Exercices de Probabilités Supplément 3

Université de Paris 7
M1 Math
2008-2009
Exercices de Probabilités Supplément 3
Exercice 1. Médianes
Si X est une v.a.r., on appelle médiane de X tout nombre α tel que
P(X ≤ α) ≥ 21 et P(X ≥ α) ≥ 12 .
1. Montrer que les médianes forment un intervalle fermé borné non vide. On le note
med(X).
2. Calculer med(X) lorsque X suit une loi exponentielle.
3. Donner un exemple d’une v.a.r. X pour laquelle med(X) n’est pas réduit à un point.
Exercice 2. On tire avec remise r tickets distinguables parmi n. On note Sk le nombre
de tickets distincts obtenus après k tirages.
Calculer P(Sk+1 = j|Sk = i).
Pour r ≥ 10, calculer P(Sr = k|S10 = k) et P(Sr+1 = k + 1|S10 = k)
Exercice 3. Soient X une v.a.r. et m une médiane. Montrer que
1. pour tout a ∈ R, on a E(|X − a| − |X − m|) ≥ 0 (distinguer a > m et a ≤ m),
2. on a E(|X − m|) = inf a∈R E(|X − a|) et, pour tout µ ∈ R, la condition
E(|X − µ|) = inf a∈R E(|X − a|) implique que µ est une médiane,
3. (EX − m)2 ≤ VarX. Cette inégalité est-elle optimale?
Exercice 4. Soit X une variable aléatoire réelle telle que P [X 6= 0] > 0.
1) Montrer que X est de loi symétrique si et seulement si, conditionnellement à {X 6= 0},
X
est de loi uniforme sur {−1, 1}, et indépendante de |X|.
|X|
On suppose dorénavant la loi de X symétrique.
2) Exprimer PX en fonction de P|X| .
3) Soit Y une variable aléatoire réelle, indépendante de X. Montrer que XY suit la même
loi, symétrique, que X |Y |.
Exercice 5. Soit X une variable aléatoire de fonction de répartition F . Montrer :
P
2E [F (X)] = 1 + x∈R (P [X = x])2 .
1
Exercice 6. Soit X et Y deux variables aléatoires ne prenant chacune que deux valeurs
réelles. Montrer que X et Y sont indépendantes si et seulement si cov (X, Y ) = 0. Montrer
que cette assertion n’est bien sûr pas vraie en général.
Exercice 7. Soient U1 , U2 des v.a. indépendantes de même loi uniforme sur [0, 1] et
R = UU12 . Soit f une densité de probabilité portée par R+ et telle que ∀x, f (x) ≤ 1 ∧ x12 .
1. Calculer la loi du couple (U1 , R).
q
2. Montrer que E =def {U1 ≤ f ( UU12 )} est de probabilité positive.
3. Montrer que la loi de R conditionnelle à E est de densité f .
4. Soit {U1,n , U2,n | n ≥ 1}
q une famille des variables i.i.d. de loi uniforme sur [0, 1] et
N = inf{n | U1,n ≤
f ( UU2,n
)} avec inf ∅ = ∞. Montrer que N est fini presque
1,n
sûrement et que, si l’on pose Rn =
U2,n
,
U1,n
alors RN suit la loi de densité f .
Exercice 8. (D’après un exercice de l’examen de septembre 2004).
On se p
donne des variables Xn , Yn , n ∈ N, i.i.d. de loi uniforme sur ] − 1, 1[. On pose
Rn = Xn2 + Yn2 . On note N1 < N2 < . . . les instants aléatoires successifs où Rn < 1 et
l’on pose Uk = (XNk , YNk ).
1. Quelles sont les lois de (N1 , U1 ), de U1 et R1 ?. Montrer en particulier que N1 est fini
presque sûrement (ce qui permet de définir N2 presque sûrement).
2. Par convention, on pose N0 = 0. Montrer que les vecteurs (Nk − Nk−1 , Uk ), k ≥ 1
sont indépendants et de même loi.
Exercice 9. Soient U1 , U2 , . . . des v.a.r. i.i.d. de loi uniforme sur [0, 1] et X une v.a.r.
dont la fonction de répartition F est bijective. On pose G = F −1 .
1. Montrer que G(U1 ), G(U2 ), . . . sont i.i.d. de même loi que X.
2. Soit N = inf{n ∈ N|G(Un ) > m} où m est donné (et inf ∅ = ∞). Montrer que
(a) P(X > m) > 0,
(b) la loi de G(UN ) est la loi de X conditionnellement à {X > m},
(c) si l’on pose V = G(F (m) + (1 − F (m)U1 ), alors V a même loi que G(UN ).
Exercice 10. Soit f une densité de probabilité sur R. On suppose connue une suite
(Un , Zn )n≥1 i.i.d. telle que, pour chaque n, les v.a.r. Un et Zn soient indépendantes et que
la loi de Un soit uniforme sur [0, 1], la loi de Zn soit à densité g. On suppose qu’il existe
a > 1 tel que f ≤ ag.
On pose T = inf{n ≥ 1|aUn g(Zn ) ≤ f (Zn )} et X = ZT (inf ∅ = ∞ et Z∞ = 0). Calculer
la loi de T et son espérance (nombre de boucles). Montrer que X est à densité f .
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Exercice 11. Soient X, Y des v.a.r. et U = inf(X, Y ), V = sup(X, Y ). Pour chaque v.a.r.
S, on note FS sa fonction de répartition.
1. Montrer que |FX − FY | ≤ FU − FV .
R
2. Montrer que R (FU − FV )dλ < ∞ ⇔ E(|X − Y |) < ∞.
3. On suppose X et Y indépendantes. Montrer que
E(|X − Y |) < ∞ ⇔ E(|X|) + E(|Y |) < ∞.
Exercice 12. (extrait du partiel 2002.)
1. Soient Y, Y 0 des v.a.r. indépendantes de même loi, de carré intégrable. Montrer que
Var(Y ) = 12 E(Y − Y 0 )2 .
2. Soient Y, Z des v.a.r. de carré intégrable. Soit (Y 0 , Z 0 ) un couple indépendant de
(Y, Z) et de même loi. Trouver la constante K telle que
Cov(Y, Z) = KE(Y − Y 0 )(Z − Z 0 ).
3. Montrer que si X est une v.a.r., si f, g : R → R sont croissantes et telles que
f (X), g(X) soient de carré intégrable, alors Cov(f (X), g(X)) ≥ 0.
Exercice 13.
1. Soit X une v.a.r. de loi exponentielle de paramètre λ. Montrer que
P(X ≥ x + a|X ≥ a) = P(X ≥ x) (a, x > 0). On dit que X est sans mémoire.
2. On suppose que X est une v.a. sans mémoire telle que P(X ≥ x) > 0, pour tout
x > 0 et P(X ≤ 0) = 0.
(a) Montrer qu’une fonction g : R → R croissante et telle que g(x+y) = g(x)+g(y),
pour tous x, y, est linéaire.
(b) Montrer que X est de loi exponentielle.
Exercice 14.
1. Soient X, Y des v.a.r.. Montrer que la loi de (X, Y ) est entièrement déterminée par
la donnée de F : R2 → R, F (x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y).
2. On suppose F (x, y) = 0 si x ≤ 0 et F (x, y) = (1 − e−x )( 21 + π1 Arctg y) sinon. Montrer
que (X, Y ) a une densité que l’on calculera.
Exercice 15. Soient X1 , X2 , X3 des v.a.r. indépendantes. Montrer que X1 +X2 et X1 +X3
sont indépendantes si et seulement si X1 est p.s. constante.
(Indication : si Φ est la fonction caractéristique de X1 , on montrera que |Φ(t)|2 = 1 dans
un voisinage de 0 et on peut alors conclure que X1 est p.s. constante.)
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Exercice 16. Soit A1 , ..., An ∈ A et X =
X
1≤k≤n
1Ak .
1) Soit 1 ≤ r ≤ n et, pour ω ∈ Ω, Yr (ω) le nombre de parties I de {1, ..., n} à r éléments
h\
i
\
P
telles que ω ∈
Ai . Montrer : E [Yr ] = |I|=r P
Ai .
i∈I
i∈I
On posera Sr = E [Yr ] et, pour r = 0, Y0 = 1.
X
2) Soit u > 0 ; montrer : uX =
(u − 1)k Yk .
0≤k≤n
En déduire la fonction génératrice de X à l’aide des nombres Sr ; montrer :
X
∀ 0 ≤ r ≤ n, P [X = r] =
(−1)k−r kr Sk .
r≤k≤n
Exercice 17.
1. Soient X, Y, Z des vecteurs aléatoires réels de dimensions respectives p, q, r. On
suppose que le vecteur (X, Y ) est indépendant de Z et que X, Y sont indépendants.
Montrer que X est indépendant du vecteur (Y, Z).
2. Soient X1 , . . . Xn des v.a.r. Montrer qu’elles sont indépendantes si et seulement si,
pour tout i ≤ n − 1, la v.a. Xi est indépendante du vecteur (Xj )i+1≤j≤n .
3. Soient X, Y des v.a. indépendantes de loi Gamma de paramètres respectifs a, b.
X
et X + Y sont indépendantes et que X + Y suit une loi Gamma
Montrer que X+Y
de paramètre a + b.
4. Soit (Xn )n∈N∗ P
une suite de v.a. i.i.d. de loi Gamma de paramètre a. On pose, pour
n
n ≥ 1, Sn = ni=1 Xi et Vn = SSn+1
.
(a) Montrer que, pour tout n ≥ 1, la v.a. Vn est indépendante de Sn+1 .
(b) Soit (k, n) ∈ (N∗ )2 . Prouver que la v.a. Vn est indépendante du vecteur
(Sn+1 , (Xj )n+2≤j≤n+k+1 ).
(c) En déduire que Vn est indépendante du vecteur (Sj )n+1≤j≤n+k+1 puis que Vn est
indépendante du vecteur (Vj )n+1≤j≤n+k .
(d) Prouver alors que (Vn )n∈N∗ est une suite de v.a. indépendantes.
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