TD 4

MASTER DE MATHÉMATIQUES
ANALYSE HILBERTIENNE
Universite de Nice Sophia Antipolis
2015-2016
Feuille 4 : Opérateurs compacts
Exercice 1. Soit une matrice infinie


a11 a12 ...
2
A =  a21 a22 ...  ∈ CN ,
... ... ...
telle que C =
P
i≥1
< ∞. Montrer que A dÈfinit un opÈrateur compact T : l2 → l2 par
X
X
X
.
ai,j xj
T ((xn )n ) = (
a1j xj ,
a1,j xj , ...) =
P
2
j≥1 |ai,j |
j
j
j≥1
i≥1
Exercice 2. Soit k une fonction continue sur [a, b] × [a, b], avec a < b réels. Soit E = C([a, b]) et
T l’opérateur défini par
Z
T (f )(x) =
k(x, y)f (y)dy.
[a,b]
(1) Montrer que T est un opérateur borné sur E.
(2) Si B est la boule unité,montrer que T (B) est relativement compact dans L2 .
Exercice 3. Soit K une fonction dans L2 (Ω × Ω), Ω ⊂ R ouvert et T l’opérateur défini par
Z
TK (f )(x) =
K(x, y)f (y)dy.
Ω
(1) Montrer que TK est limite d’opérateurs de rang fini.
(2) Montrer que tout opérateur de Hilbert-Schmidt est compact. Que dire de la réciproque ?
(3) Montrer que pour toute base hilbertienne (en ) de L2 (Ω) on a
X
kKk2L2 (Ω×Ω) =
kTK en k2L2 (Ω) .
n
(4) Montrer que tout opérateur de Hilbert-Schmidt sur L2 (Ω) s’écrit de manière unique sous la
forme TK
Rappel
: T est un opórateur de Hilbert-Schmidt s’il existe une base hilbertienne (ek ) telle que
P
2
kT
e
k k < ∞.
k
Exercice 4. Soit E = L2 ([0, 1]) muni de sa structure hilbertienne naturelle. Soit ϕ une fonction
continue sur [−1, 1]. Pour x ∈ [0, 1], on définit
Z 1
f ∗ ϕ(x) =
ϕ(x − t)f (t)dt.
0
(1) Montrer que T : f 7→ f ∗ ϕ définit un opérateur borné sur E.
(2) Quelle condition doit vérifier ϕ pour que T soit auto-adjoint ?
2
Réponse exercice 1. En effet, T est bien défini car
2 X X
2
X X
≤
|a
||x
|
kT (xn )k2l2 =
a
x
ij
j
ij j i
i
j
j
et par Cauchy-Schwartz on aura
X
X
XX
kT (xn )k2l2 ≤
|aij |2
|xj |2 =
|aij |2 k(xn )k2l2 .
i
D’où T ∈ L(l2 ) et kT k ≤
√
j
j
i,j
C. Soit Tk : l2 → l2 , défini par Tk ((xn )) =
P
j aij xj
1≤i≤k
: c’est un
opérateur de rang fini, en effet, c’est l’application Pk ◦ T où Pk est la projection orthogonale sur
Fk = V ect{(ei )1≤i≤k }, où les en sont les éléments de la base hilbertienne standard de l2 . On voit
facilement que
2
X X
kT − Tk k2 ≤
|aij |2
i≥k+1
j
donc tend vers 0 lorsque k → ∞, comme le reste d’une série convergente. D’où T est limite
d’opérateurs de rang fini, il est donc compact.
Rb
Réponse exercice 2. D’après Cauchy-Schwartz on a |T f (x)| = | a k(x, y)f (y)dy| ≤ kkkL2 kf kL2
et
Z b
Z b Z b
2
2
kT f kL2 =
|T f (x)| dx =
|
k(x, y)f (y)dy|2 dx.
a
a
a
Soit f ∈ B, alors pour tout x ∈ [a, b] on a
|T f (x)| ≤ kk(x, .)kL2y kf kL2 ≤ sup kk(x, .)kL2y = C,
x∈[a,b]
d’où A(x) = {T f (x), f ∈ B} est donc borné. Comme k est continue sur le compact [a, b], elle est
l’équicontinue, d’où pour tout > 0 il existe δ > 0 tel que
|x1 − x2 | + |y1 − y2 | ≤ δ implique |k(x1 , y1 ) − k(x2 , y2 )| ≤ .
Ainsi, pour tout f ∈ B, par l’inégalité triangulaire on aura
Z b
Z b
|T f (x1 ) − T f (x2 )| ≤
|k(x1 , y) − k(x2 , y)||f (y)|dy ≤ |f (y)|dy ≤ kf kL2 ≤ ,
a
a
car kf kL2 ≤ 1. Cela montre que l’ensemble A est équicontinu. D’après le théorème d’Arzela-Ascoli,
A = T (B) est rélativement compact.
Réponse exercice 3.
(1) On peut voit TK f comme le produit scalaire de f avec le noyau K.
En effet si on notre Kx (y) = K(x, y), alors TK f (x) = hKx , f i pour tout x ∈ Ω. Fixons une
base orthonormée (en ) de L2 (Ω), alors
X
XZ
XZ
2
2
2
|TK en (x)| dx =
|hKx , en i|2 dx
kTK kHS =
kTK en kL2 =
n
n
Ω
n
Ω
2
et par le théorème de convergence
dominée cela vaut
n |hKx , en i| dx ; ensuite par ParR
2
2
2
seval on trouve kTK kHS = kKx kL2 dx = kKkL2 par définition de K et le théorème de
Fubini.
(2) En fait, T est un opórateur de Hilbert-Schmidt et tout opérateur de HS sur un espace de
Hilbert H est compact (suite d’opórateurs
fini). En effet, étant donné une base
P de rang
2 . Soit > 0, alors il existe N ∈ N tel
hilbertienne
(e
)
de
H,
on
pose
c
=
kT
e
k
k
k
k
P
2 ≤ 2 . On pose F = vect{(e )
que
kT
e
k
}
et
P
:
H
→
H
la
projection
j 0≤j≤N
k
k>N
orthogonale
sur
F
.
Alors
T
=
P
◦
T
est
de
rang
fini
et
kT
− T k2 ≤ kT − T k2HS =
P
2
2
k>N kT ek k ≤ ; ainsi T est limite d’opérateurs de rang fini, donc compact.
RP
3
Réciproquement, il existe des opórateurs T compacts mais qui ne sont pas de HIlbert1
Schmidt : par exemple la multiplication avec an = 1+ln(n)
, n ≥ 1.
(3) calcul direct + théorème de convergence monotone + Parseval+ Fubini.
P
(4) Soit T un opórateur de HS, on pose T en = m an,m em et
X
am,n en (x)em (y).
K(x, y) =
n,m
L2 (Ω×Ω)
P
Alors K ∈
car T est HS (kKk2L2 = m,n a2m,n = kT k2HS < ∞). Par construction,
TK vérifie que pour tout p, q, hTK ep , eq i = ap,q et donc TK ep = T ep . TK est continus sur
L2 (Ω) et coincide avec T sur vect{(en )n } qui est dense, donc il est égal à T . L’unicité est
facilement vérifiée.
.
Réponse exercice 4.