Cours et activités

CHAPITRE
Aires et volumes
Énigme du chapitre.
On considère un verre cylindrique de 5 cm de
rayon et de 10 cm de hauteur. On y verse de
l’eau à mi-hauteur du verre et on y plonge une
boule métallique de 5 cm de diamètre.
Quelle est la surface d’eau non occupée par la
boule après immersion de la boule dans l’eau ?
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Objectifs du chapitre.
— Calculer l’aire d’une sphère de rayon
donné.
— Calculer le volumme d’une boule de
rayon donné.
— Connaître et utiliser le fait que, dans
un agrandissement ou une réduction de
rapport k ,
— l’aire d’une surface est multipliée
par k 2 ,
— le volume d’un solide est multiplié
par k 3 .
I/ Aire d’une sphère - Volume d’une boule
Activité A. Aire d’une sphère et volume d’une boule
On considère une sphère de rayon
R et on donne deux formules :
4
3
F1 = R3 F2 = 4R2
1. Selon vous, quelle est celle qui donne l’aire d’une sphère ? Celle qui donne le volume d’une
boule ? Justifier votre réponse.
2. Une toile de parachute a la forme d’une demi-sphère de
8 cm de diamètre.
(a) Déterminer la superficie de la toile arrondie au mètre carré.
(b) Déterminer le volume d’aire contenu dans la toile, au mètre cube près lorsque le parachute est entièrement déployé.
3. La citerne ci-contre est composé d’un cylindre de révolution, d’une demi-sphère et
d’un cône de révolution de même rayon.
(a) Calculer son volume exact en fonction de
puis sa valeur arrondie au décimètre
cube.
(b) Est-il vrai que la citerne peut contenir
plus de
L d’eau ?
3000
Propriétés
Pour calculer l’aire
A d’une sphère de rayon R, on utilise la formule :
A=4R :
Pour calculer le volume V d’une boule de rayon R, on utilise la formule :
2
V = 34 R :
3
Exemple
On dispose d’une sphère de rayon
5 cm et d’une boule de rayon 5 cm.
1. Calcul de l’aire de la sphère :
A = 4 5 = 100 cm2 (valeur exacte)
314;2 cm2 (valeur approchée)
2
2. Calcul du volume de la boule :
3
V = 43 5 = 500
3 cm (valeur exacte)
523;6 cm3 (valeur approchée)
3
Faire les exercices 1 2 3 4 F 5 F
II/ Aire et volume après agrandissement
Activité B. Calcul d’aires et de volumes après agrandissement
C1 d’arête 2 cm et un cube C2 d’aprête 6 cm.
(a) Le cube C2 est un agrandissement du cube C1 . Quel est le rapport d’agrandissement ?
(b) Calculer l’aire A1 d’une face du cube C1 et l’aire A2 d’une face du cube C2 . Par quel
1. On considère un cube
nombre faut-il multiplier
A
1
pour obtenir
A
2
?
(c) Calculer le volume V1 du cube C1 et le volume
multiplier V1 pour obtenir V2 ?
V
2
du cube
C2 . Par quel nombre faut-il
2. On considère un parallélepipède rectangle P de dimension a, b et c et l’agrandissement P 0
(ou la réduction) de facteur k du parallélépipède P .
P 0 en fonction de k , a, b et c .
de P et l’aire A0 de P 0 en fonction de k , a, b et c . En déduire
(a) Exprimer les dimensions du parallélépipède
(b) Exprimer l’aire A
l’expression de A0 en fonction de
A.
(c) Exprimer le volume V 0 du parallélépipède
l’expression de V 0 en fonction de V .
P 0 en fonction de k , a, b et c . En déduire
Propriété
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k ,
— l’aire d’une surface est multipliée par k 2 ,
— le volume d’un solide est multiplié par k 3 .
Exemple (Effet sur les aires)
ABCD est un parallélogramme d’aire 12 cm2.
A0 B 0 C 0 D0 est une réduction de ABCD de rapport 2 (ou un agrandissement de ABCD de
Donneés :
rapport 21 )).
D
C
D
A
B
0
C
A
0
0
B
0
O
Donc : d’après la propriété sur les effets d’un agrandissement sur les aires, l’aire de A0 B 0 C 0 D0
est :
;2
;
cm2:
12 0 5 = 12 0 25 = 3
Exemple (Effet sur les volumes)
Un cône de révolution de sommet S , de rayon
plan parallèle à sa base et passant par le point
2 cm et de hauteur SO = 8 cm est coupé par un
O0 de [SO] tel que : SO0 = 5 cm.
=
SO
— La section obtenue est une réduction de la base de rapport k tel que k
, soit
SO
5
k 8
; .
— Soit V le volume du grand cône et V 0 le volume du petit cône. On obtient ainsi :
= = 0 625
V 0 = k V = 0;625 31 2 9 = 7;8125
3 :
3
Donc
V 0 = 8;181 cm3.
Faire les exercices 6 7 8 9 F 10 F
Vu au brevet :
Faire les exercices 11 F 12 F
Problèmes :
Faire les exercices 13 F
3
2
0