Exercices sur le produit scalaire

1°S
Le produit scalaire
Exercices
Diverses expressions du produit scalaire et calcul de grandeurs.
A
Exercice 1.
ABC est un triangle et I est le milieu de [BC].
Données : 
AIB = 60°, BI = CI = 2 et AI = 3.
Calculer :
1) AB AC (introduire le point I)
2) AB 2 + AC 2
3) AB 2 – AC 2
4) AB et AC.
B
I
C
C
Exercice 2.
ABC est un triangle équilatéral de côté 5 cm, I est le milieu de [BC].
Calculer les produits scalaires suivants :
I
1) BA BC
2) CA CI
3) AB AC AI .
Exercice 3.
MNPQ est un carré avec MN = 6, I est le centre du carré.
Calculer les produits scalaires suivants :
A
B
M
1) MN QP
N
I
2) MN PN
3) IN IP
4) QI NI .
Q
Exercice 4.
ABC est un triangle direct tel que AB = 2, AC = 3 et AB AC = 4.
1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B (calculer BC 2 …)
2) Calculer CA CB puis une mesure des angles 
A et 
C (en degré à 10 – 1 près).
Exercice 5.
ABCD est un parallélogramme avec AB = 4, AD = 5 et AC = 7.
Calculer AB AD . En déduire BD.
Exercice 6.
ABCD est un losange de sens direct de centre O. On donne AC = 10 et BD = 6.
1) Calculer AB AD .
2) On note P le projeté orthogonal de D sur la droite (AB). Calculer AP.
P
Exercice 7. ABCD est un rectangle tel que AD = 3 et AB = 5. E est le milieu de [AB].
D
C
θ
A
B
E
1) Calculer les longueurs AC et DE.
2) En exprimant chacun des vecteurs AC et DE en fonction des vecteurs AB et AD , calculer le produit
scalaire AC DE .
3) En déduire la valeur de l’angle θ = DE , AC en degrés à 0,01 près.
Exercice 8. A quelles conditions sur les points A, B, C, D a-t-on AB AC
2
AB
AC
2
?
Justifier avec tous les arguments et calculs nécessaires.
Exercice 9.
2
1) Démontrer que : 4 u v = u
v
2
u
2
et u
v
v
2
2
u
v
=2
u
2
v
.
2) Interpréter la deuxième égalité à l’aide d’un parallélogramme.
2
3) Démontrer que :
u
v
u
2
v = u
v
.
4) En déduire une interprétation géométrique.
Exercice 10. C est un cercle de centre O, de rayon r et A est un point fixé du plan.
Q
P
A
O
P'
Le but du problème est d’établir la propriété suivante :
Quelle que soit la droite d passant par A, coupant le cercle C en deux points P et Q, le produit
scalaire AP AQ est constant.
1) Soit P’ le point diamétralement opposé à P. Démontrer que AP AQ = AP AP' .
2) Démontrer que AP AP' = AO 2 – r ².
3) Conclure.
Problèmes d’orthogonalité.
Exercice 11.
Le but de cet exercice est de démontrer, à l’aide du produit scalaire, que les hauteurs d’un triangle sont
concourantes.
Soit ABC un triangle. On note A’, B’ et C’ les projetés orthogonaux respectifs de A, B et C sur (BC),
(AC) et (AB). On note H le point d’intersection de (AA’) et (BB’) (on ne sait pas encore que H (CC’)).
1) Justifier les valeurs des produits scalaires BH AC et CH AB .
2) Calculer AH BC (indication : décomposer BC avec le point A, puis développer…)
3) Conclure.
4) En déduire que
AB
AC
AB'
AC'
.
Exercice 12.
ABCD est un tétraèdre régulier (toutes arêtes sont de même longueur) de côté a, I est le milieu du côté
[AB] et J est le milieu du côté [CD].
1) Calculer (en fonction de a) les produits scalaires suivants : AB AC et AB DA .
2) Calculer et interpréter le produit scalaire suivant : AB DC .
3) Calculer et interpréter le produit scalaire suivant : AB IJ
[ indication : démontrer d’abord que IJ
1
2
BC
AD …]
4) Que représente le plan (IJCD) par rapport au segment [AB] ? Justifier.
Géométrie analytique.
Exercice 13.
Examiner si les équations suivantes sont des équations de cercle, et si c’est le cas, préciser le centre et le
rayon du cercle.
1) x 2 + y 2 – 2 x – 6 y + 5 = 0.
2) x 2 + y 2 – x – 3 y + 3 = 0.
Exercice 14.
On considère un triangle ABC dans un repère orthonormal avec A (– 1 ; 2), B (3 ; 1) et C (2 ; 4).
1) Déterminer une équation de la médiatrice de [AB].
2) Déterminer une équation de la hauteur issue de A dans le triangle ABC.
Exercice 15.
Dans un repère orthonormal O , i , j , on donne un point I (2 ; – 3).
1) Déterminer l’équation du cercle C de centre I et de rayon R = 5.
2) Démontrer que le point A (– 2 ; 0) est un point du cercle C.
3) Déterminer une équation cartésienne de la tangente en A au cercle C.
Exercice 16*.
Dans un repère orthonormal, on considère les points suivants : A (2 ; 1), B (7 ; 2) et C (3 ; 4).
Toutes les questions suivantes sont indépendantes.
1) Calculer les coordonnées du barycentre G de (A ; 3), (B, 2) et (C, – 4).
2) Déterminer une équation de la médiatrice de [BC].
3) Calculer AB AC . L’angle 
A est-il droit ?
Exercice 17.
Soient A (3 ; 1) et B (– 2 ; 4).
Déterminer l’ensemble des points M du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient :
(x – 3) (x + 2) + (y – 1) ( y – 4) = 0.
Exercice 18.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal O , i , j .
Déterminer l’équation du cercle C passant par A (2 ; 1) et B (1 ; 3) et dont le centre
est situé sur la
droite d d’équation x + y + 1 = 0
[indication : trouver d’abord l’équation de la médiatrice de [AB]…]
Exercice 19.
Les vecteurs u (4 876 ; – 4 898 873) et v (317 019 173 ; 315 539) sont-ils orthogonaux ? Justifier.
Exercice 20.
L’équation suivante est-elle l’équation d’une sphère ? Si oui, préciser son centre et son rayon.
x2 + y2 + z2 – y + 2 z +
1
2
= 0.
Exercice 21.
Dans un repère orthonormal O , i , j , on donne A (– 2 ; 2) et B (2 ; 2).
1) Calculer les coordonnées du milieu I de [AB].
2) Démontrer que pour tout point M du plan, on a :
2
2
2
MA + MB = 2 MI +
AB 2
2
.
3) Démontrer que l’ensemble E des points M du plan tels que : MA 2 + MB 2 = 40 est un cercle C de
centre I et de rayon 4.
4) Déterminer une équation du cercle C .
5) Déterminer les coordonnées des (éventuels) points d’intersection de C avec l’axe des abscisses.
6) Soit λ un réel négatif. Comment choisir λ pour que le point Z ( 7 ; λ ) soit sur C ?
7) Déterminer une équation de la tangente d à C en Z.
Lieux géométriques (ou lignes de niveau).
Exercice 22.
Soit un triangle ABC et K le projeté orthogonal de A sur (BC). On donne AB = 6, BK = 4 et KC = 7.
1) I est le milieu de [BC] et G le centre de gravité du triangle ABC. Faire une figure.
2) Calculer les produits scalaires suivants : BA BC , BC CA , IG IB , ainsi que la somme :
GA AC GB AC GC AC .
3) Déterminer et représenter l’ensemble des points M du plan tel que : BM BC = 44.
4) Déterminer et représenter l’ensemble des points M du plan tel que :
MA
MB
MC AC = 0.
Exercice 23.
[AB] est un segment de milieu I et AB = 2 cm.
1) Démontrer que, pour tout point M du plan : MA 2 – MB 2 = 2 IM AB .
2) Trouver et représenter l’ensemble des points M du plan tels que : MA 2 – MB 2 = 14.
Exercice 24.
On considère un segment [AB] avec AB = 10 cm.
Déterminer l’ensemble des points M tels que :
1) MA MB = 1.
2) MA 2 + MB 2 = 5.
Exercice 25.
1) Soit ABCD un rectangle de centre I et M un point quelconque du plan. Démontrer que :
MA 2 + MC 2 = MB 2 + MD 2.
2) Soit ABCD un parallélogramme. A quelle condition sur le quadrilatère ABCD on t-on
MD 2 – MC 2 = MA 2 – MB 2 pour tout point M du plan.
Divers.
Exercice 26. Distance d’un point à une droite.
A. Le point de vue vectoriel.
Le point A et le vecteur n non nul étant donnés, on désigne par D la droite passant par A et de vecteur
normal n . Soit M un point quelconque et H le projeté orthogonal de M sur D.
1. Justifier que HM est le projeté orthogonal de AM sur n .
AM n
2. En déduire que MH =
(distance de M à D).
n
B. Le point de vue analytique.
Soit D la droite d’équation a x + b y + c = 0 (a et b non nul) et A ( α , β ) un point de D.
On désigne par n le vecteur de coordonnées (a, b).
1. Montrer que pour un point quelconque M0 (x0, y0) : AM 0 n = a x0 + b y0 + c.
2. En déduire que la distance à la droite D d’équation a x + b y + c = 0 est calculée par :
a x0
b y0
a2
b2
C. Applications.
1. Calculs de distances.
Calculer dans chaque cas, la distance de M à le droite D.
a. M (1, 4) et D : 2 x – y – 6 = 0
b. M = O et D : 5 x – 3 y + 7 = 0
c. M (– 5, 7) et D : y = – 3 x + 2
d. M (– 1, 4) et D : 2 x – 5 = 0.
2. Tangente à un cercle.
a. Donner l’équation du cercle de centre
(5, 1) et tangent à la droite D d’équation x + y – 4 = 0.
b. A chaque réel m, on associe la droite
Montrer que les droites
(m
m
m
d’équation réduite y = m x +
1 m2 .
R) sont tangentes à un cercle de centre O dont on précisera le rayon.
3. Bissectrices de deux droites.
a. Représenter graphiquement les droites D1 : 3 x + 4 y – 2 = 0 et D2 : 4 x + 3 y + 5 = 0.
b. Calculer la distance d’un point M (x, y) à D1 puis à D2 en fonction de x et y.
On note d1 et d2 ces distances.
c. A l’aide de la relation d 1
2
d2
2
d1
d2
d1
d 2 , montrer que l’ensemble des points M
équidistants de D1 et D2 est la réunion de deux droites
1
et
d. Montrer, à l’aide de leur vecteur normal, que les droites
Note : Par définition, les droites
1
et
2
2
1
et
dont on précisera les équations.
2
sont orthogonales.
sont les bissectrices de D1 et D2.
c
.
1°S
Le produit scalaire
Correction des exercices
A
Diverses expressions du produit scalaire et calcul de grandeurs.
Exercice 1. ABC est un triangle et I est le milieu de [BC].
Données : 
AIB = 60°, BI = CI = 2 et AI = 3. Calculons :
1) AB AC = AI IB
IC = AI
AI
IB
AI
IB
B
= AI AI IB IB = AI 2 – IB 2 = 3 2 – 2 2 = 9 – 4 = 5.
2
2) AB 2 + AC 2 = AI
2
IB
AI
2
= AI
IC
I
C
2
IB
AI
IC
= AI AI 2 AI IB IB IB AI AI 2 AI IC IC IC
= 2AI 2
IB 2
2 AI IB IC



IC 2
0
2
2
2
= 2 3 + 2 + 2 = 18 + 4 + 4 = 26.
Ou on peut utiliser directement la formule de la médiane :
AB 2 + AC 2 = 2 AI 2 + 12 AB 2 = 2 9 + 12
4 2 = 18 + 8 = 26.
2
3) AB 2 – AC 2 = AI
2
IB
= AI 2
AI
2 AI IB
= AI AI 2 AI IB IB IB
IC
IC
IB 2
AI 2
IB
= 2 AI CB = 2
cos AI , CB
=2
3
4
CB
cos 23π = 2
3
2 AI IC
IC IC
IC 2
= 2 AI IB IC = 2 AI CI
AI
AI AI
1
2
4
= – 12.
4) D’après les questions précédentes,on a :
L 1 AB 2
AC 2
2
2
L 2 AB
AC
26
.
12
En faisant L1 + L2, on obtient 2 AB 2 = 14 donc AB 2 = 7 et AB =
C
7.
En faisant L1 – L2, on obtient 2 AC 2 = 38 donc AC 2 = 19 et AC =
19 .
I
Exercice 2. ABC est un triangle équilatéral de côté 5 cm, I est le milieu de [BC].
Calculons les produits scalaires suivants :
1) BA BC = BA
BC
cos BA , BC = 5
5
cos π3 = 25
2
1
2
2
= 12,5.
A
B
2
2) CA CI = CI par projection sur (CI) donc CA CI = CI = 2,5 = 6,25.
3) AB AC AI = CA
AB AI = CB AI = 0 car (AI)
(CB).
M
Exercice 3. MNPQ est un carré avec MN = 6, I est le centre du carré.
Calculons les produits scalaires suivants :
1) MN QP = MN QP cos MN , QP = MN
= 6 6 1 = 36.
2) MN PN = 0 car (MN)
3) IN IP = 0 car (IN)
4) QI NI = QI
NI
QP
N
cos 0
I
(PN).
(IP).
cos QI , NI = QI
NI
cos π = – 3 2
2
= – 18.
Q
P
Exercice 4. ABC est un triangle direct tel que AB = 2, AC = 3 et AB AC = 4.
1) Comme AB AC = 4 0, alors le triangle ABC n’est pas rectangle en A.
Démontrons que le triangle ABC est rectangle en B.
Pour cela, calculons :
2
BC 2 = BA
AC
= BA
2
2
2 BA AC
2
AC
2
2
2
= BA
2 AB AC AC = 2 – 2 4 + 3 = 4 – 8 + 9 = 5.
Comme AB 2 + BC 2 = 2 2 + 5 = 4 + 5 = 9 et que AC 2 = 3 2 = 9 alors AB 2 + BC 2 = AC 2.
Ceci prouve (par le théorème de Pythagore) que le triangle ABC est rectangle en B.
2) Calculons CA CB :
CA CB = CB
BA
2
CB = CB CB
BA
CB


 = CB = 5.
0
Or, nous avons CA CB = CA
CB
cos CA , CB = 3
5
Ainsi, on a : CA CB = 5 et CA CB = 3 5 cos CA , CB
Donc : cos CA , CB =
5
5
3
5
5
3
15
5
puis CA , CB
cos CA , CB = 3 5 cos CA , CB .
donc 5 = 3 5 cos CA , CB .
42° (Faire une figure, le triangle est direct).
Comme la somme des angles (géométriques) aigus d’un triangle rectangle est 90°, alors :
90 – 42 donc AB , AC
AB , AC
48°.
Exercice 5. ABCD est un parallélogramme avec AB = 4, AD = 5 et AC = 7. Commencer par faire une
figure. Calculons AB AD avec une identité du cours : u v
AB AD =
=
1
2
1
2
2
AB
72
2
AD
42
2
AB
52 =
1
2
=
AD
49
16
25 =
1
2
1
1
2
2
u
2
AC
2
2
v
2
AB
2
u
v
2
AD
8 = 4.
On en déduit BD par le calcul suivant :
2
BD 2 = BD BD = BA
AD
= BA BA
= BA 2 – 2 AB AD + AD 2 = 4 2 – 2
2 BA AD
AD AD
4 + 5 2 = 16 – 8 + 25 = 33 donc BD =
33 .
Exercice 6. ABCD est un losange de sens direct de centre O. On donne AC = 10 et BD = 6.
Faisons une figure (même approximative).
B
P
A
O
C
D
1) Calculons AB AD = AO OB AO OD = AO OB AO OB
= AO 2 – OB 2 = 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16.
2) On note P le projeté orthogonal de D sur la droite (AB). Calculons AP.
On calcule d’abord AB avec le théorème de Pythagore, on trouve AB = 34 .
D’après la propriété de projection orthogonale d’un vecteur :
. On obtient :
AB AD = AB AP = AB
AP =
AP.
34
On a donc (avec la question précédente) : AB AD = 16 =
16
Donc AP =
34
=
16 34
8 34
=
34
17
34
AP.
.
Exercice 7. ABCD est un rectangle tel que AD = 3 et AB = 5. E est le milieu de [AB].
D
C
θ
A
B
E
1) Calculons les longueurs AC et DE avec le théorème de Pythagore :
AC 2 = AD 2 + DC 2 = 3 2 + 5 2 = 9 + 25 = 34 et DE 2 = AD 2 + AE 2 = 3 2 + 2,5 2 = 9 + 6,25 = 15,25.
Donc AC = 34 et DE = 15 , 25 .
2) En exprimant chacun des vecteurs AC et DE en fonction des vecteurs AB et AD , calculons le
produit scalaire AC DE .
AC DE = AB
=
AC DE =
BC
AB AD
1
2
DA
1
2
AE = AB
AB AB
AB 2 – AD 2 =
1
2
AD
1
AD AD
52 – 32 =
2
1
2
AD
1
2
AB
AD AB comme AB AD
0 , alors :
25 – 9 = 12,5 – 9 = 3,5.
3) Nous allons en déduire la valeur de l’angle θ = DE , AC en degrés à 0,01 près.
On a : AC DE = 3,5 et aussi :
AC DE = AC
DE
Donc AC DE = 3,5 =
Ce qui donne AC , DE
cos AC , DE =
34
15 , 25
– 81,16°.
34
15 , 25
cos AC , DE .
cos AC , DE et donc cos AC , DE =
3,5
34 15 , 25
0,1537.
Exercice 8. Cherchons les conditions sur les points A, B, C pour que AB AC
2
AB
AC
AB
AC
2
2
AB
2
2 AB AC
2 AB AC
2 AB
AB 2
AC
2 AB AC
2
AB
AC
2
.
AC 2
2 AB AC
AC
cos AB , AC = 2 AB
AC
cos AB , AC = 1
AB , AC = 0 [2 π ]
Les points A, B, C sont alignés dans cet ordre ou dans l’ordre A, C, B.
Autre solution, plus rapide mais utilisant la « formule du cosinus » :
Puisque u v = u
v cos u , v
u v
alors cos u , v
u
2
AB
AC
AB
AC
2
2 AB AC
AB AC
2 AB AC
AB AC
AB AC
AB
.
v
1
AC
cos AB , AC = 1
AB , AC = 0 [2 π ]
Les points A, B, C sont alignés dans cet ordre ou dans l’ordre A, C, B.
Exercice 9.
2
1) Démontrons que : 4 u v = u
2
u
2
v
u
2
v
u
= 2u v
2
u
u
v
2
= u
=u
2
v
2
u
2
2
u
2
=u
v
2
v
= 2 u
=u
v
2
=2
v
2u v
v
. Nous avons :
2
2v
2
u
.
v
u
2
=2
v
v
AB
2
u
v
AB , v
AD
AB
à l’aide d’un parallélogramme.
AD .
DA
DA
2
DB .
C
2
2
u
AB
B
D
v
2
v
2
u
A
Ainsi, l’égalité u
u
2
2u v
2
v
2
2
v
AC et u
AD
=2
v
2
u
2
2u v
prenons un parallélogramme ABCD et notons u
AB
u
v
2
= 2u
v
2
v
2
2
v
2
2u v
2
2
v
2) Interprétons l’égalité u
Alors u
2
et u
v
2u v = 4 u v .
2
v
u
2
= u
v
2
v
=2
v
2
u
signifie que la somme des carrés des diagonales est
v
égale à la somme des carrés des côtés (du parallélogramme).
2
3) Démontrons que : u
v
u
2
v = u
v
.
2
u
v
u
v = u u
u v
v v = u u
v u
v v = u
2
v
.
4) On considère encore le parallélogramme ABCD et on prend les mêmes notations que précédemment.
2
Alors : u
v
u
v =0
u
2
v
= 0.
Autrement dit, un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires
côtés consécutifs de même longueur.
c’est un losange
il a deux
Géométrie analytique.
Exercice 13. Examinons si les équations suivantes sont des équations de cercle, et si c’est le cas, préciser
le centre et le rayon du cercle.
1) x 2 + y 2 – 2 x – 6 y + 5 = 0
x2 – 2 x + 1 + y2 – 6 y + 9 – 5 = 0
(x – 1) 2 + (y – 3) 2 = 5.
Ceci est bien l’équation d’un cercle, le cercle de centre
2) x 2 + y 2 – x – 3 y + 3 = 0
(x –
1
2
) 2 + (y –
3
2
)2 =
(x 2 – x +
2
4
1
2
1
4
(1, 3) et de rayon
) + (y 2 – 3 y +
9
4
)–
1
4
–
9
4
5.
+3=0
.
Donc ce n’est pas l’équation d’un cercle (aucun point n’a ces coordonnées vérifiant cette équation).
Exercice 14.
On considère un triangle ABC dans un repère orthonormal avec A (– 1 ; 2), B (3 ; 1) et C (2 ; 4).
1) Déterminons une équation de la médiatrice de [AB].
Un point M (x, y) appartient à la médiatrice de [AB]
(MI)
(AB) avec I milieu de [AB]
MI AB = 0 avec I milieu de [AB] et avec I (1,
(1 – x)
4 + ( 32 – y)
4–4x–
3
2
+y=0
3
2
), M I (1 – x,
3
2
– y) et AB (4, – 1)
(– 1) = 0
–4x+y+
5
2
=0
– 8 x + 2 y + 5 = 0.
2) Déterminons une équation de la hauteur issue de A dans le triangle ABC.
Un point M (x, y) appartient à la hauteur issue de A dans le triangle ABC
(MA)
(BC)
AM BC = 0 avec AM (x + 1, y – 2) et BC (– 1, 3)
(x + 1) (– 1) + (y – 2)
– x + 3 y – 7 = 0.
3=0
Exercice 15. Dans un repère orthonormal O , i , j , on donne un point I (2 ; – 3)
1) Déterminons l’équation du cercle C de centre I et de rayon R = 5.
D’après le cours, l’équation de ce cercle est (x – 2) 2 + (y + 3) 2 = 25.
2) Démontrons que le point A (– 2 ; 0) est un point du cercle C.
On remplace x par – 2 et y par 0 dans le membre de gauche, on obtient :
(– 2 – 2) 2 + (0 + 3) 2 = 16 + 9 = 25, donc le point A (– 2 ; 0) est un point du cercle C.
3) Déterminons une équation cartésienne de la tangente en A au cercle C.
On calcule les coordonnées du vecteur AI (rayon du cercle) : (4, – 3).
Puis M (x, y) appartient à la tangente en A à C
(MA)
(AI)
AM AI = 0 avec AI (4, – 3) et MA (– 2 – x, – y)
4 (– 2 – x) + 3 y = 0
–8–4x+3y=0
– 4 x + 3 y – 8 = 0.
Exercice 16*.
Dans un repère orthonormal, on considère les points suivants : A (2 ; 1), B (7 ; 2) et C (3 ; 4).
Toutes les questions suivantes sont indépendantes.
1) Calculons les coordonnées du barycentre G de (A ; 3), (B, 2) et (C, – 4).
3xA
xG
2 xB
3
3 yA
yG
3
4 xC
2 4
2 yB 4 yC
2
4
=
=
3 2
2 7
3
3 1
2
4 3
4
2 2
3
2
4 4
4
= 8.
= – 9.
2) Déterminons une équation de la médiatrice de [BC].
Un point M (x, y) appartient à la médiatrice de [BC]
(MI)
(BC) avec I milieu de [BC]
MI BC = 0 avec I milieu de [BC] et avec I (5, 3), M I (5 – x, 3 – y) et BC (– 4, 2)
(5 – x) (– 4) + (3 – y)
– 20 + 4 x + 6 – 2 y = 0
2=0
4 x – 4 y – 14 = 0
2 x – y – 7 = 0.
3) Calculons AB AC . L’angle 
A est-il droit ?
AB (5, 1) et AC (1, 3) donc AB AC = 5
3 = 8. Donc 
A n’est pas droit.
1+1
Exercice 17. Soient A (3 ; 1) et B (– 2 ; 4).
Déterminons l’ensemble des points M du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient :
(x – 3) (x + 2) + (y – 1) ( y – 4) = 0.
(x – 3) (x + 2) + (y – 1) ( y – 4) = 0
(x – xA) (x – xB) + (y – yA) (y – yB) = 0 avec xA = 3, xB = – 2, yA = 1, yB = 4
AM BM = 0 avec A (3, 1), B (– 2, 4)
M appartient eu cercle de diamètre [AB] où A (3, 1), B (– 2, 4)
Conclusion : l’ensemble des points M (x, y) tel que (x – 3) (x + 2) + (y – 1) ( y – 4) = 0 est le cercle de
diamètre [AB].
Autre méthode, développer l’expression (x – 3) (x + 2) + (y – 1) ( y – 4) puis la mettre sous la forme de
l’équation d’un cercle (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2.
Exercice 18. Le plan est rapporté à un repère orthonormal O , i , j .
Déterminons l’équation du cercle C passant par A (2 ; 1) et B (1 ; 3) et dont le centre
droite d d’équation x + y + 1 = 0.
est situé sur la
Trouvons d’abord l’équation de la médiatrice de [AB].
Un point M (x, y) appartient à la médiatrice de [AB]
(MI)
(AB) avec I milieu de [AB]
MI AB = 0 avec I ( 32 , 2) milieu de [AB] et M I ( 32 – x, 2 – y) et AB (– 1, 2)
( 32 – x)
x–
3
2
(– 1) + (2 – y)
+4–2y=0
2=0
x–2y+
ces coordonnées vérifient le système :
L2
L2
y
x
1
2
2y
= 0 (équation de la médiatrice de [AB]).
(x, y) appartient à la médiatrice de [AB] et aussi à la d d’équation x + y + 1 = 0, alors
Ensuite, comme
L1
5
2
L1
5
2
0
L2
L2
L1
x
L2
x
y
1
2
x 1
y
1
0
5
2
2y
0
L2
L1
5
2
0
L2 3y
L1
L2
L2
y
x
x
1
2
3
2
.
3
2
0
2y
5
2
0
Donc
3
2
a pour coordonnées (
Le rayon du cercle de centre
A=
2
3
2
2
3
2
(
2
1
2
1
L’équation du cercle de centre
(x +
3
2
) 2 + (y –
1
2
1
2
,
)2 =
).
) passant par A (2 ; 1) est :
2
7
2
=
3
2
(
50
4
1
2
,
,
1
2
1
2
2
49
4
=
1
4
50
4
=
.
) passant par A (2 ; 1) est :
.
Exercice 19. Les vecteurs u (4 876 ; – 4 898 873) et v (317 019 173 ; 315 539) sont-ils orthogonaux ?
Non ils ne sont pas orthogonaux, car le dernier chiffre de – 4 898 873 315 539 est un 7 et le dernier
chiffre de 4 876 317 019 173 est un 8.
Exercice 20. L’équation suivante est-elle l’équation d’une sphère ?
x2 + y2 + z2 – y + 2 z +
x 2 + (y
1
2
1
x2 + y2 – y +
=0
2
3
) 2 + (z + 1) 2 =
4
1
4
1
+ z2 + 2 z + 1
4
–1+
1
2
=0
.
C’est donc l’équation de la sphère de centre (0,
1
2
, – 1) et de rayon
3
2
.
Exercice 21. Dans un repère orthonormal O , i , j , on donne A (– 2 ; 2) et B (2 ; 2).
1) Calculons les coordonnées du milieu I de [AB]. I (0 ; 2).
2
2
2
2) Démontrons que pour tout point M du plan, on a : MA + MB = 2 MI +
MA 2 + MB 2 = MA
= MI
2
2
2
2
2
MI
MI
.
IB
2
IA
2
2
IA
2
2 MI IA
= 2 MI
2
MB = MI
AB 2
2
2 MI IB
IB
2
IA
IB
2 MI
IA
IB

0
2
= 2 MI
= 2 MI 2
= 2 MI
2
= 2 MI 2 +
3) MA 2 + MB 2 = 40
2
2 IA
2 IA 2
2
2
AB
2
AB 2
2
.
2 MI 2 +
AB 2
2
= 40
2 MI 2 +
42
= 40
2
2 MI 2 + 8 = 40
2 MI 2 = 32
MI 2 = 16
MI = 8.
Donc l’ensemble E des points M du plan tels que : MA 2 + MB 2 = 40 est un cercle C de centre I et de
rayon 4.
4) Déterminons une équation du cercle C .
M (x, y)
C
IM 2 = 16
x 2 + (y – 2) 2 = 16.
5) Déterminons les coordonnées des (éventuels) points d’intersection de C avec l’axe des abscisses.
L’équation du cercle C est x 2 + (y – 2) 2 = 16, l’équation de l’axe des abscisses est y = 0.
Donc un point M (x, y) appartient à C et à (Ox)
x2
y
y
0
2
2
16
x2
y
2
0
2
16
x2
y
4
x2
16
y
0
x
12
12 ou x
y
0
0
.
12 , 0) sont les intersection de C et (Ox).
Les deux points M1 ( 12 , 0) et M2 (
6) Soit λ un réel négatif.
Le point Z ( 7 ; λ ) est sur C
7
λ – 2 = 3 ou λ – 2 = – 3
12
2
+ ( λ – 2) 2 = 16
7 + ( λ – 2) 2 = 16
( λ – 2) 2 = 9
λ = 5 ou λ = – 1.
Comme on cherche λ < 0, il n’y a qu’une solution λ = – 1, pour que le point Z ( 7 ; λ ) soit sur C .
7) Déterminons une équation de la tangente d à C en Z.
M (x, y)
d
x 7
7
(MZ)
3y
IZ)
3 =0
MZ
x 7
IZ
3y
x
7
7
y 1
3 =0
4 = 0.
Lieux géométriques (ou lignes de niveau).
Exercice 22.
Soit un triangle ABC et K le projeté orthogonal de A sur (BC). On donne AB = 6, BK = 4 et KC = 7.
1) I est le milieu de [BC] et G le centre de gravité du triangle ABC. Faisons une figure.
A
G
B
K
C
I
2) Calculons les produits scalaires suivants :
BA BC = BK BC (par le théorème de projection). Donc BA BC = BK BC = BK BC = 4 11
BC CA = BC CK = – BC CK = – 11
IG IB =
GA AC
1
3
IA IB =
GB AC
1
3
IK IB =
GC AC =
1
3
7 = – 77.
IK IB =
1
3
GA
GC
 GB
 

0
1,5
5,5 = 2,75.
AC = 0.
44 .
3) Déterminons et représentons l’ensemble des points M du plan tel que : BM BC = 44.
BM BC = 44
BM
BM BC = BA BC
AB BC
0
BM BC
BA BC
BM
0
BA
BC
0
0.
AM BC
Donc l’ensemble des points M du plan tel que BM BC = 44 est la droite (AK).
4) Déterminons et représentons l’ensemble des points M du plan tel que :
MA
MC AC = 0
MB
3 MG AC = 0
MA
MC AC = 0.
MB
MG AC = 0.
Donc l’ensemble des points M du plan tel que MA
(AC) passant par G.
MC AC = 0 est la droite perpendiculaire à
MB
Exercice 23. [AB] est un segment de milieu I et AB = 2 cm.
1) Démontrons que, pour tout point M du plan : MA 2 – MB 2 = 2 IM AB .
MA 2 – MB 2 = MA
2
2
MB = MA
MB
MB = 2 MI MA
MA
BM = 2 MI BA = 2 IM AB .
2 IM AB = 14
IM AB = 7.
2) MA 2 – MB 2 = 14
Soit H le point de [IB] situé à 3,5 cm de I, on a :
IH AB = IH AB = 3,5
2 = 7.
Ainsi, MA 2 – MB 2 = 14
IM
IM AB = 7
AB = 0
IH
IM AB = IH AB
HI AB = 0
IM
IH AB = 0
IM AB
HM AB = 0.
2
L’ensemble des points M du plan tels que : MA – MB 2 = 14 est la droite perpendiculaire à (AB)
passant par H.
Exercice 24. On considère un segment [AB] avec AB = 10 cm.
Déterminons l’ensemble des points M tels que :
1) MA MB = 1
MI
IA
MI
MI
IA
IB = 1
MI 2 = 26
MI
MI
MI =
IB = 1 où I est le milieu de [AB].
IA
2
IA = 0
MI
MI
2
IA
2
=1
MI
26 .
Donc l’ensemble des points M tel que MA MB = 1 est le cercle de centre I et de rayon
2
2) MA 2 + MB 2 = 5
MI
2
MI
IA
2
MI
=5
IB
2
IA
MI
IB
MI
2
2 MI IA
2
2 MI
IA
IB

2 IA
=5
26 .
= 5 où I est le milieu de [AB].
2
2
2 MI
52 = 1
IA
2
2 MI
2
MI
50 = 5
2
2 MI IB
IB = 5
2
2 MI = – 45
0
Un carré n’étant jamais négatif, aucun point M ne vérifie cette condition.
Remarque : on peut aussi utiliser la relation de la médiane pour gagner du temps…
IM 2 = – 22,5.
Exercice 25.
1) Soit ABCD un rectangle de centre I et M un point quelconque du plan. Démontrons que :
MA 2 + MC 2 = MB 2 + MD 2.
MA 2 + MC 2 = MI IA
= MI
2
2
MI
IC
2
= 2 MI
où i est le milieu de [AC], c’est-à-dire le centre du rectangle
2
2
2 MI IA
IA
2 MI
IA
IC



2
MI
2 MI IC
2
IC
2
2 IC
0
2
2
= 2 MI + 2 IC .
De même, on a : MB 2 + MD 2 = 2 MI 2 + 2 ID 2.
Comme I est le centre du rectangle et que les diagonales d’un rectangle sont de même longueur et se
coupent en leur milieu, alors IC = ID.
Donc MA 2 + MC 2 = 2 MI 2 + 2 IC 2 = 2 MI 2 + 2 ID 2 = MB 2 + MD 2.
2) ABCD est un parallélogramme et M un point quelconque du plan.
Voyons à quelle condition MD 2 – MC 2 = MA 2 – MB 2.
MD 2 – MC 2 = MD
2
2
MC = MD
MC
MD
MC
= 2 ME MD MC où E est le milieu de [CD]
= 2 ME MD CM
= 2 ME CD .
De même, MA 2 – MB 2 = 2 MF BA où F est le milieu de [AB].
Ainsi :
MD 2 – MC 2 = MA 2 – MB 2
ME BA
MF BA = 0
2 ME CD = 2 MF BA
ME
MF BA = 0
ME BA = MF BA
ME
FM
BA = 0
FM
ME BA
FE BA = 0.
Ceci est lorsque (AB) et (EF) sont perpendiculaires, donc lorsque le parallélogramme ABCD est un
rectangle.