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Table des matières
Table des matières
Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Chapitre 1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
Motivation . . . . . . . . . . .
Les réseaux de communication
Le trafic . . . . . . . . . . . . .
Les files d’attente . . . . . . .
Structure du livre . . . . . . . .
Bibliographie . . . . . . . . . .
Chapitre 2. Loi exponentielle
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15
2.1. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Analogue discret . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Une loi amnésique . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Minimum de variables exponentielles . . . .
2.5. Somme de variables exponentielles . . . . .
2.6. Somme aléatoire de variables exponentielles
2.7. Une loi limite . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8. Une variable « très » aléatoire . . . . . . . .
2.9. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10. Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . .
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Chapitre 3. Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.1. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Analogue discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
26
2
Performance des réseaux et des systèmes informatiques
3.3. Un processus amnésique . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Répartition des points d’un processus de Poisson
3.5. Superposition de processus de Poisson . . . . . .
3.6. Subdivision d’un processus de Poisson . . . . . .
3.7. Un processus limite . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8. Un processus « très » aléatoire . . . . . . . . . . .
3.9. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10. Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . .
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Chapitre 4. Chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4.1. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Probabilités de transition . . . . . . . .
4.3. Périodicité . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Equations d’équilibre . . . . . . . . . .
4.5. Mesure stationnaire . . . . . . . . . . .
4.6. Stabilité, ergodicité . . . . . . . . . . .
4.7. Récurrence, transience . . . . . . . . . .
4.8. Fréquence de transition . . . . . . . . .
4.9. Formule des transitions conditionnelles
4.10. Chaîne en temps retourné . . . . . . . .
4.11. Réversibilité . . . . . . . . . . . . . . .
4.12. Critère de Kolmogorov . . . . . . . . .
4.13. Troncation d’une chaîne de Markov .
4.14. Marche aléatoire . . . . . . . . . . . . .
4.15. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.16. Corrigés des exercices . . . . . . . . .
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Chapitre 5. Processus de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5.1. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Taux de transition . . . . . . . . . . . .
5.3. Analogue discret . . . . . . . . . . . . .
5.4. Equations d’équilibre . . . . . . . . . .
5.5. Mesure stationnaire . . . . . . . . . . .
5.6. Stabilité, ergodicité . . . . . . . . . . .
5.7. Récurrence, transience . . . . . . . . . .
5.8. Fréquence de transition . . . . . . . . .
5.9. Transitions virtuelles . . . . . . . . . .
5.10. Chaîne incluse . . . . . . . . . . . . . .
5.11. Formule des transitions conditionnelles
5.12. Processus en temps retourné . . . . . .
5.13. Réversibilité . . . . . . . . . . . . . . .
5.14. Critère de Kolmogorov . . . . . . . . .
5.15. Troncation d’un processus réversible .
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57
Table des matières
5.16. Produit de processus de Markov indépendants
5.17. Processus de naissance et de mort . . . . . . .
5.18. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.19. Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . .
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59
61
Chapitre 6. Files d’attente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
6.1. Notation de Kendall . . . . . . .
6.2. Trafic et charge . . . . . . . . . .
6.3. Discipline de service . . . . . . .
6.4. Files élémentaires . . . . . . . .
6.5. Une file générale . . . . . . . . .
6.6. Formule de Little . . . . . . . . .
6.7. Propriété PASTA . . . . . . . . .
6.8. Insensibilité . . . . . . . . . . . .
6.9. Formule de Pollaczek-Khinchin
6.10. Paradoxe de l’observateur . . .
6.11. Exercices . . . . . . . . . . . . .
6.12. Corrigés des exercices . . . . .
Chapitre 7. Réseaux de files d’attente
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
7.9.
Réseaux de Jackson . .
Equations de trafic . . .
Distribution stationnaire
Propriété MUSTA . . .
Réseaux fermés . . . .
Réseaux de Whittle . .
Réseaux de Kelly . . . .
Exercices . . . . . . . .
Corrigés des exercices .
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Chapitre 8. Trafic circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.1. Modèle d’Erlang . . . . . . . .
8.2. Formule d’Erlang . . . . . . .
8.3. Formule d’Engset . . . . . . .
8.4. Formule d’Erlang à attente . .
8.5. Modèle d’Erlang multi-classe .
8.6. Formule de Kaufman-Roberts
8.7. Modèle de réseaux . . . . . . .
8.8. Approximation par découplage
8.9. Exercices . . . . . . . . . . . .
8.10. Corrigés des exercices . . . .
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115
118
119
120
121
123
8
Performance des réseaux et des systèmes informatiques
Chapitre 9. Trafic temps réel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.1. Flots et paquets . . . . . .
9.2. Modèle de niveau paquet
9.3. Modèle de niveau flot . .
9.4. Taux de congestion . . .
9.5. Débit moyen . . . . . . .
9.6. Taux de perte . . . . . . .
9.7. Modèle multi-débit . . .
9.8. Modèle de réseaux . . . .
9.9. Exercices . . . . . . . . .
9.10. Corrigés des exercices .
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Chapitre 10. Trafic élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.1. Partage de bande passante
10.2. Taux de congestion . . . .
10.3. Débit moyen . . . . . . . .
10.4. Taux de perte . . . . . . .
10.5. Modèle multi-débit . . . .
10.6. Modèle de réseaux . . . .
10.7. Exercices . . . . . . . . . .
10.8. Corrigés des exercices . .
Chapitre 11. Applications
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11.1. Réseaux d’accès IP . .
11.2. Réseaux mobiles 2G .
11.3. Réseaux mobiles 3G .
11.4. Réseaux mobiles 3G+ .
11.5. Réseaux d’accès WiFi
11.6. Centres de calcul . . .
11.7. Exercices . . . . . . . .
11.8. Corrigés des exercices
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