Table des matières
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Table des matières Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Chapitre 1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. Motivation . . . . . . . . . . . Les réseaux de communication Le trafic . . . . . . . . . . . . . Les files d’attente . . . . . . . Structure du livre . . . . . . . . Bibliographie . . . . . . . . . . Chapitre 2. Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 10 12 12 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Analogue discret . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Une loi amnésique . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Minimum de variables exponentielles . . . . 2.5. Somme de variables exponentielles . . . . . 2.6. Somme aléatoire de variables exponentielles 2.7. Une loi limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Une variable « très » aléatoire . . . . . . . . 2.9. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10. Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 16 17 18 19 20 20 21 22 23 Chapitre 3. Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Analogue discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 26 2 Performance des réseaux et des systèmes informatiques 3.3. Un processus amnésique . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Répartition des points d’un processus de Poisson 3.5. Superposition de processus de Poisson . . . . . . 3.6. Subdivision d’un processus de Poisson . . . . . . 3.7. Un processus limite . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Un processus « très » aléatoire . . . . . . . . . . . 3.9. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10. Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 28 29 30 30 31 31 32 Chapitre 4. Chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.1. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Probabilités de transition . . . . . . . . 4.3. Périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Equations d’équilibre . . . . . . . . . . 4.5. Mesure stationnaire . . . . . . . . . . . 4.6. Stabilité, ergodicité . . . . . . . . . . . 4.7. Récurrence, transience . . . . . . . . . . 4.8. Fréquence de transition . . . . . . . . . 4.9. Formule des transitions conditionnelles 4.10. Chaîne en temps retourné . . . . . . . . 4.11. Réversibilité . . . . . . . . . . . . . . . 4.12. Critère de Kolmogorov . . . . . . . . . 4.13. Troncation d’une chaîne de Markov . 4.14. Marche aléatoire . . . . . . . . . . . . . 4.15. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.16. Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapitre 5. Processus de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 36 36 36 37 37 38 39 39 40 40 41 42 43 44 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Taux de transition . . . . . . . . . . . . 5.3. Analogue discret . . . . . . . . . . . . . 5.4. Equations d’équilibre . . . . . . . . . . 5.5. Mesure stationnaire . . . . . . . . . . . 5.6. Stabilité, ergodicité . . . . . . . . . . . 5.7. Récurrence, transience . . . . . . . . . . 5.8. Fréquence de transition . . . . . . . . . 5.9. Transitions virtuelles . . . . . . . . . . 5.10. Chaîne incluse . . . . . . . . . . . . . . 5.11. Formule des transitions conditionnelles 5.12. Processus en temps retourné . . . . . . 5.13. Réversibilité . . . . . . . . . . . . . . . 5.14. Critère de Kolmogorov . . . . . . . . . 5.15. Troncation d’un processus réversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 49 50 51 52 52 53 53 53 54 55 56 56 57 57 Table des matières 5.16. Produit de processus de Markov indépendants 5.17. Processus de naissance et de mort . . . . . . . 5.18. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.19. Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 59 59 61 Chapitre 6. Files d’attente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.1. Notation de Kendall . . . . . . . 6.2. Trafic et charge . . . . . . . . . . 6.3. Discipline de service . . . . . . . 6.4. Files élémentaires . . . . . . . . 6.5. Une file générale . . . . . . . . . 6.6. Formule de Little . . . . . . . . . 6.7. Propriété PASTA . . . . . . . . . 6.8. Insensibilité . . . . . . . . . . . . 6.9. Formule de Pollaczek-Khinchin 6.10. Paradoxe de l’observateur . . . 6.11. Exercices . . . . . . . . . . . . . 6.12. Corrigés des exercices . . . . . Chapitre 7. Réseaux de files d’attente 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8. 7.9. Réseaux de Jackson . . Equations de trafic . . . Distribution stationnaire Propriété MUSTA . . . Réseaux fermés . . . . Réseaux de Whittle . . Réseaux de Kelly . . . . Exercices . . . . . . . . Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 68 69 70 75 77 78 78 79 81 83 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 . 92 . 94 . 95 . 96 . 97 . 98 . 100 . 101 Chapitre 8. Trafic circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 8.1. Modèle d’Erlang . . . . . . . . 8.2. Formule d’Erlang . . . . . . . 8.3. Formule d’Engset . . . . . . . 8.4. Formule d’Erlang à attente . . 8.5. Modèle d’Erlang multi-classe . 8.6. Formule de Kaufman-Roberts 8.7. Modèle de réseaux . . . . . . . 8.8. Approximation par découplage 8.9. Exercices . . . . . . . . . . . . 8.10. Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 108 110 113 115 118 119 120 121 123 8 Performance des réseaux et des systèmes informatiques Chapitre 9. Trafic temps réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 9.1. Flots et paquets . . . . . . 9.2. Modèle de niveau paquet 9.3. Modèle de niveau flot . . 9.4. Taux de congestion . . . 9.5. Débit moyen . . . . . . . 9.6. Taux de perte . . . . . . . 9.7. Modèle multi-débit . . . 9.8. Modèle de réseaux . . . . 9.9. Exercices . . . . . . . . . 9.10. Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 130 132 134 135 135 136 138 139 141 Chapitre 10. Trafic élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 10.1. Partage de bande passante 10.2. Taux de congestion . . . . 10.3. Débit moyen . . . . . . . . 10.4. Taux de perte . . . . . . . 10.5. Modèle multi-débit . . . . 10.6. Modèle de réseaux . . . . 10.7. Exercices . . . . . . . . . . 10.8. Corrigés des exercices . . Chapitre 11. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 150 151 152 153 155 156 158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 11.1. Réseaux d’accès IP . . 11.2. Réseaux mobiles 2G . 11.3. Réseaux mobiles 3G . 11.4. Réseaux mobiles 3G+ . 11.5. Réseaux d’accès WiFi 11.6. Centres de calcul . . . 11.7. Exercices . . . . . . . . 11.8. Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 168 171 175 178 183 185 187