Activité - Fonctions

Seconde 10
NOM Prénom : .........................
Le 13 octobre 2016
Activité - Fonctions
Partie 1
Mélanie filme le saut d’un dauphin au dessus de l’océan, et souhaite comprendre sa
trajectoire. Elle considère x la distance (exprimée en m) entre le dauphin et son point
de départ, et elle mesure, pour différentes valeurs de x, la hauteur h(x) du dauphin
(exprimée en m). Elle donne nomme A, B, C, D et E chacun des points mesurés :
Nom
x (distance par rapport au départ)
h(x) (hauteur du dauphin)
A
0
0
B
1
0.75
C
D
1.5
3
0.9375 0.75
E
4
0
Hauteur h(x)
J
O
C
I
Distance x
1. Placer sur le graphique les points A, B, D et E.
2. A quelle distance le dauphin retourne-t-il dans l’eau ?
3. Quelles sont les valeurs de x pour lesquelles Mélanie aurait pu faire une mesure ?
4. Tracer, au crayon de papier, l’allure de la trajectoire du dauphin.
5. Pour embêter Mélanie, Ariane lui demande quelle est la hauteur du dauphin
lorsque x = 0.5m. Lire graphiquement cette hauteur.
6. Ariane n’est pas satisfaite par la réponse de Mélanie. Son prof de maths lui
répète souvent que lire sur un dessin n’est pas suffisant. Pour lui répondre plus
précisément, Mélanie essaye d’exprimer la hauteur h(x) pour toute valeur de x
entre 0 et 4. Elle suppose que :
h(x) = a(x − 2)2 + 1 pour tout 0 ≤ x ≤ 4.
Définition : En associant à chaque nombre x entre 0 et 4 une unique valeur
h(x), on définit une fonction h. L’ensemble des valeurs pour lesquelles on peut
calculer h(x) est appelé ensemble de définition de la fonction h.
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TSVP
(a) Quelle est la valeur de h(0) ?
(b) Exprimer h(0) en fonction de a.
(c) En déduire la valeur de a
7. On admet pour la suite que h(x) = −0.25(x − 2)2 + 1 pour tout 0 ≤ x ≤ 4.
Répondre plus précisément à la question d’Ariane : quelle est la hauteur du
dauphin lorsque x = 0.5m ?
Définition : Le nombre h(x) est appelé image de x par la fonction h.
8. Sur quelle ligne du tableau lit-on les images ?
9. La dauphin atteint-il la hauteur 0.75m ? Pour quelle(s) hauteur(s) ?
Définition : Si on a y = h(x), alors x est un antécédent de y par la fonction
h.
10. Sur quelle ligne du tableau lit-on les antécédents ?
11. Quels sont les antécédents de 0 par h ?
12. (a) Conjecturer le nombre d’antécédents de 2.
(b) Quelle équation faut-il résoudre pour déterminer les antécédents de 2 ?
(c) Résoudre cette équation et retrouver le résultat conjecturé.
13. * Démontrer que la hauteur maximale atteinte par le dauphin est 1m.
Partie 2
Mélanie a également fait des mesures pour établir la trajectoire sous-marine du
dauphin après qu’il soit retourné dans l’eau. Pour tout x entre 4m et 8m, la hauteur
du dauphin, par rapport au niveau de la mer, est exprimée à travers la fonction f :
f (x) = a(x − 8)2 − 3.
1. Quel est l’ensemble de définition de la fonction f ?
2. En raisonnant comme à la question 6 de la partie 1, déterminer a.
3. Quelle est l’image par f de 4.5 ? A quoi cette valeur correspond-elle ?
4. On souhaite déterminer l’antécédent de −3 par rapport à f .
(a) Quelle équation faut-il résoudre pour répondre à la question ?
(b) Déterminer l’antécédent de −3 par rapport à f .
(c) A quoi cette valeur correspond-elle ?
5. Déterminer la distance x à laquelle le dauphin retourne à la surface.
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