Pratique des produits dérivés P5 : Options - Olivier Brandouy

Transcription

Pratique des produits dérivés
P5 : Options
Olivier Brandouy
Université de Bordeaux
Diapo 1/52
Olivier Brandouy
Master 2 Métiers de la Banque
Notions essentielles
Stratégies de base
Stratégies Elaborées
Lectures
Plan
1
Ce que vaut l’option
Distinction VI/VT
2
Protéger son investissement
Dynamiser ses profits
3
Straddle
Spread
Collar
Autres stratégies
4
Lectures
Diapo 2/52
Olivier Brandouy
Master 2 Métiers de la Banque (CPA)
Lectures
Distinction VI/VT
Option : définition
Contrat donnant à son acquéreur le droit d’acheter (option d’achat = call) ou de
vendre (option de vente = put) :
une quantité déterminée d’actif sous-jacent
à un cours fixé d’avance (prix d’exercice où ”strike”)
pendant une période (”American options”) ou à une échéance donnée
(”European options”)
En échange de ce droit, l’acheteur paie le vendeur en lui versant une prime. Le
vendeur est alors tenu de réaliser l’opération d’échange si l’acheteur en décide
ainsi.
Diapo 3/52
Olivier Brandouy
Lectures
Distinction VI/VT
Terminologie
Selon la relation entre le prix d’exercice et le prix du sous-jacent sur le marché
spot :
at-the-money option
in-the-money option
out-of-the-money option
Pourquoi les options ”out-of-money” existent ?
valeur intrinsèque
valeur temps
Diapo 4/52
Olivier Brandouy
Lectures
Distinction VI/VT
Valeur temps d’un call
Valeur
V I = max(S − K, 0)
Incertitude maximale
quant à l'exercice de
l'option
S
K
Diapo 5/52
Olivier Brandouy
Lectures
Distinction VI/VT
Valeur temps d’un call et la durée d’une option
Valeur
V I = max(S − K, 0)
3 mois
2 mois
S
K
Diapo 6/52
Olivier Brandouy
Lectures
Distinction VI/VT
Valeur temps d’un call et la volatilité du sous-jacent
Valeur
V I = max(S − K, 0)
σ = 30%
σ = 20%
S
K
Diapo 7/52
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Lectures
Distinction VI/VT
Profil de gain des options européennes à l’échéance
Diapo 8/52
Olivier Brandouy
Lectures
Distinction VI/VT
Le profil de gain d’un portefeuille d’options
P1 : 1 Call + actif sans risque pour un montant de Ke −r (T −t)
Valeur
ST
K
Diapo 9/52
Olivier Brandouy
Lectures
Distinction VI/VT
Le profil de gain d’un portefeuille d’options
P2 : 1 put + 1 sous-jacent
Valeur
ST
K
Diapo 10/52
Olivier Brandouy
Lectures
Distinction VI/VT
Parité put-call
P1 =P2 à la date T quelque soit le prix du sous-jacent dans le future. Leur valeur
à la période t doit s’avérer identique, car sinon opportunité d’arbitrage.
Ainsi,
ct + Ke −r (T −t) = pt + St
(1)
En raison de cette parité, nous pouvons nous concentrer sur les calls pour
l’évaluation des options.
Diapo 11/52
Olivier Brandouy
Lectures
Distinction VI/VT
Exercise
A non dividend paying stock is $19 and the price of a 3-month European call
option on the stock with a strike price is $20 is $1. The risk-free rate is 4% per
annum. What is the price of a three-month European put option with a strike
price of $20 ?
Diapo 12/52
Olivier Brandouy
Lectures
Distinction VI/VT
Exercise
A non dividend paying stock is $19 and the price of a 3-month European call
option on the stock with a strike price is $20 is $1. The risk-free rate is 4% per
annum. What is the price of a three-month European put option with a strike
price of $20 ?
Answer : In this case, c0 = 1, T = 0, 25, S0 = 19, K = 20, t = 0, and r = 0, 04.
From put-call parity
c0 + Ke −rT = p0 + S0
or
p0 = 1 + 20e −0,04×0,25 − 19 = 1, 80
Diapo 12/52
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Lectures
Distinction VI/VT
L’impact du dividende sur la valeur d’un call
Quand un dividende est attendu pendant la durée de vie d’une option, la
valeur d’un call (put) est ajustée en soustrayant (ajoutant) la valeur actuelle
du dividende.
La période d’actualisation est fixée selon la date d’ex-dividende.
Diapo 13/52
Olivier Brandouy
Lectures
Distinction VI/VT
Exemple
A European call option and a put option on a stock both have a strike price of
$20 and an expiration date in 3 months. Both sell for $3. The risk free rate is 10%
per annum, the current stock price is $19, and a $1 dividend is expected in 1
month. Identify the arbitrage opportunity open to a trader.
Diapo 14/52
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Lectures
Distinction VI/VT
Exemple
A European call option and a put option on a stock both have a strike price of
$20 and an expiration date in 3 months. Both sell for $3. The risk free rate is 10%
per annum, the current stock price is $19, and a $1 dividend is expected in 1
month. Identify the arbitrage opportunity open to a trader.
3 + 20e −0,1×3/12 + e −0,1×1/12 − 19 = 4, 50
Diapo 14/52
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Lectures
Distinction VI/VT
Plan : 1 - Notions essentielles
Distinction VI/VT
Diapo 15/52
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Lectures
Distinction VI/VT
Flux liés à l’option (1)
L’acheteur de l’option PAYE la prime et achète ainsi le ”droit de”
Le vendeur de l’option ENCAISSE la prime et se trouve lié à la volonté de
l’acquéreur du droit
Diapo 16/52
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Lectures
Distinction VI/VT
Flux liés à l’option (2)
1
Si l’option est exercée :
I
Cas du CALL :
F
F
I
Cas du PUT :
F
F
2
le détenteur de l’option PAYE le prix convenu (X) et RECOIT le sous-jacent
le vendeur de l’option DOIT LIVRER le sous-jacent (REPO) et ENCAISSE le
prix convenu (X)
le détenteur de l’option LIVRE le sous jacent et RECOIT le prix convenu (X)
le vendeur de l’option PAYE le prix convenu (X) et PREND POSSESSION du
sous-jacent
Si l’option est abandonnée, aucun échange nouveau n’est exécuté
Diapo 17/52
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Lectures
Distinction VI/VT
Distinction VI/VT
Diapo 18/52
Olivier Brandouy
Lectures
Distinction VI/VT
Une fonction à plusieurs variables
– Le prix de l’option peut se calculer à l’aide du modèle Black-Scholes [1] (bien
que cela ne fasse plus en pratique, voir modèles alternatifs type Heston [2] ou
Heston et Nandi [3])
– Le calcul se base sur :
S0 le prix du sous-jacent
X le strike
T la distance à la maturité
r le taux sans risque
b le taux de distribution (dividende, lorsque nécessaire)
σ la volatilité du sous jacent
Diapo 19/52
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Lectures
Distinction VI/VT
Valorisation des options (1)
Par exemple, la formule de Black et Scholes pour le call européen est la suivante :
c0 = S0 N(d1 ) − Xe −rT N(d2 )
avec
d1 =
et
ln( SX0 ) + (r +
√
σ T
σ2
2 )T
(2)
√
d2 = d1 − σ T
(3)
N(d. ) étant la probabilité issue de la fonction de répartition de la loi Normale
P(X < d1 )
Diapo 20/52
Olivier Brandouy
Lectures
Distinction VI/VT
Distinction VI/VT
Diapo 21/52
Olivier Brandouy
Lectures
Distinction VI/VT
Valeur Intrinsèque
La valeur intrinsèque (VI) de l’option correspond à l’avantage qu’elle procure du
fait de son exercice :
VI (c) = max(0, S − K )
(4)
VI (p) = max(0, K − S)
(5)
Toutefois l’exercice n’est possible, dans le cas d’une option Européenne par
exemple, qu’à la maturité. La valeur de l’option diffère donc avant la maturité de
la VI.
Diapo 22/52
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Lectures
Distinction VI/VT
Exemple
La valeur d’une option se décompose en deux : la valeur intrinsèque (cf. supra) et
la ”valeur temps” qui repose sur l’incertitude qu’elle puisse être exercée ou non.
On prend l’exemple suivant :
S0 = 110
X = 100
r = 5 % annuels
b = 0 % annuels
σ % annuels
Diapo 23/52
Olivier Brandouy
Lectures
Distinction VI/VT
Valeur Temps (2 – A la maturité )
On calcule le prix de l’option à la maturité pour toute une série de prix possibles
pour le sousjacent ; à cet effet on va se positionner un instant avant la maturité :
library(fOptions)
##
##
##
##
##
##
##
##
Loading required package: fBasics
Loading required package: MASS
Attaching package: ’fBasics’
The following object is masked from ’package:base’:
norm
V <- NULL
S <- 90:120
for (i in 1:length(S)) {
cM <- GBSOption(TypeFlag = "c", S = S[i], X = 100, Time = 1/1e+21,
r = 0.04, b = 0.04, sigma = 0.25)
V[i] <- cM@price
}
Diapo 24/52
Olivier Brandouy
Lectures
Distinction VI/VT
Valeur Temps (3 – A la maturité )
Clairement, la VT est ici NULLE, on est ”à la maturité”
10
0
5
Prix de l'option
15
20
plot(S, V, type = "l", col = "red", xlab = "Valeurs possibles pour S",
ylab = "Prix de l'option")
90
95
100
105
110
115
120
Valeurs possibles pour S
Diapo 25/52
Olivier Brandouy
Lectures
Distinction VI/VT
Valeur Temps (4 – Un mois avant la maturité :)
10
0
5
Prix de l'option
15
20
V <- NULL
for (i in 1:length(S)) {
cM <- GBSOption("c", S[i], 100, Time = 1/12, 0.04, 0.04,
0.25)
V[i] <- cM@price
}
plot(S, V, type = "l", col = "green", xlab = "Valeurs possibles pour S",
ylab = "Prix de l'option")
90
95
100
105
110
115
120
Valeurs possibles pour S
Diapo 26/52
Olivier Brandouy
Lectures
Distinction VI/VT
Valeur Temps (5 – Pour 4 distances à la maturité
différentes)
V <- matrix(NA, length(S), 4)
T <- c(1/1e+21, 1/12, 3/12, 6/12)
for (j in 1:4) for (i in 1:length(S)) {
cM <- GBSOption(TypeFlag = "c", S = S[i], X = 100, Time = T[j],
r = 0.04, b = 0.04, sigma = 0.25)
V[i, j] <- cM@price
}
Diapo 27/52
Olivier Brandouy
Lectures
Distinction VI/VT
Valeur Temps (6 – Pour 4 distances à la maturité
différentes)
10
0
5
Prix de l'option
15
20
plot(S, V[, 1], type = "l", col = "red", xlab = "S", ylab = "Prix de l'option")
for (i in 2:4) {
lines(S, V[, i], col = (i + 1))
points(S[11], V[11, i])
}
abline(v = 100, lty = 2, col = "grey")
90
Diapo 28/52
95
100
105
S
110
115
Olivier Brandouy
120
Lectures
Plan : 2 - Stratégies de base
Diapo 29/52
Olivier Brandouy
Lectures
Fonction préliminaire
On commence par définir une fonction exprimant la VI :
VI <- function(d, o, K, p) {
## direction : d<-'s' short or 'l' long o <-'c' call or 'p'
## put 'S' pour Sous jacent K <-strike, p <- premium ;
## ATTENTION K doit ^
etre inf à 1000
S <- (1:1000)
.maxx <- function(a) {
max(0, a)
}
.minn <- function(a) {
min(0, a)
}
ifelse(o == "S", ifelse(d == "l", .vi <- (S), .vi <- (-S)),
ifelse(d == "l", ifelse(o == "c", .vi <- apply(as.array((S K)), 1, .maxx) - p, .vi <- apply(as.array((K - S)),
1, .maxx) - p), ifelse(o == "c", .vi <- apply(as.array((K S)), 1, .minn) + p, .vi <- apply(as.array((S - K)),
1, .minn) + p)))
.vi
}
Diapo 30/52
Olivier Brandouy
Lectures
Diapo 31/52
Olivier Brandouy
Lectures
Put défensif (protective put)
– Long sur le sous-jacent ⊕ Achat d’un put
0
50
100
150
Index
Diapo 32/52
200
250
300
200
−100
−50
0
50
P/L de la stratégie
100
150
200
150
100
−100
−50
0
50
P/L du put
100
50
−100
−50
0
P/L du sous−jacent
150
200
a <- VI("l", "S", 100, 0)
b <- VI("l", "p", 100, 10)
strat <- a + b
plot(a, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "green",
lwd = 2, ylab = "P/L du sous-jacent")
plot(b, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "blue",
lwd = 2, ylab = "P/L du put")
plot(strat, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200),
col = "red", lwd = 2, ylab = "P/L de la stratégie")
0
50
100
150
200
250
300
Index
0
50
100
150
200
250
300
Index
Olivier Brandouy
Lectures
Diapo 33/52
Olivier Brandouy
Lectures
Call couvert (covered call)
– Long sur le sous-jacent ⊕ Vente d’un call
0
50
100
150
Index
Diapo 34/52
200
250
300
200
−100
−50
0
50
100
150
200
150
100
−100
−50
0
50
P/L du put
100
50
−100
−50
0
150
200
a <- VI("l", "S", 100, 0) b <- VI("s", "c", 100, 10) strat <- a + b plot(a, type = "l", xlim =
c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "green", lwd = 2, ylab = "P/L du sous-jacent") plot(b, typ
= "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "blue", lwd = 2, ylab = "P/L du put") plot(s
type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "red", lwd = 2, ylab = "P/L de la strat
0
50
100
150
200
250
300
Index
0
50
100
150
200
250
300
Index
Olivier Brandouy
Lectures
Straddle
Spread
Collar
Autres stratégies
Plan : 3 - Stratégies Elaborées
Straddle
Spread
Collar
Autres stratégies
Diapo 35/52
Olivier Brandouy
Lectures
Straddle
Spread
Collar
Autres stratégies
Stratégies élaborées
On peut composer toutes sortes de stratégies en combinant des options de même
maturité et de même sous-jacent.
Ces stratégies correspondent à des anticipations très variées.
Les transparents suivants en présentent quelques unes parmi les plus connues.
Diapo 36/52
Olivier Brandouy
Lectures
Straddle
Spread
Collar
Autres stratégies
Straddle
Spread
Collar
Autres stratégies
Diapo 37/52
Olivier Brandouy
Lectures
Straddle
Spread
Collar
Autres stratégies
Straddle : pari sur la volatilité (1)
– Achat d’un call ⊕ Achat d’un put de même strike
Antic. : Le sous-jacent est très volatile mais on ne sait pas si le mouvement sera
haussier ou baissier
Issues : Excellent si un des mouvements extrèmes est observé, très mauvais si le
cours reste stable.
– Strips et Straps sont similaires
Diapo 38/52
Olivier Brandouy
Lectures
Straddle
Spread
Collar
Autres stratégies
Straddle : pari sur la volatilité (2)
0
50
100
150
Index
Diapo 39/52
200
250
300
200
−100
−50
0
50
100
150
200
150
100
−100
−50
0
50
P/L du put
100
50
−100
−50
0
150
200
a <- VI("l", "c", 100, 0)
b <- VI("l", "p", 100, 0)
strat <- a + b
plot(strat, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200),
0
50
100
150
200
250
300
Index
0
50
100
150
200
250
300
Index
Olivier Brandouy
Lectures
Straddle
Spread
Collar
Autres stratégies
Straddle
Spread
Collar
Autres stratégies
Diapo 40/52
Olivier Brandouy
Lectures
Straddle
Spread
Collar
Autres stratégies
Spread (1)
– Achat ⊕ Vente de calls (ou puts) de strike différents –money spread– (ou de
maturités différentes –time spread–)
Antic. : Tout dépend de ce qui est construit ! Le cas suivant (achat d’un call strike
X1 , vente d’un call de Strike X2 avec X1 < X2 ) est un ”bullish spread”, où
l’anticipation est haussière.
Issues : Si le prix du sous-jacent chute sous X1 , la perte est limitée à c1 tandis que
l’opérateur bénéficiera d’une augmentation du prix du sous-jacent
– On construit souvent ce type de stratégie si on pense qu’une option est mal
valorisée sur le marché (dans mon cas, c1 est ”bon marché” relativement à c2 )
Diapo 41/52
Olivier Brandouy
Lectures
Straddle
Spread
Collar
Autres stratégies
Spread (2)
20
200
0
100
−50
0
50
100
150
Index
Diapo 42/52
200
250
300
−20
−100
−100
−50
−10
0
50
P/L du put
100
50
0
10
150
150
200
a <- VI("l", "c", 100, 10)
b <- VI("s", "c", 110, 5)
strat <- a + b
plot(strat, type = "l", ylim = c(-20, 20), xlim = c(80, 140),
0
50
100
150
200
250
300
Index
80
90
100
110
120
130
140
Index
Olivier Brandouy
Lectures
Straddle
Spread
Collar
Autres stratégies
Straddle
Spread
Collar
Autres stratégies
Diapo 43/52
Olivier Brandouy
Lectures
Straddle
Spread
Collar
Autres stratégies
Collar, protection (1)
– Achat d’un put défensif à X1 ⊕ Vente d’un call couvert à X2 pour protéger la
valeur d’un investissement (on imagine ici X1 < S < X2 )
Antic. : Le financement du put défensif se fait par la vente d’un call. On protège
ainsi la valeur d’un investissement en recherchant l’autofinancement.
Issues : La laeur du sous-jacent est ”encadrée” de façon rigide.
– Pour que le collar fonctionne bien, on doit avoir c proche de p
Diapo 44/52
Olivier Brandouy
Lectures
Straddle
Spread
Collar
Autres stratégies
Collar (2)
140
130
200
0
50
100
150
Index
Diapo 45/52
200
250
300
110
100
80
−50
0
50
100
150
Index
200
250
300
70
−100
−50
−100
−100
−50
90
0
50
P/L du put
100
120
150
200
150
100
0
50
P/L du put
100
50
0
150
200
a <- VI("l", "S", 100, 10)
b <- VI("l", "p", 90, 10)
c <- VI("s", "c", 110, 10)
strat <- a + b + c
plot(c, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "blue",
plot(strat, type = "l", ylim = c(70, 140), xlim = c(70, 130),
0
50
100
150
Index
Olivier Brandouy
200
250
300
70
80
90
100
110
120
Index
130
Lectures
Straddle
Spread
Collar
Autres stratégies
Straddle
Spread
Collar
Autres stratégies
Diapo 46/52
Olivier Brandouy
Lectures
Straddle
Spread
Collar
Autres stratégies
Papillon (ici, ”Long Butterfly” – 1 )
– Le prix du sous-jacent est sensé dans cette stratégie terminer aux environs du
Strike ”central”
a <- VI("l",
b <- VI("s",
c <- VI("s",
d <- VI("l",
strat <- a +
Diapo 47/52
"c", 97, 5)
"c", 100, 4)
"c", 100, 4)
"c", 103, 3)
b + c + d
Olivier Brandouy
Lectures
Straddle
Spread
Collar
Autres stratégies
Papillon (ici, ”Long Butterfly” – 2)
2
−1
0
1
strat
3
4
5
plot(strat, xlim = c(90, 110), ylim = c(-1, 5), col = "blue",
lwd = 2, type = "l")
abline(v = c(97, 100, 103), h = 0, lty = 2, col = "grey")
90
95
100
105
110
Index
Diapo 48/52
Olivier Brandouy
Lectures
Straddle
Spread
Collar
Autres stratégies
Condor (ici, ”Short Condor” – 1)
– Stratégie voisine du Straddle ou du Short Butterfly (anticipation de volatilité
importante)
a <- VI("s",
b <- VI("l",
c <- VI("l",
d <- VI("S",
strat <- a +
Diapo 49/52
"c", 97, 5)
"c", 100, 4)
"c", 103, 3)
"c", 106, 3)
b + c + d
Olivier Brandouy
Lectures
Straddle
Spread
Collar
Autres stratégies
Condor (ici, ”Short Condor” – 2)
0
−2
−1
strat
1
2
plot(strat, xlim = c(95, 107), ylim = c(-2, 2), col = "blue",
lwd = 2, type = "l")
abline(v = c(97, 100, 103, 106), h = 0, lty = 2, col = "grey")
96
98
100
102
104
106
Index
Diapo 50/52
Olivier Brandouy
Lectures
Documents à consulter
1
Un livret de l’Australian Stock Exchange répertoriant une petite trentaine de
stratégies élémentaires : http://www.asx.com.au/documents/resources/
UnderstandingStrategies.pdf
2
Sept erreurs à ne pas commettre quand on traite les options : : http://www.
optionsuniversity.com/mediaroom/article-seven-mistakes.pdf
Diapo 51/52
Olivier Brandouy
Lectures
Références bibliographiques
Fischer Black and Myron Scholes.
The Pricing of Options and Corporate Liabilities.
Journal of Political Economy, 81(3) :637–654, 1973.
Steven L. Heston.
A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with
Applications to Bond and Currency Options.
The Review of Financial Studies, 6(2) :327–343, 1993.
Steven L. Heston and Saikat Nandi.
A closed-form garch option pricing model.
Technical report, Federal Reserve Bank of Atlanta., 1997.
Diapo 52/52
Olivier Brandouy

Pratique des produits dérivés P5 : Options - Olivier Brandouy

Transcription

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