Chapitre 3 LA CHUTE DES CORPS

Chapitre 3
LA CHUTE DES CORPS
Sommaire
–
–
–
–
1.
2.
3.
4.
Généralités
Corps abandonné en chute libre
Corps lancé verticalement vers le bas
Corps lancé verticalement vers le haut
1. GÉNÉRALITÉS
Les Anciens pensaient que les corps tombaient à des vitesses différentes. Mais, Gallilée
constata, par ses expériences réalisées du haut de la Tour de Pise, que des corps de
matières différentes (bois, pierre, fer ... ), quoique relativement lourds, touchaient le
sol en même temps.
Le physicien Newton fit, le premier, des expériences dans un tube en verre où il avait
fait le vide et énonça la loi fondamentale de la chute des corps : « Tous les corps
abandonnés en chute libre dans le vide tombent également vite ».
1.1 Expérience du tube de Newton
On dispose, dans un long tube en verre, une petite plume d'oiseau, un fragment de papier
et un grain de plomb. Le tube, fermé aux deux extrémités, contient de l'air. On le
retourne brusquement et on constate que le grain de plomb touche le fond avant le
papier et celui-ci avant la plume. A l'aide d'une pompe (à vide), on enlève l'air contenu
dans le tube. On recommence la même expérience et on constate que les trois corps
tombent ensemble et touchent le fond du tube en même temps.
La loi de Newton ne se vérifie que lorsque les corps en chute libre sont soustraits de
l'influence de l'air. Pour nous en convaincre, laissons tomber de la fenêtre de la classe
deux feuilles de papier, l'une entière et intacte et l'autre chiffonnée et réduite à une
petite boule. Nous constatons que la feuille chiffonnée tombe verticalement et touche le
sol la première, tandis que la feuille restée entière voltige pour enfin se poser sur le sol.
Regardons encore un parachutiste en « chute libre » ou en descente, parachute ouvert.
Le mouvement du premier et vertical (s'il ne fait pas d'acrobaties) et rapide alors que le
mouvement du second est balancé et lent.
Théorie chapitre 3 – page 1
Nous pouvons en déduire que l'air oppose une certaine résistance au mouvement d'un
corps en chute libre. Cette résistance varie avec la surface perpendiculaire à la
direction de la chute et (les expériences le prouvent) avec la vitesse du corps.
En conséquence, pour permettre l'application de la loi de Newton, nous considérerons
des corps lourds et de faibles hauteurs de chute.
Les corps en mouvement dans l'espace sont donc soumis à l'attraction terrestre
(universelle). Ils sont sollicités par une force constante qui tend à les attirer vers le
centre de la terre. Leur mouvement subit une accélération constante s'ils se déplacent
dans le sens de la force d'attraction et une décélération constante s'ils se déplacent
dans le sens contraire de la force d'attraction.
Les nombreuses expériences ont permis de déterminer avec précision la valeur de
l'accélération en différents points du globe, et même actuellement sur d'autres
planètes (la lune en particulier). A Paris, l'accélération, désignée par la lettre « g »
(gravitation) est égale à 9,81 m/s2.
2. CORPS ABANDONNÉ EN CHUTE LIBRE
Au moment d'être abandonné à lui-même, le corps est au repos. Sa vitesse est donc
nulle. Puisqu'il est soumis à une accélération constante son mouvement est uniformément
accéléré.
Nous pouvons donc appliquer les lois du mouvement rectiligne uniformément accéléré
sans vitesse initiale.
2.1 Loi des vitesses
La formule du MRUA pour la vitesse est : v = a * t
Pour déterminer la vitesse du corps à un moment quelconque de la chute ou à l'impact
(endroit où il entre en contact avec le sol), la formule devient :
vitesse
gravitation
temps
v
g
t
m/s
m/s2
s
2.2 Loi des espaces
La formule du MRUA pour l'espace est :
Théorie chapitre 3 – page 2
Pour déterminer la hauteur de la chute, la formule devient :
hauteur
gravitation
temps
h
g
t
m
m/s2
s
2.3 Exemple d'application
Une pierre est lâchée à l'orifice d'un puits. Elle touche le fond 3 secondes plus tard.
Calculez la vitesse à l'impact et la hauteur de la chute.
Donnée(s)
g = 9,81 m/s2
t=3s
Inconnue(s)
Formule(s)
Solution
v = ? m/s
v=g*t
v = 9,81 * 3 = 29,43 m/s
h=?m
h =( g * t2 )/2
h = (9,81 * 32 )/2 = 44,15 m
à l'instant
La vitesse est de :
t= 0s
v = g * t = 9,81 * 0 = 0 m/s
t= 1s
v = g * t = 9,81 * 1 = 9,81 m/s
t= 2s
v = g * t = 9,81 * 2 = 19,62 m/s
t= 3s
v = g * t = 9,81 * 3 = 29,43 m/s
Représentons graphiquement la vitesse en portant, sur l'axe Ot et Ov, les valeurs
obtenues dans l'exemple pris en considération et traçons ainsi le diagramme des
vitesses d'une chute libre.
v (m/s)
35
30
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
t (s)
Théorie chapitre 3 – page 3
Calculons l'espace parcouru après chaque seconde afin d'établir le diagramme des
espaces.
à l'instant
l'espace parcouru est de :
t= 0s
h = (g * t2)/2 = (9,81 * 02)/2= 0 m
t = 0,5 s
h = (g * t2)/2 = (9,81 * 0,52)/2= 1,226 m
t= 1s
h = (g * t2)/2 = (9,81 * 12)/2= 4,905 m
t = 1,5 s
h = (g * t2)/2 = (9,81 * 1,52)/2= 11,036 m
t= 2s
h = (g * t2)/2 = (9,81 * 22)/2= 19,62 m
t = 2,5 s
h = (g * t2)/2 = (9,81 * 2,52)/2= 30,656 m
t= 3s
h = (g * t2)/2 = (9,81 * 32)/2= 44,145 m
Représentons graphiquement l'espace parcouru par ce mobile seconde après seconde, en
reportant sur le diagramme les valeurs obtenues.
h (m)
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
t (s)
Théorie chapitre 3 – page 4
2.5 Applications
1. Une pierre est lâchée à l'orifice d'un puits. Elle touche le fond après 4 s. Calculez
la profondeur du puits.
2. Une pierre, qui tombe d'un pont surplombant une rivière, met 2 s avant de toucher
l'eau. Calculez la hauteur du pont au-dessus de l'eau.
3. Un parachutiste commence son saut par une chute libre qui va durer 7 s. Calculez
sa vitesse au moment où il ouvre son parachute.
4. La masse d'un marteau-pilon tombe d'une hauteur de 2,5 m. Calculez le temps de
la chute.
5. Par suite d'une rupture de câble, une cage de monte-charge est précipitée au
fond d'un puits de mine de 450 m de profondeur. Calculez le temps de la chute et
la vitesse à l'impact.
6. On laisse tomber un corps du sommet de la Tour Eiffel (314 m de hauteur).
Calculez la vitesse à l'impact et le temps de la chute.
7. Tombant d'un immeuble, un corps met 3,5 s avant de toucher le sol. Calculez la
hauteur de la chute et la vitesse à l'impact.
8. Un corps tombe du toit d'un immeuble et touche le sol avec une vitesse de 31,392
m/s. Calculez le temps de la chute et la hauteur de l'immeuble.
9. On laisse tomber une bille d'une hauteur de 122,625 m. Calculez le temps de la
chute et la vitesse à l'impact.
Théorie chapitre 3 – page 5
3. CORPS LANCÉ VERTICALEMENT VERS LE BAS
Au moment où nous examinons le mouvement du corps, c'est-à-dire dès que commence
l'action de la pesanteur (attraction universelle), le corps est déjà animé d'une certaine
vitesse.
C'est la vitesse initiale et le corps a, en effet, été lancé.
Étant soumis à une accélération constante (g = 9,81 m/s2), son mouvement est
uniformément accéléré. Nous pouvons donc appliquer les lois du mouvement rectiligne
uniformément accéléré avec vitesse initiale.
3.1 Loi des vitesses
La formule du MRUA avec vitesse initiale pour la vitesse est : v = v0 + a * t
Pour déterminer la vitesse du corps à un moment quelconque de la chute ou à l'impact du
corps, la formule devient :
vitesse finale
vitesse initiale
v
v0
gravitation
temps
g
t
m/s
m/s
m/s2
s
Cette formule peut prendre les formes suivantes :
v0 =
g=
t=
3.2 Loi des espaces
La formule du MRUA avec vitesse initiale pour l'espace est :
Pour déterminer la hauteur de la chute, la formule devient :
hauteur
vitesse initiale
gravitation
temps
h
v0
g
t
m
m/s
m/s2
s
Théorie chapitre 3 – page 6
3.3 Exemple d'application
Un corps est lancé verticalement vers le bas avec une vitesse initiale de 9 m/s. Calculez
la vitesse à l'impact et la hauteur de la chute si le temps de la chute est de 2,5
secondes.
Donnée(s)
g = 9,81 m/s2
t = 2,5 s
v0 = 9 m/s
Inconnue(s)
Formule(s)
v = ? m/s
v = v0 + g * t
h=?m
h =v0 * t + ( g * t2 )/2
Solution
v = 9 + 9,81 * 2,5
v = 33,525 m/s
h = 9*2,5 + (9,81 * 32 )/2
h = 53,156 m
à l'instant
La vitesse est de :
t= 0s
v = vo + g * t = 9 + 9,81 * 0 = 9 m/s
t = 0,5 s
v = vo + g * t = 9 + 9,81 * 0,5 = 13,905 m/s
t= 1s
v = vo + g * t = 9 + 9,81 * 1 = 18,81 m/s
t = 1,5 s
v = vo + g * t = 9 + 9,81 * 1,5 = 23,715 m/s
t= 2s
v = vo + g * t = 9 + 9,81 * 2 = 28,62 m/s
t = 2,5 s
v = vo + g * t = 9 + 9,81 * 2,5 = 33,525 m/s
Représentons graphiquement la vitesse en fonction du temps et traçons ainsi le
diagramme des vitesses.
v (m/s)
35
30
25
20
15
10
5
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5 3
t (s)
Théorie chapitre 3 – page 7
Calculons l'espace parcouru après chaque seconde afin d'établir le diagramme des
espaces.
à l'instant
L'espace parcouru est de :
t= 0s
h = vo * t + (g * t2)/2 = 9 * 0 + (9,81 * 02)/2 = 0 m
t = 0,5 s
h = vo * t + (g * t2)/2 = 9 * 0,5 + (9,81 * 12)/2 = 5,726 m
t= 1s
h = vo * t + (g * t2)/2 = 9 * 1 + (9,81 * 22)/2 = 13,905 m
t = 1,5 s
h = vo * t + (g * t2)/2 = 9 * 1,5 + (9,81 * 32)/2 = 24,536 m
t= 2s
h = vo * t + (g * t2)/2 = 9 * 2 + (9,81 * 42)/2 = 37,62 m
t = 2,5 s
h = vo * t + (g * t2)/2 = 9 * 2,5 + (9,81 * 52)/2 = 53,156 m
Représentons graphiquement la vitesse en reportant les valeurs obtenues par calcul pour
l'exemple considéré.
h (m)
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5 3
t (s)
Théorie chapitre 3 – page 8
3.4 Applications
1. Un corps est lancé verticalement vers le bas avec une vitesse de 18 m/s. Calculez,
après 3 s de chute, sa vitesse à l'impact et la hauteur de chute.
2. Lancé vers le bas avec une vitesse de 17, 5 m/s, un corps met 2,8 s avant de
toucher le sol. Calculez la hauteur de sa chute.
3. Avec quelle vitesse faut-il lancer une pierre dans un puits de 78 m de profondeur
pour qu'elle touche le fond après 2,2 s.
4. On lance une bille vers le bas avec une vitesse de 27 m/s. Elle touche le sol après
3,6 s. Calculez la vitesse à l'impact et la hauteur de la chute. De quelle hauteur
devrait-on laisser tomber (chute libre) une seconde bille pour qu'elle ait la même
vitesse à l'impact.
5. Pendant la dernière seconde de sa chute (libre), un corps a parcouru 49,05 m. De
quelle hauteur ce corps est-il tombé ? Calculez le temps total de la chute.
6. Une bille tombe d'une hauteur de 44,145 m. Calculez le temps de la chute et la
vitesse à l'impact. Avec quelle vitesse faudrait-il lancer vers le bas une seconde
bille pour qu'elle descende de 72 m en un temps égal ?
Théorie chapitre 3 – page 9
4. CORPS LANCÉ VERTICALEMENT VERS LE HAUT
Pour que le corps puisse s'élever, il doit obligatoirement être lancé, c'est-à-dire
posséder une certaine vitesse, appelée vitesse initiale. La pesanteur agit alors en sens
inverse du mouvement du corps. Elle s'oppose au mouvement et provoque une
décélération.
Étant soumis à une décélération constante (g = 9,81 m/s2) le mouvement du corps lancé
verticalement vers le haut est uniformément décéléré. Nous pouvons donc appliquer les
lois du mouvement rectiligne uniformément retardé.
4.1 Loi des vitesses
La formule du MRUD pour la vitesse est : v = v0 - a * t
Pour déterminer la vitesse du corps à un moment quelconque de sa chute, la formule
devient :
vitesse finale
vitesse initiale
gravitation
temps
v
v0
m/s
m/s
g
t
m/s2
s
Cette formule peut prendre les formes suivantes :
v0 =
g=
t=
4.2 Loi des espaces
La formule du MRUD pour l'espace est :
Pour déterminer la hauteur à laquelle le corps s'est élevé après un temps quelconque, la
formule devient :
hauteur
vitesse initiale
gravitation
temps
h
v0
g
t
m
m/s
m/s2
s
Théorie chapitre 3 – page 10
Comme c'est le cas d'un mobile soumis à une décélération, il est important de remarquer
qu'un corps en ascension verticale ne pourra pas s'élever indéfiniment. Un moment
viendra ou sa vitesse va s'annuler. En effet, sa vitesse diminue uniformément sous
l'influence négative de la pesanteur et le corps s'élève de moins en moins vite.
Au moment précis où sa vitesse s'annule, le corps s'immobilise un très court instant
avant de retomber en chute libre. Cette immobilisation est d'ailleurs imperceptible. Le
corps ne cesse, durant son mouvement, d'être sous l'influence de la gravitation.
Nous pouvons donc déterminer la hauteur maximum que peut atteindre un corps sous
l'action d'une vitesse de lancement donnée, ainsi que le temps que va durer cette
ascension.
4.3 Temps maximum d'ascension
Au moment précis de l'immobilisation : v = 0
Remplaçons dans la formule :
v = v0 – g * t
0 = v0 – g * t
g * t = V0
4.4 Hauteur maximum atteinte
Connaissant la valeur du temps maximum d'ascension, remplaçons dans la formule de la
hauteur :
Théorie chapitre 3 – page 11
4.5 Exemple d'application
Une pierre est lancée verticalement vers le haut avec une vitesse initiale de 26 m/s.
Calculez la vitesse qui l'anime et la hauteur atteinte par la pierre après 1 seconde
d'ascension. Calculez le temps maximum d'ascension et la hauteur maximum à laquelle
elle pourra s'élever.
Donnée(s)
g = 9,81 m/s2
t=1s
v0 = 26 m/s
Inconnue(s)
Formule(s)
Solution
v = ? m/s
v = v0 - g * t
v = 26 - 9,81 * 1
v = 16,19 m/s
h=?m
h = v0 * t - ( g * t2 )/2
t = v0 / g
h = 26 * 1 - (9,81 * 12 )/2
h = 21,095 m
t = 26 / 9,81 = 2,65 s
h = v02 /2 * g
h = 262/2 * 9,81 = 34,45 m
En respectant la définition de la décélération, établissons la relation existant entre la
vitesse, la gravitation et le temps .
à l'instant
La vitesse est de :
t= 0s
v = vo - g * t = 26 - 9,81 * 0 = 26 m/s
t = 0,5 s
v = vo - g * t = 26 - 9,81 * 0,5 = 21,095 m/s
t= 1s
v = vo - g * t = 26 - 9,81 * 1 = 16,19 m/s
t = 1,5 s
v = vo - g * t = 26 - 9,81 * 1,5 = 11,285 m/s
t= 2s
v = vo - g * t = 26 - 9,81 * 2 = 6,38 m/s
t = 2,5 s
v = vo - g * t = 26 - 9,81 * 2,5 = 1,475 m/s
t = 2,65 s
v = vo - g * t = 26 - 9,81 * 2,65 = 0 m/s
Représentons graphiquement la vitesse en reportant toutes les valeurs obtenues par
calcul pour l'exemple considéré. v (m/s)
25
20
15
10
5
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5 3
t (s)
Théorie chapitre 3 – page 12
Calculons l'espace parcouru après chaque seconde afin d'établir le diagramme des
espaces.
à l'instant
La vitesse est de :
t= 0s
h = vo *t - (g * t2) / 2 = 26*0 – (9,81 * 02)/2 = 0 m
t = 0,5 s
h = vo *t - (g * t2) / 2 = 26*0,5 – (9,81 * 0,52)/2 = 11,77 m
t= 1s
h = vo *t - (g * t2) / 2 = 26*1 – (9,81 * 12)/2 = 21,095 m
t = 1,5 s
h = vo *t - (g * t2) / 2 = 26*1,5 – (9,81 * 1,52)/2 = 27,96 m
t= 2s
h = vo *t - (g * t2) / 2 = 26*2 – (9,81 * 22)/2 = 32,28 m
t = 2,5 s
h = vo *t - (g * t2) / 2 = 26*2,5 – (9,81 * 2,52)/2 = 34,34 m
t = 2,65 s h = vo *t - (g * t2) / 2 = 26*2,65 – (9,81 * 2,652)/2 = 34,45m
Représentons graphiquement l'espace parcouru par cette pierre en reportant les valeurs
obtenues par les calculs.
h (m)
35
30
25
20
15
10
5
0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
t (s)
Théorie chapitre 3 – page 13
4.6 Applications
1. Un corps est lancé verticalement vers le haut avec une vitesse de 118 m/s. A
quelle hauteur se trouvera-t-il après 6 s d'ascension et quelle sera sa vitesse ?
2. Une balle de fusil est tirée verticalement vers le haut. Elle sort du canon avec une
vitesse de 125 m/s. Calculez la durée de l'ascension et la hauteur maximum
atteinte.
3. On lance un corps verticalement vers le haut. Quelle vitesse faut-il lui imprimer
pour qu'il atteigne une hauteur de 36 m ? Calculez la durée de l'ascension.
4. Une balle, lancée verticalement vers le haut, atteint une hauteur de 64,5 m.
Calculez la vitesse initiale. Après combien de temps retouche-t-elle le sol ?
5. Il s'est écoulé 9 s entre le lancement et le retour au sol d'une pierre lancée
verticalement vers le haut. Calculez la vitesse initiale et la hauteur atteinte.
6. Un homme se trouve sur le toit d'un immeuble de 29 m de hauteur. A quelle
vitesse doit-il lancer une bille verticalement vers le haut pour qu'elle touche le sol
après 4 s de chute ?
7. A quelle hauteur va s'élever un objet lancé verticalement vers le haut avec une
vitesse de 76,25 m/s ?
8. A quelle vitesse faut-il lancer un corps verticalement vers le haut afin qu'il
s'élève à une hauteur de 75 m ?
9. Un individu se trouve à 125 m de hauteur et un second individu est placé quelques
mètres plus bas. Ils laissent tomber une bille tous les deux au même moment. La
bille du premier individu (le plus élevé) touche le sol 1/2 seconde après la bille du
second individu. A quelle hauteur se trouve ce dernier ?
Théorie chapitre 3 – page 14