Équations, inéquations, systèmes

Équations, inéquations, systèmes
Claudie Chabriac, Jean-Marc Couveignes, Francis Rigal
Table des matières
1
2
Résumé de cours
1.1 Calcul littéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Réduire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Supprimer les parenthèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Développer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Factoriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Équations à une inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Généralités sur les équations à une inconnue . . . . . . . . . . .
1.2.2 Équations du premier degré à 1 inconnue . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Équations du second degré à une inconnue . . . . . . . . . . . .
1.3 Inéquations à une inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Généralités sur les inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Inéquations du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Généralités sur les systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Systèmes linéaires comportant autant d’équations que d’inconnues
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13
13
15
Exercices
2.1 Développer une expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Factoriser une expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
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Chapitre 1
Résumé de cours
Une équation est une relation d’égalité entre des nombres, dans laquelle apparaît une ou plusieurs
inconnues, qui sont des quantités que l’on cherche à déterminer. Une équation modélise donc un
problème : c’est la première étape pour déterminer la valeur de ces quantités inconnues.
Une inéquation est une relation d’inégalité, (le signe = de l’équation est remplacé par l’un des
signes <, 6, > ou >), dans laquelle apparaissent aussi des inconnues.
Lorsque plusieurs quantités sont à déterminer dans un même problème, on a en général plusieurs
équations et on parle alors de système d’équations.
Résoudre une équation d’inconnue x, c’est trouver toutes les valeurs de x vérifiant l’égalité. Les
valeurs trouvées sont appelées solutions de l’équation.
Un nombre est solution d’une équation si, en remplaçant l’inconnue par ce nombre, on obtient
une égalité VRAIE.
Prenons, par exemple, l’équation 6x + 3 = 21.
• 2 n’est pas une solution car, en remplaçant x par 2, on a, dans le premier membre de l’équation,
6 × 2 + 3 qui est égal à 15.
L’égalité 6 × 2 + 3 = 21 est donc FAUSSE.
• En revanche, 3 est solution car 6 × 3 + 3 = 21.
On dispose de méthodes pour résoudre certaines équations, mais il n’est pas nécessaire de connaître
ces méthodes pour vérifier si un nombre est, ou n’est pas, solution d’une équation. Il suffit de remplacer l’inconnue par ce nombre, d’effectuer le calcul, et de vérifier si l’égalité est exacte.
Exemple : On ne peut pas résoudre l’équation 2x3 − 7x2 − 7x + 12 = 0 mais on peut vérifier
que 1 et 4 sont solutions de cette équation.
En effet : 2 × 13 − 7 × 12 − 7 × 1 + 12 = 2 − 7 − 7 + 12 = 0 et
2 × 43 − 7 × 42 − 7 × 4 + 12 = 128 − 112 − 28 + 12 = 0.
Pour pouvoir résoudre des équations ou inéquations, il est indispensable de maîtriser le “calcul
littéral”. On va donc commencer par quelques rappels concernant ce type de calcul.
1.1
Calcul littéral
En algèbre, des lettres représentent des nombres. Pour commencer, on précise quelques conventions
d’écriture : le signe × peut être sous-entendu entre :
2
→ un nombre et une lettre ;
→ deux lettres ;
→ un nombre (ou une lettre) et une parenthèse.
Le calcul littéral donne les règles de calcul et de transformation des expressions contenant des
lettres.
1.1.1
Réduire
Définition : Réduire une expression littérale, c’est l’écrire avec le moins de termes possible.
Propriété : On ne peut réduire une expression littérale qu’en additionnant des termes de même nature,
c’est-à-dire qui contiennent la même lettre affectée du même exposant.
Exemples :
• 5x − 2x + x2 − 2 − 5x2 = 3x − 4x2 − 2 ;
• 8b3 − 2b + b3 + 5b = 9b3 + 3b ;
• x2 + 2y 2 − 5x2 = −4x2 + 2y 2 .
1.1.2 Supprimer les parenthèses
Propriété :
• Quand les parenthèses sont précédées du signe “+” et qu’elles ne sont pas suivies de “×” ou de
“÷”, on peut supprimer ce signe + et les parenthèses.
• Quand les parenthèses sont précédées du signe “−” et qu’elles ne sont pas suivies de “×” ou de
“÷”, on peut supprimer ce signe − et les parenthèses, à condition de remplacer chaque terme de la
parenthèse par son opposé : −(a + b) = −a − b = −1 × (a + b).
Exemples :
• (8 − 2x) + (−6x + 1) + (5 − x) = 8 − 2x − 6x + 1 + 5 − x = 14 − 9x ;
• (7 − a) − (3a − 1) − (−5a + 4) = 7 − a − 3a + 1 + 5a − 4 = 4 + a.
1.1.3 Développer
Définition : Développer une expression, c’est la transformer en une somme et/ou différence de
termes.
On utilise la distributivité : a, b, k étant 3 nombres réels,
k × (a + b) = k × a + k × b
(a + b) × (c + d) = ac + ad + bc + bd
Exemple : 3(5x + 4) = 3 × (5x + 4) = 3 × 5x + 3 × 4 = 15x + 12.
Plus généralement, développer, c’est effectuer dans une expression toutes les multiplications possibles, en tenant compte des ordres de priorité des opérations, puis “enlever” toutes les parenthèses
(Attention aux signes !). Après avoir développé une expression, il faut la “réduire”, c’est-à-dire effectuer toutes les additions possibles (voir 1.1).
Exemples
(2x + 1)(3x − 5) = 2x × 3x + 2x × (−5) + 1 × (3x) + 1 × (−5)
= 6x2 − 10x + 3x − 5 = 6x2 − 7x − 5
3
(x − 2)2 − (x − 3)(2x + 5) = x2 − 4x + 4 − (2x2 + 5x − 6x − 15)
= x2 − 4x + 4 − 2x2 − 5x + 6x + 15
= −x2 − 3x + 19
1.1.4 Factoriser
Définition :Factoriser, c’est l’opération inverse de développer : on transforme une expression
en un produit de facteurs.
On utilise la distributivité dans le sens inverse : a, b, k étant 3 nombres relatifs,
k × a + k × b = k × (a + b) = (a + b) × k
Exemple : 10x + 15 = 5 × (2x + 3).
À la différence du développement où il suffit d’appliquer les règles de calcul, la factorisation
nécessite un petit travail de réflexion.
→ Dans un premier temps, il faut regarder s’il existe un facteur commun. Par exemple, dans l’expression
(x + 2)(x − 5) − 4(x + 2)
(x + 2) est multiplié par (x − 5) et par −4 (attention au signe !). Que faire alors ? On écrit le facteur
commun d’abord, puis on ouvre une grande parenthèse (ou même un crochet), où l’on enfourne les
éléments qui étaient multipliés par le facteur commun (c’est la distributivité !). Concrètement, cela
donne :
(x + 2)(x − 5) − 4(x + 2) = (x + 2) [(x − 5) − 4]
Il n’y a plus ensuite qu’à simplifier l’intérieur du crochet, en faisant très attention aux problèmes
de signes qui peuvent se poser quand on retire les éventuelles parenthèses. Finalement, on obtient
l’expression factorisée :
(x + 2)(x − 9)
Malheureusement, les choses ne sont pas toujours aussi simples !
→ Il arrive que le facteur commun soit caché, parce qu’il est multiplié par une constante. Par
exemple, dans l’expression
(x + 2)(x − 5) − 4x − 8
le facteur commun (x + 2) se cache, et cette expression donne en fait la même chose que précédemment.
→ Il peut arriver (mais pas dans les exercices que nous traiterons cette année) que le facteur commun se cach
Essayons, par exemple, de factoriser
A = x2 − 16 + (x − 3)(x − 4).
Il n’y a pas de facteur commun évident. En revanche, la première partie de l’expression fait intervenir
l’identité remarquable :
x2 − 16 = (x + 4)(x − 4)
On peut donc terminer la factorisation :
A = (x + 4)(x − 4) + (x − 3)(x − 4) = (x − 4) [(x + 4) + (x − 3)]
= (x − 4)(x + 4 + x − 3) = (x − 4)(2x + 1)
4
→ Si vraiment rien ne marche, en dernier recours, développer en espérant un miracle, qui se produit
dans de rares cas ! Par exemple, dans l’expression
B = 2x2 − 6x + 29 + 2(x + 2)(x − 5)
il n’y a pas de facteur commun évident, et 2x2 − 6x + 29 n’est pas le développement d’un produit
remarquable. On développe donc allègrement :
B = 2x2 − 6x + 29 + 2(x2 − 5x + 2x − 10)
= 2x2 − 6x + 29 + 2x2 − 10x + 4x − 20
= 4x2 − 12x + 9
et là, on reconnaît (2x − 3)2 .
Exemple : Factoriser l’expression C = 18x2 − 24x + 8 − (x + 1)(6x − 4) − 3x + 2.
P REUVE : Aucun facteur commun ne saute aux yeux. La première partie de l’expression fait
penser à une identité remarquable, mais 18x2 et 8 ne sont pas des carrés parfaits. Avant de se résoudre
à développer (on trouverait 12x2 − 29x + 14 qui n’est pas facilement factorisable !), il vaut mieux
examiner de plus près chacun des éléments de C. On s’aperçoit que 18x2 − 24x + 8 = 2(9x2 −
12x + 4) = 2(3x − 2)2 . Or 3x − 2 apparaît plusieurs fois dans C puisque 6x − 4 = 2(3x − 2) et
−3x + 2 = −(3x − 2). On a donc trouvé le facteur commun ! On écrit alors :
C = 2(3x − 2)2 − 2(x + 1)(3x − 2) − (3x − 2)
= (3x − 2) [2(3x − 2) − 2(x + 1) − 1] = (3x − 2)(6x − 4 − 2x − 2 − 1)
= (3x − 2)(4x − 7)
2
1.1.5 Identités remarquables
Les identités suivantes sont dites remarquables :
(a + b)2
(a + b)3
a2 − b 2
a3 − b 3
=
=
=
=
a2 + 2ab + b2 ,
a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ,
(a − b)(a + b),
(a − b)(a2 + ab + b2 ).
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
Elle sont vraies si a et b sont des nombres ou des indéterminées.
1.2
Équations à une inconnue
1.2.1 Généralités sur les équations à une inconnue
Des problèmes de la vie courante peuvent être résolus grâce à une équation. Pour ce faire, il faut
travailler avec méthode :
• Choisir l’inconnue (en général, le texte guide)
• Traduire l’énoncé en une équation mathématique
5
• Résoudre l’équation
• Conclure le problème.
Vocabulaire :
L’expression écrite à gauche du signe = est le premier membre de l’équation ; l’expression écrite
à droite est son deuxième membre.
On dit que deux équations sont équivalentes si elles ont les mêmes solutions. On obtient une
équation équivalente à une équation donnée en ajoutant ou en retranchant un même nombre aux deux
membres, ou bien en multipliant ou en divisant les deux membres par un même nombre différent de
0.
Pour résoudre une équation, on transformera l’équation donnée en équations de plus en plus
simples.
1.2.2 Équations du premier degré à 1 inconnue
Définition : Une équation du premier degré à 1 inconnue est une équation :
• qui n’a qu’une inconnue (problème où il n’y a qu’une quantité à déterminer), le plus souvent
notée x ;
• qui peut s’écrire, après transformation, sous la forme ax = b, où a et b sont obtenus à partir
de nombres donnés dans l’énoncé.
Exemple : 3 × x + 5 = 2 ; 4 − 2 × x = −8 + 5 × x...
Exemple élémentaire d’une mise en équation : On considère le problème suivant : 2 paquets de
gâteaux et 4 paquets de bonbons coûtent ensemble 20 euros. Les paquets de bonbons coûtent 3 euros
chacun. Quel est le prix d’un paquet de gâteaux ?
Les 4 paquets de bonbons coûtent ensemble : 4 × 3 = 12 euros
Le prix des 2 paquets de gâteaux est donc : 20 − 12 = 8 euros
Le prix d’un paquet de gâteaux est donc finalement 8 ÷ 2 = 4 euros.
P REUVE :
2
Le passage par une équation permet de proposer une solution qui ne demande, pour toute réflexion,
que la transcription du problème sous forme d’une relation où intervient l’inconnue. On note le plus
souvent x l’inconnue, mais tout autre symbole pourrait être utilisé. L’exemple précédent peut donc se
traiter de la façon suivante :
P REUVE :
Soit x le prix d’un paquet de gâteaux. Alors :
2 × x + 4 × 3 = 20
2 × x + 12 = 20
2 × x = 20 − 12 = 8
x = 8 ÷ 2 = 4.
Un paquet de gâteaux côute donc 4 euros.
2
L’utilisation des équations permet une résolution plus simple de problèmes dont l’énoncé peut
être complexe.
Exemple : Une vache compte le nombre de ses petits veaux et se dit : “si j’avais eu 2 fois plus de
petits veaux que cette année, j’aurais eu seulement 3 veaux de moins que la Marguerite, qui est la
6
fierté du cheptel.” Or, avec 5 veaux de plus, la Marguerite aurait eu 4 fois plus de veaux que notre
petite vache. Combien notre vache a-t-elle eu de petits veaux cette année ?
Soit x le nombre de veaux de notre petite vache.
D’après les pensées de celles-ci, la Marguerite a eu :
P REUVE :
2×x+3
veaux.
La phrase supplémentaire nous apprend, en outre, que la Marguerite a eu :
4×x−5
veaux.
On peut résumer l’information en écrivant l’équation :
2×x+3=4×x−5
2×x+8=4×x
8=4×x−2×x
8=2×x
x=8÷2=4
2
Essayer de résoudre sans recours aux équations ce petit problème demanderait bien plus d’énergie
que de passer par une mise en équation !
Méthode de résolution :
La résolution d’une équation linéaire peut toujours se faire suivant le schéma suivant :
• Étape 1 On isole les termes faisant intervenir l’inconnue x et les termes ne faisant pas intervenir
x dans chacun des deux membres de l’équation.
Remarque : Pour faire disparaître un terme d’un côté d’une équation de type égalité, on ajoute aux
deux membres de l’égalité l’opposé de ce terme.
• Étape 2 On conclut :
→ Si on parvient à une équation du type 0 × x = 0 ou 0 = 0, alors l’équation admet pour solution
tous les nombres réels (n’importe quelle valeur pour x convient !)
→ Si on a une équation du type 0 × x = b ou 0 = b avec b 6= 0, alors l’équation n’admet
aucune solution.
→ Si on a une équation du type a × x = b avec a 6= 0, alors l’équation admet une unique solution
qui est x = b ÷ a .
Exemple : Résoudre l’équation 2x + 3 = 4x − 5
Étape 1 : Pour faire disparaître 3 du membre de gauche, on ajoute −3 aux deux
membres de l’égalité. Dans le membre de gauche, on obtient donc le terme constant +3 − 3 = 0
(disparition du “3”) et dans le membre de droite, le −3 vient s’ajouter au seul autre terme constant
qui est −5 pour donner le terme constant −5 − 3 = −8. L’équation devient donc :
P REUVE :
2x + 3 − 3 = 4x − 5 − 3
7
c’est-à-dire :
2x = 4x − 8
Pour faire disparaître 4x du membre de droite, on ajoute −4x aux deux membres de l’égalité. L’équation devient alors :
2x − 4x = 4x − 8 − 4x
c’est-à-dire :
−2x = −8
Étape 2 : On a une équation du type ax = b avec a = −2 6= 0 et b = −8. La solution est donc
unique et c’est
x = (−8) ÷ (−2) = 8 ÷ 2 = 4.
2
Remarques :
• Attention ! Lorsqu’on divise par un nombre, il faut absolument être sûr que ce nombre est non
nul. Ainsi, lors du passage de ax = b à x = b ÷ a, on a effectué une division par a. Ce passage n’est
possible que si on est certain que a est différent de 0. C’est un “piège” classique que l’on peut voir
apparaître dans les problèmes sur les équations.
Exemple : Résoudre l’équation (y − 1)x = y − 1, où l’inconnue est x.
Si on a aucune hypothèse sur le réel y, il faut bien se garder de dire x =
véritable solution se formule de la manière suivante :
→ soit y 6= 1, et alors x = 1
→ soit y = 1 et alors x est n’importe quel réel .
P REUVE :
y−1
y−1
= 1. La
2
• Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.
Exemple : Résoudre l’équation 34 x = 57 .
P REUVE :
Cette équation a pour solution x =
7
5
÷
3
4
=
7
5
×
4
3
=
28
.
15
2
Voici deux exemples d’exercices qui conduisent à résoudre une équation à une inconnue.
1. Traduire un énoncé par une équation :
Exemple : Des amis se rendent ensemble dans un restaurant et partagent équitablement les frais.
S’ils paient chacun 21 euros, il manque 17 euros ; s’ils paient chacun 24 euros, il y a 7 euros de trop.
On désigne par n le nombre de personnes qui se sont rendues ensemble dans ce restaurant. Parmi
les équations suivantes, quelle(s) est(sont) celle(s) qui permette(nt) de trouver ce nombre de personnes ?
= 24n
a) 21n − 17 = 24n + 7 ; b) 21n − 7 = 24n + 17 ; c) 21n
17
7
d) 21n + 17 = 24n − 7 ; e) (21 + 17)n = (24 − 7)n.
Analysons la phrase : “S’ils paient chacun 21 euros, il manque 17 euros”. Si n personnes paient 21 euros, la somme versée est 21 × n = 21n. La note est donc égale à 21n + 17.
Analysons la phrase : “S’ils paient chacun 24 euros, il y a 7 euros de trop”. La somme versée, en
euros, est 24 × n = 24n. La note est donc égale à 24n − 7.
Ainsi, en regroupant les deux informations, on obtient l’équation : 21n + 17 = 24n − 7. Cette
équation est celle de la réponse d). Aucune des autres équations proposées n’est équivalente à celle-ci.
Réponse d).
2
P REUVE :
2. Retrouver un nombre à l’aide d’une équation :
8
Exemple : On choisit un nombre x. On lui ajoute 14
et on multiplie le résultat par 72 . Puis on ajoute
5
2
6 au nombre obtenu et on divise le résultat par 7 . Le résultat final est 30. Quel(s) nombre(s) a-t-on
choisi ?
a) 31
; b) 41
; c) 6, 2 ; d) 8, 2 ; e) 28, 7.
5
5
2
P REUVE : On traduit l’énoncé parune équation : x + 14
× + 6 ÷ 72 = 30.
5 7
÷ 72 = 30. D’où x + 119
= 30
On résout l’équation : 27 x + 45 + 6 ÷ 72 = 30, soit 27 x + 34
5
5
x = 30 −
119
150 119
31
=
−
=
= 6, 2
5
5
5
5
Réponses a) et c).
2
1.2.3 Équations du second degré à une inconnue
Soient a, b et c trois nombres (par exemple des nombres réels) tels que a 6= 0. On veut résoudre
l’équation
ax2 + bx + c = 0.
Cette équation est équivalente à
4a2 x2 + 4abx + 4ac = 0
car a est non-nul.
Cette équation est équivalente à
(2ax + b)2 − b2 + 4ac = 0
soit
(2ax + b)2 = b2 − 4ac.
On pose ∆ = b2 − 4ac. Si δ vérifie
δ2 = ∆
alors l’équation s’écrit
(2ax + b)2 = δ 2
soit
2ax + b = δ ou 2ax + b = −δ.
On appelle ∆ le discriminant de l’équation.
Si le discriminant n’est pas un carré, il n’y a pas de solution.
9
Si le discriminant est nul, il y a une seule solution x = −b/(2a).
Si le discriminant est un carré non-nul, il y a deux solutions
x = (−b + δ)/(2a) et x = (−b − δ)/(2a).
1.3
Inéquations à une inconnue
1.3.1 Généralités sur les inéquations
Une inéquation à une inconnue est une inégalité où figure une lettre dont on ne connaît pas la
valeur.
Exemple : 2x2 + 1 < 4x et 2x − 5 > 8 sont des inéquations à une inconnue x. Mais 5x + 7y 6 10
est une inéquation à deux inconnues x et y.
Résoudre une inéquation à une inconnue, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue pour lesquelles l’inégalité est vraie. Ce sont les solutions de l’inéquation.
L’ensemble des solutions d’une inéquation se donne souvent sous forme d’un intervalle, dont on
rappelle la signification, pour certains d’entre eux :
l’intervalle est l’ensemble des nombres x tels que
]a; b[
a<x<b
[a; b]
a6x6b
[a; b[
a6x<b
] − ∞; b[
x<b
]a; +∞[
a<x
Par exemple, l’intervalle ]2, 5] désigne l’ensemble des nombres supérieurs strictement à 2 et inférieurs ou égaux à 5. Les nombres 3,1 ; 73 ; 4,99 ; 5 appartiennent à cet ensemble alors que les nombres
−4 ; 1,8 ; 2 ; 6,2 n’appartiennent pas à cet ensemble.
On dit que deux inéquations sont équivalentes si elles ont les mêmes solutions. On obtient une inéquation équivalente à une équation donnée en ajoutant ou en retranchant un même nombre aux deux
membres ; ou bien en multipliant ou en divisant les deux membres par un même nombre strictement
positif. Si on multiplie ou divise les deux membres d’une inéquation par un nombre strictement négatif, il faut changer le sens de l’inéquation pour obtenir une inéquation équivalente.
10
Pour résoudre une inéquation, on transforme l’inéquation en inéquations de plus en plus simples.
1.3.2 Inéquations du premier degré
Définition : On appelle inéquation du premier degré à une inconnue, toute inéquation qui se
ramène à la forme ax < b (ou ax + b < 0), le signe < pouvant être remplacé par 6, > ou >.
Ceci revient à étudier le signe de ax + b avec a 6= 0. On distingue les trois cas suivants :
• ax + b = 0 équivaut à ax = −b : donc x = − ab car a 6= 0.
• ax + b > 0 équivaut à ax > −b donc
b
b
x > − si a > 0 et x < − si a < 0.
a
a
• ax + b < 0 équivaut à ax < −b donc
b
b
x < − si a > 0 et x > − si a > 0.
a
a
Rappel : On change le sens d’une inégalité lorsqu’on multiplie les deux membres par un même
réel négatif.
On peut donc donner le signe de ax + b sous forme de tableau lorsque a 6= 0 en distingant deux
cas :
• Lorsque a > 0 :
x
− ab
−∞
+∞
ax + b
− 0 +



ax + b > 0 pour x ∈ − ab , +∞


Conclusion : Si a > 0, alors
ax + b < 0 pour x ∈ −∞, − ab



 ax + b = 0 pour x = − b .
a
• Lorsque a < 0 :
x
− ab
−∞
+∞
ax + b
+ 0 −



ax + b < 0 pour x ∈ − ab , +∞


Conclusion : Si a < 0, alors
ax + b > 0 pour x ∈ −∞, − ab



 ax + b = 0 pour x = − b .
a
11
On peut faire le tableau des signes qui résume les deux cas. On obtient :
x
ax + b
− ab
−∞
signe de − a
0
+∞
signe de a
Pour les inéquations simples du type 2x − 3 > 5x + 6, on procède comme pour résoudre une
équation, à ceci près que lorsqu’on multiple ou divise les deux membres par un nombre négatif,
l’inéquation change de sens. On écrit par exemple que 2x − 3 > 5x + 6 équivaut à
2x − 5x > 6 + 3 soit − 3x > 9
ce qui donne x 6 −3 et on écrit alors que l’ensemble des solutions est S =] − ∞, −3].
Voici deux exemples de problèmes conduisant à une inéquation à une inconnue.
1. Traduire un énoncé par une inéquation :
Exemple : Un club propose, pour la location d’un court de tennis, deux formules :
- abonnement de 40 euros, puis 8 euros de l’heure ;
- sans abonnement, 11 euros de l’heure.
À partir de quelle durée t (en heures), la formule d’abonnement est-elle plus avantageuse ?
L’énoncé se traduit par l’inéquation : 40 + 8t < 11t. Donc 40 < 3t et t >
donne t > 13, 333. À partir de 14 heures, la formule d’abonnement est plus avantageuse.
P REUVE :
40
,
3
ce qui
2
2. Utiliser un encadrement :
Exemple : Un escalier de 10 marches a un dénivelé de 2 mètres. Les normes en vigueur indiquent
que la hauteur h d’une marche doit être liée à sa profondeur p par la relation, en centimètres :
60 6 2h + p 6 63.
Parmi les nombres suivants, lesquels sont des valeurs acceptables pour l’encombrement au sol e
exprimé en mètres ?
a) 6,1 ; b) 5,8 ; c) 2,2 ; d) 2,1 ; e) 1,8.
La hauteur h d’une marche est 200 ÷ 10 = 20 centimètres. On remplace h par sa
valeur dans la relation donnée :
60 6 40 + p 6 63
P REUVE :
soit, en mètres, 0, 20 6 p 6 0, 23. Il y a 10 profondeurs de marches dans l’encombrement au sol :
2 6 e 6 2, 3.
Réponses c) et d).
2
12
2m
p
h
e???
1.4
Systèmes linéaires
1.4.1 Généralités sur les systèmes linéaires
Dans certains problèmes de la vie courante, il peut y avoir plusieurs inconnues à déterminer. On
les trouve le plus souvent en exploitant plusieurs informations. Voici un petit problème introductif :
Exemple : Nicolas pose la devinette suivante à Marie :
“Je pense à 2 nombres : leur somme est 10. Devine ces 2 nombres.”
Marie : “Je ne peux pas ; il y a plusieurs solutions !”
Nicolas : “J’ai oublié de te dire que l’un des nombres choisis est égal à l’autre nombre augmenté
de 6.”
Marie : “Cette fois, j’ai deviné tes deux nombres.”
Mathématisation : x et y désignent les nombres choisis par Nicolas, avec : y > x.
→ La première information se traduit par x + y = 10
→ La deuxième information se traduit par y = x + 6 (car y > x).
→ On a donc à résoudre le système à 2 équations et 2 inconnues x et y :

 x + y = 10
 y =x+6
Résoudre un système d’équations, c’est trouver toutes les solutions de ce système.
On fait précéder les deux équations d’une accolade pour signaler que l’on a un système d’équations, c’est-à-dire que les deux équations doivent avoir lieu simultanément.
On remplace y par x + 6 dans la première équation. Le système est alors équivalent
au système suivant :

 x + x + 6 = 10
P REUVE :
 y =x+6
13
c’est-à-dire :
ou encore

 2x = 10 − 6 = 4
 y =x+6

 x=4÷2=2
 y = x + 6.
On remplace alors x par 2 dans la deuxième équation. On a donc x = 2 et y = 8.
Le couple (2; 8) est l’unique solution du problème.
On peut vérifier que pour x = 2 et y = 8, on a bien :

 2 + 8 = 10
 8=2+6
2
Définition : Une équation du premier degré à deux inconnues x et y est une équation de la
forme ax + by = c, dans laquelle a, b et c sont des nombres donnés.
Exemple : 7x − 3y = 17 est une équation du premier degré à deux inconnues x et y.
Un couple de valeurs numériques est solution d’une telle équation lorsqu’on obtient une égalité
vraie en remplaçant les inconnues par ces valeurs.
Exemple : Le couple (2; −1) est une solution de l’équation 7x − 3y = 17.
En effet 7 × 2 − 3 × (−1) = 17.
Le couple (−1; 2) n’est pas solution de cette équation.
En effet 7 × (−1) − 3 × 2 = −13 6= 17.
Pour obtenir un couple solution d’une équation à deux inconnues, on peut fixer la valeur d’une
inconnue et calculer la valeur de l’autre.
Exemple : Calculons x pour que le couple (x; 2) soit solution de l’équation 7x − 3y = 17.
En remplaçant y par 2 dansl’équation, on obtient 7x − 3 × 2 = 17, d’où 7x = 17 + 6. On en
déduit x = 23
. Le couple 23
; 2 est une solution de l’équation 7x − 3y = 17.
7
7
Une équation du premier degré à deux inconnues a une infinité de solutions. On va généraliser
maintenant à des systèmes de plusieurs équations à plusieurs inconnues.
Définition : Un système linéaire est un ensemble d’équations :
• qui peuvent faire intervernir plusieurs inconnues (problèmes où il y a plusieurs quantités à
déterminer), le plus souvent notées x, y, z, etc... ;
• pour lesquels les relations reliant les inconnues aux autres nombres de l’énoncé sont des
équations du premier degré (on dit aussi relations linéaires)
14
Remarque : Il faut bien avoir à l’esprit qu’un système est un ensemble solidaire d’équations qui
sont liées. Ainsi, on ne résout pas une équation, puis une autre, puis une autre... Ce genre de stratégies,
de résolution en chaîne après manipulation des équations de base, peut, particulièrement au delà de
3 inconnues, conduire à une solution erronée. Ainsi, même si cela peut paraître contraignant, il est
conseillé de procéder avec rigueur lors de la résolution des systèmes d’équations, le mieux étant de
recopier à chaque étape les parties inchangées du système.
Méthode de résolution :
Pour déterminer de manière unique N inconnues, il faut au moins N équations. Ainsi, lorsqu’il
y a strictement moins d’équations que d’inconnues (comme dans le cas d’une équation du premier
degré à deux inconnues), le système ne pourra pas avoir de solution unique : on aura alors, soit une
infinité de solutions (ce qui ne veut pas dire que tous les nombres sont solutions !) ou bien aucune
solution (si les équations du système sont contradictoires).
1.4.2 Systèmes linéaires comportant autant d’équations que d’inconnues
La résolution de ce type de système linéaire peut se faire selon plusieurs méthodes voisines. On
va ici en présenter une, illustrée sur un système de 3 équations à 3 inconnues :
Exemple : Étude du système :



x + 2y + 3z = 1


4x + 5y + 5z = 2x



 7x + 8y + 9z = 3y + 4
• Étape 1 : Dans tous les cas, on commence par ordonner les inconnues, c’est-à-dire regrouper
les inconnues dans les membres de gauche et les mettre toujours dans le même ordre (par exemple,
les “x” en premier, les “y ′′ en deuxième et les “z” en dernier) ; on place également les constantes dans
les termes de droite.
P REUVE :
Le système équivaut alors à :



x + 2y + 3z = 1


4x − 2x + 5y + 5z = 2x − 2x



 7x + 8y − 3y + 9z = 3y − 3y + 4
c’est-à-dire à :



x + 2y + 3z = 1


2x + 5y + 5z = 0



 7x + 5y + 9z = 4
2
• Étape 2 : Une fois que les équations sont ordonnées, on dispose de plusieurs stratégies pour
résoudre ce système. Nous présentons ici la méthode par substitution qui est généralement celle que
15
les étudiants préfèrent. Elle consiste à remplacer successivement des inconnues par leurs relations
avec les autres : ainsi,
→ on exprime x en fonction de y et de z dans la première équation puis on injecte ce résultat
dans les 2 autres ;
→ on exprime ensuite y en fonction de z dans la deuxième équation puis on injecte ce résultat
dans la dernière
→ la dernière équation ne dépend alors plus que de z que l’on détermine ;
→ on conclut en effectuant le processus inverse (remplacer z par sa valeur dans la deuxième
équation et trouver y, puis remplacer y et z par leur valeur dans la première équation pour trouver x).
P REUVE :
On part du système :



x + 2y + 3z = 1


2x + 5y + 5z = 0



 7x + 5y + 9z = 4
→ On exprime x en fonction de y et z dans la première équation et on substitue x dans les 2
autres :



x = 1 − 2y − 3z


2(1 − 2y − 3z) + 5y + 5z = 0



 7(1 − 2y − 3z) + 5y + 9z = 4
c’est-à-dire



x = 1 − 2y − 3z


2 − 4y − 6z + 5y + 5z = 0



 7 − 14y − 21z + 5y + 9z = 4.
On réordonne les 2 dernières équations du nouveau système :



x = 1 − 2y − 3z


y − z = −2



 −9y − 12z = −3.
→ On exprime alors y en fonction de z dans la deuxième équation et on substitue y dans la
dernière :



x = 1 − 2y − 3z


y =z−2



 −9(z − 2) − 12z = −3.
c’est-à-dire



x = 1 − 2y − 3z


y =z−2



 −21z = −21.
16
→ On détermine alors z :



x = 1 − 2y − 3z


y =z−2



 z = −21 = 1.
−21
puis on détermine y :
et enfin on détermine x :



x = 1 − 2y − 3z


y = 1 − 2 = −1



 z = 1.



x = 1 − 2(−1) − 3 × 1 = 1 + 2 − 3 = 0


y = −1



 z = 1.
La solution de ce système est donc (x ; y ; z) = (0 ; −1 ; 1).
2
• Étape 3 : Après résolution du système, une petite vérification permet de dire si on ne s’est pas
trompé.
P REUVE :
Vérifions que la solution (x ; y ; z) = (0 ; −1 ; 1) est bien correcte. Le système de
départ était :



x + 2y + 3z = 1


4x + 5y + 5z = 2x



 7x + 8y + 9z = 3y + 4
Or, on a :
→ x + 2y + 3z = 0 + 2 × (−1) + 3 × 1 = −2 + 3 = 1 : la première équation est bien vérifiée par
la solution proposée ;
→ 4x + 5y + 5z = 4 × 0 + 5 × (−1) + 5 × 1 = −5 + 5 = 0 et 2x = 2 × 0 = 0 : la deuxième
équation est bien vérifiée par la solution proposée ;
→ 7x+8y +9z = 7×0+8×(−1)+9×1 = −8+9 = 1 et 3y +4 = 3×(−1)+4 = −3+4 = 1 :
la dernière équation est bien vérifiée par la solution proposée.
2
On vient d’illustrer la méthode de résolution avec un système qui admet une unique solution (une
seule valeur possible pour chaque inconnue).
17
Chapitre 2
Exercices
2.1
Développer une expression
Exercice 1 :
Développer et ordonner les expressions :
A(x) = 3(x − 7) − 2(x + 4) ; B(x) = x−1
−
4
2x+2
3
− 1 ; C(x) =
2
3
x
2
−1 −
1
2
3−
x
3
+ 2.
Exercice 2 :
Développer et ordonner les expressions :
A(x) = (x + 5)2 ; B(x) = (x − 3)2 ; C(x) = (x + 5)(2x − 1) ; D(x) = (x + 3)2 − (x + 2)2 .
Exercice 3 :
Développer et ordonner les expressions :
A(x) = x(2x − 1)(−x + 3) ; B(x) = (3x + 1)2 (−2x + 1)2 ; C(x) = (2x − 3)(−2x + 1)(x − 5).
Exercice 4 :
Développer les expressions :
1. (2x − y)(−2x + y) ;
2. (3x + y)(−2y + x) ;
3. (2x − y)(−2x + y)(x − y) ;
4. (x + 2y)(2x − y)2 .
Exercice 5 :
Développer les expressions :
1. (x + y − z)2 ;
2. (x + y + z)(x + y − z) ;
3. (x + y + z)(x + y − z)(x − y − z).
Exercice 6 :
Développer les
expressions
:
x+4
x−1 2
+ x 3 ; B(x) =
A(x) = 2
2x−1
3
2x+1
3
18
− 1.
2.2
Factoriser une expression
Exercice 7 :
Factoriser les expressions suivantes, en reconnaissant le facteur commun :
A(x) = (x − 3)(2x + 1) − (5x + 2)(x − 3) ; B(x) = (2x + 7)(x + 2) + (x + 2) ;
C(x) = (x − 2)(5x + 1) + 3(2x − 4)(8x − 5) ; D(x) = (2x − 1)(3x − 2) + 7(4 − 8x)(x + 5).
Exercice 8 :
Factoriser les expressions :
A(x) = 3(x + 1)2 − (x + 3)(2x + 2) ; B(x) = (3x − 2)(x + 1) − (6x − 4)(x + 3).
Exercice 9 :
Factoriser les expressions :
A(x) = (5x − 3)2 − (5x − 3) ; B(x) = (4x + 7)2 + 4x + 7.
Exercice 10 :
Factoriser l’expression :
A(x) = (x − 2)(4x − 1) + (1 − 4x)(x + 2).
Exercice 11 :
Factoriser l’expression :
A(x) = (2x − 3)2 + (x + 6)(3 − 2x) + 4x − 6.
19