Echantillonnage instantané d`un signal

Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique
Université Virtuelle de Tunis
Les systèmes asservis linéaires
échantillonnés
Echantillonnage instantané d’un signal
Mohamed AKKARI
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Les systèmes asservis linéaires échantillonnés
Echantillonnage instantané d’un signal
Objectif :Con cerne la présentation des notions de base de l’échantillonnage
d’un signal et la définition del’échantillonnage idéal d’un signal.
La sélection de la période d’échantillonnage adéquate, établi en rapport avec le
théorème de Shannon est présentée, suivie des choix adoptés de cette période
dans la pratique pour les systèmes de premier ordre et du second ordre.
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Echantillonnage instantané d’un signal
II-1:Définition L’échantillonnage, est l’opération qui consiste à transformer
une fonction continue
f (t ) de temps [ f (t ) = 0 pour t < 0 et f (0 + ) = 0 ],
une suite d’unités d’informations
f * (t )
en
sur cette fonction.
Cette suite d’unités ne se manifeste qu’à des instants discrets Te du temps
où Te est appelée période d’échantillonnage.
f * (t )
f(t)
kTe
t
kTe
f * (t )
f(t)
Te
Echantillonneur
Fig.4 : Echantillonnage d’une fonction
II- 2 : Echantillonnage idéal Pour établir l’expression de
f (t ) l’impulsion
δ (t )
de Dirac
définie par
δ (t ) = 1
f * (t ) , on associe à
pour t=0 et
δ (t ) = 0
pour
tout t> 0 ).
L’expression δ (t − kTe ) qui est l’impulsion de Dirac retardée joue un rôle
fondamental dans l’approche de discrétisation d’une fonction continue.
En effet,
δ (t − kTe ) permet, pour k variant de 0 à l’infini, d’obtenir une série
de « uns », appelée « peigne de Dirac », pour tout t = kTe
1
●
●
●
●
●
t
0
Te
2Te
3Te
4Te
k=0
k=1
k=2
k=3
k=4
Peigne de Dirac
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*
f (t )
f (t )
L’échantillonneur idéal étant de la forme :
Te
par δ (t
f (kTe )
Si on multiplie
puisque
pour
f (kTe )
toute
qu’on fasse la sommation pour k
f (kTe )δ (t − kTe ) ,
variant de 0 à l’infini de
valeurs discrètes
− kTe ) et
f (t )
de
autre
on obtient uniquement les
à chaque instant d’échantillonnage
valeur
de
t ≠ kTe ,
le
produit
f (kTe )δ (t − kTe ) = 0 , du fait que δ (t − kTe ) = 0 pour t ≠ kTe .
●
●
●
●
●
t
0
Te
f(0)
f(Te)
2Te
3Te
4Te
f(2Te)
f(3Te)
f(4Te)
Discrétisation d’une fonction par le peigne de Dirac
*
On peut par conséquent établir l’expression discrète f (t ) :
∞
f (t ) = f (t )δ Te (t ) = ∑ f (kTe )δ (t − kTe )
*
(1)
k =0
En appliquant la transformée de Laplace
[
∞
] ∑
ℑ f * (t ) =
f ( kT e ) ℑ [δ ( t − kT e ) ] =
k =0
On pose : F
*
ℑ sur la
∞
∑
fonction
f * (t ) , il vient :
f ( kT e ) e − kT e p
k =0
[
∞
] ∑
( p ) = ℑ f * (t ) =
f ( kT e ) e − kT e p
(2)
k =0
4
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Nous remarquons l’analogie entre la transformée de Laplace d’une fonction
discrète (2) et la transformée de Laplace d’une fonction continue
f(t),
∞
définie par l’expression : F ( p ) = ℑ{ f (t )} =
∫ f (t ).e
− pt
dt
(3)
0
La relation (2) est celle qui va être exploitée par la suite.
II-3 Choix adéquat de la période d’échantillonnage Te :
II-3-a : Exemple d’introduction
Soit la fonction continue en temps
f (t ) = e −t . sin t 2
Sa courbe représentative, pour t variant de 0 à 4s, est tracée sur la fig.5
Fig.5 : Tracé continu de f(t)
Réalisons un échantillonnage de cette fonction pour différentes valeurs de la
période Te :
Les courbes qui en résultent, sont représentées dans les figures suivantes :
Fig.6 : Te = 0.01s
5
Fig.7 : Te = 0.03s
Fig.8 : Te = 0.3s
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Fig.9: Te = 0.6s
Fig.10 : Te = 0.9s
Fig.11 : Te = 1s
f * (t )
Nous constatons d’après ces figures, que l’allure de la fonction
échantillonnée perd toute représentativité de la fonction f(t) et ce, à partir de la
période d’échantillonnage Te = 0.6s.
Par conséquent, si on veut reconstituer la fonction continue f(t) à partir de ses
échantillons f(kt), pour k = 0, …, cette opération ne fournit plus aucune information
correcte sur f(t) avec une période d’échantillonnage Te ≥ 0.6s.
Or la reconstitution étant une opération nécessaire pour commander le processus
étudié, le choix judicieux de la période d’échantillonnage, qui ne fait pas perdre
l’information sur la fonction continue lors de la reconstitution de celle-ci à partir
de sa séquence discrétisée, est-il fondamental.
e
s
Calculate
T
Processus à
Reconstitution
T
Fig.12 : Boucle d’asservissement discret
II-3-b:Théorème de Shannon Le théorème de Shannon établit une condition
nécessaire sur le choix de la période d’échantillonnage adéquate.
Théorème : Pour pouvoir reconstituer, sans perte d’information, un signal continu
à
partir
de
d’échantillonnage
sa
discrétisée,
il
faut
que
la
fréquence
f e soit supérieure à deux fois la fréquence maximum à
transmettre f e > 2 f max
6
séquence
c’est à dire Te <
1
Tmin
2
(4)
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Toutefois, cette condition ne constitue qu’une limite théorique et dans la
pratique il faut choisir une période d’échantillonnage plus petite.
Généralement cette période est choisie dans la fourchette
Tc
T
≥ Te ≥ c où
5
10
Tc représente la période relative à la fréquence de coupure du système à
commander.
En outre, pour les systèmes automatiques, le choix de la période d’échantillonnage
doit généralement vérifier:
BF
f e = (6 → 25) f BP
Où
(5)
BF
f BP
est la fréquence de la bande passante en boucle fermée du système à
commander.
II-3-c:Règles pratiques pour le choix de
Te
1) Pour les systèmes qui se présentent sous la forme d’un premier ordre
fondamental dont la fonction de transfert est H ( p) =
f BP = f 0 =
k
1 + T0 p
T0
1
< Te < T0
et en vertu de la règle précédente,
4
2Π T0
(6)
2) Pour les systèmes de deuxième ordre fondamental représentés par une
fonction de transfert de la forme H ( p ) =
Où
- Si
7
ξ
ω 02
p 2 + 2ξω 0 p + ω 02
est le coefficient d’amortissement et ω0 la pulsation propre.
ξ = 0.7 , f BP =
ω0
2Π
on choisit
0.25 ≤ ω0 Te ≤ 1
(7)
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-Si
ξ = 1 , f BP = 0.6
ω0
2Π
on choisit
0.4 ≤ ω0Te ≤ 1.75
(8)
Par ailleurs, étant donné qu’en boucle fermée on impose généralement au système
étudié un comportement d’un deuxième ordre fondamental avec
0.7 ≤ ξ ≤ 1 ,
on choisit dans ce cas une période d’échantillonnage vérifiant
0 . 25 ≤ ω 0Te ≤ 1 . 5
(9)
Evaluation :
Exercice1:
Soit l’équation différentielle suivante reliant une sortie s (t ) à une entrée e(t ) d’un
système physique : s(t ) + T0
d
s(t ) = ke(t )
dt
- Quel est l’ordre de ce système ?
- En appliquant la transformée de Laplace sur cette équation, avec les conditions
initiales nulles, montrer que :
H ( p) =
S ( p)
k
=
E ( p ) 1 + T0 p
- Pour T0 = 1s Dans quelle fourchette doit se situer la période d’échantillonnage ?
8
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Solution:
- L’équation différentielle contient une dérivation d’ordre 1, le système est donc de
premier ordre.
On applique la transformée de Laplace ℑ :
- ℑ[ s (t ) + T0
d
s (t )] = ℑ[ke(t )]
dt
Comme ℑ est une transformation linéaire, on a :
ℑ[ s (t )] + T0 ℑ[
d
s (t )] = kℑ[e(t )] pour des conditions initiales nulles on aura :
dt
S ( p ) + T0 pS ( p ) = kE ( p ) d’où la fonction de transfert : H ( p ) =
S ( p)
k
=
E ( p ) 1 + T0 p
- Conformément à la relation (6) du chapitre, on choisit une période
d’échantillonnage
0.25 p Te p 1 .
Exercice2:
Un système physique est régit par une équation différentielle linéaire de la forme :
s(t ) + b
-
d
d2
s (t ) + c 2 s(t ) = k .e(t )
dt
dt
Appliquer la transformée de Laplace sur cette équation différentielle pour
déduire la fonction de transfert G ( p ) =
S ( p)
, les conditions initiales étant
E ( p)
supposées nulles.
-
Quel est l’ordre de ce système ?
-
Expliciter la pulsation propre et le coefficient d’amortissement à partir de
G ( p) =
9
S ( p)
.
E ( p)
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-
Trouver les conditions que doivent vérifier le coefficient « b » pour avoir
0.7 ≤ ξ ≤ 1
-
Quel est alors le meilleur choix de la période d’échantillonnage qui permet de
discrétiser ce système dans des conditions acceptables ?
Solution2:
L’équation différentielle contient une dérivation d’ordre deux, le système est de
deuxième ordre.
s(t ) + b
d
d2
s (t ) + c 2 s(t ) = k .e(t )
dt
dt
En appliquant la transformée de Laplace sue cette équation on trouve
G ( p) =
S ( p)
1
=k 2
avec les conditions initiales nulles.
E ( p)
cp + bp + 1
En identifiant G(p) à un système de deuxième ordre fondamental, on trouve :
ω0 =
1
c
Pour avoir
et
2ξω 0 =
0.7 ≤ ξ ≤ 1
En vertu de 0 . 25
donc
10
b
c
, b doit satisfaire
≤ ω 0Te ≤ 1 . 5
b ≤ 2 c et b ≥ 1.4 c
la période d’échantillonnage Te vérifie :
0.25 c ≤T e≤ 1.5 c
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