Temps, fréquence, ondelettes, etc. Introduction Plan : I°) L`idée de

Temps, fréquence, ondelettes, etc.
Patrick FLANDRIN,
CNRS – Laboratoire de Physique
Compte rendu : Sophie GREZES-RUEFF et Randy LAINE
Introduction
Cet exposé a pour but de présenter la méthode des ondelettes qui est une généralisation de la
méthode de Fourier.
Plan :
I°) L'idée de Fourier.
II°) Les ondelettes.
I°) L'idée de Fourier
1°) Qu'est-ce qu'un son
Un son dit 'pur' est caractérisé par sa fréquence et son amplitude. La fréquence détermine la
hauteur de la note (grave ou aigue) et l'amplitude son intensité ou le volume.
On peut la représenter par une fonction sinusoïdale f(t)=Acos(ωt). Les paramètres que l'on fait
varier sont donc A (l'amplitude) et ω (2π * la fréquence).
Cependant les sons purs ne peuvent pas rendre compte d'accords ni des nuances de timbre.
Les sons 'réalistes' (de la vie courante) ne sont donc pas des sons purs.
2°) La décomposition de Fourier (1822)
Fourier à eu l'idée de représenter un son 'réaliste' par son spectre de fréquence. En effet, on
peut montrer qu'un son 'réaliste' est une superposition de sons 'purs' et peut être caractérisé par
l'importance respective de chacune des fréquences des sons purs qui le composent.
On passe donc d'une description temporelle (amplitude en fonction du temps : la courbe
bleue) à une description fréquentielle (la courbe rouge : en abscisse les fréquences des ondes 'pures'
qui composent le son 'réaliste' et la hauteur de la courbe indique le poids ou l'importance de la
fréquence).
Au vu du graphe, 3 petites bandes de fréquences (centrées autour des pics) codent l'essentiel
du signal, et donc on peut reconstituer à peu de chose près le son réél en sommant les 3 sinusoïdes
dont la fréquence correspond aux 3 pics.
Par contre, d'autres sons sont bien plus complexes, par exemple un son déformé par effet
doppler dont la représentation fréquentielle ne présente pas quelques pics bien localisés.
Ces 2 visions (temporelle et fréquuentielle) sont équivalentes dans le sens où il n'y a pas de
perte d'information et qu'on peut passer de l'une à l'autre en faisant une transformée de Fourier
(passer de la vision temporelle à la vision fréquentielle) ou une transformée de Fourier inverse (de la
vision fréquentielle à la vision temporelle).
Les supperposition d'ondes pures est constructive à certains endroits et destructive à d'autres,
ce qui permet d'obtenir une grande amplitude ou bien un signal nul à d'autres.
II°) Les ondelettes.
1°) Quelques 'inconvénients' de la transformée de Fourier
Tout d'abord, comme nous l'avons vu, rendre compte d'un petit moment de silence, nécessite
la superposition de plusieures ondes sinusoïdales (une infinité en théorie) ce qui est préjudiciable
pour la compression.
En outre, la représentation fréquentielle ne rend pas compte de l'évolution du spectre au
cours du temps.
2°) Principe de la représentation en grains
Ces 2 'inconvénients' permettent de comprendre les principes de la décomposition en
ondelettes.
Tout d'abord on va chercher à décomposer le son 'pur' non plus comme une superposition
d'ondes sinusoïdales (qui s'étendent pendant toute la durée du signal) mais par un 'grain' localisé
dans le temps ( parties non nulles des courbes bleues et rouge ci-dessous) et de largeur fixée.
L'absence de son correspond donc à une absence de grains ! L'énorme avantage est que cela permet
une description du signal à l'échelle locale : la description du signal au temps t ne contraint pas la
description au temps t'. Pour résumer on contrôle l'amplitude, la fréquence et la position du grain.
Une variation possible est d'autoriser la largeur du grain à varier mais de fixer le nombre
d'oscillations dans chaque grain.Ce grain est appelé ondelette.
Cependant, il y a une relation semblable à celles obtenues par le principe d'incertitude :
Largeur temporelle du grain * fréquence d'oscillation > constante
C'est à dire que si on réduit énormément la largeur du grain, sa fréquence sera très élevée ou bien si
on souhaite une grande largeur temporelle on ne peut pas avoir avoir une trop faible fréquence.
3°) Représentation temps-fréquence
On aimerait voir comme la représentation spectrale évolue dans le temps. Pour cela on
introduit une troisième dimension : temps-fréquence-amplitude. Mais pour des commodités de
visualisation, on code l'amplitude par des couleurs (rouge pour les amplitudes élevées et bleu pour
les amplitudes faibles).
On peut faire une analogie entre la représentation temps-fréquence-amplitude et le codage
musical : le temps (la durée) est indiqué par le symbole (noire, blanche, croche...), la fréquence
(hauteur de la note) par la place sur la portée et l'amplitude par les nuances et notations
supplémentaires indiquées autour de la portée.
Conclusion :
Cet exposé a présenté la représentation en ondelettes comme une généralisation du codage en série
de Fourier et comme un outil performant dans le codage numérique. En effet, elle est plus 'économe'
(elle nécessite moins de données à conserver en mémoire) et elle rend mieux certains type de son
que le codage basé sur Fourier, à pourcentage d'information conservée fixé.