Mathématiques 7e année Module 2 Les nombres entiers Durée

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Mathématiques
7e année
Module 2
Les nombres entiers
Durée approximative : 15 heures
[C]
[L]
[RP]
[V]
Communication
Liens
Résolution de problèmes
Visualisation
[CE] Calcul mental et estimation
[R] Raisonnement
[T] Technologie
Programme d’études – Mathématiques 7e année
Module 2
77
78
Module 2
Module 2 - Les nombres entiers
Module 2 Aperçu
Introduction
Les élèves devront principalement acquérir des compétences, comprendre l’addition et la soustraction de
nombres entiers, et également compléter une phrase numérique simple. Voici ce qui est important dans ce
module :
•
•
•
•
•
Les nombres entiers mettent en jeu deux concepts : la grandeur (amplitude) et le signe (sens).
Les nombres négatifs et les nombres positifs qui sont à la même distance du zéro sont opposés.
Deux opposés se combinent pour former une paire nulle.
La soustraction d’un nombre entier est identique à l’addition du nombre entier opposé.
Les nombres entiers sont utilisés pour décrire des changements relatifs entre deux ou plusieurs
éléments.
Les nombres entiers sont utilisés pour représenter des valeurs telles que la température, l’altitude,
les variations des cours de la bourse, etc.
Contexte
Les élèves feront appel à leurs propres expériences antérieures avec les nombres positifs et négatifs
lorsqu’ils utiliseront des nombres entiers pour représenter des situations réelles. L’emploi de
manipulations et d’exemples situationnels permettra d’approfondir la compréhension que les élèves
acquerront des notions de grandeur et de sens s’appliquant aux nombres entiers. À mesure que les élèves
utiliseront des jetons unitaires et des droites numériques, ils deviendront de plus en plus conscients de la
façon dont les mathématiques fonctionnent pour résoudre une vaste gamme de problèmes. Ils apprendront
pourquoi et comment diverses stratégies fonctionnent, ce qui leur permettra ensuite d’étudier des objets et
des activités selon un point de vue mathématique.
Pourquoi ces concepts sont-ils importants?
L’acquisition d’une bonne compréhension des nombres entiers permettra aux élèves de :
• Modéliser des situations réelles caractérisées par une grandeur et un sens.
• Tracer des graphiques dans les quatre quadrants.
• Comprendre des opérations sur les nombres entiers qui sont cruciales au traitement des
expressions et des équations algébriques.
• Acquérir un sens des nombres pour des activités futures de résolution de problème.
« Savez-vous faire une addition? », la Reine Blanche a demandé. « Combien font un et un et un et un et un
et un et un et un et un et un? »
« Je ne sais pas, a dit Alice. J’ai perdu le compte. »
[Traduction] Lewis Carroll [Charles Lutwidge Dodgson] (1832-1898)
Module 2
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Domaine: Le nombre
Résultat d’apprentissage général: Développer le sens du nombre
Résultats d’apprentissage
spécifiques
L’élève doit pouvoir :
7N6. Démontrer une
compréhension de l’addition
et de la soustraction de
nombres entiers, de façon
concrète, imagée et
symbolique.
[C, L, R, RP, V]
Indicateurs de rendement
7N6.1 Expliquer à l’aide
de matériel concret, tel
que des carreaux
algébriques et des
diagrammes que la somme
de nombres entiers
opposés est égale à zéro.
7N6.2 Résoudre un
problème donné
comportant l’addition
et/ou la soustraction de
nombres entiers.
Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
Le concept des nombres entiers a été présenté aux élèves au cours
des années précédentes. Ils ont modélisé des nombres entiers de
façon concrète et imagée. On suppose que les élèves peuvent :
• Comparer et ordonner des nombres entiers.
• Placer des nombres entiers sur une droite numérique.
• Additionner et soustraire des entiers.
Dans la vie de tous les jours, on utilise fréquemment des nombres
entiers. L’emploi d’exemples tirés de la vie réelle est important
pour que les élèves acquièrent une compréhension des opérations
avec des nombres entiers. Les élèves devraient voir un lien entre
les nombres entiers et le monde autour d’eux par le biais de
problèmes formulés dans des contextes tels que la distance audessus ou en dessous du niveau de la mer, la température et les
opérations bancaires (dépôts et retraits), etc.
L’ensemble des nombres entiers est une extension du système des
entiers qui inclut l’opposé de chaque entier. Les opérations avec
les nombres entiers s’appuient sur les opérations avec les entiers.
Les élèves devraient avoir la possibilité d’explorer la notion du
zéro à l’aide de carreaux algébriques. Le concept d’une paire nulle
est démontré à la page 52 du manuel de l’élève. Un carreau jaune
représentant +1 et un carreau rouge représentant -1 forment une
paire nulle. Lorsqu’ils sont combinés, ils modélisent le nombre
zéro.
Par exemple, modélisez -3 en utilisant plus que 3 carreaux
algébriques.
Il y a un nombre infini de manières de le faire, notamment :
+
0
-
-
-
-
On reviendra sur cet indicateur de rendement tout au long de ce
module, et certains de ses aspects seront approfondis dans chacun
des autres indicateurs de rendement.
80
Module 2
Domaine: Le nombre
Stratégies d’évaluation
Ressources/Notes
Observation informelle
1. Écrivez divers nombres entiers sur des cartes et distribuez ces
cartes à un petit groupe d’élèves. Demandez ensuite aux élèves
de se mettre dans l’ordre du plus petit au plus grand de ces
nombres entiers à l’avant de la salle. Vous voudrez peut-être
faire de ceci un concours en chronométrant les élèves.
2. En vous servant d’une corde à sauter comme modèle d’une
droite numérique, demandez aux élèves d’épingler au bon
endroit des cartes sur lesquelles des nombres entiers ont été
inscrits. Vous pouvez décider de placer un point de repère
(c’est-à-dire un 0) avant le début de l’activité.
3. Mélangez et appariez : Créez des cartes sur lesquelles sont
inscrits des nombres entiers opposés. Distribuez ces cartes aux
élèves, et demandez-leur de trouver l’élève ayant la carte
opposée et de s’asseoir devant lui, de façon à former des paires
nulles.
Papier et crayon
1. Demandez aux élèves de créer leur propre droite numérique, de
l’étiqueter et de la garder afin de l’utiliser comme référence.
2. En vous servant de carreaux algébriques, demandez aux élèves
de montrer trois façons de modéliser des nombres entiers tels
que -7, 8, -2, etc. Un rétroprojecteur ou un tableau blanc
électronique peuvent être utilisés pour permettre aux élèves de
partager leurs modèles avec la classe.
3. Demandez aux élèves de modéliser autant de nombres entiers
qu’ils le peuvent en se servant uniquement de neuf carreaux
algébriques
*Chenelière Mathématiques 7
Leçon 2.1
Module 2 Les nombres
entiers
GE: ProGuide, p. 4–7
FR 2.10, 2.18
CD-ROM Module 2 FR
ME: p. 52–55
Cahier d’activités et
d’exercices – FR :
pp. 32–33
* Légende
GE : Guide d’enseignement
(ProGuide)
ME : Manuel de l’élève
FR : Feuille reproductible
FRO : Feuille reproductibleOutil
Module 2
81
Domaine: Le nombre
spécifiques
7N6. Démontrer une
symbolique.
[C, L, R, RP, V]
(suite)
Indicateur de rendement
7N6.3 Additionner deux
nombres entiers donnés à
l’aide de matériel concret
ou de représentations
imagées, et noter le
processus de façon
symbolique.
Les deux modèles couramment utilisés pour faire des additions de
nombres entiers sont :
1. deux jetons colorés;
2. des droites numériques.
Les deux modèles servent à décrire les concepts de quantité et
d’opposé; les élèves devraient essayer chacun d’entre eux. La
quantité est indiquée par le nombre de jetons ou la longueur des
flèches. L’opposé est représenté au moyen de couleurs différentes
ou de sens différents.
Pour satisfaire à cet indicateur de rendement, inciter les élèves à
trouver les règles énumérées ci-dessous à partir de leurs
expériences dans des situations de modélisation. Ces règles ne
devraient pas être présentées aux élèves tout simplement comme
des règles.
Addition de nombres entiers ayant le même signe
La somme de deux nombres entiers positifs est positive. La somme
de deux nombres entiers négatifs est négative.
Addition de nombres entiers ayant des signes opposés
(utilisation de deux jetons de couleur)
Lorsque l’on ajoute deux nombres entiers, il est nécessaire de
d’abord modéliser chacun d’entre eux, puis de faire correspondre
les valeurs positives et négatives afin d’obtenir des paires nulles.
+
-
-
(− 4) + (+1) = (− 3)
82
-
Ceci est une
équation d’addition.
Module 2
Domaine: Le nombre
Ressources/Notes
Journal
Demandez aux élèves si la somme d’un nombre négatif et d’un
nombre positif est toujours négative. Expliquez pourquoi cela est
vrai ou non.
Jeux (disponibles en anglais seulement)
1. Integer War. (Se reporter à l’annexe 2–A.)
2. Connect Four: Adding Small Integers (Se reporter à l’annexe 2–
B.)
3. Connect Four: Adding Big Integers (Se reporter à l’annexe 2-C.)
4. Magic Circle (Se reporter à l’annexe 2–D.)
Pour les jeux, référez-vous au site Web du ministère de
l’Éducation : www.ed.gov.nl.ca/edu
Activité de calcul mental en équipe
Séparez les élèves en équipe. Chaque élève recevra un tableau et
l’activité commencera avec tous les membres de l’équipe se tenant
debout. L’enseignant écrira une équation d’addition au tableau et
demandera aux élèves d’écrire leur réponse sur leur tableau blanc.
Les élèves ayant donné la bonne réponse resteront debout et ceux
qui auront donné la mauvaise réponse s’assoiront. Après trois
problèmes, l’équipe dans laquelle il y aura le plus de personnes
debout recevra 10 points. Un membre de l’équipe sera sélectionné
pour un jeu, comme par exemple lancer une balle de basketball en
mousse dans un filet, etc., afin d’obtenir 5 points supplémentaires
pour son équipe. Commencez une nouvelle partie avec tout le
monde debout à nouveau. L’équipe qui sera la première à obtenir
100 points sera la gagnante.
Module 2
Chenelière Mathématiques 7
Leçon 2.2
Module 2: Les nombres
entiers
FR: 2.11, 2.19
CD-ROM Module 2 FR
ME: p. 56–59
pp. 34–35
83
Domaine: Le nombre
spécifiques
Addition de nombres entiers (suite) :
7N6. Démontrer une
symbolique.
[C, L, R, RP, V]
(suite)
7N6.4 Illustrer les
résultats d’additions de
nombres entiers négatifs
et de nombres entiers
positifs en utilisant une
droite numérique.
Addition de nombres entiers de signes opposés
(utilisation d’une droite numérique)
(+ 4) + (− 1) = (+ 3)
84
Module 2
Domaine: Le nombre
Papier et crayon
1. Écrivez une équation d’addition pour décrire chaque situation.
Trouvez ensuite chaque somme et expliquez ce qu’elle signifie.
A. JEUX DE TABLE : À votre premier tour, vous avancez
de 10 espaces vers l’avant autour du plateau. À votre
second tour, vous reculez de 4 espaces. De combien
d’espaces vous êtes-vous déplacé depuis que vous avez
commencé?
B. CONDITIONS MÉTÉOROLOGIQUES : Avant d’aller
vous coucher la nuit dernière, la température était de
-3 OC. Durant la nuit, la température a diminué de 5 OC.
Quelle était la température le matin?
C. ASCENSEUR : Mme Brown s’est garée dans le garage
10 m en dessous du niveau de la rue. Elle a ensuite pris un
ascenseur et a monté de 27 m pour aller à son bureau. À
quelle hauteur au-dessus de la rue se trouve son bureau?
2. Trouvez trois paires de nombres entiers dont la somme est -29.
3. Trouver des paires de nombres entiers dont la somme est -16 et
dans laquelle :
A. un nombre est inférieur à -16;
B. un nombre est supérieur à +16;
C. un nombre est supérieur à 0 et inférieur à +5.
Ressources/Notes
Leçon 2.3
Module 2: les nombres
entiers
FR : 2.15, 2.12, 2.20
CD-ROM Module 2 FR
ME: p. 60–64
pp. 36–38
Remarque : Dans le livre Chenelière Mathématiques 7,
les exercices sont limités à des nombres entiers
compris entre -10 et +10. Les enseignants devraient
aller au-delà de ces limites pour déterminer le degré
de compréhension des élèves.
Calcul mental/Papier et crayon
1. Calculez :
A. (-8) + (-15) =
B. (+22) + (-14) =
C. (-37) + (+24) =
D. (-12) + (+17) + (-11) =
Remarque : L’exemple 1D est un exemple de niveau de
difficulté plus élevé.
Module 2
85
Domaine: Le nombre
spécifiques
Les deux modèles couramment utilisés pour faire des
soustractions de nombres entiers sont :
1. deux jetons colorés;
2. des droites numériques.
7N6. Démontrer une
symbolique.
[C, L, R, RP, V]
(suite)
Les deux modèles servent à décrire les concepts de quantité et
d’opposé, les élèves devraient essayer chacun des deux modèles.
La quantité est indiquée par le nombre de jetons ou la longueur des
flèches. L’opposé est représenté au moyen de couleurs ou de sens
différents.
Indicateurs de rendement
Utilisation de jetons
7N6.5 Soustraire deux
nombres entiers donnés à
l’aide de matériel concret
ou de représentations
imagées, et noter le
processus de façon
symbolique.
Calculez (-4) – (-3)
Donc, - 4 – (-3) = -1
Calculez (-3) – (+1)
La différence entre -3 et 1 est -4. Donc, (-3) – (+1) = (-4)
86
Module 2
Domaine: Le nombre
Papier et crayon
1. Écrivez une équation de soustraction pour chacun des problèmes
énoncés avec un texte et trouvez la réponse.
A. SOCCER : Le ballon de soccer a été botté 5 m vers l’avant
au début de la partie. L’équipe opposée l’a ensuite botté de
6 m dans l’autre sens. Trouvez le changement total de la
distance.
B. TEMPÉRATURE : La température moyenne à Calgary, au
Canada, est 22 oC en juillet et 11 oC en janvier. Trouvez la
différence entre ces deux températures.
C. PLAGE : À la plage, Archie a creusé un trou de 22 cm de
profondeur sous la surface et Jughead a creusé un trou de
13 cm de profondeur sous la surface. Trouvez la différence
entre les profondeurs des deux trous.
D. AUTRE : Demandez aux élèves de résoudre et de créer leurs
propres problèmes en utilisant des situations réelles telles
que : zones horaires, températures, hauteurs au-dessus et en
dessous du niveau de la mer, pertes et profits en ce qui
concerne les jeux, les sports, la bourse, etc.
Journal
1. Copiez cette table dans votre journal et remplissez-la
Utilisez vos propres
Exemple
mots
Comment soustrayez-vous
des nombres entiers en vous
servant de carreaux
algébriques?
2. Pouvez-vous modéliser +2 avec un nombre impair de jetons?
Expliquez pourquoi c’est vrai ou non.
3. Demandez aux élèves si la différence entre un nombre négatif et
un nombre positif est toujours négative. Expliquez pourquoi
c’est vrai ou non.
Calcul mental/Papier et crayon
1. Faites les calculs ci-dessous. (Voir la remarque à la page
précédente concernant l’intervalle des nombres entiers.)
A. (+43) – (-6) =
B. (+15) – (-24) =
C. (-23) – (-12) =
D. (-14) – (+5) =
E. (+15) – (+34) – (-9) =
Remarque : L’exemple1E est un exemple de question de
niveau de difficulté plus élevé.
Module 2
Ressources/Notes
Leçon 2.4
entiers
FR : 2.13, 2.21
CD-ROM Module 2 FR
ME: p. 66–70
pp. 39–40
87
Domaine: Le nombre
spécifiques
Soustraction de nombres entiers (suite) :
7N6. Démontrer une
symbolique.
[C, L, R, RP, V]
(suite)
7N6.6 Illustrer les
résultats de soustractions
de nombres entiers
négatifs et de nombres
entiers positifs en utilisant
une droite numérique.
Utilisation d’une droite numérique
Il y a deux méthodes que nous devons présenter aux élèves lorsque
nous soustrayons des nombres entiers. Elles sont toutes deux
également utiles et doivent être complètement expliquées.
La première méthode de soustractions de nombres entiers, appelée
modèle de comparaison, est semblable à la façon dont les
caissiers déterminent le montant de monnaie qu’ils rendent à un
client faisant un achat.
Par exemple, si la facture d’un client s’élève à 9,65 $ et qu’il paye
avec un billet de 20 $, le caissier déterminera la monnaie à lui
rendre en trouvant combien il faut pour arriver à 10 $ (addition),
puis en ajoutant les 10 $ qui restent. En fait, le caissier dira que
35¢ donne 10 $, et qu’un autre 10 $ donne 20 $. Donc la monnaie
s’élève à 10,35 $
Nous avons remplacé (20 – 9,65) en « Combien faut-il ajouter à
9,65 pour atteindre 20? »
À la page 72 du texte, on trouve une explication comment
soustraire des nombres entiers à l’aide du modèle de comparaison.
Soit le problème 1 – (-2).
Nous poserons la question : « Combien faut-il pour aller de -2 à
1? » Ou encore : « Que devons-nous ajouter à -2 pour obtenir
1? » En commençant à -2, tracez une droite vers +1 jusqu’à ce que
vous atteignez cette valeur. Remarquez ensuite que vous avez tracé
une droite ayant une longueur de 3 vers la droite. La réponse est
donc +3.
Donc, (+1) – (-2) = (+3).
88
Module 2
Domaine: Le nombre
Ressources/Notes
Journal
1. Demandez aux élèves d’effectuer l’activité Réfléchis à la page
75.
2. Énumérez autant de mots ou de syntagmes que vous le pouvez
ayant le sens « soustraire ou soustraction ».
Activité individuelle/de groupe (version française à venir)
(Se reporter à l’annexe 2-E pour la feuille de travail Ange ou au site
Web www.ed.gov.nl.ca/edu )
L’Ange flotte sur un nuage à l’altitude zéro. Un ballon supporte un
poids. Si nous lui donnons 100 ballons et 100 poids, que devrait-il
lui arriver? Justifiez votre réponse.
Remarquez que l’Ange a maintenant 100 ballons et 100 poids,
laissons-le se déplacer. Nous voulons qu’il monte de 4 positions
mais nous n’avons aucun ballon à lui donner. Comment pouvonsnous malgré tout le faire monter de 4 positions?
Leçon 2.5
entiers
FR : 2.15, 2.14, 2.22
CD-ROM Module 2 FR
ME: p. 71–75
À nouveau, l’Ange est à zéro avec 100 ballons et 100 poids. Si nous Cahier d’activités et
voulons le faire descendre de 28 positions mais que nous n’ayons
pas assez de poids à lui donner, comment pouvons-nous obtenir
pp. 41–43
autrement ce résultat de 28 vers le bas?
Lorsque l’on RETIRE DES BALLONS, l’Ange se déplace de
_______.
Lorsqu’on AJOUTE DES POIDS, l’Ange se déplace de _______.
Module 2
89
Domaine: Le nombre
spécifiques
7N6. Démontrer une
symbolique.
[C, L, R, RP, V]
(suite)
7N6.6 Illustrer les
de nombres entiers
(suite)
Comme préliminaire à la seconde méthode, addition de l’opposé,
vous voudrez peut-être faire ces exercices avec les élèves.
Exercice 1 :
Écrivez au tableau des équations semblables à celles des exemples
ci-dessous.
Demandez aux élèves de
(+4) – (+2) = ( )
déterminer les réponses à l’aide
(+7) – (-3) = ( )
de la méthode de comparaison.
(-3) – (-2) = ( )
Écrivez ensuite les équations suivantes au tableau.
(+4) + (-2) = ( )
Demandez aux élèves de
(+7) + (+3) = ( )
déterminer les réponses en
(-3) + (+2) = ( ) utilisant la méthode d’addition de
nombres entiers qu’ils préfèrent.
Exercice 2 :
Les régularités peuvent aussi être utilisées pour ce travail.
Demandez aux élèves d’examiner les deux colonnes :
(+4) – (+2) = 2
(+4) – (+1) = 3
(+4) – (+0) = 4
(+4) – (-1) = 5
(+4) – (-2) = 6
(+4) – (-3) = 7
(+4) + (-2) = 2
(+4) + (-1) = 3
(+4) + (+0) = 4
(+4) + (+1) = 5
(+4) + (+2) = 6
(+4) + (+3) = 7
Après que les réponses ont été vérifiées, demandez aux élèves ce
qu’ils ont remarqué. On peut espérer qu’ils répondront qu’ils ont
remarqué que les réponses étaient les mêmes lorsque l’on ajoute
des nombres entiers opposés.
(Ce développement se poursuit à la page suivante…)
90
Module 2
Domaine: Le nombre
Ressources/Notes
Activités de technologie/Web
1. Jouez au jeu appelé « Line Jumper » se trouvant au site :
http://www.funbrain.com/cgi-bin/nl.cgi?A1=s&A2=4 (en anglais
seulement)
Ce jeu devrait être particulièrement efficace si vous utilisez un
tableau électronique.
L’adresse du site Web est : www.funbrain.com
Examinez aussi les activités au site :
http://www.learnalberta.ca/content/mfjhm/index.html?l=0&ID1=
MF.JHM.NUM&ID2=MF.JHM.NUM.ENT&lesson=html/video_ Chenelière Mathématiques 7
interactives/entiersRelatifs/integersInteractive.html
Leçon 2.5
L’adresse du site Web est : www.learnalberta .ca
(suite)
Examinez aussi les activités au site :
http://nlvm.usu.edu/fr/nav/frames_asid_162_g_3_t_1.html?from=
category_g_3_t_1.html
L’adresse du site Web est :
http://nlvm.usu.edu/fr/nav/vlibrary.html
(Bibliothèque virtuelle en mathématiques)
Papier et crayon
Lorsque vous ajoutez deux nombres entiers négatifs, vous obtenez
toujours une somme négative. Lorsque vous soustrayez deux
nombres entiers négatifs, obtenez-vous toujours une différence
négative? Expliquez vos réponses à l’aide d’exemples.
Approfondissement
Sans calculer véritablement la différence entre deux nombres entiers,
comment pouvez-vous dire si la réponse sera positive, négative ou
nulle? Expliquer votre réponse à l’aide d’exemples.
Module 2
91
Domaine: Le nombre
spécifiques
7N6. Démontrer une
symbolique.
[C, L, R, RP, V]
(suite)
Ceci amène à passer à la deuxième méthode de soustraction des
nombres entiers qui, comme nous l’avons déjà indiqué, s’appelle
addition de l’opposé.
Il y a pour chaque énoncé de soustraction un énoncé d’addition
équivalent.
c’est-à-dire (-5) – (-8) est identique à (-5) + (+8)
Par conséquent, sur une droite numérique, nous obtenons :
7N6.6 Illustrer les
de nombres entiers
(suite)
92
Donc (-5) – (-8) = (-5) + (+8) = (+3).
Module 2
Domaine: Le nombre
Ressources/Notes
Leçon 2.5
(suite)
Module 2
93
94
Module 2

Mathématiques 7e année Module 2 Les nombres entiers Durée

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