Bitorseurs et liens

Bitorseurs et liens
Daniel Ferrand
Juin 2012
À Laurent Moret-Bailly, fin connaisseur des champs et des bitorseurs
Introduction
Considérons deux objets x et y d’une catégorie. Un isomorphisme u : y → x définit un
isomorphisme de groupes
A = Aut(x) −→ Aut(y) = B,
α 7−→ u−1 αu
Tout autre isomorphisme y → x est de la forme uw avec w ∈ B, et l’isomorphisme de groupes
associé à uw est le composé du précedent et de la conjugaison par w−1 . Ainsi le fait que y
et x soient isomorphes entraı̂ne, sans choix d’un isomorphisme particulier, l’existence d’un
isomorphisme extérieur, uniquement déterminé, de A vers B, c’est-à-dire un élément de
Isex(A, B) = B \ Isom(A, B).
La “faisceautisation” de la notion d’isomorphisme extérieur conduit à celle de lien ([Gi] IV
1.1 p.185).
Mais une autre voie est possible : en effet, l’ensemble Isom(y, x) de tous les isomorphismes
est un (A, B)-bitorseur et on sait travailler avec ces objets globaux, d’apparence parfois plus
“géométrique”.
Le but de cette note est de montrer que l’usage des bitorseurs, en lieu et place des isomorphismes extérieurs, conduit à essentiellement la même notion de lien : on trouve un isomorphisme de champs (cf (1.2)).
Curieusement, cet isomorphisme ne semble pas figurer tel quel dans [Gi] ; il peut cependant
apparaı̂tre comme l’arrière-fond tu de plusieurs résultats explicitement établis par Giraud.
En particulier, dans ce langage des bitorseurs, le passage d’une gerbe - ou en tout cas d’un
groupoı̈de transitif - à son lien consiste simplement à oublier la contrainte d’associativité (de
la composition des flèches du groupoı̈de).
Dans la suite, T désignera un topos, d’objet final e. On suppose que T possède “suffisamment de
points” ([SGA 4] IV 6) ; cette hypothèse, anodyne, entraı̂ne les propriétés suivantes, à peu près évidentes
lorsqu’il s’agit d’espaces topologiques.
Soient F et G des préfaisceaux d’ensembles sur T, et f : F −→ G un morphisme de préfaisceaux.
0.1 Si, pour tout objet S de T et toute section y ∈ G(S), il existe un épimorphisme T → S et un
section x ∈ F (T ) tels que f (x) = y|T , alors le morphisme entre faisceaux associés af : aF −→ aG est un
épimorphisme .
0.2 Si, pour tout couple de sections x, y ∈ F (S) telles que f (x) = f (y) ∈ G(S), il existe un épimorphisme
T → S tel que x|T = y|T ∈ F (T ), alors le morphisme entre faisceaux associés af : aF −→ aG est un
monomorphisme
En effet, d’après l’hypothèse faite sur T, il suffit de vérifier que pour tout point p de T, f induit une
surjection (resp. une injection) sur les fibres (aF )p −→ (aG)p ; or, la formule [SGA 4], IV 6.8.4 dit que
cette application sur les fibres se calcule comme limite inductive des applications F (U ) −→ G(U ) pour U
parcourant le système filtrant des “voisinages” de p au sens “toposique” (loc.cit. 6.8). D’où le résultat.
1. Un isomorphisme de champs.
Le point clé est énoncé dans le lemme suivant.
1
Soient A et B deux groupes de T, et S un objet de T. On désigne par Bit(A, B)(S) l’ensemble des classes
d’isomorphisme de (A, B)-bitorseurs au dessus de S (c’est-à-dire l’ensemble des classes de (AS , BS )bitorseurs de T/S), et on note Bit(A, B) 1 le faisceau associé au préfaisceau S 7−→ Bit(A, B)(S).
Pour un isomorphisme de groupes u : A −
g
→ B, on désigne par u B le (A, B)-bitorseur de B-torseur à
droite B lui-même, l’opération de a ∈ A étant donnée par le produit à gauche par u(a).
Lemme 1.1 L’application
(1.1.1)
B(S) \ Isom(A, B)(S) −→ Bit(A, B)(S),
u 7−→ u B
est injective et induit un isomorphisme de faisceaux
(1.1.2)
Isex(A, B) −
g
→
Bit(A, B).
Le membre de gauche, Isex(A, B), désigne, comme dans le livre de Giraud (p.185), le faisceau des isomorphismes extérieurs, c’est-à-dire le faisceau associé au préfaiceau quotient S 7−→ B(S)\Isom(A, B)(S),
où B opère à gauche par automorphismes intérieurs.
Soient u et v deux isomorphismes de A sur B. Montrons que les (A, B)-bitorseurs u B et v B sont isomorphes si et seulement si il existe c ∈ B tel que
v
=
Int(c) ◦ u.
Cela montrera que l’application (1.1.1) est bien définie, et qu’elle est injective.
Soit f : u B −→ v B un isomorphisme de (A, B)-bitorseurs. Comme f est un isomorphisme de B-objets à
droite, on a : f (b) = f (1B .b) = f (1B )b ; posons c = f (1B ). Pour a ∈ A, on a donc f (u(a)) = cu(a). La
compatibilité de f avec les opérations à gauche de A donne f (u(a)) = f (u(a).1B ) = v(a)c ; finalement,
v(a) = cu(a)c−1 . Réciproquement, si v = Int(c) ◦ u, on vérifie immédiatement que l’application x 7→ cx
définit un isomorphisme de (A, B)-bitorseurs u B −→ v B.
L’injectivité se conserve en passant aux faisceaux associés. Compte-tenu de (0.1), la surjectivité de
l’application (1.1.2) résultera de la surjectivité “locale” de l’application u 7→ u B. Plus précisément soit
P un (A, B)-bitorseur au-dessus de S ; il existe un morphisme couvrant T −→ S tel que le B-torseur (à
droite) P possède une section p ∈ P (T ) ; elle fournit un isomorphisme, au dessus de T , B −→ P, b 7→ pb.
Pour tout a ∈ A(T ), il existe donc un unique élément de B(T ), notons-le u(a), tel que
(1.1.3)
ap = pu(a).
On constate que a 7→ u(a) définit un isomorphisme de groupes u : A −→ B, au dessus de T , et que
l’isomorphisme de B-torseurs B −→ P associé à p s’étend en un isomorphisme de (A, B)-bitorseurs au
dessus de T , u B −
g
→ P. On peut voir les choses de façon plus intrinsèque : la relation (1.1.3) associe à toute section (locale) de P
un isomorphisme ; elle définit donc une application de faisceaux
P −→ Isom(A, B).
Cette application est équivariante pour l’action de B à droite, puisque changer p en pc change u en
Int(c−1 ) ◦ u ; en passant aux quotients on trouve l’application
e ' P/B −→ Isom(A, B)/B,
c’est-à-dire une section de Isex(A, B). Contrairement à Giraud, mais en suivant Deligne - Milne [De-Mi] p.220, nous nous restreignons aux
morphismes de liens qui sont des isomorphismes, et nous notons LIis (T) la catégorie sur T dont les objets
1. Suivant la convention de [Gi] nous utilisons les caractères sanserif (i.e bâtons, ou sans empattement) pour désigner
les faisceaux associés.
2
au dessus de S sont les groupes de T/S, et dont les morphismes de A vers B sont les sections du faisceau
Isex(A, B). Le champ associé est noté LIENis (T).
On note GrMrt (T) la catégorie scindée sur T dont les objets au dessus de S ∈ Ob(T) sont les groupes de
T/S, un morphisme du groupe A vers le groupe B étant une classe d’isomorphisme de (A, B)-bitorseurs
(L’indice ”Mrt” renvoie évidemment à Morita).
Proposition 1.2 Si le topos T a suffisamment de points, le champ associé à GrMrt (T) est isomorphe
au champ des liens LIENis (T).
Il faut d’abord préciser la composition des flèches dans la catégorie GrMrt (T). Pour un (A, B)-bitorseur
P , on notera [P ] sa classe d’isomorphisme, laquelle représente donc une flèche [P ] : A −→ B. Pour un
(B, C)-bitorseur Q, la flèche composée
[P ]
[Q]
A −→ B −→ C
est donnée par la formule 2
(1.2.1)
[Q] ◦ [P ]
=
[P ∧B Q]
u
v
Par ailleurs, étant donnés deux isomorphismes A −→ B −→ C, l’application
v(x)y, induit un isomorphisme de (A, C)-bitorseurs
uB
∧B v C −→
uB
× v C → vu C, (x, y) 7→
vu C.
Notons par G le préchamp associé à GrMrt (T) (objets sur S, les faisceaux de groupes de T/S ; flèches de
A vers B, les sections du faisceau Bit(A, B)). Considérons, comme dans le lemme 1.1, le foncteur
LIis (T)
−→
G
qui est l’identité sur les objets, et qui envoie la classe d’un isomorphisme u : A → B sur [u B] ; c’est un
foncteur covariant d’après la remarque qui précède, et un isomorphisme de préchamps d’après le lemme
(1.1). Passant aux champs associés, on trouve l’isomorphisme annoncé.
1.3 Le lien d’une gerbe.
En choisissant une “neutralisation locale” d’une gerbe on se ramène à un “groupoı̈de transitif”, et
cela seul sera considéré ici. Nous adopterons le point de vue et les notations de [Mi] ; les relations entre
gerbes et groupoı̈des transitifs sont expliquées, en particulier, dans [Br] 2.1 à 2.13, [De 1] 3.1-3.4, [De
2] 10.2 à 10.9, [De-Mi] p.224, [Ul 1] et [Ul 2], textes auxquel nous renvoyons le lecteur plutôt que les
recopier.
Indiquons rapidement comment “voir” un groupoı̈de transitif comme une donnée de descente sur son
stabilisateur, dans le préchamp G associé à la catégorie GrMrt (T) des groupes et bitorseurs entre iceux.
Un groupoı̈de transitif sur un objet S de T est un objet P de T muni d’un morphisme couvrant
P −→ S × S,
donnant donc lieu à deux morphismes b, s : P → S ; il faut voir P comme le faisceau des flèches d’un
groupoı̈de sur T dont b et s sont les morphismes but et source ; la composition des flèches est la donnée
d’un morphisme
◦ : P ×s,S,b P −→ P, (u, v) 7−→ u ◦ v.
Ces données doivent satisfaire les conditions qui assurent que pour tout objet T , les flèches b, s, P (T ) →
S(T ) et ◦ définissent une catégorie (objets, S(T ) ; flèches, P (T )), et dont toutes les flèches sont inversibles.
Le stabilisateur G du groupoı̈de est défini par le carré cartésien
/P
G
S
/ S×S
∆
2. Prendre garde que le bitorseur P ∧B Q est noté P ◦ Q par Deligne dans [De 2] p. 88.
3
C’est un groupe de T/S, et on va montrer comment voir P comme une donnée de descente sur G, relative
à S → e, dans le préchamp G.
Pour alléger l’écriture on utilise, comme Milne dans [Mi], le langage des points, i.e des éléments de S(T ),
// S (T ) .
pour un objet T de T, qui sera sous-entendu ; on notera P le groupoı̈de (au sens usuel) P (T )
Pour deux points x et y (deux objets du groupoı̈de) on considère la fibre de P → S × S au-dessus de
(x, y), et on la note
Px,y = {u ∈ P |b(u) = x, s(u) = y} = IsomP (y, x).
Avec ces notations, Px,x = Gx = AutP (x) est le stabilisateur de x dans P , et Px,y est (Gx , Gy )-bitorseur ;
la loi de composition s’écrit comme un isomorphisme de bitorseurs
Px,y ∧Gy Py,z
−
g
→
Px,z .
Dans le préchamp G, la classe [Px,y ] définit un isomorphisme Gx −→ Gy , et, compte-tenu de (1.2.1), on a
[Py,z ] ◦ [Px,y ] = [Px,z ].
C’est la condition des cocycles ([Mi], p.220), qui assure que la donnée de recollement [Px,y ] est une donnée
de descente. Si S → e est couvrant, cette donnée de descente sur G définit un objet du champ associé à
G, objet qui correspond, via l’isomorphisme de (1.2), au lien du groupoı̈de.
On aura remarqué que la condition d’associativité pour la composition des flèches de P n’intervient
pas.
2. Isomorphismes de liens
Un résultat de Giraud ([Gi], IV 1.1.7.3, p.187) appelle peut-être un commentaire. Il s’agit de l’énoncé
suivant (où l’on a interverti gauche et droite) :
2.1 Soient A et B deux faisceaux de groupes. Pour que les liens lien(A) et lien(B) soient isomorphes il
faut et il suffit qu’il existe un Int(B)-torseur à droite Q tel que A soit isomorphe au groupe B tordu par
Q : Q ∧Int(B) B
On va montrer en détail et directement, c’est-à-dire sans utiliser le résultat de Giraud, ni des isomorphismes extérieurs, que cette condition décrit, en fait, exactement les sections du faisceau Bit(A, B).
Pour éviter toute ambiguité dans des formules du genre P ∧B B il faut préciser laquelle des opérations
du groupe B sur lui-même est en cause ; on notera donc cB le groupe B muni de l’opération de B par
conjugaison.
Introduisons le préfaisceaux F : Topp −→ Ens tel que F(S) soit l’ensemble des couples (Q, q), définis
au dessus de S, où Q est un Int(B)-torseur à droite et q : A −→ Q ∧Int(B) cB un isomorphisme de groupes,
deux tels couples (Q, q) et (Q0 , q 0 ) étant identifiés s’il existe un isomorphisme u : Q → Q0 de torseurs
compatible en un sens évident avec q et q 0 .
Notons que cet isomorphisme u : Q → Q0 est déterminé de façon unique quand il existe : en effet, u ∧ id
est déterminé par q et q 0 puisque q 0 = (u ∧ id) ◦ q, et l’application
Isom(Q, Q0 ) −→ Isom(Q ∧Int(B) cB, Q0 ∧Int(B) cB),
u 7−→ u ∧ id
est injective puisque Int(B) agit fidèlement sur cB.
Proposition 2.2 F est un faisceau, et il est isomorphe au faisceau Bit(A, B).
La démonstration procédera par étapes, et la définition de l’isomorphisme sera donnée plus bas.
2.3 F est un faisceau.
Soit S 0 → S un épimorphisme, il s’agit de vérifier que la suite
F(S)
/
//
F(S 0 )
est exacte.
4
F(S 0 ×S S 0 )
Commençons par l’injectivité de F(S) −→ F(S 0 ). Soient (Q, q) et (Q0 , q 0 ) deux couples au dessus de S,
qui deviennent isomorphes au dessus de S 0 ; l’isomorphisme u : Q → Q0 est déterminé de façon unique
par q et q 0 ; les deux images réciproques de u au dessus de S 0 ×S S 0 sont donc égales ; par descente, u
provient d’un isomorphisme défini sur S.
Soit maintenant (Q, q) un couple défini sur S 0 dont les deux images réciproques (Q1 , q1 ) et (Q2 , q2 )
sur S 0 ×S S 0 sont isomorphes par w : Q1 → Q2 . L’argument d’unicité déjà évoqué montre que w est
une donnée de descente sur l’objet Q, lequel provient donc de S ; cela montre que la source et le but de
q : A −→ Q∧Int(B) cB proviennent de S ; comme q est compatible à la donnée de descente w, l’isomorphisme
q provient, lui aussi, de S. 2.4 Le morphisme
f : Bit(A, B) −→ F
Pour un groupe B de T, on allégera en B = B/Z(B) = Int(B) la notation du quotient de B par son
centre. Ce groupe opère fidèlement sur cB.
Lemme 2.4.1 Soit P un B-torseur à droite ; notons P = P/Z(B) = P ∧B B le B-torseur à droite
obtenu par changement de groupe. Alors on a des isomorphismes de groupes
AutB (P ) −
g
→
P ∧B cB
−
g
→
P ∧B cB.
Rappelons comment est défini le morphisme AutB (P ) −→ P ∧B cB : soit u un automorphisme de P ; pour
toute section p de P , il existe un unique b ∈ B tel que u(p) = pb, et on a u(pc) = u(p)c = pbc = pc.c−1 bc ;
ainsi, la section p ∧ b de P ∧B cB est indépendante du choix de p ; c’est l’image de u.
Il faut sans doute aussi rappeler que si f : P → P 0 est un isomorphisme de torseurs, l’isomorphisme
f ∧ id : P ∧B cB → P 0 ∧B cB induit l’isomorphisme AutB (P ) −→ AutB (P 0 ) donné par α 7→ f αf −1 .
Le second isomorphisme du lemme est associé au morphisme de passage au quotient P −→ P ; il repose
sur le fait que B opère sur cB via son quotient B, et que donc P ∧B cB ' (P ∧B B) ∧B cB = P ∧B cB ;
c’est essentiel pour la suite. Puisque F est un faisceau, il suffit, pour définir f , de définir pour tout objet S de T, une application
−→
Bit(A, B)(S)
F(S),
compatible aux morphismes S 0 → S. Or, à un (A, B)-bitorseur P (au dessus de S), on peut associer le
couple (P , q), où q est l’isomorphisme composé (cf (2.4.1))
(2.4.2)
A
−
g
→
P ∧B cB
AutB (P ) −
g
→
−
g
→
P ∧B cB.
On peut expliciter cette application en a 7−→ p̄ ∧ b, où p̄ est la classe dans P d’une section p de P , et où
b est défini par la relation
ap = pb.
2.5 Le morphisme g : F −→ Bit(A, B).
Soit (Q, q) un élément de F(S) ; Q est donc un B-torseur à droite, et q : A −→ Q ∧B cB est un
isomorphisme de groupes.
Il existe un objet S 0 couvrant S, au dessus duquel le B-torseur Q se relève en un B-torseur P .
L’isomorphisme q fournit une structure de (A, B)-bitorseur pour P ; en effet, en le composant avec les
isomorphismes de (2.4.1), on obtient
(2.5.1)
q
A −→ Q ∧B cB ' P ∧B cB
(2.4.1)
←− P ∧B cB
(2.4.1)
−→ AutB (P )
En termes de sections, l’action de A sur P s’écrit simplement : pour a ∈ A et p ∈ P , il existe un unique
b ∈ B tel que q(a) = p̄ ∧ b ∈ P ∧B cB ; on a alors ap = pb.
5
On définit maintenant une donnée de recollement sur le (A, B)-bitorseur P (relativement à S 0 → S).
Comme (Q, q) est défini sur S, ses deux restrictions (Q1 , q1 ) et (Q2 , q2 ) au dessus de S 0 ×S S 0 sont égales ;
il existe donc un isomorphisme de B-torseurs à droite v : Q1 → Q2 rendant commutatif le triangle
Q1: ∧B cB
q1
A
v∧id
$
Q2 ∧B cB
q2
En général, v ne se relève pas en un isomorphisme entre les images réciproques P1 et P2 , mais il existe
un épimorphisme S 00 −→ S 0 ×S S 0 et un relèvement u de v au-dessus de S 00
/ Q1
P1
v
u
/ Q2
P2
La commutativité de ce carré jointe aux isomorphismes (2.5.1), montre que u est compatible aux structures
de A-torseur à gauche définies par q1 et q2 ; bref, on a construit un isomorphisme de (A, B)-bitorseurs
entre les deux images réciproques de P au-desus de S 00 .
Comme les morphismes S 0 → S et S 00 → S 0 ×S S 0 sont des épimorphismes, et que Bit(A, B) est un
faisceau, la suite
// S 0
/ S
S 00
induit une suite exacte d’ensembles
/
Bit(A, B)(S)
Bit(A, B)(S 0 )
//
Bit(A, B)(S 00 ).
La classe de P dans Bit(A, B)(S 0 ) provient donc d’une section globale de Bit(A, B)(S). C’est l’image par
g de (Q, q) ∈ F(S) qui était annoncée.
2.6 Fin de la démonstration
Montrons d’abord que le morphisme de faisceaux f : Bit(A, B) −→ F est injectif.
Considérons deux éléments de Bit(A, B)(S) de même image dans F(S) ; ils sont représentés par deux
bitorseurs P et P 0 , définis au-dessus de S, et un isomorphisme de B-torseurs à droite v : P −→ P 0 tel
que le diagramme en flèches “pleines” suivant soit commutatif
P :∧B cB
/ P ∧B cB
q
A
q0
u∧id
v∧id
$ P 0 ∧B cB
/ P 0 ∧B cB
où q et q 0 sont donnés par (2.4.2). Comme ci-dessus, il existe un épimorphisme T → S et un relèvement
u de v en un isomorphisme de B-torseurs u : P −→ P 0 ; le diagramme montre que u est compatible aux
opérations de A ; bref, les classes de P et de P 0 sont égales dans Bit(A, B)(T ), et le rappel (0.2) permet
de conclure.
Pour voir que f est un isomorphisme, il ne reste plus qu’à constater que f ◦g est isomorphe à l’identité.
6
Bibliographie
[Br]
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[De 1] P. Deligne Catégories tannakiennes, in Grothendieck Festschrift vol. II, Modern Birkhäuser
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[Mi]
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