés en introduction, déterminer la masse
molaire du sucre utilisé. On donne :
Masse molaire de l'eau : 18 g.mole-1
Chaleur latente de fusion de la glace : 335 J.g-1
Constante des gaz parfaits : R = 8.32 J.mole-1
Correspondance degré Kelvin et °C : 0°C = 273 K
TRAVAUX DIRIGES N°6
I. Conduction thermique à travers une sphère de polystyrène
On remplit une sphère de polystyrène creuse d'azote liquide. Le but de l'exercice est de
déterminer combien de temps on peut conserver du liquide dans un tel récipient. On supposera
que la température intérieure T0 de la sphère est constante, et la température extérieure T1
aussi. On supposera en outre que les transferts de chaleur radiatif sont négligeable.
Intérieur de la sphère
(remplie d'azote liquide)
r=a
r = 2a
Isolation en polystyrène expansé
1. Quel processus très efficace peut justifier les hypothèses de température constante
pour r < a ou r > b? Pourquoi ce processus ne peut pas être invoqué entre r = a et
r = 2a?
2. On suppose d'abord la conductivité thermique λ du polystyrène constante. Calculer en
régime permanent T(r). En déduire la quantité de chaleur reçue à l'intérieur de la
sphère. Quel effet va produire cette chaleur? La température à l'intérieur de la sphère
peut-elle rester constante?
3. En fait, le polystyrène peut être assimilé à de l'air, dont la conductivité dépend de la
température selon la loi λ(T) = αTβ. Calculer le flux de chaleur Φ en régime permanent.
4. Combien de temps peut-on conserver du liquide à l'intérieur de la sphère?
5. Application numérique : a = 10cm, calculer Φ dans le cas des questions 2 et 3 (pour la
question 2, on prendra λ = 0.026 W.m-1.K-1, pour la question 3, on prendra
α = 1.55x10-4 W.m-1.K-(1+β), β = 0.9). Puis calculer la durée de conservation du liquide.
Données : T0 = 77K, T1 = 300K, LV = 161kJ.dm-3
1 ∂f →
→ ∂f → 1 ∂f →
grad f = ur + r
uθ +
u
∂r
∂θ
rsinθ ∂ϕ ϕ
∆f =
∂2f 2 ∂f
1 ∂ 
∂f 
1
∂2f


+
+
sinθ
+
∂θ r2sin2θ ∂ϕ2
∂r2 r ∂r r2sinθ ∂θ 
II. Effet de serre
Les échanges de chaleur entre la Terre et le Soleil se font uniquement par voie radiative. Le
but ici est de calculer la température d'équilibre que devrait atteindre la surface de la Terre si
elle se comportait comme un corps noir idéal.
1. En utilisant la loi de Stefan, calculer la puissance totale émise par le Soleil dans toutes les
directions de l'espace. En déduire l'énergie reçue par la Terre en fonction de RT (rayon de la
Terre), RS (rayon du soleil) et RTS (distance Terre-Soleil), puis en utilisant l’angle apparent α
du Soleil vu au niveau de la Terre. [Rappel : P = σT4 où P est la puissance émise dans tout
l’espace par unité de surface de corps noir porté à la température T].
2. Calculer la puissance réémise par la surface de la Terre du fait du rayonnement du corps
noir. Un corps noir idéal réémet la totalité de l’énergie reçue. En supposant l'équilibre, en
déduire la température de la surface de la Terre en régime permanent. Exprimer cette
température en fonction de RS et RTS, puis en fonction de l'angle α.
3. Application numérique : calculer T à la surface de la Terre. On donne α=0.5°,
Tsoleil = 5500 K.
4. La composition de l’atmosphère terrestre en gaz à effet de serre (H2O et CO2
essentiellement) fait qu’une partie x% du rayonnement du corps noir émis par la Terre est
piégée par l'atmosphère et réémise vers la Terre. De ce fait, la chaleur réellement rayonnée par
la Terre est inférieure à ce qui a été calculé précédemment. Refaire le bilan thermique et
déterminer la nouvelle température d'équilibre.
5. Déterminer x si la température moyenne de la Terre est de 15°C.
6. Comment expliquer que la température sur Vénus soit de 460°C, alors qu’elle est à 1011 m
du Soleil contre une fois et demie pour le cas de la Terre.
TRAVAUX DIRIGES N°7
Cellule à Effet Peltier (CEP)
(Sujet extrait d’annales de concours – E3A
2006 PSI, Physique Chimie)
La Cellule à Effet Peltier (CEP) ou module Peltier est un
assemblage d’éléments semi-conducteurs placés entre deux semelles
électriquement isolantes mais conductrices de la chaleur. Dès lors
qu’un courant électrique continu traverse un tel montage, il apparaît
une « face froide » qui absorbe de la chaleur et une « face chaude »
qui dégage de la chaleur. La CEP est donc une pompe à chaleur qui
prend de l’énergie thermique à une source froide pour la restituer à
une source chaude. Elle est entièrement statique car elle ne possède
ni pièce métallique en mouvement (en dehors d’un ventilateur), ni fluide réfrigérant (il est remplacé ici par le
courant électrique et ce sont les électrons qui jouent le rôle du fluide frigorifique). C’est le procédé de
réfrigération le plus compact, sa petite taille (8,8 mm × 8,8 mm × 2,8 mm) permet un refroidissement très
localisé qui ne perturbe pas le reste du système.
L’étude qui va suivre s’effectue à une dimension suivant l’axe Ox et en régime permanent. Les paramètres
utilisés pour décrire les systèmes sont donc indépendants du temps et ne dépendent que du paramètre d’espace x.
Les conductivités thermique λ et électrique σ sont supposées indépendantes de la température et uniformes dans
le conducteur.
A. Conductivité thermique en présence de courant électrique
Le conducteur cylindrique (homogène, d’axe Ox, de section S, de longueur ℓ) est parcouru dans la direction de
l’axe Ox par un courant électrique continu d’intensité I uniformément répartie sur la section S. Le conducteur est
en contact à ses extrémités avec deux sources idéales de chaleur : d’un côté, une source chaude de température
TC (en x = 0) et de l’autre une source froide de température TF (en x = ℓ). Sa surface latérale est parfaitement
calorifugée. La résistance électrique du cylindre, comprise entre x = 0 et x = ℓ, est notée Rc.
(a) En appliquant le premier principe de la thermodynamique à une tranche élémentaire du conducteur comprise
entre x et x + dx, établir l’équation différentielle vérifiée par la température T(x) au sein du conducteur :
d²T/dx²=- Rc I² / (λ ℓ S)
(b) La solution de cette équation s’écrit T (x) = Ax² + Bx +C. Déterminer A, B et C en fonction de TC, TF, λ, S,
ℓ, RC et I. La répartition de la température dans le conducteur dépend-elle du sens du courant I ?
(c) Exprimer la puissance thermique P(x) transportée à travers la section S du conducteur à l’abscisse x et dans le
sens des x positifs. En déduire les puissances thermiques algébriques PC et PF respectivement reçues par la
source chaude et la source froide, en fonction de la conductance thermique Gth du cylindre, de sa résistance
électrique RC et en faisant apparaître deux termes dont l’un est
proportionnel à I² et l’autre à l’écart de température (TC-TF). Que
représentent-ils ?
Calculer PC + PF et commenter le résultat.
B. Effets thermoélectriques
L’effet Peltier est le seul phénomène thermoélectrique considéré
dans la suite de cet exercice.
Cet effet thermique (autre que l’effet Joule) résulte du passage d’un
courant électrique à travers la jonction J (ou interface) entre deux
conducteurs A et B différents et à la même température T. Deux
conducteurs (ou semiconducteurs) différents A et B, de pouvoirs
thermoélectriques (ou coefficients Seebeck) respectifs εA et εB sont
associés dans la configuration A – B – A – B… et joints en J1, J2, J3,… L’association est parcourue par un
courant électrique continu d’intensité I et maintenue à la température uniforme T par contact avec une source de
chaleur.
On note Pth, Pel(J1, A → B) la puissance thermique due à l’effet Peltier reçue par la jonction orientée A → B et
prélevée au corps extérieur (1) en contact avec elle. Le pouvoir thermoélectrique εAB = εA – εB du couple de
conducteurs (ou semiconducteurs) A → B est positif et supposé constant, il ne dépend que de la nature de A et
de B.
(a) Exprimer Pth, Pel(J1, A → B) et en déduire la puissance thermique Pth, Pel(J2, B → A) reçue par la jonction
suivante B → A et prélevée au corps extérieur (2) en contact avec elle.
(b) À partir des signes des puissances calorifiques, conclure quant aux effets de refroidissement et de
réchauffement des jonctions J1 et J2 sur les corps extérieurs placés à leur contact. Qu’advient-il en cas
d’inversion du sens du courant ?
C. Réfrigérateur thermoélectrique
Le « motif élémentaire » de la CEP est un couple thermoélectrique ou pavé constitué de deux thermo éléments
semi-conducteurs cylindriques de géométries identiques, asymétriques de types N et P, connectés thermiquement
en parallèle et électriquement en série par
l’intermédiaire d’un pont de cuivre constituant une
soudure métallique M. Le semi-conducteur de type P
a une résistance RP, une conductance thermique Gth,P,
un coefficient Seebeck εP. Le semiconducteur de type
N admet RN, Gth,N et εN, avec εNP = εN – εP > 0. Le
métal M, de coefficient εM, a des résistances
électrique et thermique négligeables.
Dans le sens du courant I alimentant le montage, les
deux jonctions successives N → M et M → P sont en
contact avec la soudure froide à la température TF de
la source froide (le corps à refroidir), les deux
jonctions M → N et P → M sont en contact avec la
soudure chaude à la température TC de la source
chaude (le radiateur). Les deux faces externes en
céramique réalisent l’isolement électrique et assurent
une conductivité thermique supposée parfaite. Les
surfaces latérales des semi-conducteurs sont parfaitement adiabatiques.
L’efficacité de la CEP dépend fortement du dispositif d’évacuation de la chaleur sur la plaque chaude, l’énergie
thermique transférée sur cette plaque devant être impérativement évacuée pour ne pas réchauffer la plaque froide
ou endommager le module. La CEP est donc fixée sur un radiateur à ailettes de refroidissement dont les
capacités de transfert de chaleur sont renforcées par un ventilateur. Un tel « puits thermique », surdimensionné,
peut dissiper une puissance thermique beaucoup plus élevée que nécessaire et limite la température TC de la face
chaude.
1. Bilan des puissances
(a) À partir des résultats établis précédemment, exprimer les puissances thermiques Pth(1)(F) et Pth(1)(C) fournies par
le pavé respectivement à la face froide et à la face chaude en fonction de l’intensité I, du pouvoir
thermoélectrique εNP, de TF et TC, de la résistance électrique du pavé R = RN + RP et de sa conductance
thermique Gth = Gth,P + Gth,N.
(b) Calculer Pth(1)(F) + Pth(1)(C). En déduire la puissance électrique Pel(1) fournie au couple thermoélectrique par le
circuit extérieur auquel il est connecté.
(c) La CEP est constituée de n = 69 pavés montés en série. En déduire la puissance électrique Pel prélevée au
circuit extérieur par la cellule et les puissances thermique Pth(F) et Pth(C) fournies par le module respectivement à la
face froide et à la face chaude.
2. Performances théoriques d’une CEP
La température TC est définie lors de la conception du circuit, elle est fixée par le mode de dissipation de la
puissance thermique de la face chaude. La puissance frigorifique Pf est la puissance prélevée par le module au
composant à refroidir et absorbée par la face froide.
(a) Exprimer Pf en fonction de n, εNP, R, I, Gth, TF et (TC –TF). À la température TF imposée par la soudure
froide, pour quelle valeur de I notée IMAX cette puissance est-elle maximale? Exprimer alors la puissance
frigorifique maximale du module (Pf)MAX.
(b) Le coefficient de performance froid COPf ou rendement énergétique est défini comme le rapport entre la
puissance thermique absorbée sur la face froide et la puissance électrique transmise au module. Donner son
expression en fonction des paramètres de Pf.
(c) Montrer que, pour une intensité I imposée par le circuit extérieur, ∆T=TC-TF est maximal lorsque la puissance
Pf est nulle, c’est-à-dire lorsque la face froide de la cellule est parfaitement isolée thermiquement. Quelle est
alors l’expression de la température minimale théorique TF,MIN que permet d’atteindre le module ?
(d) Quelle valeur optimale de l’intensité du courant IOPT permet d’abaisser au maximum TF,MIN et d’atteindre le
∆TMAX de la CEP? La valeur de TF,MIN pour I = IOPT étant notée TOPT, montrer qu’elle est proportionnelle à IOPT et
vérifie TOPT = R IOPT / εNP
(e) Afin d’évaluer la qualité thermoélectrique du matériau utilisé dans la réalisation du couple Peltier, les
constructeurs ont défini son facteur de mérite noté Z, tel que : ∆TMAX = TC - TOPT = Z TOPT² / 2
Donner son expression en fonction des trois caractéristiques du matériau thermoélectrique : εNP, R et Gth.
3. Application au refroidissement d’un capteur CCD
L’acquisition de l’information en astronomie revêt une importance capitale. L’univers étant dans sa grande partie
inaccessible à l’analyse directe, tous les renseignements qu’il nous dévoile sont essentiellement véhiculés par la
lumière qu’il nous envoie. Un récepteur CCD (en français DTC pour Dispositif à Transfert de Charges) associé à
un collecteur de lumière permet de disposer d’image électronique constituant le point de départ d’une
reconstitution numérique par les outils de traitement et d’analyse de l’image. Afin de minimiser le bruit
thermique généré par l’agitation thermique et d’améliorer le rapport signal/bruit de l’image initiale, le capteur
CCD doit être refroidi à –40°C par un module Peltier. Pour TC = 298 K et ∆T = TC – TF = 65°C, le constructeur
fournit l’évolution de la puissance frigorifique Pf et du rendement COPf du module en fonction de I.
Le module
pavés de caractéristiques : εNP=592×10–6 V.K–1, R=4,6×10–2 Ω, Gth=1,4×10–3 W.K–1.
est constitué de n=69
(a) Analyser les phénomènes qui limitent le fonctionnement en réfrigérateur de la CEP et préciser dans quels
domaines d’intensité I. Expliquer pourquoi le capteur est placé dans un boitier étanche à l’humidité.
(b) Que se passe-t-il en cas d’inversion du sens du courant ? Quel phénomène observe-ton lorsque le module est
installé sur une plaque chauffante en l’absence de son alimentation électrique externe ?
(c) Analyser le choix du point de fonctionnement du module I = 2,2 A. Déterminer dans ce cas la puissance
frigorifique du module Pf, son rendement COPf, la puissance électrique Pel prélevée au circuit extérieur et la
puissance thermique PC qu’il est nécessaire d’évacuer. Commenter le rapport PC/Pf.
(d) Calculer le facteur de mérite Z du semi-conducteur thermoélectrique et ∆TMAX.