fiche cours proprietes geometrie

Propriétés concernant les DROITES PARALLELES ET PERPENDICULAIRES
Figure
Propriétés
1. Si deux droites sont parallèles à une même
troisième,
Alors elles sont parallèles entre elles.
2. Si deux droites sont perpendiculaires à une même
troisième,
Alors elles sont parallèles entre elles.
3. Si deux droites sont parallèles,
Alors toute droite perpendiculaire à l’une est
perpendiculaire à l’autre.
Condition/conséquence
Condition :
(d1) // (d2) et (d1) // (d3)
Conséquence :
(d2) // (d3)
Condition :
(d) ┴ (d1) et (d) ┴ (d2)
Conséquence :
(d1) // (d2)
Condition :
(d1) // (d2) et (d) ┴ (d1)
Conséquence :
(d) ┴ (d2)
Propriétés concernant le PARALLELOGRAMME
Figure
Propriétés
1. (directe)
Si un quadrilatère est un parallélogramme,
Alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux
1. (réciproque)
Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux
à deux,
Alors c’est un parallélogramme
2. (directe)
Si un quadrilatère est un parallélogramme,
Alors ses diagonales ont le même milieu
2. (réciproque)
Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même
milieu,
Alors c’est un parallélogramme
3. (directe)
Si un quadrilatère est un parallélogramme,
Alors ses côtés opposés sont de même longueur
3. (réciproque)
Si un quadrilatère a ses côtés opposés de même
longueur deux à deux,
Alors c’est un parallélogramme
1 et 3. (réciproque)
Si un quadrilatère (non croisé) a deux côtés opposés
parallèles et de même longueur,
Alors c’est un parallélogramme
Condition/conséquence
Condition :
ABCD est un parallélogramme
Conséquence :
(AB) // (CD) et (AD) // (BC)
Condition :
ABCD quadrilatère
+ (AB) // (CD) et (AD) // (BC)
Conséquence :
ABCD est un parallélogramme
Condition :
ABCD est un parallélogramme
Conséquence :
[AC] et [BD] ont le même milieu
Condition :
ABCD quadrilatère
+ [AC] et [BD] ont le même milieu
Conséquence :
ABCD est un parallélogramme
Condition :
ABCD est un parallélogramme
Conséquence :
AB = DC et AD = BC
Condition :
ABCD quadrilatère
+ AB = DC et AD = BC
Conséquence :
ABCD est un parallélogramme
Condition :
ABCD quadrilatère
+ AB = DC et (AB) // (DC)
Conséquence :
ABCD est un parallélogramme
Propriétés concernant le LOSANGE
Figure
Propriétés
1. (réciproque)
Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même
longueur,
Alors c’est un losange
1. (directe)
A
D
Si un quadrilatère est un losange,
Alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux et
ses quatre côtés sont de même longueur
B
C
2. (directe)
A
D
Si un quadrilatère est un losange,
Alors ses diagonales ont le même milieu et sont
perpendiculaires
B
C
2. (réciproque)
Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même
milieu et sont perpendiculaires,
Alors c’est un losange.
3. (réciproque)
Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de
même longueur,
Alors c’est un losange
4. (réciproque)
Si un parallélogramme a ses diagonales
perpendiculaires,
Alors c’est un losange
Condition/conséquence
Condition :
ABCD quadrilatère
+ AB = BC = CD = DA
Conséquence :
ABCD est un losange
Condition :
ABCD est un losange
Conséquence :
(AB) // (CD) et (AD)//(BC)
Et AB = BC = CD = DA
Condition :
ABCD est un losange
Conséquence :
[AC] et [BD] ont le même milieu
Et (AC) ┴ (BD)
Condition :
ABCD quadrilatère
+ [AC] et [BD] ont le même milieu
Et (AC) ┴ (BD)
Conséquence :
ABCD est un losange
Condition :
ABCD parallélogramme
+ AB = BC (ou CD = AD…)
Conséquence :
ABCD est un losange
Condition :
ABCD parallélogramme
+ (AC) ┴ (BD)
Conséquence :
ABCD est un losange
Propriétés concernant le RECTANGLE
Figure
Propriétés
1. (réciproque)
Si un quadrilatère a trois angles droits,
Alors c’est un rectangle
1. (directe)
A
B
D
C
A
D
Si un quadrilatère est un rectangle,
Alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux, de
même longueur, et ses quatre angles sont droits.
B
C
2. (directe)
Si un quadrilatère est un rectangle,
Alors ses diagonales ont le même milieu et sont de
même longueur
Condition/conséquence
Condition :
ABCD quadrilatère
+ A = B = C = 90°
Conséquence :
ABCD est un rectangle
Condition :
ABCD est un rectangle
Conséquence :
(AB) // (CD) et (AD) // (BC)
Et AB = CD et AD = BC
Et A = B = C = D = 90°
Condition :
ABCD est un rectangle
Conséquence :
[AC] et [BD] ont le même milieu
Et AC = BD
2. (réciproque)
Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même
milieu et qui sont de même longueur,
Alors c’est un rectangle.
3. (réciproque)
Si un parallélogramme a un angle droit,
Alors c’est un rectangle
4. (réciproque)
Si un parallélogramme a ses diagonales de même
longueur,
Alors c’est un rectangle
Condition :
ABCD quadrilatère
+ [AC] et [BD] ont le même milieu
Et AC = BD
Conséquence :
ABCD est un rectangle
Condition :
ABCD parallélogramme
+ A = 90° (ou B ou C …)
Conséquence :
ABCD est un rectangle
Condition :
ABCD parallélogramme
+ AC = BD
Conséquence :
ABCD est un rectangle
Propriétés concernant le CARRE
Figure
Propriétés
Condition/conséquence
Condition :
ABCD quadrilatère
Si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur et + AB = BC = CD = DA
un angle droit,
et A = 90° (ou B ou C ou D )
Alors c’est un carré
Conséquence :
ABCD est un carré
Condition :
1. (directe)
ABCD est un carré
Si un quadrilatère est un carré,
Conséquence :
Alors il a quatre côtés de même longueur, quatre
AB = BC = CD = DA
angles droits et ses côtés opposés sont parallèles deux à Et A = B = C = D = 90°
deux.
Et (AB) // (CD) et (AD) // (BC)
Condition :
2. (directe)
ABCD est un carré
Si un quadrilatère est un carré,
Conséquence :
Alors ses diagonales ont le même milieu, sont
[AC] et [BD] ont le même milieu
perpendiculaires et sont de même longueur.
Et AC = BD et (AC) ┴ (BD)
Condition :
2. (réciproque)
ABCD quadrilatère
Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même
+ [AC] et [BD] ont le même milieu
milieu, qui sont perpendiculaires et de même longueur, Et AC = BD et (AC) ┴ (BD)
Alors c’est un carré.
Conséquence :
ABCD est un carré
Condition :
3. (réciproque)
ABCD losange + A = 90°
Si un losange a un angle droit,
Conséquence :
Alors c’est un carré
ABCD est un carré
1. (réciproque)
A
D
B
A
D
C
B
C
A
B
D
C
A
B
D
C
4. (réciproque)
Si un losange a ses deux diagonales de même
longueur,
Alors c’est un carré
Condition :
ABCD losange + AC = BD
Conséquence :
ABCD est un carré
5. (réciproque)
Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même
longueur,
Alors c’est un carré
Condition :
ABCD rectangle + AB = BC
Conséquence :
ABCD est un carré
6. (réciproque)
Si un rectangle a ses diagonales perpendiculaires,
Alors c’est un carré
Condition :
ABCD rectangle + (AC) ┴ (BD)
Conséquence :
ABCD est un carré