Énoncé

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURS DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D’ADMISSION
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PSI
(Durée de l’épreuve : 3 heures ; l’usage de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
Physique I – Filière PSI
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, comporte 6 pages.
• Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené
à prendre.
• Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera pertinent, même lorsque
l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des
qualités de rédaction de la copie.
La surface de la Lune
On se propose d’étudier quelques aspects de la surface lunaire : la température de surface, le
sol et l’atmosphère. Les diverses parties sont indépendantes entre elles.
¿ Important : on trouvera en page 6 un ensemble de données relatives à ce problème ;
ces données complètent (ou, à l’occasion, répètent) celles de l’énoncé. Quelques-unes de ces
données pourront servir plusieurs fois ; d’autres n’ont de valeur qu’informative. Quand
l’énoncé ne les indique pas, il appartient aux candidats de repérer et d’utiliser les données
utiles pour la résolution de certaines questions.
¿ Les questions numérotées avec un astérisque (par exemple q 1*) sont de type
essentiellement qualitatif ; elles demandent peu de calculs, voire pas du tout.
I Détermination expérimentale de la
température lunaire
Mesures
a
C
O
R
Fig. 1 : télescope
On effectue cette détermination à l’aide d’un télescope à miroir
sphérique de rayon R, de diamètre d’ouverture a, situé dans un
site astronomique privilégié ou en orbite, terrestre ou lunaire.
Ce télescope concentre l’image d’une partie de la surface
lunaire sur un détecteur qui produit une tension proportionnelle
à la puissance lumineuse à laquelle il est exposé. Ce détecteur
Physique I PSI - 2003
est supposé ponctuel.
Deux mesures sont effectuées, la première avec un filtre qui absorbe l’infra rouge, et la
seconde sans filtre. La différence entre les deux mesures permet d’estimer la température
superficielle de la région lunaire étudiée.
q 1* – Expliquer en quoi le site astronomique où est situé le télescope doit être
« privilégié », ou pourquoi ce dernier est placé dans un satellite.
q 2* – Où doit-on placer le détecteur ?
50
q 3* – Admettons ceci : la puissance lumineuse
émise à la température T par un objet en équilibre thermodynamique est maximale pour la longueur d’onde λm (T ), qui dépend de la
température comme représenté en Fig. 2. Justifier la nécessité de refroidir les télescopes terrestres (par exemple à la température de l’azote
liquide, soit environ 77 K) ?
λm (µm)
40
30
20
10
T (K )
0
0
50
100
150
200
250
300
350
q 4* – Le diamètre d’ouverture, a, des télescopes observant la surface lunaire est de l’ordre du
mètre. Estimer la résolution de la mesure effectuée depuis un télescope terrestre ou en orbite
terrestre. On rappelle que la résolution angulaire d’un téle scope correspond au rayon
λ
angulaire de la tâche d’Airy, soit 1,22 .
a
Fig. 2 : Maximum d’émission
Interprétation des résultats
Les températures maximales du sol lunaire sont d’environ 120°C et les températures
minimales, lors de la nuit lunaire, d’environ − 200 °C. On attribue cette grande variation à la
durée de la nuit lunaire et à l’absence d’atmosphère lunaire.
q 5 – Déterminer la durée d’une nuit lunaire.
q 6 – Décrivez sur un schéma les zones de pénombre et d’ombre relativement au Soleil et à
la Terre, lorsque la Terre éclipse le Soleil. Évaluer les durées respectives de pénombre et
d’ombre.
Température
50° C
0° C
− 50° C
− 100° C
Ombre
Pénombre
Fig. 3 ; cycle de température lunaire
qualitatif entre la courbe et le modèle.
II Le sol lunaire
temps
q 7* – Des mesures sont effectuées
lors d’une éclipse totale ; l’allure des
résultats est représentée dans la fig. 3.
On en rend compte par un modèle à
deux couches pour la croûte lunaire :
une couche supérieure, pulvérulente, très
fine (épaisseur de l’ordre du millimètre),
de densité faible et de conductivité
thermique très faible, et une couche inférieure plus compacte de propriétés physiques proches de celles de la roche
ordinaire (silicates). Justifier l’accord
Physique I PSI - 2003
Modélisations
Le sol lunaire est bombardé et réduit en poussière par les météorites et le vent solaire, constitué essentiellement de protons et d’électrons. La composition du sol lunaire est proche de
celle des silicates, dont quelques caractéristiques physiques sont indiquées page 6. La couche
supérieure, très fine, peut être représentée par un empilement compact de sphères de
silicates, de rayon RSil et de température uniforme (Fig. 4). Le contact entre les sphères est
supposé ponctuel. On note c la distance verticale minimale entre deux sphères en positions
semblables
2
c =2
RSil ≈1,633 RSil . Dans une
3
A
telle structure compacte, le volume
B
occupé par les sphères est de
l’ordre de 74 % du volume de
l’empilement..
Fig. 4 : Le plan inférieur de l’empilement compact est
constitué de sphères dont les centres sont notés A. Une
couche identique de sphères, dont les centres sont à l’à-pic
des points de type B, est superposée à ce plan. Les centres
des sphères de la troisième couche sont en sites de type A,
et ainsi de suite (empilement de type ABAB …).
q 8* – Justifier qu’avec un tel
modèle les échanges thermiques
entre les sphères doivent se faire
par un autre processus que la
conduction ou la convexion.
q 9* – L’empilement précédent
est maintenant modélisé par un
ensemble de plans parallèles opaques, placés dans le vide, séparés par la distance c/2. Que pensez-vous de ce modèle ?
q 10 – On peut caractériser un tel milieu par un coefficient de conductivité thermique
dépendant de la température de la forme λ (T )= α T 3 , avec α = 1,55 ×10 −6 SI. Comparer
()
l’ordre de grandeur de λ T
obtenu avec ce modèle à la valeur expérimentale de la
conductivité des silicates à la température ambiante : K Sil ≈ 1,11 W.K −1 .m −1 ,
q 11 – Comparer la densité d et la capacité calorifique massique c de la couche supérieure
avec d Sil et cSil .
q 12* – Il est généralement admis que ce sont les couches les plus profondes qui ont les
caractéristiques physiques les plus voisines de celles des modèles ci-dessus. Pourquoi ?
Influence de l’impact des météorites
On admet que les météorites heurtant la surface lunaire ont même composition que le sol
lunaire. On rappelle que le référentiel de Copernic, ou référentiel héliocentrique, est lié au
centre de masse du système solaire et que ses axes pointent vers des étoiles réputées fixes.
Le référentiel de Copernic est supposé galiléen.
q 13 – Vérifier que la vitesse d’impact d’une météorite frappant la surface lunaire et de
4
−1
vitesse négligeable dans le référentiel de Copernic est de l’ordre de 3× 10 m.s .
q 14 – Montrer que l’impact d’une météorite de masse m1 peut dégager une énergie
suffisante pour porter à l’état liquide une masse m2 de la surface de la Lune. Déterminer puis
calculer le rapport m2/m1.
Physique I PSI - 2003
q 15* – La solidification du matériau en fusion n’est pas sans effet sur la nature des
transferts thermiques ultérieurs. Vers quelle valeur se rapproche alors la conductivité
thermique calculée précédemment ?
III Atmosphère lunaire.
Absence d’atmosphère gazeuse
Un gaz parfait, possédant par unité de volume n molécules de masse m, exerce sur une
surface une pression P. Les molé cules de ce gaz sont homocinétiques, c’est-à-dire de vecteur
vitesse v de norme υ constante, mais d’orientation aléatoire. Les molécules de gaz subissent
1
des chocs élastiques sur la surface. Il s’en déduit l’expression P = nmυ 2 .
3
q 16 – L’atmosphère lunaire est majoritairement composée d’atomes d’argon, libéré lors des
réactions nucléaires au sein des roches lunaires. Sachant que la masse molaire M de ce gaz
vaut 40 g, et en utilisant l’équation des gaz parfaits, calculer υ pour T = 300 K .
q 17 – On note υ1 la vitesse de libération lunaire ; c’est la vitesse minimale d’un objet
pouvant échapper à l’attraction gravitationnelle lunaire. Exprimer puis calculer la vitesse de
libération lunaire. En déduire qu’une atmosphère lunaire ne saurait subsister.
Étude d’une atmosphère « ionique ». Méthode de l’occultation
On suit depuis un radiotélescope terrestre le rayonnement
émis par une radiosource monochromatique lointaine, supposée immobile par rapport à la Terre, et située dans le plan
Lune
de l’orbite lunaire. Cette source peut être occultée provisoirement par la Lune (Fig. 5). La durée mesurée de
D
l’occultation est supérieure à la valeur attendue pour une Lune
Trajectoire
Terre
qui ne possèderait pas d’atmosphère. L’écart ∆t entre ces
deux valeurs vaut 24 secondes. En l’absence d’atmosphère
Fig. 5 : Déviation d’un rayon
gazeuse, on examine ici l’hypothèse d’une atmosphère dite
lumineux près de l’occultation
ionique, quoique constituée essentielle ment d’électrons. La
figure 6 représente le détail d’une déviation, notée D dans la figure 5.
Radiosource
La courbure du rayon lumineux est attribuée à une variation continue de l’indice n avec
l’altitude ; cette variation d’indice, à son tour, est due à une variation de la concentration
électronique de l’atmosphère avec l’altitude. On note nL la valeur de l’indice à la surface de
la Lune pour la fréquence d’émission de la radiosource et i l’angle de la tangente au rayon
avec la verticale locale. On ne tient pas compte de la courbure du sol lunaire et l’on suppose
que, en tout point du rayon, le produit n sin (i )est constant. On note i 0 l’angle d’incidence du
rayon non dévié (Fig. 6).
i0
grad(n)
Surface
lunaire
i0
Fig. 6 Détail de la déviation
q 18* – Justifier, en considérant la courbure du rayon lumineux, que la variation de l’indice avec l’altitude a bien le sens
indiqué dans la figure 6. Quelle est, en admettant, (comme
indiqué Fig. 6) que le rayon rase la surface lunaire, la rela tion
entre sin (i0 ) et nL ? Quel phénomène terrestre vous suggère
cette déviation lumineuse due à un gradient d’indice ?
Physique I PSI - 2003
q 19 – Soit PTL ≈ 27,25 jours la période de révolution de la Lune dans son mouvement
∆t 2D
circulaire autour de la Terre. Établir la relation
=
. Quelle est la signification de
PTL 2π
l’angle θ défini par θ = 2D ? Calculer sa valeur numérique.
D
π

q 20 – Établir la relation D = 2  − i 0  et justifier la relation approchée nL ≈ 1 −
.
2

8
2
q 21 – Dans le domaine hertzien, l’indice d’une atmosphère ionique, constituée d’électrons
de charge −e , de masse m et de concentration ne suffisamment faible s’écrit
( )
ω2p
n ee2
est le carré
n(ω) = 1 − 2 , où ε0 est la permittivité électrique du vide et où ω =
mε0
ω
2
p
de la pulsation de plasma. Déterminer la valeur numérique de la pulsation de plasma pour la
Lune, sachant que la fréquence de la radiosource est f = 0,5 GHz .
( ) = 5,65× 10
q 22 – Pour la Terre, ωp
( )
densité volumique n e
L
T
7
rad.s−1
(n )
e T
= 1012 m−3 . Déterminer la
de l’atmosphère lunaire. On a coutume d’assimiler ces électrons à
un gaz parfait ; est-ce légitime ?
q 23* – Comparer la durée de l’occultation dans le domaine du visible et dans le domaine
des ondes radio. Pourquoi utilise-t-on préférentiellement le domaine radio pour étudier
l’atmosphère lunaire ?
q 24* – La relation admise à la question 21 montre que l’indice est inférieur à 1. Si l’on
c
définit la vitesse du rayonnement de la radiosource dans ce milieu par V (ω ) =
on
n (ω )
obtient une vitesse supérieure à c. Que représente V en réalité ?
q 25 – À partir de la définition de la norme du vecteur d’onde k(ω )=
ω n (ω )
et de
c
ω 2p
établir l’expression de la vitesse de groupe
ω2
Vg (ω ) dans ce milieu, en fonction uniquement de c et de n(ω ). Trouver le lien, très simple,
entre V (ω ) et Vg (ω ) ; conclure.
2
l’expression, admise plus haut, n (ω ) =1 −
Fin du problème
Physique I PSI - 2003
Données numériques
Soleil
•
•
Rayon RS ≈ 7 × 10 5 km
Température de surface TS ≈ 5800 K
Terre
•
•
•
•
Rayon terrestre RT ≈ 6, 38 × 10 3 km
Distance Terre-Soleil DST ≈ 1,5 × 10 8 km
Masse terrestre MT ≈ 6 × 10 24 kg
Période du mouvement circulaire autour du Soleil PST ≈ 365,25 jours
Lune
•
•
•
•
•
Rayon lunaire RL = 1740 km
Masse lunaire M L = 7,4 × 1022 kg
Distance Terre-Lune DLT ≈ 3,84 × 10 5 km
Période du mouvement circulaire autour de la Terre PTL ≈ 27,25 jours (en restant
dans le plan de l’orbite terrestre)
Période de rotation propre de la Lune PL = PTL ≈ 27,25 jours . La Lune présente ainsi
toujours la même face à la Terre.
Silicates
•
•
•
•
•
Densité d Sil ≈ 2,51
Conductivité thermique KSil = 1,11 W.K −1 .m− 1
Chaleur spécifique c Sile = 860 J.kg −1 .K −1
Ordre de grandeur du rayon RSil ≈ 100 µm
Température de fusion du silicate T f = 1500 K
•
Chaleur latente de fusion Lf = 130 kJ.kg
−1
Constantes physiques
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Célérité de la lumière dans le vide c ≈ 3 × 10 8 m.s − 1
Constante de la gravitation G ≈ 6,67 × 10 −11 m3 .kg -1.s -2
h


≈ 10 −34 J .s 
Constante de Planck h ≈ 6,63 × 10 −34 J .s
 h=


2π
−23
−1
Constante de Boltzmann kB ≈ 1,38 × 10 J.K
Charge électrique élémentaire e = 1,6 × 10 − 19 C
Masse de l’électron me ≈ 9,11 × 10 −31 kg
Nombre d’Avogadro N ≈ 6,02×10 23
Permittivité du vide ε 0 ≈ 8,85 × 10 −12 F.m− 1
Constante des gaz parfaits R = Nk B ≈ 8,31 J .mol − 1 .K − 1