Devoir Libre 17 : déterminant et espace euclidien : les déterminants

Devoir Libre 17 : déterminant et espace euclidien : les déterminants de Gram
Soient (E, ( ∣ )) un espace euclidien de dim. n et (v1 , . . . , vp ) ∈ E p .
Première partie : définition de la matrice et du dét. de Gram : interprétation comme
un p-volume
On appelle matrice de Gram de (v1 , . . . , vp ) et on notera G = G(v1 , . . . , vp ) ∈ Mp (R) la matrice
dont les entrées sont les (vi ∣vj ).
a) On considère F = Vect(v1 , . . . , vp ), on note r = dim F et on considère B = (e1 , . . . , er ) une
b.o.n. de F .
On note A = MatB (v1 , . . . , vp ) ∈ Mr,p (R).
Vérifier que G = tAA.
b) Montrer que si (v1 , . . . , vp ) est libre alors det(G) > 0 et que det(G) = 0 sinon.
c) Montrer que rg(G) = rg(A).
On notera Gram(v1 , . . . , vp ) le déterminant de la matrice de Gram.
d) Montrer que si A, B, C sont trois points de E de dim. 3, situés sur la sphère de centre O
Ð→
Ð→
Ð→
Ð→
̂
̂
et de rayon 1, en notant α = (OA, OB) l’angle géométrique (dans [0, π]) et β = (OB, OC) et
Ð→
Ð→
̂
γ = (OC, OA) alors en utilisant une matrice de Gram,
1 + 2 cos α cos β cos γ ≥ cos2 α + cos2 β + cos2 γ.
√
e) Montrer que si E est de dim. 2, on a la relation : A(u, v) = Gram(u, v) où A(u, v) est l’aire
(non orientée) du parallélogramme formé par u et v.
f) Montrer un résultat analogue en dim. 3 pour Gram(u, v, w).
Scholie : D’une manière générale, on sent bien que le déterminant de Gram de p-vecteurs va
coder un ...
g) Formule de la distance d’un vecteur à un s.e.v. donné par une base quelconque (non nécessairement
o.n.) :
Montrer que si v ∈ E et F = V ect(v1 , . . . , vp ) où (v1 , . . . , vp ) est une famille libre quelconque,
alors :
¿
Á Gram(v, v1 , . . . , vp )
À
d(v, F ) = Á
.
Gram(v1 , . . . , vp )
Deuxième partie : à traiter après le chapitre sur les endomorphismes orthogonaux :
a) Soit (E, ( ∣ )) un espace euclidien de dim. n et (v1 , . . . , vp ) ∈ E p et (w1 , . . . , wp ) ∈ E p tels que
G(v1 , . . . , vp ) = G(w1 , . . . , wp ).
(En particulier, s’ils sont libres, ils forment le même “p-volume” en généralisant e), f)).
On veut montrer qu’il existe f ∈ O(E) telle que f (vi ) = wi pour tout i = 1, . . . , p.
On pose r = rg(v1 , . . . , vp ) = rg(w1 , . . . , wp ) et on considère que les vecteurs sont numérotés de
telle sorte que (v1 , . . . , vr ) et (w1 , . . . , wr ) soient deux familles libres.
On pose alors V = V ect(v1 , . . . , vr ) = V ect(v1 , . . . , vn ) et W = V ect(w1 , . . . , wr ) = V ect(w1 , . . . , wn ).
On note (er+1 , er+2 , . . . , en ) une b.o.n. de V ⊥ et (e′r+1 , . . . , e′n ) une b.o.n. de W ⊥ .
Soit f ∈ L(E) définie par ∀ i ∈ ⟦1, r⟧, f (vi ) = wi et ∀ i ∈ ⟦r + 1, n⟧, f (ei ) = e′i .
(i) Montrer que f ∈ O(E). (ii) Montrer que pour tout i ∈ ⟦r + 1, n⟧, wi − f (vi ) ∈ W ∩ W ⊥ .
(iii) Conclure.
b) La même question qu’au a) en affine : soient (A0 , . . . , Ap ) et (B0 , . . . , Bp ) deux familles de
Ð→
Ð→
points de E espace affine vérifiant : ∀ (i, j) ∈ ⟦0, p⟧2 ∣∣Ai Aj ∣∣ = ∣∣Bi Bj ∣∣. Montrer qu’il existe une
isométrie affine f telle que f (Ai ) = Bi pour tout i.
Ð→
Ð→
Indication – On posera vi = A0 Ai et wi = B0 Bi .
Rappel : Une isométrie affine est une application de la forme f = g + c où c est un vecteur fixé et
g ∈ O(E).
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