(Chap 22 Cone de révolution)

CONE DE REVOLUTION
I Introduction
Rappel :
En classe de 5ème , tu as déjà étudié un
solide de révolution. Lequel ?
Nouveauté :
Il existe un autre solide de révolution :
………le cône de révolution…………………...
Dans quels objets de la vie courante le retrouve-t-on ?
……cylindre de révolution……….
car on fait tourner
……… cornet de glace, verres à cocktail ………
…un rectangle………………
autour d'un de ses côtés pour l’obtenir.
Quelle est la figure qui tourne ?
…un triangle rectangle……………..
S
A
A'
B
B'
H
A
II Définition et descriptif
1) Définition :
Un cône de révolution est un solide engendré par un triangle rectangle effectuant un tour complet autour de l'un
des côtés de son angle droit.
2) Descriptif :
S
Définition :
sommet
la hauteur d'un cône de révolution est la droite qui
passe par le sommet du cône et qui est
perpendiculaire au plan de base.
Surface latérale
hauteur
base ou disque de base
H
A
Propriété : La hauteur d'un cône de révolution passe par le centre du disque de base.
Remarque : Le segment [SM] et la longueur SM s'appellent aussi la hauteur du cône de révolution.
III Volume du cône de révolution
Propriété : Une unité de longueur étant choisie, notons
de base, le rayon de ce disque et
la hauteur du cône de révolution,
le volume de ce cône :
=
×
3
=
π×
2
l'aire du disque
×
3
Exercice type :
On considère une tour médiévale surmonté d’un toit en forme de cône de révolution. La base est un cercle de
rayon 4 m. La hauteur du toit est 5 m et la hauteur totale de la tour est de 15 m.
1) Calcule le volume du cône, en arrondissant au dixième près
2) Calcule le volume du cylindre, en arrondissant au dixième près
3) Calcule le volume de la tour, en arrondissant au dixième près
1
1
80
×
× h=
× ( π × 4 × 4) × 5 =
π ≈ 83,8 m3
3
3
3
2) V2 =
× h = ( π × 4 × 4) × 10 = 160π ≈ 502,7 m3
80
3) V = V1 + V2 =
π + 160π ≈ 83,8 + 502,7 ≈ 586,4 m3
3
Le volume totale de la tour est de 586,4 m3.
1) V1 =
IV Activité : construction du patron du cône de révolution
S
Tu vas construire le patron d’un cône de révolution
dont le rayon du disque de base [AH] mesure 2,4 cm
et dont la hauteur [SH] mesure 7 cm.
Imagine que l’on découpe ce cône le long de [SA], tu
vas obtenir le cône « à plat », comme sur le dessin
ci-dessous.
H
A
Où se trouve la hauteur ? elle n’est pas sur le dessin
Pour construire le patron d'un cône, il faut connaître :
le rayon du disque de base
la longueur SA (ou la hauteur du cône)
l'angle ASA’
base……
…génératrice…
1) Calcul de SA :
On sait que le triangle SHA est rectangle en H, or d'après la propriété de Pythagore on a :
AH2 + SH2 = AS2
2,4 2 + 7 2 = AS2
Donc AS2 = 5,76 + 49 = 54,76 et grâce à la calculatrice, on a AS ≈ 7,4 cm.
2) Calcul de l'angle ASA' :
Il faut regarder ensuite la figure « à plat ». Tu vas terminer de tracer le cercle de rayon [SA].
Quand le cercle est tracé, quel angle représente-t-il ? 360°. Quel angle représente l’arc de cercle AA’ ? ASA’
Il y a proportionnalité entre l’angle et la longueur des arcs de cercle.
Calcul du périmètre du cercle de centre S et de rayon [SA] ( le grand cercle ) : 2 × π × 7,4 = 14,8 π cm
(valeur exacte)
Il faut maintenant calculer la longueur de l’arc de cercle. A quelle autre longueur du dessin correspond-elle ?
……la longueur de l’arc de cercle correspond au périmètre du disque de base……………………………
Calcul de la longueur de l’arc de cercle = Calcul du périmètre du disque de base : 2 × π × 2,4 = 4,8 π cm
(valeur exacte)
360×4,8π
360
Donc =
14,8π
14,8 π
4,8 π
≈ 117° (valeur arrondie au degré près)
Ainsi ASA' ≈ 117°
Construire le patron du cône.
En exercice, on pourrait faire calculer l’aire de la surface latérale de ce cône pour utiliser la formule πR²