CorrectionINTERROGATION N4V1 - TS1

Correction INTERROGATION N°4 – Classe de TS1
Sujet 1
Exo 1 : Une urne contient trois boules blanches et deux boules noires indiscernables au toucher. On tire
successivement et sans remise deux boules dans l’urne. Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules noires ?
N1
1/4
N2
on cherche à avoir deux boules noires soit P(N1 ∩N2) = p(N1) x PN1(N2) = × =
2/5
3/4
B2
On a noté Ni l’événement obtenir une boule noire au i-ième tirage.
N2
3/5
B1
B2
Exo 2 : On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes.
a) Sachant que la carte tirée est une dame (on notera D cet événement), quelle est la probabilité que la carte soit un
b)
=1−
∩
=1−
∩
=
trèfle (on notera T cet événement) ?
=1−
=
=1−
=
=
c) Calcul de la probabilité que la carte soit une dame de trèfle :
d) Détermination de
∪
=
+
−
∩
=
∩
+ −
=
=
=
.
Exo 3 : Un disquaire range l’ensemble de ces CD en trois catégories :
- Les CD de variétés qui représentent 40 % de l’ensemble et dont 75 % sont des
albums.
– Les CD de pop-rock qui représentent 35 % de l’ensemble et dont 80 % sont
des albums.
– Les CD classiques-jazz quir représentent 25 % de l’ensemble et dont 99 % sont
des albums.
Le disquaire dispose de deux formats de CD : les albums et les deux –titres. On
trouve un CD par hasard.
1) Traduire les informations données à l’aide d’un arbre de probabilités.
Voir arbre ci-contre : VA = variété PR = pop-rock et CJ = classique-jazz. A = album et T= deux-titres.
2) Quelle est la probabilité que le CD pris par le client soit un deux titres ? VA, PR et CJ sont des événements qui
forment une partition de Ω = VA ∪ PR ∪ CJ et : VA ∩ PR = ∅, VA ∩ CJ = ∅etCJ ∩ PR = ∅ , on peut donc
appliquer le théorème des probabilités totales :
p(T) = p(VA) x PVA(T)+ p(PR) x PPR(T)+ p(CJ) x PCJ(T)=0.4x0.25+0.35x0.2+0.25x0.01=0.1725
Exo 4 : On lance deux dés cubiques parfaitement équilibrés et on s’intéresse à la somme des nombres obtenus. On
note A l’événement « la somme est un nombre impair » et B l’événement « la somme est inférieure ou égale à 9 ».
Les événements A et B sont-ils indépendants. On raisonne sur () l’événement « la somme est supérieure ou égale à
10 » il y a 6 issues possibles sur 36 représentant l’événement () : 6+4, 4+6, 5 +5, 6+5, 5+6 et 6+6. Si les deux dés
sont de même parité alors la somme est paire donc : p(A) =1/2 et p(A)xp(())=1/2x6/36=1/12, A ∩ () correspond à 2
événements sur 36, soit : p(A ∩ () )=2/36=1/18. Ainsi : * + × * () ≠ * A ∩ () donc A et () ne sont pas
indépendants, il en est donc de même de A et B.
Exo 5 : Avant le début des travaux de construction d’une autoroute, une équipe d’archéologie préventive procède à
des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain.
0.6
Lorsque le n-ième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif.
L’événement « le n-ième sondage est positif » est noté Vn et on note pn la
0.4
probabilité de l’événement Vn. L’expérience acquise au cours de ce type
0.1
d’investigation permet de prévoir que :
1-pn
0.9
- si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à 0,6 d’être aussi positif ;
- si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à 0,9 d’être aussi négatif.
On suppose que le premier sondage est positif, c’est-à-dire p1 = 1.
1) n désigne un entier naturel supérieur à 2. Compléter l’arbre ci-contre en fonction des données de l’énoncé.
Voir arbre ci-dessus.
2) Pour tout entier naturel n non nul , établir que : *- = 0.5*- + 0.1
Pour n entier naturel non nul, 1- et 1- forment une partition de l’univers de Ω : Ω = 1- ∪ 1- et 1- ∩ 1- = ∅
On peut donc appliquer le théorème des probabilités totales : p(1- ) = *23 (234 ) *(1- )+ *))))
23 (234 ) *(1- ) =
0.6*- + (1 − *- )0.1 = 0.5*- + 0.1 d’où : pn+1 = 0.5*- + 0.1
On note (un) la suite définie pour tout entier naturel n non nul par : un = pn - 0.2
a) Montrer que (un) est une suite géométrique, préciser le premier terme et la raison.
Pour n entier naturel : 6- = *- − 0.2 = 0.5*- + 0.1 − 0.2 = 0.5(*- − 0.2) = 0.56Ainsi (un) est bien une suite géométrique de raison q = 0.5 et de premier terme 6 = * − 0.2 = 0.8
b) Exprimer pn en fonction de n et en déduire la limite de (pn) en + ∞.
Comme (un) est une suite géométrique de raison q = 0.5 et de premier terme 6 = 0.8 on peut donc
écrire : 6- =0.8(0.5)n-1 donc : *- = 6- + 0.2 = 0.8(0.5)- + 0.2
Or : lim-→ >(0.5)- = lim-→ > (0.5)- = 0 pour une suite géométrique de raison 0<q<1 soit
lim-→ > *- = 0 . 2 avec le théorème sur les opérations sur les suites.
Exo 6 : Montrer que si deux événements A et B sont indépendants alors A et () sont indépendants. COURS
Bonus : On dispose d’un jeu de 52 cartes. On distribue au hasard 4 cartes à chacun des deux joueurs A et B. Calculer
la probabilité que A ait au moins un As. Si on note M l’événement A a au moins un As, en supposant que 4 cartes
sont distribuées d’abord au joueur A, on peut calculer p(?) =
p(?) = 1 −
@
×
A
×
B
×
C
@
×
A
×
B
×
C
≈ 0.719 soit
≈ 1 − 0.719 ≈ 0.281
Sujet 2
Exo 1 : Une urne contient trois boules blanches et deux boules noires indiscernables au toucher. On tire
successivement et sans remise deux boules dans l’urne. Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules blanches ?
N1
1/4
N2
on cherche à avoir deux boules noires soit P(B1 ∩B2) = p(B1) x PB1(B2) = × =
2/5
3/4
2/4
3/5
B2
On a noté Bi l’événement obtenir une boule noire au i-ième tirage.
N2
B1 2/4
B2
Exo 2 : On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes.
a) Sachant que la carte tirée est une Dame (on notera D cet événement), quelle est la probabilité que la carte soit un
coeur (on notera C cet événement) ?
b) Calculer
I(
).
H(
)=1−
H(
(G) =
( ∩H)
( )
=
)=1−
( ∩H)
(H)
=1−
=
=1−
=
c) Calculer la probabilité que la carte soit une figure (événement noté F) de cœur
(J ∩ G) =
car il y a 3
figures de coeur .
d) Déterminer p(FUC) (J ∪ G) = (J) + (G) − (J ∩ G) =
+
−
=
(
)
=
=
B
Exo 3 : Un disquaire range l’ensemble de ces CD en trois catégories :
- Les CD de variétés qui représentent 40 % de l’ensemble et dont 75 % sont des
albums.
– Les CD de pop-rock qui représentent 35 % de l’ensemble et dont 80 % sont
des albums.
– Les CD classiques-jazz quir représentent 25 % de l’ensemble et dont 99 % sont
des albums.
Le disquaire dispose de deux formats de CD : les albums et les deux –titres. On
trouve un CD par hasard.
1) Traduire les informations données à l’aide d’un arbre de probabilités.
Voir arbre ci-contre : VA = variété PR = pop-rock et CJ = classique-jazz. A = album et T= deux-titres.
2) Quelle est la probabilité que le CD pris par le client soit un album ? VA, PR et CJ sont des événements qui
forment une partition de Ω = VA ∪ PR ∪ CJ et : VA ∩ PR = ∅, VA ∩ CJ = ∅etCJ ∩ PR = ∅ , on peut donc
appliquer le théorème des probabilités totales :
p(A) = p(VA) x PVA(A)+ p(PR) x PPR(A)+ p(CJ) x PCJ(A)=0.4x0.75+0.35x0.8+0.25x0.99=0.8275
Exo 4 : On lance deux dés cubiques parfaitement équilibrés et on s’intéresse à la somme des nombres obtenus. On
note A l’événement « la somme est un nombre pair » et B l’événement « la somme est inférieure ou égale à 9 ». Les
événements A et B sont-ils indépendants. On raisonne sur () l’événement « la somme est supérieure ou égale à
10 » il y a 6 issues possibles sur 36 représentant l’événement () : 6+4, 4+6, 5 +5, 6+5, 5+6 et 6+6. Si les deux dés
sont de même parité alors la somme est paire donc : p(A) =1/2 et p(A)xp(())=1/2x6/36=1/12, A ∩ () correspond à 2
événements sur 36, soit : p(A ∩ () )=4/36=1/9. Ainsi : * + × * () ≠ * A ∩ () donc A et () ne sont pas
indépendants, il en est donc de même de A et B.
Exo 5 : Avant le début des travaux de construction d’une autoroute, une équipe d’archéologie préventive procède à
des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain.
0.6
Lorsque le n-ième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif.
L’événement « le n-ième sondage est positif » est noté Vn et on note pn la
0.4
probabilité de l’événement Vn. L’expérience acquise au cours de ce type
0.1
d’investigation permet de prévoir que :
1-pn
- si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à 0,6 d’être aussi
0.9
positif ;
- si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à 0,9 d’être aussi négatif.
On suppose que le premier sondage est positif, c’est-à-dire p1 = 1.
3) n désigne un entier naturel supérieur à 2. Compléter l’arbre ci-contre en fonction des données de l’énoncé.
Voir arbre ci-dessus.
4) Pour tout entier naturel n non nul , établir que : *- = 0.5*- + 0.1
Pour n entier naturel non nul, 1- et 1- forment une partition de l’univers de Ω: Ω = 1- ∪ 1- et 1- ∩ 1- = ∅
On peut donc appliquer le théorème des probabilités totales : p(1- ) = *23 234 * 1- +*))))
23 234 * 1- =
0.6*- + 1 − *- 0.1 = 0.5*- + 0.1 d’où : pn+1 = 0.5*- + 0.1
On note (un) la suite définie pour tout entier naturel n non nul par : un = pn - 0.2
c) Montrer que (un) est une suite géométrique, préciser le premier terme et la raison.
Pour n entier naturel : 6- = *- − 0.2 = 0.5*- + 0.1 − 0.2 = 0.5 *- − 0.2 = 0.56Ainsi (un) est bien une suite géométrique de raison q = 0.5 et de premier terme 6 = * − 0.2 = 0.8
d) Exprimer pn en fonction de n et en déduire la limite de (pn) en + ∞.
Comme (un) est une suite géométrique de raison q = 0.5 et de premier terme 6 = 0.8 on peut donc
écrire : 6- =0.8(0.5)n-1 donc :*- = 6- + 0.2 = 0.8 0.5 - + 0.2
Or : lim-→ > 0.5 - = lim-→ > 0.5 - = 0 pour une suite géométrique de raison 0<q<1 soit
lim-→ > *- = 0 . 2 avec le théorème sur les opérations sur les suites.
Exo 6 : Montrer que si deux événements A et () sont indépendants alors A et B sont indépendants. COURS , on pose
A’ = A et B’ = () alors A’ et B’ sont indépendants soit A’=A et (′ = ( indépendants en reprenant la démonstration du
cours.
Bonus : On dispose d’un jeu de 52 cartes. On distribue au hasard 3 cartes à chacun des deux joueurs A et B. Calculer
la probabilité que A ait au moins un As. Si on note M l’événement A a au moins un As, en supposant que 3 cartes
sont distribuées d’abord au joueur A, on peut calculer p(? =
p(? = 1 −
@
×
A
×
B
≈ 1 − 0.783 ≈ 0.217
@
×
A
×
B
≈ 0.783 soit