Analyse complexe

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Analyse complexe

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Analyse complexe
“COMPLEXE adj. (lat. complexus, qui contient). Qui contient plusieurs éléments différents
et combinés d’une manière qui n’est pas immédiatement claire pour l’esprit, qui est difficile à
analyser.”
(Petit Larousse illustré 1983)
L’analyse complexe moderne a été devélopée au 19 ème siècle par trois mathématiciens celèbres :
A.L. Cauchy (1789–1857) considère des fonctions différentiables dans (fonctions holomorphes). Sa théorie est basée sur une représentation intégrale de telles fonctions (formule
de Cauchy) et sur les résidus.
B. Riemann (1826–1866) publie sa thèse “Grundlagen für eine allgemeine Theorie der
Functionen einer veränderlichen complexen Grösse” en 1851. Pour lui, la conception géométrique occupe une place prépondérante.
K. Weierstrass (1815–1897) appuye sa théorie sur des fonctions développables en séries
entières (fonctions analytiques), il en résulte une approche algébrique de l’analyse complexe.
Aujourd’hui, les trois approches sont confondues et inséparables. De cette manière il est possible
de simplifier la théorie et de trouver des résultats importants.
“La théorie de Cauchy contenait en germe à la fois la conception géométrique de Riemann et la
conception arithmétique de Weierstraß, la méthode de Riemann est avant tout une méthode
de découverte, celle de Weierstraß est avant tout une méthode de démonstration.”
(H. Poincaré 1898, Acta Math. 22, p. 6–7)
Dans ce cours nous abordons la théorie par le calcul différentiel dans
(chapitre I) et par les
fonctions holomorphes selon Riemann. Nous suivons ensuite l’évolution de Cauchy (intégrales
complexes, formule de Cauchy) dans le chapitre II et nous démontrons que chaque fonction holomorphe est analytique (possède un développement en série entière). Nous traitons les singularités
et le calcul de résidus dans le chapitre III.
Cauchy
Riemann
Weierstrass
Chapitre I
Différentiabilité dans
Le sujet de l’analyse complexe est l’étude de fonctions
. Nous rappelons
les règles de cal
cul avec les nombres complexes et nous discutons la différentiabilité dans (qui est différente de
la différentiabilité dans ). Les fonctions holomorphes (c.-à-d., différentiable dans ) possèdent
des propriétés surprenantes qui seront analysées par la suite. Nous terminons ce chapitre avec
l’étude de séries entières (fonctions analytiques).
I.1
Les nombres complexes et le plan complexe
Les nombres complexes ont leur origine dans l’impossibilité de résoudre certaines équations quadratiques (Cardano 1545); au cours des siècles suivants, ils deviennent de plus en plus importants
(Descartes 1637; voir [HW, pages 57–61]1 pour plus de précisions). Euler découvre leur grande
utilité dans toutes les branches de l’analyse, et introduit (en 1777) le symbole
c.-à-d.
(1.1)
grâce auquel les nombres complexes prennent la forme
(1.2)
Dès le début du 19ème siècle (Gauss 1799, Argand 1806), on identifie les nombres complexes
avec le plan de Gauss (ou plan d’Argand) (voir Fig. I.1 à gauche)
2
Re ,
On note
complexe conjugué.
!"#$%&('
3
.-/%&10$#$%&('
*),+ *)
452
Im les parties réelles et imaginaires de , et (1.3)
le nombre
Le corps des nombres complexes. En tenant compte de (1.1), le produit de deux nombres com78!:9
2!"
plexes 6
et donne
7=>?9@A!B-"7=A?9@C0D
6<;
E7FGHGB-"9IG10
Avec l’addition 6
inverse de pour la multiplication est
1
>!
l’ensemble
devient un corps commutatif. L’élément
(1.4)
!
!
(1.5)
On utilise l’abbreviation HW pour le livre de E. Hairer & G. Wanner, L’analyse au fil de l’histoire. Ce livre nous
sert de référence sur le sujets traités au cours Analyse I.
OPRQ
L
K
N
3
S
!
S
0
6
6
6
1
M
K
T
K
2>!
J
6I;
0
1
0
1
F IG . I.1: Plan complexe (gauche), addition complexe (milieu), multiplication complexe (droite)
En identifiant un nombre réel avec le nombre complexe
considéré comme un sous-corps de .
U
;.V
, l’ensemble peut être
WX"
Coordonnées polaires. Si l’on dénote par L la distance du point à l’origine, et par K
l’angle entre l’axe horizontal et la droite qui relie l’origine avec le point (voir Fig. I.1 à gauche),
U LZY[]\^K
> L
\&_a`FK
et
. La distance L s’appelle module ou valeur absolue de , et
nous avons
K b]c&d est son argument. Ainsi le nombre complexe peut être écrit comme
L - Y[e\fK
\&_a`gK 0D
(1.6)
Cette représentation des nombres complexes permet une interprétation géométrique du produit.
L - Yi[]\fK ! \&_a`gK 0
hZ- Yi[]\ T ! \&_a` T 0
Pour 6
et , le produit (1.4) devient
6<;
h L - Yi[]\ T Y[e\1K
h L - Yi[]\ - T
!B- \D_j` T Y[]\fK
\&_a` T \&_a`gK
K 0k \D_j` - T
Y[]\ T \&_a`gK 0&0
(1.7)
K 0D0
à l’aide des identités trigonométriques connues ([HW, p. 43]). Ainsi, la multiplication de deux
nombres complexes multiplie les valeurs absolues et additionne les arguments (Fig. I.1 à droite).
Espace métrique. Avec l’identification (1.3) de
l l L
2>
avec , la valeur absolue de (1.8)
correspond à la norme euclidienne de .l Elle faitl de un espace normé. La distance entre deux
- 0n
M
nombres complexes est ainsi m M .
Les concepts de convergence, limites, continuité, convergence uniforme, ensembles ouverts et
fermés, compacité, etc. sont les mêmes qu’en
Analyse
I et n’ont donc pas besoin d’être répétés.
lts L
- 0nr ' # l Nous utiliserons la notation oqp 6
6
) pour le disque ouvert centré au point
L
6 et de rayon .
I.2
Fonctions complexes d’une variable complexe
Soit uwv
un ensemble (généralement ouvert) et xyv
un autre ensemble.
Une fonction qui
zH}
'
S z{- 0|'
u un
x est une fonction complexe
u
x .
associe à chaque
-/%0X'
z{- 0
-<10X'
~"
S
Nous pouvons aussi identifier
+
et
+
et

-%&10:&<-/%0
arrivons à deux fonctions
(les coordonnées du point S ) de deux variables réelles
%&
(les coordonnées du point ); voir Fig. I.2.
4
1

S
z{-

S

BJ
S M

M

1

F IG . I.2: Fonction complexe S
0

1
z{- 0
- V
je0
1
Si un point M se met en mouvement le long d’une courbe , alors le point image S M bougera

z{- 0
le long d’une autre courbe ; si un point remplit une surface (“the horse of Sarah”), alors

{
z
0
le point image S remplira une surface
; voir Fig. I.2.
Plusieurs exemples vont nous aider à nous familiariser avec cette matière. On va constater que
des formules très simples donnent déjà lieu à des situations assez compliquées.
Exemple 2.1 (application
-linéaire) Pour un nombre complexe 6 fixé, considérons la fonction
S
z{- 0n
z{-
6
0|
(2.1)
z{-
0k
D\ _j` T
Yi[]\ T
z{-
0
'
M
Elle est -linéaire, c.-à-d., elle satisfait 6 M M
pour tout 6 M 6
6 M
6 M
6
'
M et pour tout
.
3
7:9G
h- Yi[]\ T \Dj_ ` T 0
Vue comme application de dans ( , 6
,
S !"
), nous pouvons l’écrire sous forme matricielle (cf. la formule (1.4))

7
,9
7
9
Y[e\ T
\D_j` T
h
T
(2.2)
b]cDd
6 , suivie d’une homothétie
Cette application
linéaire est une rotation orthogonale d’angle
hF l l
6 (voir Fig. I.3). Elle va être fondamentale, plus tard, pour toute la compréhension
de rapport
des fonctions -différentiables.

1
−1
6
1
1
−1
−1
F IG . I.3: Produit avec une constante, S
1
−1
6
6
>
5

6
1
6
1
−1
1
−1
1
−1
−1
F IG . I.4: Application -linéaire de (2.3)
Exemple 2.2 (application -linéaire mais pas
z{- 0nwS
Elle n’est pas
z{- M M 6
6 M
0
-linéaire, car
z{- M 0Z
6 M
-linéaire) Considérons la fonction
/F:0 -Di{
V
V
/k:0 (2.3)
z{-/D0U
z{-&i0
6
z{- . Par contre, elle est -linéaire c.-à-d., elle satisfait
'
'
pour tout 6 M 6
et pour tout M
. Comme
0
application de Z dans elle devient

7

6
9
m
(2.4)
sans structure particulière de la matrice apparente. En contraste avec l’exemple précédent, nous
observons que l’orientation n’est pas preservée et que la grille ne reste pas orthogonale (Fig. I.4).
Exemple 2.3 (fonction carrée) La fonction
S
zI- 0n
est illustrée en Fig. I.5. En coordonnées réelles
donnée par

w
G
(2.5)
52"W-W10

1
0
−1
−1
1
−1
elle est
(2.6)

F IG . I.5: La fonction S
"
>
1
−1

6
47
47
3
Et7=
Les images des lignes verticales (poser
) deviennent
et en éliminant
7 ¡ £¢
H 9
¦
¤
¥
on trouve des paraboles
.
Les
lignes
horizontales
(
)
deviennent
des paraboles
¢
S
aussi (voir Fig. I.5). Nous observons que pour chaque
V , cette fonction possède 2 préimages
(un chat gris foncé et un chat gris clair). Ce phénomème va encore nous intéresser.
Exemple 2.4 (transformation de Cayley) Une fonction intéressante est
S
z{- 0n
(2.7)
z{-§zI-
0&05
qui est illustrée en Fig. I.6. C’est une involution, c.-à-d., elle satisfait
. Donc, la
©
?
¨ f ¨ f
z{- 0
zª M - 0| zI- 0
fonction
est bijective comme application
)
) et on a
.
L’importance de cette formule fut découverte par Cayley (Crelle J. vol. 32, 1846, p. 119) pour
le calcul matriciel: elle métamorphose des matrices antisymétriques en matrices orthogonales.
Dans , elle transforme l’axe imaginaire en cercle unitaire (et vice-versa):
S
où
U
A
«
"A
« ; ¬«r
nG
I
¬«r
I!
I!

!
{!

>
I!

satisfont
=
2>
(2.8)

i
(2.9)
Ces expressions ne nous sont pas étrangères
, elles créent une représentation rationnelle du
cercle (Y[]\fK et \&_a`gK ) et les nombres pythagoriciens (voir [HW, p. 124]).
3

−2
2
2
1
1
−1
1
2
−2
−1
1
−1
−1
−2
−2
2
3
−3
F IG . I.6: Transformation de Cayley
Exemple 2.5 (transformation de Joukovski, 1910) La fonction
S
z{- 0n

(2.10)
est illustrée en Fig. I.7. Elle transforme respectivement les cercles centrés en V et les rayons passant
par V en une famille d’ellipses et d’hyperboles confocales.
Pour prouver ce fait, nous utilisons des
L - Y[]\fK \D_j`FK 0 ª M L ª M - Yi[]\^K \D_j`FK 0
coordonnées polaires
,
et nous obtenons
S
L

L
Yi[]\fK
!
L

L
\D_j`FK
(2.11)
7

1
1
−1
1
−1
1
−1
−1
F IG . I.7: Transformation de Joukovski
d’où
- p M 0 Y []\fK
p

M 0
- p p et
w- p
- p M 0
p M 0 &\ _a`FK
p
et on voit que

et
Y[]\

K
\&_a`
w
K
(2.12)
Remarque. L’image d’un cercle, astucieusement placé (voir Fig. I.7; en trait

discontinu; le cercle doit passer par le point ), pourrait ressembler à un
profil d’aile d’avion. Cela montre l’importance (historique) de la transformation de Joukovski en aérodynamique.
I.3
Équations de Cauchy–Riemann
z}
u
Avec l’identification
(1.3) chaque fonction
(avec un ouvert uwv
) est équivalente
f-%&10#>('
(nous utilisons la même lettre pour
u®)¯vr et pour
à une fonction u
u v
),
Z-/%0
où et

-%&10:&<-/%0
°
<-/%&10
(3.1)
sont les parties réelles et imaginaires de
z{- 0
.
-différentiabilité. Comme vu au cours Analyse I [HW, p. 302], la fonction u
-/f±=&]±=0'
L
est -différentiable en
u , s’il existe une matrice ² et une fonction
-/f±³&e±0
L -f±B&]±0|
continue en
et satisfaisant
V , telle que
Z-/%&10
I-%&10
Z-f±³&]±i0
<-/f±B&e±=0
>Gf±
AG]±
²
L -%&10
>Gf±
AG]±
;
}
u
de
(3.1)
,
(3.2)
Les éléments de la matrice ² , appelée matrice Jacobienne, sont les dérivées partielles de (3.1):
²
´
$µ ´
µ ´
´
´
$µ ´
1µ ´
´
-/f±B]±=0D
Avec la notation complexe, la formule (3.2) s’écrit
(3.3)
z{- 0|
z{- =
± 0k¶<- (voir l’exercice 8). En négligeant le reste
par une fonction -linéaire.
±B0k!·g- L - 0
;
l ± l
±B0k
L - 0
, la fonction
;
l ± l
z{-
0 Wz{- ±B0
(3.4)
est approximée
8
z}
±*'
-différentiabilité. La fonction
est dite -différentiable en u
z¸¹- ±B0|' 0
±
- ±=0n
constante
et une fonction L , continue en et satisfaisant L z{- 0nzI- ±=0kz ¸ - ±B0B- z ¸ - ±B0
z{- 0
±B0k
L - 0
l ;
u
, s’il existe une
, telle que
V
± l
±
zI-
(3.5)
0£Az{- ±B0
est approximée
La constante est la dérivée de en . Cette fois, la fonction par une fonction -linéaire.
z(}
±F'
u
u , si la limite
D’une manière équivalente, la fonction
est -différentiable en º
suivante existe dans :
z{- 0%?z{- ±B0
_j»
N£¼{N&½
z ¸ - ±B0D
±
(3.6)
±
Dans cette limite, peut se rapprocher arbitrairement de .
Premiers exemples. Exactement comme pour des fonctions réelles d’une variable réelle on
-différendémontre que
la
somme,
le
produit,
le
quotient
et
la
composition
de
deux
fonctions
tiables sont -différentiables. Les mêmes règles de calcul sont valables (règle de Leibniz, dérivée
z{- 0n en chaı̂ne). Comme la fonction constante et la fonction
sont
-différentiables, aussi les
polynômes en et les fractions rationnelles en sont -différentiables (en dehors de singularités).
Les fonctions considérées dans les exemples 2.1, 2.3, 2.4 et 2.5 sont donc -différentiables.
z{- 0¯ Par contre, la fonction n’est pas -différentiable (mais elle est -différentiable).
±
Pour voir ceci, on laisse d’abord tendre horizontalement vers dans (3.6) ce qui donne
, et
ensuite verticalement ce qui donne
. La fonction de l’exemple 2.2 n’est pas -différentiable.
Une conséquence immédiate des définitions est que -différentiabilité implique -différen¶>z¸¹- ±B0
·
tiabilite (en effet, la formule (3.5) implique (3.4) avec
et
V ).
z{- 0n2Z-/%&10¾<-%&0
Théorème 3.1 (équations de Cauchy–Riemann) Si la fonction ±gf±|!"]±
>
) est -différentiable en , alors on a nécessairement

´
´

´
´
´
et
´

´
´
(avec
(3.7)
F IG . I.8: Equations de Cauchy–Riemann (autographe de Riemann, [Neuenschwander, p. 94])
Démonstration. Une matrice
la forme
À¿!
représente une application
²
-linéaire seulement si elle est de
7,9
9
7
(3.8)
(voir les exercices 8 et 9). Une comparaison avec (3.3) donne la condition (3.7).
Donnons encore une deuxième démonstration de ce théorème. Pour cela nous considérons
z{-¯(10{Z-/%&10<-/%0
l’identité
et nous la dérivons une fois par rapport à et ensuite par
rapport à . Ceci donne
´
z ¸ -/!10{
´

-/%&10k! ´
´

^z ¸ -/!"0{
-/%0D

´
´
-/%0k ´
´

-%&0D
Après multiplication de la première équation par , une comparaison des parties réelles et imaginaires donne l’affirmation.
9
-/f±³&e±=0
et si les conditions de Cauchy–
Théorème 3.2 Si la fonction (3.1) est -diffèrentiable en
zI- 0
zI-/
,10|2
-%&10Á
Riemann (3.7)
sont
satisfaites
en
ce
point,
alors
la
fonction
donnée
par
<-%&0
±gf±|!e±
est -différentiable en .
Démonstration. Le fait, que le conditions de Cauchy–Riemann soient satisfaites, implique
que la
matrice ² dans (3.2) possède la structure (3.8). Elle correspond alors à une application -linéaire
·
et peut être écrite sous la forme (3.4) avec
V .
Contre-exemple. Dans le théorème 3.2 la condition de la -différentiabilité ne peut pas être
remplacée par l’existence de dérivées partielles. La fonction
Â
l l¤
z{- n
0 (3.9)
est continue, possède des dérivées partielles par rapport à et et satisfait en de Cauchy–Riemann (3.7). Pourtant, elle n’est pas -différentiable.
V
les conditions
Corollaire 3.3 Si les derivées partielles ÃÅÄ ÃÅÄ Ã Ã existent, sont continues dans un ouvert u et
z{- 0
z{-È"0<
ÃÅÆ ÃÅÇ ÃÅÆ ÃÅÇ
satisfont les conditions de Cauchy–Riemann sur u , alors la fonction donnée par
Z-/%&10<-/%&10
est -différentiable sur u .
Démonstration. Ceci est une conséquence immédiate du théoreme précédent et du théorème 3.6
de [HW, p. 304].
I.4
Propriétés de fonctions holomorphes
z5}
u
Définition 4.1 (fonctions holomorphes) Une fonction
qui est -différentiable dans
un ouvert uÉv
s’appelle holomorphe dans u . On dit qu’une fonction est holomorphe en un
±
- ±B0
point si elle est holomorphe dans un voisinage o®Ê .
Fonctions conformes.
“Die Theile einer gegebenen Fläche auf einer anderen gegebenen Fläche so abzubilden, dass
die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Theilen ähnlich wird.”
(Gauss 1825, Werke IV, p. 189.)
Gauss a adressé l’article mentionné ci-dessus à la Société Royale de Copenhague. Pour traiter
des problèmes en géodésie et en cartographie, on recherche des applications “similaires dans leurs
plus petites parties”, c’est-à-dire pour lesquelles des triangles infinitésimaux (ou des courbes qui
se croisent) préservent leurs angles.
}{-"¬ËÌ&Ë0 }{-§JËÌ&Ë0 ±
et Í
qui se croisent en Pour deux courbes différentiables
- 0
- 0| ±
- 0*
- 0È
- 0
Í V
V , ÍÎ V
V ) on dénote l’angle entre les deux directions Î V
(c.-à-d., V
et Î V
-Î 0
- 0
Í .
et Í V par Ï )
z(}
±
Théorème 4.2 (Riemann) Si la fonction
( uv
ouvert) est holomorphe en avec
u
z¸@- ±B0X
V , alors elle préserve les angles (et leur orientation), c.-à-d., pour deux courbes qui se
±
croisent en on a
- 0X
-"z«Ð =z«Ð 0D
Ï)
Í
Ï)
Í
Une fonction qui préserve les angles s’appelle conforme.
zÐ
z(Ð
z ¸ - ±B0
- 0
z ¸ - ±=0
-
0

Démonstration. Les directions de courbes
et
Í sont
Î V et
Í Î V ; chaque
rz¸@- ±B0
fois multiplié par la même
constante 6
. Nous avons analysé en détail dans l’exemple 2.1
qu’une application
est une rotation avec homothétie et préserve donc les angles.
6
10

¾=J
ÑtÖ
ÑØ×
ÑØ×
ÑtÖ
z{-

ÑtÙ
ÑtÕ
ÑtÓ
Ñ ¢
S
Â
ÑtÓ
Â
ÑeÔ
ÑÌÒ
M
ÑtÕ
0
ÑtÙ
Ñ ¢
ÑeÔ
S ¤
ÑÌÒ
S M
¤
F IG . I.9: Exemple de fonction conforme, S
w- /]0
V
Ce théorème est illustré dans Fig. I.9 où un animal pratique sa gymnastique matinale sous
w- je0
V
l’influence de S
. A certains angles apparents de son contour, nous avons attaché des
rapporteurs, avant et après le “stretching”.
Nous voyons que les angles restent invariants, mais les
l z ¸ - Ú 0 l
b]c&dZz ¸ - Ú 0
et subissent une rotation d’angle
. Pour ceux
rayons sont agrandis par le facteur
qui voudraient vérifier, voici quelques valeurs:
M ¤ Â
"iÛ¬
V
V
V
/]Û¬
/]¬
Û V V
Û V V
V
Ý
z¸
/Ü]J
V
z¸w/]J
z¸w/Þ]ÜJ
becDd|z¸f
"i
l z¸ l jÜe
V
l z¸ l je
/]Ü
l z¸ l je
becDd|z¸f
"i
V
V
V
"iÜ
V
becDd|z¸f
V ]
V Ý
/]*
V
On peut observer, sur tous les dessins des exemples 2.1, 2.3, 2.4 et 2.5, que l’image d’une grille
z¸¹- 0®
V . La fonction de l’exemple 2.2 ne préserve pas
orthogonale reste orthogonale partout où les angles (elle n’est pas conforme).
z}
Fonctions biholomorphes.
Une fonction holomorphe
u
x (avec u x
v
)
zkª M }
x
u est aussi
s’appelle biholomorphe, si elle est bijective et si sa fonction inverse
holomorphe.
zW} ~
z{- 0,ß7 L’exemple le plus simple
est
la
fonction
-linéaire
donnée par avec
7(
zª M - S 0{ 7ª M S
V . Son inverse est
qui est aussi -linéaire et donc holomorphe. Nous verrons
plus tard (quand nous considèrons des fonctions exprimées par des séries) que chaque fonction
z ¸ - ±=05
holomorphe satisfaisant
V est localement biholomorphe, c.-à-d., elle est biholomorphe
±
S ±Fz{- ±B0
entre des voisinages de et
.
La transformation de Cayley (2.7), illustrée dans la Fig. I.6, est biholomorphe de
?
¨ f
)
¨ f
)
ª
mais aussi de
o
M - V 0:
du demi-plan gauche à l’intérieur du cercle unitaire (elle est sa propre inverse).
La transformation de Joukovski (2.10) est biholomorphe de
o
¨ M -V 0
Vt)
?
¨,à tiá
ª M
(4.1)
(voir Fig. I.7). Mais comme elle est symétrique en et
, elle est aussi biholomorphe entre
l’extérieur du cercle et le plan fendu et joue un rôle important en mécanique des fluides.
z{- 0n La fonction carré (voir l’exemple 2.3) est biholomorphe comme application
â(
zH} ¯
©
¨ -"qã©
V
áa
(4.2)
En passant au coordonnées polaires on voit directement
la bijectivité. Nous laissons comme exzkª M - S 0¬ S
ercice la vérification du fait que la fonction inverse
est holomorphe (exercice 16).
11
Fonctions harmoniques et applications en physique.
“Eine vollkommen in sich abgeschlossene mathematische Theorie, welche fortschreitet,
ohne zu scheiden, ob es sich um die Schwerkraft, oder die Electricität, oder den Magnetismus,
oder das Gleichgewicht der Wärme handelt.”
(manuscript de Riemann 1850, Werke p. 545)
zrÉ©
holomorphe en u
Théorème 4.3 (Riemann 1851) Soit
continûment différentiables dans . Alors
ä W
i.e.,

et

ÆÆ
ÇÇ
V
ä H2
et

satisfont “l’équation de Laplace” ( et

et soient
!
ÆÆ
et

deux fois2
V
Ç&Ç

(4.3)
sont des fonctions “harmoniques”).

É

¬
et
. On dérive la
Démonstration. Les équations de Cauchy–Riemann sont
Æ
Ç
Æ
Ç

première équation par rapport à et la deuxième par rapport à . Cela donne
et
ÆÆ
ÇÆ

J

. Comme (voir le théorème de Schwarz, [HW, p. 317])
, on obtient la
ÆÇ
ÇÇ
ÇÆ
ÆÇ
première équation de (4.3). Pour la deuxième, on dérive les équations de Cauchy–Riemann par
rapport à et respectivement.
1.5
1.0
.5
−2
−1
.0
0
1
2
−.5
−1.0
−1.5
F IG . I.10: Champs d’un dipôle dans ,
S
º
[ d^- i0C
º
[ d^- £0
Grâce à cette découverte, Riemann a ouvert l’application des fonctions holomorphes à de nombreux problèmes de la physique, puisque cette équation est satisfaite par le potentiel gravitationnel
d’un corps (Laplace 1785, voir Oeuvres I, Mécanique celeste, publié 1843, p. 157), par les champs
électriques et magnétiques (Gauss et W. Weber à Göttingen) et par la chaleur en équilibre (Fourier
1807; cf. citation de Riemann ci-dessus). Il faut rajouter à cette liste certains mouvements de
liquides (les mouvements sans rotationnel; d’Alembert 1752, Helmholtz 1858).
º
Exemple 4.4 Le potentiel d’un dipôle (ou l’écoulement d’un liquide
sortantº d’une source et ren
^
d

i0{
S º
[
[ d^- i0
º
trant dans un trou) est créé par la fonction holomorphe
(pour des
l
l
d
[ d fb]cDd arguments complexes le logarithme est définie par [ ; voir plus tard pour une
Z-/%&10
º fonctions harmoniques
º
discussion détailée). La Fig. I.10 montre les courbes de niveau des
I-%&10
z{- 0|
[ d^- i0C
[ d^- ri0
et
, données comme parties réelle et complexe de .
2
Nous allons voir plus tard que chaque fonction holomorphe est infiniment différentiable. L’hypothèse concernant
les deuxièmes dérivées sera donc superflue.
12
I.5
Pour 6
'
Séries et fonctions analytiques
CåA
7
'
et pour Ú
7B±n?7 M - 6
V
]===
0k?7
- , considérons la série
0
6 ?7Bæ- 6
0
æ
?=J
ç 7 Ú - Ú è ±
=
6
0 Ú
(5.1)
et étudions le domaine où elle représente une fonction, c.-à-d., où la série converge. La définition
de la convergence de (5.1) est la même que
pour une série dans avec la seule différence que la
valeur absolue est maintenant définie sur et pas sur . Comme +r est un espace complet,
on a aussi le critère de Cauchy (voir les paragraphes III.2 et III.7 de [HW]).l l l
lÚ
7 Ú
Rappelons que (5.1) converge absolument,
si
la
série
de
terme
général
;
6
converge.
ËHé
Elle converge uniformement
sur Ú ²
V donné il existe un ê (indépendant de
v
, si pour tout
l ëÚBè]ì 7 Ú - 0 lts Ë
&îðï
'
'
² ) tel que
6
² .
ê et pour
pour í
7B±³=7 M ==
Définition 5.1 (rayon de convergence) Pour une série avec coefficients
}j
ñ
\&ò.ó
lõô1l #
7 Ú ô Ú
ç
la série ÚBè ±
on définit
converge
(5.2)
et on appelle ñ le rayon de convergence de la série.
Théorème 5.2 Soit ñ
pour chaque pour chaque pour chaque L
le rayon de convergence de la série (5.1). Alors,
l l]s ñ
avec , on a convergence absolue;
6
l l é ñ
avec
, on a divergence;
6
- 0
L s ñ
avec
, on a convergence uniforme sur le disque o®p 6 .
- 0
Une série (5.1) définit alors une fonction complexe sur le disque o®ö 6 . La démonstration de
ce théorème repose sur le critère des majorants.
l7
l.÷
å
Ú
Lemme 5.3
Supposons que Ú
pour tout et que la série réelle
Ú (critère des majorants)
ï
±
L

^
Ú
L
Ú=ø
converge avec un
V . Alors, la série (5.1) converge absolument et uniformement
ï L
- 0
sur oqp 6 et son rayon de convergence ñ satisfait ñ
.
'
- 0
Démonstration. Pour o®p 6 nous avons
une conséquence du critère de Cauchy.
ë
l
Ú=è]ì 7 Ú - 0 Ú le÷
6
ë
Ú
s¡l ±g
lCs
ÚBè]ì Ú^L
±
et l’affirmation est
ñ
6
Pour démontrer le théorème, choisissons un satisfaisant L Ú , pour lequel la
7 Ú - ±J
0
6
V
série converge
(Fig.
I.11).
Une
condition
nécessaire
est
et
il
existe
donc un ù
l 7 Ú - ±È
l 7 Ú l<÷
l Ú ®} ÌÚ
0 Ú l{÷
å
µ l ±8
6
ù
ù
6
tel que lIs
pour tout
. Par conséquent,
. Comme
± ÌÚ1L Ú
L µ l ±F
B
Ú
ø
6
, la série
converge et on peut appliquer le critère des majorants pour
- 0
'
oqp 6 .
ñ
ú
¢
±
ú
¥
º
6
L
_a»2\Dò.ó
ú
¥ Ò
ú
Ô
¢
¥ Ô
ú
ú
Ó
ú
¥ Ó
ú
l F IG . I.11: Preuve de la convergence uniforme et absolue pour 6
le÷
L
s
ñ
.
13
Théorème 5.4 Le rayon de convergence de la série (5.1) est donné par
ñ
º
(critère de la racine, Hadamard 1892).
l7 Ú l
_j»\&ò.ó Ú ¼
(5.3)
çÉû
Si la limite suivante existe, le rayon de convergence est aussi donné par
º
ñ
l7
Ú ¼
l
l7 Ú l
_a»
l
l7 Ú
l
â M
lÚ ÷
6
ç
(critère du quotient).
Ú
s
(5.4)
L
Démonstration. Si Ú ; avec un L
, le critère des majorants guarantit la
l7 Ú l l l÷ L
convergence de la série (5.1). Cette condition peut être écrite sous
;
6
,
º la forme
s
et elle est satisfaite avec unº L
å
pour
suffisamment grand si _a»2\Dò.ó Ú ¼ º
û
l7 Ú l
;
l ç û
ñ éü- _j»\&ò.ó Ú ¼
Ceci implique que ñ
. L’inégalité stricte
º
ç û
l l]s ñ
l 7 Ú l çl _a»2\Dò.ó Ú ¼
n’est pas possible, car
sinon
il
existerait
un
avec
et
6
;
l7 Ú l l l Ú ïw
çû
å
c.-à-d.,
;
6
pour un nombre infini de .
l7 Ú
l l â M ; Pour la démonstration
du
critère
du
quotient
on
part
avec
la
condition
l7 Ú l l lÚ
s - l7 Ú M lµ l7 Ú l l L
â
pour un L
. En écrivant cette condition comme
;
;
6
ï
l7 Ú l 0 ª M
- _a»2\Dò.ó Ú
¼
lÌs
6
l7 Ú l 0 ª M
6
û
6
6
l ÷
Ì
l éw
.
,
lÚ â M ÷
L
, le
reste de la preuve est identique à celle du critère de la racine.
'
La considération des séries (5.1) avec argument complexe nous permet d’élargir le
domaine de définition d’un grand nombre des fonctions importantes. Voici quelques exemples:
La fonction exponentielle est définie par la série
ýþ óg }jI
æ
ÿ
]
]ÿ
Ú
ç
å ÿ
Ú è ±
=
==
(5.5)
~ã
'
Le critère du quotient donne ñ
. Ainsi, cette série converge pour tout exponentielle est définie sur tout le plan complexe.
Les fonctions trigonométriques sont définies par
Yi[]\f
}a
{
\D_j`g
}a
¤
©=3
Þ]ÿ
ÿ
]
æ
]ÿ
Â
?=
]ÿ
ç
Ú è ±
B
-"i0 Ú
-§tåÌ0Dÿ
et la fonction
Ú
-"i0 Ú
Ú â M ç
Ú è ± -§tå*£0Dÿ
B
(5.6)
' . En remplaçant par Comme ýþ óg , les fonctions Y[e\f et \D_j`8 sont définies pour tout dans (5.5) et en rassemblant les termes sans et avec le facteur , on obtient la formule d’Euler
ýþ ó Y[e\f \&_a`F
'
pour tout (5.7)
(attention: on effectue un réarrangement d’une série, ce qui va être justifié dans le paragraphe I.7).
La série logarithmique est donnée par
º
[ d^-DI
0n}a

æ

==Ì
ç
Ú è M
B
-"i0 Ú â M
å
Ú (5.8)
Le rayon de convergence de cette série est ñ
. Le logarithme est donc défini par cette série
sur le disque de rayon centré en 6
. Pour le moment, on n’a pas encore démontré que le
logarithme est la fonction inverse de la fonction exponentielle (voir le paragraphe I.8).
14
z}
Définition 5.5 (fonction analytique) Une fonction
avec uv
ouvert s’appelle
u
'
analytique, si pour chaque 6
u il existe une série de la forme (5.1) avec un rayon de convergence
- 0
ñ ñ - 0né
6
V telle que sur le disque o®ö 6 on a
z{- 0n7B±|?7 M - 6
0k?7
- 0
?7Bæ- 6 6
0
æ
ç 7 Ú - Ú è ±
B
?=¬
0 Ú 6
(5.9)
Dans le reste de ce chapitre nous allons démontrer que chaque fonction analytique est holomorphe, nous discuterons le calcul avec des séries en présentant des exemples importants, et nous
- 0
démontrerons qu’une série (5.1) est analytique dans le disque ouvert o®ö 6 , si ñ designe le rayon
de convergence de la série.
I.6
Holomorphie et analyticité des séries entières
z{-
é
0
V (pour simConsidérons une fonction définie par une série avec un rayon de convergence ñ
plifier la discussion, mais sans perdre la généralité nous supposons que le centre 6 est à l’origine):
z{- 0n7³±|?7 M ?7
-
?7Bæ æ
ç 7 Ú Ú Ú è ±
B
?=¬
(6.1)
0
-
Cette fonction est continue sur o®ö V , car la série converge uniformément sur o®p V
(appliquer le critère de Weierstrass; voir [HW], page 217).
Théorème 6.1 La fonction
z{- 0
de (6.1) est
z ¸ - 0n7 M t7
-
t7Bæ -différentiable sur le disque o®ö V
2Þt7 ¤ æ
==¬
0
0
ñ
et sa dérivée est
å.7 Úe Ú ª M ç
ÚBè M
s
pour L
(6.2)
å
Démonstration. On obtient la série (6.2) en dérivant (6.1) terme par terme. Comme
, le
û
critère de la racine montre que les deux séries (6.1) et (6.2) possèdent le même rayon de convergence. Il faut encore justifier la différentiation terme par terme, c.-à-d., qu’il est permis d’échanger
différentiation et sommation.
l l l ± le÷ L s ñ
±
Pour voir cela, nous considérons et satisfaisant , et nous soustrayons
z{- =
± 07B±|?7 M ±|?7
de
z{- 0
avec
À- 0|
7 M ?7
z{- 0$©zI- ±=0X
. Ceci donne
æ
7Bæ ± ?
==¬
± ?
- ±B0k?7Bæ- e ±Z
A- B
0 - 0 ?7 ¤ - ± k
æ
±B0
±
] ± æ
0 ?=Z
± C
(6.3)
z ¸ - ±B0
A- ±=0
ç 7 Úe ± Ú Ú è ±
B
On voit tout de suite que sera la dérivée annoncée en (6.2). Il nous reste à vérifier que
À- 0
±
å
À- 0
la fonction est continue en . Le -ième terme de la série pour donne l’estimation
l7 Ú - Ú ª M Ú ª
±==e
Ú M
± ª 0 le÷
å l 7 Ú lL Ú ª M (6.4)
C’est le terme général, en valeur absolue, de la série (6.2) prise au point L . Nous savons que
cette série converge absolument, et nous avons trouvé une série convergente qui majore la série
(6.3) indépendamment de . Le critère des majorants (Lemme 5.3) assure alors la convergence
uniforme et, avec elle, la continuité.
Corollaire 6.2 Une fonction qui est analytique sur u est aussi holomorphe sur u .
15
zÌ¸¹-
0
et on voit itérativement qu’une
Le théorème précédent peut être appliqué à la fonction
fonction analytique n’est pas seulement une fois mais infiniment -différentiable
(des exemples
l l]s ñ
ýþ óF Y[]\f
\D_j`g
sont
,
et
sur ). La -ième dérivée de (6.1) satisfait pour
,
z
- 0
ÿ
ç
Ú è
=
7 Ú
å
Ú ª
(6.5)
et pour tout cette série possède le même rayon de convergence que (6.1).
z{-
0
Théorème 6.3 (série de Taylor) La fonction de (6.1) est
- 0
'
- 0
analytique
sur le disque oqö V . Pour 6
oqö V et satisfaisant
l l]s ñ l l
6
6 on a que
z{- 0
ç
è ± 6
- 0
6
6
avec
ï
Le rayon de convérgence de cette série est ñ
z
- 0
6 ÿ
V
ç 7 Ú - 6
Ú è ±
B
6
0 Ú Ú
ç 7 Ú
Ú è ±
B
å
6
è ±
Ú ª
- 6
0
ñ
.
Démonstration. En utilisant le théorème binomial on obtient
z{- 0n
l l
6
6
l l é
6
ñ L ñ
ç
ç
Ú è
B
è ±
7 Ú
å
6
Ú ª
- 6
0 Il reste à vérifier que l’échange de
la sommation
dans la dernière
égalité est permis sous les hyl l1÷ L l l
L s ñ
6
6 avec
pothèses du théorème. Comme
, une partie finie de la série double
peut être majorée par
ë
Ú è ±
B
Ú
è ±
l7 Ú l
å
l lÚ ª
6
l 6
l
÷
ë
Ú è ±
B
Ú
è ±
l7 Ú l
å
l lÚ ª
6
-L l l0
6
÷
ë
Ú è ±
B
l 7 Ú lL Ú ÷
l 7 Ú l L Ú ®} À
ç
±
Ú è
B
Le Théorème 7.1 du paragraphe suivant justifie donc cette échange et démontre la formule pour le
rayon de convergence.
I.7
Calcul avec des séries
Dans les années 1870, Weierstrass a passé ses vacances en Suisse (au Rigi) et avait avec lui la Thèse
de Riemann comme lecture d’été. Il a alors rencontré le physicien Helmholtz et s’est plaint auprès de
lui de sa grande difficulté à comprendre les méthodes de Riemann. Helmholtz lui demanda le travail et,
quelques jours plus tard, dit à Weierstrass: “moi je les trouve faciles et naturelles” (pour le texte original
cf. A. Sommerfeld, Vorl. über Theoret. Physik, Vol. II, p. 124 ou [Remm91, p. 430]).
Il ne s’agit certainement pas d’un manque d’intelligence chez Weierstrass, mais plutôt d’une conception
différente du mot “comprendre”! Chez Weierstrass, “compris” signifie “démontré avec toute la rigueur
dont on est capable”. Absolument rigoureux sont seulement l’algèbre et les polynômes avec un passage à
la limite prudent (séries infinies et leur convergence uniforme).
Le but de ce paragraphe est de démontrer rigoureusement que la somme, le produit, la com=
position,
des fonctions analytiques donnent des fonctions analytiques. Pour la somme, ceci
est simple, mais les autres opérations nécessitent de travailler avec des réarrangements et avec des
séries doubles. Commençons alors à rappeler un résultat du cours Analyse I [HW, p. 192–198].
t7
±
Réarrangement de séries doubles. Considérons une famille P ) P è M
de nombres com
plexes disposés en tableau comme dans Fig. I.12 et supposons que nous voulions tout additionner.
Il y a bien des manières de le faire. On peut additionner les éléments de la ligne , dénoter le
16
7B±¹±
7 M±
7 ±
7Bæ¹±
7
7B± M
7 ¹M M
M
}
7
¹
7Bæ
7 M
7Bæ M
}
7B±
±
M
G==
G==
7
æ
G==
7³æ¹æ
G==
7³±¹æ
7 Mæ
}
æ
e

hÅ±
h M
h
hÅæ
}
(7.1)
}
G==
F IG . I.12: Tableau d’une série double
h
± h
résultat par P , et calculer P ç è
P ; on peut aussi additionner les éléments de la colonne , dénoter

±
è
le résultat par , et calculer ç
. On pourrait aussi écrire tous les éléments dans un arrange7B±¹±
7
ment linéaire. Par exemple, nous pouvons commencer par , ensuite additionner les éléments P
%
w
C

pour lesquels
, puis ceux avec
, et ainsi de suite. Cela donne
7B±¹±7 M ±7³± M ?7
±|?7 M¹M ?7B±
7Bæ¹±7
M ?7 M
?==
La question qui se pose est la suivante: les différentes possibilités de sommation fournissentelles la même valeur? A-t-on
h±n?h M h
ç
==.
P
ç
è ±
è ±
7
ç
P
ç
è ±
P
7
è ±
P
±| M !
et les arrangements linéaires convergent-ils aussi vers cette même valeur?
Théorème 7.1 Supposons que la série double (7.1) soit telle qu’il existe un
ë
P
è ±
ë
l7
è ±
P
le÷
pour tout
î
?==
(7.2)
avec
.
Alors, les séries dans (7.2), et tous les arrangements linéaires de la série double convergent absolument. Les expressions dans (7.2) et tous les arrangements linéaires ont la même somme.
Considérons deux fonctions données par des séries
z{- 0
7B±7 M 7
- 0
9¹±9 M ?9
avec rayon de
z{- 0k
é
convergence ñ ¥
V
et ñ
é
V
7³æ ?9¹æ æ
æ
==
(7.3)
?=
respectivement. Il est évident qu’on a
- 0n-"7B±|?9¹±B0k-§7 M 9 M 0 -"7
et que la série (7.4) a un rayon de convergence ñ
?9
ï
0 ==e
»«_a` - ñ ¥ ñ
0
-"7 Ú ?9 Ú 0 Ú ?=
(7.4)
.
Produit. Si l’on calcule le produit des deux séries (7.3), terme par terme, et si l’on collecte les
termes avec la même puissance de , on obtient la série
-"7B±B9¹±B0-"7B±³9 M 27 M 9¹±B0 -§7³±³9
W7 M 9 M 27
9¹±B0 -"7B±³9¹æ{7 M 9
27
9 M 7BæB9¹±B0 æ
=Z
(7.5)
La question est, pour quels cette série converge et, en cas de convergence, est-ce que la série
z{- 0
- 0
représente le produit ; ?
17
deux séries
Théorème 7.2 (Produit de Cauchy) Soient ñ ¥ et ñ les rayons de convergencel des
lfs «
ï »«_j` - ñ ¥ ñ 0
» _j` - ñ ¥ ñ 0
(7.3). Alors, la série (7.5) a un rayon de convergence ñ
et pour Ú
on a
Ú
ç
7 9 Ú
z{- 0
- 0
ª
;
(7.6)
±
±
è
ÚBè
En conséquence, le produit de deux fonctions analytiques est analytique.
Démonstration. Le produit, terme par terme, des séries (7.3) donne un tableau avec éléments
7 9 Pâ
zI- 0
- 0
. Comme le produit ; correspond aux sommes doublesl dans
(7.2) et la série (7.5)
P
le÷ L s »X_j` - ñ ¥ ñ 0
est un arrangement
linéaire,
il suffit d’appliquer
le Théorème
7.1. Pour
on a
ëè ±
ë è ± l 7 9 P â l.÷ ± l 7 l L P 0B± l 7 l L 0J®}
ø
ø
l’estimation P
. Alors, la formule (7.6) est
P
l P l]s »«_j` - ñ ñ P 0
¥
vraie pour satisfaisant .
¦ý þ ó - T 0 ý¦þ ó - 0Z
Exemple. Ce résultat
nous
permet
de
démontrer
la
formule
;
T ' ýþ óg
ý¦þ ó|S ýþ ó - S 0
pour
, et d’en déduire que
.
;
ýþ ó -&- T
|0 0
æ
S z{- 0AÉ7 M 7 7Bæ ==
Composition
de séries
convergentes.- 0{Soit
une
æ 9¹±|?9 M S ?9 S
9¹æ S ?=
7³±F
z{- 0{
S
V (c.-à-d.,
V
V ) et soit
série avec
. Cherchons à
- 0n
-"z{- 0D0
calculer une série pour la composition (voir Fig. I.13). On insère la première série
dans la deuxième et on réarrange la série en puissances de :
- 05
æ
æ
9¹±|?9 M "- 7 M ?7 ?7Bæ ?=j0k9 -"7 M ?
7 ?7Bæ ?
==/0 ==
æ
æ
9¹±|?9 M 7 M -"9 M 7 ?
9 7 0 -§9 M 7Bæn ]9 7 M 7 ?9¹æ³7 0 ?
=
M
M
æ æ ¤ ?
±n
=
Z
M 6
6
6
6
6 ¤
(7.7)
De nouveau on se demande si cette série possède un rayon de convergence positif et si elle
- 0n
-§z{- 0D0
représente la composition .
é
Théorème 7.3 (composition de séries)
z{- 0
- 0
séries pour et S . Choisissons L
- 0n
±|
Alors, la série
6
6 M
6
Soient ñ ¥
é
V tel que
æ
6
æ -§z{- D0 0«
Úç è M
B
==
et l ñ
V
é
V
l
7 Ú L Ú s
les rayons de convergence des
ñ
.
l l]÷ L
de (7.7) converge pour et on a
- 0:
Ú
l lts ñ
ÚBç è M l 7 Ú l L
¥ , la fonction L °
Démonstration. Pour L
est bien définie,
elle est continue et
l 7 Ú lL Ú s ñ
L L é
B
Ú
è
M
(Fig. I.13).
s’annulle pour
V . Il est donc possible de choisir
V tel que ç
!#"%$'& "(*" )
ñ ¥
+ !-,.$/&10-2435!6)879,;:<$
L
ñ
F IG . I.13: Composition de séries
18
En appliquant itérativement le Théorème 7.2, nous voyons que l’expression
ç 7 ÚÁ Ú
Ú è M
B
zI- 0 P P ç
7
è
l l{÷
s
P
P
ï ñ ¥
L
ñ ¥
avec un rayon
de convergence
et pour
on a
Ú
- ÚBè l 7 Ú l L 0 P }ah P
h s ñ
±n
M
6 M
6
avec
. Pour obtenir la série 6
ç
échangé la sommation dans
z{- 0 P
est une série3
l 7 l{÷
l 7 lL
ç è P
ç è P
P
P
æ
æ ?
==
6
on a en
÷
effet
La justification vient du Théorème 7.1, car
pour tout
.
Comme application considérons un quotient . Pour le développer en série, il suffit
de traiter
car
et on sait déjà développer un produit de séries.
Si
on peut mettre ce facteur en évidence et ainsi commencer la série de
par (un
exemple intéressant d’un quotient est la série pour =
).
Théorème 7.4 (quotient) Soit
?>
-§z{- 0&0{
P
î
7³±

ç
9 {
z - 0 P è ± P
ç
P
9
è ±
ç
P
7
è
P
P
ç
ëè ±
ï
9 7
P P
P
l9 7 P P P
ë è
P
è ±
è ±
ç
è ± 6
ë è ± l9 lh P ÷
P
P
- 0D
l÷
Pç
è ± l 9 l h P ®}
P
V
iµ]z{- 0
- 0:µ]z{- 0n
- 0
- :0 µ]zI- 0
-&µ]z{- 0D0
;
V
b `g z{- 0
I?7 M ?7
é
une
série avec rayon de convergence ñ
l lt÷ L
,
I
?7 ¤ ¤ ?=J®},{
é
et soit L
V
6 M
z{- 0
æ
?7Bæ 6
z{- 0
\D_j`8 µ i
Y []\f
V
æ
æ 6
%- 0
Ú s
ÚBç è M l 7 Ú l L
tel que
. Alors, on a pour
¤ ?=Z
6 ¤
Ú
Les coefficients 6 peuvent être calculées en comparant les mêmes puissances de dans l’identité
-DI7 M ==/0B-DI
I $- 0C %- 0 ?==
?=j0{
6 M
ou en calculant
.
M
- 0J -D| S 0 ª
| S S
=

Démonstration. On applique le Théorème 7.3 avec S
et
%
0
S
avec
A>
@> ?>
.
Tous les résultats de ce paragraphe restent vrais si l’on considère des séries développées autour
z{- 0g7B±
7 M - ±B0% 7 - ±B0 =
d’un point différent de l’origine. Par exemple, si et
- S 0I9¹±IW9 M - S S ±B0^ 9 - S S ±0 W==
±g z{- ±=0n7B±
avec S
, alors
sous
les
hypothèses
du
l ± le÷ L
-§z{- 0D0{ ±n
- ±B0k
- ±B0 ==
6
6 M
6
Théorème 7.3 on a
pour .
Equations différentielles. Soit une fonction on cherche une fonction S
z{- 0n7 M 7
S
m
- ±=08
±
m
-S I
0 9¹±I
æ
7Bæ ==
- S 0D
S
V
0{
V
9 M S
9 S
avec
9¹æ S
æ
==
donnée,
(7.8)
S
(une condition initiale S peut être traitée en considérant des séries developpées autour
±
±
S
de et
respectivement). On insère la série pour S dans (7.8) et on utilise (7.7),
7 M 2t7
2t7Bæ ?=J
-§z{- 0&09¹±|?9 M 7 M -"9 M 7
?9
7
M
Une comparaison des coefficients donne
7 M 9¹±³
t7
9 M 7 M t7BæF
9 M 7
?9
7
M
Þ]7 ¤ 9 M 7Bæ2t9
7 Ú
7 M 7
9¦æ³7
0 æ
M
?=Z
w=
(7.9)
(7.10)
et nous permet de calculer récursivement les coefficients de la solution de manière unique. Ici,
l’étude de la convergence est plaisante (Cauchy, Exerc. d’analyse 1841).
3
B
Attention: est ici une lettre de sommation et non
C (D)
.
19
- 0
é
Théorème 7.5 Si la série pour S possède un rayon de convergence positif ñ
V , alors la

{
z
J
0

7
7
=
=
M série S
,
obtenue
en
comparant
les
coefficients
dans
(7.9),
a aussi un
ñ ¥ é
rayon de convergence positif
V et donne une solution de l’équation différentielle.
E
-
0{
9¹±]«9
«9
l
«=
les
FE
E
ª M
S
ñ
M S
converge pour S
.l Enl]÷ posantÚ S
Démonstration.
La série S
s
ª M s ñ
9
avec V
on en déduit que les coefficients peuvent être majorés par Ú
.
ù
7 Ú
On cherche à majorer les coefficients donnés récursivement par (7.10). L’inégalité du trian9
gle avec la majoration pour Ú donne
l7
le÷
M
l7
ù
lt÷
E
ù
l7
l
M l 7Bæ le÷
6E @E
l7
ù
l l7
l
M 0D
==
(7.11)
l7 Ú l
T Ú
T Ú
L’idée
est
de
définir
une
suite
des
nombres
réels
en
remplaçant
dans
(7.11)
les
par
et les
÷
“ ” par “ ”. Cela donne
T M ù
T
E
ù
T M T æg
GE ?E
- T
ù
T
0D
M
==
(7.12)
La première observation est qu’on a l’estimation
l 7 Ú le÷
T Ú
åAwt==
pour
(7.13)
E
(ceci se démontre par un argument d’induction standard) et la deuxième
observation est que les
Ú
9 Ú
T Ú
satisfont les relations de (7.10) si on remplace les
par ù
. Cela veut dire que la série
S T M T ==
est la solution de l’équation différentielle
S
m
m
-&n
ù
E
|
S
S
E
?=/0n
E
n
ù
E
S
S
0{
V
V
(7.14)
IE
Cette équation peut être résolue facilement (par “séparation des variables”, [HW, p. 138])
-&{
E
³0
S
m
S
H
ùm
S
S

ù
H
S
n
E
{
ù
IE
(7.15)
et
sa solution peut être devéloppée en série (à l’aide de la série binomiale), qui converge pour
l lts µ-
0
.
ù
JLJ K
ý þ óg
Exemples. La fonction exponentielle S
est solution de l’équation différentielle N
b
\&_a`g µ Yi[]\f
wI S
et la fonction tangante `g
est solution de N
(exercice 32).
=
JLJ K
z{- 0
S ±,z{- ±0
æ avec
=
±B0 G
S
Fonction
inverse.±B0 Soit
7 - ±Á0G7 - !7³æt-
S
±q
S
donnée par un développement S
M
. On cherche le développement deæ la fonction inverse
-S 0
±A9 M - S S ±B0$9 - S S ±0 9¹æ- S S ±=0 =
sous la forme . Après des
±
S ±
translations, on peut supposer et
placé dans l’origine et on part de
z{- 0|
S
7 M 7
- S 0I
7³æ æ
==
9 M S
9 S
?9¹æ S
æ
donné
?=
7

9 M 7 M
9 M 7
9 7
M
V
9
9 M 7Bæ2t9
µ]7
7 M 7
?9¹æ³7
(7.16)
cherché.
- 0
z{- 0
La fonction S est l’inverse de si pour la fonction composée
- n
0 nous avons . Une comparaison des coefficients donne
#
æ
M
9
- 0,
V
-"z{- 0D0
==
q9
dans (7.7)
7
(7.17)
µe7
M , la deuxième
M
Si M
V , la première équation nousÚ donne M
M , etc. Comme
å
9 Ú 7 ?==Ì
M
la ième relation est de la forme
V , où les trois points indiquent des expressions déjà
7 M
9 Ú
calculées, la seule condition
V nous permet de calculer récursivement tous les coefficients .
20
La discussion de la convergence par la méthode des majorants (similaire à celle dans la démonstration du Théorème 7.5) est possible (voir le livre de H. Cartan), mais peu commode. Nous
ramènerons la question à une équation différentielle (idée vue par Gerhard Wanner dans un cours
de W. Gröbner 1963).
zI-
07
7
æ
r7Bæ
=
7

M V et rayon de
Théorème 7.6 Soit S
une æ série avec M
é
{
0
9
W
9
9¹æ S
=
ñ ¥
S
S
S
M
V , alors la série
convergence
avec coefficients donnés
-"z{- 0D0{ par (7.17) possède un rayon de convergence positif et on a
dans un voisinage de V .
Démonstration. Si
-"z{- 0D0{ donne
-S 0
est bien définie dans un voisinage de V , une différentiation de la relation
¸ -§z{- 0D0:z ¸ - 0
6 M
(7.18)
ce qui conduit à l’équation différentielle
m
m
S
z ¸ - 0
7 M t7
]7³æ ==
6
±|
6
?==i
V
0n
V
(7.19)
0
S
pour la fonction . Par le Théorème 6.1 pour la dérivée et le Théorème 7.4 pour le quotient,
±8
M ==
la série 6
6
possède un rayon de convergence positif. On est maintenant en position
d’appliquer le Théorème 7.5 qui dit que la solution de l’équation différentielle (7.19) est donnée
¸@- 0nw
par une série avec rayon de convergence positif. Cette série satisfait (7.18), c.-à-d.,
pour
- 0¬
-§z{- 0D0
¸¹- 0
- 0
V ,
. En comparant les coefficients de
avec ceux de et en utilisant V
- 0n on voit que .
zW}
u
Corollaire 7.7 (théorème d’inversion local) Soit
(avec u v
ouvert) analytique
z¸¹- ±=0(
±H'
V , la fonction est localement biholomorphe, c.-à-d., elle est
u . Si
dans u et soit
±
±gz{- ±0
biholomorphe entre des voisinages de et de S
.
remplacés par Démonstration. Avec et S
7 M
z¸¹- ±B08
V devient
V .
z{-
±
et S
S ±
dans le Théorème 7.6, la condition
0È
Exemples. La fonction dans un voisinage
(voir Fig. I.5) est localement biholomorphe
M -D
ª 0
z ¸ - 0q
±¾
de chaque
V . Pour la fonction de Joukovski on a
. Elle est localement
±« biholomorphe pour (voir Fig. I.7).
FM
I.8
La fonction exponentielle et le logarithme
Etudions en détail quelques fonctions analytiques: la fonction exponentielle, son inverse le logarithme, les fonctions trigonométriques et les puissances complexes.
Fonction exponentielle. A part les polynômes et les fractions rationnelles, la fonction exponentielle est la fonction holomorphe la plus importante. Elle est définie par la série
ýþ ó8
dont le rayon de convergence est ñ
{
ã
.
ÿ
e
æ
]ÿ
¤
?=J
Þ]ÿ
Ú
ç
å ÿ
Ú è ±
=
(8.1)
21
Avec la fonction exponentielle, il est naturel de considérer aussi les fonctions trigonométriques
Y[]\^
}j
n
\&_a`F
}j
¤
==
Þ]ÿ
ÿ
]
æ
iÂ
==
]ÿ
]ÿ
ç
Ú è ±
B
-"i0 Ú
-§]å0Dÿ
Ú
-"i0 Ú
Ú â M
ç
§
t

*
å
i
D
0
ÿ
±
Ú è
B
(8.2)
'
qui sont également définies pour tout par ces séries. En remplaçant par dans (8.1) et en
rassemblant les termes sans et avec le facteur , on obtient la formule d’Euler (1748)
ý¦þ ó - 0
Y[]\f ! \&_a`F
pour tout '
(8.3)
-" 0q
Ce réarrangement de la série (8.1) est permis car elle converge absolument. Comme Y[e\
§
A
0
É
Y[e\f
\D_j`g
et \&_a`
, on arrive à exprimer les fonctions trigonométriques en termes de la
fonction exponentielle de la manière suivante:
S
Yi[]\f
ý¦þ ó - 0C

ýþ ó -"¬ 0
\D_j`g
ýþ ó /- 0%

ýþ ó -"¬ 0
(8.4)
Équation différentielle. Par différentiation, terme par terme, on voit que la fonction exponentielle
ý¦þ ó - 0
' (avec 6
) est solution de l’équation différentielle
6
S
m
m
6
S (8.5)
zI-
0È
7B±¬7
M Cette propriété est caractéristique pour la fonction exponentielle, car si S
7 =
å7 Ú 7 Ú M
ª . Cette formule de récurrence donne
satisfait (8.5), on a nécessairement
6
7 Ú ü7B± Ú µ]åÿ
z{- 0(ü7B± ýþ ó - 0
et on trouve ainsi la fonction exponentielle
comme la seule
6
6
z{- 0{ 7³±
solution de l’équation différentielle satisfaisant V
.
Une autre propriété caractéristique est donnée dans le théorème suivant.
z{-
0F
7³±Z7
7
==
M donnée par une série
Théorème 8.1 (théorème d’addition) Soit é
B
7
A
±

{
z
0
ñ
avec un rayon de convergence
satisfait la relation
V et avec
V . Alors
zI- si et seulement si
S 0Xz{- 0:z{- S 0
z{- 0n
ýþ ó - 0
6
pour S
avec un 6
'
S
avec S '
o®ö
- 0
V
(8.6)
.
Démonstration.
Avec le produit de Cauchy on a démontré au paragraphe I.7 que la fonction
satisfait (8.6) (voir aussi l’exercice 27). Pour voir qu’elle est la seule fonction
z¸¹- S 0n zI- 0Dz¸¹- S 0
.
satisfaisant (8.6), nous dérivons cette relation par rapport à S , ce qui donne
z{- 0
ðz¸@- 0
S En posant
V on voit que
satisfait l’équation différentielle (8.5) avec 6
V . On a
z{- 0n 7B± ýþ ó - 0
7B±gw
donc 6
. Mais, pour que cette fonction satisfasse (8.6) il faut que
.
z{- 0«
ýþ ó - 0
6
Ce théorème d’addition combiné avec la formule d’Euler (8.3) donne pour ýþ óF
ýþ ó ->!"0«
ý¦þ ó ýþ ó -/"0X
W>!"
ýþ ó H- Y[]\ ¯! \D_j` 0&
¦ý þ ó , Y[e\
zI- 0¬
que
(8.7)
et \&_a`
ýþ ó8
Comme nous sommes familiers avec les fonctions réelles
(avec argument réel),
cette formule nous permet de mieux comprendre l’application
qui est illustrée dans
©
Fig. I.14. Les lignes verticales (
) sont envoyées sur des cercles avec rayon ý¦þ ó , les
lignes horizontales (
) sur des rayons partant de l’origine avec un angle . De plus,
ýþ óF
' .
V quel que soit

On sait que les fonctions \D_j` et Y[]\ sont -périodiques. Ceci implique que
NQPSRTVU
XW
ONQPSRTVU
ýþ ó - 2tå D0n
SW
ýþ óg
pour tout
ZY[Y
å«'
et '
.
(8.8)
22
\^]`_badcfe
eg]ihjlkm\
9
6
6
3
3
−6
−3
−6
0
3
−3
3
6
−3
6
−3
−6
F IG . I.14: La fonction exponentielle et le logarithme
.o
où L ýþ ó -/
n
'
W
n
n M bW
Théorème 8.2 Pour tout
entre
'
, la fonction
#
s
G I0# L
ï
Vt)
z{- 8
0 s
Im n ^W
ýþ óF
est biholomorphe comme application
)
et
.o
©
¨
est le rayon partant de l’origine avec angle
.o MW
n
¯
¨
±F'
pW
n MW .
VW
º
Démonstration. Surjectivité. Prenons S
et écrivons ce nombre complexe
en coordonnées

S ±8 L - Yi[]\fK \D_j`8K 0 L é
K
±È}j
[ d L G K tå
V et
polaires
(
mod ). Avec
(où
å
å
ýþ óg ±* S ±
K ?tå
est un entier) on a que
. Il suffit de choisir afin que
soit dans l’intervalle
- n {0
ouvert
pour conclure la surjectivité de l’application exponentielle.
s ]±=&
s
±gf±eÈ"]± M 2 M È" M
±F ý¦þ óF M
M
Injectivité. Soit ýþ óF
avec , l
et
. La
l
l
l
M f±
M >]±g tå
ýþ ó M ý¦þ óF M ýþ óg ± ýþ ó f±
formule (8.7) implique que
(car
) et
l U]± l
å

åA
avec un entier . Comme la distance M
est strictement plus petite que , il en suit
V et
l’injectivité de l’application.
z{- 0, ýþ ó8
Holomorphie. La fonction est analytique et donc holomorphe sur . Comme
z¸@- 0¬ ýþ óg
V partout dans , le théorème d’inversion local (Corollaire 7.7) implique que la
fonction inverse est aussi holomorphe.
n ^W n ^W
XW
n 9W
SW
n 9W XW
Le logarithme. Le but est de définir le logarithme comme application inverse de la fonction
QW
QW
exponentielle. Pour
ceci ils faut restreindre
le domaine de définition de ýþ ó8 , par exemple, à la
r}a ' C
# s bande
Im
) (voir
º le Théorème 8.2). On obtient alors
b]c&d [ d l l fb]cDd }j
Log QW
est choisi pour que
s
b]c&d ÷
(8.9)
QW . Cette fonction, qui est holomorphe
où l’argument
G
¨
±
par le Théorème 8.2, est la branche principale du logarithme. Elle est définie sur
et elle est
souvent notée Log (avec un L majuscule).
On peut aussi définir
comme fonction multivaluée
º le logarithme
º
[ d a} º
d
car [ å
XW
[ d l l Gfb]c&d ]å
avec
ZY[Y
å«'
È
(8.10)
º
Il faut faire attention,
n’est pas un seul nombre
complexe mais un ensemble de nombres
¦
ý
þ
ó
[ d 0 ºcomplexes. Quel que soit dans (8.10), on a
. En contraste avec Log , l’expression
d
[ º
º
est définie sur
tout le plan complexe (à l’exception de origine). Pour un nombre réel négatif
é
[ d^-"¬C0n
[ dk>- tå*i0
on a
(si
V ).
GW
23
º
z{- 0W
d
å
[ Équation différentielle. Soit
la fonction (8.10) avec un fixé (par exemple,
z{- 08
Log ), ou une des fonctions inverses de la fonction exponentielle vue au Théorème 8.2,
z{- 0
-"zI- 0&05
º
alors est holomorphe et on a ýþ ó
. Une
différentiation par rapport à donne
ýþ ó -§z{- 0&0:z¸@- 0|
S [ d . En conséquence, la fonction
est solution de l’équation différentielle
S
m
m
-D£0{
La valeur initiale est S
V
VW
-&i0{tå
pour la branche principale et S
t
Devélopement en série. Avec l’argument remplacé par
µ-DI 0Z n de l’équation differentielle N
æ
¤
terme, donne alors
==
Log

Þ
JLJ K
(8.11)
pour les autres branches.
-&t
0
on voit que Log
est solution
?==
. Une intégration, terme par
æ
l les
pour (8.12)
º
º
º
º
La relation
fonctionnelle. º Le théorème
d’addition pour
la fonction
exponentielle implique que
ýþ ó - [ d^- iS 0&0n iS ý¦þ ó - [ d 0 ýþ ó - [ d S 0{ ý¦þ ó - [ d [ d S 0
. On en déduit que
º
º
º
[ d^- iS 0n
[ d XW
[ d S
]å
(8.13)
å
pour deux nombres complexes non nuls. L’entier est déterminé par la branche du logarithme

¨
±
choisie. Si l’on considère deux nombres complexes dans
et la branche principale du
logarithme, on a

becDd 2b]cDd S s
si
becDd 2b]cDd S '©-§ n {0
0{
si
V
Log Log S
(8.14)
Log iS
q becDd 2b]cDd S é
si
º
º
º
d
ì
d
VW
SW
SW
W
qW rW
QW
ì
tå
[ En particulier, on a [ í
pour des entiers í et donc aussi Cette formule est la motivation pour considérer aussi des puissances complexes.
La puissance complexe. Pour un nombre complex
6
º
nous définissons
º
}j
ý¦þ ó -
[ d º
6
'
ýþ ó -
[ d 0
í
et pour la variable complexe
.
V
est aussi multivaluée en général.(8.15)
Pour
[ d 0:
Ici, la fonction
est multivaluée. Ceci signifie que d
chaque branche de [ , cette fonction est holomorphe comme composition des fonctions holomorphes. Considérons quelques cas particuliers:
== Si 6
í est un entier positif, on a
;
;
(í fois); cette valeur est unique;
ª M = ª M
Si 6
(í ì fois); cette valeur est unique;
í est un entier négatif, on a
;
;
µ
S
í , la valeur
Pour 6
représente les í solutions de
, et on les obtient en prenant
t==i
r
ýþ ó -§]å µ 0 å>
une solution et en la multipliant par
(
) qui sont les í ièmes
í
V
í
racines d’unité;
¨ '
w
Si 6
est un nombre irrationnel (par exemple 6
), l’expression l l représente
une infinité des nombres complexes; ils sont dense sur le cercle avec rayon centré à
l’origine;
¨
' Si 6
, l’expression
représente une infinité des nombres complexes; ils sont situés
ýþ ó åX'
0 ý¦þ ó - tå 0
6 Log
6 pour
.
sur une spirale et donnés par s
XW
XW
tY[Y
Échangeons maintenant les rôles de 6 et dans (8.15) et considérons
6
N }j
ýþ ó - Log 6
0D
(8.16)
Cette fois il s’agit d’une vraie fonction, car on a fixé Log 6 comme la valeur de la branche princi}j ýþ ó -D£08wt/Üf =

i0g ý¦þ ó - 0
N ýþ ó - pale. Avec O
, on a Log O
et donc aussi O
.
Ý Ý
;
ý¦þ ó8
O N
Ceci justifie la notation pour la fonction
.
24
I.9
Exercices
1. Calculer les deux racines du polynôme
u DvxwzyDv*{%|} ul~ wzDv*|
}8
~ v |
u ~u vyq

w
}

d

q

w d }

u vm|
w u }
u % qu y ~ u vy < uy uD~ u y % y
y%%
v {

{
L¡ u

{
¢ ¤£¥ ¦§£¨
¢ u u v ¦ u v ¦ u v
¢ª«©
¦ ¢5

u }8® u v*¯ u

w
® ¯ £°

± w²|}³|wzy%} ±
°w u }µ u
¶ u· u8~ ¢ ³¸º¹
» ¶ u¼· u ¬ y%¹
u
¾½ » x ¿µÀ ~ y y
Á
¿qÀ ~ y y
Á
»

½ F u
u ÈbÉ%ÊË¾vÌ|ÊpÍ Î9Ë ÈbÉ%ÊdË
w u } u
2. Écrire le nombre complexe
en coordonnées polaires et calculer

Ó
(trois solutions).
3. En utilisant la formule de Cardano (voir [HW, p. 7]) calculer la solution réelle de l’équation
æ
Vérifier le résultat avec un logiciel comme Maple.
4. Considérons une application
:
.
Avec l’identification
de (1.3) elle peut être écrite sous la forme
en termes de , et
.
Exprimer
w u }
.
5. Décrire géométriquement les parties du plan complexe définies par
a)
b) Re
c)
,
,
,
,
Re
Im
,
.
6. Lesquels des ensembles de l’exercice 5 sont ouverts, fermés, bornés, compacts ?
7. Pour
et
considérons l’équation
Montrer que cette équation représente un cercle dans
Que se passe-t-il si ?
8. Avec l’identification
sous la forme
avec
si
de (1.3) chaque application
et
¦ ¬ X¢
*
-linéaire
. Discuter le cas
¢ «
.
peut être écrite
(9.1)
(uniquement déterminés).
9. Montrer qu’une application (9.1) satisfait
-linéaire
10. Étudier la fonction
l’image d’un cercle est un cercle.
ª M
¯´
et démontrer que cette fonction conserve les cercles, c.-à-d.,
11. L’image d’un cercle
par la transformation de Cayley (2.7) est de nouveau un cercle
(ou une droite). Déterminer son centre et son rayon.
12. Soit
, l’exterieur de cercle unité. Demontrer que la transformation de Joukowski
définie par
y u v u y
ÃÂdÄÅºÆrÇ
w vÏ| }8 w 5} vÏ| w }
considérée comme
application de dans
est surjective et injective. Etudier l’application
ª M
inverse
. Dessiner les images inverses des lignes Im
(écoulement ”potentiel” autour d’un cylindre).
Indication. L’image de
est
.
¤
13. Décomposer la fonction
en partie réele et imaginaire
Calculer les dérivées partielles et vérifier les équations de Cauchy–Riemann.
.
25
}Ð ~@Ñ v
}

w
w

d

w Ò }
Ó½ Ò

Ô w u } w u }

Ô wu }
Ò ¶ u £° · u £mÒ ¹
Z ¿ w ~qÕ
Á
w u }. w u }

Ö ¢ ×¦ w × } ©
u
¢
u
ÙØ¼w } u v v × ¦
ÙØÛÚÜÙØ1ÝDÙÚ
ÙØÞu Ú¤w u }ÙØwLÙÚ¤w u }z}
© ß<àÙáâÖã©
x ¿ ¶% ¢ ¹
ÙØw u } ÙØ¼w }
ä É ¡ u ½ ä É ¡Ð u v*|
r¡ u
x ¿ w ~Õ
Á
}
w
å æ À y
Áç À y
Á w %} wz } w y%}
d

èl£¥
wzyDv u }#él½y¤v è u v è w è %~ ê y%} u v v è w è ~ y%}/ë ìIêëw è ~xì vy%} u v
¤
¤
14. Soit
donnée. Trouver toutes les fonctions
partout les équations de Cauchy–Riemann.
15. Soit
un ouvert de
est
et
une fonction
-différentiable sur
-différentiable. Montrer que la fonction
. Quelle est la dérivée de
?
â
, vue comme application
16. La fonction carrée
ª M
que la fonction inverse
qui satisfont avec
, est bijective. Montrer
est holomorphe.
17. A chaque matrice complexe
avec
nous associons la fonction
Montrer que
Ü ¿ ¶ ~ × ¹
c.-à-d.
En déduire
que, pour
et
, la fonction
ª M
. Quelle est la fonction inverse de
?
ª M
est biholomorphe entre
et
18. En utilisant le corollaire 3.3 démontrer que la fonction
est holomorphe sur
.
19. Trouver une solution
w zy }
du problème de Dirichlet suivant:
sur
Idée. Considérer la partie réelle (ou imaginaire) d’une fonction holomorphe (polynomial très simple).
20. Déterminer le rayon de convergence de la série binomiale (
Ú
)
~
w w %y Iì } ê } u
u x{
u ~qï
¢ Xð
w ~ y%} ¢

ç
Ú è ±
=
ìè u
Ú
21. Déterminer le domaine de définition de la fonction de Bessel d’indice zéro définie par
í w u î}
±
¢ w lu ~ | }
±
ç
Ú è ±
B
Ú
Ú
Ú
Ú
Ú
22. On sait que la série ÚBç è
converge pour
et diverge pour
sujet de la convergence ou de la divergence des séries suivantes?
¢ wzyDv*|}
u uñ~x
w %uò~ vy%y%}zyw u ~ {} ¢ v ¢ u v ¢ u Dv ¢ u v
ç
Ú è ±
=
Ú
Ú
ç
Ú è ±
B
Ú
Ú
Ú
ç
Ú è ±
B
Ú
Ú
. Que sait on au
23. Déterminer les coefficients de la série
±
M
æ
æ
(9.2)
et calculer le rayon de convergence de la série ainsi obtenue.
Pour une fraction rationnelle arbitraire, deviner une formule pour le rayon de convergence.
Quel est le rayon de convergence de la série qu’on obtient si l’on développe la fonction de (9.2) autour
du point
?
Indication. Décomposition en fractions simples.
y
26
ä Íó ¦
}ë ä Íó w ¦ }

ä Íó*ÊLôºõ w ¢ ¦ } ä Íó*ÊLôºõ w ¢ }ë ä Íó*ÊLôºõ w ¦ }
ö ¬
w u }î ¢ v ¢ u v ¢ u v ¢ u v
÷ w u } ¢ u v ¢ u v ¢ u v ¢ u v ¢ ì u
{
vxy
ö
÷ w u }w u } w u } » wz%}
u ø

È á4 Î u
á4 u w u }QøwzyQv u }
È Î

È á4 Î u uñ~ v ~ ù v
àÙú õûw u v } àÙú õ u ë àÙú õ 9ü
ýSþ ÿ %ý
Ùú Ùú ýpþ ÿ ³ýpþ ÿ %ý %ý .ýpþ !ÿ ü
"#$%Ù&ú '( *)+,- .0/12býpþ ÿ
3
4
3 4 ,
0,*8 6 :9!<; ü
,-5 6
,-576
,
/12býSþ ÿ
¶%¢ ¹ ¶%¦ ¹

ä Íó*ÊLôõ w ¢ ¦ }8 ä Íó*Êrôºõ w ¢
24. Soient ì , ì deux suites dans
negative. Alors on a toujours
ì
ì ¼
ì
ì ¼
ç
ì
±
ç
ì ¼
ç
ì
ç
donnée par une série ayant
æ
M
ö
ç
-différentiabilité d’une série entière).
ì
æ
±
ì
ì ¼
æ
æ
M
25. Soit
convergence. Démontrer que
sur
ì ¼
ç
est fausse en général.
est une primitive de
¸
.
ì
existe et que cette limite est non-
ç
ì
(om a utilisé ce résultat dans la preuve du théorème sur la
Montrer par un contre exemple que l’affirmation
ì ¼
ì
. Supposons que ì ¼
¤
ç
Ú è ±
B
Ú
comme rayon de
Ú â M
, c.-à-d., le rayon de convergence de cette série est
26. La fonction
est la primitive de
. ×
coefficients de la série pour Ó
Næ
N
N Õ
Résultat.
Â
ª M
qui s’anulle pour
et on a que
. Calculer les
.
27. Démontrer que
28. Exprimer les fonctions
et
en termes de
l’exercice 27 pour démontrer la formule
et
et utiliser le résultat de
29. Calculer les cinq premiers termes de la série pour
série de l’exercice 20.
et comparer les avec la
. Inspirez vous du dessin (qui lui même
30. Soit
est inspiré d’un dessin de Newton 1669) pour voir que
Insérer pour cette dernière fonction la série binomiale et
.
obtenir par intégration la série (de Newton) pour
Déterminer le rayon de convergence.
1
−1
0
=
=
1
31. Les nombres de Bernoulli sont les coefficients de la série
F@ E
@
C@ I I C@ K K
>? 5, A@CBD ,*G - H 6G 6 J G L G üÙüÙü§ü
a) Démontrer la formule de récurrence
M
N @CB-
M
, @FEOüÙüÙü
et calculer les premiers dix nombres de Bernoulli.
b) En observant que
démontrer que @S!
N
M
M 5, @ P 9 E N
> ?:Q 6 H
H
> ? 5,
R> ?:Q -6 si TVUA, est impair.
(9.3)
> 9 :? Q 6
> 9 ?:Q 6
(9.4)
c) En remplaçant
32.
XW
27
par dans (9.4) trouver les coefficients de la série pour
Z
H6P @ P P E
%
ý
,
P
(9.5)
*Y
ýpþ ÿ 8,* H M 6 G 6 9 ü
*P [ E
H *Y] H et en déduire la formule
d) Vérifier l’identité Y\/
ÿ0*Y
!
Z
H P H P
,* P_` E 6 6 H M 5G ,*@ 6 P 6 P 9 E ü
Y\
/ ÿ^
(9.6)
P_[ E
Déterminer les premiers termes de la série pour Y\
/ ÿ de plusieurs manières différentes:
a) comme le quotient des deux séries dans Y\
/ ÿ8Üýpþ ÿab% ýb ;
b) comme fonction inverse de la série pour /12Y\
/ ÿc (utiliser les formules pour la composition des
séries);
c) comme solution de l’équation différentielle
33.
N
Soient e&fU
N
et ehg-U
d#A,- 6
(justifiér cette équation différentielle).
N
N
les rayons de convergence des séries pour "# et ic et soit "# . La
démonstration du théorème 7.3 (composition de séries) montre que la série pour la fonction composée
i"# possède un rayon de convergence
ekjAlîþ ÿ
Z qr q
e fm ý:no p
P p Ps &e g
P*[ E
ü
%ý
7uv üÙüÙü§ü
G
Calculer cette estimation du rayon de convergence pour l’inverse de la série ,
Résultat.
,
%ýO D, 5"#t
4
( * )+ H J .
où
K
"#$ H 6 G L G :
I J wx N
(9.7)
N
possède une solution unique proche de si et suffisamment petit. Plus précisement, il existe des
N et z de B N tels que pour tout |{}z il existe un unique 5{}y
voisinages y de B J
satisfaisant (9.7). Devéloper cette racine en puissances de (calculer les premiers termes).
34. Montrer que l’équation cubique
35. Déterminer toutes les racines complexes des équations suivantes:
ýpþ ÿ8
36.
37.
Nm
%ý N m
Ùú&
H 5~+Ùúc- L N ü

Devéloper la fonction "#t!( *)F (branche pricipale) en série autour d’un point :B{
pas sur l’axe réel négatif. Quel est le rayon de convergence de cette série?

H on a
Une exercice difficile. Démontrer, par récurrence, que pout tout { et pour ^j

M 5, P

,
,-
,-5-
,- t77 ,-
M G\
P_[ 6
En déduire que pour tout nombre complexe ,
h(8þl Z ,-
38.

7
q Dq s , que
Démontrer pour

/12Y\/
ÿ H ( *)

a) à l’aide de la formule d’Euler appliquée à %Y\/
ÿ³ýpþ ÿab%ýb ;
b) à l’aide de séries entiéres pour /12Y\/
ÿ et ( *)+,- .
qui n’est
28
XW
39. Démontrer les identités (d’Euler 1746 et de Johann Bernoulli 1702)
40.
> Q 6 %
* > 9h Q 6 m

Q
>
Quelles autres valeurs pour et 6 pourrait-on imaginer?
B2 E ` B2 B\E
Pour un fixé (par exemple, ,^ ), les valeurs représentées par
spirale. Donner cette spirale en coordonnées polaires sous la forme pA']O .
2
1
−2
−1
1
2
−1
−2
F IG . I.15: Les valeurs de
B2 E ` 2B B\E
(Exercice 40).
sont toutes sur une
Chapitre II
Calcul intégral et la théorie de Cauchy
“Was soll man sich nun bei für denken? Ich behaupte nun, dass das
Integral nach zweien verschiednen Übergängen immer einerlei Werth erhalte.”
(C.F. Gauss 1811, lettre à Bessel, Werke 8, p. 91)
“L’intention de Cauchy, proclamée dans l’introduction de son mémoire, était de rendre rigoureuse
une méthode d’intégration utilisée déjà par Euler et surtout par Laplace ”
(B. Belhoste, Cauchy, p. 179, en parlant de Cauchy 1814)
Le “Mémoire” soi-disant “le plus important des travaux de Cauchy” est intitulé Mémoire sur les
intégrales définies, prises entre les limites imaginaires, publié en 1825, en quelques exemplaires,
et inclus seulement en 1974 dans les Oeuvres de Cauchy
!(cf.
" [Remmert 1991]).
où #%$&'# sont des nombres complexes
Le but de ce chapitre est de donner un sens à reliés par une courbe et est une variable complexe. La théorie du calcul intégral complexe nous
permet de mieux comprendre les fonctions holomorphes et analytiques introduites au chapitre I.
II.1
Chemins et courbes
Comme motivation de la définition suivante, considérons une fourmi se promenant sur le plan
complexe. On peut décrire
en donnant à chaque instant ( la position de la fourmi, i.e.,
son chemin
les deux coordonnées ) ( et * ( .
,.-./ 021
est une fonction
Définition 1.1 Un chemin
ou une courbe paramétrée
dans +
,
/0 1
continue d’un
intervalle fermé dans + , c.-à-d., 3465879&;:<!=
. Nous supposons en plus que 3 ( est continûment
différentiable par morceaux.
Voici quelques exemples simples:
> Des fonctions *? ) et )@?BA *
peuvent être écrites sous la forme A (
( resp. 3 ( ?
3 ( ?
.
(
(
> Un cercle dans le plan est donné par 3 ( ?
,
*
(
*
(
(
C'DFGIH E
(
E
(
> Soient #KMN&;# 1 &;#PO trois points dans + . Le bord du
.
)
*
J
A (
IG H (L&
(
KC DFE E
)
triangle formé par ces trois points est décrit par
3 ( ?
#KMRQBS' ( # 1UT ;#' M
# 1 Q S'( T Z ; #PO T # 1 #POcQ S'( T a K# M T #PO
si X
V WY(W[ZK\]S
si KZ \]S^W_(`W.ab\]S
si aF]\ S^W_(`WdZ .
)
30
,
,
par T 3
Chemin renversé. Soit 3e4`58VF&bZK<f=
+ un chemin dans
+ ;. On
dénote
chemin parcouru dans le sens inverse. Il est donné par T 3 ( h4 ?B3 Z T ( .
,
425gVb&bZK<6=
,
3iM 'a (
3 1 'a ( T
si VXWY(W[Z'\]a
Z
si Z'\]a^Wm(`WnZ .
On peut aussi composer plusieurs chemins si le point final
3iM
d’un chemin est égal au point de départ du chemin suivant.
On utilise la notation 3iMQ3 1 Q^o;o;opQ3rq .
+ le
?B3iM Z .
Chemin composé. Soit 3iM4658Vb&FZK<j=
+ un chemin et 3 1 4658Vb&FZK<j= + un autre avec 3 1 V
Alors nous écrivons pour le chemin composé des deux chemins 3?B3kMkQl3 1 en posant
3 ( ?
,
(1.1)
3 1
3"s
3O
/0 1
/0 1
Définition 1.2 (courbe) Deux chemins 3t4u5v79&;:<w=
et xY4u58#L& <=
sont équivalents
M
s’il existe un difféomorphisme y 4l5879&;:<=
(bijective et y ainsi que y{z continûment
8
5
L
#
&
<
différentiables) tel que 3|?}x2~y , i.e., 3 ( ?}x y ( .
Une courbe est une classe d’équivalence de chemins. Une courbe orientée est une classe
d’équivalence de chemins pour la relation précédente avec y strictement croissante.
*
3
x
)
7
(
:
y
#

*
Exemple. Les deux paramétrisations
3 ( ?
?

(
CKDFGIH E
&
(
E
T 1
Z T

VXe(2B&
)
*
T
Z
Z'o

)
représentent le même demi-cercle ( ?y ( ? T
( dans la Définition 1.2). En interprétant le

CKDFE
paramètre ( respectivement comme le temps, on observe que la courbe est parcourue avec une

x
&
vitesse constante lors de la première paramétrisation. Lors de la deuxième, la partie au sommet est
parcourue moins vite que les parties à gauche et à droite.
,
Pour une courbe paramétrée 345879&;:<c=
+ , considérons une subdivision '(P$&%(KMN&;o;o;oL&(% de
l’intervalle 587"&':< et les points correspondants sur la courbe. Une approximation de la longueur
d’arc est la longueur du polygone reliant les points 3 (P$ &3 (KM &;o;o;oL&3 (% . On obtient donc, en
*
utilisant le théorème de Lagrange,
i
longueur
z M
3
$
z M
3
$
$

( M T 3 (

(
( M T ( o
1
$ M
7

Ceci est une somme de Riemann. La limite quand L ( M T ( =

i
k MN
3
Définition 1.3 (longueur d’arc) La longueur de la courbe paramétrée 3|4R5879&;:<=
3 ?

: (
V donne alors la longueur
cherchée.

)
,
+ est

(Lo
3 (
Un changement des coordonnées ( ? y ( ) montre
du
indépendante
que
cette définition
est
T
1
1
représentant d’une courbe. De plus, on a
3 ?
3 et 3kMkQl3
?
3iM Q
3 .
31
1
*
1 ¡
.
Exemple. Considérons la parabole *?B) paramétrisée par 3 ( ? (L&(
¢¡
Comme 3 ( ? Z'&'a'( , on obtient pour la longueur d’arc entre (`?}V et (2?[Z
M
3 ?
II.2
$
Z£QB¤'(
1
¥
(c?.o;o'or?
Z ¦
Q
a
¥
a¨Q
¤ DF§
o
)
Intégrales curvilignes
Le problème consiste à donner un sens à une intégrale complexe #2?}7«Q¬ª: et parcourt un chemin 3 ( reliant #%$ avec # .
:
*
]!9
où #%$?©7$QmªN:P$ ,
#
:$
7$
#P$
?B3 (
1
M
s
O
)
7
F IG . II.1: Chemin pour intégrale curviligne et un dessin de Riemann [Neuenschwander 1996]
®
$& M &'o;o;o'&
? # (Fig. II.1) et de poser
}
6
° 6
® 6
®
® 1 T M QYo;o;o]Q
U
T
(2.1)
$
M T $ Q
M
M
z
z M
L’idée est de placer sur la courbe une suite de points #%$¨?
¯
!"
4I?
¦G

où la limite est prise sur des subdivisions de plus en plus
, fines de la courbe. Supposons que la
courbe soit déterminée par
une
application
¬
3
4
8
5
"
7
'
&
:
i
<
=
différentiable
par±
±
±
± + , qui
± soit continûment
±c²6 ±
±
±
T
T
T
morceaux. Inspirés par
?n3 ( , pour lesquels
M
3 (
( M
( si ( M
(
est suffisamment petit, l’expression de (2.1) devient une somme de Riemann. Ceci sert comme
motivation de la définition suivante.
,
Définition 2.1 (intégrale curviligne) Soit 3t4³5v79&;:<w=
+ une courbe paramétrée qui est con]
1
tinûment
différentiable
par
morceaux
une
fonction
définie et continue sur le support
et
soit
3 5879&;:< de la courbe. On définit alors l’intégrale curviligne comme
¯
£]!9

4h?

!
3 ( 3 ( L( o
(2.2)
On doit maintenant montrer que cette intégrale curviligne est bien définie, c’est-à-dire qu’elle
est indépendante du choix de la paramétrisation de la courbe orientée.
Théorème 2.2 Soient 3 ( et x

ment croissante. Alors on a
deux chemins équivalents (Définition 1.2) est soit y
¯
°]!9
De plus, l’intégrale curviligne est linéaire en
z
¯
£]!9
? T
Â
¯
]!9
et
?
´
( stricte-
£]!9
et satisfait
¯'µ ¯K¶
°]!9
?
¯;µ
°]!9
Q
¯K¶
£]!9
o
Le chemin ·¹¸9º8»;¼½¿¾!À
Á est différentiable par morceaux, s’il existe un partage »«Ã|»NÄÅl»ÆÇÅ¬È%È%È"Ål»ÉÊÃ|½
tel que la restiction de ·!ËÍÌÎ sur ºv»ÏÐ"Æ%¼%»ÏN¾ est continûment différentiable pour tout ÑÃ@Ò¼È%È%È%¼Ó . Dans cette situation,
l’intégrale de (2.2) doit être interprétée comme la somme des intégrales sur les sous-intervalles.
1
32
Démonstration.
Les deux chemins sont reliés par 3 (
!
? y ( ( donne alors

´
Ö
!"
?
£ !
x
x
?.o;o;o?

?Ôx y ( . La substitution

!
3
(
3
(
( ?
2

¯
°]!9
( ,
?Õy

o
Les formules pour les chemins renversés et composés sont obtenues de la même manière.
M
“Würde auch das Integral ×Ø ÙÛÚÜ z Ù verschwinden, so gäbe es keine Funktionentheorie!”
(R. Remmert, Funktionentheorie, 1983)

Exemple 2.3 Soit 3 , ( ?}#RQÝrÞ J pour (2ß_58VF&'a'< une paramétrisation du cercle avec rayon ÝwàáV
centré au point #ßâ+ . Pour un entier ã , on a
°
¯
®
"
T #
ã ?ä T Z
si m
ã ? T Z.
si l
V
a'kª
?
(2.3)
Ce résultat est obtenu par un calcul direct (la dernière égalité uniquement® pour ãm? ä T Z )
¯
T #
®
9
?
$
1På ÝrÞ
J ®
ª¢ÝrÞ
J
(`?YÝ
®
M
1På
ªÞ
$
,
çæ ® Mè J

®
Ý M çæ M è J P1 å
Þ
$ o
ã Q}Z
é
(c?
+ un chemin qui est
Théorème 2.4 Soit 3ê4U5v79&;:<6=
différentiable par morceaux et
°]
continûment
soit
continue sur le support de 3 , c.-à-d., sur 3 587"&':< . Alors, on a
¯
Démonstration. Si 3 (
¯
°]!9

?
°]!9
² 3
W.ë
ë
où
?nw;Kî çï
J¿ìí

3 ( o
est continûment différentiable, on a

!
3 ( 3 ( ( W

£ ²
3 (
3 (
(`Wðë

3 (
(c?}ë
² 3 o
Dans le cas où 3 ( est seulement continûment différentiable par morceaux, il faut appliquer ce
raisonnement à chaque sous-intervalle où la fonction est continûment différentiable.
II.3
Existence des primitives
/0
Le théorème
fondamental
du calcul différentiel dans
exprime
! le fait que
chaque
fonction con
/0
T
tinue 4c587"&':<6=
possède une primitive
)
)ò?ñ :
ñ 7 . Nous allons
ñ ) et que
,
étudier si ce résultat reste vrai dans + .
,
,
Définition 3.1 °(primitive)
Soient ó ô + unouvert
et ] 4õóö£= ] + continue sur ó . Une fonction
]
holomorphe ñ
s’appelle une primitive de
si ñ¨÷
?
sur ó .
Théorème 3.2
, Supposons qu’une fonction continue
maine ó.ô + . Alors,
!"
?.ñ
¯
°]
# T ñ
possède une primitive ñ
#P$
°]
dans le do(3.1)
pour chaque chemin 3|465879&;:<! = ó pour lequel
le point initial et le point final sont respectivement
#P$ et # , c.-à-d., pour lequel 3 7 ?.#%$ et 3 : ?}# (voir Fig. II.2).
En particulier, on a la condition nécessaire
¯
pour chaque chemin fermé, c.-à-d., 3
]!9
7 ?e3 : .
?áV
(3.2)
33
est continûment différentiable, l’affirmation est une conséquence de

!
!

÷
3
(
3
(
`
(
?
ñ
3
(
3
(
2
(
á
?
ñ
3 ( ?áñ # T ñ #P$ o

Démonstration. Si 3 (
¯
°]!9
?
Si 3 ( est seulement continûment différentiable par morceaux, il faut faire le même calcul pour
chaque sous-intervalle et additionner les expressions.
/0
,
Ce théorème montre une énorme différence entre le calcul intégral dans
et celui dans + .
/0
,
+ .
Tandis que chaque fonction continue
possède
une
primitive
dans
,
ceci
n’est
pas
vrai
dans
°]
Par exemple, la fonction continue ?
ne
J satisfait pas (3.2) et ne peut donc pas avoir une
primitive (prendre le chemin fermé 3 ( ?ðÝøÞ pour (ùßú5gVb&'a'£< ). Même la fonction holomorphe
°]
Rü
T # z M ne possède pas de primitive dans ûM #
?
b#K (voir l’exemple 2.3).
°]
1
Par contre, une fonction ?©7$Qð7"M Qð7 1
Qðo;o'o avec rayon de convergence ýáàþV
possède une primitive sur û^ÿ V . Elle est donnée par
ñ
?
7$
Qm7"M
1
a
QY7 1
O
S
Qm7O
s
¤
Qmo;o;o
(3.3)
(intégration terme par terme). Ceci est une conséquence du Théorème I.6.1.
Le théorème suivant montre que la condition (3.2) est aussi suffisante pour l’existence d’une
primitive. Nous
donnons la preuve si ó est un domaine étoilé,
et s’il existe
,
, c.-à-d.,
si ó , est ouvert
T
(
Q¬(
VW (WtZ' est
un “centre” ßeó tel que pour tout ßYó le segment 5 & <i4I?ö Z
entièrement dans ó (voir Fig. II.2 à gauche).
3 1
ó
3
#
,
3iM
#%$
#%$
3
F IG . II.2: Domaine étoilé et illustration du Théorème 3.2
,
Théorème
, 3.3 (critère d’intégrabilité) Soit ó un domaine, étoilé de “centre” . Supposons
9! que
4!ó}= + soit continue. Si pour chaque°triangle
ayant comme sommet on a ×
?}V
]
( étant le bord du triangle ), alors
qui est donnée par
ñ
°]
?
í
î ï
b!
pour
En particulier, on a (3.2) pour chaque chemin fermé dans ó .
ßêóUo
°]
Démonstration. Comme ó est un domaine étoilé, la fonction ñ
est bien définie. Fixons
, maintenant $ßòó et considérons ß ó proche
avec sommets & $& est
, de
$ tel
que
le triangle
, entièrement dans ó . L’intégrale sur le bord 5 & $;<rQ5 $& < T 5 & < de ce triangle est zéro. Par
conséquent, on a
b!
ñ
9
? ñ $ Q
o
í î ï
b
T
?
$ Q
$ , cette formule devient
En écrivant
]
° ° °
£b
° T $ Q
T
ñ
? ñ $ Q
$
$
&
í î ï
²
b T
T $ (voir le Théorème 2.4). La
dont l’intégrale
peut
être
majorée
par
w

K

ìí î ï
b
°]
,
° $ °
T
fonction
est
donc
-différentiable
avec
,
car
ñ
+

ñ
÷
$
?
$

L

ìí î ï

$ = V
]
si =
.
$ par la continuité de
34
II.4
Théorème fondamental de Cauchy
Le but de ce paragraphe est de démontrer que chaque fonction holomorphe est intégrable, c.-à-d.,
possède une primitive. Jusqu’à maintenant nous savons seulement que les fonctions analytiques
sont intégrables.
°]
,
une fonction holomorphe ( + -différentiable) dans
Théorème 4.1 (lemme
de Goursat) Soit
,
un ouvert ó}ô + . Si est le bord orienté d’un triangle ô.ó , alors
×
£]!9
?}Vbo
(4.1)
Démonstration. (E. Goursat, Acta Mathematica 4, 1884; A. Pringsheim, Trans. Amer. Math.
Soc 2, 1901). La preuve de Goursat s’appuie sur des rectangles. L’idée de Pringsheim est d’utiliser
des triangles qui rend la preuve directement
applicable à des domaines étoilés.
Soit alors un triangle et soit holomorphe sur un voisinage de (voir Fig. II.3). Nous
devons démontrer (4.1). A l’aide des centres de chacun des trois côtés, on découpe en 4 triangles
semblables, mais deux fois plus petits. De ces 4 triangles, nous en choisissons un, ¹M , pour lequel
l’intégrale (4.1) est maximale (en valeur absolue). Ensuite nous continuons de subdiviser M de la
même façon et arrivons à une suite ¹M 1 O.o'o;o avec
£]!9
×
W.¤
× µ
]!9
W.o;o'ojW}¤
®
×
°]!9
W.o;o;oco
±
(4.2)
]
,
L’intersection de cette suite contient
est + °] unpoint
$ , car
;les
sontcompacts.
]b²; Comme
T $ QwÝ
T $ où Ý
?
$ Q ÷ $
différentiable
est continue
en $ , nous avons
en $ et Ý $ ?}V . Cette formule, insérée dans l’intégrale, donne
°]6²j
!9
T $
(4.3)
o
× Ý
Les deux premières intégrales sont nulles, car les fonctions Z et T $ possèdent une primitive.
]
Estimons encore
de Ý
en $ signifie que pour tout @ànV ® il existe un
la dernière: la continuité

´
xàöV tel que Ý
pour T $ x . Prenons alors ã assez grand pour que ô û
$ .
×
]!9
?
° "
° !9
$ × Q ÷ $ × T $
Q
1
¹M
F IG . II.3: Preuve de Goursat–Pringsheim pour un triangle

35

² ®
$ W"! a z et
T
®"
®
²
Alors
#
W "! a z . On peut alors majorer la troisième
intégrale de (4.3) à l’aide du Théorème 2.4 et avec l’estimation (4.2) on obtient
×
°]!9
W}¤
®
²
²
"!
²
a z
®
²
"!
²
®
a z o
(4.4)
Le étant arbitraire, cette intégrale doit être nulle.
Nous sommes maintenant en position de démontrer le résultat principal de ce chapitre.
,
,
Théorème 4.2 (Cauchy 1825) Soit ó ô +]un
, et soit 4Ró
domaine étoilé avec centre
]
une fonction holomorphe dans ó . Alors,
, donnée par
ñ
En particulier, on a ¯
b!
°]
?
í
î ï
b!
pour
,
=
+
ßêóUo
?}V pour chaque chemin fermé dans ó .
Démonstration. L’affirmation est une conséquence immédiate du lemme de Goursat (Théorème 4.1) et du critère d’intégrabilité (Théorème 3.3).
óUM
3iM
3
3
3"O
ó
3 1
ó 1
F IG . II.4: Couper un domaine non-étoilé en domaines étoilés
b!$
? V pour
Domaines plus généraux. Le fait qu’une fonction holomorphe satisfait ¯
chaque chemin fermé (et donc l’existence d’une primitive) restent valables pour un domaine qui se
laisse découper en un nombre fini de domaines étoilés (voir Fig. II.4). Il est néanmoins nécessaire
que le chemin 3 traverse chaque “ligne de coupe” dans chaque direction le même nombre de fois.
Cela est certainement vrai, si le domaine ó est simplement connexe. Ainsi, l’intégrale sur 3 se
laisse décomposer (pour les chemins de la Fig. II.4) en
¯ ?
¯'µ Q
¯L¶ Q
¯&% ?}VQBV¨QBV ?}V
(4.5)
car 3kM , 3 1 et 3"O sont chacun dans un domaine étoilé.
Remarquons encore que sans conditions sur l’ouvert ó ,°l’affirmation
du Théorème de Cauchy
]
M
n’est pas correcte. Considérons par exemple la fonction
ouvert ót?
?
z sur l’ensemble
, ü
°]
,@üõ/ 0
z
+ FVF . La fonction ñ
? Log est une primitive sur le domaine étoilé + ]!9 (plan complexe
sans l’axe réel négatif) mais
?V n’est pas
J ó . En effet, la condition nécessaire ¯
pas sur
satisfaite pour le chemin 3 ( ?.Þ (cercle autour de l’origine).
36
0
Exemple 4.3 (intégrales de Fresnel) Comme première application du théorème de Cauchy, considérons
¯ Þ z
¶ 9
?
¯'µ Q
¯L¶
T
¯%
0
3"O
où le chemin 3 se compose de trois parties: de V à le long
de l’axe réel, puis on monte verticalement, et retour sur la
diagonale (voir la figure à droite;
niveau des
°]les
courbes
de
1 ?('P*) T
parties réelle et imaginaire de
sont aussi
1
dessinées). L’intégrale sur 3 est
/
+
1 ?
+
$
æ + F J è ¶
Þ z
ª 2
( ?
$
+
+
Þ z
¶ ¶ ² 1 +
J Þ z
Jª (
En partageant parties réelle et imaginaire, on obtient
-
$
C'D]E
-
aK(
1
(c?
$
E
GhH
a'(
1

(`?
¤
Þ
+
¶
T
Z
$
C'D]E
(
1
-
(`?
$
E
GIH 1
(
(`?
a
Z

a
-
et
$
C' DFE
(
(
Z
0 o
W
/
¦ G +*,.- /
+/,0- M ?

O . Du
\a [HW, p. 346]. Ainsi nous

¦G
(4.6)

&
(4.7)
et, à l’aide de substitutions,
-
0
3iM
0
3 1
0
+
¶
+ ¶
+ ¶
+
+ ¶ Z
/
J
1 W.Þ z
Þ
(`W.Þ z
Þ J c
( ?.Þ z 0
$
$
¦ G +*,.- /
1 ?âV , et le Théorème de Cauchy- nous¶ donne
Ainsi,

/
¦G
cours “Analyse I” nous savons que +*,.- M{? $ Þ z J (^?
arrivons à

æ M F è ¶ J ¶ !

Þ z
ZÇQlª (2?
o
$
a
donc
Q¬ª
-
(`?
$
E
GIH
(
(
(2?

a
&
(4.8)
formules affirmées en [HW, p. 131] et démontrées de manière plus élégante qu’en [HW, p. 350].
II.5
Formule intégrale de Cauchy
“La plus belle création de Cauchy, et l’une des plus belles créations mathématiques de tous les
(Georges de Rham, Discours d’Installation, Lausanne 1943)
temps ”
La Révolution de juillet 1830 entraı̂ne la chute de la dynastie des Bourbons. Cauchy, royaliste
et ultracatholique, quitte Paris, laissant femme et enfants, et s’exile à Fribourg. Là, il cherche à
fonder une académie catholique et part pour l’Italie, où il pense trouver le soutien des souverains
réactionnaires. Finalement, soutenu par les jésuites, on lui offre à Turin une chaire de “physique
supérieure”. Son enseignement “était de toute confusion, passant tout d’un coup d’une idée, d’une
formule à une autre, sans trouver le chemin de la transition. Son enseignement était un nuage
obscur parfois illuminé par des éclairs de génie; mais il était fatigant pour des jeunes élèves, aussi,
bien peu purent le suivre jusqu’au bout et de trente qu’ils étaient au début du cours, il restait un
seul dernier sur la brèche” (voir Belhoste, p. 130).
À Turin, Cauchy découvre sa célèbre formule. Sa première publication est dans un article intitulé Sur la mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé calcul des limites, lu à l’Académie
de Turin le 11 octobre 1831. La formule est devenue plus accessible en 1841 quand Cauchy la
plubie dans le tome 2 de ses Exercices d’analyse et de physique mathématique.
37
Théorème 5.1 (formule intégrale de Cauchy 1831) Soit ó un domaine étoilé et 3 une courbe
£]
fermée parcourant !ó dans le sens positif. Soit
holomorphe dans un voisinage de l’adhérence óá?}ó213!ó . Alors pour tout ßòó
9
°]
5
T
3
Z
a'kª
?
5
¯
T
o
(5.1)
7
ó
,
3
T4
F IG . II.5: Chemin 36 pour la preuve de la formule de Cauchy (à droite: manuscript de Riemann,
[Neuenschwander 1996, p. 120])
b 87
]
T
\
dans l’intégrale (5.1) est
Démonstration. On fixe un ß ó . La fonction =
,
holomorphe partout en ó , sauf en ?
. On doit donc ôter ce point “chirurgicalement”.
Soit
le
,
“centre” du domaine étoilé ó (voir Fig. II.2), et soit 7 la projection de à partir de sur le bord de
,
ü on choisit pour
un
point
arbitraire
de
ó voir Fig. II.5 (si ?
7
!ó ). Le domaine ó 6 ?}ó
5 &;7b<
,
est donc étoilé (pour le même centre ).b
en de la
implique que pour tout ³àúV il existe un x àðV tel que
£bLa
fonction
continuité
£]

T
W9 pour T
W©x . Notons 4 le cercle centré en de rayon x . Nous allons
démontrer que
b
¯
T
b
?
: T
?
£]6²
: T
Z
Q2;
°]R²
?
a'kªRQ<;
o
(5.2)
Pour montrer la première égalité dans (5.2), nous prenons le chemin 3 6 ? 3 Q 5 T=4ÊT 5
dans ó>6 (Fig. II.5) et appliquons le Théorème 4.2 pour le chemin 36 . Cela donne le résultat désiré,
car les intégrales sur Q 5 et T 5 s’annulent.
La deuxième égalité de (5.2) résulte du fait que
est continue. Nous estimons la différence
b
:
T
T
]
W
? w K?
z
´
9
T
²
? w K?
z
´
T
Z
² 4
W<
x
Z
a'x?áaK/o
(5.3)
La dérnière égalité dans (5.2) suit d’un calcul direct comme dans l’Exemple 2.3. La formule
(5.2) est vraie pour tout àáV . On obtient donc l’affirmation (5.1) en considérant = V .
Le pouvoir extraordinaire de la formule de Cauchy (5.1) réside dans le fait que la variable à
] M
gauche se retrouve à droite dans la simple forme T
z ; toutes les belles propriétés de cette
dernière fonction se transmettent, à travers l’intégrale, à n’importe quelle fonction holomorphe.
Elle va nous donner une suite de conséquences surprenantes.
Propriété
de la moyenne. En prenant comme ó un disque de rayon Ýáà V avec centre # et
3 ( ?}#fQ¬ÝrÞ J avec V^WY(W.a' , la formule de Cauchy donne
1På !
£ Z
# ?
#ÇQ¬ÝrÞ J (
(5.4)
a' $
°]
si
est holomorphe dans un voisinage
de
û
>
@ # . Ceci signifie que la valeur
# au milieu du
£]
disque est la moyenne des valeurs de
sur le bord du disque.
38
II.6
Dérivées supérieures d’une fonction holomorphe
L’application la plus spectaculaire de la formule de Cauchy est le résultat suivant qui montre que
,
,
chaque fonction holomorphe (c.-à-d., + -différentiable) est infiniment + -différentiable et peut être
représentée par une série avec rayon de convergence positif.
°]
Théorème 6.1 (Théorème de
Soit
holomorphe dans un ouvert ó . Alors
]Cauchy–Taylor)
pour tout #ßêó la fonction
possède un développement en série
]
°
?}7$UQm7"M
T # Qm7 1
avec coefficients donnés par
T #
1
°
Qm7O
T #
-
O
Qmo'o;or? ± 7
$
±ø°
T #
±
(6.1)
b
± o
7 ?
(6.2)
¯
T # o M
J
3
(
[
?
#
ò
Q
r
Ý
Þ
&r( ß.5gVb&'a'£< où V á
Ýuý et ý|àöV est tel que
Le chemin
dans
cette
intégrale
est
û ÿ # ôâó . La série (6.1) possède un rayon
°] de convergence A ý (ý est la plus petite distance
dans le disque û ÿ # .
entre # et le bord !ó ) et elle représente
±
± T B z M ?[Z£Q B Qmo;o;oQ B Q B M \ Z TCB pour obtenir
Démonstration. On utilise l’identité Z 2
T
Z
?
?
T # T
Z
T #
Z
±
Z
a'kª
°
?
Z
Z
T #
T # Z T z±
z
T #
T #± Qmo;o;oQ M Q
T # 1
T #
Q
± M
T± #
M ] o
T #
T
Insérée dans la formule de Cauchy (5.1), ceci donne
]
?
7$cQY7M
T # QYo;o;oQY7
±ø
T #
±
Q
Z
aKkª
¯
T #
T #
± £b
M
T
(6.3)
o
(6.4)
02±r]
Pour démontrer le théorème, il faut voir que le reste de la série dans (6.4), qu’on dénote par
,
ÝlàtV et DuþZ tels que
converge
vers zéro pour tout ß.û ÿ # . Fixons un tel et choisissons

T # WDLÝeÝÊý . Alors pour tout ß 3 on a T # WD T # . Avec ë , une borne supérieure

T # T
T # A Z T D Ý pour ß@3 , l’estimation
de
sur la courbe 3 , et l’inégalité T
A
± ²
du Théorème 2.4 donne
² M
02±r]
W
Z
Ka
D
Z T
ë
D
Ý
3
où 3 ?na'Ý est
] la longueur de la courbe. Ce terme tend donc vers zéro si E|=
converge vers
.
F
(6.5)
et la série
En comparant la série (6.1) avec la série de Taylor du Théorème I.6.3 on obtient une formule
intégrale pour les dérivées d’une fonction holomorphe.
Corollaire 6.2 (formule de Cauchy pour la dérivée) Sous les hypothèses du Théorème 6.1 on a
±
æ è # ?
EHG
a'kª
°]
9
±
o
¯ T # M
(6.6)
Le théorème de Cauchy–Taylor est la dernière pièce dans une théorie qui nous permet de
démontrer l’équivalence de trois proporiétés fondamentales.
39
,
Théorème 6.3 Soit ó ô
+ un ensemble ouvert et
affirmations suivantes sont équivalentes:
4ó
=
,
+ une fonction continue. Les
> °] est holomorphe dans ó , c.-à-d., , + -différentiable dans ó ,
> °] est analytique dans ó , c.-à-d., pour tout #^ßó la fonction peut être développée
en une série convergente dans une disque û ÿ # avec ýàV ,
> °] est localement intégrable, c.-à-d., pour tout #Bß ó il existe un voisinage où £]
possède une primitive.
Si ó estun
°] domaine étoilé, on peut supprimer le mot “localement” dans la troisième propriété,
c.-à-d.,
possède une primitive sur tout ó .
Démonstration. Ce théorème est un résumé des résultats déjà démontrés (voir Fig. II.6). Pour
°]
la
preuve
de
“intégrable
implique
analytique”
on
applique
le
Théorème
6.1
au
primitive
ñ
de
°]
.
intégrable
2
m.
4.
II.
er.
Th
holomorphe
Th
Ex
m.
II.
I.2
5
Thm. I.6.1
6.1
analytique
F IG . II.6: Équivalence de trois propriétés fondamentales
II.7
Théorème fondamental de l’algèbre
Ce théorème affirme que chaque polynôme de degré ãðàÕV possède au moins une (et, après di,
vision, exactement ã ) racine(s) dans + . Suite à la Géométrie de Descartes (1638), ce théorème
a été chaudement discuté pendant des siècles. Plusieurs applications (intégration de fonctions
rationnelles (Joh. Bernoulli 1702), équations différentielles à coefficients constants (Euler 1743),
valeurs propres (Lagrange 1770)) ont toujours réactualisé le problème et conduit à plusieurs tentatives de démonstration. Finalement, Gauss (1799) a consacré toute sa thèse à 4 démonstrations de
ce “Grundlehrsatz”. Une revue sur une centaine de démonstrations (correctes et fausses) à travers
l’histoire par E. Netto et R. Le Vavasseur se trouve dans Encycl. des Sc. Mathématiques T. I, vol. 2,
p. 189–205, et vaut la peine d’être consultée.
La démonstration est basée sur les inégalités de Cauchy et sur le Théorème de Liouville,
qui sont des conséquences simples de la formule (6.6). Le fait que le théorème fondamental de
l’algèbre devienne ici un “jeu d’enfants” de quelques lignes, nous montre une fois de plus la puissance de la théorie que nous venons de découvrir.
£]
holomorphe dans le disque û ÿ # . Avec la notaThéorème
Soit
de
7.1 (inégalités
Cauchy)

?
?

tion ë Ý 4h?L on a pour V^BÝweý l’estimation
@
z æ± è
# W
EHG
²
Ý
ë± Ý
o
(7.1)
Démonstration. On obtient ces estimations
en appliquant l’estimation “standard” du Théorème 2.4
à l’intégrale dans (6.6) et en utilisant 3 ?áaKkÝ pour le cercle de rayon Ý .
40
Le Théorème de Liouville est devenu célèbre après la publication de “Leçons ... faites en 1847
par M. J. Liouville” dans le Crelle Journal 88, (1879), p. 277, par C.W. Borchardt. Cependant le
théorème a déjà été publié en1844
°] par Cauchy.
,
entière si elle est holomorphe sur tout le plan complexe + . Des
On appelle une fonction
]
°] GhH °]
,
,
.
exemples sont les polynômes, les fonctions 'PI)
CKDFE
E
Théorème 7.2 (Théorème de Liouville) Chaque fonction entière et bornée est constante.
£]
Démonstration. Par le Théorème
de Cauchy–Taylor
une fonction entière ±
peut être écrite
£]
1 1 Qáo;o;o avec coefficients 7 donnés par (6.2).
±
sous la forme d’une
série
?
7
¨
$
}
Q
"
7
M
.
Q
7
±
æ è V \JEHG , l’inégalité de Cauchy (Théorème 7.1) implique que
Comme 7 ?
±
7
W
ë
Ý
pour tout Ý@àV . Si on fait tendre Ý@=
±
de Ý ), on arrive à 7 ?}V pour EKA[Z .
±Ý
F
E?áVb&bZ'&'aF&;o;o;o
pour
Ý est majorée par ë $ indépendant
(par hypothèse ë
² ®
]
WL"!
pour
La même preuve
montre aussi
² ® que si une fonction entière satisfait
= F (donc ë Ý WM"! Ý ), alors la fonction est un polynôme de degré au plus ã .
Théorème 7.3 (Théorème Fondamental de l’Algèbre) Pour chaque polynôme
N
?á7
®r
®
®
QY7 z M
,
]
?}V .
il existe un ßâ+ avec N
®
z M QYo;o;oQY7$
avec 7
,
ßâ+
et 7
®
?á
ä V
(7.2)
® ® M
T
?
7 z M z T ;o o;o T 7$ donne
Démonstration. L’inégalité de triangle appliquée à 7
®

®
N °]

² ®
7 z M
7® $
T
AYÝ
7
Qmo;o'o]Q
?BÝo
pour
(7.3)
Ý
Ý®
°]
®

Ceci implique l’existence d’un Ý$«àáV tel que N
AYÝ
7 \a pour
?B
Ý AYÝ$ .
]O
La démonstration du théorème est par l’absurde. Supposons que N
n’ait pas de racine
,
°]
]
N dans + . La fonction
4h?[ZK\
serait donc entière. La minoration précédente de N
montre
alors que
°]
,

W
®" ®
±
a
® ®
7 Ý
pour
]
N

?YÝPAYÝ$o
(7.4)
°]
W Ý$; , la fonction
Par compacité de ß©+ est donc bornée partout (cf. [HW, p. 289]).
£]
Cela contredit le Théorème de Liouville, car
n’est pas constante.
]
Si M est une racine de N
?áV , on peut diviser N
par T M (algorithme d’Euclide) et on
°
°]
N ]
T
B
B
?
M
ã T Z . EnRappliquant
obtient
où
est un polynôme de degré
itérativement
²
²!
®"
N °]
T M o;o;o
T
?
le Théorème 7.3 on arrive finalement à une factorisation
.
II.8
Principe du maximum
On doit ce théorème à Riemann [1851, p. 22] pour les fonctions harmoniques. D’après [Remmert
1991, p. 259], l’auteur de ce résultat important, pour le cas des fonctions holomorphes, est inconnu.
Les premières traces semblent être un article de Schottky (1892) et de Carathéodory (1912).
]
Lemme 8.1 Soit £]holomorphe

°]dans un ouvert ó , continue dans ó . Si un point # ß_ó
maximum local de
, alors
est constante dans un voisinage de # .
est un
Ý
41
#
ë
#
ë
rotation et
translation
F IG . II.7: Démonstration du Lemme 8.1

Démonstration. Si # ? V , le lemme
est évident. Sinon,
?
# . D’après
J posons ë
°]
Wðë pour
l’hypothèse, il existe Ýà V tel que
?}#RQÝøÞ , VùWY(2W}a' . Regardons l’image
T 5 ? T JS
de cette courbe placée dans le disque
fermé
RQ
û
V
.
Avec
une
rotation
par
l’angle
#

£ §
T
# , nous ramenons le point # surUT l’axe
suivie d’une translation par
réel
J et ensuite
£ à
T
#6Q¬ÝrÞ
# ou
l’origine.
la courbe est donnée par A ( ?.Þ z
UAprès
T cette transformation
£
A ( ?.Þ z
#ÇQ¬ÝrÞ J T
# . Par la propriété de la moyenne (formule (5.4)) nous avons
1På
$
!
A ( c
( ?áVbo
(8.1)
La courbe A ( étant dans û>Q T ë , nous avons Re A ( V sauf si A ( ? V . La continuité de
5.5]). Mais le seul
A ( et (8.1) impliquent que Re A ( ? V pour tout ( (cf. [HW, p. 233, exercice
point,
°] où le cercle en question touche
l’axe imaginaire,
b est V . Ainsi A ( ?nV pour ( ßö58VF&'a'< et
est constante sur le bord de ûV@ # . Le facteur
peut donc sortir de l’intégrale (5.1), ce qui
°]
entraı̂ne que
est constante partout dans ce cercle.
,
Rappelons qu’un ensemble ódô + s’appelle connexe (plus précisement connexe par arcs) si
pour
deux points
arbitraires 7"&': ßdó il existe un chemin continu 3 45gVb&bZL<= ó dans ó avec
3 V ?}7 et 3 Z ?}: .
ouvert,
Théorème 8.2 (Principe du Maximum, Fonctions Holomorphes) Soit ó un ensemble
£]
°]
borné
et connexe, et soit
holomorphe dans ó et continue dans ó . Si
W ë pour
ßWÛó , alors

áë
ßòó
pour tout
(8.2)
sauf si
°]
?X"! dans ó .

) Démonstration. Soit ëY÷w?
. Si les seuls points maximaux sont sur !ó , alors
EZY ì [
ëY÷W ë et les autres points
satisfont (8.2). Sinon, il existe #ßúó (notons que ó est ouvert et
ä
!ó ) avec
donc #eß\
consiste à regarder l’ensemble
# ? ëY÷ . Le clou de la démonstration
]
]
]
), fermé dans ó (Théorème de Hausdorff
?ð ßòó
?
# , qui est non vide (car #ß
[HW97, p. 295]), et ouvert (Lemme 8.1).
°]
]
Pour montrer que ? ó , ce qui complète la démonstration par la continuité de
sur ó ,
nous prenons un point :^ß_ó et un chemin continue 3Ê4`58Vb&FZK<R= ó qui relie # avec : (ce chemin
]
existe
car
est
connexe).
Considérons
le
nombre
car
ó
P
(
$
I
4
?
)!'( ßú58Vb&FZK< 3 ( ß
. Il existe
]
]
]
]
E^Y
, on a 3 (P$ ß
car est férmé,
et
ne
peut
pas
être
plus
petit
que
car
est
3 V ?t7@ß
P
(
$
Z
]
ouvert. Par conséquent (P$«? Z et on a :c?Y3 Z ß
.
42
Dans les démonstrations du Lemme 8.1 et du Théorème 8.2 on n’a pas vraiement utilisé
]
. On a seulement utilisé la propriété de la moyenne (qui est satisfaite par les
l’holomorphie de
fonctions holomorphes, mais aussi par leurs
parties réelles et imaginaires).
Rappelons qu’une fonction réelle _ )6&* s’appelle harmonique (voir le Théorème I.4.3) si elle
/0
est deux fois continûment -différentiable et si `_?<_Iaa2Qb_*cdc?V .
Théorème 8.3 (Principe du
Fonctions Harmoniques) Soit ó un ensemble
Maximum,
ouvert,
borné et connexe,
et
soit
harmonique
dans
et
continue
dans
.
Si
_ )6&*
ó
ó
e
f_ )6&*
W
W ë
d
pour )6&* ß8!ó , alors
sauf si _ )6&%*
e
g_ 6
) &%* áë
pour tout
?("! dans ó .
)6&*
ßêó
(8.3)
Démonstration. Par le Lemme 8.4, la fonction harmonique _ )6&* est localement la partie réelle
d’une fonction holomorphe. Donc, elle satisfait la propriété de la moyenne. Avec cette observation
les démonstrations deviennent identiques à celles du Lemme 8.1 et du Théorème 8.2. Comme la
fonction _ )6&* est réelle, on n’est pas obligé de travailler avec la valeur absolue et on obtient les
majorations dans les deux directions.
,
Lemme 8.4 Une fonction qui est harmonique sur un domaine ó ô + , est localement la partie
réelle d’une fonction holomorphe. En conséquence, chaque fonction harmonique est infiniment
différentiable.
Démonstration. Soit _ )6&* deux fois continûment différentiable satisfaisant _IaaXQ2_Icdc¬?©V
sur ó . On vérifie facilement que la fonction
£]
4h?g_Ia 6
) &* T ª_*c
satisfait les équations de Cauchy–Riemann ( _Ia a? T _*c c et
?
£
)³Qlª¢*
)6&*
T
_Ic a?
T
(8.4)
_Ia c ). Elle est donc
holomorphe par le Corollaire I.3.3, et localement intégrable par le Théorème°]4.2
de Cauchy. Dans
un disque autour d’un point fixé #^?d7 Q ª: il existe alors une primitive ñ
qui est donnée par
]
£b!
ñ
?.ñ # Q ¯
où 3 est une courbe arbitraire dans le disque qui rélie # avec . Prenons
comme 3 le chemin composé par les segments 587Q¬ªN:L&%)³Q¬ªN:< et 5 )¹Q¬ªN:L&%)³Q¬ª*i< . On a donc
a
# Q _Ia (L&;:
? ñ # Qb_ 6
) &;: T _
et on voit qu’avec le choix ñ #
c
T ªh_Ic (L&;:
(fQ _Ia )6&( T ªh_Ic )6&%( ª (
c
a
!
T
T
79&;: Qi_ )6&*
_ )6&;: Q¬ª
_Ia )6&( (
_*c
? _ 79&;: °]de
j
la constante d’intégration, la fonction _
partie réelle de la fonction holomorphe ñ
.
ñ
]
?
ñ
Remarque (interprétation physique des fonctions harmoniques). Considérons une membrane / élastique
at0 O
tachée à un fil de fer (courbe fermée dans
). La surface de la membrane
est décrite
/ 021 par une fonction
harmonique _ )6&* dans óöô
qui pour )6&* ßkÛó
décrit la courbe du fil de fer. Cette interprétation nous
permet de bien comprendre le principe du maximum.
Le dessin de droite montre la partie réelle de la
l
fonction holomorphe
au-dessus du carrée
?
T Z¨WY)W[Z'& T ZWm*WdZ .
(L&;:
)6&*
!
(
est la
II.9
43
Prolongement analytique et “open mapping theorem”
Le théorème d’unicité, posé comme “Exercice” par Abel dans le Crelle Journal, vol. 2, p. 286, a
été postulé pour les fonctions holomorphes sans preuve rigoureuse par Riemann [1851, p. 28]. La
démonstration facile suivante démontre, une fois de plus, la grande utilité des séries entières.
°]
1
Théorème 9.1 (unicité) Soient M
deux fonctions holomorphes dans un ouvert ó et
m
°mL
et m
soit M
pour une suite M& 1 & O]&; o'o;o , qui
converge
vers
et
qui
satisfait
? 1
X
#

ß
ó
ä #
?n
1
pour tout n . Alors, il existe ýà V tel que M
et
sont identiques dans le disque û ÿ # .
Démonstration. D’après le Théorème 6.1, les deux fonctions sont analytiques dans un voisinage
de # . Après une translation, nous supposons que #`?}V et nous considérons la différence
° ]
°]
1
O
T 1
(9.1)
M
?á7$cQY7M Qm7 1 Qm7O Qmo'o;o`o
±
Nous devons
démontrer
que
7
?ðV pour tout E . Supposons, par l’absurde, que ceci n’est pas vrai
±
et soit 7 le premier coefficient non nul. Alors
±
°]
² ]
]
±
± ± 1
± O
T
1
où
(9.2)
M
?
A
A
?}7 QY7 M Qm7 1 Qm7 O QYo;o;o`o
]
On voit que A V ?á
de V où A
ä V . Comme A m est continue, il existe un° voisinage
?}
ä V . Ceci est
m
une contradiction, car la suite converge vers #2?}V et A
?V pour tout n .
Le prolongement analytique est un principe, “vu” par Riemann, qui est devenu un point central
de la théorie de Weierstrass. Il permet, entre autres, d’étendre le théorème de l’unicité à tout le
domaine ó .
]
]
1
Théorème 9.2 (prolongement analytique) Soient M
holomorphe dans
l’ouvert
]
óU
° ]M et
1
1
? 1
holomorphe
dans un
dans l’ouvert ó . Si l’intersection óUMpo¬ó est connexe et si M
1
disque û ÿ # ô.ócMqo@ó , alors (voir Fig. II.8)
° ]
M
?
° ]
1
pour tout
ßêócMqoó 1 o
(9.3)
1
Soit : un point quelconque de
óUM.oYó . Par connexité, il existe un chemin
3 465gVb&bZK<Û= óUMqoó 1 reliant # avec : , c.-à-d., 3 V ?ð# et 3 Z ?}: . Comme
dans la démonstration
1
ßð58Vb &%(< . Un
du Théorème 8.2 nous
] posons
(P $X4h? E^Y )! ' ( ß}58Vb&FZK< M 3 ? °] 3 °]pour
tel

1
T 1
(P $w à V existe
M
?
û
ÿ
#
M
M
3
P
(
$
?
car
sur
.
La
continuité
de
implique
1 3 (P$ , et grace au Théorème 9.1 le nombre (P$ ne peut pas être plus petit que Z . Par conséquent,
(P$¨?[Z et on a M : ? 1 : .
Démonstration.
óUMqoó 1
ý
#
ó 1
ócM
F IG . II.8: Prolongement analytique; à droite une illustration du cours de Riemann
44
°]
donnée par une
Une situation typique du prolongement analytique est la suivante: soit
£]
1
O
série dans
un
disque
^
û
ÿ
V
;
par
exemple,
Õ
?

Z
Q
Q
Q
Q
'
o
;
o
o
.
Nous
prenons
un point
°]
#|ßtû ÿ V et nous considérons
de
autour de ce point (voir
la
série de Taylor
devéloppée
1
T
1
T
le Théorème I.6.3). La série
? #%$«Q}#KM
# Q.#
# Q.o'o;o ainsi obtenue converge

il
est
possible
que
le rayon de convergence de la
certainement pour T # þý T # . Mais,

T
# et converge donc dans un domaine plus grand. Pour la
nouvelle série soit plus grand que ý
fonction de notre exemple et avec # ? T Vbosr , la nouvelle série possède un rayon de concergence
ý³? Z'otr .
]
a été prolongée en dehors du disque initial, et ceci de manière unique. Ce
La fonction
procédé peut être répété plusieurs fois et permet de remplir un domaine de plus en plus grand,
jusqu’à arriver, éventuellement, à un bord naturel. L’unicité est garantie seulement si l’intersection
du domaine ócM où la fonction est déjà définie avec le nouveau disque est connexe (un contreexemple est le logarithme après un contour de l’origine). Voir la Fig. II.8 pour un dessin historique
illustrant ce phenomène.
Exemple 9.3 (fonction sans prolongement) Il existe des fonctions qui convergent dans un disque
et qui ne permettent aucun prolongement en dehors de ce disque. L’exemple le plus simple est
£]
?
Q
1
Q
s
Q
u
Ml
Q
-
QYo;o;où? ±
$
1&v
(9.4)
Uw
ayant un rayon de convergence ý³?[Z . Évalué en ÝøÞ avec
Ýw Z proche de Z , cette série donne pour la partie réelle
(la
figure montre la partie réelle au-dessus du disque ûM V )
x
x
x
?
å
x
?
Oå å
s & s &Jy s
å
1
? V^4
á
?Y¬4
Oå
& 1 4
å
&z s 4
1
QÊÝ s ¬
Q Ý
s
T Ý Q Ý 1 Ê
Q Ý ¬
Q Ý
1
s
T Ý Ê
V
Q Ý ¬
Q Ý

s
Ý \ a¬QV T Ý Q¬Ý
r
Ý
Q Ý
u
u
u
u
Q¬Ý
Q Ý
¬
Q Ý
¬
QlÝ
M l QYo;o;o
M l QYo;o;o
M l QYo;o;o
M l Qmo'o;o
±|{F®
1
v
etc. À part
un nombre fini de termes, la série devient A Ý ?
et pour Ýú Z on a
1 Ý
¦G ,
1
A Ý ? Ý
QBA Ý . Cette relation montre
que la limite >@ M]A Ý ne peut pas être finie et on
ne peut donc pas prolonger la fonction
en dehors du disque ûM V . Il paraı̂t paradoxal que
surtout les séries convergeant très vite ont cette propriété.
Le théorème suivant montre que pour une fonction holomorphe l’image d’un ensemble ouvert
est ouvert (on dit que l’application est ouverte). Cette propriété topologique a été découverte dans
un cadre plus général par L.E.J. Brouwer dans les années 1910, et démontrée de façon élémentaire
par Stoı̈low (1938) et H. Cartan.
/ 021
/ 0`1
Pour mieux comprendre cette propriété, étudions d’abord la fonction 4
=
de la
/0
Près
Fig. II.9 (voir aussi
[HW, p. 295])
qui est infiniment -différentiable mais pas holomorphe.
)fM&*jM où la matrice jacobienne est inversible,
de chaque point Me?
l’application
est
un
difféomorphisme local. Par conséquent, pour tout voisinage } de M l’image } est un voisinage
£ M . Examinons alors les points où la matrice jacobienne est singulière : ces points
de
forment
$ sur cette
une courbe2 , le long de laquelle cette application
forme
un
“pli”.
Si
on
choisit
un
point
courbe, l’image d’un disque ó centré en $ sera plié à cet endroit, et ne sera pas ouverte.
2
Pour l’exemple de la Fig. II.9 cette courbe est donnée par la formule ~ùÃ@Ëq&|0
ÒKÒLÎ;Ë*³ÒFÎ
45

*
1
−1
)
1
M
1
£
ó
F IG . II.9: Contre-exemple : _@?Y) Q
c
1 &

}
?
ó
1
_
−1
O )³QBa * O T 1 ) Q.Z * Q
Théorème 9.4 (“open mapping theorem”) Soit ó un ouvert et
est nulle part localement constante. Alors pour chaque ouvert }
(on dit que est une “application ouverte”).
−1
M
$
−1
}
£ $

£]
a
s
une fonctionholomorphe
qui
ó l’image } est ouverte
ô
Démonstration. Soit }þô ó et Mß} un point avec ÷ £M ? ä V . La fonction est localement
biholomorphe près de M (Corollaire I.7.7) et par conséquent
M
est un point intérieur de } .
Il reste à°]considérer
les points $ ß} avec ÷ $ ?nV . Par le Théorème 9.1 ces points £sont
]
±
isolés, car
n’est pas localement constante.
Dans un voisinage d’un tel point, la fonction
s’enroule, similairement
à la fonction , que nous
étudié dans le Chapitre I (voir Fig. I.5).
° avons
$ (voir Fig. II.10) et est donc ouvert.
L’ensemble } contourne totalement le point

*

1
M
−1
1
° M
$
1
)
−1
1
−1
_
−1
F IG . II.10: Illustration de¥ la preuve du Théorème 9.4,
$¨?}Vbop¤¨QBVbopS'ª , M? T Vbo B
Q VbotKª .
?
;
T
Q.Vbos
Z Q_ª
1
$ T
utilise les séries : après des translations, nous supposons $?
° La
preuve rigoureuse
±
£]
$ ?}V . Soit 7 (EKA}a ) le premier terme non nul de la série pour
:
V et
±
±
± M
±] '1
(9.5)
QY7 M
Qmo'o;oø?}7
Z£QY:KM Qm: 1 Qmo'o;o o

1
1
±
1
Qo'o;o
Pour
suffisamment petit, ZQ:LM Q: 1 ]Q_
o'o;o peut être écrite comme ZQ#KM Q#
(utiliser la série binomiale) et la fonction
de (9.5) devient
±
±
±ø
1

±ø °]
?}7
ZQm#KM QY# 1 QYo;o;o
?á7 A
o
(9.6)
±
°]
°]
La fonction
est donc la composition d’une fonction biholomorphe A
et de la fonction

bien connue. Notre inspiration
géométrique
est
donc
vérifiée
et
chaque
point
proche
de
$ ?}V
£]
possède E préimages de
qui sont proche de $ .
°]
?}7
±]
±
VbopS ;
46
II.10 Exercices
1
1g
Rg |¡
1. Considérons le demi-disque *h
. Donner un chemin continûment différentiable
par morceaux qui décrit le bord de cet ensemble.
2. Donner deux paramétrisations équivalentes mais différentes de l’ellipse
1
/h * 1
1
1

3. Démontrer en détail que la longueur d’une courbe est indépendente de la paramétrisation (considérer
des chemins qui sont continûment différentiables par morceaux).

©¨^ª

. Dessiner
4. Calculer la longueur d’arc de la cycloı̈de i Ê Ú>¢£ ¤ X Ú¦¥h§|¢ pout cette courbe.

1
p®i¯ | ^ °

1

5. Intégrer la fonction « ¬ © sur les deux chemins M (pour
) et 1 ®i¯ | ^°
(aussi pour
) ainsi que sur le chemin M Ú¹ 1 .
1
Faire le même calcul pour la fonction « ¬ ± ¬²± .
6. Soit ³²´ le bord (avec une paramétrisation qui est continûment différentiable et orientée positivement)
¸
d’un ensemble compact ´µ·¶ . Son aire est donné par

aire ´ ¨
¬2º¬
×&¹
(10.1)
Démontrer ce résultat d’abord pour un triangle et ensuite pour une union finie de triangles (par exemple, un rectangle).
7. À l’aide de la formule (10.1) calculer
©¨^ª
½¼H¢£ ¤

(pour ) où »ø ¨
M
Quel aire représente l’inégrale z
º¬

®i¯ | ¨^ª°
avec i W J pour
, montrer que
8. En vous aidant du calcul de ¯ ¬l
1På
$
»ø J

l’aire de l’ensemble fini limité par la courbe i 2

. Faire un dessin.
¯ ¨^ª°
¯ ¬2"¬ si l’on intègre sut tout l’intervalle |
.
¥h§|¢
g ¨ ¾
¥h§|¢ 1

± ¿±À
pour
Û
®ÂÁ Ã
M
Indication. Montrer que « ¬ Ê¬l
z possède une primitive sur le disque Ä ÿ avec »ù± ± .
9. En utilisant les techniques familières pour le calcul dans
¬ ¶
¬

¬
ÁÃ
1
, calculer les primitives pour:
¢£ ¤ÆÅ$¬
1
O
10. Si est l’arc de courbe de l’équation | Ú©¼ ÇÅ¹Ú
trouver la valeur de
|¨ ¬
¯
11. En évaluant ¯ º¬ sur le cercle ± ¬²±
1På
$
ÉÈÊËJ¥h§|¢'

1 ¦ÅZ¬

¨
joignant les points et ¼ ,
"¬ , montrer que
¦¢£ ¤ ©
1På
et
$
dÈÌÊËJ¢£ ¤
¦¢£ ¤ ©
M
12. En utilisant la formule de Cauchy pour l’intégrale ¯ ¬ z "¬ où et le contour d’une ellipse, montrer
la formule
^¨ ª
1På

$
1
¥h§|¢
1 l 1
¢£ ¤
1 Calcul intégral et la théorie de Cauchy
47
13. En s’inspirant du calcul des intégrales de Fresnel (Exemple 4.3) démontrer que
-
$
®ÂÁ Ã
14. Pour Ð Ñ
, Ð g et Ò -
$

z Óa
ª
æ F ¶ ¶
z M è J ÎÍ

¥h§|¢'Ñ
Í
Ð
³ÔÍ
¨
Ú
1

1 ½Ñ 1
démontrer que
ª
Ò Ð
¨
Ò
-
et
1
Indication. Utiliser la substitution ³
pour
®ÏÁ Ã
¢£ ¤Ñ

z Óa
$
avec
Í
± ± ©
ÔÍ
ª
Ò
Ò
Ú
¨
Ð
dans l’intégrale de l’exercice 13.
® °
¯
15. Soit | $Õ MÕ Õ Ê
une subdivision de l’intervalle º et notons
Ö ® ¬ Ø× Ê¬UÚ³ $ ¬cÚ¹ MN ¬Ú ® °
¯
Considérons une courbe fermée autour du segment º , orientée positivement, et satisfaisant les
conditions pour pouvoir appliquer la formule de Cauchy. Pour une fonction « ¬ qui est holomorphe
dans l’intérieur de la courbe et dans un voisinage de la courbe, démontrer que
® ×
q
« ¬

¯ ¬Ú³
® ±
qui satisfait Ð Ð
¨^ª
Ö
est un polynôme de degré Ù
polation; voir le cours “Analyse Numérique”).
«
® ¬ ¦
®
Ú Ö "¬
®
Ö ¬
± pour Ú |

Ù
(polynôme d’inter-

g¨^ª

avec Õ Ò Õ » . Calculer
16. Soit « ¬ holomorphe dans Ä ÿ et soit i Ò J , Ù
Ù
¯ ÙcÚ ÙcÚ
en dépendance de la position de et par rapport au cercle .
¸
¸
®
17. Soit ÛCµÎ¶ ouvert et Ü
Û . Si « × ÛCÜ
¶ est continue dans Û et holomorphe dans ÛiÝÞ Üß¡ , alors
« ¬ est holomorphe dans tout Û .
¸
× . ¬Ú Ü « ¬ est ¶ -différentiable en Ü et donc aussi
Indication. Démontrer que la fonction à ¬ 0
dans Û . Appliquer ensuite le Théorème 6.1 à la fonction à ¬ .

18. Soit « ¬ holomorphe dans Ä ÿ avec »áÀ
. Calculer les intégrales

¬
¨ãâ
«
¬
¬
"
¬
¬
¯
J
®i¯ | ¨^ª°
p
avec i ©
pour
de deux manières différentes et en déduire les formules

1På
1På
J ¥h§|¢ 1 ä ¨ « ÷
J
1 ä ¨ Ú « ÷

et
ª
«
«
¨
ª
« ¢£ ¤
«
¨
$
$
±
«
19. Les nombres de Bernoulli å
¬
Ú

sont les coefficients de la série
å
$ å
|æ
M
¬ å
1 ¬1 å
¨|æ
O ¬O å
¼ æ
s ¬s £
Å æ
(10.2)
En utilisant le Théorème de Cauchy–Taylor et le résultat de l’exercice 17, démontrer que le rayon de
¨^ª
convergence de cette série est »
.
20. Démontrer que la fonction
«
¬ ¬
Ú

¨
1
½
¬
ä Å ª
1
ª
est holomorphe dans le disque Ä ÿ avec » çÅ . En déduire que les nombres de Bernoulli satisfont
pour ÚVÜéè ,
±ëê Ú ± M ¨ Ú æ ±
1
å

¨^ª

1 48
21. Différentiation numérique d’une fonction holomorphe. Si « ¬ est holomorphe dans le disque Ä ÿ Ü
et si Õ Ò Õ » , on a que
«
æ ± è Ü
¨^ª
æ
Ú
Ò
1På
±
«
$
Ük

Ò
J
± Jb
z

Démontrer que l’approximation numérique
«
æ ± è Ü

donne le résultat exact si
ê
ì
1
22. Pour la fonction « ¬ ©¬
æ
Ú
ì
Ò
z M
m
$
±
Ük
«

Ò
îJ í
± Jîí
z
avec
m ¨^ªï
ì
Ú et si « ¬
½¬UÚ
ì
est un polynôme de degré Õ Ú .
calculer le maximum de ± « ¬ ± dans le disque
À
± ¬²± ©
.
23. Considérons la fraction rationnelle
Ã ¬
M ¬
O
Ú 1 ¬ l M ¬ 1 O

En appliquant le principe du maximum sur un demi-disque ¬ Re ¬
grand, démontrer que
± Ã ¬ ± ©
pour
Re ¬

|¾± ¬²±
Ã ¡
avec un
Ã
très

Ò Õ » , on définit
24. Soit « ¬ holomorphe dans Ä ÿ . Pour ð
Ò q× gñVò^ó
± « ¬

± ± ¬²±;
Ò
Ò est continue et croissante. Elle est strictement croissante si et
Montrer que la fonction ÒõôÜ

¬
seulement si « n’est pas une constante.
ð
25. Soit « ¬ une fonction holomorphe dans le disque Ä M . Montrer qu’il existe un entier positif Ù tel
ä
ä ¨
.
que « Ù Þ ö
Ù
26. Sur le disque Ä M considérons la fonction définie par la série
-
«
1
¬ ± Ú
$
¬
±
Déterminer le domaine maximal où « ¬ peut être prolongée comme fonction analytique. Donner la
¨
valeur de « de ce prolongement.

½¬Ub¬ 1 b¬ O M
Indication. En dérivant l’identité Ú½¬ z deux fois, essayer d’exprimer

¬
la fonction « comme fraction rationnelle.
1
¨
27. Soit « ¬ ©¬ ÚÇ¼|¬c . Calculer explicitement les images « Û pour les disques ouverts
Û
$ ÷
Ä
y

et
Û
Ä

M ø Montrer dans chacun des cas que « Û est ouvert.
1
Indication. Ecrire « ¬ sous la forme ¬UÚlÜ l , et le bord de Û

sous la forme Üõ Ò J .
28. Démontrer le “principe du maximum” à l’aide de l’“open mapping theorem”.
Chapitre III
Singularités et fonctions méromorphes
“Les singularités sont extrêmement importantes car on peut en tirer quelque chose en analyse
complexe, cette branche des mathématiques qui étudie les fonctions définies sur un domaine
du plan complexe ”
(www.techno-science.net, Astrophysique)
Des fonctions reélles avec des singularités nous sont familières (cours Analyse I), par exemple,
, , , etc. Pour des fonctions complexes, l’étude des singularités est très
différente et on peut obtenir des classifications intéressantes qui ne sont pas possibles dans le
cas réel. Les singularités jouent un rôle important dans le calcul des intégrales (résidus).
III.1 Le point à l’infini et la sphère de Riemann
Dans le cas réel, il est fréquent de “compactifier” l’axe en ajoutant un point et un deuxième
point ; en géométrie projective, on introduit une “droite à l’infini”. En analyse complexe, il
est plus naturel de considérer tout l’infini comme un seul point.
Une première motivation pour cette convention sont les fonctions rationnelles comme
, la
transformation de Cayley (I.2.7) ou celle de Joukovski (I.2.10). On voit, par exemple, en Fig. I.6,
que les deux “taches blanches”, représentant l’extérieur de la figure d’à côté, se rapetissent au
point , si l’on imagine que l’extérieur s’agrandit à l’infini. Donc, le “point ” correspond au
“point ” par cette application.
Une deuxième motivation est fournie par la projection stéréographique (Fig. III.1), qui projette
une sphère à partir du “pôle nord” sur un plan parallèle à l’équateur. Elle est bijective entre
le plan et la sphère, sans le point . Ce point correspond justement au “point ” du plan. Cette
"!$#
identification de "% avec une sphère est connue sous le nom sphère de Riemann.
(*)
(
&
(,+
(,'
F IG . III.1: Projection stéréographique
50
On sait depuis l’Antiquité (Hipparchus, Ptolemaios) que cette projection préserve les cercles
(cours Géométrie I, voir aussi Fig. III.1). Spécialement intéressant en analyse complexe est le fait
(connu depuis le 17ème siècle, Halley 1696) que la projection stéréographique & préserve
les angles,
traverse le plan
c.-à-d., elle
est conforme. Cela est dû au fait que chaque rayon de projection & '
' sous
le
même
angle
que
le
plan
de
projection
(voir
Fig.
III.1,
à droite: on a
tangent
(,+
' (.) (/(*) (
(
(,+ (/, car
est parallèle au plan tangent à , puis
et
, donc
).
Les propriétés d’un point complexe ou d’une fonction complexe en un point peuvent être
102
3
étendues au point à l’aide de l’application
qui envoie au point 4 .
# 5
C’est ainsi qu’on peut définir qu’une suite
% converge vers le point , c.-à-d.,
6
598;
7 :
5 "<
(1.1)
# 5
35
% converge vers 4 , c.-à-d., si pour tout =?>@4 il existe A tel que B
BDC = pour
si la suite
EGF
EKF
5
A (ou, en posant H
= , si pour tout HI>I4 il existe A telque B B>JH pour
A ).
La suite sur la sphère de Riemann qui correspond à une telle suite dans , converge vers
le
pôle
nord . Par exemple, la suite 43<L<9NMO<9NPLQ<RO<SLQ<9NTO<9 NUL<V3<9W9W9W converge vers dans . La suite
, M , NP , R , NSO<9WW9W converge aussi vers dans , mais elle ne converge pas dans X H .
4 ,
Si une fonction complexe YZ est définie pour B B3>[H , on dénote
Z] YZ\
6 8_:
^ 7
Y`
6
5a8_
7 :
5b
YZ
pour
# 5
%
5 6
5a8_
7 :
satisfaisant
# 5
% . Avec cette notation on peut définir qu’une
si cette limite existe et ne depend pas de la suite
e] fonction YZ est holomorphe (analytique)
au
point
est holo , si la fonction YZdc
YZ
c
3
morphe (analytique) au point c
pour laquelle YZfc c est alors
4 . La fonction YZ
holomorphe en . La fonction de Cayley YZ
satisfait YZ\
et elle est
holomorphe en car la fonction YZdc
est holomorphe en c
Y`
c
gc
Gc
4 .
III.2 Le développement de Laurent
“L’extension donnée par M. Laurent nous paraı̂t digne de remarque.”
(Cauchy 1843, voir Remmert 1991)
Si une fonction holomorphe tend vers l’infini ou cesse d’être holomorphe dans une région, on peut
néanmoins sauver la série entière, à condition d’admettre aussi des puissances négatives. Cette
extension a été présentée par P.A. Laurent (1813-1854, ingénieur de l’armée) à Cauchy, qui en a
parlé à l’Académie (voir citation), mais qui ne l’a pas trouvée “digne” de publication.
une fonction holomorphe dans un ouvert
qui contient la couronne circuThéorème
2.1nSoit
YZ
Zhai j
# o qpr
m]
1o Zh9i j
laire
lk
CsB "k3BCut,% . Alors, pour
\k on a
YZ
W9W9Wb
vxw "k où
5 v
vxw
"k
M|}L
:
)
~
vay
v
) zk YZ\ 9
5 )`
<
l"k
E
v "k zWW9W
59{
w
:
W9W9W3zP3<9M3<9
<4O<
E
v
5
<MO<PO<9WW9W
"k
5
(2.1)
(2.2)
est la même
formule que (II.6.2), mais r aussi valable ici pour lesr négatifs. Le chemin d’intégration
o"
est d
sont
admises).
k*q ,
4O<5 M|Z avec
CCt (les valeurs
4 et t
5
r
5 5 5a
5
La série
converge pour B k3B3Cut , et la série
pour B k3B3>
.
k
k
y v
y v
51

)

+
k
k

-
F IG . III.2: Preuve du Théorème de Laurent
Démonstration. Nous suivons de très près les idées de la démonstration du Théorème II.6.1
de
Cauchy–Taylor qui est basée sur la formule inégrale (II.5.1) de Cauchy. Comme la couronne
Zhai j
lk n’est pas un domaine étoilé, on ne peut pas directement appliquer cette formule intégrale.
On est alors obligé de diviser la couronne en plusieurs
parties étoilées (voir la Fig. III.2).
Zhai j
fixé
à
l’intérieur
de
la
couronne
tels
Pour
un
lk nous choisissons b<9G>4 et C
r
que
CJCJ ¡B nk3B} ¢qC£qC£t et nous considérons les chemins ¤f
k¥¦§ ,
) «
¨f
k*©¨ ª et f <W9W9W<
f , dessinés dans la Fig. III.2 pour ¬
S . La formule intégrale de

Cauchy (II.5.1) appliquée au chemin ) , et le Théorème II.4.2 appliqué
aux autres (notons que

02
la fonction
est holomorphe dans l’intérieur de pour ¯?° ) donnent
YZ\
\®
Y`
YZ\
M|}L
±Q²

et
YZl
M|}L
±´³

4
pour ¯
MO<W9W9W<¬
.
(2.3)

En additionant les intégrales sur les , la contribution des segments reliant les cercles et se
simplifie, et on obtient ± ² GW9W9Wb ±¶µ
~· ~¸ . Ainsi
YZ
Y`\
M|L
~· ;
_
M|L
~¸
YZ\
z
xW
(2.4)
La première intégrale dans (2.4) peut être traı̂tée comme dans la preuve du Théorème II.6.1
E$F
4 dans (2.1). Comme l’intégrant des intégrales (2.2) est
et donne naissance aux termes avec
holomorphe dans la couronne, le chemin peut être déplacé librement vers sans changer la
valeur de l’intégrale.
Pour la deuxième intégrale, nous échangeons 1¹
dans (II.6.3), ainsi la série devient conver
gente pour Bº"kBC»B "kB . Cela donne
"
"k
;"k
zk zW9W9W¨
5
l"k a
5 )
"k
5a )
\;"
5a k )
<
"k
z

(2.5)
E
et inséré dans la deuxième intégrale de (2.4) crée les termes avec C 4 . Le reste peut être estimé
de la même manière, car Bº"kB B zkBO nNC
pour se deplaçant sur le chemin .
L’inégalité de Cauchy (voir (7.1))
B
r
v
5
¼
B f5

( CC¦t ) reste valable pour les
E
avec
¼
d
positifs et négatifs.
À ^ 7¾½À ¿ { BºYZ
w3Á
B
(2.6)
52
et cherchons le développement de LauExemple 2.2 Considérons la fonction YZ
rent autour du point k
43WR_©43WTÂL . Pour calculer les coefficients, les formules intégrales (2.2) ne
sont pas toujours pratiques.
On essayera plutôt d’utiliser des séries de Taylor connues.
b La fonction YZ
est holomorphe partout sauf au points Ã_L qui sont à distance
rÅÄ
Ä 4OWfS3T3T et t
WfT3S de k (voir la Fig. III.3). Pour calculer le développement de Laurent dans la
couronne entre ces deux rayons, nous décomposons la fonction en fractions simples,
YZ
ML
qL
W
®L*
(2.7)
On suit la démonstration précédente et on remplace les deux fractions simples par les deux séries
géométriques (2.5) et (II.6.3), une fois avec remplacé par L et l’autre fois par _L , en faisant
attention à la convergence. Ainsi, on obtient pour (2.7)
WW9W
ML
fL.zk + "k
L"k
zk ©k
La valeur absolue de cette série tronquée (M3R E
®L."k
M3R
"k + zW9WW
l_L.zk
"k
l_L.zk W
) peut être admirée en Fig. III.3.
2
1
k
−1
1
2
−1
F IG . III.3: Domaine et module de ÃNM3R termes d’une série de Laurent pour
.
III.3 Singularités isolées
Si une fonction YZ
est holomorphe dans un disque épointé (tÆ>[4 )
ÇÆj È
\k
Z] n# o
Ép
4C»B "kBCut,%
Ç j
lk
Ê #
k%O<
(3.1)
nous appelons k une singularité isolée. Le but de ce paragraphe est de classifier les singularités
isolées et d’étudier les fonctions holomorphes proches
de leursrËsingularités
isolées.
Zh9i j
Ç Èj
Le disque épointé
lk est une couronne
lk avec
4 . On peut donc appliquer le
Théorème 2.1 et considérer le développement de Laurent
YZ
pour
o
Ç
Èj
WW9Wb
\k
vxw "k :
)
vxw
"k
vay
v
) "k v "k zW9W9W
5a{
:
w
. On distingue les trois possibilités suivantes:
5 E
1. singularité supprimable, si
4 pour tout CÌ4 ;
E
5 v
2. pôle d’ordre Î
Í
>[4 , si
4 pour C[®Í , mais
° 4 );
v
vxw3ÏE
5
3. singularité essentielle, si un nombre infini de avec C[4 sont non nuls.
v
v
5
"k
5
53
1) Singularités supprimables
Une singularité supprimable s’appelle aussi singularité virtuelle. Comme le théorème suivant nous
montre, il ne s’agit pas d’une vraie singularité.
Ç
Èj
Théorème 3.1 Soit YZ holomorphe dans un disque épointé
\ k . Les propositions suivantes
sont équivalentes:
1. YZ possède une singularité supprimable en k ;
Ç j
\k ;
2. YZ se prolonge holomorphiquement au disque entier
6
8
Y`
3. la limite 7 ^
existe dans ;
Á
4. YZ est bornée au voisinage de k .
mÐ
Z] lM suit du développement de Laurent en posant YZ\k
Démonstration. L’implication .
vy
La condition (2) entraı̂ne (3), car chaque fonction holomorphe est continue. L’existence de la limite
6
8
implique que pour tout dans un voisinage de k la valeur de YZ est proche de
7 ^
Y`
o Á
m
Ð
v
, donc lP
ÑR .
¼
¼
ÒÐ
Ò] v
Il reste à démontrer lR
dans un voisinage de k , alors
. Si BÓYZ
BÔ d
2
y
À { BÓYZ B ¼
. Par conséquent, les inégalités de Cauchy (2.6), pour
7¾½¿ À ^
4 , montrent
E y
5 w3Á
que
4 pour tout CÕ4 . Ainsi, le développement de Laurent devient une série entière.
v
2) Pôles
b
Si YZ possède un pôle d’ordre Í en k , on peut mettre en évidence le facteur développement de Laurent et on obtient
YZ
"k
w3Ï
vxw3Ï
vxw3Ï
) "k
vxw3Ï
Ç
Èj
zk zW9W9W W
Ìk
w3Ï
dans le
(3.2)
\k . Les propositions suivantes
Théorème 3.2 Soit YZ holomorphe dans un disque épointé
sont équivalentes:
1. YZ possède en k un pôle d’ordre ÍÎ>[4 ;
Ç j
"k w3Ï`Ö où Ö est holomorphe dans le disque entier
\k ;
2. YZ
6
8
3. la limite 7 ^
Y`
existe dans .
Á
1Ð
1Ð
Démonstration. Les implications lM
lP sont une conséquence immédiate de (3.2).
6
b
8
Supposons maintenant que 7 ^ YZ
est alors non nulle dans un voisi . La fonction YZ
Á nage du point k et l’inverse ×
YZ
est bien définie et holomorphe dans un disque épointé
6
Ç È 8
^
l
k
Æ
4
[
C
?

Ë
t
7
.
×
4 , on déduit du Théorème 3.1 que ×
avec
.
Comme
est holo
Ç
Á
4 . Par conséquent, ×.
Ék Ï × morphe dans le disque entier 3lk et que ×.lk
avec
b
y
×
un Í >Ø4 et avec × lk ° 4 . La fonction Y`
possède donc un développement de
y
Laurent de la forme (3.2).
Un pôle d’ordre Í est typiquement pré ) Y Y de
sent dans un quotient Y`
deux fonctions holomorphes où Y ) \k ° 4
et le dénominateur Y possède un zéro de
multiplicité Í en k .
Une illustration est donnée pour la fonc3
^
tion l , qui possède des pôles sim
E
E ples en k
ÃNML´| ,
°
4 et une singu
larité supprimable en k
4 . La figure montre la valeur absolue au-dessus du domaine

VO<V3¶Ù T3< T3 .
54
3) Singularités essentielles
Dans le cas d’une singularité essentielle, le comportement de Y`
caractérisé par le théorème suivant.
, quand
se rapproche de k , est
Théorème 3.3 (Casorati 1868, Weierstrass 1876) Soit YZ holomorphe dans un disque épointé
Ç Èj
lk . Les propositions suivantes sont équivalentes:
1. YZ possède en k une singularité essentielle;
Ç È 2. pour tout avec 41C¦ ©t , l’ensemble YZ \k est dense dans ;
6
8
3. la limite 7 ^
n’existe pas dans .
Y`
Á
ÚÐ
6
8
b o
YZ
lP est evidente car, au cas où 7 ^
existe,
Démonstration. L’implication lM
Ç È Á
v est proche de si est proche de k et YZ \k ne peut donc pas être dense dans .
YZ
6
v 8
Si la limite 7 ^
n’existe pas dans , le point k ne peut pas être une singularité supYZ
mÐ
Á
primable ni un pôle. Donc, l’implication ÑP
est vraie.
Ð
Pour démontrer ÑM , supposons que k est une singularité essentielle et (par l’absurde)
Ç È o qu’il existe >[4 tel que YZ \k n’est pas dense dans . Il existe alors
et =Û>[4 tels que
F
1o Ç È v
BÓY`
B
= pour tout
\k . Ceci nous permet de considérer la fonction
v
Ö Z] b YZ
c.-à-d.
(3.3)
W
v
Ö Ç È v
Elle est holomorphe et bornée ( B Ö BÔ se
= ) dans \k . D’après le Théorème 3.1, Ö Ç
Ç
b
prolonge
holomorphiquement à 3lk . Si Ö lk ° 4 , alors Ö est holomorphe dans 3lk et si
a un pôle d’ordre Í en k . On en déduit (voir (3.3))
4 (zéro de multiplicité Í ), alors Ö Ö \k
b
que YZ est holomorphe ou que YZ a un pôle d’ordre Í en k . Ceci contredit le fait que Y`
possède une singularité essentielle en k .
YZ
b
Une illustration est donnée en Fig. III.4, pour la fonction
w
)ÝÜ ^Þ M
- T
ß M3R
à1á
WW9W
une fonction qui, dans le cas réel, est si aimable (voir [HW, p. 253]). Les deux tours qui appa
raissent forment une singularité, les lignes de niveau de BºYZ B sont des lemniscates (Exercice 7).
L’argument de YZ
se comporte beaucoup plus violemment, avec une infinité de rotations sur
chacune de ces lemniscates. La validité du Théorème de Casorati–Weierstrass est évidente ici.
.4
−.4
.0
.0
.4
−.4
)ÝÜ ^ Þ
F IG . III.4: Fonction w
avec singularité essentielle; la valeur absolue à gauche et les lignes de
E
E niveau avec valeurs | (
à droite.
4O<9Ã
< ÃNMO<9W9W9W ) de ½3âãÚYZ
9
55
III.4 Théorème des résidus
“résidu [ré-zi-du] n. m. (du lat. residuus, qui est de reste). Ce qui reste ”
(Larousse Dictionnaire Universel)
Le Théorème des résidus généralise le théorème de Cauchy II.4.2 aux fonctions ayant des singularités isolées à l’intérieur du chemin d’intégration. Il fut pour Cauchy l’instrument principal pour
trouver des valeurs d’intégrales définies.
Définition 4.1 Soit YZ
holomorphe dans un disque épointé
) vw
~
M|L
YZl
]

Ç
Èj
lk
. La quantité
Res \Y<9k
(4.1)
où ¥d
k¥©¤ pour 4ä »å ¢M| et 4ÒCæGCæt , est appelée le résidu de YZ
(c.-à-d. la seule chose qui reste de YZ après intégration).
b
au point k
)
Le résidu est le coefficient de "k w du développement de Laurent. On peut le calculer par
développement en séries. Pour des pôles simples, on a les formules commodes
Res \Y<9k
6 8
^ 7
Á
zk
YZ
et
b
)
avec Y ) \k ° 4 et si Y si Y`
Y Y Si k est un pôle d’ordre Í de Y` , on pose Ö
est le Í© -ième terme de la série de Taylor de Ö
Res lY¤<9k
Res \Y<9k
)
Y
\k
Y¤ç \k
(4.2)
possède un zéro simple en
k .
en k
¦k Ï Y` . Alors, le résidu de YZ
, c.-à-d.
è Öé Ï¥w
dÍI
)¶ê
\k
W
(4.3)
Théorème 4.2 (Cauchy 1826) Soit ë un domaine étoilé et une courbe fermée parcourant /
ì ë
!
dans le sens positif. Soit YZ holomorphe dans un voisinage de l’adhérence ë
ë
ì,ë , à
5
l’exception d’un nombre fini de singularités isolées k ) <k <W9W9W<k dans ë . Alors,
5
~
M|}L
Y`\

{ )
Res \Y<9k
W
(4.4)
Démonstration. La preuve est très similaire à celle du Théorème II.5.1 (formule intégrale de
Cauchy). La seule différence réside dans le fait que nous avons maintenant plusieurs points singuliers à contourner par de petits cercles (voir Fig. III.5). Comme auparavant, cela marche sans
autre complication si le domaine de définition est étoilé. On projette les singularités vers le bord

k
_í
k
+
_í
+
)
_í
k
)
F IG . III.5: Preuve du théorème des résidus
56
È
et on applique le Théorème II.4.2 de Cauchy à un chemin qui comprend , les cercles autour
des singularités et les connections. Les intégrales sur les chemins aller et retour disparaissent, il ne
5
reste que
~
YZl
_
{ )
YZ\
î ³

4
(4.5)

où les í sont les cercles qui contournent les points singuliers dans le sens positif. On obtient la
formule (4.4) en remplaçant les dernières intégrales par (4.1).
Si une fonction Y`
fonction
est holomorphe dans un domaine ë
Ö \
YZl

et si
Ûo
ë
est un point fixé, alors la
(4.6)
(voir (4.2)). Dans ce cas, le
possède comme seul point singulier avec Res Ö <
YZ
Théorème 4.2 des résidus devient la formule intégrale de Cauchy (II.5.1).
III.5 Calcul d’intégrales par la méthode des résidus
“La théorie des résidus se prête avec une merveilleuse simplicité à la recherche des intégrales
définies, et voici comment:”
(H. Laurent, Théorie des Résidus, 1865)
Nous sommes maintenant de retour à la toute première motivation de Cauchy pour entreprendre ses
recherches en analyse complexe, à savoir la justification et la généralisation des calculs d’intégrales
entrepris par Euler et Laplace.
“L’art” de trouver des intégrales définies a été cultivé tout au long des 18ème et 19ème siècle,
Dirichlet et Kronecker ont donné des cours (jusqu’à 6 heures hebdomadaires) sur le sujet. Aujourd’hui, il existe de longues tables (par ex. celles de Gröbner–Hofreiter ou Gradstein–Ryshik qui
témoignent d’un travail incroyable) et des programmes informatiques (par ex. Maple ou Mathematica), qui “crachent” ces intégrales en quelques millisecondes. Mais, pour un esprit scientifique,
il est, encore et toujours, intéressant de voir comment ces trésors du savoir ont été trouvés.
L’idée est très simple: on choisit une fonction YZ , on choisit un chemin et on évalue
l’intégrale (4.4) en calculant les résidus; ensuite on la partage en parties réelle et imaginaire, et on
trouve deux formules d’intégrales (dont une est souvent triviale). Discutons quelques situations
typiques qui conduisent à des intégrales intéressantes.
1) Intégrales impropres. Considerons des intégrales
:
:
YZ

k
w
+
k
k
)
où la fonction YZ
n’a qu’un nombre fini de singularités
H
H
4
6
8_:Åï
(aucune sur l’axe réel) et satisfait 7 ^
YZ
4 .

Comme chemin d’intégration on prend l’intervalle réel He<9Hð , suivi d’un grand demi-cercle
6
ï
8_:Ò;ï
H
ª , 4ñ z_ z| (voir la petite figure). Sous la condition 7 ^
YZ
4 , l’intégrale sur le
2
demi-cercle tend vers 4 pour H
et on trouve
:
:
YZ

w
M|}L
où la somme est sur toutes les singularités k
Res \Y<9k
5
Im
de Y`
5¨
<
Áóòôby
dans le demi-plan supérieur.
(5.1)
57
Exemple. De cette manière on obtient
:
:

ß
w
M|
P
ß
sans avoir besoin de calculer une primitive de la fonction YZ
. En effet, les
ø
ø
)
+

singularités
concernées sont k
§õ÷ö , k
L et k
úùÝõ÷ö . Les résidus correspondants sont
5 ) ø k w
T par la deuxième formule de (4.2). Ainsi, Res \Y¤<k
Dû ùÝõÓö T , Res lY¤<9k
_L T et
ø Res \Y<9k +
û õÓö T dont la somme est NML T .
2) Intégrales trigonométriques. Pour une intégrale de la forme
ýü þ
on considère le cercle unité ¥f
ýü þ
lÿ33<
m

y
ª
avec 4 "¥ nM| et on observe que
Ñÿ33<
m

þ
~
y
)
w
<
M
)

w
ML
W
L
(5.2)
Il suffit alors de calculer les singularités et leurs résidus pour la fonction de la deuxième intégrale
þ
dans (5.2). Si *< est une fonction rationnelle, l’intégrant de (5.2) est aussi rationnel.
o
Exemple. On obtient les formules (pour XH )
ýü

zM;ÿ3* y
et

ýü
M
uÿ33
y
~
L
~
L
Pour le deuxième exemple,
il y a un
résidu Res \Y<9k )
lM
.
L’intégrale
uÿ33 y
M|
b
uM
pôle k )

ýü

M|
M|
+
si Æ>
B .BC
si
(5.3)
W
(5.4)
à l’intérieur du cercle unité de
si >
(5.5)
nécessite le calcul du résidu d’un pôle double. Pour éviter cela, on peut dériver l’intégrale (5.4)
par rapport au paramètre .

3) Transformation de Fourier. Il s’agit des intégrales
impropres de la forme :
:
Ö

<
k
+
k
w
b
)
)

où la fonction Ö n’a qu’un nombre fini de singularités
(au6

8_:
®
4
cune sur l’axe réel) et satisfait 7 ^
.
Ö
Comme chemin nous considérons le bord du carré (voir la petite figure) où ¦>¢4 et Å> 4
sont suffisamment
grands pour que toutes les singularités soient dans l’intérieur du carré. Notant
¼
m] b
2

d
7¾½¿ À ^ À B Ö B qui converge vers zéro pour
, l’intégrale sur f
®;Laf§ ,
oz

<¤ peut être majorée par (pour >Õ4 )
~ Þ
Ö
^

Pour l’intégrale sur ) f
~ ²
Ö
^

¼
\
¼
v
fNz w é

ê
dez
Ú2
4
o"
ÚqL\ ,
4O<9Úq on obtient

¼
ê

l

w ® w é
z
y
v
2
si ez
¼
\
2
"W
4
v
et l’intégrale sur + d peut être majorée de la même manière. Ainsi nous obtenons
si

2
58
:
:
b
Ö
w
^
5
Res lY¤<9k
M|}L
Im
si
Á ò ôby
>[4
v
5
(5.6)
où YZ
de Ö dans le demi-plan
Ö et la somme est sur toutes les singularités k
supérieur.
o Exemple. On obtient alors sans calculs compliqués que, pour >Õ4 et pour avec Re >Õ4 ,
:
:

GL
w
: v
M|}L w :
et

qL
w

43W
Une addition resp. soustraction de ces deux intégrales donne le formules de Laplace (1810)
:
,ÿ3a
:

v
w
:
:
w
Re C
l’intégrale
impropre
:
v
Ö l
)
w
o
v

v
4) Transformation
de Mellin. Considérons avec
et 4C
Â
|m w W

®¤

y
où la fonction Ö n’a qu’un nombre fini de singularités (au
6
8
7 ^
4 ainsi que
cune sur l’axe réel)
et
satisfait
Ö
6
8_:
Q y
^
7
4 .
Ö 6
Rappelons que la puissance est en général multivaluée et donnée par .
¿
3ã
v
Pour obtenir
une
fonction
holomorphe
il
faut
fixer
une
branche
du
logarithme.
Nous
considérons
6
6
où l’argument est choisi pour que 4 ½âã C[M| . Par le Théorème I.8.2
3ã
3ãÔB BL/½3âã
6
la fonction 3ã
et alors aussi sont holomorphes dans le plan complexe privé de l’axe réel
ñ2
positif. Pour un réel >[4 et pour
, la limite d’en haut et celle d’en bas sont différentes; on
a respectivement et Qýü .
Pour définir le chemin d’intégration, nous prenons un Û>æ4 très petit et un ?>s4 très grand,
et nous considérons les deux cercles de rayons et reliés par des segments horizontaux proches
¼
] {
bQ
f
7¾½¿ À ^ À `B Ö de l’axe réel positif (voir la petite figure). Avec
B , les intégrales sur les
cercles peuvent être majorées par
Ö ~·
w
)

¼
nM|
f
2
et
~¸
2
Ö )
w

¼
M|
l
et convergent vers zéro pour
et
4 (par hypothèse sur la fonction Ö 2
2
des résidus implique alors que, dans la limite
et
4 , on a
:
\
Ö )
5
:
)
w

z ýü
y
Ö l
w

M|}L { )
Res \Y<9k
où k <9W9W9W<9k sont les singularités
de Ö et les résidus sont calculés pour YZ
ªü M/
L Âf|
utilisant le fait que z ýü
cette formule devient
:
Ö \
Exemple. Avec Ö y
b
w
)

car le résidu de Y`
w
) |m w ü
{ )
d|
v
Res \Y<9k
on obtient la formule (pour 4C
:
y
w
en k )
)

). Le théorème
b Ö Q
w
)
. En
5
v
(5.7)
5
)
y
est
|
<
d|
v )
l
w
é w
W
(5.8)
Re C
v
)¶ê!#"
éw
)
)¶ê é w
)¶ê
ü
ªü
.
59
5) Une formule d’Euler. Pour démontrer
:
y

|

<
M

^ 3

nous posons YZ
et nous considerons le chemin

®

de la figure avec petit et grand.
Le petit demi-cercle
est nécessaire pour éviter le pôle à l’origine. L’intégrale sur le grand
F
oÉ

¤ ,
4O<ó|Z peut être estimée à l’aide de m
M | sur 4O<| 3
M par
demi-cercle ¤bf
~ ·

^

ü
%$'&!(
w
y
Ü
ü M
)$*&!(
w
¥ Ü
ü M
y
2
y
^ 3
Elle converge vers zéro si
. Comme la fonction
2
chemin fermé, une intégration sur ce chemin donne pour
w:

GL
w
$

ü
é!+
y

|

" w

|

W
est holomorphe dans l’intérieur du
:
ê
*
$*&!(

Ü

w ü

2
43W
L’intégrale au milieu converge
vers | si
dans la première intégrale
4 . En échangeant par et en utilisant z w
nous obtenons la formule cherchée.
ML/
6) Encore des intégrales impropres. Cherchons à calculer
:
YZ

y
où la fonction YZ n’a qu’un nombre fini de singularités (aucune sur l’axe réel positif, l’origine
6
8_:äï
ï 6
incluse) et satisfait 7 ^
YZ
3ã
4 .
g] ;ï 6
L’idée est de considérer la fonction Ö et le même chemin que pour la
YZ
ã
transformation de Mellin. Comme dans (5.7) on démontre que l’intégrale de Ö sur le grand
2
cercle disparaı̂t si
. Celle sur le petit cercle avec rayon , peut être estimée comme suit:
~ ¸
Ö b

ï
ËM|m
7¾
À ^ À ½{ ¿
BÓYZ

2
YZ
6
ã

YZ
y
n’a pas de singularité à l’origine. Pour
2
4 )
et
:
6
B ã BuM| W
ï
B
4 , car Y`
Elle converge aussi vers zéro pour
2
l’intégrale sur le chemin entier il reste alors (pour
:
6
3ã
©M|}L

y
et le théorème des résidus donne
5
:
YZ

y
{ )
Res Ö <9k
W
(5.9)
Exemple. Comme application concrète, calculons l’intégrale suivante:
:
) Ü +
y

+
M|
,
P
Ü +
W
6
3
+ Pour les trois singularités k
,k+
les
de Ö w ü
3ã
ü ú, k résidus
ú
sont respectivement ®L´|_ zL P
V , L\| P et N
SL\|; "
L
P
V . La formule (5.9) donne la
valeur affirmée de l’intégrale.
60
III.6 Fonctions méromorphes
“-/02. 1435 , partie” et “- 3146 7 . , forme”
(Dictionnaire Grec Français, Hachette)
Les fonctions méromorphes sont des fonctions qui ont presque (en partie) la forme des fonctions
holomorphes. Plus précisement on a:
b
est méromorphe dans un ouvert ë , si
Définition 6.1 (Briot–Bouquet 1875) Une fonction YZ
elle est holomorphe dans ë sauf en des points isolés où elle peut avoir des pôles.
Les fonctions méromorphes dans un domaine ë peuvent être additionnées, multipliées et
dérivées sans sortir de l’ensemble des fonctions méromorphes. L’avantage par rapport aux fonctions holomorphes est que les fonctions méromorphes peuvent aussi être divisées entre elles.
b
Théorème 6.2 Si YZ et Ö sont méromorphes dans ë , leur quotient YZ
Ö morphe. L’ensemble des fonctions méromorphes dans ë forme alors un corps.
Q
Démonstration. Les singularités
de YZ
Ö sont les pôles de YZ b )
Ék Ï Y Pour un tel point k on a YZ
avec Í s4 et Y ) lk «
o988
Ëk Ï¥w Y
avec ¬
et Ö ) \k ° 4 . Le quotient YZ
Ö
F
¬ ) ou un pôle d’ordre ¬GÍ .
singularité supprimable (si Í
est aussi méro-
et Ö et les
zéros de« Ö
b ° 4 et Ö Õk
Ö
)
)
k
possède
en
Ö
) .
une
Exemples. Toutes
les fonctions holomorphes,
mais aussi les fonctions rationnelles ainsi que les
3
3
3
^
fonctions :a½3
, etc., sont méromorphes.
ÿ3 , ÿ:
ÿ
, Y`
\ Décomposition en fractions simples. Pour les fonctions rationnelles, la décomposition
en fractions simples est souvent très utile. Nous reprenons un exemple de [HW, p. 119–120]:
YZ
T

-
; ,
©R +
zS
V
R
z
©
zM4
-
T
,
uR
+ ©M zM34
(6.1)
mï
+
et un d’ordre 2 en
Nous avons un pôle d’ordre
3 en
M . La fonction YZ
n’a plus de pôle en
. Nous développons cette fonction en série de Taylor et obtenons le
développement de Laurent (qui converge pour 4CæB BCÕP )
Y`
+ M
P
V
U
, MU
M
M3U
zW9W9W
(6.2)
et similairement pour l’autre pôle (cette fois pour 4CæB ©M,BCÕP )
YZ
b uM
P
©M
P3R
M3U
R
MU
©M
V
U
zWW9W¥W
uM
(6.3)
Idée: Si on dénote les “parties principales” de ces développements par
< ) + M
<
(cf. [HW, formule (II.5.11)]).
b
et
P
<
(6.4)
uM ©M
< ) < b
alors YZ
n’a plus de pôle et, par le Théorème 3.1, est holomorphe dans .
6
8;:
Y`
4 , il suit du Théorème II.7.2 de Liouville que cette différence est zéro et
Comme 7 ^
M
P
P
+
(6.5)
YZ
uM uM
P
Rappelons que YZ possède un pôle d’ordre Í en k
en a un au point
, si Y`fc
YZ
c
)
)
)
où
est
holomorphe
proche
c
4 . Ceci signifie que Y`fc
c w3Ï Y fc
Y fc
4 et Y l4
° 4 .
) ) b
)
Alors, YZ
où
est
holomorphe
dans
un
voisinage
de
et
.
Par
Y
Y
Y
l
°
4
Ï
exemple, un polynôme de degré Í possède en un pôle d’ordre Í .
61
Théorème 6.3 Si YZ est une fonction méromorphe sur qu’un nombre fini de pôles et est une fraction rationnelle.
Õ!q#
"%
, alors YZ
ne possède
Démonstration. Comme les singularités (ici le point infini est inclus) d’une fonction méromorphe
'>=
l4 (sauf
sont isolées, il existe HÕ>[4 tel que Y` ne possède pas de singularité à l’exterieur de
'?=
5
)
) et seulement un nombre fini dans
l4 . Soient k <9W9W9W<9k les pôles de
éventuellement en

YZ
situés dans . Si Í
est l’ordre de k , on considère la fonction
m] Ö ) k
"
² ï
Ï
ï
W9W9W
5b
"k
ï
Ï¥ò
YZ
qui est holomorphe dans tout . Si YZ a un pôle d’ordre ÍÎ
est holomorphe
>[I4 H!H!en
H où si YZ
b
²
dans un voisinage de (Í
4 ), on a B Ö B A@BCEDGFB B Ï Ï
Ï¥ò . Par la remarque suivant le
5
Théorème II.7.2 de Liouville, la fonction Ö est un polynôme de degré au plus ÍÍ ) W9W9W\NÍ .
Par conséquent, YZ est une fonction rationnelle.
Cas d’une infinité
de pôles.
Soit, par exemple, YZ
E oJ88
E E
|
simples aux points
ÿ:
ÿ3
KPN
KMLON
N
Q
LON
(6.6)
WW9WÅ
©M|
g|
formule trouvée par Euler, à l’aide de son produit pour Voici d’autres exemples :
KPN
KMLON
ÿ3
. Il y a des pôles
. La formule analogue à (6.5) serait ici
, avec Res \Y< |
,
ÿ:
G|
zW9WW
©M|
(voir Introductio 1748, Chap. X, R 178).
N
Q
LON
(6.7)
WW9W3©
©M|
q|
G|
©KWW9W
zM|
ou encore
KPN
KSLON
W9W9WI
N
Q
©M|
LON
q|
(6.8)
G|
©M|
zW9WW
et
ÿ3
KPN
KSLON
N
Q
LON
(6.9)
W9W9W3©
uM|
g|
G|
zM|
©KWW9W
62
Notre but est de démontrer ces formules. Tout d’abord remarquons que les séries (6.6) et (6.7)
ne convergent pas sans autre précision (série) harmonique). ) Pour
donner une sens à ces formules il
E E E
3 M
faut grouper ensemble les termes | w n | w
| .
< Pour une fonction méromorphe avec pôle k nous notons par la partie principale dans

le développement de Laurent autour de k (c.-à-d., les termes avec indices négatifs). Pour une
courbe fermée autour de l’origine, nous notons par d la distance de à l’origine et par T;f
sa longueur.
b
Théorème 6.4 (Mittag-Leffler)
Soit YZ méromorphe dans avec pôles k ) <9k <9k + <9W9W9W ( k ° 4 ).
# 5
5¥
2
Considérons une suite % de courbes fermées contournant l’origine et satisfaisant f
E 2
5¨Q
5

pour
et T;d
, sur lesquelles
d
BÓYZ
¼
B 1o
pour
5

et
E
<MO<P3<9W9W9WmW
Alors on a
YZ
(6.10)
:
YZl4
< 6
5a8_
7 :
Á
³U
5b
d
ê
Int ~
é ò
<
Ñ4
YZÑ4
< { )
<
Ñ4
(6.11)
5
où Int
désigne l’intérieur de la coube .
< b
Si k
plus le
4 est un pôle de YZ , il faut remplacer YZl4 dans la formule (6.11) par y
y
terme constant dans le développement de Laurent autour de k
4 .
y

)

2
−3π
−2π
−π
0
π
2π
3π
−2
F IG . III.6: Illustration de la preuve du “Théorème de Mittag-Leffler” pour YZ
ÿ:
Démonstration. Ce théorème est une version simplifiée du celèbre
théorème de Mittag-Leffler, qui fut publié dans Acta Math. vol. 4,
1884.
Comme les singularités de YZ sont isolées, il n’y a qu’un nom5
bre fini des pôles à l’intérieur de (voir Fig. III.6). L’idée est
d’enlever ces singularités et de considérer la fonction
Y`
< ³U
Á
Int ~
ê
é ò
qui est holomorphe dans un voisinage de Int d
formule intégrale de Cauchy donne alors
YZ
5
< Á
³VU
Int ~
é ò
ê
M|}L
~
Y`\
ò
³#U
Á
;
5
Int ~
(voir Fig. III.7). La
é ò
ê
<
l

(6.12)
dans l’intérieur de et différent
de pôles. Dans cetteWsituation,
la fonction
\

<
Ö < Q possède les pôles et k avec résidus Res Ö <
et Res Ö <9k
\
lÔ
.
pour
<
63
E
4
4
2
−4π
−3π
−2π
−π
0
π
2π
3π
4π
−4π
−3π
−2π
−π
0
−2
−2
−4
−4
E
R
−2π
−π
π
2π
3π
4π
E 4
2
−3π
M
2
4
−4π
E
4
M
2
0
π
2π
3π
4π
−4π
−3π
−2π
−π
0
−2
−2
−4
−4
F IG . III.7: Courbes de niveau pour la valeur absolue de YZ
π
5
ÿ:
2π
4π
< b
{
3π
y
Le théorème des résidus donne alors que
<
~
M|}L
ò
\
;

4
(6.13)
et la formule (6.12) (appliquée une fois pour et une deuxième fois pour
YZ
"YZÑ4
< b
³U
Á
ê
Int ~
<
Ñ4
M|}L
YZ\
~
;
ò
é ò

4
) implique que
/
YZl
M|L
~
ò
xW
,\;
5
Nous majorons cette dernière intégrale en utilisant (6.10)) et l’hypothèse sur , ce qui donne
YZ
f
5
zYZl4
< ³U
Á
Int
ê
~
<
é ò
¼
l4
M|
5
B B
5 f <
¼
5 b
B OB T;f
5a
5 f
f <
M|
(6.14)
<
où
est la distance minimale entre et la courbe . Pour fixé, cette distance tend vers
E 2
l’infini pour
et la majoration dans (6.14) tend vers zéro.
Dans le cas où
l’origine
est
un
pôle
de
la
fonction
YZ , on applique cette démonstration à la
< fonction YZ qui est holomorphe près de l’origine.
y
ÿ:
Exemple 6.5 (formules d’Euler) Considérons la fonction YZ
(voir la formule (6.6)).
E
5
5 M |;lÃ
ÃäL . On a f
Pour la courbe nous prenons le bord du carré avec sommets E
2
5¨ 5¨
et Td
. La fonction YZ peut être majorée à l’aide de
M |
V d
Bÿ39
gLX
B
ÿ3 ©
4Y X<
5
B
Â
qLX
B
u
ZY X}W
M car
Sur les parties verticales de on a BÓY` BZ et sur les parties horizontales BÓYZ B` F
F
pour B XZB
B
ZY[XZB
P| M . La formule (6.11) du Théorème de Mittag-Leffler implique alors
:
:
que
ÿ:
{ )
q¯|
¯¨|
G¯|
¯|
M
{ ) g¯ | : la formule
ce qui justifie d’une
part
(6.6). D’autre part, en multipliant cette formule par , la série
5
5a{ )Z]
devient (avec ) \
)
w \
;ï
ÿ;:
:
^Þ
Þ Þ
ü ^ Þ
M {
©
)
Þ Þ
ü
:
:
:
5
5 ©M { 5a{
)
) ¯ | 5
5a{ )
:
{ )
¯ 5
M 5 | 5
W
(6.15)
64
Cette série, comparée à (I.9.5), donne les formules
:
{ )
¯ 5
\
5
) lM| ' 5
E è
w
M/ÑM
5
E
pour
E
<MO<PO<9WW9W <
(6.16)
l’un des plus formidables triomphes d’Euler. Même le cas
fut une énigme pour Leibniz et
Joh. Bernoulli pendant un demi-siècle (plus précisément: de 1673 à 1740).
La formule (6.7) peut être justifiée de la même manière. Pour la fonction Y`
(voir la formule (6.8)) on a des pôles d’ordre M et le Théorème de Mittag-Leffler donne
:
P
{ )
q¯|
E
d¯|
'
q¯|
d¯¨|
W
En utilisant la formule (6.16) pour
et
T , les termes constants s’annulent et on
retrouve la formule (6.8). La formule (6.9) peut aussi être vérifiée de cette manière.
III.7 Principe de l’argument
À l’aide du théorème des résidus nous démontrons ici le célèbre “principe de l’argument”. La
première application de ce principe est due à Riemann (1859, Werke p. 148, pour estimer le nombre
de zéros de sa “fonction ”), une deuxième par E.J. Routh (1877, dans un travail sur la stabilité
d’un système).
Théorème 7.1 (Principe de l’argument) Soit ë un domaine étoilé et la courbe fermée par
courant ì/ë dans le sens positif. Si YZ
est méromorphe dans un voisinage de l’adhérence
!
ë
ë
ì/ë et sans zéro ni pôle sur , alors
Y ç l
~
M|}L
8
YZl

8
lY
_^
\Y
(7.1)
où \Y et ^ \ Y sont, respectivement, le nombre de zéros et le nombre de pôles de YZ
l’intérieur de , comptés avec leur multiplicité.
b
YZ
Démonstration. La fonction Y ç est méromorphe et possède des pôles là où YZ
zéro soit infinie. À l’aide de (4.2), on voit que
si
si
YZ
YZ
"k Ï Ö Ö "k Ï
<
<
Ö \k
Ö \k
°
°
4
4
alors
alors
Y ç Res
Res
Y ç YZ
YZ
<9k
b
<9k
à
est soit
Í
®ÍgW
Le théorème des résidus pour cette fonction donne l’affirmation (7.1).
b
Interprétation géométrique du principe de l’argument. Le quotient Y ç est la dérivée
YZ
6
6
. Aussi longtemps que la valeur de Y` reste dans un domaine où 3ãc est définie et
de 3ã,\Y`
Q
analytique, on a trouvé une primitive de Y ç et par conséquent on a
Y`
Y ç l
~a` YZl
i

6
3ã
YZd¥f
6
3ã
YZf¥l4
(7.2)
où
dénote une partie de la courbe . Si on veut appliquer cette formule à la courbe
®Bcb
6

y d
entière , il faut interpréter 3ãc comme fonction multi-valuée.
Néanmoins la partie réelle de
6
6
(la courbe est fermée). Ainsi
3ãc (qui est ãeB cB ) est le même pour c
YZf¥
Y`f¥l4
65
4
2

0
)

y
2

e
+
4
6
−2
F IG . III.8: Le principe de l’argument pour la fonction YZ
Y ç \
~
YZl

6
3ã
YZd
6
3ã
YZf¥l4
L
½3âã,lYZf¥
b 3
M
Q
l ©½3âã,lYZf¥Ñ4
^
_
W
Ceci est un multiple entier de M|}L et compte le nombre de tours qu’effectue le vecteur YZ
parcourt dans le sens positif.
(7.3)
, quand
Exemple.
Dans la Figure III.8 sont
dessinés les vecteurs YZ attachés au point pour la fonction
Q
3
^
WfU3S et YZ
M
\ W où
WfR . Cette fonction possède deux zéros (
4
6
v 6
Q
Q
M| ) et deux pôles (
M
MZÉML´|
et
et
à l’intérieur du chemin . On peut
v
v
observer que l’entier (7.1) vaut 4 pour les courbes , ) et , il vaut pour + et de nouveau 4
y
pour la courbe .
Ce théorème possède d’innombrables applications, entre autres le “théorème de Rouché” et
une ¬® -ème preuve du théorème fondamental de l’algèbre.
b
Théorème 7.2 (théorème de Rouché) Soient YZ
et Ö des fonctions méromorphes dans un
ouvert ë et soit une courbe telle que le principe de l’argument peut être appliqué. Si
BºYZ
b
Ö 8
alors
En particulier, quand YZ
l’intérieur de .
et Ö lY
BCæB Ö ^
\Y
B
o
8
pour tout
Ö
_^
Ö
*<
(7.4)
W
sont holomorphes, alors elles ont le même nombre de zéros à
66
Démonstration. En conséquence de (7.4), les fonctions Y` et Ö Il existe alors un voisinage f de la courbe où le quotient ×
tel que
o
pour
Bº×.
BC
fW
b
n’ont ni zéros ni pôles sur .
bQ
b
est holomorphe et
Ö YZ
b
Ceci implique que la fonction Log \×
est bien définie dans f et qu’elle
est une primitive de
Q

×
4 . L’égalité × ç ×
× ç × . Pour la courbe fermée on obtient donc ~ × ç Y ç Y¾ Ö ç Ö et le principe de l’argument permettent de conclure.
Donnons encore quelques applications typiques de ce résultat:
b «
« g
)
Une démonstration du théoreme fondamental de l’algèbre. Soit åW9W9W\
v
v
vy
«
«
¬ . Sur un cercle de rayon H (avec H suffisamment grand) on a
un polynôme
de
degrée
« « B BOCsB
B . Le théorème de « Rouché implique que possède le même nombre
«
/
Ç
=
v
v
l4
de zéros dans
que Ö (c.-à-d., exactement ¬ zéros, comptés avec leurs
v
multiplicités).
g
«
Q
«
Q
)
ih
[W9W9Wx
ih
jh
Continuité des zéros d’un polynôme. Soit <%h
un
v v
vy
k est une racine
polynôme à coefficients dépendant continûment d’un paramètre h . Si
de multiplicité Í , alors pour = et BchÛkh B assez petits, le polynôme <%h a Í
de <%h
Ç/l
y
y
racines dans le disque lk . Ceci suit du théorème de Rouché, car il existe un >[4 tel que
B <%h
<h
y
@B BC
<h
y
B
B
pour
"kB
=W
Un >æ4 satisfaisant la deuxième inégalité existe, parce que les zéros sont isolés. La première inégalité est due à la continuité des coefficients, si h est suffisamment proche de h .
g
#
«
y
« )
Lemme de Hurwitz. Soit Y %
une suite de fonctions holomorphes dans ë qui con
verge localement uniformément vers une fonction holomorphe YZ (c.-à-d., converge uni
formément sur chaque sous-ensemble compact de ë ). Supposons que Y` ne s’annule pas
« Ç
sur le bord ì Olk d’un disque. Alors, pour ¬ suffisamment grand, Y et Y`
ont le
Ç
même
nombre
de
zéros
dans
3lk . Pour la démonstration de ce lemme on remarque que
« Ç
BºY "YZ
B3C @BÓYZ
B sur ì
3lk .
III.8 Exercices
n
1. Calculer les limites suivantes dansL m (si elles existent)Kvy
^
o8_
pq :sr
-[tvu
Ksw
r
x
^
o8_
pq :
t
r K r
u x
^
o8_
pq :
u
r
r
t
y
y
x
^
o8;
pq :{z|~}r
x
^
o8_
pq :{;O
r
2. Lesquelles des fonctions suivantes sont holomorphes
dans un voisinage de rS :
y
L
r
+ t
r
K
u
x
L[K
t
u
r
r x
p r

x
z|}
y
t
r
r y

. Calculer sa projec-
t
t
7
Qc.-à-d.,
y
Q x KS y sur le plan passant par l’équateur. Calculer
x
. Montrer que
y
r r
y)
M
r

r .
Ceci motive l’étude de l’infini à l’aide de la transformation
Q
3. Soit ' x 7 x~ un point de la sphère de Riemann,
r

tion stéréographique
à partir du pôle nord Q x
également sa projection r à partir du pôle sud x
67
.0
.0
)ÝÜ ^
F IG . III.9: Fonction
avec singularité essentielle; la valeur absolue à gauche et les lignes de
E
E 4O<9Ã
<9ÃNMO<9W9W9W ) de ½3âãÚYZ
niveau avec valeurs | (
à droite.
y)
n

Q
4. Pour la fonction
E r z|} j Q r , démontrer par un calcul direct que pour tout _m
tout 1
il existe un r avec E r (voir la Fig. III.9).
5. La fonction
y
t
E r
Q)
et pour
KL
r r
Q KSy L
QS¢¤£ £)¢
r

¡
n
Z

¢ x £ x £¥¢ . Calculer les trois développements de Laurent: pour
r
y ¢W£ £%¢ Ldans m
L ¤
est holomorphe
r
r

pour
et pour
.
Q
y
,
6. Les fonctions suivantes possèdent une singularité au point ¦
. Décider s’il s’agit d’une singularité
supprimable, d’un pôle (quel ordre)
y où d’une singularité essentielle:
y
u§t
r
-
#¨
r
tvu
r
x
p r
M
r x
;Or x
©ª)
r
x
)ÝÜ ^Þ
« ^
Kvy¬K r
£
K
)L
£
r
r r et de OV® E
r sont des
7. Pour la fonction E r « w
, démontrer que les lignes de niveau de E
K
lemniscates (voir la Fig. III.4).
t±°
°
W

²
Rappel. La célèbre “lemniscate” de Jac. Bernoulli est définie par '¯
'¯ (voir
[HW, p. 314, 315 et 329).
8. Pour chacune des fonctionsL suivantes
déterminery les pôles et les résidus en ces pôles:
y
Kr
r t
r
K³L
t
r Kvy
x
p r
M
r x
x
r
©ª) r
p
r
9. En utilisant le théorème des résidus calculer l’intégrale
t
« ^
r LO·
~ L
où µ parcourt le bord du carré de sommets ¶
10. Calculer l’intégrale
«
+ w
¶
^
´ r
dans le sens positif.
:
´ ¯
y
t
¢
¯ QS¢ ¯ w
¹
¸
11. Démontrer que pour des entiers ¸ x¹ satisfaisant
N
:
)
y ¯ Ï¥w «
N ¹
t
´ ¯
p
¸ ¹
¯
:
y
Indication. Considérer le chemin de la figure.
- t
Q
«
Þ
öaº
µ
ªü
Ü «
»
68
L
y)
12. Soit ¼½ r un polynôme de degrée ¹±¾
est zéro.
. Démontrer que la somme des résidus de la fonction
13. Par la méthode
des résidus,
N montrer que
:
y
©y ª) t ² ¯
´ ¯
¯ L «
KÀ
©ª)w
ýü
w x
uO¿
©ª)
¨
y
N
y L
)

u
#¨
y
©ª) ¯
¯ y
K
ýü
x
Kvy
:
14. Calculer l’intégrale
¿ ´
¿
´
¼½ r
N
¿
p ¿

¨u L
´ ¯
Indication. Utiliser les mêmes idées que pour l’intégrale du type (5) dans le paragraphe III.5.
:
15. Démontrer que
Q
o
y ª ® ¯
t
´ ¯
¯ y

Indication. Prendre un chemin comme dans l’intégrale du type (5) dans le paragraphe III.5 et
KPN)L du logarithme qui est une fonction holomorphe dans n m privé de la demi-droite
une détermination
d’argument
.
16. Vérifier la formule :
y
K
Á
o ® ²
o
K ª ® ª L
Á

²
o ®
t ª ¯ ³
t Á ´ ¯
² '¯

'¯
17. Calculer les intégrales suivantes
:
y
¯ t
´ ¯
t
¯ :
y
pour
:
p
# Â¯
´ ¯ x
¯ u x
y
y
18. En applicant le théorème de Mittag-Leffler
démontrer
y la formule
y
L
;O?rS
r
N)L
t
K

y

En déduire que
y
t
r y

y
t
u
N)L
u
t
Ã
¨ t
K
t

£ £
£ que
£ toutes
y
L
19. Démontrer
les racines du polynôme E r _rGÅ
r
et r
.
Indication. Appliquer le théorème de Rouché avec Æ½ r
y
Ä
K
¨ r
y)L

t
K

#¨
N
Á
Q
o ®
ª t ¯y
+ ´ ¯

' ¯
N)L
r
y
²
r y)L
+ t
sont situées entre les cercles
sur le petit cercle et avec Æ½ r Wr~Å
Q
)
r

20. Soit E holomorphe sur le disque unité ÇÉÈ et continue sur l’adhérence Ç et supposons que
Ê
Ç >Ë Ç . Démontrer alors (à l’aide du théorème du Rouché) que E r Ìr possède exactement
une solution r Ç .
21. Soit E r une fonction holomorphe et supposons que£ le bord
£
yde l’ensemble
Í r
nÐÏ
Îm
E r
¿
¿
K[· chemin µ au sens positif. Rappelons que ²¡
soit paramétré par un
Ñ ÓµÔÒ est le vecteur tangent à
¿
£
£
Q
µÒ le vecteur
cette courbe et ¹ Ñ
normal
orienté
vers l’extérieur.
o ®
r
Q

a) Expliquer pourquoi on a Õ ª
dans cette situation;
E ÕP¹
Ñ Ö
o ®
b) En utilisant les équations de Cauchy–Riemann pour ª #E r # , montrer que¿ Õ OV® E r " Ú Õ×² Ñ êê Ö
.
c) Montrer que O® E r est strictement décroissant lelong de µ (dériver E'µ # « #Ø#Ù é ~ é ).
sur le grand cercle.
Ce résultat est illustré dans la Fig. III.10
pour
y
y¬KvlaL fonctiony))L¬KvL
t
E r
r

y§² K
t
r
²r z|} r
²
t
²
(8.1)
v
F IG . III.10: L’ensemble
ÑP;
69
P
T
&
v
# o
Gp
BÓYZ
B>
%
lP_
Q
P
T
pour la fonction Y`
de (8.1).
¿
£
£ E r y attachés

au point r µÔ sur la courbe qui décrit
22. Dans la Fig. III.101 sont dessinés les vecteurs
Í r
n±Ï

r
Ûm
E
le bord de l’ensemble
(pour la fonction E r de (8.1)). Uniquement
en regardant cette figure, décider combien de zéros ou pôles sont dans chacune des composantes
Í
Í
connexes bornées de et de Á .
£ £ de
y
» Rouché, démontrer le résultat suivant qu’on appelle aussi
23. En utilisant le théorème
le “lemme de

r

Zarantonello”: soit ¦
et soit ¼½ un polynôme de degré
satisfaisant
.
Alors,
on a
Â
4
¼
#

¦
»
q O|
{
À^ À
Indication. Comparer la fonction E r
1
r
£
£
¼½ r
5 K
¦
¾
£ £
¦
¼4 r avec Æ½ r

r
5
¦ .
Cette figure est prise du livre “Solving Ordinary Differential Equations II” de Hairer & Wanner.
Chapitre IV
Séries de Fourier
La théorie de ce chapitre nous permet de mieux comprendre toute sorte de phénomènes périodiques. Elle a son origine au 18ème siècle dans l’interpolation de fonctions périodiques en astronomie, dans l’étude de la cordre vibrante et du son avant d’entrer en force en sciences grâce à
la Théorie de la Chaleur de Fourier (1822), voir le chapitre V.
Comme exemple, considérons la digitalisation d’un son (Fig. IV.1). On a enregistré
im
pulsions par seconde, dont sont dessinées (ceci correspond à millisecondes).
Il n’y a pas de doute que ces données représentent un phénomène périodique. On est souvent
intéressé par l’étude du spectre d’un tel signal, par les fréquences dominantes, par la suppression
d’un bruit de fond éventuel, etc.
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
F IG . IV.1: Digitalisation du son “o” prononcé par Martin
A part la résolution de certaines équations aux dérivées partielles, on utilise aujourd’hui des
séries de Fourier (sa version discrète FFT, voir le cours “Analyse Numérique”; un des “Top 10
Algorithms of the 20th Century”) et des modifications (wavelets) dans beaucoup d’applications en
informatique (compression de sons, compression d’image, JPEG).
IV.1 Définitions mathématiques et exemples
Fonctions périodiques. Les fonctions , , mais aussi , sont des fonctions
-périodiques, c.-à-d. elles vérifient la relation
# $ #
"!
pour tout &%(' )
Polynômes trigonométriques. Les combinaisons linéaires de +* et de ,* (*-%/.0. ) sont
des fonctions -périodiques. Elles sont de la forme
4
4
132
1
5 ,*:!
5 <*=?>
!
(1.1)
57698
53698;
où les 1 5 et 5 sont des coefficients réels. On appelle (1.1) un polynôme trigonométrique.
;
72
@ !
Séries de Fourier
AA:!
77 @
1
0
−1
@
77
1
π
2π
0
−1
!
A9B @
CB
1
π
2π
0
π
2π
−1
F IG . IV.2: Plusieurs polynômes trigonométriques
Formule d’Euler et représentation complexe. La formule d’Euler
DFEHG $ :!JI,
(1.2)
nous permet de simplifier l’expression (1.1). En effet, en additionnant et en soustrayant la formule
$
#
#$
@ !MI, @ @ I, , on en déduit
(1.2) et DLK E0G
$ D EHG ! DLK EHG
$ D EHG @ DLK EHG >
(1.3)
I
Le polynôme trigonométrique (1.1) peut donc être écrit sous la forme
4
5
5 DFE G
(1.4)
536 K 4:N
où
8
1 5 $ 5 !
5 $ O 1 5 @ I 5 #
K 5
;
N
N
N
8
ou,
de
manière
équivalente,
$
#
$
#P
5
O 1 5 !MI 5
I 5 @ K 5
KN 5
;
;
N
N
Avec ces formules, on peut passer de la représentation réelle (1.1) à la représentation complexe
(1.4) et vice-versa.
Coefficients de Fourier
fonction
-périodique.
Considérons d’abord un polynôme
4
5
#$ d’une
536 K 4 5 D E G , multiplions-le par D K EHQRG et intégrons de à :
trigonométrique N
4
OTS
OTS
# D K E0QUG V $
D EXW 5 K QZY[GV $
5
>
2
2
536 K 4:N
NQ
OTS
$ 8 D EH\]G_^ OT2 S $
$b
$c
car 2 D EH\]G V pour ` a
et l’intégrale est égale à
pour `
. On obtient
E0\
T
O
S
alors
5
5 $ 2 # D K E G V N
OTS
d #
$ 1 5 $ 5 !
5
A,* V 2
(1.5)
K
N
N
OTS
5 $ I 5 @ K 5 #$ 2 # +* V ;
N
N
S
OTSef
OTS
2 .
SK ou f
Comme
les
fonctions
sont
-périodiques,
on
peut
écrire
au
lieu
de
#
Si est -périodique, mais pas nécessairement un polynôme trigonométrique, on appelle
#
(1.5) les coefficients de Fourier de la fonction .
#
-périodique telle que les intégrales
Définition 1.1 (Série de Fourier) Soit une fonction
d #
dans (1.5) existent. On appelle “série de Fourier de ” la série
g
OTS
# D K E5 G V
$
D5 FE 5 G
5
où
(1.6)
2
536 K g N
N
5
#h
53g 6 K g 5 D E G . La série de Fourier peut également être écrite sous la forme
et on écrit N
#h 132
1 5 ,*:!
5 <*=
!
57i98
53i98 ;
avec 1 5 > 5 donnés par (1.5).
;
Séries de Fourier
73
5
#&$
53g 6 K g 5 D E G pour des
Pour le moment, on sait seulement qu’on a égalité dans
N
polynômes triogonométriques. Le sujet de ce chapitre est d’étudier la convergence de cette série
et la question quand cette identité reste vraie pour des fonctions -périodiques arbitraires.
#
Exemple 1.2 Étudions comment une fonction est approximée par sa série de Fourier. La
Fig. IV.3 montre six fonctions -périodiques ainsi que plusieurs troncatures de leurs séries de
Fourier associées. Les six fonctions sont:
j
A
si ^ Âk
# $
#$ A kl^ Âk A
B
si
si ^ ^n
j
A km^ Âk @
si B
O
O
# $
#$po
@ si ^ Ân
si ^ Ân
q
A
k
# $
#$
k
si
^ d ^
k
@ k
si @
2
−2
n=1
1
1
3
2
n = 24
n=1
0
2
0
4
n=8 π
1
2
3
4
5
6
7
−1
−1
r $
8
O 9B @
"!
8tsu8
O s v 9w"!
−2
r $ @
77
8
O 7
n=1
1
n=1
1
−2
8
y +B @
x!
0
2
π
−2
0
−1
π
2
−1
n=8
r $
8
@
−2
v 4
8
z 9B @
"!
7
r $
@
8
−2
O A
8
:!
n = 12
77
y 9B @
1
n = 12
0
2
1
4
n = 12
r $
−1
:!
8
y {B:!
8
| 0
x!
7
r $
@
1
O
t8 s y @
O
2
y s | @
O
3
π
| su} @
F IG . IV.3: Quelques fonctions ~ -périodiques avec des séries de Fourier tronquées associées
7
74
Séries de Fourier
#$
^ ^n (
), que la série de Fourier est celle
Vérifions, par exemple pour la fonction donnée dans le dessin correspondant de la Fig. IV.3. Un calcul direct donne:
S
$
1 5 $ (parce que A*= est impaire),
,* V SK
@ #5 e 8
S
S
S
@
,*
$
$
V
V
5 $ * !
,
=
*
S
S
S
K
;
K
*
* K
*
Remarquons que, en général, on a
# $ @ #
/1 5 $ si la fonction # est impaire, c.-à-d. si @ (série de sinus),
5 $c si la fonction # est paire, c.-à-d. si @ #$ # (série de cosinus).
;
pair
impair
@ 1
@ 0
1
0
F IG . IV.4: Illustration des fonctions paires et impaires
Exemple 1.3 Étudions encore la fonction du début de ce chapitre qui est la digitalisation d’un son
points elle n’est visiblement pas périodique.
(Fig. IV.1). Sur l’intervalle comprenant tous les Par contre, les premiers
points (reliés par des segments de z droite)
représentent une fonction
vtv
$
OtO 2t2t2 secondes. Si on dénote cette

qui peut être prolongée
périodiquement.
Sa
période
est
#
#$
#
$p
devient -périodique
fonction par
( en secondes), la fonction avec et on peut appliquer les formules de ce paragraphe. On cherche donc une représentation
g

5G
#h
$
F
D
E
5

avec
536 K g N

La Fig. IV.5 montre les modules de 5 en fonction
de * . On les calcule numériquement par FFT,
#
$
N
5 . On observe que les
voir le cours “Analyse Numérique”. Comme est réelle, on a K 5
N
N
coefficients de Fourier dominants correspondent tous à des multiples de . La fréquence dominante
$+
de ce son est donc de
Hz.

Essayons de retrouver le son de la Fig. IV.1 à partir de son spectre (c.-à-d. à partir des coefficients de Fourier 5 ). Quelques valeurs de 5 sont données dans le tableau IV.1. Dans la Fig. IV.6
N
N
nous dessinons quelques séries de Fourier tronquées. D’abord
nous prenons
uniquement les ter8|
8|
$
$ @ mes avec *
!x et *
, c.-à-d. la fonction K 8 | D K E0G ! 8 | D EHG . Ceci donne la fonction
N
N
101
100
10−1
0
50
100
150
F IG . IV.5: Le spectre (valeur alsolue de 5 en fonction de ) pour le son de la Fig. IV.1
Séries de Fourier
*
75
5
N @
@
w
@ B B+
! B I
w,I

I
^ 5 ^
N A
w
A
*
A
A
B
B,
@ w 5
N@
@
@
BI
I

I
^ 5
N w
^

B
TAB . IV.1: Coefficients de Fourier pour le son de la Fig. IV.1
$b pointillée dans la Fig. IV.6 (un sinus pur). Si on tient en plus compte des coefficients avec *
$ $l
et *
B on obtient la fonction traitillée, et en ajoutant les termes correspondant à *
et
$
*
on obtient la courbe solide. Elle est déjà une très bonne approximation du son actuel. On
voit qu’avec très peu d’information on peut reconstituer le signal original.
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
F IG . IV.6: Approximation par un polynôme trigonométrique
IV.2 Lemme de Riemann et fonctions à variation bornée
#

Si l’on se donne une fonction “arbitraire” sur >
, et si l’on calcule les coefficients 1 5 , 5
;
respectivement 5 par (1.5), on peut se demander :
N

la série de Fourier va-t-elle converger?, converger uniformément?
#

au cas où elle converge, va-t-elle converger vers ?
Ces questions, affirmées dans un élan de jeunesse par Fourier à partir de 1807, se sont avérées par
la suite plus difficiles que prévues.
Une première approche pour étudier la convergence
de la série de Fourier consiste à dériver
5 G,^Akl
D
^
^
^
E
^ 5 ^.
5
5
et d’utiliser le fait que
des majorations pour
N
N
N
Lemme 2.1 Soit D >
' ) une fonction en escalier sur un nombre fini d’intervalles, alors
les coefficients de Fourier (1.5) sont majorées par
^ 1 5 ^kC9= >
^* ^
^ 5 ^kC9= >
^* ^
;
^ 5 ^kC9=
^* ^
N
pour tout * .
(2.1)
Démonstration. Pour des fonctions en escalier (voir le petit dessin)
on peut explicitement calculer les coefficients de Fourier. On obr O
tient, par exemple,

r v
OTS
G K 5
5
r
D E G V r 8
5 $ 2 D # D K E GV $ r y
698
N
G ¢¡£
$
r 8 ! D K E 5 G £ r O @ r 8 # ! D K E 5 GL¤ r y @ r O # ! 77 @ r >
8
O
y
IF*
^ 5 ^+k ^ r O @ r 8 ^ ! ^ r y @ r O ^ ! 77 ! ^ r @ r 8 ^ k C9= ^
^
^* ^
N
*
Les estimations pour 1 5 et 5 sont obtenues par leur relation avec 5 et K 5
;
N
N
76
Séries de Fourier
,
Lemme 2.2 (Lemme de Riemann) Soit 1 >
' ) intégrable (au sens de Riemann), alors
;
§
§
§
#
#
# DL¨E 5 G V $c
o
$c
o
$c
o
V
V
+* >
,* >
57¦ ¥ g f
53¦ ¥ g f
35 ¦ ¥ g f
Ceci implique que les coefficients de Fourier satisfont 1 5
, 5
et 5
.
;
N
Démonstration. Soit ª¬«
. Par hypothèse, il existe un

partage de l’intervalle 1 > tel que (dans la notation de
;
[HW, p. 222], voir le dessin à droite)

@ #© n
®+ # @/¯ # $

ª

(2.2)
698
©
#

D
Notons
la fonction en escalier qui assume les valeurs

#
sur K 8 > . Pour cette fonction nous avons par (2.1)
D #
que pour ° suffisamment grand,
§
D # DL¨E 5 G V n ª
1 8
si *x±b°
(2.3)
f
K
;
8 #
² # @ D ## D ¨E 5 G ^9k @ #
^
on a , et l’on trouve par (2.2)
Dans chaque intervalle K >

# D Ë 5 G
# D Ë 5 G
D
que la différence
intégrales sur et est plus petite que ª . Ainsi, on a
§ des
# D Ë 5 G V Ân
^
f
l’estimation
ª pour *x±b° .
Le Théorème 2.4 ci-après est le résultat d’un long développement commençant par S.D. Poisson (Th. math. Chaleur 1835, p. 185), G.G. Stokes (1849), jusqu’à F. Riesz (Math. Zeitschr. 2,
1918, p. 312). Il est inspiré par l’estimation de la démonstration du Lemme 2.1, laquelle nous
amème à la définition suivante (C. Jordan, Cours d’Analyse, Tome I) :
Définition 2.3 (Variation totale et fonctions à variation bornée) La variation totale d’une fonc
,
' ) est définie par
tion 1 >
;
K 8
³µ´ f¶ §¸· $
^ e 8 # @ # ^ E
E
f 6 G7¼T½AG £ ¹»½9º ¾u¾u¾ ½AG7¿ 6§
26
E
³ ´ On dit que est à variation bornée si f7¶ §¸· ncÀ .
Afin de mieux comprendre les fonctions à variation bornée, voici quelques propriétés :
Une fonction est à variation bornée si et seulement si elle est différence de deux fonctions
monotones croissantes (voir Fig. IV.7).
#
³ ´
Â
$ ^ # @
Pour une fonction monotone Á 1 >
' ) on a f¶ §¸· Á Á
Á 1 ^ . Elle est donc a
³ ´
³ ´
³ ´ f¶ §¸·
#Ã; $ ³ ´ f¶ §¸· #
# ; ³ ´ f¶ §¸·
variation bornée. Comme f7¶ §¸· @ Á
Á et f¶ §¸· Á:!ÅÄ k
Á"!
Ä , aussi la
difference
de
deux
fonctions
monotones
est
à
variation
bornée.
1
# $ ³ ´ f7¶ · Soit
à
variation
bornée.
Avec
la
notation
on a la relation

>
'
)
Ä
G
^ r # @ ; # ^{k ³ ´ ¶ Æ · $ Ä r # @ Ä # pour n r . Par conséquent, Ä # @ # k
G #
#
r #
# k
#
r #
e $ #PA
Ä r @
et
aussi
Ä !
Ä r !
.
Les
deux
fonctions
ÄÇ!
et
K $ @ #PA
Ä
sont alors monotones croissantes et leur différence
donne la fonction
A#PA
e
K
(dans Fig. IV.7 on a ajouté la constante
aux deux fonctions
et ).
Si 1 > _ ' ) est à variation bornée, alors est intégrable (au sens de Riemann).
;
Ceci est une conséquence du fait que chaque fonction monotone est intégrable au sens de
Riemann ([HW] p. 228).
Séries de Fourier
77
e #
#
@ K #
F IG . IV.7: Fonction à variation bornée comme somme de fonctions monotones
Si est continûment différentiable, alors est à variation bornée.
ÈÉ #

Sur l’intervalle compact 1 > on a ^ ^AkbÊ . Le théorème de Lagrange nous donne alors
;

^ d # @ K 8 ^ $
^ È Ë # ^ ^ @ K 8 ^AkbÊ @ 1 #,
698
698
;
Une fonction peut être à variation bornée sans être continue.
Considérons, par exemple, des fonctions en escalier.
Une fonction peut être continue sans être à variation bornée.
# $
#

Une exemple est la fonction ( sur l’intervalle > .
Théorème 2.4 a) Si
$
satisfont pour *-a
> {
^ 5 ^Ak
N
')
C9=
^* ^
est à variation bornée, alors les coefficients de Fourier
(de même pour 1 5 et 5 ).
;
(2.4)

' ) est -périodique, Ì @ fois continûment différentiable et Ì fois différentiable
b) Si ' )
´
par morceaux avec W[ÍY^ 2 ¶ OTS · à variation bornée, alors
(de même pour 1 5 et 5 ).
(2.5)
;
#
Démonstration. a)
Pour un * fixé, nous approchons de plus en plus finement par des fonc
#
tions en escalier D , ainsi les intégrales
§
§
# DLË 5 G V
D # DLË 5 G V convergent
vers
f
f
^ 5 ÂkC9e =8
^* ^Í
N
(voir la démonstration du Lemme de Riemann). Mais, par la démonstration
du Lemme 2.1, ces
³ ´
^ ^ # k ³ ´ 2 ¶ OTSAÎ¢Î¢ÎÏÎ · ^ ^ # k
*
*
premières intégrales restent toujours majorées par 2 ¶ OTSÎÏÎ¢Î¢Î · D
#
^ ^
D
une constante qui ne depend pas de la fonction .
C9= * avec
#
b) Si est différentiable par morceaux, on fait une intégration par parties
# D K E 5 G OTS
OTS
OTS
5G V $
È # D K E5 G V $
#
K
E
D
5
(2.6)
!
2
2
2
@ * I
N
* I
d #
Le terme intégré disparaı̂t grâce à la
périodicité de . Le8 deuxième terme est le coefficient
È #
# K
de Fourier de la fonction
dérivée
avec
un
facteur
en plus. On peut donc appliquer
IF*
ÈÉ #
#
l’estimation (2.4) à . Si possède plus de régularité on peut repéter cette intégration par
parties pour obtenir (2.5).
78
Séries de Fourier
Exemples de la Fig. IV.3. La deuxième et la cinquième fonction de la Fig. IV.3 sont à variation
bornée, mais elles ne sont pas continues sur tout l’intervalle. On comprend alors pourquoi les
coefficients de Fourier diminuent comme C9= * . La quatrième fonction n’est pas bornée et donc
pas à variation bornée. Cela n’empêche pas les coefficients de diminuer aussi comme C9= * .
La troisième et la sixième fonction de la Fig. IV.3
possèdent une première dérivée qui est à
O
variation bornée, d’où un comportement en C9= * . La première fonction est à variation bornée,
mais sa dérivée ne l’est pas. On peut démontrer
(par le produit de Wallis) que les coefficients de
8 ¾|
Fourier se comportent comme C9= * .
IV.3 Etude élémentaire de la convergence
5 $
Comme ^ D E G ^
, nous savons par le critère de Weierstrass ([HW], p. 217) que la série de Fourier
(1.6) est uniformement convergente si la série de termes 5 converge absolument. Par conséquent,
N
sous la condition (b) du Théorème 2.4, il est certain que la série de Fourier converge uniformément

sur >
vers une fonction continue. Mais, on ne sait pas encore si elle converge vraiment vers
#
mÐ
la fonction . Dans le cas où ^ 5 ^
* (cas (a) du Théorème 2.4), ce raisonnement ne peut
N
pas être appliqué.
#
Pour étudier la convergence vers de la série de Fourier, nous considérons les sommes
partielles

OTS
5
® #$
# D K E5 G V $
5 DFE G
5
où
(3.1)
2
536 K N
N
Un résultat intéressant avec une preuve extrêmement simple a été publiée par P.R. Chernoff, Amer.
Math. Monthly, vol. 87, No. 5 (1980), p. 399–400.
#
d
et différentiable au point 2 %
Théorème 3.1 Soit® intégrable sur d> #2
#2
À
sommes partielles convergent vers si Ñ
.
#
>
. Alors les
2 #Ò$ .
Démonstration.
Après
soustraction
d’une
constante,
nous
pouvons
supposer
que
d #
#$¬Ó # @ 2 # Ó #
2
Comme est différentiable en , on a par Carathéodory que avec continue en 2 . L’idée géniale est de poser
#
Ó #
#
$
¬I @ 2 Ô # $
(3.2)
D EXWRG K G7¼tY @ D EXW[G K G7¼TY @ I
#
La fonction Õ DFÖ @ nous est bien connu (voir les “Nombres de Bernoulli” dans (I.9.3)) et
#
$×
possède une singularité supprimable en Õ
. Donc Ô dest
continue en 2 et intégrable sur
d
#
>
l’intervalle
. Notons 5 les coefficients de Fourier de et V 5 les coefficients de Fourier
#
N
de Ô . Par (1.6) nous avons alors
N
5 $
2
OTS
# D K E5 G V $
2
OTS
Ô # FD EXWRG K G7¼ØY @
5
#
$
D K E G V V 5 8 D K EHG7¼ @
K
V 5 ® #
$
Avec cette formule, les sommes partielles , évaluées en 2 , deviennent

5G ¼ $
® 2 # $
V 5 8 DFE¸W 5 K 8 Y[G ¼ @ V 5 DFE 5 G ¼ $ V 8 DFXE W K K 8 Y[G ¼ @ V DFE G ¼ >
F
D
E
5
K
K K
536 K N
536 K
(3.3)
(3.4)
Ô # ,
ce qu’on appelle une série téléscopante. Le Lemme de ® Riemann,
appliqué
à
la
fonction
#$cÙ$ d 2 #
À
o
montre que V
si Ñ
. Nous avons alors ¥ ¦ g 2
.
Séries de Fourier
79
IV.4 Noyau de Dirichlet et convergence ponctuelle
“L’auteur de ce travail (Cauchy) avoue lui même que sa démonstration se trouve en défaut
pour certaines fonctions pour lesquelles la convergence est pourtant incontestable. Un examen
attentif du Mémoire cité m’a porté à croire que la démonstration qui y est exposée n’est pas
même suffissante pour les cas auxquels l’auteur la croit applicable.”
(Dirichlet, Crelle Journal, vol. 4 (1829), p. 157)
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (pour plus de précisions voir H. Minkowski, Jahresber.
DMV XIV, 1905, p. 149–163), né en Allemagne en 1805 de parents émigrés français, passe les
années 1822–1827 à Paris; cette visite aura des conséquences dramatiques pour les mathématiques.
Il fait la connaissance de Fourier, Poisson et Cauchy. Poisson a publié une première preuve de
convergence des séries de Fourier, où Cauchy découvre une faute. Cauchy publie ensuite une
deuxième preuve, où Dirichlet découvre une faute (voir citation). Après son retour en Allemagne
(à 22 ans, sur initiative d’Alexander von Humboldt à Breslau, puis à Berlin) il écrit un chefd’oeuvre (Crelle Journal 1829), qui donne la première preuve rigoureuse de convergence des séries
de Fourier. De plus, cet article est à l’origine du concept moderne d’une fonction. Dirichlet devient
ensuite le père spirituel du jeune Riemann et lui transmet la passion des séries trigonométriques, qui
donnera naissance, entre autres, à l’intégrale de Riemann. De Riemann, l’intérêt de ces séries passe
à Weierstrass (son exemple d’une fonction sans dérivée est une telle série) et à ses élèves (Heine),
qui propose en 1870 au jeune Cantor d’étudier la convergence des séries trigonométriques. Ces
recherches de Cantor l’amènent à la théorie des ensembles, sans laquelle les mathématiques du
20e siècle seraient impensables.
® #
Considérons les sommes partielles d’une série de Fourier, comme elles sont introduites

dans (3.1). Si on écrit les intégrales pour 5 avec une nouvelle variable d’intégration , on peut
N
insérer ces formules dans la série et échanger somme et intégration. On obtient ainsi
OTS
OTS
OTS
® #$ Ú Ú
# D K E 5PÜ V DFE 5 G $
# Ú Ú DFE 5 WRG K Ü Y V $
# d # V
@
2
2
2
5 Û
5 Û
où
# $
@
Ú Ú DFE 5 W[G K Ü Y
5 Û
(4.1)
est le noyau de Dirichlet. Une formule plus compacte est donnée dans le lemme suivant.
Lemme 4.1 (Noyau de Dirichlet) Le noyau de Dirichlet est donné par
AA# ¯
¯ #$
ÑÝ!b

A
¯
(4.2)
et la somme partielle de la série de Fourier satisfait
S
® #$
d @Þ¯ #
#
#
x! ¯ !
¯ V ¯
2
Démonstration. En écrivant (4.1) sous forme d’une série
formule d’Euler
O ß
O ß
#$ D K E ß
ß
7
¯
! DFE ! D E !
! D E
D K E ß @ D EXW e 8 Y ß $ D K EXW e 8¸à O Y ß @ D
$
ß
D K Eß à O @ D
@ D E
(4.3)
géométrique, on obtient à l’aide de la
$
D K E ß @
E¸W e 8¸à O Y ß $
Eß à O
D W O e 8 RY E ß
ß
@ D E
AA# ¯
Ñá!b
A
¯
80
Séries de Fourier
Ñ
@ $
Ñ
$
Ñ
4
4
4
2
2
2
0
@ @ 0
0
$
F IG . IV.8: Noyaux de Dirichlet â äãtåæ avec l’enveloppe ç3è ã ~+éê ë ãtå è3~ ætæ en pointillée.
La formule pour la somme partielle est donnée par le calcul suivant:
OTS
S
G d
® #Ò$
#
@ # V $
¯ # V ¯ $
@Þ¯ #
#
ì
@
¯

2
T
O
S
S
K
G K
2
S
S
@ì¯ #
¯ # V ¯
@/¯ #
¯ # V ¯ $
#
$

!
x! ¯ !

2
2
S
K
#
Dans la première ligne on a utilisé la -périodicité de ¯ et de @í¯
#$
#
ligne le fait que ¯
@Ù¯ .
#
¯ V ¯
#
#
#
@Þ¯ ¯ V ¯
et dans la deuxième
Nous sommes ici à un point, où K. Knopp écrit (voir page 362): “Durch diesen Satz sind
7
7
77
zwar die Fragen
noch keineswegs
erledigt,
aber es ist jedenfalls
¯ # eine wesentlich neue

Angriffsmöglichkeit zu ihrer Erledigung geschaffen.” Les fonctions
ressemblentOTS fort à une
2 @
suite
de
Dirac
(voir
[HW,
p.
266])
et
on
pourrait
s’attendre
à
ce
que
la
convolution
# d # V
#
#
À
tend vers si Ñ
. Malheureusement, les ¯ ne forment pas précisément une
suite de Dirac, car les constantes de Lebesgue
OTS
î $
À
^ ¯ # ^ V ¯ À

pour Ñ
.
(4.4)
2
On doit soigneusement étudier
l’intégrale dans (4.3) et profiter des annulations dues aux change¯ #

ments de signe dans
.
d #
Pour le résultat suivant, l’hypothèse essentielle sera que soit de variation bornée. Rappelons qu’une fonction à variation bornée
différence de
fonctions monotones.
est# la$ï
deux
Pour# une
o
#
$
¥ G ¦ G7¼ e
et la limite à gauche 2 @
fonction monotone la limite à droite 2 !
#
o
¥ G ¦ G ¼ K
existent. Donc elles existent aussi pour les fonctions à variation bornée.
#
´
Théorème 4.2 (Dirichlet 1829) Soit une fonction -périodique et ^ 2 ¶ OTS · à variation bornée.
Alors la série de Fourier converge pour tout 2 %(' ) et
si est continue en 2 , on a o ¥ ¦ g ® 2 # $ 2 # ,
si est discontinue en 2 , on a
® 2 #$
o
¦ ¥ g 2 @ #
!
(le premier cas est en fait un cas particulier du deuxième).
2 #
!
(4.5)
Séries de Fourier
81
S
#
$
A
Démonstration. Nous utiliserons la propriétéS 2 ¯ V ¯ S 8 duÚ Ú noyau
5 de Dirichlet qui est
@Ù¯ # $
¯ #
¯ # V ¯ $
5 Û D E ß V ¯ $ . La formule
SK OTS
une conséquence de

et de K S
(4.3) nous suggère de considérer l’expression
2 #
S
S
2
¯ # V ¯@
2
2 #
#
!
#
$
#
¯
(4.6)
!

! ¯ @
!
¯ V ¯
2
2
S
AA# ¯ #
¯ ¯ # $ 2
$
# @ 2 #
V ¯
Ô ¯ # ÑÝ!b
Ô
¯
où
!
!
A
2
¯
¯
d #
À
Le but est de démontrer que cette dernière intégrale tend vers zéro pour Ñ
. Comme #
#
est à variation bornée, on peut supposer sans perte de généralité que et donc aussi Ô ¯ soient
monotones croissantes.
#
# $c
o
Par définition de Ô ¯ on a que ¥ ß ¦ 2 e Ô ¯
. Ceci implique que, pour un ªð«
arbitraire,
©
il existe «
tel que
k Ô ¯ # n
n ¯ n © pour
(4.7)
ª
$
A
Nous partageons alors l’intégrale (4.6) en (en utilisant l’abbreviation `
Ñ-! )
ñ
¯
V ¯ !
Ô ¯ # `
2
¯
ñ
S
¯
V ¯ Ô ¯ # `
¯
(4.8)
© d
L’intégrale sur l’intervalle >
tend vers zéro par le Lemme 2.2 (Lemme de Riemann), car la

$
singularité en ¯
est écartée. Tout l’art (de Dirichlet) réside dans une estimation soigneuse
#
©
de l’intégrale sur l’intervalle > . Ici nous avons besoin
la monotonie de Ô ¯ , ce qui est une
de
#
conséquence de l’hypothèse sur la variation bornée de .
#
L’idée est de remplacer la fonction Ô ¯ Øpar
une fonction en
òóuô \ ß
#
$ Ô #² #
D
D
5
¯
escalier
, qui prend la valeur
sur
* @ `
ß
@ #²

#
Ô ¯ #
l’intervalle * `J> *
` . Comme Ô ¯ est monotone
#
#
#
#
croissante, on a D ¯ ± Ô ¯ si ` ¯ «
et D ¯ k Ô ¯ si
Dy
n
. Ainsi
` ¯
DO
ñ
ñ
¯ V
¯ V
n ª
`
`
#
#
Ô ¯
D 8
¯ k 2 D ¯
¯
2
¯
¯
ñ
` ¯ V ¯ k
$ D 8 8
O
7 k

©
D
O
' !
' !
ª
ª Ê
2
' 8
'O
'y
¯
77
car ' 8 >7' O >
sont des intégrales avec valeur positive. La con$
stante Ê
majore l’intégrale
ñ
\ ñ õ
` ¯ V ¯ $
V õ $ ® I ` © #
2
2
¯
õ
#
(voir Figure IV.9 à droite). Pour obtenir une minoration de la même intégrale, nour remplacons Ô ¯
#
#Ï
par une fonction en escalier qui prend la valeur Ô *
sur l’intervalle * @ `
`J> *Ù!
#²
` . Les deux estimations ensemble montrent que la première intégrale de (4.8) devient arbi À
trairement petite. Ceci démontre que l’expression (4.6) converge vers zéro pour Ñ
.
De la même manière, on démontre
d 2 @ #
S
2 @/¯ #
¯ # V ¯Ã@

2
et en utilisant la formule (4.3) on en déduit (4.5).
82
Séries de Fourier
IV.5 Le phénomène de Gibbs
“Willard G IBBS, 1839-1903, war der grösste Thermodynamiker Amerikas und zugleich, neben
B OLTZMANN, der Begründer der statistischen Mechanik.”
(A. Sommerfeld, Part. Diffgln. der Physik, 1947, p. 10)
d #
Proche d’une discontinuité 2 d’une fonction , la série de Fourier tronquée ne donne pas une
bonne approximation (voir les ième et ième dessin de la figure IV.3). Bien que pour chaque
® #
#
$
ca 2 (où est continue) les sommes partielles convergent vers , l’erreur maximale
À
est indépendante de Ñ (pour Ñ
). Mais l’endroit où l’erreur est maximale tend vers la discon2
tinuité ; voir le dessin de gauche de la figure IV.9. Cette propriété s’appelle le phénomène de
Gibbs (1899).
ç3ûç3ü3ý
1
öá÷¬ø
−1
1.0
1
öá÷úù ~
ç3û
.5
®
þ
þ
ûý ù
#$
I 5
þ3ÿ3ÿ
2
G <õ V
õ
õ
10
F IG . IV.9: Sommes partielles ãµæ pour une fonction en escalier (gauche) et la fonction ãæ (droite)
Cas particulier. Pour expliquer le phénomène de Gibbs, considérons d’abord la fonction en
escalier (dessin de gauche de la figure IV.9)
n
~
si
n
#$
n n
@ si @
ã åæ
ã åæ
Les sommes partielles de la série de Fourier associée à cette

þ
å
fonction satisfont pour %Þ >
(voir le lemme 4.1)
S
® #$
#
#
#
x! ¯ !
@Þ¯ ¯ V ¯
2
S
G
¯ # V ¯Ã@
¯ # V ¯ $
~
2
S K G
8 #
Supposons maintenant que Ñ ! O k
(par j exemple avec
). La deuxième intégrale est
8
N
N
K 8#
#
# K A
B pour ¯ %
>
majorée par Ñ
parce que ^ ¯ ^ k
et parce
la
K 8#
O #que
ß $ ß $
#
O C! ¯
Ñ
longueur de l’intervalle8 d’intégration est . En utilisant O
et la
$ #
ÑÝ! O ¯ , la première intégrale devient
substitution õ
G
G ÑÝ!b AA# ¯ V $
W e 8¸à O Y[G õ V
¯ # V ¯ $ O #P
¯
õð
! Ñ K
2
¯ A
2
2
õ
® #
Avec la fonction I , définie dans le dessin de droite de la figure IV.9, nous avons donc
® #$ ®
8 #
I ÑÝ! ! Ñ K
8 # ® #
Cela démontre que, ®pour
et que la
Ñ grand, la fonction est maximale pour Ñ&! O B
#

valeur maximale de
trop grand.
est d’environ w , c.-à-d. presque Séries de Fourier
83
#
Cas général. Considérons une fonction -périodique 1 ) au point
qui possède une discontinuité (saut de hauteur
#
2 . Définissons une fonction continue Ô afin que
# $ Ô #
!
1
ã µæ
ãæ
ãµæ
#
@ 2 >
2
#
où est la fonction du cas particulier. Supposons que les sommes partielles de la série de
#
Fourier associée à la fonction Ô convergent uniformément vers cette fonction dans un voisinage
® #
#
de 2 . Nous avons donc que, proche de 2 , les fonctions associées à satisfont
®
#$ Ô #
!
1 ® I
Ñá!
!
K 8 #
Ñ
Ceci explique l’erreur proche de la discontinuité dans le ième et le ième dessin de la figure IV.3.
IV.6 Fonctions continues, Théorème de Fejér
“Fejér avait l’habitude de travailler couché sur le dos par terre, et en regardant le plafond. Sa
femme de ménage s’en est étonnée, et pensait d’abord qu’il était malade. Lorsque Fejér l’a
rassuré qu’il était en bonne santé, elle a explosé : Monsieur le Professeur ! Vous allez donner
quelques heures à l’université, puis vous rentrez et vous vous couchez par terre. Mais enfin,
quand travaillez-vous ?”
(Sain Márton, A matematikatörténeti ABC, trad. et comm. par E. Bayer)
Un des grands mystères
du 19e siècle a été de savoir si, pour chaque fonction continue, la série de
Fourier converge vers . Malgré les défauts de la preuve de Cauchy (1826) pour ce résultat, il a été
généralement accepté (par Dirichlet et Riemann). Un contre-exemple de du Bois-Reymond (1873)
a mis fin à cet espoir et, vers la fin du 19e siècle, le seul résultat rigoureusement établi concernant
la convergence des ces séries a été la preuve de Dirichlet de 1829, suivie de quelques variantes
(Dini, Jordan).
Dans cette situation morose, une sensation éclate: un jeune Hongrois de 20 ans publie dans
les Comptes Rendus de 1900 (p. 984) sur 4 pages la preuve que, pour
chaque fonction continue
périodique, les sommes de Cesàro convergent uniformément vers . Fejér est un des principaux
architectes d’une école mathématique hongroise de tout premier ordre (Lanczos, Erdös, Erdélyi,
F. et M. Riesz, Turán, Pólya, Szegö, J. von Neumann, Kalmár, Kàrmàn, Halmos, Haar, Wigner).
Sommes de Cesàro. Dans les années 1890, de nombreux chercheurs (Stieltjes, Cesàro, Poincaré
et E. Borel) ont tenté de “dompter” des séries irrégulières en théorie des nombres ou des séries
divergentes par des processus de “lissage” ou “sommation”. La méthode la plus simple est celle
77
par
de Cesàro (voir aussi Cauchy 1821, p. 59): on remplace une suite ¯ 2 > ¯ 8 > ¯ O > ¯ y >
7
7
$ ¯ 2 ! ¯ 8 ! ¯ O !
! ¯ K 8 õ
(6.1)
Ñ
Un exercice “must” pour tout cours de première année (voir [HW, p. 187]) : si la suite des ¯
converge, alors la suite des õ converge aussi et vers la même limite. Mais cette dernière peut
$
77
.
,>
>> >> >
converger, même si la première ne converge pas. Par exemple, ¯
® #
Si l’on applique cette idée à la suite de sommes partielles de (3.1), on aura la formule
8
8
^ ^
5
5
#$ K ® #$ K Ú Ú
5 DFE G $ Ú Ú
5 DFE G @ *
(6.2)
õ N
5 ½
Ñ 6 2
Ñ 6 2 5 Û N
Ñ
84
Séries de Fourier
2
@ 0
Ñ
$
2
@ 0
Ñ
$

2
@ 0
Ñ
$
#
F IG . IV.10: Noyaux de Fejér ¯
® #
#
En exprimant les sommes partielles à l’aide du noyeau de Dirichlet ¯ de (4.2), on
obtient pour la somme partielle de Cesàro
OTS
#$
# # V

õ (6.3)
2 @
#
où le noyeau de Fejér ¯ est donné par
#
#
#
7 7
¯ #$ 2 ¯ !/ 8 ¯ !
!ì K 8 ¯ (6.4)

Ñ

Lemme 6.1 (Noyau de Fejér) Les noyaux de Fejér satisfont pour ¯ %/ @ > ,
O

¯ #$
O ¯

(6.5)
ß
Ñ
O
$
#
#
A @ @ :
! Démonstration. L’identité implique que
8
8

K
¯
¯ O
¯ # @
¯ $ K
# # $
@ Ñ ¯ #$ Ñ
!
! ¯
6 2
6 2
#
La définition (6.4) ensemble avec la formule (4.2) pour ¯ donnent (6.5).
Lemme 6.2 (Suite de Dirac) Les noyaux de Fejér forment une suite de Dirac, c.-à-d., ils satisfont
S
¯ #
¯ # V ¯ $
pour tout Ñ
(6.6)

±
>
SK
©
et ±
arbitraire, il existe ° tel que
et, pour ªð«
«
#
¯ V ¯ k ª
pour ÑM±b° .
(6.7)
ß ! W K ñ ¶ ñ Y
Démonstration.
L’affirmation (6.6) est une conséquence immédiate de (6.5), de (6.4) et du fait
S
#
$
©
. Pour démontrer (6.7), fixons ª"«
«
et ±
arbitraire.
donc
que K S ¯ V ¯
8 8 On# O peut
¯ # k
© km^ ¯ ^k n
#
OTS òZóuô"
OTS est
trouver un ° tel que pour ÑÅ± ° et pour
l’estimation
¤
vraie. Ceci démontre (6.7). Notons qu’on a aussi
ñ
¯ # V ¯ k
n
@
(6.8)
ª
>
ñK
S
#
$
car K S ¯ V ¯
.
Séries de Fourier
85
Théorème 6.3 (Fejér 1900) a) Pour chaque fonction -périodique et continue sur ' ) , les sommes
d #
de Cesàro de la série de Fourier convergent uniformément vers .
#
d #
b) Au cas où est continue par morceaux1 , la convergence vers est uniforme dans
chaque intervalle fermé sans point de discontinuité, et on a que
2 @ #
2 #
2 #x$
o
!
!
(6.9)
¦ ¥ g õ en chaque point 2 de discontinuité.
Démonstration. a) La preuve est similaire à la preuve de Landau du “Théorème
d’Approximation
#
#

de Weierstrass” ([HW, p. 265]). Nous décomposons
la différence entre õ et d en trois
@ ©
#
#
© #
parties (d’abord on réstreint l’intégrale sur , puis on remplace
par ):
>:!
OTS
G e ñ #
#
@

# @ d #
##
# V @
#
k

@ V
õ 2
ñ
G K e ñ
eG ñ
G
#
@
#

A##
# V @
#

@ V
!
ñ
ñ
G K
G K
e ñ
# G
@
##
# V @ # !

B
ñ
G K
#
D’après des théorèmes d’Analyse I ([HW], p. 207 et 219),
est bornée et uniformément con
tinue sur l’intervalle compact >
.
©
Nous commençons par choisir un ª-« arbitraire. Puis, nous avons un «
pour satisfaire
^ d # @ # ^»n
©
. Ensuite, nous prenons Ñ sufissament grand
ª uniformément en si ^ @ ^»n
pour satisfaire (6.7) et donc aussi (6.8). Ainsi nous avons
^ # # ^ k
^ ## ^ k
^ B ## ^k
ª
ª Ê
ª Ê
# ^AkbÊ
par (6.7) et ^
# @ # A^ k
car ^
ª uniformément en # A^ kbÊ
^
par (6.8) et
.
(6.10)
#
# ^k Ê
#$

Donc, ^ õ @
pour tout &%Þ >
et la convergence uniforme est établie.
!b
#
b) Supposons que est seulement continue par morceaux. Comme dans la démonstration
du Lemme 4.1, formule (4.3), nous avons
S
#$
d
@/¯ #
#
#
õ x! ¯ !
¯ V ¯
2
La démonstration est maintenant similaire à celle du Théorème 4.2, mais beaucoup plus simple.
Nous considérons
2 #
S
S
d 2
¯ # V ¯@
2
2 #
#
!
#¯
$
#
(6.11)
!

! ¯ @
!
¯ V ¯
2
2
ñ
S $
S
2 ! ñ où © « est tel que ^ d et nous séparons l’intégrale en 2
n ¯ n ©
©
. Ainsi, l’intégrale sur > est majorée par ª et celle sur
bornée et le noyeau de Fejér satisfait (6.7).
1
2 ! ¯ # @ 2 ! # ^An ª pour
#
©
>
par Ê ª , car est
Une fonction %'&)(+*-,/.10325476 est continue par morceaux s’il existe un partage *98;:<>=?:A@B=DCEC/C=?:GF'8.
tel que %IHJ:
K est continue sur chaque intervalle ouvert HJ:GL ,M:GLN3@ K et à chaque point de discontinuité la limite à droite
%IHJ:GLPOQK et la limite à gauche %IHR:SL TBK existent.
86
Séries de Fourier
Contre-Exemple de Fejér (fonction continue avec série de Fourier divergente)
Neuf ans après son premier coup d’éclat, Fejér trouve une deuxième “trivialitásává” pour faire un
pied de nez aux grands maı̂tres du 19e siècle : son exemple d’une fonction continue pour laquelle
la série de Fourier diverge en un point (Crelle J. 137, 1909, p. 1–5; Ges. Arbeiten I, p. 538). Auparavant, un premier exemple, très compliqué, est dû à P. du Bois-Reymond (1873), un deuxième,
déjà plus simple, à H.A. Schwarz, un troisième à Lebesgue (Leçons, p. 84–88). Mais seulement
Fejér apporte une simplicité qui le rend approprié, comme il dit, “für Vorlesungszwecke”.
1
−1
1
0
1
2
3
4
−1
−1
0
1
2
3
4
−1
$
F IG . IV.11: Série “cosinus” pour , *
$
>B> > w (gauche), *
w>>>B (doite).
#{$
d
et prolongeons la en une fonction
Motivation. Considérons la fonction Ô +°Ç sur >
paire. Sa série de Fourier va être une “série cosinus” (voir Fig. IV.11) avec coefficients (utiliser la
$
#
#
formule >
:U
! !/ @ )
S

$c
V $ 1 5 $ si °
sinon.
!
* est impair et 1 5
2 +°Ç_* @
°
*
° !ì*
On
voit que les 1 5 non-nuls sont positifs pour * n ° et négatifs pour *x«b° . La somme partielle
® #$
536 2 1 5
$

est alors maximale pour Ñ
° (une sorte de résonance), ensuite elle décroı̂t
Ô A#Ã$ . On a ® # ± pour tout Ñ et on
de manière monotone vers zéro, comme
il
se
doit
car
® A#
peut minorer la valeur maximale 4
à l’aide de l’aire d’une hyperbole :
4 àO
1
® 4 A#-$
!
698 ° @ !b
° ! @ 4
(6.12)
o $ #P
« Aq ° !b
0
698 @ 1
3
5
7
9
11
13

Le contre-exemple. On considère donc (Fig. IV.12) la fonction paire qui sur >
est donnée par
8 V
v
z
¤
g
#x$
\ 77C$
O
(6.13)
x!
!
!
!

`
\ 698
O
#
assure
la
convergence
uniforme,
et
donc
la
continuité
de
Le dénominateur
`
. Les sommes
® #
$p \ ¤
$
7
partielles
de cette fonction ont une “résonance” vers Ñ
, dont la hauteur
>`
> >
< \ ¤
#
o
! « q
b
`
® #
# $c

(voir (6.12)). Ainsi,
ne convergera pas vers
pour Ñ
®
depassera
−1
0
−1
1
2
3
OPW ¤
#
«
−1
O
0
o
q
1
2
3
−1
F IG . IV.12: Exemple de Fejér
−1
(6.14)
À .
0
−1
1
2
3
Séries de Fourier
87
d #
Remarques. Une fois un exemple trouvé, pour lequel la série de Fourier diverge en un point,
on peut, à l’aide de translations et superpositions, fabriquer un exemple pour lequel la série diverge
en un nombre dénombrable de points.
La fonction (6.13) de la Fig. IV.12 n’est certainement pas à variation bornée. Cela peut aider
à comprendre pourquoi le concept de variation bornée a tellement facilité les preuves des paragraphes précédents.
La théorie de convergence des séries de Fourier pour fonctions continues a trouvé dans les
années 60 une certaine maturité, grâce à un théorème de Kahane® et Katznelson (pour chaque ensemble X de mesure nulle il existe une fonction continue tel que diverge sur X ), et un théorème
®
réciproque de Carleson (pour chaque fonction continue périodique les convergent vers sauf
sur un éventuel ensemble de mesure nulle).
Exemple 6.4 Pour quatre fonctions de l’Exemple 1.2 nous montrons dans la Fig. IV.13 (à com#
parer avec la Fig. IV.3) quelques approximations par des sommes partielles de Cesàro õ . Nous
observons que les oscillations proches des discontinuités (phenomène de Gibbs) ont disparu.
2
1
n = 24
1
−2
0
1
2
3
4
5
6
0
2
π
4
7
−1
−1
n = 12
1
n = 12
0
2
1
4
n = 12
0
−1
1
2
3
F IG . IV.13: Approximation par des sommes de Cesàro
IV.7 Systèmes orthogonaux
Pour nous rapprocher d’une théorie plus générale (séries de Fourier, Sturm–Liouville, polynômes
de Legendre, fonctions sphériques, etc.), et pour simplifier la notation, considérons l’espace
1 ÐÙ# $
1 , ]
Y
Ð \
> [
> Z
>
Z
Riemann-intégrable sur 1 > (7.1)
;
;
;
avec la forme sesquilinéaire semi-définie positive (on dira “produit scalaire”)
§
^ d # Ô # V Ô> _ $
`
(7.2)
f
On désigne par
a
la semi-norme correspondante.
a
O $
^
>
_
$
f
§
^ d # ^ O V (7.3)
88
Séries de Fourier
Pour un calcul avec cette semi-norme, on a les propriétés suivantes :
l’inégalité de Cauchy–Schwarz ^ ^ > Ô3_ ^k a a O a Ô a O ;
l’estimation a a O k j @ 1 a a g ; par suite, la convergence uniforme entraı̂ne la con;
vergence en moyenne quadratique;
si et Ô sont perpendiculaires, c.-à-d., ^ > Ô3_ $ , alors on a a ! Ô a OO $ a a OO ! a Ô a OO
(Théorème de Pythagore);
restreinte aux fonctions continues, la semi-norme a a O est une norme; c.-à-d., a a O $b est
$p
satisfaite seulement si
.
1 Ð#
Y
Définition 7.1 (système orthogonal) Une suite de fonctions Sb 5 53i 2 dans
> c
> Z forme un
;
système orthogonal si
^
$ 5 -> bed _ $c
pour *»E> f ±
b
> *-a f
a
a
$
On a un système orthonormal si, de plus, b 5 O
.
pour tout *x±
Exemple 7.2 a) Le système
>
DFEHG >
D K HE G >
D O HE G >
D K O HE G >
forme un systèmej orthogonal pour des fonctions dans
les fonctions par
. La suite des fonctions
>
A]>
]>
]>
Y
]>
D y 0E G > D K y EHG > 77 (7.4)
ÐÙ#
>
>cZ . Il est orthonormal si on divise
A9B]>
{B]>
7

forme aussi un système orthogonal pour l’intervalle >
.
Ð#
Y
b) Sur l’espace
> >[Z des fonctions définies sur un intervalle de longueur ,
7
>
]> A ]> A9B]> A ]>
(7.5)
(7.6)
est un système orthogonal. Un autre système orthogonal sur le même espace est
7 ]> ]> <B]> ]>
(7.7)
d Ð
#
Y
Notons que (7.5) n’est pas orthogonale sur
> c
> Z .
c) Le polynômes de Legendre
5
V 5
O
#$
#$ B O @ g 2 g
g
#$
77 g 5 #$
8
O
@ > 77 (7.8)
5
5
>
]>
>
*)h V @
Y
Ð
#
> c
> Z (voir le cours “Analyse Numérique”).
forment un système orthogonal dans
1 Ð
#
Y
Soit Sb 5 53i 2 un système orthonormal dans
> i
> Z (un système orthogonal peut toujours
a
a
;
5
5
O
être normalisé
en divisant b par sa norme b
) et soit une combinaison linéaire finie de la
$
536 2 5 5
b
forme
. En prenant le produit scalaire
avec b et en utilisant l’orthonormalité du
^ $
N
>-b _ pour le coefficients. Ceci est la motivation
système Sb 5 57i 2 , on obtient la formule
N
pour généraliser les séries de Fourier à des systèmes orthonormaux arbitraires.
1 Ð
#
1 Ð#
Y
Y
> c
> Z et soit %
> c
> Z .
Définition 7.3 Soit Sb 5 53i 2 un système orthonormal dans
;
;
On appelle
h
5 b 5
5 $ ^ -> b 5 _
avec
(7.9)
2
53i N
N
h
série de Fourier, et les 5 sont les coefficients de Fourier. On utilise la notation comme dans la
N
Definition 1.1 pour indiquer qu’il s’agit d’une identification formelle.
Séries de Fourier
89
Le résultat suivant montre que la série de Fourier tronquée
possède une propriété d’optimalité.
a a
O dans la classe de fonctions qui
Elle est la meilleure approximation de pour la norme
5
s’expriment comme des combinaisons linéaires de b jusqu’au degré Ñ .
1 Ð#
Y
Théorème 7.4 Soit Sb 5 53i 2 un système orthonormal dans
> >cZ , soit la fonction Riemann
77 V
;
>
intégrable sur 1 > et soit 53i 2 5 b 5 sa série de Fourier. Pour tout Ñ(±
et pour tout V 2 >
;
N
on a que

@
@
V 5 b 5 5 b 5 O k
O
2
2
536 N
536
Ú Ú
5
# $
5 Û V 5 D E G de degré Ñ ,
En particulier, parmi tous les polynômes trigonométriques OTS
celui pour lequel
# @
# O V

¥ 2
® #
est la série de Fourier tronquée .
536 2 5 5
b
Démonstration. La différence @
est orthogonale à tous les fonctions b avec k Ñ
N
ainsi qu’à leurs combinaisons linéaires :

^ ^
@
$
_ @
_ $
5 b 5 >
5
5
5 5 $c

@
b
>-b
b >-b
536 2 N
6 2
6 2
5 ¶ 6 2 N
6 2
N
536 2 N
$ 5 @ V 5
En appliquant le Théorème de Pythagore avec 5
on obtient
N

O
O
@
@
5 @ V 5 # 5 O
@
$
V 5 b 5
5
5
5
b
b
O
O !
O ±
536 2
536 2 N
536 2 N
536 2 N
O
b
5 O
(7.10)
ce qui montre l’affirmation.
1 Ð#
Y
> >cZ , soit la fonction RiemannThéorème 7.5 Soit Sb 5 53i 2 un système orthonormal dans

;
intégrable sur 1 > et soit 53i 2 5 b 5 sa série de Fourier. Alors,
;
N
g
^ 5 ^ O k a a OO
(inégalité de Bessel)
(7.11)
2
536 N
O
et en particulier la série 53i 2 ^ 5 ^ converge. On a
N
g

@
^ 5 ^ O $ a a OO (égalité de Parseval) jlk
5
536 2 N
576 2 N
b
5 O
quand Ñ
$ p
dans l’égalité de (7.10), on obtient
Démonstration. En prenant V 5

O
O
O
a a O $
@
$
^ 5 ^O ±
5 b 5 O !
5 b 5 O
5 b 5 O !
@
O
536 2 N
35 6 2 N
536 2 N
536 2 N

À
(7.12)

^ 5 ^O
536 2 N
(7.13)
quel que soit Ñ et l’inégalité de Bessel est démontrée. L’égalité de Parserval découle de l’égalité
dans (7.13).
Remarquons que l’inégalité de Bessel fournit une nouvelle preuve du Lemme de Riemann.
90
Séries de Fourier
1 Ð#
Y
Définition 7.6 (système complet) On dira qu’un système orthonormal Sb 5 35 i 2 dans
> >cZ
1 ÐÙ#
Y
;
est complet (ou total) si pour toute fonction %
> >iZ on a
;

^ @
À _
5
>
b
b
Ñ
si
(7.14)
O
536 2
Propriétés de systèmes complets.
1 Ð
#
Y
> >iZ , la série de Fourier converge en moyenne quadratique
a) Pour toute fonction %
;
vers (ceci est la formule (7.14) exprimée en mots), même si la série ne converge pas point par
point.
1 Ð#
Y

> c
> Z et si est continue sur 1 > , alors
b) Si Sb 5 53i 2 est complet dans
;
; ^ $c
$
jmk
>-b 5 _
pour tout *Ç±
a a
O $ . Par
Si les coefficients de Fourier sont tous nuls, l’identité de Parseval implique que
continuité la fonction est donc identiquement nulle.
1 Ð
#
Y
%
> i
> Z peut être
c) Si Sb 5 53i 2 est complet, alors la série de Fourier d’une fonction
#Þh
;
intégrée terme
par
terme
independamment
de
la
convergence
de
la
série;
c.-à-d.,
si
57i 2 5 b 5 # , alors on a pour tout 8 n O
N
GL¤ # V $
GL¤
5
5 # V b
2
53i N G £
G £
Des estimations élémentaires et l’inégalité de Cauchy–Schwarz donnent

GL¤ d # V
GL¤
GL¤ #
# V
k
5
5 b 5 # V 5
@
@
b
2
2
536 N G £
536 N
G £
G £

§
# @
@
# V k
k
5
5
5
b
f
536 2 N
536 2 N
j
5 O
@ 1 ;
À
Par definition de la complètude cette majoration converge vers zéro pour Ñ
.
O
y
77
Théorème 7.7 (convergence en moyenne quadratique) Le système ,> D ¨EHG > D ¨ EHG > D ¨ E0G >
Ð#
ÐÙ#
Y
Y
>
>[Z . Ceci signifie que pour toute fonction %
>
> Z on a
[
est complet dans
OTS
O
5
# @ Ú Ú
À
5 DFE G V pour Ñ
2
5 Û N
où 5 sont les coefficients de Fourier de .
N

Démonstration. Dans une première partie nous montrons
que pour tout ª&«
il existe une fonction continue et #
périodique Ô telle que
OTS
# @ Ô # O V k
ª
(7.15)
2
©

Par hypothèse (voir aussi la démonstration du Lemme 2.2
$
$
1
2
n
n
8
de Riemann) il existe un partage
77 n
$

ª .
de Riemann
#
Ô
Nous prenons pour une fonction linéaire par morceaux
8
K
une valeur dans
(voir la petite figure)
qui
prend
au
point
n e 8 e 8
l’intersection >7
. Pour obtenir une fonction -périodique, nous remplaçons

>7
#
#
#<$ Ô #
n 8 8
par (si nécessaire) et nous choisissons Ô
dans >7
>7 . Ainsi,
#

la fonction Ô d est dans
la
partie
grise
de
la
figure
et
nous
obtenons
sur
l’intervalle
K 8 >
O
#
#
#
$ Ê È
l’estimation ^ @ Ô ^ kbÊ @ . Nous en déduisons l’affirmation (7.15) avec ª
ª .
b
Séries de Fourier
91
#
#
Par le Théorème 6.3 de Fejér, les sommes de Cersàro õ de la série de Fourier pour Ô #
convergent uniformément vers Ô . Pour Ñ suffisamment grand on a donc
OTS
O
Ô # @ õ # V k ª (7.16)
2
O
O #
^ 1 ^O
#O
! ^ ^ donne alors
L’inégalité élémentaire ^ 1 ! ^ k ^ 1 ^ ! ^ ^ k
;
;
;
OTS
OTS
#
# O V
# @
# O V
d # @ Ô #
$
õ ! Ô @ õ 2
2
OTS
T
O
S
O
# @ Ô # O V
Ô # @ õ # V k ª k
:
!
2
2
a a
O , les sommes partielles de la série de Fourier donnent la meilleure approximaDans la norme
tion parmi tous les polynômes trigonométriques de degré Ñ (voir le Théorème 7.4). Ceci implique
que
j
a @ ® aO k a @ õ aO k
ª
et l’affirmation du théorème est démontrée.
d
Y
#
Corollaire 7.8 Le système orthogonal ,* 57i 2Go <* 53i98 est complet dans
>
7> ' ) .
Y
d

#
Le système orthogonal ,* 53i 2 est complet dans
> >7' ) .

Y
#
7
5
9
i
8
Le système orthogonal +*
est complet dans
> >' ) .
Démonstration. La première affirmation est une conséquence
immédiate du Théorème 7.7. Pour

Y
#
la deuxième, considérons une fonction arbitraire dans
> >7' ) . Nous la prolongeons en une
fonction paire (voir la figure IV.4) et ensuite en une fonction -périodique. La série de Fourier
de cette prolongation est une série en cosinus et, par le Théorème 7.7, elle converge vers en

moyenne quadratique sur l’intervalle > . Pour la troisième affirmation nous prolongeons la

Y
#
> >7' ) en une fonction impaire.
fonction %
_ Ð
Théorème 7.9 (Weierstrass 1885) Soit 1 >
Z
une fonction continue. Pour chaque ªð«
#
;
il existe un polynôme Ì tel que

^ d # @ Ì # ^k ª
pour tout &%Þ 1 >
;

q
p
Ýr
! nous pouvons
Démonstration. Après un changement des coordonnées
de
la
forme
d #
n 1 n
n
supposer que
. Nous prolongeons de manière continue et -périodique sur
;
Ú Ú convergent uniformément
tout ' ) . Pour cette fonction les sommes de Cesàro de la série de Fourier
5
#
#$
5 Û 5 D E G tel que
vers . Il existe donc un polynôme trigonométrique N
Z
^ # @ # ^k ª
pour tout %Þ >
#
Comme combinaison linéaire des fonctions exponentielles, la série de Taylor de possède un
#
$ À
rayon de convergence
. En tronquant la série de Taylor on obtient un polynôme Ì qui
s
#
#

satisfait ^ @ Ì ^k ª pour tout %Þ >
. L’inégalité de triangle permet de conclure.
#
g
Corollaire 7.10 Le système
orthogonal formé par les polynômes 5 de Legendre (7.8) est un
@
Y
Ð
#
système complet dans
> >[Z .
Démonstration. Comme dans la démonstration du Théorème 7.7 on peut se ramener au cas d’une
#
fonction continue
démonstration montre qu’il suffit de prouver l’existence d’un
. La même
a #
@ Ì a O est arbitrairement petit. Mais, ceci est une conséquence
polynôme Ì pour lequel
immédiate du Théorème de Weierstrass.
92
Séries de Fourier
IV.8 L’espace de Hilbert
t3u
“Notre sujet ûFûFû devra être considéré comme marquant une première étape dans la Théorie des
fonctions d’une infinité de variables, encore naissante, mais qui fournira peut-être bientôt les
méthodes les plus puissantes de toute l’Analyse.”
(F. Riesz 1913, Oeuvres II, p. 833)
Dans le cadre de ses recherches sur les équations intégrales, Hilbert a entamé dans les premières
années du ème siècle un vaste programme d’étude de fonctions à une infinité de variables. Une
8 > O > y > 7 .
série de Fourier est justement une “fonction”
dépendant
d’une
infinité
de
variables

Ð
N N N
Allons
donc élargir la théorie de l’espace ' ) ou Z au cas de dimension À . Nous n’écrirons pas
Ð g
, car ici les différentes normes (voir [HW, p. 275]) ne vont plus être équivalentes et les espaces
Z
vont être différents pour les différentes normes.
L’identité de Parseval (7.12) nous montre déjà le chemin : nous allons surtout nous intéresser à
la norme euclidienne.
Définition 8.1 On dénote l’espace des suites carré-sommables par
g
O Ð
# $
2 8 O y 77#v\ 5
Ð
^ 5 ^O p
n À
f
Z
> > > >
% Z >
w
N N N N
N
536 2 N
O #
Si on se restreint aux suites réelles on écrit f ' ) .
Dans cet espace nous avons un produit scalaire et une norme :
g
g
^
a
a
^
V> _d $
_ $
^ 5 ^O
5 V 5 >
O $
>
2
2
576 N
536 N
N
N
N N
(8.1)
(8.2)
On devrait maintenant s’attaquer
à de nombreuses petites preuves fastidieuses, car pleines de
Ð
, mais elles ne le sont plusO pour une infinité de variables.
Par exchoses sont “triviales”
dans
Z
O
O
O
emple, si x
cela
% f on doit démontrer que ! V %xf , i.e., que ^ 5 ! ^ V 5 ^ nÀ a . Pour
% f et V x
a
a V aO
N
N
N
V
_ ^k
^
O
on écrit quelques lignes fades et l’on utilise l’inégalité de Cauchy–Schwarz
.
>
O
N
N
Une chose est cependant intéressante à démontrer, le fait que f est complet.
Définition 8.2 Un espace vectoriel est complet si chaque suite de Cauchy est une suite convergente. Un espace complet avec produit scalaire et norme s’appelle un espace de Hilbert.
O #
O Ð
#
Théorème 8.3 Les espaces f ' ) et f Z sont complets.
8
8
8
8
Démonstration. Soit
W 8 Y $ 2 W Y > W8 Y > O W Y > y W Y > 77#
N O $ N O N O N O N O 77#
W Y
2 W Y > W8 Y > O W Y > y W Y >
(8.3)
N y $ N y N y N y N y 77#
7
7
W Y
2 W Y > W8 Y > O W Y > y W Y >
>
N
N N
N
N
a
a

une suite de Cauchy, c.-à-d., pour ªÇ«
arbitraire il existe un entier ° tel que W Y @ W[\ Y O n ª
N
N
pour Ñd>` «° . Pour chaque entier y , nous avons alors
z
^ 5W Y @
2
35 6 N
N
O
5 W[\ Y ^ n ª
(8.4)
W Y
WR\ÃY
W
et aussi ^ 5 @ 5 ^n ª . Ceci signifie que pour chaque * la suite 5
N
N
Ð N
Cauchy dans Z (un espace complet). Par conséquent, cette suite converge :
À
passant à la limite `
dans (8.4), on obtient
z
^ 5W Y @
536 2 N
N
5 ^O k
ª
Y 3 9
i 8 est une suite de
o
W Y $ 5
¥ ¦ g 5
. En
N
N
(8.5)
Séries de Fourier
93
Cette inégalité est vraie pour chaque y . Ainsi,
g
^ 5W Y @
2
35 6 N

Cela signifie que W Y @
N
N
%{f
O
, donc aussi
N
5 ^O $
N
%xf
O k ª o
et ¥ ¦ g
W Y $
N
O
W Y @
a
a
N
N
N
(8.6)
.
Remarque. Chaque système orthonormal complet donne suite à une application
O ÐÙ#
|
Ð#
Y 1 > c
(8.7)
> Z
f
Z
;
| Ï #Ò$
5 57i 2 où
qui
une fonction sur la suite des coefficients de Fourier, c.-à-d.,
O
h envoie
Ù
Ð
#
N
2
2
53i 5 b 5 . Par l’identité de Parseval, la suite 5 53i est en effet dans f
Z
, et on a que
a a
N
O $ a | N Ï # a O $ a 5 53i 2 a O . En identifiant les fonctions
avec la même série de Fourier, on
1 Ð#
Y
N
> >cZ
obtient alors une isométrie. Cette dernière application n’est pas surjective, car l’espace
;
n’est pas complet (voir Exercice 29).
1 ÐÙ#
Y
Un problème important est de trouver un espace qui contient
> [
> Z et qui soit complet
;
pour que cette isométrie devienne bijective. Pour ce but, il s’avère que l’intégrale
de Riemann n’est
1 ÐÙ#
Y
pas suffisante. L’intégrale de Lebesgue permet d’interpréter le complété de
> i
> Z comme un
;
espace de classes de fonctions de carré intégrable au sens de Lebesgue (voir le cours Analyse III
pour plus de détails).
IV.9 Ondelette de Haar
L’analyse de Fourier est basée sur les fonctions
DFE 5 G $
qui sont uniformes sur tout l’intervalle considéré. Elle ne peut pas traı̂ter de manière efficace des
phénomènes locaux. Par exemple, on a des grandes difficultés d’approximer une fonction proche
d’une discontinuité (phénomène de Gibbs). Dans le traitement des images, où on est typiquement
confronté à des changements abruptes de couleurs, ceci est un grand désavantage. Le but est alors
1 Ð
#
Y
de trouver un système orthogonal de
> i
> Z pour lequel la série de Fourier s’adapte mieux
;
aux phénomènes locaux.
L’origine de la “base de Haar” que nous allons présenter dans ce paragraphe, est légèrement
différente. Après le ‘désastre’ des théorèmes de convergence pour séries de Fourier et fonctions
continues (fausse preuve de Cauchy, correction de Dirichlet, contre-exemple de Fejér), Hilbert pose
à son étudiant A. Haar le problème suivant : trouver (enfin) une base de fonctions orthogonales, où
la convergence (uniforme) est assurée pour toute fonction continue. Le résultat de ces recherches
est la “base de Haar” (1910, voir la figure IV.14).

La base de Haar (ondelettes de Haar). Sur l’intervalle > nous considérons la fonction con#$
A
ainsi que
stante b Ó #$
si &%Þ >
@ si &% > .
Elle s’appelle ondelette mère et nous permet de construire toutes les autres fonctions de la base par
dilatation et par translation :
Ó 5 ¶ #$p 5Pà O Ó 5 @ #
$p
7 5 @
pour *Ç±
et f
d f
>>
94
Séries de Fourier
2
2
b
1
0
2
Ó 2 ¶2
1
1
0
2
Ó 8 ¶2
1
1
2
Ó 8 ¶8
1
0
1
2
Ó O¶ 2
1
0
1
0
2
Ó O¶ 8
1
1
2
Ó O¶ O
1
0
1
0
Ó O¶ y
1
1
0
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−2
−2
−2
−2
−2
−2
−2
−2
1
F IG . IV.14: Les ondelettes de Haar

On voit une grande différence avec la base de sinus +* 57i98 sur l’intervalle > . La
Ó 2 ¶ 2 $/Ó
Ó
première fonction 5
ressemble beaucoup la fonction . Pour
* fixé, les fonctions 5 ¶ d
5
$ 77
@ correspondent ensemble à la fonction pour f
>>
>
. Elles permettent mieux
de s’adapter aux phénomènes locaux. Par contre, on a beaucoup moins de frequences à disposition
(seulement les puissances de ).
Théorème 9.1 Les fonctions
d>
}b
Ó 5 ¶
d
\
* ±
forment un système orthonormal de l’espace
Y
$p
77 5 @
>~f
>>
>
ÐÙ#
> >[Z .
(9.1)
Démonstration. L’orthogonalité
du5 système est facilement vérifiée en5 distinguant plusieurs cas.
Ó 5 ¶ # ^O
^
d vaut sur un intervalle de longueur K et zéro ailleurs, on a que
Comme
la fonction
a Ó
a
$
5 ¶d O
pour tout *»E> f .
536 K 2 8 O 6 K 2 8 5 ¶ Ó 5 ¶
d
d est une fonction en escalier. Elle est
Chaque combinaison linéaire 2 bÝ!
d
$
#
N
N

K f> K f !l
dans l’espace X
de fonctions qui sont constantes sur les intervalles ' ¶ d
$b
7 @
>>
>
. La valeur r d de cette combinaison linéaire sur ' ¶ d est donnée par (pour
pour f
$
j
Ñ
B )
r2
2
j
N
r 8
2 ¶2
@
j
N
r O
8 ¶2
@
j
N
r y
8 ¶8 @
@
$
j
N
(9.2)
r v
O¶ 2
@ j
N O¶ 8
r |
@
@ j
N O¶ O
r V
@
@ j
N O¶ y
r }
@
@
@ N
La matrice dans (9.2) est orthogonale à une constante près. Ceci entraı̂ne que chaque fonction en
escalier dans X peut être écrite sous forme d’une telle combinaison linéaire.
ÐÙ#
Y
$ ^
$ ^ Ó 5 ¶ _
Lemme 9.2 Soit %
sont les coefficients de Fourier
> >cZ . Si 2
>-b _ > 5 ¶ d
>
d
N
N
pour la base de Haar, alors la somme partielle
K 8 O K 8
® #$ 2 #
5 ¶d Ó 5 ¶d #
b
!
N
536 2 d 6 2 N
$
d # V
est la fonction en escalier qui prend la valeur moyenne r ¶ d
sur l’intervalle
¿
$
#
$c
77 @

' ¶d
K fA> K f ! (pour f
>>
>
).
Séries de Fourier
95
® #
est dans l’espace X . Par le Théorème 7.4, cette fonction
Démonstration. Laa fonction
@ ® aO

minimise la norme
parmi toutes les fonctions en escalier dans X . Par conséquent, la
® #
r
¶
valeur d de sur l’intervalle ' ¶ d minimise l’expression
# @ r ¶ O V

d
¥Ç
¿
En calculant les dérivées par rapport aux parties réelle et imaginaire de r ¶ d on voit que la valeur
$c # V
.
optimale est donnée par r ¶ d
¿ Ð
Théorème 9.3 Pour chaque fonction continue
>
Z , la série de Fourier pour la base
#
® #
de Haar converge uniformément vers , c.-à-d., pour les fonctions du Lemme 9.2 on a
´ 2 ¶ 8Z· ^ # @ ® # ^ À
¥ G !

si Ñ
.
#

Démonstration. Sur l’intervalle compact > la fonction est uniformément continue. Pour
©
^ d # @ # ^ n ª si ^ @ ^ n © .
un ªí«
arbitraire, il existe donc
un
«
pour
lequel
# @ # n

En intégrant l’inégalité @ ª n
ª par rapport à sur l’intervalle ' ¶ d , on obtient
^ d # @
# V ^+n

K n ©
ª pour tout %Þ > , si
, et la convergence uniforme est établie.
Corollaire 9.4 Le système orthonormal (9.1) est complet dans
Y
ÐÙ#
> >cZ .
Démonstration. Par le même raisonnement que dans la démonstration du Théorème 7.7 il suffit
de considérer des fonctions continues. La complètude est une conséquence du Théorème 9.3, car
la convergence uniforme entraı̂ne la convergence en moyenne quadratique.
5
Les fonctions trigonométriques D E G et la base de Haar sont deux cas extrêmes pour des
systèmes orthogonaux. Pour le premier, les fonctions sont d’une très grande régularité, mais on
est confronté au phénomène de Gibbs proche des discontinuités. Pour le deuxième, les fonctions
de la base sont peu régulières (elles sont discontinues), mais elles s’adaptent bien aux phénomènes
locaux.
Un grand problème est de trouver un système orthonormal complet qui est formé par des fonctions regulières (continue, différentiable, à support compact, etc.) qui localisent bien. Les di7
verses réponses à cette question (ondelettes de Meyer, ondelettes de Daubechies, ) nécessitent
la connaissance de fonctions de carré intégrable au sens de Lebesgue et des moyens de l’analyse
fonctionnelle (voir le cours “Analyse III”).
IV.10 Exercices
5
35 g 6 K g 5 E G avec
8
5
5 E ¤ si
÷
þ
5
1. Considérons la série de Fourier
si
þ

l÷
þ
÷ û
f
53i98 5 é ã æ
57i98) 5 éê ë ã µæ .
Ecrire cette série sous la forme O ¼ Réciproquement, transformer la série de Fourier donnée en notations réelles par
5 ÷
ç
~

v
pour }
þ
en la série correspondante en notations complexes.

5 ÷

pour 9úç
96
Séries de Fourier
2. Calculer la série de Fourier de la fonction ~ -périodique donnée par (voir la 5ème fonction de la
Fig. IV.3)
þ
si

]

è
÷

ãµæ

úþ
]è

si

3. Calculer la série de Fourier de la fonction ~ -périodique donnée par (voir la 2ème fonction de la
O
O
Fig. IV.3)

ãæ ÷ pour ]
û
4. Soit
'
ç3~

A3

une fonction avec série de Fourier
2
ãµæ¡ 5~ é
53i98
~
5 éê ë<

53i98
û
Calculer les séries de Fourier de
ãµæA
ã
µæ

ãµæ
~
ã
æ
ã æ ÷

~
ã
æ
si
si
ã¢ æ
þ>

úþ

û
Quelle est la parité de ces fonctions ?
5. Calculer la série de Fourier de la fonction ~ -périodique donnée par
ãµæ ÷
æ
é ã

où n’est pas entier.
Résultat :

~
éê ë ã æ
~
g
ç
57698
ã

ç æ
5

O

é ã æ
O

æ , montrer que
6. En supposant que la série de Fourier de l’exercice 5 représente la fonction é ã µ
ç
g
ç
÷
éê ë>£
57698
£
ã
ç æ
5
ç
£

ç
£

(à comparer avec la formule (III.6.7)).
7. On dit qu’une fonction
þ
§¥
tel que
me

ãµæ
ew
ã¨»æ
satisfait une condition de Lipschitz d’ordre ¤¦¥

© ¨
pour
ª

¨«
²û

þ
s’il existe
(10.1)
a) Une fonction, qui satisfait (10.1) avec ¤¬¥úç , est constante.
b) Une fonction, qui satisfait (10.1) avec ¤ ÷ ç , est à variation bornée.
c) Pour ¤lúç , trouver une fonction ãæ qui satisfait (10.1) mais qui n’est pas à variation bornée.
5
þ
þ
þ ã
Indication. Sur l’intervalle
la fonction qui satisfait ã æ ÷
, ç3è3 æ ÷ ã ç æ è3
ç® , considérer

et qui est linéaire sur chaque intervalle ç3è ã ç æ ç3è3¯ .
ª
8. Considérons une fonction qui satisfait (10.1) et qui est ~ -périodique. Montrer que les coefficients
de Fourier satisfont l’estimation

5

~

pour tout .
ª

Indication. Par un changement de variables montrer que
5 ÷
ç
~
2
OTS
5G °
ãæ K E

÷
ç
~
2
OTS
Prendre la moyenne arithmétique de ces deux représentations de 5 .
9. Pour quelle valeur de ¤ , la fonction
ãµæ ÷
ª

K E5 §
G °
û

þ
éê ë ã ç3è µæ est-elle à variation bornée sur ®ç ?
Séries de Fourier
97
10. Montrer qu’une série de Fourier
2
~
peut être écrite sous la forme
2
~
O
où 5 ÷
±
5

O
5 éµ
53i98
5 é ã
53i98±
5 éê ë

53i98
³²
5 æ
5 . Exprimer ² 5 en termes de 5 et 5 .
æ est un polynôme à deux variables. Montrer qu’il y a
11. Soit ãæ ÷µ´ ã é éê ë æ , où ´ ã¶
seulement un nombre fini des coefficients de Fourier de ãµæ qui sont non nulles.

·
12. a) En utilisant le théorème des résidus (intégrales trigonométriques), calculer la série de Fourier de
~
ãµæ ÷ ¸
é ã µæ
û
é ã µæ

b) A l’aide de la série géométrique, vérifier que
æ
é ã
5
~

53i 2
est bien égal à ãµæ .
½

¹
¾S¿ avec
13. Soit ã¹æ analytique dans un voisinage de la couronne circulaire º ¹»«¼ ç3è®¾
À
÷
E
H
G

ã æ satisfont l’estimation
un ¾}¥ ç . Montrer que les coefficients de Fourier de la fonction ãæ
(décroissance exponentielle)
5

ÂÁ`ÃÅÄIÆ/Ç

5
¾
û
14. Démontrer que les noyaux de Dirichlet possèdent la propriété que
S
2
15. Justifier la formule
O
~
16. Pour ¬«
þ

þ
Ê>
17. Soit
fonction
÷
½
¼
å
°
ù
~

53698

ç
÷
si ö
ÉÈ
g
ç® , montrer les formules
g
O ÷ ø
éê ë ã ~3 ç æ
y
y
ã ~3 ç æ
53698
~A}

O

â äãtåæ

ÿ
éµ
O
Jû
ÉÈ

pour
ç
g
O

53698
þ>
éµ~3
O

÷

~]û
~
O
g
53698
éê ë
O

O

û
continue par morceaux et designons par 5 ses coefficients de Fourier. La
Ë
ãµæ ÷
2
G
2
¢
ãÌPæ
° Ì
est continue, à variation bornée et ~ -périodique. Montrer (intégration par parties) que
Ë
Ainsi on a l’égalité
2
G
ãÌFæ
ãæ ÷
° Ì
÷
g
5
35 6 K g
2

E5 G
ç û
g
5
35 6 K g

E5 G
ç û
98
Séries de Fourier
18. Soit la fonction ãæ définie par la série
g
ãµæ ÷

5
5Í E G û
536 K g
Si cette série converge uniformément, démontrer que les 5 sont les coefficients de Fourier de la
fonction ãµæ .
19. (Sommation d’Abel) Soit
2
¶
å
Alors, pour chaque suite º 5
la série
¶
2¶ 2
démontrer que º
8¶ 8

2 .
¶
5 e 8
Î
8 æ
Jå 8 ã 8
satisfont
ûFûFû
ûFûFû
¬¶
pour tout ö .
þ>
converge et que sa somme
est majorée par
2 ¶ 2 8 ¶ 8 ûFûFû Indication. Soit ÷
÷ å2 ã 2
8
¬¶
y
¬¶
qÎ

satisfaisant
¿
O
;¶
2
une série dont les sommes partielles å ÷

8
¬¶

O¶ O
y¶ y
5 ÷ þ , on a que
5 pour tout et Ï êÑÐ 57¦ g
ûFûFû
. En utilisant l’identité
O æ
ûFûFû
å K 8 ã K 8
äæ
Jå

forme une suite de Cauchy.
¿
20. Considérons les deux séries
g
2
~
g
5v é
53698
et
5 éê ë<

53698
û
(10.2)
Si les coefficients º 5 ¿ et º 5 ¿ sont positifs et convergent monotoniquement vers zéro, alors les deux
séries de (10.2) convergent pour tout sauf éventuellement pour les valeurs ÷ ~3 dans le cas de
Ò
Ò
la première série. De plus, on a convergence uniforme sur chaque intervalle fermé ~ avec
Ò
þ
¥
.

Indication. Majorer 536 2 éµ et 536 2 éê ë< et utiliser la sommation d’Abel.
21. Pour quelles valeurs de , les fonctions représentées par les séries
g

536 O
Ï
éµ
Ó
g
éê ë ù
53698

sont-elles continues ? Quel est le graphe de la deuxième fonction ?

22. Soient deux fonctions ~ -périodiques continues et à variation bornée. Montrer que les coefficients de Fourier complexes de la convolution
ã
ætãµæ ÷
ÕÔ
OTS
ç
~
2
ãÌPæ ã
Fæ
Ì
° Ì
sont 5[Ö ° 5 , où 5 et ° 5 sont celles pour respectivement .
23. Supposons que les fonctions
et soient données par des séries
ãæ ÷
g
536 K g
5
5 E G

ã µæ ÷
g
536 K g
5
5 E G
°
qui convergent uniformément sur . Montrer que les coefficients de Fourier du produit
Ô
g 6 K g ° 5 K .
sont données par ã ° æ 5 ÷
ãµæ
ã µæ
Ö Séries de Fourier
99
24. Soient
ãæ ÷
éê ë
ç
et
5 ãµæ ÷
×

~
éê ë+
Ö
û
a) Devéloper ãæ en série de Fourier par rapport au système orthonormal º× 5 ã µæ ¿ 53i98 .
b) Calculer les sommes partielles O äãæ .
c) Calculer les sommes de Cesàro Ø O äãµæ .
S
Indication. Démontrer 5 e 8 ÷ O 5 K 8 pour les intégrales 5 ÷ 2 éê ë+ èéê ë ° .
O ãµæ ÷ ~
Résultat.
®
V
4
æ
éê ë ã ö µ
éê ë Ö
#

éê ë
ç
éê ë ã ö æ
® v2 #
4
2
O äãæ ÷
Ø
1
õ
2
4
V
3
1
2
3
0
#
õ 82 4
2
1
2
3
1
2
3
2
3
#
õ 8V 4
2
0
®Ù 2 #
2
0
#
ç æµæ
4
2
0
é tã ã ö
ö éê ë O
2
0
1
2
3
0
1
F IG . IV.15: Sommes partielles äãæ et sommes de Cesàro Ø ãµæ pour la fonction de l’Exercice 24
þ
½
25. Donner une suite º 5 ãæ ¿ de fonctions dans Ú ã
ç® ¼ æ qui satisfait

þ
þ

pour laquelle ÏêÑÐ 53¦ g 5 ãµæ ÷
pour tout ¬«
ç .
®
8¸à O
26. Démontrer que º K
éê ë ãtã

¼ æ . Si
27. Soit º× 5 ¿ 53i 2 un sytème orthogonal complet de Ú ã
°
5
5
et si
sont les coefficients de Fourier de
, montrer que
]÷
Ü
Ý
28. Démontrer que
/éê ë
5 ÛO

þ

éê ë ù

½

A
½
et appartiennent à Ú ã
¼
et
æ.

½
æ,
¼
5 ° 5 û
53i 2
éê ë
¸

éê ë<ü

ûFûFû§¿
½

]è3~® ¼ æ . Est-il complet ?
29. On considère la suite de fonctions º ¿ i98 définie par
þ
þ ö
úç3è
si
¸
8
É
à
v
äãµæ ÷

K
ö
si ç3è
ç .

þ æ
ç par rapport à la semi-norme
®
Vérifier que cette suite est une suite de Cauchy dans Ú ã
est un système orthogonal dans Ú ã
þ
ç pour tout '
8
O æ µæ ¿ 53i 2 forme un système orthogonal dans Ú ã

º
Û
Démontrer que cette suite n’a pas de limite dans cette espace.
Û
Ö
Û
O .
100
Séries de Fourier
30. Fonctions de Rademacher. Pour ÷
þ

ç ~ , dessiner les fonctions
5
5 ã µæ ÷ sign ã éê ë<~ µæ û
¾

þ æ
Démontrer que le système º®¾ 5 ¿ 75 i 2 est orthonormal dans Ú ã
ç , mais il n’est pas complet.
®
Indication. Chaque fonction, qui est symétrique par rapport à la droite ÷ ç3è3~ , est orthogonale à ¾ 5
pour tout Þúç .
31. Combien de termes de la série de Fourier pour la base de Haar sont nécessaires pour approximer
þ
þ þ
la fonction ãæ ÷ sur
ç® avec un erreur maximale de û ç ? Ceci n’est pas possible avec le
système orthogonal ºéê ë ¿ 53i98 !
Chapitre V
Equations aux dérivées partielles
Contrairement aux équations différentielles ordinaires (voir le cours “Analyse II, partie réelle”), les
équations aux dérivées partielles ont comme fonction inconnue une fonction de plusieurs variables
et l’équation contient des dérivées partielles. Les séries de Fourier ont été les premiers outils pour
leur solution. Nous considérons ce chapitre surtout comme une application intéressante de la
théorie des séries de Fourier (chapitre IV).
V.1 Equation des ondes (corde vibrante)
Initié par Taylor (1713) et Joh. Bernoulli (1728, Opera III, p. 198–210), le problème de la corde
vibrante fut l’un des principaux champs de recherche et de disputes (d’Alembert, Clairaut, Euler, Daniel Bernoulli, Lagrange) au XVIIIe siècle. Il représente la première EDP (équation aux
dérivées partielles) de l’histoire.
Établissement de l’équation. Nous suivons les idées de Joh. Bernoulli: on s’imagine la corde
entre eux. On voudrait connaı̂tre
représentée par une suite de points de masse de distance
à tout instant les positions du -ème point (voir la figure V.1). Nous supposons les F
k
F
u u
1
0
2
u u
u
k-1
F
k+1
k
1
F
F IG . V.1: Les forces agissant sur la corde, et dessins de Joh. Bernoulli (1728)
102
“petites”. Si est la tension de la corde, la force transversale au ème point est, par Thalès,
&$ % !
"
# $ % ( ')*
,+
(1.1)
Dans la dernière expression on considère la position comme fonction de deux variables, -.
/
0 1'2
. Par la loi de Newton (1687) “force égale masse fois accélération”, cette expression doit
être égale à
$&%
4%
3 ) 4 % # 3 ) $ % ('")5
+
(1.2)
76 8 , les équations (1.1) et (1.2) nous amènent à chercher une fonction 0 '2
avec
Ainsi, pour
$%
$%
%
sera la vitesse de propagation+
$ % 9 $ %
où 9:
(1.3)
3
Remarque. Pour cette équation, d’Alembert (1747, “Recherches sur la Courbe que forme une
Corde
tenduë mise en vibration”,
Hist. de l’Acad. Berlin, vol 3, p. 214–219) a trouvé la solution
0 '2
;=<> 9
@? 9"
, où < et ? sont des fonctions arbitraires +"(“Cette
méthode qui
"
+
+
est sûrement une des plus ingénieuses qu’on ait tirées jusqu’ici de l’Analyse ”; Lagrange 1759,
Oeuvres 1, p. 63). Nous nous intéressons maintenant aux solutions obtenues à l’aide de séries
trigonométriques, une technique qui peut être généralisée à d’autres situations.
Equations des ondes avec conditions initiales et conditions aux bords. Pour déterminer la
solution de la corde vibrante
il faut encore préciser la position et la vitesse de la corde en un instant
8
fixé (par exemple A
) et il faut donner des conditions aux extrémités de la corde. Ainsi, le
problème complet s’écrit :
$&% $&% %
$ % 9 $ %
0 ' 8 IKJI L'
0 8 'P
I 8 ' H D
$ 8
$ ' M
ENO '2
I 8
pour
pour
pour
8CB@7BED 'FHG 8
8CB@7BED (conditions initiales)
HQ 8 (conditions aux bords)
(1.4)
Méthode de la séparation des variables. Cette méthode, adoptée par Fourier à de nombreuses
reprises, souvent appelée “méthode de Fourier”, est appliquée pour la première fois par d’Alembert
à la corde vibrante
en 1750. Elle consiste
à rechercher la solution 0 '2
comme produit d’une
fonction RS , ne dépendant que de , et une fonction TU.
, ne dépendant que de , c.-à-d.,
0 '2
I@RS V)TU.
+
(1.5)
Ainsi, l’équation de la corde (1.3) devient
%
RS V)TXW WY.
Z9 [
R W W\ V)TU.
+
La deuxième idée consiste à diviser cette relation par RS V)TU
] T W W .
R W W 9 % TU
RS :^_'
(1.6)
pour obtenir
(1.7)
où la conclusion est la suivante: ce qui est à gauche, ne dépend pas de , ce qui est à droite, ne
dépend pas de , donc le tout doit être une constante, que nous appelons C^ . Nous avons obtenu
deux équations différentielles ordinaires, que nous traitons l’une après l’autre: commençons par
R W W ^&R` 8
a
j )egml5noh
RS Ibc)edfegih ^ k
8 pour 8 et g2l*n h
Les deux conditions aux bords dans (1.4) donnent bq
^ p +
^D 8
(1.8)
pout
D.
^ D 1r
Ainsi, il faut que h
103
, et on obtient pour la fonction Rs
^tKû
v
r
RS Mgml5n D '
1D r % '
,
w ] 'e'x&' +"++M+
(1.9)
L’autre équation de (1.7) nous donne
%
T W W 9 &^ TK 8
a
(1.10)
TU.
IKyz)edfeg"{9 û
4 )egml5nV{9 û
+
"
+
"
+
+
] 'e'x , une solution. Toutes ces solutions peuCela, inséré dans (1.5) donne, pour chaque U
vent être additionnées, car notre équation différentielle est linéaire (similairement à [HW, p. 144]).
Ainsi, la solution générale devient par superposition
1
r
mg l5n D 2y Od}feg 9~1D r 4 Ogml5n 9~1D r +
(1.11)
|
4
Pour déterminer les coefficients inconnus yP et , nous utilisons les conditions initiales de (1.4).
8 dans (1.11), on obtient
Ainsi, en posant H
4
a
1
r
v
r
JI Z
y2gml5n D
y2 D JI g2l*n D
|
4 F+
(1.12)
a
4
4
u
9
v
r
1
r
1
r
NO Z
D g2l*n D
9uvr NO g2l*n D
|
0 'P
I
Exemple (la corde d’un piano).
“Eine genaue Analyse der Bewegung der Saite nach dem Anschlag eines Klavierhammers
würde ziemlich verwickelt sein.”
(H. Helmholtz, Die Lehre von den Tonempfindungen, 1862, p. 610)
Calculons le mouvement d’une corde de piano. Supposons
le marteau, couvert d’un feutre
8 que
élastique, transmet à la corde, initialement au repos ( Jz I
), une vitesse initiale de
%
%
ON I!
M
si [ k avec 8&+. , 8e+5e , ] 8 (1.13)
8 sinon. On pose 9 % et D ] dans l’équation (1.4).
et NO M
8 et
Par bonheur, MAPLE existe pour calculer les intégrales (1.12). On obtient y2
4 & % r % M
% ] e
d}fege1rFkdfegi1rI
1ro{U
"g2l*nZ1r g2l*nXOvrI
+
r(
(
Ces coefficients convergent rapidement vers zéro (comme F{ ). La convergence uniforme de
la série de Fourier est
alors assurée.
La Fig. V.2 donne une illustration de 0 '2
calculée par (1.11)
8
8
] et termes de la série.
avec
,
A¡£¢
A¡
A¡£¤

]8
F IG . V.2: Mouvement d’une corde de piano ( ,

resp.
8

termes de (1.11))

104
V.2 L’équation de la chaleur
¥¦¥¦¥
¥¦¥¦¥
laisse encore quelque chose à désirer, soit relativement à la généralité, soit
“ son analyse
même du coté de la rigueur ”
(Laplace, Lagrange, Legendre; cité d’après [Burk1914, p. 957])
¥¦¥¦¥
“F OURIERS Théorie analytique de la Chaleur ist die Bibel des mathematischen Physikers.”
(A. Sommerfeld, Part. Diffgln. der Physik, 1947, la toute premire phrase de ce livre)
Nous voici donc au livre qui est à l’origine des séries de Fourier, la Théorie analytique de la
Chaleur de Joseph Fourier. Un premier manuscript présenté par Fourier à l’Académie en 1807,
et un second en 1811, ont rencontré une vive opposition de la part du Comité (voir ci-dessus).
Seulement après la mort de Lagrange en 1813, violemment opposé aux idées avant-gardistes de
Fourier, ce livre a finalement été publié en 1822.
Dérivation de l’équation. Fourier explique l’origine de son équation sur une centaine de pages,
en pensant à des molécules “extrêmement voisines” et à “la quantité de chaleur que l’une des
molécules reçoit de l’autre est proportionnelle à la différence de température de ces deux molécules”
[Fourier 1822, p. 41]. Au cas d’un “prisme d’une petite épaisseur” (p. 60), chaque molécule a un
voisin de gauche et un voisin de droite, et la température de la -ème molécule augmente, très
similairement à la situation de la corde vibrante (1.1),
4 4 #¨§>©ª«v¬ % % §>©ª«v¬ } % (2.1)
c6 8 , nous sommes amenés à chercher une fonction 0 '2
, exprimant la
et, après le passage température au point à l’instant , satisfaisant
$
$&% 8:BE[B@D ' HG 8
$ K9 $ %
(2.2)
[Fourier 1822, p. 102]. Ici, 9 est une constante dépendant du matériel (chaleur spécifique et conductivité calorifique). Contrairement à l’équation de la corde vibrante, nous avons là une dérivation
]
par rapport à d’ordre .
8
Conditions initiales et conditions aux bords. Nous supposons connaı̂tre pour un temps H
8:BE7B@D
0 ' 8 IJI (condition initiale)
(2.3)
et il faut donner des conditions qu’on impose aux bords de la tige. Les plus fréquentes (et les plus
faciles à traiter) surviennent quand les bords de la tige sont plongés dans de “l’eau glacée”, c.-à-d.,
H 8 '2
I 8 ' 0 D '2
I 8 '
0G 8
(condition aux bords).
(2.4)
Méthode de la séparation des variables. Comme dans le paragraphe V.1 nous cherchons la
solution sous la forme d’un produit 0 '2
MkRS )TU
. L’équation de la chaleur (2.2) devient
alors
RS V)TXW\.
ZK9"R[W W® V)TU.
+
(2.5)
Une division par RS
^ telle que
u)YTU
sépare les variables et permet de conclure l’existence d’une constante
] T W R W W 9 TU.
S
R C^'
(2.6)
De nouveau, nous sommes confrontés à deux équations différentielles ordinaires: celle pour Rs (les conditions aux bords incluses) est exactement la même que dans le paragraphe V.1 et nous
105
obtenons (1.9) comme solution. L’autre équation de (2.6) nous donne T W ¯C9~^~T avec comme
e²P³´ . Cela, inséré dans 0 '2
UµRs H)&TU.
donne, pour chaque k
solution
t
T
t
°
X
y
_
)
±
] 'e'x +"+"+ , une solution et nous obtenons la solution générale par superposition
Si l’on pose ici H
8
¶
%
1
r
H '2
I
Py >)egml5n D )e¸P¹º :9 1 D r +
·
(2.7)
, on obtient, à l’aide de la condition initiale (2.3), les formules
¶
8
1
r
JI Z»0 ' I
Py >)egml5n D
"·

v
r
yP D mg l5n D &) JI 4 a
(2.8)
ce qui est la réponse complète à notre problème.
Exemple (équation de la chaleur pour une tige).
“La méthode qui en dérive ne laisse rien de vague et d’indéterminé dans les solutions; elle les
conduit jusqu’aux dernières applications numériques, condition nécessaire de toute recherche,
et sans laquelle on n’arriverait qu’à des transformations inutiles.”
(Fourier 1822, p. xij)
D
8&+.8 ]
]
Considérons une tige de longueur et posons 97
. Pour
' 8 de
,
8 ' 8 , Jz ' (distribution
8 , %¼ ' initiale
¼
%
%
la température)
nous
prenons
la
fonction
qui
rélie
les
points
,
,
'

Y % ' , ] ' 8 par des segments de droite. En l’absence d’un intérêt particulier pour une expression
analytique des coefficients de Fourier, calculons les numériquement
par une formule de quadrature.
Le résultat peut être admiré en Fig. V.3. La solution H '2
résultant de (2.7) et tronquée après

8
termes est présentée en Fig. V.4 pour trois valeurs différentes de . On voit que, pour ,
, les
pointes très aiguës nécessitent un grand nombre de termes. Mais dès que a légèrement augmenté,
la diffusion efface toutes les irrégularités et un petit nombre de termes suffit.
10−1
10−2
10−3
10−4
0
20
40
120
%)
F IG . V.3: Spectre pour la fonction initiale ( quelques courbes )}

60
80
100
] 8
K½ 8
F IG . V.4: Solution de l’équation de la chaleur
106
V.3 Le problème de Dirichlet pour l’équation du potentiel
¥¦¥¦¥
ein Princip dienen, welches Dirichlet zur Lösung dieser
“Hierzu kann in vielen Fällen
in seinen
Aufgabe für eine der Laplace’schen Differentialgleichung genügende Function
Vorlesungen
seit einer Reihe von Jahren zu geben pflegt.”
(Riemann 1857, Werke p. 97)
¥¦¥¦¥
¥¦¥¦¥
L’équation du potentiel (équation de Laplace), en deux variables, est
$ % $ % 8+
$ % $e¾ % (3.1)
Tirant son origine de l’astronomie (Laplace 1785, Legendre 1785), cette équation a une grande
importance dans presque toute la physique et en analyse complexe (voir le Théorème I.4.3).
Problème de Dirichlet. Soit donné¾ un domaine ¿ $ (ouvert, borné, avec
¾ bord qui est différentiable
par morceaux) et une fonction JI ' définie sur ¿ . Trouver 0 ' avec
$~% &$ % 8
$ % $e¾ % dans ¿
0 ' ¾ I
KJz ' ¾ et
sur
$¿ +
(3.2)
Riemann (1857) évoque une “solution” simple de ce problème qu’il nomme “Principe de Dirichlet”
(voir citation): choisir parmi toutes les fonctions celle pour laquelle
]
À
$ %
$ $ % 4 4¾ 6 Á
$e¾
l5n
et
0 ' ¾ I
KJI ' ¾ sur
$¿ +
(3.3)
C’est un problème variationnel en deux variables (d’une sorte d’“énergie minimale”), et son “équation d’Euler-Lagrange” (voir “Analyse II, partie réelle”) est justement l’équation du potentiel.
La solution du problème de Dirichlet en toute généralité a dû attendre le siècle suivant (Hilbert,
Sobolev, Lax-Milgram).
Le problème de Dirichlet
¾
8 pour
D un
8 rectangle.
Â
NO et ÃÂ et expConsidérons le rectangle
? ¾ <H ¾ rimons les conditions aux bords
par
quatre
fonctions
données
88
JI , Nz A 8 D et <> ¾ , ? ¾ A 8 ¾ »Â
. Trouver
D
la solution de (3.2) qui satisfasse ces conditions.
I
J
¾ @ ? ¾ @ 8 . Posons, pour séparer les variables,
Solution.
Nous
supposons
d’abord
H
<
0 ' ¾ z»Rs V)&Ät ¾ , ce qui donne pour (3.2)
R W W K Ä W W ¾ ¾ KC^ +
(3.4)
RS Ä 8
D 8 , nous avons pour R et ^ les mêmes solutions qu’en (1.9). L’équation pour
Car RS ZsRs
Ä devient Ä¾ W W ^_ÄÅ 8 , et donne pour Ä ¾ les fonctions hyperboliques
Ä ¾ Æy}Çdfeg2È h ^ ¾ ¾
¾
8
y % g2l*nÈ h ^ . Pour faciliter
bords et @Â , nous choisissons
¾ le traitement¾ des conditions
8 ) et gml5nÇÈ h aux
^.ÂÉ ¾ (qui est nul en ¾ Â ). Ainsi,
comme base g2l*nÇÈ h ^ (qui est nul en nous avons, de nouveau par superposition, la solution générale
¾ 4
¾
+
¶
1
r
1
r
1
Ê
r
.
Ë
Â
D
(3.5)
0 'P
I
gml5n D y2H)eg2l*nÈ D H)eg2l*nÈ
·
¾ 8 et ¾ @Â , on trouve
Si l’on insère ici les conditions initiales 1r 1r 4 A+ (3.6)
4 D
4
D
D
m
g
5
l
n
&
)
I
J
'
2
y
m
g
5
l
n
}
)
O
N
D
L
Ì
Í
L
Ì
Í

)egml5nÇÈ
)egml5nÇÈ
¾
Ï
Î
' ¾ qui est nulle sur les droites
Similairement (échanger ¾
),
on
calcule
une
solution
O
Ð
¾
8 ¾ »Â . La solution finale est alors 0 ' ¾ ÐO ' ¾ .
horizontales et satisfait <H , ? pour
107
]
D
] +. ] +5+*+
et le nombre
Exemple. Pour satisfaire notre sens esthétique, choisissons Â e (nombres½ de, Fibonacci)
d’or. Pour le dessin de la figure V.5 nous partageons les côtés en xe et
sous-intervalles. Les fonctions du bord sont
] x}r ] ) ] r ] ) ] )(x
]e] r +"+"+
r
r
(3.7)
Zdfeg D
gml5n D gml5n D o)e g2l*n D X)eo) g2l*n D ÁÒÑ ¹I{JI L' 8 ) et
(où on utilise la convention JI % r % D ] xr r r ++"+0+
]
]
Á
r
r
NO I l5n D ' D
qgml5n D Ó g2l*n D g2l*n D Ó g2l*n D (3.8)
¾ AÔg2l*nIr ¾ , et à l’ouest, encore plus simple,
?
Comme
façade
est,
nous
prenons
simplement
<> ¾ I 8 . Le résultat peut être vu en figure V.5.
' ¾ Ðz ' ¾ ¾
0
0 ' ÐO ' ¾ JI M
¾
¾
¾
F IG . V.5: Un problème de Dirichlet pour un rectangle
Le problème de Dirichlet pour le disque.
Un deuxième cas, où le problème de Dirichlet peut être résolu à l’aide des séries de Fourier est
celui d’un disque. Soit Õ le disque unitaire. Nous choisissons des coordonnées polaires Ö1'"<
8
] ' 8 Ø<sËr ). Pour la fonction ÐOÖ('<O
ÆHÖHd}fegi<z'2Ö0gml5nX<
l’équation de Laplace
( ×Ö
(3.2) devient
$%
] $
] $%
$ Ö Ð % Ö $ ÐÖ Ö % $ < Ð % 8+
(3.9)
La séparation des variables ÐO.Ö1'"<
IÙÒ.Ö-
V)(ÚC{<
donne les deux équations ordinaires
Ö % Ù W W ÖÇÙ W ^_'
Ú W W :^ +
(3.10)
Ù
Ù
Ú
%
Puisque ÚC<O
doit être périodique de période r , il faut que ^7¨^-w¨ et ÚC{<O
oÃ9MdfegiÇ< Û g2l*noÇ< . Ensuite l’équation pour ÙÒÖ
devient
%
%
(3.11)
Ö ÙHW W ÖÇÙHW~ Ùq 8/+
Il s’agit d’une équation du type “Cauchy” (voir [HW, p. 152]),
pour
laquelle on pose ÙÒÖ
ÜÖ(Ý
%
8
]
avec un Þ inconnu. L’équation (3.11) donne
Þ-{Þ> Þ>q , c.-à-d., Þ;ÅßC . La solution
ÞC possède une singularité pour Ö 6 8 , donc la seule solution valable est ÙÒ.Ö-
M@Ö . Le tout
donne, par superposition, la solution générale
¶ 9
ÐO.Ö1'"<O
I
Ö 9Od}feg_Ç< Û >)egml5noÇ< +
"·
(3.12)
108
Condition au bord. Si la condition au bord est exprimée par
8FB < B r , on voit que les 9 et Û sont
pour
tout simplement les coefficients de Fourier de la fonction JI<O
.
exemple, considérons la condition au bord JI{<
A
à gml5noComme
< à en utilisant la série de la 8 figure IV.3. La solution est
dessinée dans la petite figure ( termes de la série).
ÐO ] '<O
µJI{<
La formule de Poisson. Une représentation intéressante de la solution est dûe à Poisson (1815,
voir [Burk1914, p. 997]) : l’idée consiste à introduire les formules (IV.1.5) pour les coefficients de
Û
Fourier 9v et dans (3.12). Après un échange de l’intégration avec la somme on obtient
¶
] %Ì ]
ÐO.Ö1'"<O
I r
(3.13)
Ö d}fegiÇ<wdf(gi ?c g2l*noÇ<wg2l*no ? JI ? 4 ? +
·
Ici on se sert de la formule df(giÇ<wdfegi ?» g2l*nXÇ<wgml5no ? Ød}fegi<[ ? . La somme peut être
]
] &Þvá ] £Þ
I¨ ] Þ
Lá ] cÞ
avec
Þ
évaluée en considérant la partie réelle de |
Þ/â5»Ö±¦ãåäçæ eèé . On obtient ainsi pour la solution de (3.9),
] %Ì
] Ö %
ÐO.Ö1'"<
M r ] »ÖHd}feg<A ? Ö % JI ? 4 ? +
(3.14)
V.4 Equation des ondes (membrane circulaire)
Nous généralisons les idées de Joh. Bernoulli (voir
le paragraphe V.1) à deux dimensions dans l’espace.
On s’imagine la membrane représentée par des
points de masse situés sur une¾ grille (distance ¾
en direction de l’axe , et
en direction de ).
On cherche à connaı̂tre les vibrations transversales
ãëê .
de la membrane. Comme pour la¾ corde vibrante, la force transversale au point ' est
ãìê { ¾ &$ % # $% ã ê
ã ®í ê ãëê ã ®í ê ãëê
¾' "' )5
; ¾ $&$&%¾ %
ã ê
ãëê
ã
¾
ê
{ ã í ê }¾ ìã ê ã í ê ¾ C ãëê
'ã ¾ ê '")*
: ¾ +
¾
où on considère la vibration transversale comme fonction de trois variables, .
oK0 ' '2
.
ë
ã
ê
ã ê
Par la loi de Newton (force égale masse fois accélération) on obtient donc
$%
$%
$%
3 : ¾ ) $ % ' ¾ '2
# : ¾ ) $ % ' ¾ '2
$e¾ % ' ¾ '2
+
7
6
8 et ¾ 6 8 , en utilisant la notation [Üîvïñð îvïñð et l’abréviation
En passant à la limite
îó ï
9 % Koá 3 , cette équation nous amène à (pour une membrane qui est fixéeîò auï bord)
$&% ¾
8
$ % ô9 % pour ' ZõöÊ'F>G
¾
0$ ' ¾ ' 8 JI ' ¾ m'
pour ' Zõö (condition initiale, position)
(4.1)
$ ' ¾ ' 8 z»NO ' ¾ pour ' ¾ Zõö (condition initiale, vitesse)
¾
¾ $
8 (condition au bord)
pour ' Zõ öÊ'÷HG
0 ' '2
z 8
¾ % ¾% B ]ú .
où, pour une membrane circulaire, ö»øi ' ù
109
Première séparation des variables. Comme pour l’équation des ondes dans une dimension,
¾ nous
séparons le¾ temps des variables d’espace et nous cherchons des solutions de la forme 0 ' 'P
I
TU.
V)ÐO ' . Ceci conduit à
OÐ ¾' ¾ ûC^ % +
(4.2)
ÐO ' ' ¾ est telle que
On a le droit de supposer que la constante dans
(4.2)
est
négative.
En
effet,
si
O
Ð
ÐEÉ>Ð dans ö (le disque unité) et ÐE 8 sur $ ö , on obtient par ¾ une intégration par parties
(pour le premier terme par rapport à , pour le deuxième par rapport à )
$Ð %
$Ð % 4 4¾
%
K ü Ðw) Ð 4 4 ¾ ü Ð 4 4 ¾ '
ü $ $e¾
B8 , si ÐO ' ¾ n’est pas identiquement nulle.
ce qui montre que
L’équation différentielle pour TU.
dans (4.2) donne les oscillations en temps
TU.
ZKb7d}feg9~^~
kj g2l*nV9~^~
(4.3)
¾
et pour ÐO ' on obtient le problème (l’équation de Helmholtz)
sur ö
Ð ^ % Ðs 88
$ +
(4.4)
Ðs
sur ö
Si ö est le disque unité, on peut
résoudre ce problème. Il est naturel d’introduire des
coor¾
¾
données polaires
ûÖHdf(gi< , ûÖHgml5no< et de considérer la fonction ýþ.Ö1'"<
ûÐz ' [
ÐO.Ö0dfegi<z'PÖHgml5no<O
. En exprimant le Laplacien Ð en terme de ý , le problème (4.4) devient
$~% ý
] $ý
] $&% ý
$ Ö % Ö $ Ö Ö % $ < % ^ % ýû 8
(4.5)
$
$
$ ý < .Ö1' 8 I $ ý < .Ö1'rz
L'
ýþ ] '"<O
z 8 '
ýþÖ1' 8 z»ý.Ö1'rz
L'
(4.6)
Á
où la limite ÿ5l ýþÖ('<O
est constante et indépendante de < .
] T W W 9 % TU
Deuxième séparation des variables. Pour résoudre l’équation aux dérivées partielles (4.5), nous
posons ýþ.Ö1'"<
zÙÒ.Ö-
V)eÚC{<
ce qui donne
Ö % Ù W W .Ö-
Ö Ù W Ö
^ % Ö % ÙÒÖ
ô Ú W W {<O
ô +
ÙÒ.Ö-
ÚC{<
%
8
8
La condition de périodicité, ÚC !ôÚCrI
et Ú W !ôÚ W rI
, implique que ôµ
entier . Les solutions pour ÚC{<O
sont alors
Ú{<
I9df(g~z< Û 0gml5nII< +
Pour la fonction ÙÒ.Ö-
on obtient l’équation différentielle
%
% % %
Ö Ù W W ÖÇÙ W {^ Ö LÙs 8
avec les conditions aux bords
avec un
(4.7)
(4.8)
8
8
8
si G 8&+
ÙÒ M
une valeur finie si
et
(4.9)
8 , la transformation ¨^&Ö et ¾ X¯ÙÒÖ
nous permet d’éliminer le paramètre ^ de
Pour ^G
¾ %L¾ l’équation différentielle (4.8), car Ù W Ö
I^ W et Ù W W Ö
I^ W W . On obtient ainsi l’équation
ÙÒ ] I 8
de Bessel (4.10).
110
^~Ö et ¾ ;ÉÙÒ.Ö-
dans l’équation différentielle
%
% ¾ WW ¾ W %
¾ 8&+
(4.10)
Nous considérons uniquement le cas où ¾ est un entier non-négatif. Une particularité de l’équation
de Bessel (4.10) est que le coefficient de W W s’annule en un point où on s’intéresse à la solution (il
s’agit d’une équation différentielle
¾ une
%L¾ avec
+"+"+ singularité).
Les termes principaux
de (4.10) sont les mêmes
que pour une équation du
WW
W
¾
. Comme ceci ne
type Cauchy et on est tenté de chercher une solution sous la forme C
marche pas, on essaie avec une perturbation d’une telle fonction :
¾ Z 8&+
y ê ê y ê ê avec y (4.11)
|ê
|ê
En insérant (4.11) dans (4.10) on obtient
% %
y ê
"
] ê y ê
ê y ê ê 8&+
ê|
ê|
ê|
Une comparaison des coefficients donne
%
(4.12)
y 0{t ] t 8
%
(4.13)
y} ]
m ]
V 8
%
ÒQK +
y ê
"
t ]
V y ê % 8 '
(4.14)
%
%
8
8
Comme y , l’équation
(4.12) implique , ce qui fixe la valeur de . La possibilité
8
G ) ne nous intéresse pas, parce que la fonction (4.11) possède une singularité en
7 8 >et (pour
ne peut donc pas satisfaire les conditions (4.9). Continuons alors notre calcul avec l’autre
] 8 et implique y}/ 8 . Finalement, la
possibilité » . L’équation (4.13) devient y} 8 pour þQ . Le fait que
relation (4.14) donne la formule de récurrence y )
}z
y % 8
8
ê
ê
y}0 implique que y ê pour tout impair. Pour Åe on a y % Ê)&& O
y % " % 8 et
] on voit par récurrence que
+
%y y
ã · O
¾
]
á 5
, la fonction de (4.11) devient
Avec le choix y Z { ] % +
(4.15)
| ~. Cette fonction s’appelle fonction de Bessel d’indice (voir la figure V.6). Le critère du quotient
y % Ki ] ] O
6 y % ä Yé
montre que la série dans (4.15) converge pour tout õ Ù .
L’équation de Bessel. La transformation
(4.8) nous conduit à l’équation de Bessel
1
0
1
0
5
10
15
20
F IG . V.6: Fonctions de Bessel
0
.5
(gauche),
Ö-
(droite)
1.0
111
n=0, k=1, j= 2.4048
n=0, k=2, j= 5.5201
n=0, k=3, j= 8.6537
n=0, k=4, j=11.7915
n=1, k=1, j= 3.8317
n=1, k=2, j= 7.0156
n=1, k=3, j=10.1735
n=1, k=4, j=13.3237
n=2, k=1, j= 5.1356
n=2, k=2, j= 8.4172
n=2, k=3, j=11.6198
n=2, k=4, j=14.7960
n=3, k=1, j= 6.3802
n=3, k=2, j= 9.7610
n=3, k=3, j=13.0152
n=3, k=4, j=16.2235
F IG . V.7: Fonctions propres }Ö-
dfeg1I<
du Laplacien sur le disque
8
ÙÒÖ
0
Solution de l’équation des ondes (membrane circulaire). Pour tout ^÷G
fonction
8
{^&Ö
est solution de l’équation différentielle (4.8) et elle satisfait la condition, lapour
ÙÒ de (4.9).8
8
]
Afin de satisfaire aussi la condition ÙÒ 0
de (4.9), il faut que ^ 8 soit une racine de {^i
0 .
Le dessin à gauche de la figure V.6 montre que pour tout entier Q
, la fonction de Bessel possède une infinité de zéros satisfaisant
8:B e B % B ¼ BK++"+0+
Cette affirmation est donnée ici sans démonstration. Elle est obtenue comme application de la
théorie de Sturm–Liouville qui est parfois traitée au cours Analyse II (partie réelle).
¦Ö-
satisfait alors l’équation différentielle (4.8) et la condition au
La fonction ÙÒ.Ö-
U
8 et pour tout Q ] ,
bord (4.9). Par conséquent, pour tout Q
ý.Ö1'"<O
I Ö
9Od}feg&I< Û }zgml5nZz<
est une solution de l’équation de Helmholtz (4.5) en coordonnées polaires qui satisfait les conditions au bord (4.6). En la multipliant
par (4.3) où ^ est remplacé par on obtient par superposi¾
tion la solution générale 0 ' '2
de l’équation des ondes (4.1):
}Ö-
9}Odfegez< Û zg2l*nII< d}feg9_

( | |
(4.16)
}Ö-
ydfegez< 4 Og2l*nII< g2l*nV9}
+
(| |
Û
4
Il reste à déterminer les coefficients 9} , } , y et } afin de satisfaire les conditions initiales
0.Ö0dfegi<z'PÖHgml5no<z'2
ô
pour la position et la vitesse dans (4.1). Pour ce calcul nous utiliserons une relation d’orthogonalité
des fonctions de Bessel.
112
8B ( B % B ¼ B=+"++ les
8
D
pour 4
%
Ö
_ Ö-
eÖ Ö, % W }1
pour w D .
¾
^-Ö
. Cette fonction satisfait l’équation
Démonstration. Posons ^-â5 et -.Ö-
â5
différentielle (4.8) qui, après une division par Ö , peut être écrite sous la forme auto-adjointe
¾Ö W W ^ % Ö % ¾ 8 '
¾ - ] I 8e+
(4.17)
Ö
¾ ] ¾ ] 8)
Deux intégrations par parties donnent (en utilisant I Z
¾
¾ Ö
4 Ö,@Ö ¾ W Ö
¾ .Ö-
Ö ¾ W Ö
¾ W .Ö-
4 Ö; +"+"+ Ö ¾ W .Ö-
W ¾ -.Ö-
4 Ö +
W
Ö
W
Ö

¾
En remplacant Ö W W par l’expression de (4.17) on obtient
% % ¾ ¾ 4
% % ¾ ¾
(4.18)
^ Ö Ö -.Ö-
Ö
Ö; ^ Ö Ö
.Ö-
u.Ö-
4 Ö
et par conséquent aussi
% % ^ ^ ¾ Ö
¾ .Ö-
eÖ 4 Öw 8
D
ce qui entraı̂ne l’orthogonalité pour ¾ .
% %
% ¾ ¾
¾ ¾
8 ce qui peut
Une multiplication de (4.17) par Ö W donne Ö W ".Ö W W {^ Ö @ W être écrit sous la forme
] 4 ¾
% ] 4 ¾%
% % %
%
%
4 Ö Ö W .Ö-
4 Ö .Ö-
^ Ö
¾ .Ö-
i^ ÖÒ 8&+
¾ ] 8 et que ¾ 8 I 8 si G 8 )
8 ]
On intègre cette identité de à pour obtenir (observer que Ç I
] ¾ ] %
% ¾ ¾
4 +
W ^ -.Ö-
Ö
eÖ Ö
D est maintenant une conséquence de ¾ -.Ö-
o ^-Ö
et de
du théorème pour F
¾L’affirmation
W .Ö-
I^u W ^-Ö
.
¾ 8
¾
Satisfaire les conditions initiales. Commençons par celle pour la position H ' ' o Jz ' .
Théorème 4.1 (orthogonalité des fonctions de Bessel) Soient
zéros positifs de , alors on a
Nous travaillons en coordonnées polaires et nous devéloppons la fonction en série de Fourier
JI.Ö0dfegi<z'PÖHgml5no<O
Z
+
k
j
b
.
Ö
d
e
f
(
g
z

<
.
Ö
m
g
5
l
z
n
I

<
( |
Les coefficients de Fourier peuvent être calculés par les formules suivantes :
(4.19)
] %Ì
4<
I
J
H
Ö
d
(
f
i
g
z
<
2
'
H
Ö
2
g
*
l
o
n
O
<

r] % Ì
bÖ
ô r JI.Ö0dfegi<O'2ÖHg2l*nX<O
Êdfeg".z<O
4 <z'
Q ]
] %Ì
j Ö
ô r JI.Ö0dfegi<O'2ÖHg2l*nX<O
Êgml5nV.z<O
4 <z'
Q ] +
8
En comparant la série (4.19) avec la solution 0ÖHdf(gi<z'2ÖHg2l*no<z' de (4.16), on obtient
Û Ö-
+
j .Ö-
I
(4.20)
bÖ
I
9} }Ö-
L'
|
|
8 ]
Il reste à multiplier ces formules par Ö Ö-
et d’intégrer sur l’intervalle ' . La relation
b Ö
ô
113
d’orthogonalité pour les fonctions de Bessel donne alors
4 +
%
m
j Ö
Ö
eÖ Ö (4.21)
W
4
Un calcul analogue permet de déterminer les coefficients y et dans (4.16) à partir des coefficients de Fourier .Ö-
et Õ .Ö-
de la fonction NOÖHdf(gi<z'2ÖHg2l*no<O
(condition initiale pour la
Û
4
vitesse). Avec les valeurs de 9} , , y , ainsi trouvées et insérées dans (4.16), nous avons
9 4
%
2
b Ö
_
Ö
eÖ Ö('
W
Û complètement resolu le problème (4.1) sur le disque unité.
Remarque. Les séries de (4.20) avec coefficients définies par (4.21), s’appellent séries de Fourier–
Bessel. À l’aide de la théorie de Sturm–Liouville on peut démontrer que le système orthogonal
scalaire avec fonction de
ø }Ö-
ú | est complet sur l’intervalle 8 ' ] par rapport au produit
8
]
poid !:Ö
FôÖ . Ceci implique
que pour toute fonction dans "E# ' '%C$ la série converge en
moyenne quadratique vers JI . Pour obtenir la convergence ponctuelle ou uniforme il faut sup+"+"+
poser plus de régularité (continuité, différentiabilité, ) à la fonction.
V.5 Transformation de Fourier
“On considère ici le mouvement de la chaleur dans une masse solide homogène, dont toutes
les dimensions sont infinies.”
(Fourier, Théorie Anal. de la Chaleur 1822, Chap. IX)
Si on veut calculer le mouvement de la chaleur
dans
un fil de longueur infinie, on peut prendre les
:
D
6
formules du paragraphe V.2 et faire tendre
. Mais comme il y a déjà un passage à la limite
(la somme infinie dans la série de6 Fourier) il faut faire attention.
6 ß , et considérons
Ù qui tend rapidement
vers
zéro
si
Prenons une fonction JAâ& Ù
D D
la série de Fourier pour sa restriction sur l’intervalle ç>r '2r :
] Ì

Á
avec
(5.1)
JI (' 5ÿ Êl ¶
yP(± ã ò+*
yP r D eÌ Jz.
L± ã L´ * 4 +
·)
¶ ¶ à Jz.
à 4 B, , les coefficients yP convergent vers zéro si Dþ6 (à
Si la fonction satisfait
D devant l’intégrale). La série de Fourier tronquée (avec un fixé) donne
cause du facteur }r alors une mauvaise approximation de JI (voir les deux dessins de la Figure V.8 qui utilisent le
même nombre de termes).
1
1
6 termes
−3
6 termes
0
3
−6
−3
0
3
6
3
6
1
12 termes
−6
−3
0
D -6
F IG . V.8: Série de Fourier sous le passage
D
114
D
Simultanément avec , on doit augmenter le nombre de termes pris en considération (voir la
D termes dans la série tronquée
troisième image dans la Figure
V.8).
L’idée
est
de
prendre
@

Â
à à
D
D
D
(où Â est une constante et est supposé être entier). En posant !OÇá pour »Â , on obtient
alors en insérant les coefficients yP dans la série tronquée
Í
Í ] Ì

ã/.10 ´ 4 ± ã/.10 ò !2!
+
I
J
L
±
y21± ã ò+*

·eÍ
·eÍ }r e Ì
D
Dans cette formule on reconnaı̂t une somme de Riemann et en laissant tendre et Â
vers l’infinie,
les deux membres convergent formellement vers
] ¶
ã/. ´ 4 ± ã4. ò 4 ! +
I
J
L
±
¶ }r ¶
¶
JI 3'
(5.2)
L’intégrale de Riemann étant définie seulement pour un intervalle compact, nous sommes obligés
de considérer des intégrales impropres (voir [HW, Sect. III.8]). Nous introduisons l’espace
"35Ê6 Ù
â*
Jâ7 Ù 6 s
$ ù>J 9à 8 ) &í :Çõ;"E >I'2 '<$ et
ÿ 5Êl Á ¶ ) à JI à 4 FB=
(5.3)
de fonctions absolument intégrables sur Ù .
Définition 5.1 (Transformation de Fourier) Soit
est la fonction sur Ù définie par
¶
JI.
m± /ã . ´ 4 +
¶
h r
@÷J
!Ê
pour JI
!Ê
.
JO
!Ê

Souvent on utilise aussi la notation
]
Jõ>"?5X6 Ù
. La transformée de Fourier de J
(5.4)
Ainsi, la formule (5.2) ressemble à merveille aux formules (IV.1.6) : la somme (sur ) dans
(IV.1.6) est devenue une intégrale (sur ! ), et les coefficients yP deviennent la fonction JI
!Ê
. Grâce
à cette analogie, les coefficients de Fourier yP sont souvent dénotés par JO{
. Une grande partie de résultats du chapitre IV peut être formulée et démontrée pour la transformée de Fourier.
Commençons par le Lemme de Riemann et la théorie de Dirichlet.
une fonction absolument intégrable sur Ù . Alors
Jz!Ê
6 8 pour ! 6 ß .
8 donné, il existe Â G 8 tel que B B à JI à 4 ÷B A . Pour !o'#! õ Ù
Démonstration. Pour AwG
|eÍ
ò
nous avons alors
¶ à
à à à
à
à Í à à
h r JI!Ê
JI! ¶ ± ã/. ´ »± ã/.DC ´ ) JI.
4 EA Â !2! eÍ JI.
4 '
à ± ã4. ´ q± ã/. C ´ à ¨ pour à à QKÂ et le théorème des accroisseoù la dernière majoration
utilise
à
à
à
à G´à à
à
à
à
´ ´à
ments finies pour »Â : ± ã/. c± ã4. C KgFÇºHG {± ã ) !FI! »Â !÷J! . La continuité
uniforme de JI!Ê
en découle.
à
à
à Í JI
L±¦ã/. ´ 4 à , le Lemme de Riemann (Lemme IV.2.2) donne
Comme h r JO
!Ê
KA eÍ
à
à
à
à
h }r JI!Ê
KEA si ! est assez grand.
Lemme 5.2 (Riemann–Lebesgue) Soit JI
JI!Ê
est uniformément continue et satisfait
115
Théorème 5.3 Soit J×õL"35oM Ù/
et à variation bornée sur chaque intervalle compact. Alors,
pour tout õ Ù on a
JI JI ÿ5l Á ] Í JI!Ê
L± ã/. ò 4 ! +
Í Ê¶ h r eÍ
8 on introduit une fonction Í: sur Ù par
Démonstration. Pour Â G
] Í
] Í
Á Jz.
L± ã4. ´ 4 ± ã/. ò 4 ! +
4
/
ã
.
ò
Í; Zâ*
I
J
Ê
!
L
±
E
!
*
ÿ
l
(5.5)
Ê
r eÍ ¶ )
h r eÍ
à
´ 4 à B ´ B |) à JI
à 4 6 8 quand 6 , la limite dans (5.5) est uniPuisque B ´ B |) JI.
m± ã/.
forme en ! et on peut échanger la limite avec l’intégrale sur ! . On obtient alors
] Í
Á
Í; û ÿ*Êl ¶ r ) JI.
eÍ ± ã/.uä ò e´é 4 ! 4
4
] ¶
] ¶ m
g
5
l
I
n
@
Â
r ¶ JI ON
gml5nMN Â>N 4 N'
r ¶ JI

car l’intégrale sur ! peut être déterminée explicitement et vaut i c
gml5nMÂ@ £
. Le reste
de la démonstration est identique à celle du Théorème IV.4.2.
Une conséquence immédiate est la formule d’inversion.
Corollaire 5.4 (formule d’inversion de Fourier) Soit JI une fonction continue, à variation
bornée sur chaque intervalle compact et dans "35Ê6 Ù
. Si JI
!Ê
est absolument intégrable sur
] ¶
Ù , alors
4 +
JI !
JI!Ê
i± ã/. ò !
h r ¶
Pour travailler avec la transformation de Fourier, il est utile d’avoir une petite table à sa diposition (voir la table V.1). De telles tables ont été publiées par Campbell & Forster 1948, Erdélyi
et al. 1954. La plus impressionnante est de F. Oberhettinger, Math. Grundlehren XC (1957) qui
contient sur 200 pages quelques 1800 formules. L’introduction d’une page et demie mise à part,
cet ouvrage ne contient que des formules et vaut la peine d’être feuilleté. L’éditeur n’a pas omis
TAB . V.1: Petite table de la transformée de Fourier
JI I
1
−3
−2
−1
0
0
−3
0
.0
0
1
−3
−2
−1
0
0
r
3
3
−.1
−4
2
JIÞv
I
3
.1
−3
¶
4Þ
ã
Ý
ò
I
J

v
Þ
V
&
)
±
¶
h r ] g2l à à B 9~'
8 g2l à à Q9~ù
S
]
S
% 9 % {9;G 8 S
% 9 % % 9;G 8 ± e² ïñòï 9;G 8 1
.3
.0
]
S
1
2
3
4
r
9h
½
r
]
]
¶
ã ÝRQ 4 P
I
J
P

e
)
±
¶
h r gml5no9~Þ
Þ
± e² B Ý B
9
¦Þv± e² B Ý B
9
±UTWMX V ï ï
1
−6
0
0
−3
S
3
6
.5
−2
0
1
S
2
.0
0
−.1
1
S
2
2
3
4
.0
−1
.1
−2
−1
1
−4
−3
−2
−1
0
0
S
1
116
de préciser, comme à l’accoutumée, qu’il était “interdit de le traduire dans une langue étrangère”.
La table V.1 est un extrait de Gradshteyn-Ryzhik, p. 1147.
Convolution
“C’est là la propriété essentielle de la transformation de Fourier, et qui est la raison d’être de
(L. Schwartz, Cours 1958, p. 25.)
ses applications ”
¥¦¥¦¥
Nous avons déjà rencontré la convolution à plusieurs occasions : théorème d’approximation de
Weierstrass [HW, p. 267], les formules de Dirichlet (IV.4.1) et Fejér (IV.6.3) et la formule intégrale
de Cauchy (II.5.1). On définit la convolution de deux fonctions J et N par
]
{JZYzN_
Zâ5
¶
]

eNO.
4 +
I
J
¶
h r (5.6)
Le facteur “gênant” á h r sera le bienvenu dans la preuve du théorème suivant, théorème donnant
une simple relation entre la convolution et la transformation de Fourier.
Théorème 5.5 Soient J et N des fonctions absolument intégrables et bornées. La transformée de
Fourier de leur convolution est le produit des deux transformées de Fourier, plus précisément
J[YIN_
"!Ê
I JI!Ê
) N
!Ê
+
(5.7)
Démonstration. Il faut insérer la définition (5.6) dans la transformée de Fourier (5.4), changer les
intégrations à volonté et faire une substitution triviale :
]
¶
]
¶

eNO
4 ± ã/. ò 4 I
J
¶
¶
h ] r ¶ h ] }r ¶
(5.8)
+
4
4
e

´
é
´
IJ
p)&± ã/.uä ò
Nz
i± ã/. h r ¶ h }r ¶
k , ainsi l’intégrale double se décompose en un
Dans l’intégrale intérieure on substitue P£
JZYZN_
!Ê
K
produit de deux intégrales simples.
Transformée d’une Dérivée
Voici la propriété importante pour les applications de la transformation de Fourier aux résolutions
des équations différentielles.
Théorème 5.6 Si JI
W et J W W sont dans "35o6 Ù/
, alors
%
J W "
!Ê
I\M!) JO
!Ê
m'
{J W W "
!Ê
z¨]!Ê
) Jz
!Ê
+
et ses dérivées J
Démonstration. La preuve est par intégrations par parties. On a
¶
(5.9)
¶
¶
4
´
´
ã/. ´ 4 +
4
ã
.
/
ã
.
J
.
i
±
0
K
I
J
.
m
±
M
!
I
J
i
±
W
¶
¶
¶
8
Á `_¶ JI existent. Ces
4
Comme JI , JI ò J W .
et J W õ^"35oM Ù
, on voit que ÿ5l
ò
limites sont nulles car Jõ"35oM Ù
. Une autre façon de voir le résultat est de dériver l’intégrale
de la transformation inverse (Corollaire 5.4) par rapport au “paramètre” .
Comme exemple, voir les formules 2 et 3 dans la table V.1.
117
Application aux équations différentielles et intégrales
Le schéma est le suivant : la transformation de Fourier change une équation différentielle (ou une
équation intégrale avec convolution) en une équation plus simple. Cette équation est résolue, puis
la transformée inverse donne la solution.
Problème difficile
Équation différentielle ordin.
Équation intégrale
Equation dérivées partielles
@
Solution du
Problème difficile
@
Problème facile
Équation algébrique
Équation différentielle ordin.
Solution du
Problème facile
Ci-dessous quelques exemples faciles. (Des exemples plus compliqués de la physique — “the theory of vibrations”, “the conduction of heat in solids”, “slowing down of neutrons”, “hydrodynamical problems”, “atomic and nuclear physics”, “two-dimensional stress systems”, “symmetrical
stress systems” — dans le “state-of-the-art” de 1951, constituent plus de 80% du livre de Sneddon.
Aujourd’hui, les progrès des méthodes numériques et des ordinateurs ont quelque peu tempéré cet
enthousiasme.)
Equation de la chaleur. Voyons avec quelle élégance la transformée de Fourier nous amène à la
solution de l’équation de la chaleur pour un fil infini :
$
$ 9
0 ' 8 IJI 0 'P
F
% $~$ % %
B@[B=
$ H !o'2
$ KC9 % ! %
!o'2
@
H!o'2
AK±
K±
]
@
± WMTbX a ï]ï c YoJI 9 h e² ï .
e² ï .
ï ´ )
!o' 8 ï ´ ) Jz
!Ê
Sous des conditions sur JI qui permettent de faire toutes ces opérations, la solution est alors
donnée par la formule de Poisson
Une équation intégrale.
]
¶
0 '2
! e9 r ¶ IJ 6N
i± d a#WMTX ï]egcf ï 4 N +
h
¾ Cherchons une fonction telle que
¶ ¾ ¾ 4
¶
)
A± òï
@
¾ I
h ± % ò ï
r *
@
h r ¾ !Ê
V) ¾ !Ê
z
¾ !Ê
I
(5.10)
h
]
± TbWh ï
]
± Tbih ï

h r *
118
V.6 Exercices
j
k
l&m on +p ¡ j&m ZqrS sp q k%m [t>S sp
j et k pour satisfaire
l ´´ ¡uS % l ¦ò ò
1. Si et sont deux fois continûment différentiables, la fonction
est une solution de l’équation des ondes
. Déterminer les fonctions
les conditions (avec et convenables)
v
w
lom &n p ¡ xv m p n y l m on p ¡ wm p
y
lom n +p ¡ n ol m | n sp ¡
pour
pour
{ z zI| (conditions initiales)
} (conditions aux bords).
(6.1)
e²P´
lom &n sp ¡ ¤ vxm q3S sp q vxm t3S sp q ¤b S ò e²P´ wm~ p1 ~}¥
(6.2)
+p de (6.2) est bien définie tant que tS n ò q\S ] n | . Comment faut-il
2. La fonction l&m on
|
prolonger les fonctions v et w en dehors de l’intervalle n pour que (6.2) soit une solution pour

|

}
+p soit deux fois
= n et pour tout
. Discuter les conditions sur v et w afin que lom on
Le résultat est
continûment différentiable.
3. L’équation des tuyaux sonores. En supposant que les extrémités du tuyau soient ouvertes, on est
confronté au problème (avec et convenables)
%
%
y l% ¡uS % y l %
y p y p
lom &n ¡ vxm n
y l m n sp ¡ n
y
v
w
pour
y l m on p ¡ wm p
y
y l m | n +p ¡
pour
y
pour
<z zI| n
{z I
z | (conditions initiales)
} (conditions aux bords).
¤|
v
(6.3)
w
a) Montrer que (6.2) représente la solution de (6.3), si l’on prolonge les fonctions et de façon à
ce qu’elles soient paires et périodiques de période .
b) En utilisant la méthode des séries de Fourier, trouver une autre représentation de la solution de
(6.3).

4. L’énergie de la corde vibrante (en temps ) est donné par
l m +p ¡
¤
y l m on +p % q y l m on +p % ¥
y
y
Montrer que l’énergie est préservée en temps.
5. On considère l’equation de la chaleur
%
y l ¡uS y l % n ` I| n }
y
y
|
pour un conducteur linéaire de longueur . Trouver les solutions correspondant aux conditions aux
lom n | p ¡ pour } ¥
p % q % :
Considérons le problème de Neumann sur le disque ¡ m on]
b
l ¡ sur n
y l ¡ w sur y
y

¡
n j p ).
( y l& y est la dérivée en direction de la normale

m
]

b

&

j
p
En supposant connue la série de Fourier pour wm ãëæ , calculer la solution de (6.4).
limites
6.
y l m n p ¡ n
y
(6.4)
119
A¡ n¦¤bn+bn ¥¦¥¦¥ )
e m p t e m p n W m p
¡ t m p
m p t e m p ¥
7. Démontrer une des formules suivantes (
W m p ¡
¤
e m p ¡ ¤m
(6.5)
(6.6)
8. Démontrer la formule (de Bessel 1816)
m p ¡ Ì ]b E t
t ~¥

¡¢ o¶ m p ¡ pour tout } .
En déduire que
Indication. En utilisant la série de Taylor, démontrer la formule pour
l’intégrale dans l’équation (6.7) satisfait les formules (6.5).
9. En sachant que
(6.7)
@¡ .
m¤¥ p ¡ ¥

£¥¤b¦ ¦b§b§ £b£¥¨b¨s£ n
Ensuite, vérifier que
m ¤ ¥ p ¡ ¥¢

¦£¥¤b¤b¦b¤b¨ ¢ ¦£u n

p
utiliser la formule de récurrence (6.6) pour calculer m ¤ ¥ pour A¡£¤bn+bn ¥¦¥¦¥ n+ . Le résultat est-il
en contradiction avec l’affirmation de l’exercice précédent?
Essayer d’expliquer l’apparante contradiction en étudiant toutes les solutions de
où
©
e t[¤b©M (
q e ¡
est une constante donnée.