u, v

ΠUVRES DE L AURENT S CHWARTZ
L AURENT S CHWARTZ
Problèmes aux limites dans les équations aux dérivées
partielles elliptiques
Second colloque sur les équations aux dérivées partielles (Bruxelles,
1954), Liège: Georges Thone, 1955, p. 13-24.
Extrait des Œuvres de Laurent Schwartz
publiées par la Société mathématique de France, 2011.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
Problèmes aux limites
dans les équations aux dérivées partielles elliptiques (*)
par M. Laurent SGHWARTZ (Paris)
1.
PROBLÈMES AUX LIMITES
A. Espaces E, E', V
On donne un ouvert quelconque Q de Rn (pour simplifier;
les résultats sont valables sur une variété indéfiniment différentiable). On désigne par CD l'espace des fonctions indéfiniment différentiables sur Q à valeurs complexes, à support
compact, muni de la topologie de limite inductive naturelle
(cf. Schwartz [5]), et par CD' le dual de CD : espace des distributions sur Q.
On donne ensuite un espace vectoriel topologique localement convexe séparé E, avec
CD CiïCCD', les injections de
CD dans E el E dans CD1 étant continues, et CD étant dense
dans E. foule forme linéaire continue sur E, soit T, définit
par restriction une forme linéaire continue sur CD, donc une
distribution T sur 0, T G CD' ; on a donc une application canonique du dual E' de E dans CD', et celle application est biunivoque : si T = 0, c'est que T est nul sur CD, donc, CD étant
dense dans E, T est nul partout, T = 0. On peut donc identifier E' à un sous-espace vecloriel de CD' ; on a CD C E ' C ^ 7 ,
les injeclions étant continues, et CD étant faiblement dense dans
E'. L'espace E' est muni de la topologie de dual fort de E. Lorsque E est un espace de Hubert (cas qui sera très fréquent dans
les applications), il y a évidemment un isomorphisme canonique de E sur E', mais nous n'identifierons
pas néanmoins E
et E', sauf dans le cas où E = L 2 (Q)= espace des classes de
(*) Cet article, qui résume ma conférence, est l'exposé, non de travaux personnels, mais du chapitie Ior de la thèse de M. J. L. LIONS, intitulée Problèmes aux limites en théorie des distributions.
14
LAURENT SCHWARTZ
fonctions de carré sommable sur Q pour la mesure de Lebesgue
ordinaire dx ( 1 ).
On donne maintenant un espace de Hubert Y, contenu
dans E, ^ C V C E C ^ ' . L'espace V n'est pas en général muni
de la topologie induite par E, même lorsque celui-ci est un
espace de H u b e r t ; CD n'est pas nécessairement
dense dans V ( 2 ).
Lorsque CD est dense dans V, on peut prendre E = V.
B. Opérateur D, ellipticité
On donne maintenant sur V une forme linéaire en u, semilinéaire en v, continue sur V X V :
u, v—> ((u, v)) .
Si v = cp G 00, <p—>-((u, cp)) est une forme semi-linéaire
continue sur CD (puisque la topologie de CD est plus fine que
celle induite par V), donc
C(u,?)) = <Du,©>
(1-1)
1
ce qui définit Du 6 CD et une application linéaire continue :
u - > D u de V dans CDf :
D<E J?(V,<2)') ( 3 ).
(1-2)
EXEMPLE 1.1. — On prend pour V l'espace suivant : on
désigne par ë>i/ l'espace des fonctions u qui sont dans L2 ainsi
que toutes leurs dérivées d'ordre 1 (au sens des distributions);
on le munit de la norme dont le carré est :
12
''
'•
9
'
^ '
1
êi,.
dxt u
qui en fait un espace de Hubert; on prend V = Si/. L'espace
Öi n'est pas dense dans Si/, sauf si la frontière de Q est de
capacité nulle (cf. Gârding [2], Schwartz [7], Deny-Lions
[1]). Ceci posé, pour u, v£&ià*\ posons :
\ ( ) «)M ,
(u, v)) = 2 ( a ï ; u > a^ vj) Lt +«(u,
a = constante.
(x) Si ƒ € L2, on pose comme d'ordinaire
De façon générale, si G est un espace de Banach, g G G, on note ||gf||G
la norme de g dans G.
(2) Lorsque CD n'est pas dense dans V, on n'utilise pas le dual
de V,3 dual qui n'est pas un espace de distrinutions.
( ) De façon générale, si E et F sont deux espaces vectoriels topologiques localement convexes, J^(E ; F) désigne l'espace des applications linéaires continues de E dans F.
PROBLÈMES AUX LIMITES
15
Si u = <s G 02y on a:
( (u, <p) ) = < (— A + a) u, <p > , A = Laplacien,
donc D = — A-f-a.
EXEMPLE 1.2. — On prend encore V = ëi A On suppose
qu'il existe un morceau F de la frontière Q* de û qui soit
borné, et variété à (n — 1) dimensions, une fois continûment
différentiable par morceaux. On sait que dans ces conditions
(cf. Soboleff [9], Deny-Lions [1]) il existe une application
linéaire
continue et une seule, u—> yu, de <§i/ dans l'espace
L2(F) des classes de fonctions sur F de carré sommable pour
la mesure superficielle ds sur F, telle que yu coïncide presque
partout avec le prolongement par continuité sur F si u est
continue dans OU F. On prend alors sur \ )^V
71
( (u, v) ) = ^
\-d-
u , -g—
1=1
Si v = cp£ CDy o n a, p u i s q u e y<p =
((",?)) = <(—A + a)u,?>.
Les deux exemples précédente montrent que deux formes
((u, v)) distinctes peuvent définir le même opérateur D.
DÉFINITION 1.1. — La forme ((u, v)) étant donnée, l'opérateur D (4) donné par (1-1) sera dit l'opérateur défini par
( (u, v) ), et si l'on donne un opérateur D et une forme ( (u, v) ),
a\ec (1-1), la forme ((u, v)) est dite attachée à D.
On notera que la donnée de ( (u, v)) est plus que la donnée de D.
Il est utile de décomposer ((u, v)) en «partie hermitienne » et « partie antihermitienne » ; on pose :
((U, T , ) ) 1 = i - ( ((U,
et
((u,t)))2 =
( ((u, v ; ) — ( ( v , u ) ) ) .
Alors :
((u, v)) = ((u, v ) ) i + i(ux, t ) ) ) 2 .
La forme ((u, u)) fc ( f e = l , 2) définît D fe , élément de
J ? ( V ; (DO; on a :
0 = 0! + iD2.
4
( ) D sera dans la pratique un opérateur différentiel.
î6
LAURENT SCHWARTZ
On peut alors poser l'importante définition :
DÉFINITION 1.2. — La forme ((u, v)) est elliptique s'il
existe une constante a ^> 0 telle que pour tout u dans V, on ait :
((u, u ) ) 1 ^ a | | u j | v 2 .
(1-3)
On dira également, si (1-3) a lieu, que D, défini par ((u, v))
est ((u,v)) elliptique.
C. Espaces 3t et N
On désigne par 0€ l'espace des fonctions u G V telles que
Du soit dans E', muni de la topologie la moins fine qui rende
continues les applications u—>u et u—> Du de #£ dans V
et E' respectivement; c'est un espace de Banach si E (donc E')
est un espace de Banach. On notera que, a priori, l'espace 56
peut être réduit à {0}; on verra qu'il n'en est rien.
On désigne par N le sous-espace de &C formé des u telles
que l'on ait :
<Du,û> = ( ( u , u ) )
(1-4)
pour tout v G V, le premier crochet désignant la dualité entre
E' et E. L'espace N est muni de la topologie induite par 3C ;
c'est un sous-espace vectoriel fermé de &C. L'espace N n'est
pas réduit à {0}, comme on verra.
Si CD est dense dans V, on prend E = Y ; on a (1-4) pour
tout v = <pÇ.(D (par définition de D), et par passage à la
limite, on voit que (1-4) est toujours vrai, donc : si CD est
dense dans Y, alors #6 = N.
Si CD n'est pas dense dans V, on n'a pas en général (1-4)
pour u G &C et v G V (c'est visible dans le cas des exemples 1.1
et 1.2). On pose alors :
<Du, v) — ((u, v)) = R(u, v), u£9e,veX
.
(1-5)
On peut dire que cette formule est une formule de Green. Dire
que u est dans N, c'est dire que R(u, v) = 0 pout tout v G V,
donc que certaines conditions au contour sont vérifiées par u.
D. Problèmes aux limites
On désigne par JC D #£ un espace vectoriel topologique
tel que pour tout u G Jv, Du soit défini et soit dans E', de sorte
que D soit élément de J?(JC; E r ). On peut prendre 5<, = 3t
mais il est souvent possible de prendre pour J€ un espace plus
grand que &t ; on supposera alors que l'injection de &C dans
JC est continue, et que D, défini sur Jv, soit un prolongement
de D, défini sur d£. Exemple: si D = — A-4-r/, V = ê i / ,
PROBLÈMES AUX LIMITES
17
2
E = L (=E'),
on prend pour JC l'espace des distributions
ï € CD1 telles que (—à-(-a)T soit dans L2, muni de la topologie la moins fine, telle que les applications T—>• T et
T—>(—A-|-a)T soient continues de J€ dans CD' et E' ; cet
espace 1 contient strictement
l'espace 3t qui est l'espace des
uGëi* , tels que Au G L2.
On peut maintenant poser le
PROBLÈME
1.1. — Trouver U dans JC solution de
DU = F ,
(1-6)
où F est donné dans E', avec les conditions aux limites :
h-UGN,
(1-7)
où h est donné par J€.
La condition (1-7) signifie que U a le même comportement au contour que h, au sens défini par N. Il s'agit bien de
conditions aux limites.
On voit donc que, une fois ((u, v)) donné, le problème 1.1
est déterminé (5). Pratiquement, les problèmes aux limites se
posent en sens inverse : il faudra trouver la forme ((u, v))
(ou la formule de Green) adaptée au problème proposé.
Le problème 1.1 se ramène aussitôt à la forme réduite
suivante (en posant u=h— U) :
PROBLÈME
1.2. — Trouver u dans N, solution de
Du = / ,
(1-8)
où ƒ est donné dans E' (par / = Dh — F).
2. THÉORÈME FONDAMENTAL
On va maintenant montrer le
THÉORÈME 2.1. — Si Vopérateur D est ((u, v))-elliptique,
Vopérateur D est un isomorphisme de N sur E' ( 6 ).
Démonstration :
1° Soit ƒ donné dans E' ; on cherche u dans N solution de
Du = / .
(2-1)
Si u est solution de (2-1) alors pour tout v dans V on a :
((Uyv)ï = (f,v).
(2-2)
(5) Sauf peut-être JC, non complètement déterminé, mais ceci est
secondaire.
(6) Ce théorème montre que N (donc a fortiori &C) n'est pas
réduit à 1 0 j .
18
LALREIVT SCHWARTZ
Réciproquement soit u dans V vérifiant (2-2) pour tout
v € V. Alors ceci a en particulier lieu pour v = <p G CD ; or
donc (2-2) entraîne: Du = /, donc u est dans #6. Mais alors
( Du, v ) = ( ƒ, r ) = ( (u, v) ) pour tout v G V ,
donc u est dans N. Donc tout revient à résoudre (2-2).
2° Pour ƒ fixé dans E', v—>(f, v) est une forme semilinéaire continue sur V, donc ((u, v))± définissant sur V un
produit scalaire de norme correspondante équivalente à ||u||v
(hypothèse d'ellipticité), on a:
ce qui définit J élément de I?(E' ; V).
De même pour u fixé dans V, v—>((u, v))2
semi-linéaire continue sur V, donc :
((», t)))2 = ((Hu, » ) ) l t
es
t une forme
(2-4)
ce qui définit H élément de C(V ; Y), opérateur hermitien
pour la structure ((u, v))lt
Avec ces définitions, l'équation (2-2), c'est-à-dire:
s'écrit :
((u, v))1-\-i((ftu,
v))1=
((J/, v))l , pourtout Î)G V ,
ce qui est équivalent à :
(l + îH)u = J/,
(2-5)
équation dans V.
Comme H est hermitien, (1-j-iH) est inversible dans
J?(V ; V), et (2-1) qui équivaut à (2-5) admet donc une solution unique :
u = G/,
(2-6)
où Ton a posé :
G = ( l + iH)- 1 J.
(2-7)
La formule (2-7) définit a priori un élément de l'espace
J?(E' ; V) et par le 1°, G opère linéairement
de E' dans N. Il
est continu car si ƒ tend vers 0 dans E;, u = G/ tend vers 0
PROBLÈMES VI «X LIMITES
19
dans V et Du = / tend vers 0 dans E', donc u tend vers 0 dans
N ; on a donc :
N),
(2-8)
et le théorème est complètement démontré.
On a les relations :
G-D = l
dans
i?(N ; N)
et
D G = 1 dans J?(E' ; E') .
(2-9)
(2-10)
Notons également que G • D = P est un projecteur de JC
sur N. Le noyau de P (7) est l'espace D" 1 ^) O JC : G-Du = 0
équivaut en effet à Du = 0. Donc JC est somme directe topologique de D-^ÜJPj JC et de Y Lorsque D est fixe el les conditions aux limites \ariables (c'est-à-dire ((u, v)) variable)
alors D-^OJn JC est :fixe, et N est un supplémentaire variable.
L'opérateur G G L°(\ J; \ ) dépend de N.
On dira que G est /'opérateur de Green de D relativement
aux conditions aux limites Y L'opérateur D définit un hoinomorphisme t topologique) de JC sur VJ ; restreint à un supplémentaire du novau, c'est un isomorphisme lo[)ologique,
d'inverse (i.
L'opérateur G résout évidemment le problème 1.1 :
COROLLAIRE 2.1. — Sous les Jiypothèses du théorème 2.1,
le problème 1.1 admet une solution unique :
U = h — GDh + GF ,
solution qui dépend continûment des données.
REMARQUE 2.1. — La fonction h — GDh ne dépend que
de la classe correpondant à h, soit h«, dans d'espace quotient
JC/N. En effet si h est dans N, h —GDh est nul.
REMARQUE 2.2. — À l'opérateur de Green G correspond
un noyau distribution et un seul sur l'espace Q^X^?/ (cf.
Schwartz [6] ), soit G, „ G CD'(Q, X e » ) • C e s t le noyau de
Green de D (toujours relativement à N). Si ƒ est dans E', on
peut écrire, si CD est dense dans E' :
Pour l'étude de la régularité du noyau Gx „ , voir Schwartz
[7] et Lions [4].
On n'étudie pas non plus ici la stabilité de G (pour D
(78) C'est-à-dire l'ensemble des u G JC tels que P • u — 0.
( ) On met les indices en bas pour rappeler qu'il s'agit de distributions et non de fonctions.
20
LAURENT SGHWARTZ
variable), ni les cas de complète continuité permettant d'appliquer la théorie de F. Riesz (cf. Lions [4]).
3. EXEMPLES DIVERS
Pour simplifier on se borne à l'étude des problèmes aux
limites relatifs à l'opérateur D = — À-{-a, a > 0 . (Cf. exemples 1.1 et 1.2.) On rappelle que l'on a désigné par &i/ l'espace
des u G L2 tels que-^—uG L2 pour tout î = l, ..., n, avec la
norme donnée dans l'exemple 1.1. Pour u et v dans êi.»1, on
pose pour simplifier l'écriture :
(U, 1))_A + « =
On désigne par (D\J l'adhérence de (D dans &i/.
EXEMPLE
3.1. — On prend
\ = O)ÂS, ((u, t>)) = (u,i>)-A + «
qui est un produit
scalaire attaché à D, et pour lequel D
est elliptique ( 9 ). On désigne par Û^i/1 l'espace dual de (Oi?x ;
c'est l'espace des distributions sur Ü qui
sont sommes de déri2
vées d'ordre
<J
1
de
fonctions
G
L
;
D est dans l'espace
J^CdO,»1; tfPi/1) . On prend E = (Dj* , alors BC = V, et1
N = #6 =1 V. Donc: —A-f-a est un isomorphisme de (Di*
CD^
La condition u G N, c'est-à-dire u G ^ i , 1 , signifie que u
est « nulle » sur Q*, frontière de Q (pour le sens précis à donner au mot «nulle» voir Deny-Lions [1]). Le problème aux
limites 1.1 est alors le problème de Dirichlet ; la méthode présente n'est autre alors que la méthode de Gârding (cf. Gârding
[2] et Schwartz [7]).
EXEMPLE
3.2. — On prend
V = Ôi/,
et
((U, V)) =
(U, 1>)-A + a ,
(9) Si Q est borné, on a :
c || u |£ a ^ || u ||î ,
c = constante ,
c = constante,
(cf. Gârding [2]), on peut donc prendre a > — c .
PROBLÈMES 4LX LIMITES
21
produit scalaire attaché à D et pour lequel D est elliptique. On
prend E = L 2 ( = E ' ) . Dire que u est dans BC signifie :
u É &L/
et
Au £ L 2 ; u t S
signifie que u est dans 3C et qu'en outre :
( — A U , V ) L » = 7 (-Ö— u,-£—v)
pour tout v € &i?x ,
i= î
donc (tout au moins formellement) que «
u = 0 sur Q*,
-x— u désignant la dérivée normale. D'après le théorème 2.1,
— À-j-a est un isomorphisme de N sur L2 e£ ïe problème 1.1
es£ Ze problème de Neumann.
EXEMPLE 3.3. — Soit F un ensemble fermé contenu dans
Q*, de capacité strictement positive. On désigne par (<£VT)r
l'adhérence dans &\? de l'espace des fonctions u, de &i/,
identiquement nulles
dans un voisinage (variable) de F. On
prend V =(<Di })\ 2 et E = L2. La condition pour u élément
de Y, avec Au G L d'être dans N signifie donc :
a) u est (( nul » sur F ;
b)
« - u = 0 sur le reste de la frontière.
dn
L'opérateur —A-f-a est toujours un isomorphisme de N
sur L2, et le problème 1.1 revient à trouver U, élément de JC,
avec : U donné sur F, ^
U donné sur le reste de la frontière.
on
C'est un problème aux limites de type mêlé (terminologie de M. Hadamard).
at
EXEMPLE 3.4 — On prend V = <^i , mais on va cette fois
prendre un produit scalaire sur V différent de celui de
l'exemple 3.2 el néanmoins attaché à D (généralisation de
l'exemple 1.1).
On suppose que Q a une frontière Q* qui est une variété
à n — 1 dimensions, une fois continûment différentiable,
bornée. On montre alors (cf. Soboleff [9] et Deny-Lions [1])
que u peut être prolongée sur Q* en une fonction u*, élément
de L2(Q*) (pour la mesure superficielle sur Q*), l'application u—> u* étant continue de &\*x dans L2(Q*) et u* coïncidant avec le prolongement naturel de u si u est continue
dans Q.
Ceci posé, soit K un élément de l'espace
Q*); L2(Û*))
22
LAURE1ST SCHWARTZ
que l'on suppose operateur hermitien positif. On pose alors :
( ( « , V))—
(U, î))-A + a - f ( K w * , V*)lW) •
On a là un produit scalaire sur tëi*1 , qui est attaché à
D = — A -f-a (car (Ku*, r>*)r3(ç2*) = 0 si v = <p G (©) et comme
K est positif, on a bien la condition d'ellipticité (1-3). Donc
— A-f-a est un isomorphisme de N .sur U. Soit u élément de
&\ S avec a u G L2 ; la condition n G N signifie :
j
dn
vdx* = (Ku*, v*)i/(Q-) pour tout v G <
donc :
-j^-u = K.u*.
(3-1)
Exemples :
a) Soient s, t des points sur Q*, et
= f K(.s, t)u(t)dt ,
K(s, 0 étant un noyau continu défini positif sur Û
dt — mesure superficielle sur 0. Alors (3-1) signifie :
b) Supposons maintenant que K soit opérateur de multiplication par une fonction (encore notée K), élément de
L°°(Û*) (c'est-à-dire fonction mesurable, essenliellement bornée), supposée positive presque partout sur Q*. Alors (3-1)
signifie :
a ^-u(s)
= K(.s)w(.s), sGQ* ( u ).
EXEMPLE 3.5. — On désigne cette fois par Q un ouvert contenu dans un espace de Riemann indéfiniment différentiable,
par (D l'espace des formes indéfiniment différentiables sur Q
à support compact, par CD' l'espace dual des courants sur û
(cf. par ex. la conférence de M. de Rham). Si a et (3 G 6i on
pose :
ce qui munit CD d'une structure préhilbertienne; on désigne
(10) Cette condition n'est pas locale.
(") Condition locale cette fois.
PROBLÈMES \LX LIMITES
23
2
par L l'espace de Hubert complété : c'est l'espace des formes
de carré sommable sur Û.
On considère l'opérateur
d,
a>0
n
(si Q est un ouvert de R , le A actuel est égal à l'opposé du
laplacien ordinaire). On prend pour \ l'espace des uGL 2
tels que du G L2 et du G L2, muni du produit scalaire :
-\-(du, dv)i>.
On prend :
On obtient ainsi un produit scalaire attaché à A-f-a, et
u G N signifie :
u G V , Au G L2
et
(Au, i>)^ = (du, dv)i* -j-(9u, 3D)J^
pour tout v € V.
On a alors le résultat : A-f-a est un isomorphisme de N
sur L2. Le problème aux limites correspondant sera le problème
de Neumann.
3.6. — On suppose que 0 est un ou\erl de Rn de
frontière O * = u n e \ariclé à n — 1 dimensions indéfiniment
différentiable. Toute fonction u G &p1 admet un prolongement
u* sur 0*, localement de carré somm<iblc <*ur Q* pour la
mesure superficielle (12). Sur la vaiiété 0* on désigne par CD*
l'espace des fonctions indéfiniment différen lia bles à support
compact, par (Df* l'espace dual, elc.
On désigne par ((u*, v*))* une forme sur \ * ^ Y * et
par D* G i?(V* ; CD'*) l'opérateur attaché à cette forme.
Ceci posé (on considère toujours des problèmes aux limites
relatifs à —A-f-a) on prend pour V l'espace des fonctions
u G &t '' telles que u* G V* (cet espace contient CD), que Ton
munit du produit scalaire :
EXEMPLE
(M, î>)v =(W, V)&
al
+ (w*, V*)\*
On pose ensuite :
((W, « ) ) , = ( U , « ) - A
+ a
(12) Si Ü* est non borné, on a seulement un résultat local, à moins
d'introduire des hypothèses supplémentaires sur Q*.
24
LAURENT SCHWARTZ
et
( ( u , u ) ) a = ( ( u \ v*))2';
( ( u , * ) ) = ( ( u , t , ) ) 1 + i ( ( u , v))2
est attaché à — A - ( - a .
On fait l'hypothèse que D* est ( ( u * , t)*))*-elliptique,
c'est-à-dire :
((u*, u * ) ) , * ^ c || u* IU-2, u* € V , c > 0 .
(3-2)
II en résulte qu'il existe u n e constante cy > 0 telle que
( ( u , u ) ) t ^> c II u | \ 2
pour tout u £ \ .
L'espace N est l'espace des u £ V tels que Au G L2 et qui
vérifient :
(— Au, v)i* = (u, V ) _ A - [ - ( ( U * , v*)),*
pour tout i> € &i/ ,
c'est-à-dire formellement telles que :
d
dn
= D*u*
surQ*
Du théorème 2.1 résulte que — A - | - a , a^>0, est un isomorphisme de N sur U. Le problème aux limites correspondant revient à se donner -=—U — D*U* sur Q*.
dn
Des problèmes aux limites analogues peuvent être résolus
pour des opérateurs plus généraux que — A - ) ~ a (13) du type
de ceux introduits par Lions [4]. On obtient ainsi une généralisation et une simplification des résultats de Shapiro [8].
Bibliographie
[1] DENY-LIOÎNS, Les espaces du type de Beppo-Levi (Annales
Institut
Fourier, 5, années 1953-1954, pp. 304, 370).
[2] GÂRDING, Dirichlet problem for linear elliptic partial differential
équations (Math. Scand., 1, 1953, pp. 55, 72).
[3] LIONS, Problèmes aux limites (I : C. R. Acad. Se. Paris, t. 236,
p. 2373 et II : t. 236, p. 2470).
[4] LIONS, Thèse, à paraître aux Acta Math.
[5] SCHWARTZ, Théorie des distributions, t. I et II, Paris, Hermann,
1950, 1951.
[6] SCHWARTZ, Théorie des noyaux (Proceedings of the International
Congress of Math., \ol. I, 1950, pp. 220, 230).
[7] SCHWARTZ, Les travaux de Gârding sur le problème de Dirichlet
(Sém. Bourbaki, mai 1952).
[8] SHAPIRO, Sur des problèmes aux limites généraux pour des équations de type elliptique (Isvest. Akad. CCCP., 17, 1953, pp. 539, 562).
[9] SOBOLFFF, Applications de l'analyse fonctionnelle à la Physique
mathématique, Leningrad, 1950.
(13) Cette remarque vaut pour tous les exemples.