CS2 Denis Pasquignon. Géométrie de Rn Topologie de Rn Résumé

CS2
Denis Pasquignon.
Géométrie de Rn
Topologie de Rn
Résumé du cours:
1. Espace affine Rn
• Droites affines et segments
• Cercles et Sphères
2. Topologie
• Boules ouvertes et fermés : Une boule ouverte de centre A de rayon r ≥ 0 est
notée
Bo (A, r) = {M ∈ Rn d(A, M ) < r}
Une boule fermée de centre A de rayon r ≥ 0 est notée
Bf (A, r) = {M ∈ Rn d(A, M ) ≤ r}
• Ensembles bornés Soit D ⊂ Rn est un ensemble borné s’il existe A et r ≥ 0
D ⊂ B(A, r)
Les propositions suivantes sont équivalentes
– D ⊂ Rn est un ensemble borné
– il existe R ≥ 0 tel que D ⊂ B(O, R)
– ∀1 ≤ k ≤ n ∃mk ∀X ∈ D |xk | ≤ mk .
Une intersection finie ou non d’ensembles bornés est un ensemble borné. Une union
finie d’ensembles bornés est un ensemble borné. le complémentaire d’une partie
bornée n’est pas borné.
• Ensembles ouverts et fermés Soit D ⊂ Rn est en ensemble ouvert si il est vide
ou pour tout point A ∈ D, il existe r > 0 tel que Bo (A, r) ⊂ D.
D ⊂ Rn est en ensemble fermé si son complémentaire est ouvert.
une intersection finie d’ouverts est un ouvert. une union quelconque d’ouverts est un
ouvert.
• Ensemble convexes Soit D ⊂ Rn est en ensemble convexe si il est vide ou pour
tous points A, B ∈ D, le segment [AB] est inclus dans D.
Rn et ∅ sont des convexes une boule ouverte ou fermé est un convexe Une intersection
finie de convexes est un convexe. Si f est une fonction convexe de R dans R, alors
la partie du plan au dessus du graphe est convexe.
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Exercice 1 On se place dans le plan affine.
Déterminer une paramétrisation et une équation cartésienne de la droite dA,U passant par A et
de vecteur directeur U :
1) A = (1, 1) et U = (−1, 1),
2) A = (cos(θ), sin(θ)) et U = (sin(θ), −cos(θ))
Exercice 2 On se place dans le plan affine.
Déterminer les sous-ensembles de R2 :
1) {(t + 1, −2t + 3), t ∈ R},
2) {(−t2 + 2, 3t2 − 1), t ∈ R},
3) {(4t − 1, −t + 3), t ∈ [−1, 1]}.
Exercice 3 On se place dans l’espace affine.
1) Déterminer une équation cartésienne du plan P1 passant par les points A = (1, 1, 1),
B = (0, −1, −1) et C = (−1, 1, 0).
2) Déterminer une équation cartésienne du plan P2 passant par le point C = (−1, 1, 0) et ayant
pour direction le plan vectoriel engendré par les vecteurs u = (1, 1, 1) et v = (1, 2, 3).
3) Déterminer une équation cartésienne du plan P3 passant par le point D = (0, −1, 3) et
orthogonal au vecteur u = (1, 1, 1).
4) Déterminer l’équation de la sphère de centre (−1, 2, 3) et de rayon 2.
5) Reconnaitre les sous-ensembles suivants : E = {(x, y, z) ∈ R3 , x − 2y + 3z − 4 = 0} et
F = {(x, y, z) ∈ R3 , 3x2 + 6x + 3y 2 − 3y + 3z 2 + 1 = 0}.
Exercice 4 On se place dans le plan affine.
Les sous-ensembles de R2 sont-ils ouverts, fermés, convexes, bornés ?
1) {(x, y) ∈ R2 , x > 0 et y > 0},
2) {(x, y) ∈ R2 , 1 < |x − 1| ≤ 2},
3) {(x, y) ∈ R2 , x ≥ 0 et y ≥ 0 et 2x + 3y ≤ 5},
4) {(x, y) ∈ R2 , 1 ≤ k(x, y)k ≤ 2},
5) {(x, y) ∈ R2 , xy < 1 et 1 < x < 2}.
Exercice 5 Montrer que {(x, y) ∈ R2 , |x + y| < 1 et |x − y| ≤ 1} est borné.
Exercice 6 Soit E un sous espace vectoriel de Rn . Montrer que E est un fermé de Rn . Indication : on montre que le complémentaire est un ouvert en utilisant la projection orthogonale
sur E
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Exercice 7 Soit A un sous ensemble de Rn . On pose
int(A) = {x ∈ Rn ∃r > 0 Bo (x, r) ⊂ A}
et
Ā = {x ∈ Rn ∀r > 0 Bo (x, r) ∩ A 6= ∅}
Montrer que int(A) est le plus grand ouvert inclus dans A et Ā est le plus petit fermé contenant
A.
Exercice 8
1. Montrer que la réunion de deux ensembles bornés est un ensemble borné.
2. Montrer que l’intersection d’une famille de k ensembles convexes est convexe. Qu’en est
il de l’union de k convexes ?
3. Montrer que tout ouvert est une union de boules ouvertes.
Exercice 9 Soit I un intervalle de R et f une application de I dans R. Montrer que la fonction
f est convexe si et seulement si l’ensemble E = {(x, y) ∈ I ×R y ≥ f (x)} est une partie convexe
de R2 .
Exercice 10 Soit E1 , · · · , En n ouverts de R, montrer que le produit cartésien E1 × · · · × En
est un ouvert de Rn .
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